Механика жидкости и газа

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Аэрокосмический факультет Кафедра РКТ и ЭУ Лекции по дисциплине: Механика жидкости и газа Составил: стр.преп. каф. РКТ и ЭУ Лапин И.Н. Пермь 2011г. 1 Оглавление Основные понятия и определения ...........................................................................................5 1.1 Плотность .............................................................................................................................5 1.2. Вязкость ...............................................................................................................................5 1.3 Модели жидкой среды ........................................................................................................6 1.4 Ньютоновские и Аномальные жидкости...........................................................................7 1.5Силы действующие в жидкости ..........................................................................................8 1.5.1 Массовые силы .............................................................................................................8 1.5.2 Поверхностные силы ....................................................................................................9 1.5.3 Тензор напряжения .....................................................................................................10 1.5.4 Касательные напряжения ...........................................................................................13 1.6 Обобщенная Гипотеза Ньютона.......................................................................................15 2. Гидростатика ............................................................................................................................15 2.1 Равновесное состояние......................................................................................................15 2.2 Гидростатическое давление в точке ................................................................................16 2.3 Общие Дифференциальные уравнения равновесия жидкости.....................................16 2.4 Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме .................................18 2.5 Основное уравнение гидростатики в интегральной форме для несжимаемой жидкости...................................................................................................................................18 2.6 Гидростатический напор ...................................................................................................20 2.7 Определение силы давления жидкости на поверхности тел .........................................20 2.8 Плоская поверхность .........................................................................................................23 2.9 Давление Жидкости на горизонтальное дно сосуда ......................................................23 2.10 Равновесие несмешивающихся жидкостей ...................................................................24 2.11 Относительное равновесие .............................................................................................25 2.12 Равновесие Газов .............................................................................................................28 2.13 Международная стандартная атмосфера .......................................................................33 3 Основные уравнения Гидро Газодинамики ...........................................................................35 3.1Основные понятия и определения движения жидкости .................................................35 3.2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки несжимаемой жидкости .................39 3.3 Два метода исследования движения жидкости Лагранжа и Эйлера ............................40 3.4 Уравнение линии тока .......................................................................................................42 3.5 Уравнение неразрывности ................................................................................................ 43 3.6 Вихревое и безвихревое движение жидкости .................................................................43 3.7 Интегрирование уравнений Эйлера для потенциального потока в случае установившегося движения ....................................................................................................43 3.8 Уравнения Навье Стокса...................................................................................................44 4 Режимы течения........................................................................................................................45 4.1 Режимы течения.................................................................................................................45 2 4.2 Число Рейнольдса ..............................................................................................................45 4.3 Виды гидравлических сопротивлений ............................................................................47 4.2 Общая формула для потерь напора на трение при равномерном движении жидкости в трубах .....................................................................................................................................48 4.4 Особенности ламинарного и турбулентного движения жидкости в трубах................49 4.5 Ламинарное равномерное движение жидкости .............................................................. 50 4.6.Турбулентное равномерное движение жидкости в трубах ...........................................52 4.7 Касательное напряжение при турбулентном движении ................................................53 4.8 Полуэмпирические теории турбулентности ...................................................................54 4.9 Начальный участок турбулентного движения ................................................................ 55 5. Потери в потоке .......................................................................................................................56 5.1 Потери напора на трение в круглой трубе ......................................................................56 5.2 Опытные данные о распределении скоростей и потерях напора .................................57 5.3 Эмпирические формулы для коэффициента гидравлического трения ........................58 5.4 Движение жидкости в трубах некругового сечения ......................................................59 5.5 Снижение потерь напора на трение при турбулентном движении .............................. 59 5.6 Местные гидравлические сопротивления ...................................................................60 5.6.1 Внезапное расширение трубопровода ......................................................................60 5.6.2 Внезапное сужение трубопровода ............................................................................63 5.6.3.Вход в трубу через диафрагму ..................................................................................64 5.6.4.Резкое уменьшение диаметра трубы ........................................................................64 5.6.5 Постепенное расширение ..........................................................................................65 5.6.6 Постепенное сужение трубы .....................................................................................66 6.1 Циркуляция скорости ........................................................................................................67 6.2 Степенные законы распределения скоростей .................................................................67 6.3 Модели турбулентности ...................................................................................................68 7. Основы теории пограничного слоя ........................................................................................70 7.1 Понятие о пограничном слое............................................................................................70 7.2 Ламинарный погранслой ..................................................................................................73 7.3 Турбулентный погранслой ............................................................................................... 74 7.4 Отрыв пограничного слоя, и отрыв потока.....................................................................77 7.4 Методы управления пограничным слоем .......................................................................79 7.4.1 Предотвращение отрыва слоя при помощи сосредоточенного отсоса из него жидкости или ввода в слой жидкости. ..............................................................................79 7.4.2 Затягивание ламинарного участка слоя путем придания носовой части тела оптимальной формы ............................................................................................................80 7.4.3 Ламинаризация пограничного слоя при непрерывном (распределенном) отборе потока....................................................................................................................................81 7.4.4 Ламинаризация пограничного слоя при щелевом отборе ......................................81 3 8 Газодинамические процессы {Модуль 3} ..............................................................................83 8.1 Уравнения течения жидкости в трубах переменного сечения ......................................83 8.2 Уравнение неразрывности струи .....................................................................................84 8.3 Сопло Лаваля и скорость истечения ................................................................................85 8.4 Скорость звука ...................................................................................................................86 8.5 Газодинамические функции .............................................................................................87 8.5.1 ГДФ характеризующие термодинамическое состояние. ........................................88 8.5.2 ГДФ характеризующие Разгон потока (q, y, ξ) ........................................................90 8.5.3 ГДФ z, f, r – характеризуют импульс потока. .........................................................93 9 Плоский сверхзвуковой поток.................................................................................................93 9.1 Термодинамика ударных волн .........................................................................................94 9.2 Происхождение ударных волн .........................................................................................94 9.3 Ударная волна, вызванная летательным аппаратом ......................................................95 9.4 Скачки уплотнения. Образование скачков уплотнения ................................................99 9.4.1. Прямой скачок ...........................................................................................................99 9.4.2 Косые скачки уплотнения ........................................................................................100 9.5 Формы скачков уплотнения............................................................................................ 106 9.6 Критическая скорость .....................................................................................................106 9.7 Течение Прандтля Майера .............................................................................................. 106 9.8 Закон обращения воздействия ........................................................................................109 9.9 Гидравлический удар ......................................................................................................112 9.10 Истечение жидкости и газа через отверстия и насадки. ............................................115 4 Основные понятия и определения Физические свойства и параметры, характеризующие жидкость, достаточно полно изучаются в курсе физики. Поэтому в настоящем пособии рассматриваются лишь те из них, которые непосредственно связаны с явлениями и процессами, типичными для гидромеханики. 1.1 Плотность Под плотностью физически бесконечно малого объема, понимают частное от деления его массы на объем, т.е. 𝑀 𝜌= (1.1) 𝑉 Плотность выражается в кг/м3. В литературе часто оперируют понятием удельного веса, т.е. частного от деления веса частицы на ее объем 𝐺 𝑔𝑀 𝛾= = (1.2) 𝑉 𝑉 Как следует из (1.2), удельный вес выражается в Н/м3. Заменяя в (1.2)𝑀/𝑉его значением из (1.1), получаем связь между плотностью и удельным весом: 𝛾 = 𝜌𝑔 (1.3) Примеры: вода нефть бензин ртуть воздух 𝜌 = 1000 кг/м3 ; удельный вес 𝛾 = 9800 Н/м3 ; 𝜌 = 900 кг/м3 ; 𝜌 = 750 − 800 кг/м3 ; 𝜌 = 13600 кг/м3 ; 𝜌 = 1,25 кг/м3 ; 1.2. Вязкость Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению ее частиц (изменению формы = деформации). Физической причиной вязкости является молекулярное взаимодействие. Вследствие различия в молекулярной структуре жидкостей и газов различна и природа их вязкостей. В жидкостях вязкость есть проявление сил сцепления между молекулами. В газах - результат взаимодействия, обусловленный хаотическим движением молекул. Поэтому при повышении температуры в газах вязкость увеличивается за счет более интенсивного движения молекул. Наоборот, в жидкостях повышение температуры приводит к снижению вязкости, т.к. происходит увеличение среднего расстояния между молекулами. 𝑡 ↑ => вязк Ж ↓ 𝑡 ↑=> вязк Г ↓ 5 Если жидкость находится в состоянии покоя, тоскорость 𝑈 = 0, т.е. в покоящейся жидкости силы вязкости не проявляются. Это согласуется и с обычными житейскими представлениями. Действительно, для того, чтобы ответить на вопрос о том, является ли вязкой среда, налитая в сосуд, например, стакан, стоящий на столе, необходимо либо попытаться перелить ее в другой сосуд, либо, обмакнув в нее какой-то предмет, посмотреть как она стекает с него. Смысл этих действий в том, что мы интуитивно чувствуем, что требуется наблюдать движение этой среды. 1.3 Модели жидкой среды Под моделью среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и технических задач. Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели несжимаемой вязкой жидкости, которая представляет собой среду, обладающую текучестью и вязкостью, и абсолютно несжимаемую. Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе случаев с простейшими граничными условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения. Идеальная жидкость – воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость и теплопроводность. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями. Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даѐт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твѐрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Гипотеза сплошности – упрощенные модели, представляющими собой материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему, т.е. жидкость можно рассматривать как сплошную среду, лишенную молекул и межмолекулярных пространств. Одной из важнейших особенностей механики жидкости является то, что в основу ее положена так называемая модель сплошной среды. Как известно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в сравнительно малом объеме (жидкости и газы) в физике широко используются два пути: феноменологический и статистический (иногда их называют корпускулярной и континуальной моделями). Феноменологический путь изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием. При таком подходе жидкости (газы) рассматриваются как непрерывная среда, способная делиться до бесконечности. Другими словами, жидкость (газ) представляется состоящими из достаточно малых частиц непрерывным образом заполняющих пространство. Эта среда обладает свойством инерции и наделена различными физическими свойствами. В соответствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке, что позволяет при анализе движения среды применять математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, хорошо разработанный для непрерывных функций. 6 Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды. 1.4 Ньютоновские и Аномальные жидкости Ньютоновская жидкость это все жидкости подчиняющиеся закону вязкости Ньютона. К Неньютоновской жидкости относятся: литой бетон, глинистый раствор, употребляемый при бурении скважин, нефтепродукты при температуре близкой к замерзанию. Движение неньютоновских жидкостей начинается тогда когда достигается определенное минимальное значение касательных напряжений (начальное напряжение сдвига) При меньших напряжениях эти жидкости не текут а испытывают упругие деформации. В аномальных жидкостях касательное напряжение определяется по формуле Бингема 𝑑𝑢 𝜏 = 𝜏0 + 𝜇 𝑑𝑦 𝜏0 начальное напряжение сдвига. Таким образом сила трения в аномальных жидкостях возникает еще при покоящейся жидкости при стремлении к движению. На рис представлена зависимость касательных напряжений от градиента скорости. 1 нормальные жидкости, 2 аномальные. Реологические модели жидкостей Реология (от греч.. πέορ, «течение, поток»и–логия) –раздел физики, изучающий деформации и текучесть вещества. Изучает поведение различных жидкостей под нагрузкой и их динамические свойства. Классификация производится по зависимости вязких напряжений от скорости сдвига (градиента скорости) 𝜕𝑣 𝛾= 𝜕𝑧 где: 𝑣 − скорость течения; Ньютоновская жидкость – линейный закон: 𝜍 = 𝛼 ∙ 𝛾; Аномальная жидкость – нелинейная, закон степенной: 𝜍 = 𝛼 ∙ 𝛾 𝑛 ; 7 Псевдопластик:𝑛 < 1, при медленных движениях вязкость велика, затем убывает. Дилатантная жидкость: 𝑛 > 1, вязкость растѐт с увеличением скорости. Бингамовский пластик — модель Бингама подобна модели сухого трения: 𝜍= 𝜍0 + 𝛼 ∙ 𝛾 , 𝛾 > 0 −𝜍0 + 𝛼 ∙ 𝛾 , 𝛾 < 0 Хорошим примером бингамовской жидкости является краска — за счѐт действия связующих веществ возникает порог для напряжения сдвига, и она способна образовывать неподвижные слои на вертикальных поверхностях. Любые другие жидкости будут стекать вниз. Отдельным случаем неньютоновских жидкостей являются тиксотропные и реопексные жидкости, вязкость которых изменяется с течением времени. 