Метод Фурье

1 Лекция 4. Метод Фурье 4.1. Струна конечной длины Мы рассмотрим в этом параграфе задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на обоих концах. Как указано в лекции 5, задача сводится к решению однородного уравнения струны  2u  2u  a2 2 t x (4.1) при начальных условиях u t 0  f x , u t t 0  F x  (4.2) и при краевых условиях u x0  0, u xl  0, (4.3) Метод Фурье (или, как его еще называют, метод разделения переменных) принадлежит к числу важнейших методов решения уравнений математической физики. Мы с ним будем в дальнейшем неоднократно встречаться. Первая часть метода Фурье состоит в том, что мы отыскиваем частные решения уравнения (4.1), удовлетворяющие краевым условиям (4.3), и виде ( ) ( ) ( ) (4.4) Каждое из искомых частных решений, таким образом, представляется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая — только от t. Дифференцируя дважды выражение (4.4) по х и по t, получим  2u  X "T и x 2 2 (Для сокращения записи мы не пишем аргументов функций Х(х) и Т(t)). Подставляя выражения для производных в уравнение (4.1), получим XT"  a 2 X " T 2 или, деля обе части равенства на произведение a XT , 1 T" t  X " x   X x  , a 2 T t  (4.5) Чтобы функция u(х, t)=X(x)T(t) была решением уравнения (4.1), равенство (4.5) должно соблюдаться при всех значениях х и t. Левая часть этого равенства зависит только от переменной t и не может изменяться при изменении х. Поэтому, если зафиксировать t и менять х, левая часть, а, следовательно, и правая, будет сохранять постоянное значение. Рассуждая аналогично, установим, что правая часть, а, следовательно, и левая, не может изменяться и при изменении t. Это будет справедливо только в том случае, когда обе части равенства (4.5) вообще не зависят ни от х, ни от t, т. е. 1 T" X" 2 когда оба отношения a T и X являются величинами постоянными: ( ) ( ) ( ) Отсюда следует, что (4.6) ( ) функции Т и X должны удовлетворять ( ) ( ) (4.7) дифференциальным уравнениям ( ) ( ) Поскольку мы ищем частые решения, удовлетворяющие краевым условиям (4.3), то при любом значении t должны соблюдаться равенства ( ) ( ) , () ( ) 3 Если бы обращался в нуль второй множитель, то решение ( ) равнялось бы нулю при всех значениях х и t. Поэтому, чтобы отыскать решения, не тождественно равные нулю (а только такие нас и интересуют), мы должны считать, что ( ) и () В результате для отыскания функции ( ) мы пришли к следующей задаче: найти решения линейного дифференциального уравнения второго ( ) ( ) (4.8) при условиях ( ) () (4.9) Эта задача называется частным случаем общей задачи ШтурмаЛиувилля, заключающаяся в отыскании решения дифференциального уравнения второго порядка вида ( ( ) ) линейного ( ) , удовлетворяющего некоторым краевым условиям. Разумеется, эта задача имеет решение, тождественно равное пулю ( ) при любом значении постоянной величины . Оказывается, однако, что при некоторых значениях постоянной эта задача имеет и другие решения. Заметим, что в этом состоит существенное отличие решения рассматриваемой задачи от решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, когда для определения частного решения задаются значения функции и производной в некоторой начальной точке. Как известно (из предыдущих лекций), последняя задача имеет единственное решение. 4 ( ) Полагаем , составляем для уравнения (4.8) характеристическое уравнение и рассмотрим различные случаи. 1) Пусть . Тогда корни характеристического уравнения действительны, , и общее решение уравнения имеет вид ( ) . Чтобы соблюдались условия (8.9), мы должны положить , . Так как определитель этой однородной системы | | , не равен числу ноль, то система имеет единственное решение . Таким образом, в этом случае решений, отличных от тождественного нуля, не существует. 2) Пусть . Тогда оба корпя характеристического уравнения равны нулю и ( ) . Подставляя в условия (8.9), получим , то есть опять-таки . 