1.5Силы действующие в жидкости Как и в механике твердого тела, в гидромеханике силы классифицируются по разным признакам: внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные. Внешние силы, действующие на жидкий объем и определяющие его движение, разделяются на массовые (объемные) и поверхностные. К ним относятся силы тяжести и силы инерции. Очевидно, что в механике жидкости могут рассматриваться лишь распределенные силы, не вызывающие деформации жидкого тела. При этом они должны быть внешними по отношению к объекту. Перевод внутренних сил в категорию внешних производится известным методом (метод сечений, либо метод «замораживания»), суть которого сводится к тому, что в среде выделяется («замораживается») замкнутый объем, внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие заменяется действием распределенных сил. Важнейшей особенностью гидромеханики как науки является то, что в ней, помимо приведенной выше классификации, силы разделяются на массовые и поверхностные. 1.5.1 Массовые силы Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна массе рассматриваемого объема. Важнейшей особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. (Непрерывно распределены по объему). В общем случае это силы, подчиняющиеся второму закону Ньютона: 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎; В проекциях на декартовы оси координат можно записать: 𝐹𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑥 ; 𝐹𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑦 ; 𝐹𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑧 ; В гидромеханике вместо𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧 принято обозначать через 𝑋, 𝑌, 𝑍. - Проекции ускорения на оси координат. Поделив обе части записанных выражений на массу, получим: 8 𝑋= 𝐹𝑦 𝐹𝑥 𝐹𝑧 ; 𝑌= ; 𝑍= ; 𝑚 𝑚 𝑚 1.5.2 Поверхностные силы В отличие от массовых, поверхностные силы действуют лишь на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема. Выделим на поверхности жидкого объема элементарную площадку ∆𝑆, ориентация этой площадки в пространстве задается внешней нормалью 𝑛. Обозначим через ∆𝑝𝑛 поверхностную силу, приложенную к площадке ∆𝑆. Предел отношения: ∆𝑝𝑛 = 𝑝𝑛 ∆𝑆→0 ∆𝑆 lim называют напряжением поверхностной силы. n pn S Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмотрении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу. В общем случае 𝑝𝑛 не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через данную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них напряжения поверхностных сил будут различны. Рис. 2.3 Физическая величина, характеризуемая в данной точке вектором 𝑝𝑛 , принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений. Таким образом, на площадку𝑑𝑆 действует поверхностная сила𝑝𝑛 𝑑𝑆, а на всю поверхность, ограничивающую объем 𝑉 𝑠 𝒑𝒏 𝒅𝑺 (2.8) Проекция 𝑝𝑛 на направление нормали называется нормальным напряжением, а проекция на площадку действия – касательным напряжением. 9 1.5.3 Тензор напряжения Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор 𝑝𝑛 . В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жидкого тетраэдра. Пусть 𝑛–внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тетраэдра , а площадь этой грани 𝑑𝑆(см. рис. 2.4). Площади других граней – соответственно: 𝑑𝑆𝑥 , 𝑑𝑆𝑦 , 𝑑𝑆𝑧 , т.к. их можно рассматривать как проекции граниABC на координатные оси. Следовательно: B z 𝑑𝑆𝑥 = 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠 𝑛, 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑑𝑆 n где: 𝑛𝑥 – направляющий косинус C A x аналогично: 𝑑𝑆𝑦 = 𝑛𝑥 𝑑𝑆; 𝑑𝑆𝑧 = 𝑛𝑧 𝑑𝑆; Обозначим объем тетраэдра𝑑𝑉, тогда действующая на него массовая сила𝜌𝐹 𝑑𝑉, а массовая сила инерции 𝜌𝑎𝑑𝑉, где 𝑎 – вектор ускорения жидкого тетраэдра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань – 𝑝𝑛 𝑑𝑆. Для трех других граней можем записать: y −𝑝𝑥 𝑑𝑆𝑥 = −𝑝𝑥 𝑛𝑥 𝑑𝑆 −𝑝𝑦 𝑑𝑆𝑥 = −𝑝𝑦 𝑛𝑦 𝑑𝑆 −𝑝𝑧 𝑑𝑆𝑧 = −𝑝𝑧 𝑛𝑧 𝑑𝑆 Знаки минус, т.к. векторы 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ,направлены в стороны, противоположные координатным осям. Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид: Массаускорение =(результирующая массовых сил)+(результирующая поверхностных сил) Имеем: 𝜌𝑎𝑑𝑉 = 𝜌𝐹 𝑑𝑉 + 𝑝𝑛 𝑑𝑆 − 𝑝𝑥 𝑛𝑥 𝑑𝑆 − 𝑝𝑦 𝑛𝑦 𝑑𝑆 − 𝑝𝑧 𝑛𝑧 𝑑𝑆 Слагаемые 𝜌𝑎𝑑𝑉 и 𝜌𝐹 𝑑𝑉 есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает: 𝑝𝑛 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥 + 𝑛𝑦 𝑝𝑦 + 𝑛𝑧 𝑝𝑧 (2.9) 10 pzz z pxz pzx pzy pxx pxy x Из этого равенства следует, что напряжение 𝑝𝑛 при произвольной ориентации нормали 𝑛 может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, OyиOz. y Рис. 2.5 Проекции векторов 𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 и 𝑝𝑧 на координатные оси x,y,z обозначаются: 𝑝𝑥𝑥 𝑝𝑦𝑥 𝑝𝑧𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑧𝑦 𝑝𝑥𝑧 𝑝𝑦𝑧 𝑝𝑧𝑧 Первый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй - ось, на которую спроектировано напряжение. Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.5. Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение (2.9) может быть записано как: 𝑝𝑛𝑥 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥𝑥 + 𝑛𝑦 𝑝𝑦𝑥 + 𝑛𝑧 𝑝𝑧𝑥 𝑝𝑛𝑦 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥𝑦 + 𝑛𝑦 𝑝𝑦𝑦 + 𝑛𝑧 𝑝𝑧𝑦 𝑝𝑛𝑧 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥𝑧 + 𝑛𝑦 𝑝𝑦𝑧 + 𝑛𝑧 𝑝𝑧𝑧 (2.9) Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в следующем виде: 𝑝𝑥𝑥 𝑝 П = 𝑥𝑦 𝑝𝑥𝑧 𝑝𝑦𝑥 𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑦𝑧 𝑝𝑧𝑥 𝑝𝑧𝑦 𝑝𝑧𝑧 В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны 𝑝𝑦𝑥 = 𝑝𝑥𝑦 , 𝑝𝑥𝑧 = 𝑝𝑧𝑥 , 𝑝𝑧𝑦 = 𝑝𝑦𝑧 . Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин. Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений 𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 , 𝑃𝑧 в соотношении (2.9), носящем имя Коши, и приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому 11 такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам. К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как какой-то оператор, с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать: 𝑎 =𝐴∙𝐵 где: 𝐵 − выходной вектор; 𝐴 − Оператор, который и называется тензором; Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор. И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости - ее вязкость - не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные 𝑝𝑥𝑥 , 𝑝𝑦𝑦 , 𝑝𝑧𝑧 , ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 2.5). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений 𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑧𝑧 , из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно - гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой 𝑝, т.е. 𝑝 = −𝑝𝑥𝑥 = −𝑝𝑦𝑦 = −𝑝𝑧𝑧 Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называемой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений. 12 1.5.4 Касательные напряжения Для уяснения того, как проявляются силы вязкости, рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Будем считать, что векторы скоростей частиц параллельны оси x. Забегая вперед, отметим, что такое течение существует в природе и носит название ламинарного. Пользуясь чисто интуитивными представлениями, установим вид распределения скоростей в поперечном сечении потока. umax b a u+du u dy b a du Рис. 2.1 Сразу же отметим, что графическое изображение распределения скоростей в поперечном сечении называют эпюрой скоростей (либо полем скоростей). Очевидно, что скорости частиц, находящихся на стенках трубы, равны нулю и возрастают по мере приближения к оси (на оси𝑢 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 ) как это показано на рис. 2.1. Рассмотрим два слоя жидкости (a-aи b-b), расположенные на расстоянииdy. Пусть слой a-a движется со скоростью u, тогда, как следует из эпюры, слой b-bимеет скорость u+du. Таким образом, на верхней и нижней гранях прямоугольной жидкой частицы, расположенной между слоями, скорости различны, что в соответствии с законами механики должно привести к ее деформации. Заметим, что такое движение в гидромеханике называют простым сдвигом, либо течением чистого сдвига. Взаимодействие молекул через этот элемент приводит к появлению касательной составляющей напряжения. Величина силы трения, возникающая между слоями движущейся жидкости, определяется по формуле, предложенной Ньютоном и подтвержденной многочисленными и тщательно поставленными опытами нашего соотечественника профессора Н.П.Петрова. Эта формула имеет вид: 𝐹тр = 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑆 (2.4) где: 𝑆– площадь поверхности соприкасающихся слоев; 𝜇 – динамическая вязкость, зависящая от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления. Динамическая вязкость выражается в Пас. В технических приложениях часто используется кинематическая вязкость, представляющая собой отношение 𝑣= не динамическая, 𝜇 𝜌 а (2.5) Кинематическая вязкость выражается в м2/с. (или Стокс 1 м2/с=1*104Ст) 13 Величина кинематической вязкости для воды в нормальных условиях можно принять 1*106 м2/с Величина 𝑑𝑢 𝑑𝑦 характеризует темп изменения скорости. Иногда эту величину называют поперечным градиентом скорости. Разделим правую и левую части (2.4) на S. Отношение 𝐹тр /𝑆 есть не что иное, как касательное напряжение𝜏, т.е. 𝜏=𝜇 𝑑𝑢 (2.6) 𝑑𝑦 Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это способность ее оказывать сопротивление касательным напряжениям. dl y И, наконец, установим физический смысл поперечного градиента скорости, для чего рассмотрим жидкую частицу, показанную на рис. 2.2. Вследствие разности скоростей на верхней и нижней гранях, первоначально прямоугольная частица будет деформироваться и превращаться в параллелограмм. Отрезок dl характеризует величину деформации за время dt, т.е.𝑑𝑙 = 𝑑𝑢 ∙ 𝑑𝑡, тогда: u+du  dy u x 𝑑𝑢 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑢 𝑡𝑔𝛾 = , но = 𝑡𝑔𝛾, тогда = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Следовательно, поперечный градиент скорости представляет собой скорость относительной деформации сдвига. Таким образом, касательное напряжение в жидкости линейно зависит от скорости относительной деформации. В этом принципиальное отличие жидкости от твердого тела, в котором касательные напряжения зависят от величины деформации, а не от ее скорости. 14 1.6 Обобщенная Гипотеза Ньютона Закон Ньютона о трении в жидкости. Закон о внутреннем трении следующем виде: в жидкости был сформулирован Ньютоном в Сила трения между слоями прямолинейно движущейся жидкости, во-первых зависит от механических свойств жидкости. Во-вторых, пропорциональна величине площади соприкосновения слоев; в третьих пропорциональна относительной скорости движения слоев и в, четвертых, непосредственно не зависит от нормального к площади соприкосновения слоев напряжения. 𝐹тр = 𝜇 𝑑𝑢 𝑆 𝑑𝑦 Трение в жидкости резко отличается от трения между твердыми поверхностями, которое прямо пропорционально нормальной силе и весьма мало зависит от относительной скорости движения этих поверхностей. Согласно закону Ньютона напряжение трения в вязкой жидкости при прямолинейном движении ее пропорционально угловой скорости сдвига. Так же исследования показали, что закон Ньютона справедлив так же и для криволинейного движения жидкости. Закон В основном справедлив для низких скоростей движения (ламинар.) но при некоторых добавочных коэффициентах так же хорошо применяется для быстр потоков (турбулент.) 2. Гидростатика Гидростатика занимается изучением жидкости, находящейся в состоянии относительного покоя. Под относительным покоем понимают состояние, при котором отсутствуют перемещения частиц относительно друг друга. В основу гидростатики положены две теоремы: равенство нулю суммы всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу жидкости и, как следствие, равенство нулю суммы моментов этих сил относительно какой-то оси. Однако, несмотря на простоту принципов, гидростатика приводит к важным результатам и выводам. 2.1 Равновесное состояние Если на некоторую массу жидкости не действуют внешние силы, то каждая частица этой массы остается в покое или движется прямолинейно с одинаковой для всех частиц скоростью, так что взаимное расположение частиц остается неизменным. Такое механическое состояние массы жидкости называется равновесным. 15 - В жидкости находящейся в равновесии, касательные и растягивающие усилия отсутствуют. Или - Внешние силы должны действовать в точках граничной поверхности только по внутренним нормалям к этой поверхности. - На выделенный объем действуют только Нормальные усилия, которые соответствуют Гидростатическим давлениям. 2.2 Гидростатическое давление в точке Рассмотрим площадкуΔs на которую Действует сила ΔP рис. 2.2 рис. 2.2 ∆𝑃 Отношение 𝑝 = ∆𝑠 представляет собой напряжение т.е. силу прихоядщуюся на единицу площади. Так как при равновесии жидкости ΔP является сжимающей силой то p представляет собой среднее для данной площадки напряжение сжатия, которое называют средним гидростатическим давлением на площадке. Для получения точного значения в данной точке необходимо взять пердел этого отношения при Δы стремящейся к 0 это и есть гидростатическое давление в данной точке ∆𝑃 𝑝 = lim ∆𝑠→0 ∆𝑠 Размерность p равна напряжению [Па] или [кгс/м2] 2.3 Общие Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Уравнение Эйлера Из находящейся в равновесии жидкости выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельные осям координат, и составим для него уравнения равновесия. На такой объем жидкости будут действовать объемные силы, проекции которых на оси координат, рассчитанные на единицу массы есть – Х,Y,Z и на боковых гранях – нормальные силы гидростатических давлений. Выясним их величины. 16 Пусть величина гидростатического давления в центре параллелепипеда равна p. Тогда, так как p(x, y, z) есть непрерывная функция координат, величины гидростатических давлений в точках M и N, расположенных в центре площадок 2-4-4’-2’ и 1-1’-3’-3, находим из разложения указанной функции в ряд Тейлора. pM  p  1 p 1 p dx , p N  p  dx . 2 x 2 x Принимая их за средние гидростатические давления на указанных площадках и проектируя на ось ОХ все силы, действующие на элементарный параллелепипед, получим. (p 1 dp 1 dp dx )dydz  ( p  dx )dydz  Xpdxdydz  0 2 dx 2 dx Отсюда pX  p 0 x Аналогично получим остальные два уравнения. Запишем все три уравнения вместе. 1 p  0;  x 1 p Y  0;  y 1 p Z  0;  z X (2.1) В векторной форме эта система может быть записана в форме 17  1 F  grad p  0  (2.2) Уравнения (2.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что при равновесии жидкости объемные силы, действующие на жидкость, уравновешиваются соответствующими поверхностными силами. 2.4 Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которой она расположена. (основная теорема Гидростатики). px=py=pz=pn Где px, py, pz – гидростатическое давление по направления координатных осей, а pn- по произвольному направлению. В диф форме: dp    Xdx  Ydy  Zdz (2.4) Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Гидростатическое давление в точке будучи одинаковым по любому направлению, не одинаково в различных точках пространства то есть является функцией координат. p=f(x,y,z) 2.5 Основное уравнение гидростатики в интегральной форме для несжимаемой жидкости Возьмем сосуд с жидкостью представленный на рис 2.5 жидкость находится в покое. Из всех объемных сил на него будут действовать только сила тяжести. Тогда проекции ускорений на оси ay=Y и ах=X будут равны 0, а az=Z = -g Атмосферное давление воздействующее на поверхность жидкости = p0 Подставляем эти значения в осн. ур. в диф. Форме 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 18 Интегрируем данное выражение 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔 𝑧 𝑑𝑧 𝑧 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = С=const Чтобы определить постоянную интегрирования С рассмотрим сосуд с жидкостью. Для точки находящейся на поверхности p=p0 и z=z0. Тогда находим сто постоянная интегрирования равна С = 𝑝0 + 𝜌𝑔𝑧0 Тогда основное уравнение гидростатики запишется в виде. 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑝0 + 𝜌𝑔𝑧0 Или 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔(𝑧0 − 𝑧), или 𝒑 = 𝒑𝟎 + 𝜸(𝒛𝟎 − 𝒛) Вместо разницы координат z0-z для жидкости удобнее ввести глубину h погружения точки под уровень свободной поверхности. При этом для гидростатического давления в данной точке несжимаемой жидкости будем иметь: р = pо + γh (2.6) Это и есть уравнение гидростатики для несжимаемой жидкости, когда из объемных сил на нее действуют только силы тяжести. Входящее в него давление ро на свободной поверхности называется начальным гидростатическим давлением, а давление р' = γh = ρgh — избыточным гидростатическим давлением. Таким образом, полное гидростатическое давление р данной точке несжимаемой жидкости складывается из начального и избыточного гидростатических давлений, т. е. р = ро + р' (2.7) Из формулы (2.6) следует, что величина избыточного гидростатического давления в данной капельной жидкости зависит только от глубины погружения точки и прямо пропорциональна ей. Избыточное давление может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (2.7) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е. pабс.  pбар.  pизб. (2.8) Отрицательное избыточное давление называют вакуумом. 19 2.6 Гидростатический напор z p g  z0  p0 (2.9) g В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью отсчета, т.е. z - это геометрический напор; Сумму этих величин p - пьезометрический напор. g p z называют гидростатическим g напором. Чтобы уяснить физический смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 2.2. Представим герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся C C под давлением. Выберем в этом сосуде две pA произвольно расположенные точке А и Ви, g опять-таки произвольно, горизонтальную pB плоскость О–О, которую назовем плоскостью g A отсчета. Координаты частиц, расположенных в точках А и В будут ZA иZB. В соответствии zA B со сказанным выше, величины ZA и ZB zB выражают геометрический напор. Введем O O теперь через крышку сосуда в точки А и В сообщенные с атмосферой стеклянные Рис. 2.2 трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам. Не представляет труда и ответ на вопрос о том, когда прекратится подъем. Очевидно, что это произойдет в тот момент, когда высота столба жидкости уравновесит давление в рассматриваемой точке. Это и есть пьезометрическая высота, либо пьезометрический напор. Соотношение (2.9) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его можно записать как z p  const g т.е. для любых точек жидкости гидростатический напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на одной и той же высоте (плоскостьC–C на рис. 2.2). Уравнение (2.9) выражает так называемый гидростатический закон распределения давления. 2.7 Определение силы давления жидкости на поверхности тел 20 Задача сводится к нахождению силы давления жидкости на поверхности стенок, ограничивающих ее. Рассмотрим криволинейную поверхностьABпроизвольной формы, площадь которой 𝑆(рис. 2.3). Выделим на ней элементарную площадкуdS, пусть внешней нормали. Сила, действующая на эту площадку  n - направлен по   dF  pndS гдеp - гидростатическое давление в центре площадки. Обычно в технических приложениях интерес представляет лишь сила, возникающая от избыточного давления. Имея в виду, что p   gh , получаем   dF   g hndS (2.14) На всю площадь действует сила   F    g hndS (2.15) S Рис. 2.3 Запишем это выражение в проекциях на оси координат, что дает   Fx   g  hcosn, x dS (2.16) S   Fz   g  hcosn, z dS (2.17) S Для удобства изобразим отдельно элементарную площадку (см. рис. 2.4). Из рисунка следует, что   dS  cosn, x   dS    dS  cosn, z   dS  где dSZ - вертикальная, и dSX - горизонтальная проекции dS. Таким образом: Fx   g  h  dS  (2.18) S Рис. 2.4 Fz   g  h  dS  (2.19) S Рассмотрим горизонтальную составляющую. 21 Из механики известно, что интеграл (2.18) есть статический момент площади, равный произведениюhцт, SX, где hцт - координата центра тяжести вертикальной проекции. Следовательно, Fx   g hцт. S  (2.20) т.е. горизонтальная составляющая равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой проекции. Определим теперь вертикальную составляющую силы, для чего воспользуемся следствием из формулы Гаусса-Остроградского   pndS   grad pdV S V Из уравнения равновесия (3.2) имеем   F  grad p , т.е.   grad pdV    F dV V V Вертикальная проекция единичной массовой силы данном случае ось z ориентирована вниз). Следовательно,  F Z g (знак плюс, т.к. в Fz    g dV   g  dV   gV V V Fz=ρgV (2.21) V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления. Для нахождения этого объема следует использовать формальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность (либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проектирующими плоскостями. На рис. 2.5 показаны примеры определения тел давлений для двух случаев. Как следует из рисунка, тело давления может быть как положительным, так и отрицательным (фиктивным). Рис. 2.5 22 2.8 Плоская поверхность Этот случай можно рассматривать как частный предыдущего, но можно получить и более удобное соотношение. Действительно, общее выражение для силы давления имеет вид (2.15), но так как поверхность плоская, то ориентация нормали для всех ее точек остается одинаковой, и, следовательно, F   g hцт. S (2.23) Сила с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения центра тяжести этой площадки под уровень свободной поверхности. Следует отметить, что задачи, связанные с определением сил давления на поверхности, играют исключительно важную роль в гидротехнической практике. Применительно к энергетике и машиностроению круг этих задач заметно сужается и ограничивается, главным образом, расчетом болтовых соединений люков различных резервуаров, находящихся под давлением. 2.9 Давление Жидкости на горизонтальное дно сосуда Согласно формуле (2.23) сила давления жидкости на горизонтальное дно сосуда равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием равным площади дна, и высотой, равной глубине этого сосуда. На рисунке представлены 3 различных сосуда по форме, однако, с равными площадями дна. Поэтому, несмотря на разную. Форму сосудов, давление жидкости на дно будет одинаковым во всех трех случаях. 23 2.10 Равновесие несмешивающихся жидкостей Поверхность уровня – это поверхность все точки которой имеют одинаковое значение рассматриваемой функции (температура, потенциал) Поверхность равного давления будем называть поверхностью уровня. Свойства поверхности: 1. Две поверхности уровня не пресекаются. Т.к p1<>p2 2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня. 3. Поверхность уровня есть горизонтальная поверхность. Предположим, что две несмешивающиеся между собой жидкости с различной плотностью помещены в одном и том же резервуаре и находятся в равновесии. В таком случае и поверхностьих раздела будет также неподвижна. Определим вид такой поверхности. Свободная поверхность является поверхностью уровня (во всех ее точках давление равно р 0 ) , т. е. представляет собой горизонтальную плоскость. Рассмотрим условия равновесия на неподвижной поверхности раздела жидкостей с плотностями ρ1 и ρ2. Предположим, что поверхность раздела занимает положение, как показано на рис. 1.11. Напишем основное дифференциальное уравнение для жидкости: с плотностью 𝜌1 𝑑𝑝 = −𝜌1 𝑔𝑑𝑧 и с плотностью 𝜌2 𝑑𝑝 = −𝜌2 𝑔𝑑𝑧 Возьмем на поверхности раздела две точки (точки МиМ 1 на рис. 1 . 1 1 ) . При переходе от одной точки к другой давление р меняется на величину dpи поэтому в указанных выше равенствах dpбудет одним и тем же по величине. 24 Тогда: 𝜌1 𝑔𝑑𝑧 = 𝜌2 𝑔𝑑𝑧 или 𝑔𝑑𝑧(𝜌1 − 𝜌2 ) Так как g≠0то, если p1 ≠ p2, то dz=0и, следовательно, для поверхности раздела справедливо z=const, т. е. поверхность раздела в этом случае может быть только горизонтальной, Тот же результат был бы получен и при рассмотрении условий равновесия на поверхностях раздела других жидкостей, находящихся в резервуаре. Итак, приходим к общему заключению, что при равновесии несмешивающихся жидкостей поверхности их раздела будут горизонтальными плоскостями. Жидкости при этом расположатся по высоте (считая сверху вниз) в порядке возрастания их плотностей, что следует непосредственно из общих условий устойчивого равновесия механической системы в поле тяготения: центр тяжести системы расположенные в наиболее низкой точке, или, иначе, потенциальная энергия системы должна быть минимальной. 2.11 Относительное равновесие Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой и вся масса жидкости движется как твердое тело. Например, вообразим, что некоторый замкнутый резервуар (наполненный жидкостью) движется с постоянной скоростью (или постоянным ускорением) в любом направлении и с этой же скоростью (или ускорением) движется также и каждая частица жидкости, находящейся в резервуаре. Очевидно, что рассматриваемая масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с движущимся резервуаром. Такое движение жидкости представляет собой относительное ее равновесие. Рассмотрим два практически наиболее интересных случая: движение по вертикали и вращательное движение относительно вертикальной оси. 1. Движение по вертикали Допустим, что открытый резервуар вместе с находящейся в ней жидкостью движется в вертикальном направлении сверху вниз с некоторым постоянным ускорением j, меньшим ускорения свободного падения g или равным ему (рис. 1.14). Определим вид поверхности уровня и закон распределения гидростатического давления. Заметим предварительно, что, согласно принципу даламбера, при любом движении тела можно пользоваться уравнениями статики, если к системе действующих сил прибавить силы инерции (они направлены в сторону, противоположную направлению движения). Такая система сил будет уравновешена, и тело можно считать находящимся в равновесном состоянии. Следовательно, мы можем воспользоваться уравнением поверхности уровня: 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0 25 рис. 1.14 Чтобы написать уравнение поверхности уровня для данного случая, определим X, Y и Z. Ускорениями действующих сил будут ускорения свободного падения g (9,81 м/с2) и ускорение сил инерции jи. Оба ускорения направлены параллельно оси Oz. Следовательно, проекции этих ускорений на оси хну равны нулю: Х=0 и Y=0, а 𝑗и 𝑍 = −𝑔 + 𝑗и = − 𝑔 − 𝑗и = −𝑔(1 − ) 𝑔 Итак, уравнение поверхности уровня в дифференциальной форме примет следующий вид: −𝑔 1 − 𝑗и 𝑑𝑧 = 0 𝑔 Если 𝒋 ≠ 𝒈, 𝑗и 𝑑𝑧 = 0 𝑔 Интегрируя, находим z = const. А это значит, что - поверхность уровня будет горизонтальной плоскостью. т. е. 𝑔 1 − Если j=g, то 𝑗и 𝑔 =1 и тогда dz может быть и не равным нулю, следовательно, форма свободной поверхности может быть произвольной. То есть при падении с ускорением g (свободное падение) жидкость в невесомости, значит форма поверхности произвольная. Определим закон распределения Гидростатического давления. В условиях спуска по вертикали с ускорением j закон распределения гидростатического давления будет таким же, как и в обычных условиях равновесия жидкости в поле земного тяготения, р = pо + γ,h но с тем отличием, что в подвижной системе координат удельный вес меньше, причем, если j=g, т. е. при свободном падении, объемный вес γ'=0. Жидкость стала «невесомой». 𝑗 𝛾 , = 𝛾(1 − и ) 𝑔 26 2. Статическое вращение жидкости Предположим, что цилиндр с водой, налитой до глубины zо, приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω, с-1 (рис. 2.15). Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращательное движение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости — и всю ее массу. По истечении известного времени все частицы жидкости будут вращаться примерно с одной и той же угловой скоростью ω.Допустим, что такой момент времени наступил. Определим форму поверхности уровня и, в частности, свободной поверхности.Как и в первой задаче, будем исходить из общего дифференциального уравнения поверхности уровня 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0 Так как движение симметрично относительно оси вращения, то рассмотрим равновесие частиц жидкости, расположенных в плоскости координат xOz, вращающейся с угловой скоростью ω. Как и в предыдущей задаче, объемными силами будут силы земного тяготения и силы инерции. Последняя представляет собой центробежную силу, направленную параллельно оси Ох и в сторону от оси вращения. В точке М на расстоянии х от оси Oz линейная скорость частицы u=хω, поэтому для нее центробежное ускорение𝑥𝜔2 𝑗и = 𝑥𝜔2 = 𝜔2 𝑥 𝑥 и следовательно полное ускорение внешних объемных сил: 𝑗п = 𝑔2 + (𝑥𝜔 2 )2 Очевидно, что в данном случае: 27 𝑋 = 𝑥𝜔2 ; 𝑌 = 0; 𝑍 = −𝑔 Делая подстановку получим: 𝜔2 𝑥𝑑𝑥 − 𝑔𝑑𝑧 = 0 или 𝑑𝑧 = 𝜔2 𝑥𝑑𝑥 𝑔 и после интегрирования 𝜔2 2 𝑧= 𝑥 +𝐶 𝑔 что представляет собой уравнение параболы с вершиной на оси Oz в точкеА, имеющей координату zi=h. Поскольку уравнение симметрично относительно оси Oz, то поверхность уровня будет представлять собой параболоид вращения. Запишем закон распределения давления: рабс=ратм+pизб 𝑝изб = 𝛾(𝐻 − 𝑧) 𝐻= 𝑝изб (𝜔𝑥)2 +𝑧 =𝑕+ 𝛾 2𝑔 В качестве примеров можно решить задачи 1.2, и 1.3 на странице 50 Уч. Альтшуль – Гидравлика и Аэродинамика. 2.12 Равновесие Газов Основные уравнения и поверхность уровня Как отмечалось выше, газы относятся к сжимаемым жидкостям, и уравнения равновесия и движения газов отличаются от "таковых для жидкости лишь тем, что они должны учитывать сжимаемость газов. Поэтому полученные ранее дифференциальные уравнения равновесия являются общими для жидкости и газов. Итак, для газов справедливы: дифференциальное уравнение равновесия 𝑑𝑝 = 𝜌(𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧) характеристическое уравнение 𝜌 = а(𝑝, 𝑡 0 ) И уравнение поверхности уровня 28 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0 Рассмотрим равновесие газов в условиях земного тяготения и решим основную задачу — распределение гидростатического давления, т. е. определим функцию p=f(x,у,z). Поверхность уровня. Расположим координатную систему так, чтобы оси Ох и Оу были горизонтальны, а ось Oz была направлена вверх. Тогда проекции ускорения объемной силы (силы земного тяготения) соответственно равны: Х = 0, Y=0 и Z = – g (рис.1) Подставляя эти значения в уравнение поверхности уровня, получим (также, как и для жидкости) −𝑔𝑑𝑧 = 0 (II. 1) и, интегрируя это уравнение, найдем – gz = const или z= C , т. е. уравнение семейства горизонтальных плоскостей (например, А на рис. II.1). Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остается неизменным. Например, в некоторой замкнутой камере (рис. II.2) давления в точках А и В плоскости п—п равны между собой (РА = РВ). Но эти давления могут отличаться от давления наружного воздуха РС в точке С. Итак, при равновесии газа гидростатическое давление в точке изменяется только с высотой расположения этой точки Р=f(z). Эту зависимость находим путем совместного решения основного дифференциального уравнения гидростатики и характеристического уравнения. Как известно из введения, последнее определяет собой связь между плотностью, давлением и температурой, которая устанавливается законами термодинамики. Напомним еще раз эти законы, Уравнение состояния газа записывается в виде: 𝑝 𝑝 = 𝑅𝑇 или = 𝑅 ′ 𝑇 ∗ 𝜌 𝛾 Здесь R– удельная газовая постоянная [для воздуха R = 287,14 Дж/(кг·К)]; R’ = R/g (для воздуха R’ = 29,27м/К); p – гидростатическое давление в точке, Па; Т – температура, К(𝑇 = 273 + 𝑡℃); 𝜌 − плотность, кг/м3 ; 𝛾 – удельный вес, Н/м 29 Изотермический процесс— процесс изменения давления и объема газа при поддержании одной и той же его температуры. В уравнении состояния 𝑝𝑣Г = 𝑅 ′ 𝑇 где: 𝑣Г – удельный объем, т.е. объем массы газа которой равен 1 Н; [v] = [м3/Н] и температура T = const. Тогда уравнение состояния определяется законом Бойля–Мариотта 𝑝𝑣Г = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜌 В этом случае масса газа при изменении объема или отдает тепловую энергию (при сжатии), или получает ее извне (при расширении). Таким образом, изотермический процесс сопровождается теплообменом. Адиабатический процесс представляет собой случай изменения давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид: 𝑝 𝑝0 𝑝 𝑝0 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝛾 𝑘 𝛾0𝑘 𝜌𝑘 𝜌0𝑘 где: k– показатель адиабаты (для воздуха обычно принимают 𝑘 = 1,4 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡). Адиабатический процесс является частным случаем более общего политропического процесса, уравнение которого записывается в виде: 𝑝 𝑝0 𝑝 𝑝0 = 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или 𝑛 = 𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑛 𝛾 𝛾0 𝜌 𝜌0 Распределение давления и температуры В связи с указанными особенностями характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следующих трех предположениях: а) плотность постоянна 𝜌 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 независимо от теплового режима; б) плотность изменяется, подчиняясь изотермическому закону (Т=const), при этом 𝜌= 𝑝 𝑝 = ′ 𝑔𝑅 𝑇 𝑅𝑇 в) плотность изменяется по политропному закону, при этом: 30 𝜌 = 𝜌0 𝑝 𝑝0 1/𝑛 Распределение давления при «а)» 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. В этом случае распределение давления в покоящейся газовой среде аналогично таковому для жидкости. Действительно, так как в поле земного тяготения и принятом нами расположении координатных осей проекции ускорения объемной силы (силы земного тяготения) соответственно равны 𝑋 = 0,𝑌 = 0, 𝑍 = −𝑔, то основное дифференциальное уравнение гидростатики имеет вид: 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 или 𝑑𝑝 + 𝑔𝑑𝑧 = 0 𝜌 Интегрируя с учетом 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, получим: 𝑝 𝑝0 = + 𝑔 𝑧0 − 𝑧 𝜌 𝜌 Из этого уравнения видно, что давление убывает с увеличением высоты расположения данной точки. Распределение давления при «б)» изотермическом процессе (t=const) В этом случае основное дифференциальное уравнение получит вид 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 = −𝑔 𝑝 𝑑𝑧 𝑅𝑇 или после разделения переменных 𝑑𝑝 𝜌 Интегрируя это уравнение, находим (при 𝑅𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) 𝑔𝑑𝑧 = −𝑅𝑇 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 = −𝑅𝑇 𝑙𝑛𝑝2 − 𝑙𝑛𝑝2 = 𝑅𝑇𝑙𝑛 𝑝1 𝑝2 (II.3) Обозначая 𝑧2 − 𝑧1 = 𝑕, где h – превышение интересующей нас точки 2 над точкой 1, тоже уравнение запишем в виде: 𝑔𝑕 = 𝑅𝑇𝑙𝑛 𝑝1 𝑝2 (II.4) В этом уравнении для воздуха R=287,14 Дж/(кг*К). 31 Таким образом, при изотермическом процессе увеличение высоты расположения точки при изменении давления следует логарифмическому закону. Эта же зависимость может быть представлена и в такой форме: 𝑒 𝑔𝑕/𝑅𝑇 = 𝑝1 𝑝2 Полагая давление 𝑝1 = 𝑝0 ,т. е. равным атмосферному на уровне моря, и, следовательно, понимая h как превышение данной точки над уровнем моря, можем написать в общей форме 𝑝 = 𝑝0 𝑒 −𝑔𝑕/𝑅 откуда видно, что изменение давления при экспоненциальному закону и при p→0 высота h→∞ изменении высоты следует Распределение давления при «в)» политропном процессе 𝑝 1 𝜌 = 𝜌0 ( )𝑛 𝑝0 В общей форме запишем закон распределения давления при политропном процессе: 𝑔𝑧 + При n=k=1.41 𝑛 𝑝 𝑛 𝑝0 ∙ = 𝑔𝑧0 + ∙ 𝑛−1 𝜌 𝑛 − 1 𝜌0 𝑛 1.41 = = 3.4 𝑛 − 1 0.41 𝑔𝑕 = 𝑧 − 𝑧0 𝑔 = 3,4( 𝑝0 𝑝 − ) 𝜌0 𝜌 Для адиабатического процесса имеем частную формулу с численными коэффициентами: 𝑔𝜌0 𝑕 𝑝0,29 = 𝑝0 − 3.4𝑝00.71 Распределение температуры «в)» политропном процессе Запишем закон распределения давления при политропическом процессе: 𝑔𝑧 + 𝑛 𝑛−1 𝑝 𝑛 𝜌 𝑛−1 ∙ = 𝑔𝑧0 + ∙ 𝑝0 𝜌0 (II.8a) По уравнению состояния имеем 𝑝 𝑝0 = 𝑅𝑇 и = 𝑅𝑇0 𝜌 𝜌 Подставляя эти значения в уравнение (II.8a), найдем 32 𝑔𝑧 + 𝑛 𝑛 𝑅𝑇 = 𝑔𝑧0 + 𝑅𝑇 𝑛−1 𝑛−1 0 что и представляет собой закон распределения температуры. Обозначая, как правило, буквой h разность 𝑧 − 𝑧0 , находим откуда 𝑛 𝑛 𝑅𝑇 = 𝑅𝑇 − 𝑕𝑔 𝑛−1 𝑛−1 0 𝑇 = 𝑇0 − 𝑛−1 𝑛𝑅 𝑕𝑔 (II.10) На формулы (II.10) следует; что изменение температуры по высоте происходит по линейному закону. Для адиабатического процесса 𝑛 = 1,4 и тогда при 𝑅 = 287,14 Дж/(кг ∙ К) получим: 𝑇 ≈ 𝑇0 − 0,01𝑕 Отсюда видим, что с увеличением высоты на 100 м температура воздуха понижается на 10 2.13 Международная стандартная атмосфера Международная стандартная атмосфера (сокр. МСА, англ. ISA) — ожидаемое вертикальное распределение температуры, давления и плотности воздуха в атмосфере Земли, которое по международному соглашению представляет среднегодовое и среднеширотное состояние. Основой для расчѐта параметров МСА служат уравнения статики атмосферы и состояния идеального газа. В МСА за начало отсчета высоты принят уровень Мирового океана при следующих нормальных условиях: ускорение свободного падения g0=9,807 м/с2; давление p 0=101325 Па (760 мм рт.