5 3) Пусть, наконец, чисто . Корни характеристического уравнения мнимые и решение будет содержать тригонометрические функции ( ) должно быть ( ) При () , а при Последнее равенство возможно при значении есть . , Итак, , так как по условию . , если , то . ( ) , следовательно, существуют решения , тогда уравнения (4.8) не равные тождественно нулю. Решение, символом отвечающее определенному , обозначим ( ). Оно имеет вид ( ) где значению , (4.10) — произвольная постоянная. Мы вправе в дальнейшем придавать только положительные значения: значениях = 1, 2, поскольку при отрицательных будут получаться решения того же вида (ведь — произвольные постоянные, которые могут иметь любые знаки). Как мы видим, каждому значению — соответствует бесчисленное множество решений (4.10), отличающихся друг от друга постоянным множителем. Величины - называют собственными числами, а функции собственными функциями дифференциального уравнения (4.8) с краевыми условиями (4.9). 6 Напомним, что система функций ортогональной в интервале [ ( ) ( ) ( ) называется ], если интеграл от произведения любых ( ) двух различных функций системы равен нулю: ∫ ( ) , если . Легко установить, найденные собственные функции ортогональны на интервале [ ]. Действительно, при ∫ ( ∫ ( ( ( ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) . ( ). Каждому собственному Теперь обратимся к отысканию функций числу )) будет соответствовать своя функция ( ) ). уравнений (8.7) (напоминаем, что ( ) ( ( ), определяемая вторым из ( ) ) . Его характеристическое уравнение имеет вид ( ) Корни характеристического . уравнения , тогда общее решение уравнения ( ) Где , (4.11) – произвольные постоянные. Подставляя выражения (4.10) и (4.11) в формулу (4.4), найдем частные решения уравнения (4.1), удовлетворяющие краевым условиям (4.3). При этом каждому значению будет отвечать решение 7 ( ) Внесем множитель ( ) . в скобку и введем обозначения и , запишем решение в виде ( Решения соответствующие ( ) ( ) . (4.12) ) называются собственными функциями задачи; им колебания струны называются собственными колебаниями. Физический смысл решений (4.12) мы рассмотрим несколько позже, а сейчас перейдем ко второй части метода Фурье и при помощи собственных функций построим решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.2). Для этого возьмем сумму решений (4.12), которая в силу линейности и однородности уравнения (4.1) также будет являться его решением: ( ) ∑ ( ) . (4.13) Поскольку мы составили бесконечный ряд, то, разумеется, нужно, чтобы он был сходящимся. Мы предположим также, что его можно дважды почленно дифференцировать. Ясно, что функция и{х, t) удовлетворяет краевым условиям (4.3), так как им удовлетворяет каждая из функций ( ). Будем теперь подбирать произвольные постоянные и так, чтобы функция (4.13) удовлетворяла начальным условиям. Подставляя значение t = 0, получим ( Дифференцируем (4.13) по t ) ∑ ( ) (4.14) 8 ∑ ( ) , и подставляя значение t = 0, получим ∑ ( ). (4.15) Формулы (4.14) и (4.15) показывают, что величины и являются коэффициентами разложения функций f(x) и F(x) в ряд Фурье по синусам в интервале [ ]. Вспоминая формулы для коэффициентов этого разложения, найдем ( ) ∫ Так как ∫ ( ) ∫ . (4.16) , то ( ) . (4.17) Подставляя выражения для коэффициентов и в ряд (4.13), мы окончательно найдем решение поставленной задачи. Мы не останавливаемся на условиях, которые должны быть наложены на функции f{x) и F(x), чтобы было возможно почленное дифференцирование ряда (4.13). Обычно в физических задачах эти условия соблюдаются. Формула (4.13) показывает, что в моменты времени , , струна возвращается в свое первоначальное состояние. Это означает, что колебания струны незатухающие и периодически повторяющиеся, с периодом . Так происходит потому, что мы пренебрегли сопротивлением трения. При учете их получились бы затухающие колебания, аналогично тому, как это имеет место в случае обыкновенных гармонических колебаний точки. Решение такой задачи будет рассмотрено позже. 