ст.); плотность 𝜌 =1,2257 кг/м3; температура T0=288 К (t0=15 ℃); скорость звука a0=340 м/с. Температура уменьшается по вертикали с увеличением высоты на 6,5 °C на 1 км до уровня 11 км (условная высота начала тропопаузы), где температура становится равной −56,5 °C и почти перестаѐт меняться. Атмосфера стандартная, ГОСТ 4401-81 33 34 3 Основные уравнения Гидро Газодинамики 3.1Основные понятия и определения движения жидкости Движение жидкостей может быть разделено на установившееся и неустановившееся. Движение называется установившимся, если все характеристики движения в одной и той же точке пространства (в том числе и скорость) не меняются во времени. Движение, не удовлетворяющее этому определению, называется неустановившимся. Примером установившегося движения может служить истечение жидкости из отверстия в стенке резервуара под постоянным напором 𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 или истечение газа из отверстия замкнутого резервуара, давление и температура в котором поддерживаются неизменными. Примером неустановившегося движения является опорожнение резервуара при переменных значениях напора или давления. Рассмотрим законы только установившегося движения – это сложный физический процесс, поэтому для облегчения теоретических решений обычно вводятся различные схемы и модели, заменяющие реальный поток жидкости. Существенно важным является понятие о элементарной структуре течения жидкости, в соответствии с которым поток представляется как совокупность элементарных струек, вплотную прилегающих друг к другу и образующих сплошную массу движущейся жидкости. Линия тока и элементарная струйка Линией тока называется линия, проходящая через последовательно движущиеся одна за другой частицы жидкости, векторы скоростей которых направлены по касательным к этой линии М—М (рис. III.1). Линия тока и траектория движения частицы в общем случае (т. е. при неустановившемся движении) не совпадают одна с другой, но совпадают при установившемся движении. Это положение удобно иллюстрировать на примере, изображенном на рис. III. 2. Здесь при истечении жидкости из отверстия резервуара вытекающая струя непрерывно меняет свое положение во времени. 35 На рисунке даны три положения струи соответственно для трех моментов времени t1, t2и t3, для которых условно изображены три линии тока 1, и, кроме того, отмечены три положения частицы М для тех же моментов времени и пунктиром указана траектория 2 этой частицы. Две различные линии тока не пересекаются между собой. Элементарной струйкой называется струйка, боковая поверхность которой образована линиями тока, проходящими через точки очень малого (в пределе — бесконечно малого) замкнутого контура. Таким образом, эта струйка оказывается изолированной от окружающей ее массы жидкости и имеет малую площадь поперечного сечения ∆ω (в пределе dω), которая может меняться по длине. Длина этой струйки неограниченна. Боковая поверхность струйки непроницаема для жидкости, т.е. ее можно представить в виде трубки, внутри которой течет жидкость. Основные виды движения. Расход жидкости Движение может быть равномерным и неравномерным, сплошным и прерывистым. При равномерном движении величина скорости не меняется по длине струйки, в противном случае движение называется неравномерным. Обратимся к понятию о расходе жидкости Пусть в некотором поперечном сечении элементарной струйки скорость равна u. За время dtчастицы жидкости переместятся на расстояние ds = udt. Следующие за ними частицы жидкости заполнят все освобождаемое пространство, и поэтому за указанное время dtчерез поперечное сечение пройдет объем жидкости: 𝑑𝑊 = 𝑑𝑠𝑑𝜔 = 𝑢𝑑𝜔𝑑𝑡 Где 𝑑𝜔- площадь поперечного сечения Объем жидкости, протекающей через сечение за единицу времени, называют объемным расходом жидкости. Обозначая расход элементарной струйки через dQ, получим для него выражение 𝑑𝑄 = 𝑢𝑑𝜔 Рассмотрим такое движение жидкости, при котором в потоке не возникает пустот (т. е. текущая жидкость представляется сплошной средой). В этом случае для двух соседних сечений элементарной струйки несжимаемой жидкости 1 и 2 (на рис. III.3) можем написать 𝑑𝑄1 = 𝑢1 𝑑𝜔1 и аналогично 𝑑𝑄2 = 𝑢2 𝑑𝜔2 По условию сплошности течения dQ1не может быть меньше dQ2, иначе между сечениями I и IIобразовалась бы пустота, так как в этом случае из сечения // выходило бы большее количество жидкости, чем входит через сечение /. Точно так же dQ1не может быть больше dQ2. Следовательно, единственно возможное условие: dQ1=dQ2. Повторяя эти рассуждения применительно к другим сечениям струйки, можем написать 𝑑𝑄1 = 𝑑𝑄2 = ⋯ = 𝑑𝑄𝑛 = 𝑑𝑄 или 36 𝑑𝑄 = 𝑢𝑑𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Таким образом объемный расход жидкости остается неизменным на всем протяжении данной элементарной струйки. В случае сжимаемой (газообразной) жидкости требование к установлению равенства между собой количества массы жидкости, протекающей через соседние сечения (массового расхода), или равенства весового расхода, т. е. dQρ= ρudω или dQγ = γudω. Расход потока жидкости равен алгебраической сумме расходов элементарных струек, составляющих данный поток. Скорость жидкости в различных точках поперечного сечения потока, так называемая местная скорость, очевидно, может быть неодинаковой, поэтому для характеристики движения всего потока вводится в рассмотрение средняя по всему сечению скорость потока. Средняя скорость определяется выражением 𝑣= 𝑢𝑑𝜔 𝜔 = 𝑄 𝜔 (III.4) из которого следует, что расход потомка жидкости равен средней скорости, умноженной на площадь его поперечного сечения: 𝑄 = 𝑣𝜔 В связи с этим условие сплошности потока (или неразрывности течения) для несжимаемой жидкости можно записать в виде: 𝑄 = 𝑣𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (III.5) для газообразной жидкости, обозначая через Q π массовый и через Qγ весовой расходы, имеем: 𝑄𝜌 = 𝜌𝑣𝜔 и 𝑄𝛾 = 𝛾𝑣𝜔 и тогда условие сплошности приобретает следующий вид: 𝑄𝜌 = 𝜌𝑣𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑄𝛾 = 𝛾𝑣𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 В гидравлических расчетах для характеристики размеров и формы поперечного сечения потока вводятся понятия о живом сечении и его элементах: смоченном периметре и гидравлическом радиусе. Живым сечением называют часть поперечного сечения канала (трубы), заполненную жидкостью. Так, в круглой трубе диаметром d(рис. Ш.4,а) живое сечение потока меньше площади круга, если не все сечение трубы заполнено жидкостью, тогда как для случая, когда все поперечное сечение занято жидкостью, живым сечением является площадь круга πd2 /4 (рис. Ш.4,б). 37 Смоченным периметром называют ту часть периметра живого сечения, по которой жидкость соприкасается со стенками канала (трубы). Смоченный периметр обозначают обычно греческой буквой χ. Если, например, все сечение трубы занято жидкостью, то смоченный периметр равен длине окружности: χ=πd Гидравлическим радиусом называют отношение живого сечения к смоченному периметру, т. е. величину: ω 𝑅= χ В частности, для круглых труб, заполненных жидкостью, гидравлический радиус равен четверти диаметра. 𝜋𝑑 2 𝜔 𝑑 𝑅= = 4 = χ 𝜋𝑑 4 Понятие об «эквивалентном диаметре», который определяют по формуле: 𝑑экв = 4𝑅 = 4 для квадратного сечения 𝑑экв т.е. равен стороне квадрата. для прямоугольного сечения: 𝑑экв = 𝜔 𝜒 𝑎2 =4 =𝑎 4𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑏 =2 2(𝑎 + 𝑏) 𝑎+𝑏 Приведенные здесь основные понятия позволяют решать различные практические задачи. 38 Пример 1. Определить скорость потока в трубопроводе диаметром 𝑑 = 0,2 м, если расход воды (несжимаемой жидкости)𝑄 = 0,0628 м2 с 𝑄 𝜋∙0,22 4 Решение. Искомая скорость 𝑣 = 𝜔 . Определим площадь живого сечения 𝜔 = 𝜋𝑑 2 = 4 = 0,0314 м2 , и тогда 𝑣 = 2 м/с Пример 2. Определить необходимый диаметр воздуховода, если задана средняя скорость движения воздуха 𝑣, м/с и объемный расход 𝑄, м2/с 4𝜔 Решение. Так как диаметр 𝑑 = диаметр воздуховода 𝑑 = 𝜋 𝑄 , а площадь живого сечения 𝜔 = 𝑣 , то искомый 4𝑄 𝜋𝑣 3.2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки несжимаемой жидкости 𝒛𝟏 + 𝒑𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝒑𝟐 𝒗𝟐𝟐 + = 𝒛𝟐 + + 𝜸 𝟐𝒈 𝜸 𝟐𝒈 Это и есть уравнение Бернулли, написанное для участка элементарной струйки между сечениями 1 и 2. Его можно представить также в разностной форме: 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 + 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒗𝟐𝟏 − 𝒗𝟐𝟐 − + =𝟎 𝜸 𝜸 𝟐𝒈 Если неограниченно сближать между собой сечения 1 и 2, то уравнение (III.11) можно представить в дифференциальной форме: 𝒅𝒑 𝒗𝟐 +𝒅 =𝟎 𝜸 𝟐𝒈 Так как сечения I и II взяты произвольно, то уравнение Бернулли можно записать в виде: 𝒅𝒛 + 39 𝒑 𝒖𝟐 𝜸 𝟐𝒈 𝒛+ + = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 (III.13) Геометрическое истолкование. Здесь: 𝑧 − геометрическая высота центра тяжести сечения над плоскостью 𝑥𝑂𝑦 𝑝 − пьезометрическая высота 𝛾 𝑢2 − скоростная высота или скоростной напор 2𝑔 Можно видеть, как по длине струйки меняются слагаемые этого уравнения, Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной напор, но возрастает сумма (z+p/γ) Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое слагаемое этого уравнения надо расценивать как некоторую составляющую полной энергии (потенциальную или кинетическую), С энергетической точки зрения уравнение Бернулли показывает, что сумма потенциальной энергии (положения я давления) и кинетической энергии есть величина постоянная, т. е. одинаковая по пути данной элементарной струйки невязкой жидкости. Полная удельная энергия остается неизменной. Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии при движении. идеальной жидкости. 3.3 Два метода исследования движения жидкости Лагранжа и Эйлера Движение жидкости, если его рассматривать как движение системы неограниченного множества материальных частиц, представляет собой чрезвычайно сложный процесс; частицы жидкости движутся различно, ' каждая по своей траектории, с различными скоростями и ускорениями; изучение этого процесса связано с большими трудностями. Существуют два метода исследования этого движения — метод Лагранжа и метод Эйлера. В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая данное пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом; вследствие этого рассматриваемая схема неприменима к изучению- молекулярных движений. В методе Лагранжа исследованию подлежит движение отдельных частиц жидкости. В методе Эйлера исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, оставляя в стороне вопрос о том, как движется та или иная индивидуальная частица; Во Многих случаях это оказывается практически вполне достаточным. В методе Лагранжа положение индивидуальной частицы жидкости описывается законом ее движения, т. е. тремя уравнениями: 40 𝒙 = 𝒇𝟏 (𝒕) 𝒚 = 𝒇𝟐 (𝒕) 𝒛 = 𝒇𝟑 (𝒕) (IV.1) где: 𝒙, 𝒚, 𝒛— координаты частицы и 𝒕– время При составлении уравнений, которые характеризовали бы движение различных частиц потока, надо учитывать положение частиц в начальный момент времени t0, т. е. начальные координаты частиц. Обозначив эти координаты а, bи с и внеся их в уравнения (IV.I), можно получить систему уравнений в виде: 𝒙 = 𝒇𝟏 (𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒕) 𝒚 = 𝒇𝟐 (𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒕) 𝒛 = 𝒇𝟑 (𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒕) (IV.2) В этих уравнениях начальные координаты a, bи смогут рассматриваться как независимые переменные. Следовательно, текущие координаты х, у и zнекоторой движущейся частицы являются функциями четырех переменных а, b, с и t. Эти переменные называют переменными Лагранжа. Выбирая некоторую частицу жидкости, т. е. назначая по собственному усмотрению значения а, bи с, получим текущие координаты х, у и z для выбранной нами частицы (рис. IV.1) Таким образом, если система (IV.2) известна, то движение потока жидкости вполне определено. Действительно, скорости частицы определятся (как это известно из кинематики точки) как первые производные по времени от координат х, у и z, а ускорения— как вторые производные по времени, направления же векторов скорости и ускорения находятся по направляющим конусам. Траектория любой частицы определяется или непосредственно из уравнений (IV.1) путем вычисления координат х, у и г данной выбранной частицы для ряда моментов времени, или путем исключения из этих уравнений времени t. В методе Эйлера рассматривается скорость в каждой точке области, занятой движущейся жидкостью. При неустановившемся движении все поле скоростей изменяется во времени,, и поэтому для одной и той же точки пространства скорость движения жидкости различна в разные моменты времени. Обозначим через и, v и ω проекции скорости на оси координат; тогда для неустановившегося движения: 𝑢 = 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑣 = 𝐹2 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑤 = 𝐹3 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (IV.3) Обозначим полную скорость в этой главе, где рассматриваются неодномерные течения, через V; величина этой скорости равняется, очевидно: 𝑉= 𝑢2 + 𝑣 2 + 𝑤 2 41 Для установившегося движения: 𝑢 = 𝐹1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 = 𝐹2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) (IV,3a) 𝑤 = 𝐹3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) Располагая уравнениями (IV.3) и (IV.3,а), можно определить скорость в данной точке по величине и направлению. 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 = 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 = 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 (IV.8) = 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑧 Эти уравнения представляют собой выражения для проекции ускорении в координатах Эйлера. 3.4 Уравнение линии тока Рассмотрим случай плоского движения жидкости. Обозначим уравнение линии тока в этом случае через: 𝑦 = 𝑓(𝑥) (IV.9) имеем: 𝑣/𝑢 = 𝑡𝑔𝛼, а дифференцируя уравнение (IV.9), находим 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝛼 Таким образом, 𝑣/𝑢 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 или 𝑑𝑥/𝑢 = 𝑑𝑦/𝑣, или: 𝑑𝑥 𝐹1 (𝑥,𝑦 ,𝑡) = 𝑑𝑦 в двумерном случае 𝐹2 (𝑥,𝑦 ,𝑡) (IV.10) что и является уравнением линии тока в дифференциальном виде. При пространственном движении дифференциальные уравнения линии тока записываются как: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = 𝑢 𝑣 𝑤 или (в развернутом виде) 𝑑𝑥 𝐹1 (𝑥,𝑦 ,𝑧,𝑡) = 𝑑𝑦 𝐹2 (𝑥,𝑦 ,𝑧,𝑡) = 𝑑𝑧 𝐹3 (𝑥,𝑦 ,𝑧,𝑡) (IV.10a) Проинтегрировав уравнения (IV.10), можно получить уравнение линии тока в конечном виде. Отметим, что для установившегося движения уравнения линии тока являются одновременно уравнениями траекторий. Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа, и метод Эйлера – математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (IV.2)к уравнениям (IV.3). В практическом применении метод Эйлера более прост, поэтому дальнейшее изложение основано на его применении. 42 3.5 Уравнение неразрывности 𝜕𝜌 𝜕𝑡 + 𝜕(𝜌𝑢 ) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝜌𝑣 ) 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑤 ) 𝜕𝑧 =0 (IV.14) Это и есть искомое уравнение неразрывности. В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, dp/dt=0 Поэтому уравнение неразрывности получает в этом случае вид: 𝜕(𝜌𝑢 ) 𝜕𝑥 𝜕(𝜌𝑣 ) + 𝜕𝑦 + 𝜕(𝜌𝑤 ) 𝜕𝑧 =0 (IV.15) И, наконец, для несжимаемой жидкости как при установившемся, так и при неустановившемся движении уравнение неразрывности имеет вид: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 =0 (IV.16) 3.6 Вихревое и безвихревое движение жидкости С 85 АЛЬТШУЛЬ В итоге: Безвихревое движение жидкости называют потенциальным или движением с потенциалом скорости. 3.7 Интегрирование уравнений Эйлера для потенциального потока в случае установившегося движения Силовая функция U: dU  Xdx  Ydy  Zdz (1) Для установившегося движения: dU  dp  d V2 2 Если действие происходит под влиянием силы тяжести, то: X и Y =0 следовательно из уравнения 1 остается только: U   gz, dU   gdz Следовательно 43 dV 2 dz   0  2g dp Проинтегрировав получим U  V2   const  2 dp - уравнение называется интеграл Лагранжа. Из которого следует что величина четырехчлена, стоящего в левой части постоянна для некоторого конкретного момента времени во всей области движения жидкости, но может меняться с течением времени. Если под действием сил тяжести и жидкость несжимаема (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), то: V2 z   H  const  2g p (3) Уравнение 3 идентично по написанию уравнению Бернулли НО есть различие: Ур Бернулли показывает что сумма трех слагаемых в левой части остается постоянной для элементарной струйки но может меняться для различных струек. И движение может быть как вихревым так и потенциальным. А уравнение 3 полученное из интеграла Лагранжа справедливо только для потенциального потока, для которого H постоянная не засвистит от координат и следовательно неизменна для всего потока Для сжимаемых жидкостей: V2 zP  const 2g Где принято: P dp g 3.8 Уравнения Навье Стокса 1 𝜕𝑝 𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 ∙ = −𝑣 + + 𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 1 𝜕𝑝 𝜕𝑣 𝜕2𝑣 𝜕2𝑣 𝜕2𝑣 𝑌− ∙ = −𝑣 + + 𝜌 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 1 𝜕𝑝 𝜕𝑤 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 𝑍− ∙ = −𝑣 + + 𝜌 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 Диф. уравнения движения вязкой жидкости. 𝑋− 44 4 Режимы течения. 