9 Пример 1. Найти колебания струны с закрепленными концами и , если при скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму треугольника с вершиной в точке A(c,h) (рис. 1). Рис. 1 Натяжение струны T0, плотность , величина Тогда функция ( ) задается формулами ( ) ( ) Функция { ( ∫ То есть ( в ( ∑ ( ) лекции, все , коэффициенты . ∑ ( ) . Коэффициенты ∫ ) предыдущей ( ) ) ) согласно условию, равна нулю. Поэтому в общем выражении для решения полученного √ . ( ) находим по формуле (4.16) предыдущей лекции ∫( ( ∫ ) ). Вычислим интегралы по частям. В первом положим тогда , . На основании этого получаем ∫ ∫ ∫ ( ) . Во втором интеграле положим , тогда На основании этого получаем ∫ ( ∫ ( ) . ∫ ( ) ( ) ) ( ) . 10 Следовательно, ( ) ( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ). ( ) . ) в формулу ( ), получаем искомое решение ∑ ) ) ( ) Подставляя выражение ( ( ) . Если число n таково, что (4.18) , то есть точка c является узлом n- той гармоники, то и в найденное решение соответствующая гармоника не входит (если n0 – наименьшее из этих чисел, то все остальные будут ему кратны). Пусть, например, струна оттянута в середине, то есть , откуда . Тогда и при всех четных значениях n точка является узлом, поэтому в решение задачи будут входить только нечетные гармоники. В этом случае решение будет иметь вид (подставляем n=2m и ( ) ( ) ( Так как ( ) ( ∑ ( ) ( ( ∑ ) ( ∑ ( ) ) ( ) ( ( ) . ) , то окончательно имеем решение ) ( ) . (4.19) , то u=h ( ∑ ) ( ) Если ( ) ) ) ( ( ) ) ) ∑ ( ( ) ) ∑ ( ) . Откуда . Выражение (4.18) для решения ( ) показывает, что амплитуда n- ной гармоники пропорциональна величине , т. е. довольно быстро убывает с возрастанием номера n. Это значит, что гармоники достаточно высоких порядков на результирующее колебание практически никакого влияния оказывать не будут. 11 Для построения формы струны в любой момент времени не обязательно производить вычисления по формуле (4.18). Можно воспользоваться явлением отражения волны от закрепленного конца струны, только нужно отразить волну от обоих концов. Чтобы произвести построение, продолжим первоначальный график струны на интервале (0, ) «нечетным» образом влево и вправо, и разобьем его на прямую волну и обратную волну. (На верхнем из рисунков 2, соответствующем моменту времени t= 0, графики обеих волн сливаются.) Затем, обычным образом строим графики прямой и обратной волн в разные моменты времени, и складываем их в интервале (0, ). Весь этот процесс, в промежутке времени рис. 2 для значения и рис. 3 для значения , изображен на . В следующий полупериод струна, пройдя в обратном порядке все отмеченные положения, вернется в первоначальное состояние (при t = 0), после чего процесс будет периодически повторяться с периодом Рис. 2. . 12 Рис. 2 и 3 показывают существенное отличие характера полученного колебания от свойств стоячей волны. Так, например, если , , то точки струны проходят положение равновесия в разные моменты времени; кроме того, струна не будет занимать положения, симметричного с первоначальным, относительно оси Ох. Рис. 3 Докажем, что функция u(x,t), определенная формулой (4.18), удовлетворяет условию ( ( ) ( ( ) ) ( ). ( ∑ ) ( ) ) ( ( ) . ) ( ) 13 ( ) ( { ) ( ) ( ( ) если четное если нечетное По формулам привидения ) ( ( ) ), ). ( Тогда ( ( ) ) ( ( )( Окончательно ( ) ) ( ) имеем ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ). ∑ ). Пример 2. Пусть в начальном положении струпа находится в покое и точкам ее, на участке от точки α до точки β, придана постоянная начальная скорость v0 (этого можно добиться, ударяя по струне на этом участке плоским жестким молоточком). Найдем колебания струны. Сохраняя предыдущие обозначения, будем иметь f(x)=0 ( ) (уже отмечалось, что функция ∫ ( ) { ( ) может быть разрывной). Коэффициенты по общей формулы (4.16) равны нулю, а коэффициенты находятся по формулам (4.17): ( ∫ ( ) ∫ ). Следовательно, ( ) ∑ ( ( ) ) В частном случае, если начальные скорости v0 получают все точки струны (α=0, β= ), то ( ) ∑ ( ) 14 ( ) { Окончательное решение примера ( ) ∑ ( ( ) ( ) ) Нетрудно найти в этом случае наибольшее отклонение струны от положения равновесия. Физически ясно, что больше всего отклонится от положения равновесия середина струны, то есть точка Выбирая еще момент времени ( ) ) ( ∑ ( ( так как. ( , получим ) ( ) ∑ ) ∑ ) ( ) . ( ) ( ) ( Ранее получено, что ∑ ) , то ( ( ( ) )) . следовательно, .