4.1 Режимы течения В 80-х годах XIX-го столетия работы, связанные с изучением сопротивления движению жидкости при течении в трубах, зашли в тупик. Опыты одних исследователей показали, что сопротивление линейно зависит от скорости. В то же время не менее тщательные и точные опыты французского инженера свидетельствовали, что сопротивление пропорционально квадрату скорости. Возникшее противоречие тормозило развитие инженерной практики и требовало разрешения. Наблюдения, Рейнольдса, результаты которых были опубликованы в 1883-1884 годах и имели далеко идущие последствия для всей механики жидкости. Идея опытов отличалась ясностью и предельной простотой. В стеклянную трубу, скорость движения воды в которой могла регулироваться, Рейнольдс вводил струйки красителя. При малых скоростях струйки двигались параллельно оси трубы и вся картина представлялась неподвижной. При увеличении скорости воды за счет открытия крана картина изменялась, струйка красителя сначала приобретала синусоидальную форму, а дальнейшее увеличение скорости приводило к ее размыву, что свидетельствовало о беспорядочном движении. Первый режим – спокойный, слоистый без перемешивания частиц был назван ламинарным. Второй– бурный, хаотичный, приводящий к перемешиванию частиц, получил название турбулентного. 4.2 Число Рейнольдса Как истинный ученый, Рейнольдс не остановился на констатации факта. Он предположил, что увеличении скорости потока приводит к возникновению каких-то возмущений, дестабилизирующих его структуру. При этом из двух категорий сил, действующих на жидкие частицы, вязкого трения и инерции, первые играют стабилизирующую роль, а вторые – дестабилизирующую. Таким образом, отношение этих сил может служить критерием (мерой) устойчивости потока, т.е. Мера устойчивости = сила инерции сила вязкого трения Состояние (режим) потока жидкости в трубе зависит от величины безразмерного числа, которое учитывает основные факторы, определяющие это движение: среднюю скорость v, диаметр трубы d, плотность жидкости р, и ее абсолютную вязкость µ. Это число имеет вид: Re  𝑣= vd    vd  𝜇 − кинематическая вязкость 𝜌 45 Величина d в числе Рейнольдса может быть заменена любым линейным параметром, связанным с условиями течения или обтекания (диаметр трубы, диаметр падающего в жидкости шара, длина обтекаемой жидкостью пластинки и др.). Значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход от ламинарного движения к турбулентному, называют критическим числом Рейнольдса и обозначают ReKp. при 𝑅𝑒 > 𝑅𝑒кр режим движения является турбулентным, при 𝑅𝑒 < 𝑅𝑒кр – ламинарным. Величина критического числа Рейнольдса зависит от условий входа в трубу, шероховатости ее стенок, отсутствия или наличия первоначальных возмущений в жидкости, конвекционных токов и др. Наиболее часто в расчетах принимают для критического числа Рейнольдса значение 𝑅𝑒кр = 2000 − 2100 Проведенные исследования показывают также, что критическое значение числа Рейнольдса увеличивается в сужающихся трубах и уменьшается в расширяющихся. Это можно объяснить тем, что при ускорении движения частиц жидкости в сужающихся трубах их тенденция к поперечному перемешиванию уменьшается, а при замедленном течении в расширяющихся трубах усиливается. По критическому значению числа Рейнольдса легко можно найти также критическую скорость, т. е. скорость, ниже которой всегда будет иметь место ламинарное движение жидкости: vкр  Reкр  d  2000 d Ламинарный режим для воды и воздуха возможен лишь при их движении в трубах очень малого диаметра. Более вязкие жидкости, например масла, могут двигаться ламинарно даже в трубах значительного диаметра. Re  vl   vl  где:l – линейные размеры элемента жидкости Таким образом, число Рейнольдса характеризует относительную роль сил вязкости. Чем меньше число Рейнольдса, тем большую роль играют силы вязкости в движении жидкости. Чем больше число Рейнольдса, тем больше влияние сил инерции в потоке по сравнению с силами вязкости. 46 4.3 Виды гидравлических сопротивлений Рассмотрим участок трубы, заполненный жидкостью (рис. Х.1). Если жидкость в трубе не движется, то ее взаимодействие со стенками приводится к одной равнодействующей, направленной вниз (вес жидкости). При движении жидкости между нею и стенками трубы возникают дополнительные силы сопротивления, в результате чего частицы жидкости, прилегающие к поверхности трубы, тормозятся. Это торможение благодаря вязкости жидкости передается Равнодействующая сил сопротивления Т направлена в сторону, противоположную движению, и параллельна направлению движения (см. рис. Х.1). Это и есть силы гидравлического трения (сопротивления гидравлического трения). Энергию или напор, необходимые для преодоления сил сопротивления, называют потерянной энергией или потерянным напором. Штерн напора, затрачиваемые на преодоление сопротивления трения, носят название потерь напора на трение или потерь напора по длине потока (линейные потери напора) и обозначают через hтр. Однако потери напора, возникающие при движении жидкости, зависят не только от трения о стенки. Рассмотрим следующий опыт (рис. Х.2). Бак Wнаполнен водой при постоянном уровне Н и питает горизонтальную трубу АВдлиной l одинакового по всей длине диаметра d. Пусть расход воды равен Q. Если трубу АВ заменить трубой CDтой Же длины l, но образованной из последовательно расположенных участков диаметром соответственно dи 2d, то расход изменится. Пусть новый расход равен Q'. Оказывается, что Q' 𝑢2 .Обозначим через 𝑢′𝑦 скорость поперечного движения, в результате которого происходит обмен массами между слоями. Через некоторую площадку ∆𝜔 в единицу времени от слоя 2 к слою 1 перемещается масса жидкости 𝜌𝑢′𝑦 ∆𝜔. Эта масса принесет с собой слою 1 количество движения, равное 𝜌𝑢′𝑦 ∆𝜔𝑢′𝑥 , в результате чего движение слоя 1 ускорится. Это равносильно действию на слой 1 со стороны слоя 2 силы, направленной против течения, равной: −𝜏 ′ 𝑦𝑥 ∆𝜔 = 𝜌𝑢′𝑦 ∆𝜔𝑢′𝑥 53 Отсюда для касательного напряжения имеем 𝜏′𝑦𝑥 = −𝜌𝑢′𝑥 𝑢′𝑦 (1) Выражение (1) определяет мгновенное значение касательного напряжения в данной точке, вызванное турбулентным перемешиванием. Осредненное значение напряжения турбулентного трения обозначим 𝜏Т = −𝜌𝑢′𝑥 𝑢′𝑦 (2) Черточки над буквами здесь означают операцию осреднения. 4.8 Полуэмпирические теории турбулентности Поскольку в разных точках потока температура неодинакова, то частицы жидкости, движущиеся из мест с более высокой температурой, забирают оттуда больше тепла, чем в эти места приносят частицы, приходящие из мест с более низкой температурой. В результате происходит перенос тепла из мест с высокой температурой в зоны с низкой температурой – так называемая турбулентная теплопроводность. 𝑄 = 𝑐𝑝 𝐴𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝑦 где: 𝑄 – перенос тепла при турбулентном перемешивании, приходящийся на единицу времени и площади 𝑐𝑝 – теплоемкость жидкости при постоянном давлении 𝑑𝑡 𝑑𝑦 – градиент температуры 𝐴𝑄 – коэффициент турбулентной теплопроводности. Прандтль предполагает считать, что у стенки имеется очень тонкая пленка толщиной 𝛿, где турбулентное перемешивание отсутствует полностью, и определять здесь напряжение по формуле Ньютона 𝑑𝑢 𝜏=𝜇 𝑑𝑦 В результате опытов, Никурадзе получена формула распределения скорости в гладких трубах в виде 𝑢 𝑦 = 5,33𝑙𝑔𝑅𝑒 − 2 𝑢∗ 𝑟 Где 𝑢∗ = 𝜏0 𝜌 – динамическая скорость, 𝜏0 − касательное напряжение на стенке Таким образом, согласно полуэмпирической модели Прандтля, весь поток в трубе можно разбить по сечению на две зоны – ламинарный подслой и турбулентное ядро, между которыми предполагается существование переходной зоны. В качестве безразмерного параметра, характеризующего толщину этих зон, 𝑢 𝑦 используется комплекс 𝑣∗ . Наиболее распространено следующие деление потока на зоны: 𝑢 ∗𝑦 Вязкий (ламинарный) подслой 0< Переходная зона 4< Турбулентное ядро 𝑢 ∗𝑦 𝜈 𝑢 ∗𝑦 𝜈 𝜈 <4 < 70 > 70 54 4.9 Начальный участок турбулентного движения Все изложенные выше соображения относятся к сформировавшемуся турбулентному потоку. Формирование турбулентного потока (так же, как и ламинарного) происходит постепенно. Длина начального участка, на котором заканчивается формирование поля осредненных скоростей (при заданной форме входа), зависит от числа Рейнольдса (для гладких труб) и относительной шероховатости (для вполне шероховатых труб). Для вполне шероховатых труб: 𝑙 нач 𝑑 где: = 2,45 𝜆 (XII.61) λ — коэффициент гидравлического трения для стабилизированного течения 55 5. Потери в потоке 5.1 Потери напора на трение в круглой трубе Найдем потери напора на трение при ламинарном движении жидкости в круглой трубе. для потерь напора при ламинарном движении: 𝑕тр = 32𝜈𝑙 𝑉ср (XI.12) 𝑔𝑑 2 Эта формула показывает, что потери напора на трение при ламинарном режиме пропорциональны средней скорости движения. Эти потери не зависят от состояния внутренней поверхности стенок трубы, так как характеристика состояния стенок в формулу (XI.12) не входит. Отсутствие влияния стенок на сопротивление можно объяснить тем, что жидкость прилипает к стенкам, в результате чего происходит трение жидкости о жидкость, а не жидкости о стенку. 𝜆= 64𝑣 64 = 𝜗𝑑 𝑅𝑒 – коэффициент гидравлического трения. В инженерной практике с ламинарным режимом часто приходится сталкиваться при движении в трубах жидкостей с повышенной вязкостью (нефть, керосин, смазочные масла и пр.). Часто вместо гидравлического радиуса используют так называемый эквивалентный (или гидравлический) диаметр При ламинарном движении коэффициент λ в трубах некругового сечения значительно возрастает по сравнению с движением в круглой трубе (при одном и том же числе Рейнольдса) и может быть выражен формулой: 𝜆= где: 𝐴 (XI.17) 𝑅𝑒∎ 𝑅𝑒∎ – число Рейнольдса, вычисленное по эквиватентному диаметру 4𝜗𝑅 𝜗𝑑экв = 𝑣 𝑣 A – коэффициент формы, численные значения которого, зависящие от формы сечения приведены в таблице 1. Таблица 1. 𝑅𝑒∎ = Форма сечения Круг диаметром d квадрат со стороной a равносторонний треугольник со стороной а кольцевой просвет с шириной а прямоугольник с соотношением сторон 𝑎/𝑏: 0,1 0,2 0,25 0,33 0,5 𝑑экв d a 0,58а 2а 64 57 53 96 2а 1,81а 1,67а 1,6а 1,5а 1,3а 96 85 76 73 69 62 A 56 5.2 Опытные данные о распределении скоростей и потерях напора Два основных вопроса это определение потерь напора и распределения скоростей по поперечному сечению трубы. Для грубой количественной оценки шероховатости вводится значение понятие о средней высоте выступов (бугорков) шероховатости. Эту высоту, измеряемую в линейных единицах (рис. XII.3), называют абсолютной шероховатостью и обозначают буквой k. Опыты показали, что при одной и той же величине абсолютной шероховатости влияние ее на величину гидравлических сопротивлений и распределение скоростей различно в зависимости от диаметра трубы. Поэтому вводится понятие от относительной шероховатости, измеряемой отношением абсолютной шероховатости к диаметру трубы, т.е. величиной k/d. В формуле Дарси–Вейсбаха 𝑕тр 𝑙 𝑣2 =𝜆 ∙ 𝑑 2𝑔 коэффициент гидравлического трения λ может зависеть от двух безразмерных параметров: 𝑣𝑑𝜌 𝑘 и 𝜇 𝑑 Первый из этих параметров представляет собой число Рейнольдса, а второй – относительную шероховатость, а следовательно 𝜆 = 𝑓 𝑅𝑒, 𝑘 𝑑 Чем меньше шероховатость, тем при больших числах Рейнольдса начинается это отклонение; таким образом, при некоторых условиях (малые числа Re, малые значения k/d или большие r/k, где r– радиус трубы) шероховатость не оказывает влияния на сопротивление также и при турбулентном движении. При больших числах Рейнольдса коэффициент гидравлического трения перестаѐт зависеть от этого числа (т.е. от вязкости жидкости) и для заданного значения k/dсохраняет постоянную величину. Трубы в которых коэффициент гидравлического трения λ вовсе не зависит от вязкости жидкости (число Рейнольдса), а только от относительной шероховатости, называют вполне шероховатыми. Трубы же, в которых коэффициент λ вовсе не зависит от шероховатости стенок, а только от числа Рейнольдса, называют гидравлически гладкими. Для гидравлически гладких труб широкое распространение получила формула Блазиуса 0,3164 𝜆= 𝑅𝑒 0,25 а для вполне шероховатых труб – формула Б.Л. Шифринсона 57 𝑘 𝜆 = 0,11 𝑑 0,25 При турбулентном движении осредненная скорость мало меняется по сечению трубы, если исключить из рассмотрения небольшую область у стенок, где особо существенную роль играет трение. Область, где скорости почти не меняются по сечению, называются ядром течения, а слой у стенок, характеризующийся быстрым уменьшением значения скорости, – пристеночным слоем; толщина пристеночного слоя обычно незначительная (доли миллиметра). Равномерное распределение скоростей в ядре объясняется интенсивным перемешиванием, которое представляет особенность турбулентного движения. Касательное напряжение, обуславливаемое турбулентным перемешиванием, должно быть добавлено к вязкостному; поэтому полное напряжение получает выражение 𝜏 = 𝜏В + 𝜏Т = 𝜇 𝑑𝑢 − 𝜌𝑢′𝑥 𝑢′𝑦 𝑑𝑦 где: 𝜏 – суммарное касательное напряжение 𝜏В – напряжение, вызываемое действием сил вязкости 𝜏Т – напряжение, обусловленное турбулентным перемешиванием 5.3 Эмпирические формулы для коэффициента гидравлического трения Так, для расчета водопроводных труб использовались эмпирическая формула Маннинга 𝜆= где: до последнего времени широко 124,6𝑛2 𝑑1/3 𝑛 – коэффициент шероховатости, который для водопроводных труб обычно принимался равным 0,012 𝑑 – диаметр в м. Для расчета воздуховодов использовалась формула Блесса 𝜆 = 0,0125 + 0,0011 𝑑 а для расчета газопроводов – формула Вейсмаута 𝜆= 0,094 𝑑1/3 58 5.4 Движение жидкости в трубах некругового сечения Для транспорта капельных жидкостей и газов в ряде случаев используются трубопроводы некругового сечения (например, в вентиляции, в охлаждающих устройствах и пр.) Вторичные течения происходят в плоскости поиеречного сечения трубы: частицы жидкости движутся при этом из центральных районов трубы по направлению к углам (рис. XII.20). Накладываясь на продольное движение, вторичные течения непрерывно переносят количество движения по направлению к углам, в результате чего в угловых участках наблюдаются сравнительно высокие продольные скорости. Потери на трение при турбулентном движении жидкости в трубе с поперечным сечением некруговой формы можно рассчитыватьпо формуле Дарси — Вейсбаха (гл. XI), вкоторую вместодиаметра трубы входит эквивалентный диаметр dэ 𝑕тр 𝑙 𝑣2 𝑙 𝑣2 =𝜆 ∙ =𝜆 ∙ 𝑑э 2𝑔 4𝑅 2𝑔 При турбулентном движении жидкости коэффициент гидравлического трения в трубах некругового поперечного сеченияможно определять по формулам для круглых труб. При этом, в ряде случаев коэффициенты гидравлического трения оказываются близкими соответствующим коэффициентам гидравлического трения в круглых трубах (при равенстве эквивалентных диаметров). 5.5 Снижение потерь напора на трение при турбулентном движении Уменьшения потерь напора на трение в трубах возможно путем использования эффекта, Томса – феномен). Эффект Томса заключается в том, что при добавлении к воде (а также к другим капельным жидкостям) миллионных долей некоторых полимеров (например, полиакриламида) потери напора на трение уменьшаются в несколько раз. Установлено, что добавки полимеров с высоким молекулярным весом изменяют структуру турбулентного потока (особенно вблизи стенок). Здесь гасятся турбулентные пульсации, уменьшается турбулентный перенос, что приводит к уменьшению потерь напора на трение. 59 5.6 Местные гидравлические сопротивления Местные сопротивления появляются при расширении или сужении потока, в результате его поворота, при протекании потока через диафрагмы, задвижки и т. д., что всегда связано с появлением дополнительных потерь напора. Потери напора, затраченного на преодоление какого-либо местного сопротивления, принято оценивать в долях скоростного напора, соответствующего скорости непосредственно за рассматриваемым местным сопротивлением, т. е. определять их из формулы Вейсбаха: 𝑣2 𝑕м = 𝜉 2𝑔 где: ξ – так называемый коэффициент местного сопротивления Коэффициенты разных местных сопротивлений находят, как правила, опытным путем; таблицы этих коэффициентов содержатся в инженерных справочниках и руководствах по гидравлике. Иногда местные потери напора выражают в виде эквивалентной длины lэ прямого участка трубопровода, сопротивление трения которого по величине равно рассматриваемым местным потерям напора, т. е. из условия: 𝜆 𝑙э 𝑣 2 𝑣2 ∙ =𝜉 𝑑 2𝑔 2𝑔 или 𝑙э 𝜉 = 𝑑 𝜆 Основные видыместных потерь напора можно условно разделить на следующие группы: – потери, связанные с изменением сечения потока (или, что то же, его средней скорости). Сюда относятся случаи внезапного расширения, сужения, а также постепенного расширения и сужения потока – потери, вызванные изменением направления потока – потери, связанные с протеканием жидкости через арматуру различного типа (вентили, краны, клапаны, сетки, дроссели и т. д.) – потери, связанные с отделением одной части потока от другойили слиянием двух потоков в один общий. Сюда относятся, например, тройники, крестовины и отверстия в боковых стенках трубопроводов при наличии транзитного расхода 5.6.1 Внезапное расширение трубопровода Трубопровод внезапно расширяется от диаметра d1до диаметра d2(рис. XIII.1). Как показывают наблюдения, поток, выходящий из узкой трубы, не сразу заполняет все поперечное сечение широкой трубы; жидкость в месте расширения отрывается от стенок и дальше движется в виде свободной струи, отделенной от остальной жидкости поверхностью раздела. Поверхность раздела не устойчива на ней 60 появляются вихри, в результате чего транзитная струя перемешивается с окружающей жидкостью. Струя расширяется пока наконец на некотором расстоянии l не заполняет все сечение широкой трубы. Благодаря отрыву потока и связанному с ним вихреобразованию на участке трубы между сечениями 1 и 2 теряются значительные потери напора. Найдем величину этих потерь. Обозначим средние скорости потока в сечениях, 1 и 2 через v1 и v2, а давления — через р1и р2. Давление на торцовой стенке АВ, как показывает опыт, практики равно давлению на выходе из узкой части трубы, т. е. р\. По уравнению Бернулли потери напора между сечениями 1 и 2равны. 𝑕1−2 вн.р = 𝑝1 𝛾 + 𝑣12 2𝑔 𝑝2 − 𝛾 + 𝑣22 = 2𝑔 𝑝 1 −𝑝 2 𝛾 + 𝑣12 −𝑣22 2𝑔 (XIII.2) Из теоремы импульсов для тех же двух сечений можно получить: 𝑝1 − 𝑝2 𝜔2 = 𝑄𝜌 𝑣2 − 𝑣1 (XIII.3) учитывая, что участок растекания потока 1—2 имеет малую длинну, силами трения в этом уравнении можно пренебречь. Разделив обе части уравнения (XII 1.3) на γ, получим: 𝜔2 𝑝1 − 𝑝2 𝑣2 𝜔2 = (𝑣2 − 𝑣1 ) 𝛾 𝑔 или 𝑝 1 −𝑝 2 𝛾 = 𝑣22 𝑔 − 𝑣1 𝑣2 𝑔 (XIII.4) Подставляя (XIII.4)в уравнение (XIII.2), найдем: 𝑕1−2 вн.р 𝑣22 𝑣1 𝑣2 𝑣12 𝑣22 2𝑣1 𝑣2 𝑣12 = − + − − + 2𝑔 𝑔 2𝑔 2𝑔 2𝑔 2𝑔 или 𝑕1−2 вн.р = 𝑣1 −𝑣2 2 2𝑔 (XIII.5) Отсюда следует, что потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Этот результат называется теоремой или формулой Борда. Формулу (XIII.5) можно привести к виду: 61 𝑕вн.р 𝑣2 = 1− 𝑣1 2 𝑣12 𝑣12 = 𝜉1 2𝑔 2𝑔 Таким образом, в рассматриваемом случае 𝜉1 = 1 − 𝑣2 2 𝑣1 = 1− 𝜔1 2 𝜔2 (XIII.6) Если отнести коэффициент местного сопротивления к скорости в широкой трубе, то: 𝑕вн.р = 𝜉2 𝑣22 2𝑔 где 𝜔2 𝜉2 = −1 𝜔1 2 62 5.6.2 Внезапное сужение трубопровода Пусть в сечении перехода трубы диаметра d1в трубу диаметра d2установлена диафрагма с отверстием в ней (рис. XIII.3). Обозначим: через 𝜔1 и 𝑣2 –площадь сечения и скорость потока в первой трубе; через 𝜔2 и 𝑣2 то же во второй трубе и через𝜔3 и 𝑣3 – то же, в отверстии диафрагмы. Проходя через отверстие, струя жидкости, сжимается и на некотором расстоянии от диафрагмы приобретает наименьшую площадь сечения ωсж. Сжатие струи объясняется тем, что частицы жидкости, двигаясь вдоль диафрагмы и достигнув края отверстия, продолжают и дальше двигаться в прежнем направлении, лишь постепенно отклоняясь от него. Достигнув минимального сечения 𝜔сж струя начинает постепенно расширяться до тех пор, пока площадь ее сечения не станет равна площади сечения трубы ω 2. Происходящие при этом потери напора связаны главным образом с увеличением сечения струи на участке расширения могут быть найдены по формуле Борда. Потери на участке сжатия при турбулентном движении, как показывает опыт, незначительны. 𝑕= 𝑣сж −𝑣2 2 Из уравнения неразрывности имеем откуда (XIII.7) 2𝑔 𝑣сж 𝜔сж = 𝑣2 𝜔2 = 𝑣3 𝜔3 𝑣3 𝜔 3 𝑣сж = (XIII.8) (XIII.9) 𝜔 сж Отношение площади сжатого сечения 𝜔сж к площади сечения отверстия 𝜔3 называют коэффициентом сжатия струи. 𝜀= 𝜔 сж (XIII.10) 𝜔3 Учитывая (XIII.10), уравнение (XIII.9) можно представить в виде: 𝑣сж = 𝑣3 𝜀 = 𝑣2 𝜔 2 𝜔3 (XIII.11) Подставляя найденное выражение для 𝑣сж в уравнение (XIII.7), имеем: 63 𝜔2 𝑕= −1 𝜔3 𝜀 где 𝜉= 𝜔2 𝜔3𝜀 2 −1 2 = 𝑣22 𝑣22 =𝜉 2𝑔 2𝑔 1 𝜀𝑚 −1 2 (XIII.12) есть коэффициент рассматриваемого местного сопротивления (m= ω3 /ω2— степень расширения потока). Таким образом, коэффициент местного сопротивления в этом случае зависит от коэффициента сжатия струи ε и отношения площадей сечения ω2 и ω3. Величина коэффициента сжатия струи в свою очередь зависит от соотношения площадей сечений ω1 и ω3, т. е. 𝜀=𝑓 где: 𝜔2 =𝑓 𝑛 𝜔1 n= ω3 /ω1 - степень сжатия потока. форма отверстия оказывает слабое влияние на величинукоэффициента сжатия струи. Приближенная зависимость: 0,043 𝜀 = 0,57 + 1,1 − 𝑛 5.6.3.Вход в трубу через диафрагму 𝜔2 𝜉= −1 0,611𝜔3 2 5.6.4.Резкое уменьшение диаметра трубы 64 1 𝜉= −1 𝜀 2 1−𝜀 = 𝜀 2 Для входа в трубу из резервуара имеем ω2 /ω1 =0 и ω3 =ω2 𝜉= 1 −1 0,611 2 ≈ 0,41 Для скругленного входа значение коэффициента ξ будет значительно меньше ≈0,2 5.6.5 Постепенное расширение При Постепенном расширении потери значительно меньше чем при резком. В принципе это диффузор. Два параметра характеризуют диффузор: угол конусности α степень расширения. n=ω2/ω1 Потери диффузора = потери на трение и потери на расширение hдиф=hтр+hрасш Потеря напора на расширение (постепенное) может быть найдена по формуле Борда, но с введением в нее поправочного коэффициента kn.p(индекс п.р — постепенное расширение), так называемого коэффициента смягчения, зависящего от угла конусности а, т. е. 𝑣1 − 𝑣2 2 𝑕п.р = 𝑘п.р 2𝑔 Значение 𝑘п.р в диффузоре при турбулентном течении: kпр≈sinα Потери на трение: dl V 2 hтр   * 2r 2 g где: V – средняя скорость в сечении радиус которого равен r 65 В итоге общая формула коэффициента сопротивления диффузора: диф   1 1 (1  2 )  kп. р (1  2 ) 8sin  / 2 n n 5.6.6 Постепенное сужение трубы Конфузор – в нем жидкость движется от большего давления к меньшему, и по ходу движения скорость увеличивается. Отрыв потока возможен только в месте выхода из конфузора в цилиндрическую трубу. Поэтому сопротивление конфузора всегда меньше сопр. диффузора с одинаковыми характеристиками. hконф=hп.с.+hтр. потери на трение аналогичны в диффузоре:  1 v2 2 hтр  (1  2 ) 8sin  / 2 n 2g где: 𝑛= 𝜔1 𝜔2 – степень сужения Потери напора на сужение становятся ощутимыми при альфа >50о hп.с=ξп.с.V22/2g причем ξп.с.= kп.с.*ξвн.с. где: ξп.с. – коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении трубопровода kпс – коэффициент смягчения учитывающий уменьшение коэффициента Egc по сравнению с коэффициентом ξвн.с. Коэффициент смягчения зависит главным образом от угла конусности α ξп.с.= kпс(1/ε-1)2 Все выводы делались при предположении того что струя при сужении сжимается и потери возникают при последующем расширении. Следовательно потери можно уменьшить путем более плавного закругленного перехода. от сужения к цилиндру. 66 6.1 Циркуляция скорости Рассмотрим крыловой профиль, находящийся в потоке газа (воздуха). Как известно, на профиль в этом случае будет действовать подъемная сила (см. рис. 5.3). Физически наличие этой силы можно объяснить лишь тем, что давление под профилем ( p1 ) больше, а давление над профилем ( p2 ) меньше, чем давление на каком-то удалении от него, которое мы обозначим p  . Это позволяет утверждать, что под крыловым профилем скорость u1  u , а над ним u2  u . В данном случае u  - скорость невозмущенного потока. Вычтем теперь из скоростей u1 и u 2 скорость u  , т.е. u1  u  и u2  u  . Это действие приводит нас к понятию потока возмущения, т.е. движения, которое возникает в среде из-за того, что в нее внесено инородное тело, т.е., по существу, это реакция потока, обусловленная в рассматриваемом случае тем, что в ней появился крыловой профиль. Установим теперь направление потоков возмущения. Под профилем u1  u , и он направлен против скорости u  , над профилем - наоборот. В результате появляется циркуляционный поток, направленный по часовой стрелке, как это показано на рис. 5.3. Теперь необходимо охарактеризовать этот поток количественно. Именно с этой целью вводится понятие циркуляции скорости по замкнутому контуру. Рассмотрим замкнутый контур C, показанный на рис. 5.4. Пусть в произвольной Рис. 5.3     точке M скорость равна u . Составим скалярное произведение u  dl , где dl направленный элемент дуги. Циркуляцией скорости называют контурный интеграл  u dl вида M L      u  dl (5.11) Обратим внимание на структуру этого соотношения. Оно построено аналогично выражению для работы, поэтому иногда говорят, что циркуляция - это своеобразная «работа» вектора  u u x ,u y ,u z  скорости. Имея в виду, что и по правилу скалярного произведения получим  dl dx, dy, dz  , Рис. 5.4  Для плоского течения:  u dx  u dy  u dz  x y z  u dx  u dy x y (5.12) (7.1) из (7.1) следует, что для определения циркуляции достаточно знать проекции скорости, нахождение которых не связано с существенными трудностями. 6.2 Степенные законы распределения скоростей 67 u u max  y    R 1 n (12.23) Главным достоинством этих формул является их простота, а недостатком зависимость показателя степени от числа Рейнольдса. Поэтому степенной закон нельзя рассматривать как универсальный. В диапазоне изменения чисел Re  4  103 ...3  106 показатель степени 1/n меняется в пределах от 1/6 до 1/10. Следует отметить, что ни логарифмический, ни степенной законы не удовлетворяют условию равенства нулю производной от скорости на оси симметрии потока. 6.3 Модели турбулентности В настоящий момент создано большое количество разнообразных моделей для расчѐта турбулентных течений. Они отличаются друг от друга сложностью решения и точностью описания течения. Ниже перечислены модели по возрастанию сложности. Основная идея моделей сводится к предположению о существовании средней скорости потока и среднего отклонения от него. u= 𝑢 + 𝑢′ После упрощения уравнений Навье — Стокса, в них помимо неизвестных средних скоростей появляются произведения средних отклонений ui' uj'. Различные модели по-разному их моделируют. Перечисленные ниже модели применяются в различных инженерных расчѐтах в зависимости от необходимой точности. Практически все они реализованы в современных программах расчѐта гидродинамических течений, таких как Fluent, CFX или OpenFOAM. 1) Модель Буссинеска (Boussinesq). Уравнения Навье — Стокса преобразуется к виду, в котором добавлено влияние турбулентной вязкости. 2) модель Спаларта-Альмараса. В данной модели решается одно дополнительное уравнение переноса коэффициента турбулентной вязкости 3) k − ε модель. Уравнения движения преобразуется к виду, в котором добавлено влияние флуктуации средней скорости (в виде турбулентной кинетической энергии) и процесса уменьшения этой флуктуации за счѐт вязкости (диссипации). флуктуация:колебания или незначительные изменения некого параметра относительно среднего значения. В данной модели решается 2 дополнительных уравнения для транспорта кинетической энергии турбулентности и транспорта диссипации (рассеяние) турбулентности. Наиболее часто используемая модель при решении реальных инженерных задач. См. также каскадные модели. 4) k − ω модель. Похожа на предыдущую, вместо уравнения диссипации решается уравнение для скорости диссипации турбулентной энергии. 5) Модель напряжений Рейнольдса. В рамках усреднѐнных по Рейнольдсу уравнений (RANS) решается 7 дополнительных уравнений для транспорта напряжений Рейнольдса. 6) Метод крупных вихрей (LES, large eddy simulation). Занимает промежуточное положение между моделями, использующими осреднѐнные уравнения Рейнольдса и DNS. Решается для больших образований в жидкости. Влияние 68 вихрей меньше, чем размеры ячейки расчѐтной сетки, заменяется эмпирическими моделями. 7) Прямое численное моделирование (DNS, direct numerical simulation). Дополнительных уравнений нет. Решаются нестационарные уравнения Навье — Стокса с очень мелким шагом по времени, на мелкой пространственной сетке. По сути не является моделью. Из-за громадного объѐма информации, полученной при численном моделировании, ценность представляют средние значения потока, полученные при решении задачи с которыми могут сравниваться другие модели. Все модели имеют преимущества и недостатки. Области применения, для которых получены модельные постоянные на основе сравнения результатов расчѐта с экспериментами, ограничены. Например, k − ε модель плохо подходит для областей с вихрем. 69 7. Основы теории пограничного слоя 7.1 Понятие о пограничном слое Пограничный слой, тонкая область течения вязкой жидкости (газа), которая образуется у поверхности обтекаемого ею твердого тела или на границе раздела двух потоков жидкости с различными скоростями, температурами или химическим составом. В пограничном слое скорость (температура, концентрация) резко изменяется; напр.: скорость жидкости от нуля на поверхности обтекаемого тела, к которой она прилипает, возрастает в результате внутреннего трения до скорости основного потока. При обтекании твердых тел поток сплошной среды, обладающий вязкостью, полностью останавливается на поверхности (стенке). (Гипотиза Прандтля о прилипании) Скорость движения на стенке равна скорости движения стенки т.е. 0, также равны температура стенки и температуры среды близ этой стенки. В следствии того что скорость у стенки равна 0 а скорость потока равна U 0 то между стенкой и осн. потоком возникает переходный слой, в пределах которого скорость возрастает от Uст до скорости потока, невозмущенного действием сил вязкости. Этот слой называется пограничным, а расстояние δ по нормали к поверхности, на котором скорость возрастает от Uст до 0,99 U0 называется физической толщиной погранслоя. Пограничный слой – область течения вязкой жидкости (газа) с малой по сравнению с продольными размерами поперечной толщиной, появляющаяся у поверхности обтекаемого твѐрдого тела или у границы раздела двух потоков жидкости с различными скоростями, температурами или химическим составом. Возникновение П.С. связано с явлением переноса в жидкости количества движения, теплоты и массы, характеризуемых коэффициентом вязкости, теплопроводности и диффузии. Образование и развитие П.С. можно проследить на примере динамического (скоростного) П.С. у поверхности тела, обтекаемого потоком жидкости или газа (рис. 1). Вследствие вязкости жидкости она "прилипает" к поверхности тела, т. е. на стенке продольная составляющая скорости жидкости равна нулю (если поверхность тела непроницаемая, то здесь равна нулю и поперечная составляющая скорости). Разрыв продольной составляющей скорости в вязкой жидкости существовать не может, поэтому возникает переходная область течения, т. е. П.С., в котором происходит плавное изменение скорости от нуля на стенке до некоторого конечного значения во внешнем потоке, где влияние вязкости исчезает. 70 Рис. 1. Профили скорости и температуры в пограничном слое на поверхности острого конуса в сверхзвуковом потоке газа. Толщина такой переходной области и профиль скорости в ней определяются уравнениями сохранения количества движения. Помимо динамического П.С. при обтекании тела можно выделить также тепловой (температурный) П.С., образующийся в случае несовпадения температуры поверхности тела и температуры жидкости. В тепловом П.С. температуры жидкости непосредственно у стенки равна температуры поверхности тела. Если тело обтекается жидкостью с малой скоростью, то внутри теплового П.С. происходит монотонное изменение температуры жидкости от температуры поверхности до температуры внешнего потока. Если же тело обтекается сверхзвуковым потоком газа, то внутри теплового П.С. вследствие торможения газа и перехода кинетической энергии во внутреннюю энергию молекул может возникать максимум температуры. концентрационный (диффузионный) П.С., образующийся при протекании на стенке химической реакции или же при вдуве инородного газа через проницаемую поверхность тела. Другой часто встречающийся на практике случай П.С. - это слой смешения, образующийся у границы струи, истекающей из сопла, например, летательного аппарата с воздушно-реактивным или ракетным двигателем (рис. 2). В слое смешения скорость газа изменяется от скорости полѐта до скорости истечения продуктов сгорания из сопла (в системе координат, связанной с летательным аппаратом), а температуpa - от температуры атмосферы до температуры продуктов сгорания. Так же плавно изменяются концентрации компонент внешней среды и продуктов сгорания. Рис. 2. Слой смешения при истечении струи из сопла ракеты при полѐте в атмосфере 71 Толщина динамического П.С. определяется критерием Рейнольдса (см. Рейнольдса числоRe), который характеризует соотношение между инерционными силами и силами внутреннего трения. Чем больше Re, тем меньше толщина П.С. по сравнению с характерным размером тела. Обычно число Re намного превышает единицу, так что толщина П.С.  мала по сравнению с размерами тела. Кроме того, при этом оказывается несущественным изменение давления поперѐк П.С. В результате параметры жидкости или газа на внешней границе П.С. могут быть определены так, как будто тело обтекается потоком идеальной (невязкой) жидкости. В более строгой постановке следует рассматривать обтекание идеальной жидкостью некоторого эфф. тела, увеличенного на так называемую толщину вытеснения П.С. Это позволяет упростить методы расчѐта трения и теплообмена между телом и обтекающей его жидкостью (газом). Для этого поток подразделяют на две части - область течения идеальной жидкости и тонкий П.С. у поверхности тела. Решая задачу об обтекании тела невязким потоком, находят распределение давления вдоль поверхности тела, а тем самым и давление в П.С. Течение внутри П.С. рассчитывается после этого с учѐтом вязкости, теплопроводности и диффузии, что позволяет определить силы поверхностного трения и коэффициент тепло- и массообмена. Соотношение между толщинами динамического и теплового П.С. определяется числом Прандтля Рr, а соотношение между толщинами динамичического и концентрационного П.С. – числом Шмидта Sc. Для воды, воздуха и многих других непроводящих жидкостей и газов числа Рr и Sc близки к 1, вследствие чего толщины динамического, теплового и концентрационного П.С. близки между собой. Наличие вынужденного течения жидкости или газа не является обязательным для образования П.С. у поверхности тела. Примером является П.С., образующийся у поверхности погружѐнного в жидкость тела или у стенок сосуда с жидкостью в случае свободной конвекции, возникающей при наличии разности температур жидкости и твѐрдой стенки (рис. 3). В этом случае толщина П.С. определяется числом ГрасгофаGr. Рис.3. Пограничный слой на стенках сосуда с жидкостью при подводе тепла сбоку. Характер течения жидкости внутри П.С. показывает, что при достаточно больших размерах тела (а точнее, при достаточно больших числах Re или Gr, рассчитываемых по длине тела) существуют два режима течения - ламинарное и турбулентное. 72 7.2 Ламинарный погранслой В начальной части П.С. течение является ламинарным, упорядоченным. Отдельные частицы жидкости движутся по плавным траекториям, не пересекаясь и не перемешиваясь друг с другом. Форма этих траекторий близка к форме обтекаемого тела. В случае стационарного двумерного течения эти упрощѐнные уравнения НавьеСтокса, известные как уpавнения П.С., или уравнения Прандтля, представляют собой нелинейные днфференциальные ypавнения параболического типа и имеют вид: уравнение сохранения количества движения u u dp   v  u  v      ; x y dx y  y  (1) уравнение сохранения энергии 2  u  T T   T  dp   u     ; uc p  vcp    x y y  y  dx  y  (2) уравнение неразрывности 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣 𝜕𝑦 =0 (3) Здесь: х и y - координаты, направленные вдоль поверхности тела и по нормали к ней, u и v - составляющие скорости вдоль этих координат,  - плотность, р - давление,  - коэффициент динамической вязкости, Т - температура, c p - удельная теплоѐмкость при постоянном давлении,  - коэффициент теплопроводности. Граничные условия к системе уравнений (1) - (3) имеют вид: при y = 0 величины u = 0, v = v w , Т = Tw ; при y   и y  u1 величина Т  T1 ; Для решения уравнений П.С. используются различные методы, среди которых можно выделить две основные группы - численные (конечно-разностные) и интегральные. Первая группа методов основана на численном интегрировании исходных уравнений П.С. методом сеток, или конечных разностей. Вторая группа методов основана на использовании уравнений П.С. в интегральной форме. В этих уравнениях в качестве зависимых переменных выступают некоторые интегральные характеристики П.С.: Толщина ламинарного погран слоя: 5.2𝑥 𝑅𝑒 0.5 Где х- расстояние от передней кромки (от начала обтекания) 𝛿пс.л = толщина вытеснения 73   u  du, 1u1  (6) u  u  1  du,  u  u1  0 1 1 (7)  *   1   толщина потери импульса   **   толщина потери энергии  u  H 01  H 0   dy  u  H 01  H w  0 1 1  * **   (8) (индексы "1" относятся к внешнему потоку, "01" - к границе П.С., "0" - к П.С., а "w" - к обтекаемой поверхности). Интегральные уравнения П.С. получаются из дифференциальных уравнений типа (1) - (5) интегрированием последних по поперечной координате от 0 до внешней границы П.С. d 1u1 H 01  H w  ***  qw (10) dx du d 1u12 * *  1u1 1  *   w (9) dx dx   Где  w - напряжение трения на поверхности тела, а q w - тепловой поток через его поверхность. Интегральные уравнения позволяют учесть изменяющиеся условия течения вверх по потоку от рассматриваемой точки тела. Для решения интегральных уравнений П.С. (9) - (10) необходимо иметь сведения о профилях скорости и энтальпии (или температуры) внутри П.С. 7.3 Турбулентный погранслой По мере увеличения расстояния вдоль поверхности тела местное число Рейнольдса возрастает и начинает проявляться неустойчивость ламинарного течения по отношению к малым возмущениям. Такими возмущениями могут служить пульсации скорости во внешнем набегающем потоке, шероховатость поверхности и другие факторы. В результате ламинарная форма течения переходит в турбулентную, при этом на главное "осреднѐнное" движение жидкости или газа в продольном направлении накладываются хаотические пульсации движения в поперечном направлении, происходит интенсивное перемешивание жидкости, вследствие чего интенсивность переноса в поперечном направлении кол-ва движения, теплоты и массы резко увеличиваются. Толщина турбулентного пограничного слоя: 0.37𝑥 𝛿пс.т = 𝑅𝑒 0.2 Потеря устойчивости и переход к турбулентному режиму течения внутри П.С. происходят при некотором характерном числе Рейнольдса, которое называется критическим. Величина Re кр зависит от множества факторов - степени турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхности,числа Маха М внешнего потока, относительной температуры поверхности, вдува или отсоса вещества через поверхность тела и других. 74 Переход ламинарного режима течения в турбулентный связан с потерей устойчивости, то сам этот процесс не является достаточно стабильным, вследствие чего имеет место областью перехода. Изменение режима течения в П.С. сопровождается утолщением слоя и деформацией профилей скорости, температуры и концентраций. Одновременно возрастают коэффициент поверхностного трения, тепло- и массообмена, а также изменяется характер их распределения вдоль поверхности тела (рис. 4). Рис. 4. Изменение режима течения в пограничном слое и поверхностного трения на плоской пластине Течение внутри турбулентного П.С. носит пульсационный, хаотический характер: В этом случае при матемематическом описании течения каждый параметр можно представить в виде суммы осреднѐнного по времени, или среднего, значения и пульсационного. Например, u  u  u' , T  T  T ' . Интеграл по времени от пульсац. составляющей любого параметра за достаточно большой интервал времени  (строго говоря, при    ) равен нулю 1 1 u ' d  u '  0, T ' d  T '  0.      Прандтлем предожена гипотеза "пути перемешивания" l, позволяющая выразить коэффициент турбулентной вязкости через среднюю плотность и градиент средней скорости T : u (11) y В общем случае турбулентный П.С. можно по высоте разделить на 3 области (рис. T   l 2 5):    пристеночный ламинарный подслой, где турбулентные пульсации затухают и решающую роль играют молекулярные вязкость и теплопроводность турбулентное ядро, в котором турбулентные вязкость и теплопроводность существенно превышают соответствующие молекулярные переносные свойства промежуточная переходная область. Распределение скорости внутри турбулентного ядра описывается некоторым универсальным эмпирическим законом: yu u  5,6 lg   4,9 u v 75 Где u  w  - так называемая скорость сдвига, или динамич. скорость, а v    кинематическая вязкость. При построении приближѐнных методов расчѐта турбулентного П.С. широко используются также степенные профили скорости и температуры: 1 1 u  y  n T0  Tw  y  n1     , u1    T01  Tw   T  Где T0 , T01 и Tw - соответствующие температуры торможения в П.С., на границе П.С. и стенки. Значения показателей степени для дозвуковых скоростей изменяются от 1/7 до 1/9 при увеличении числа Рейнольдса, и несущественно возрастают при больших числах Маха. Экспериментальная формула коэффициента трения: 0, 4 T   k 1 2  c fw  0,059 Re  w  1  r M1  2   Te   0 ,11 0 ,8 w Где c fw  2 w  wu12 - коэф. поверхностного трения, Re w   wu1 x w - число Рейнольдса,  M2   - равновесная темп-pa стенки, r - коэффициент восстановления Te  T1 1  r k  1 2   c температуры, M 1 - число Маха внешнего потока, k  p - отношение теплоѐмкостей при cv постоянном давлении и постоянном объѐме. Из аналогии процессов тепломассообмена и трения позволяет для безразмерного коэффициента теплообмена на пластине - числа нусельта Nu - записать формулу, которая хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными данными: 0, 4 T   x k 1 2  Nuw   0,0296 Re0w,8 Prw0, 43 w  1  r M1  w 2   Te   (  - коэф. теплоотдачи, w - коэф. теплопроводности газа на стенке). Для переноса этой 0 ,11 зависимости на случай П.С. на теле произвольной формы может быть использован предложенный метод "эффективной длины", предполагающий, что тепловой поток в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в некоторой точке на пластине при одинаковых местных параметрах течения и при условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины толщины потери энергии  * * * (8) также одинаковы. Рис. 5. Внутреннее строение турбулентного пограничного слоя. 76 Течение в П.С. оказывает решающее влияние на явление отрыва потока от поверхности обтекаемого тела как во внешних (например, обтекание крыла), так и во внутренних (например, течение в диффузоре) течениях. 7.4 Отрыв пограничного слоя, и отрыв потока Отрыв происходит в результате совместного действия двух основных факторов торможения жидкости в П.С. и воздействия перепада давления. Внутри П.С. скорость жидкости или газа уменьшается и еѐ кинетической энергии оказывается недостаточно для преодоления возрастающего давления. В результате вблизи поверхности возникает область возвратного течения, П.С. утолщается и, наконец, основной поток отрывается от стенки (рис. 6) Способность течения в П.С. противостоять повышению давления имеет важное значение в случае падения на телоударных волн, или скачков уплотнения. Существует критическое значение отношения давлений в скачке р2/p1 (так называемый критический перепад, где р2 - давление за, а р1 - перед скачком уплотнения), при котором взаимодействие скачка уплотнения с П.С. приводит к отрыву последнего. Рис. 6. Отрыв пограничного слоя при наличии положительного градиента давления Величина критического перепада давления (р2/р1) кр зависит от режима течения в П.С., числа Маха, а для ламинарного П.С. и от числа Рейнольдса. При воздействии достаточно сильного скачка уплотнения на тело П.С. отрывается и возникает конфигурация так называемого  -скачка, у которого наклон передней "ножки" формируется таким образом, чтобы перепад давления на ней был равен критическому (рис. 7). Рис. 7. Картина течения при взаимодействии пограничного слоя с действующим на тело скачком уплотнения. Отрывное течение - течение, в котором поток газа или жидкости, обтекающий тело, отрывается от его поверхности с образованием вихревой зоны. 77 При дозвуковом течении типичным случаем является возникновение Отрывного течения у поверхности тела с образующими криволинейной формы, например, у профиля крыла, сферы и т. п. Необходимыми условиями возникновения О.Т. при этом являются наличие на поверхности тела вязкого пограничного слоя и повышение давления в направлении течения. Отрыв пограничного слоя наблюдается, например, на верхней поверхности крыла, около кормовой части фюзеляжа и при обтекании других частей самолѐта. О.П.С. сопутствует срыву потока и объясняет его происхождение. В пределах толщины пограничного слоя d скорость течения убывает от значения n0 (скорость внешнего потока) на внешней границе слоя до n = 0 на поверхности тела, а давление остаѐтся таким же, как во внешнем потоке. Поэтому в непосредственной близости от поверхности тела, где скорость частиц близка к нулю, их кинетическая энергия оказывается недостаточной для преодоления повышающегося давления. В результате, эта скорость становится равной нулю, а затем меняет направление на обратное. Возникновение возвратного течения приводит к значительному утолщению пограничного слоя и отрыву потока от стенки. Из–за отрыва пограничного слоя образующеесязаточкойотрывавозвратновихревоетечениесвязаноснеизбежнымипотерямимеханическойэнергии, снижающими аэродинамическое качество летательного аппарата (резко падает подъѐмная сила, возрастает сопротивление движению). Следовательно, важной задачей технической аэродинамики является исследования средств по снижению вероятности отрыва потока и пограничного слоя. Обтекание профиля крыла (а - плавное б – отрыв потока) 78 Отрывное течение при сверхзвуковом обтекании цилиндра с остриѐм. 7.4 Методы управления пограничным слоем Как было показано, переход ламинарного режима течения жидкости в пограничном слое в турбулентный, а также отрыв пограничного слоя приводят к значительному увеличению сопротивления. Поэтому для снижения гидродинамического сопротивления движению тел в жидкости необходима разработка таких искусственных мероприятий, которые способствовали бы сохранению ламинарного режима течения в пограничном слое на возможно большей длине его, а также предотвращали бы отрыв слоя. Можно выделить следующие четыре метода управления пограничным слоем. 7.4.1 Предотвращение отрыва слоя при помощи сосредоточенного отсоса из него жидкости или ввода в слой жидкости. Как отмечалось ранее, отрыв пограничного слоя происходит в области положительных градиентов давления, когда снижение кинетической энергии в слое недостаточно для компенсации роста давления и потерь на внутреннее трение. Поэтому, чтобы предотвратить отрыв слоя и образование возвратного течения, надо удалить из слоя сильно подторможенную жидкость или сообщить ей извне дополнительную кинетическую энергию. Прандтлем было предложено при помощи: 1) сосредоточенного и существенного отбора (отсоса) подторможенной жидкости из слоя (рис 26) удаляется наиболее подторможенный слой жидкости и на его место поступает жидкость из менее подторможенной области слоя, и внешней потенциальной области обтекаемого потока, отбор может производиться и не в одном пункте, а в нескольких. В результате можно добиться безотрывного режима обтекания на всей длине тела и получить за кормой его распределение скорости, показанное на рис 26 (сеч. 2-2). 79 2) сосредоточенного ввода струи жидкости с необходимой скоростью в слой(рис 27). Подторможенная часть жидкости в нем отклоняется от стенки и ей сообщается за счет эжекции добавочная кинетическая энергия. При соответствующей скорости струй может быть обеспечена компенсация роста давления и потерь и, таким образом, предотвращен отрыв слоя. При предотвращении отрыва слоя резко снижается сопротивление давления и, следовательно, значительно уменьшается и полное гидродинамическое сопротивление. Поэтому оба указанных способа предотвращения отрыва слоя применяются в ряде отраслей техники, в том числе в самолетостроении, где используются разрезные профили крыла и устраиваются специальные предкрылки и закрылки. В этих случаях специальных энергетических средств для подвода воздуха в область отрыва не требуется, так как он обеспечивается за счет перетекания воздуха из области повышенных давлений (с нагнетательной стороны крыла). 7.4.2 Затягивание ламинарного участка слоя путем придания носовой части тела оптимальной формы Значения же градиентов давления в слое, как мы уже знаем, в основном определяются формой обтекаемого тела. Поэтому, если придать носовой части тела соответствующую заостренную форму, можно значительно увеличить ламинарный участок в пограничном слое и существенно снизить гидродинамическое сопротивление трения его. В первом приближении требуемые очертания носовой оконечности тела можно определить по данным расчетов устойчивости течения в слое. Затем, с помощью серийных экспериментов такие очертания можно довести до оптимальных. Таким путем был получен ряд новых форм профилей крыла самолета и руля, которые теперь называются ламинизированными профилями (рис. 28). При этом было достигнуто снижение сопротивления до 30% , 80 7.4.3 Ламинаризация пограничного слоя при непрерывном (распределенном) отборе потока Исследования показало, что ламинарный режим в слое в этом случае может сохраняться до Re = 70000, т. е. до числа Рейлольдса в 100 раз большего, чем в слое без отсоса при нулевом градиенте давления. Распределенный отбор оказывает стабилизирующее действие, обусловлено уменьшением толщины слоя, а также, и притом в более значительной степени, — увеличением устойчивости профиля скорости в слое. 7.4.4 Ламинаризация пограничного слоя при щелевом отборе Значительного снижения сопротивления трения можно достигнуть также и при прерывном отборе жидкости из слоя через специальные прорези или щели, выполненные на обтекаемой поверхности тела (рис. 33), также отводится из слоя часть подторможенной жидкости. Вследствие этого в районе щелей отбора толщина пограничного слоя резко уменьшается, а затем снова возрастает на участках между щелями, где развитие пограничного слоя подчиняется тем же законам, что и в слое без отсоса. 81 Внешняя граница слоя тогда имеет ступенчатую форму и располагается всегда ближе к стенке, чем та же граница в слое без отбора (пунктир на рис.33). В заключение отметим, что к настоящему времени разработан и ряд других методов, позволяющих снизить гидродинамическое сопротивление трения. Среди них — применение демпфирующих покрытий, газонасыщение пограничного слоя, создание пристеночных газовых прослоек, введение в пограничный слой полимерных добавок, сообщение обтекаемой поверхности вынужденных колебаний, и др. 82 8 Газодинамические процессы {Модуль 3} Для практически важных случаев решение полной системы уравнений, описывающих течение жидкости, часто представляет собой весьма сложную проблему, несмотря на наличие современной вычислительной техники. Используют различные допущения, упрощающие постановку задач. В ряде случаев удается пренебречь трехмерностью потоков и рассматривать их как двумерные (например, плоскопараллельные и осесимметричные потоки) и даже как одномерные. Если в потоке возможно выделить направление, вдоль которого скорости потока значительно больше, чем в поперечном направлении, то такой поток можно рассматривать как близкий к одномерному и использовать для его описания так называемую одномерную модель квазиодномерного потока (потоки в трубах переменного сечения, в руслах рек и т.п. часто рассматриваются как одномерные потоки). 8.1 Уравнения течения жидкости в трубах переменного сечения Ограничимся рассмотрением квазиодномерных потоков идеальной жидкости в трубах переменного сечения в условиях, когда влиянием силового поля на поток можно пренебрегать. Направим вдоль оси потока (в общем случае криволинейной) ось Ox, рассматривая ее как декартову ось (рисунок 5.1) (для этого нужно, чтобы радиус кривизны оси Ox был настолько больше поперечных размеров потока, что кривизной можно пренебречь). Рисунок 5.1 Принимаем также, что длина трубы гораздо больше, чем ее поперечные размеры, и считаем, что v x =v x (x,t), v y <<v x , v z <<v x  d vy dt  d vx dt d vz dv  x dt dt , В этом случае уравнения Эйлера и неразрывности, описывающие течение идеальной жидкости, в пренебрежении малыми величинами принимают вид    ( p)     div (  v)  0 t  d vx 1 p    dt  x   1 p 0   y  1 p  0   z  (5.1) 83 DIV- Дивергенция (отлат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле) Как видим, функции p и  являются функциями только x и t. В уравнении неразрывности необходимо сохранять все слагаемые, так как это уравнение выражает основной закон природы – закон сохранения массы, и все слагаемые в нем в общем случае имеют одинаковый порядок. Для определения пяти неизвестных (p, , v x , v y , v z ) имеются фактически только первые три уравнения. Чтобы сделать задачу корректной (уравнять число уравнений и число неизвестных), надо исключить из рассмотрения «лишние» неизвестные v y и v z . S    v x S   0  t  x (5.3) уравнение неразрывности для квазиодномерного потока. Теперь полная система уравнений для одномерной модели потока идеальной баротропной жидкости может быть записана в виде: (без учета массовых сил)     d  0  div (  v )    t   vx  vx 1    vx  t x  x     v x S   0  S  t x      p   S  S x   (5.2) (5.4) Так как другие компоненты скорости в одномерной модели течения жидкости не учитываются, то обычно принимают v x =v. 8.2 Уравнение неразрывности струи Рассмотрим стационарный (скорость в данной точке не изменяется со временем) поток идеальной (нет внутреннего трения) несжимаемой жидкости. В этом случае выполняется закон сохранения массы. Пусть за время t через сечение трубы s 1 проходит жидкость массой m1 (рис. 2.3): 84 Так,m 1 =πV 1 =πS 1 V 1 t Тогда через сечение s 2 за тоже время проходит жидкость массой m 2 : m 1 =πV 2 =πS 2 V 2 t Так как m 1 =m 2 , то S 1 V 1 =S 2 V 2 или S1 V2  S 2 V1 Где сечение трубы меньше, там скорость жидкости больше, и наоборот (если s 1 >s 2 , то v 1 1 то и λ>1. Приведенная скорость λ — это отношение скорости газа в рассматриваемом сечении к критической скорости: v v   aкр 2k gRT0 k 1 В отличие от M число λ может меняться только в конечных пределах. Из (4.5) мы видим, что: k 1 0  k 1 87 Число М характеризует отношение скорости газового потока v в рассматриваемом сечении к местной скорости звука а: v v M  a kgRT Область потока, охватываемая числами М от 0 до 1, определяется как дозвуковая; числами М от 1 до ∞ как сверхзвуковая. Число М = 1 характеризует сечение потока, где скорость из дозвуковой переходит в сверхзвуковую. Легко получить связь между К и М: 2  k 1 M  k 1 2 1  k 1 k 1 2  k 1 2 1 M 2 Аналитические выражения для основных газодинамических функций адиабатического изэнтропического потока получены при следующих допущениях:  силами тяжести возможно пренебречь,  расход газа вдоль оси потока постоянен,  течение газа непрерывно, одномерно и стационарно,  течение газа адиабатично,  при течении газа рассеяния энергии не происходит,  текущий газ является совершенным газом с постоянными тепло-емкостями,  течение газа изэнтропично.  Течение газа подчиняется следующим основным законам: 1. закону сохранения массы вдоль оси потока vF  const 2. закону сохранения энергии вдоль оси потока 2 v  i  const 2g где i — энтальпия газа; 3. закону постоянства энтропии вдоль оси потока p  const k M  8.5.1 ГДФ характеризующие термодинамическое состояние. (4.6) 88 (4.7, 4.8)  (M )  T k 1 2  1 M T 2 * Функция π(λ) определяет отношение статического давления р движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к давлению p0 изоэнтропически заторможенного газа в том же сечении. Функция τ{λ) определяет отношение статической температуры Т движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к температуре T0 изэнтропически заторможенного газа в том же сечении. Функцияε(λ) определяет отношение плотности ρ движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к плотности изэнтропически заторможенного газа в том же сечении. Мы получили, таким образом, уравнения, связывающие изменения температуры, плотности и давления в канале с изменением числа Mахa и коэффициента скорости (приведеная скорость). p 0 - называют часто также полным давлением.(или параметром торможения = P*) Понятие температуры и давления торможения широко применяют и тогда, когда течение не является изоэнтропическим и (или) адиабатическим, понимая под этим "местные" значения параметров торможения, Они определяются расчетом из (4.6)-(4.8) по местным значениям M, T, p, π, (или λ ), т.е. это такие значения T, p, π, которые получились бы, если бы начиная с данного сечения поток был полностью заторможен . Установим связь критических параметров с параметрами торможения. Критическим параметрам соответствует число M =λ= 1 Поэтому из (4.6)-(4.8) вытекает: !!!Обратите внимание: звездочка внизу это параметры в критике! (НЕ в камере и это не параметры торможения) 89 T  p столь часто требуются при газодинамических расчетах, что , , T0 0 p0 T  p зависимости,   ,   ,   заранее рассчитаны для разных газов (разных T0 0 p0 показателей адиабаты k) и сведены в специальные (газодинамические) таблицы. Например, Иров Отношения, Характер изменения τ, π, ε в зависимости от коэффициента скорости λ показан на рис. 4.1. Функции ε, τ, π взаимосвязаны между собой уравнением состояния π= ετ. 8.5.2 ГДФ характеризующие Разгон потока (q, y, ξ) Функция q, y, ξ – характеризуют плотность потока массы. Функция y(λ) – определяется отношение q(λ) к π(λ). q( ) F* p0 k  1 k 1  y ( )    ( )  k 1 2  ( ) F p 2 1  k 1 1 Величина обратная функции y(λ) – характеризует изменение статического импульса pF (в зависимости от скорости). Функция принимает значения от 0при λ=0, до ∞ при λ = λ max . Определим, какому количественному закону подчиняется геометрия сопла Лаваля для получения на его выходе заданного числа M >1. С этой целью воспользуемся 90 условием постоянства расхода, в котором в качестве одного из сечений взято критическое сечение. vF  *v* F* Где v-скорость газа, F-площадь сечения. а масса жидкости проходящая через сечение = 𝑚 = 𝜌𝑣𝐹, тогда m v  F q Обозначим через v F  ( ) 1 *v* F* Функция q(λ) —приведенная плотность потока массы — определяет отношение плотности потока массы pv в рассматриваемом сечении потока к плотности потока массы р* v* в критическом сечении потока. Выразим ее через M и λ. Приведенный секундный расход выражается также через отношение давлений π: Графики функций q(λ) и q(M) 1 При увеличении λ от 0 до1 q (λ) растет от 0 до своего максимального значения, q (λ) =1, а затем при дальнейшем росте λ вновь уменьшается до 0 когда λ =λmax Таким образом, приведенный расход максимален и равен 1при λ=1 и снижается как с уменьшением, так и с увеличением скорости по сравнению с критическим значением. Одно и то же значение функции q (λ) ≠ 1 91 соответствует двум значениям скорости газа, одно из которых является дозвуковым, а второе - сверхзвуковым. Правильное значение определяется в соответствии с условиями конкретной задачи. Что касается функции то ее поведение как раз и говорит о том, как должно меняться поперечное сечение сопла, чтобы поток в нем можно было изоэнтропически разогнать до требуемой сверхзвуковой скорости. На рис видно, до какой степени сопло необходимо сужать на дозвуковом и расширять на сверхзвуковом участке. Важно подчеркнуть, что для реализации течения с заданным числом необходимым условием является создание канала, у которого совершенно определенным образом соотносятся площади наименьшего и выходного сечений. Другими словами, если сопло не удовлетворяет выведенному соотношению площадей для желаемого нами числа M>1 то никаким перепадом давления мы не добьемся его получения. Иная ситуация в случае дозвукового сопла. Если сопло только сужается, то поток в нем, ускоряясь, остается везде дозвуковым, кроме, может быть, выходного сечения. для сверхзвукового сопла с целью получения на выходе заданного числа (Ma или λa) >1 следует соответствующим образом подобрать площадь выходного сечения, а именно, определить ее по значению функции q-1. Кроме того, надо иметь достаточный запас давления в камере перед соплом. давление должно в известное число раз превосходить давление в окружающей среде. Это давление легко считается. 92 Функция ξ(λ) – относительный диаметр потока  ( )  d  d* F 1  F* q ( ) Функция принимает значения от ∞ при λ = 0, до 1 при λ = 1, и затем до ∞ при λ= λ max . 8.5.3 ГДФ z, f, r – характеризуют импульс потока. Функция z(λ) – приведенный полный импульс потока. z ( )  mv  pF 1 1  (  ) ma*  p* F* 2  Функция принимает значения от ∞ при λ = 0, до z(λ) пред при λ = λ max . Функция f(λ) – приведенная плотность потока импульса. p  v 2 k  1 2 k 1 f ( )   (1  2 ) * (1  ) p0 k 1 1 Функция принимает значения от 1 при λ = 0, до 0 при λ= λ max Функция r(λ) – определяет отношение статического импульса потока pF в некотором сечении к полному импульсу потока в том же сечении mv+pF r ( )  pF  mv  pF k 1 2  k 1 1  2 1 Функция принимает значения от 1 при λ = 0, до 0 при λ= λ max v 2 Функция  ( ) - определяет отношение скоростного напора в некотором сечении 2 потока к давлению изэнтропически заторможенного газа в этом сечении: 1 pv 2 k 2  k  1 2  k 1  ( )    1    2 p0 k  1  k  1  Функция принимает значения от 0 при   0 и   пред до  ( )max . Величина  ( )max зависит от величины показателя k и располагается в области небольших сверхзвуковых скоростей. 9 Плоский сверхзвуковой поток Важнейшая особенность газодинамических явлений состоит в нелинейности описывающих их дифференциальных уравнений, что вызывает значительные трудности теоретического исследования газодинамических задач. Важное свойство течений газа состоит в том, что возмущения в газе распространяются с конечной скоростью. Малые возмущения давления распространяются 93 в газе со скоростью звука. Если источник слабого возмущения помещѐн в равномерный поток воздуха, движущийся со скоростью меньшей, чем скорость звука (М<1), то возмущения распространяются во все стороны и могут достичь любой точки потока. Если поток сверхзвуковой (М>l), то возмущения сносятся вниз по течению и не выходят за пределы конуса возмущений (рис. 1). Рис. 1. Распространение слабых возмущений: а - в дозвуковом потоке, б - в сверхзвуковом потоке. Уда́рная волна́ — поверхность разрыва, которая движется относительно газа и при пересечении которой давление, плотность, температура и скорость испытывают скачок[1] Произвольный разрыв — произвольный скачок параметров сплошной среды, то есть ситуация, когда слева от некоторой поверхности заданы одни параметры состояния среды (плотность, температура и скорость ), а справа — другие . При нестационарном движении среды поверхности разрыва не остаются неподвижными, их скорость может не совпадать со скоростью движения среды 9.1 Термодинамика ударных волн С макроскопической точки зрения ударная волна представляет собой воображаемую поверхность, на которой термодинамические величины среды испытывают устранимые особенности: конечные скачки. При переходе через фронт ударной волны меняются давление, температура, плотность вещества среды, а также скорость еѐ движения относительно фронта ударной волны. Все эти величины изменяются не независимо, а связаны с одной-единственной характеристикой ударной волны, числом Маха. Математическое уравнение, связывающее термодинамические величины до и после прохождения ударной волны, называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио. z2  z1  p2  p1  1 1      0 2  1  2  9.2 Происхождение ударных волн Звук представляет собой колебания плотности среды, распространяющиеся в пространстве. Уравнение состояния обычных сред таково, что в области повышенного 94 давления скорость звука (то есть скорость распространения возмущений) возрастает (то есть звук является нелинейной волной). Это неизбежно порождает ударные волны. Описанный механизм предсказывает неизбежное превращение любой звуковой волны в слабую ударную волну. 9.3 Ударная волна, вызванная летательным аппаратом При обтекании сверхзвуковым газовым потоком твѐрдого тела на его передней кромке образуется ударная волна, (иногда не одна, в зависимости от формы тела). На фото видны ударные волны, образованные на острие фюзеляжа модели, на передней и задней кромках крыла и на заднем окончании модели. Фотография ударных аэродинамической трубе. волн при обтекании модели сверхзвуковым потоком в На фронте ударной волны (называемой иногда также скачком уплотнения), имеющем очень малую толщину (доли мм), почти скачкообразно происходят кардинальные изменения свойств потока — его скорость относительно тела снижается и становится дозвуковой, давление в потоке и температура газа скачком возрастают. Часть кинетической энергии потока превращается во внутреннюю энергию газа. Все эти изменения тем больше, чем выше скорость сверхзвукового потока. При гиперзвуковых скоростях (5 и выше Махов) температура газа достигает нескольких тысяч градусов. что создаѐт серьезные проблемы для аппаратов, движущихся с такими скоростями Фронт ударной волны по мере удаления от аппарата постепенно принимает почти правильную коническую форму, перепад давления на нѐм уменьшается с увеличением расстояния от вершины конуса, и ударная волна превращается в звуковую. Угол между осью и образующей конуса α связан с числом Маха соотношением: - угол маха 95 При сверхзвуковой скорости полета (рисунок 1, в) сферические волны возмущений будут отставать от источника, граница возмущений будет проходить на конической поверхности, называемой конусом возмущений или волной Маха. Угол между образующей этого конуса (линией Маха) и направлением скорости полета называется углом Маха. Его значение определяется отношением пути s = at , пройденного волной возмущения со скорoстью звука a за определенный промежуток времени t, к пути L = Vt, пройденному за это же время самолетом, летящим со скоростью V: s at a 1  1  sin      ,   arcsin   L Vt V M M  Число Маха является также одним из основных критериев аэродинамического подобия для случаев, когда нельзя пренебрегать сжимаемостью газа. В воздухе сжимаемость необходимо учитывать при скоростях v > 100 м/сек, которым соответствует число М > 0,3. Когда эта волна достигает наблюдателя, находящегося, например, на Земле, он слышит громкий звук, похожий на взрыв. Распространенным заблуждением является мнение, будто бы это следствие достижения самолѐтом скорости звука, или «преодоление звукового барьера». На самом деле, в этот момент мимо наблюдателя проходит ударная волна, которая постоянно сопровождает самолѐт, движущийся со сверхзвуковой скоростью. Обычно сразу после «хлопка» наблюдатель может слышать гул двигателей самолета, не слышный до прохождения ударной волны, поскольку самолѐт двигается быстрее звуков, издаваемых им. Очень похожее наблюдение имеет место при дозвуковом полѐте - самолѐт летящий над наблюдателем на большой высоте (больше 1 км) не слышен, точнее слышим с опозданием: направление на источник звука не совпадает с направлением на видимый самолѐт для наблюдателя с земли. 96 Распространение ударной волны, вызванной сверхзвуковым самолѐтом. Жѐлтая линия — след ударной волны на земле. Снаружи конуса ударной волны самолѐт не слышен. Распространение звуковой волны и след на земле для обычного, дозвукового, самолѐта имеют такую же форму, но с большим углом в вершине конуса. FA-18 Летит на скорости, близкой к скорости звука. Видно облако конденсата, образовавшегося вследствие локального изменения давления (Эффект Прандтля — Глоерта). явление, заключающееся в возникновении облака позади объекта, летящего на околозвуковой скорости в условиях повышенной влажности воздуха. Чаще всего наблюдается у самолѐтов. При очень высокой влажности этот эффект возникает также при полѐтах на меньших скоростях. Волновой кризис — изменение характера обтекания летательного аппарата воздушным потоком при приближении скорости полѐта к скорости звука, сопровождающееся, как правило, ухудшением аэродинамических характеристик аппарата — ростом лобового сопротивления, снижением подъѐмной силы, появлением вибраций и пр. При дозвуковом обтекании фюзеляжа, крыла и оперения самолѐта на выпуклых участках их обводов возникают зоны местного ускорения потока[3]. Когда скорость полѐта летательного аппарата приближается к звуковой, местная скорость движения воздуха в зонах ускорения потока может несколько превысить скорость звука (рис. 1а). Миновав зону ускорения, поток замедляется, с неизбежным образованием ударной волны 97 (таково свойство сверхзвуковых течений: переход от сверхзвуковой скорости к дозвуковой всегда происходит разрывно — с образованием ударной волны). Интенсивность этих ударных волн невелика — перепад давления на их фронтах мал, но они возникают сразу во множестве, в разных точках поверхности аппарата, и в совокупности они резко меняют характер его обтекания, с ухудшением его лѐтных характеристик: подъѐмная сила крыла падает, воздушные рули и элероны теряют эффективность, аппарат становится неуправляемым, и всѐ это носит крайне нестабильный характер, возникает сильная вибрация. 1а. Аэрокрыло в близком к звуковому потоку Рис. 1б. Аэрокрыло в сверхзвуковом потоке. У крыльев с относительно толстым профилем в условиях волнового кризиса центр давления резко смещается назад и нос самолѐта "тяжелеет". Конус маха - Область локализации звуковых волн, испущенных объектом на сверхзвуковой скорости. Характеристики это линии в возмущенный поток от невозмущенного. сверхзвуковом потоке которые отделяют 98 9.4 Скачки уплотнения. Образование скачков уплотнения Резкое движение поршня вправо, возникает волна давления в сечении 1. Н - начальное состояние газа Скорость распостранения ударной волны dP p1  pН 1 Wв  a Wв   d 1   Н  Н в частном случае В частном случае если волна слабая = звуковая волна то Wв=0, то есть нет попутного движения газа. Возьмем за систему отсчета скачек уплотнения. (фронт волны = наблюдатель) Фронт волны неподвижен, а газ движется через него. W1=Wгаз-Wв Приблизительные Толщины скачков давления Mн=2, δск=18*10-5мм Mн=6, δск=8*10-5мм 9.4.1. Прямой скачок 1)При пререходе через прямой скачек возникает торможение потока λ1< λH λ1*λH=1 – кинематическое соотношение прямого скачка. 2) T1>TН - повышается температура T1  TH  (1 )  ( H ) причем 1  1 Н 3) P1>PH повышение статического давления 99 P1  PH y ( Н ) 1 y( ) H y ( )  где q ( )  ( ) 4) ρ 1> ρ H Увеличивается ρ 1   H H 1 при 1  1 Н имеем 1   H H 2 Т.к. λmax имеет макс значение то при k=1.4 макс увеличение плотности в 6 раз 1max  6 H 5) Уменьшение полного давления. (давления торможения) P * q ( Н )  -коэффициент полного давления <1   1*  PH q( 1 ) H 9.4.2 Косые скачки уплотнения 100 101 Вычисление параметров после прохожения через косой скачок. Формулы те же что и для прямого скачка но вместо λН применяем λHn 102 103 Рис 4-1. Сверхзвуковое течение газа в область повышенного давления. Рассмотрим движение сверхзвукового потока вдоль плоской стенки AB, вытекающего в среду с повышенным давлением (рис. 4-1). Слева от точки В скорость будет c1 давление p1 и температура T1 . Правее точки В (за линией ВС) поддерживается давление p2 более высокое, чем p1 . Если разность давлений p2 — p1 мала, то в точке В возникает слабая волна сжатия BK 1 Если изменение давления в точке В станет конечным, то, как показывает эксперимент, волна переместится в положение ВК и будет обладать не бесконечно малой, а конечной интенсивностью. По мере увеличения давления p2 линия ВК будет поворачиваться относительно точки В влево {ВК', ВК" и т. д.). При переходе через волну ВК газ сжимается и моток отклоняется на некоторый угол δ вверх от направления невозмущенного потока АВ. С ростом p2 сжатие газа в волне ВК и угол отклонения δ увеличиваются. Волна ВК называется плоским косым скачком уплотнения или плоской ударной волной. При переходе через такую ударную волну поток испытывает скачкообразные изменения давления, скорости и других параметров. 104 Положение скачка определяется углом (β между плоскостью скачка ВК и первоначальным направлением потока АВ (рис. 4-1). Образование косых скачков уплотнения можно проследить также на простейшем примере обтекания стенки ABC, повернутой в точке В на некоторый конечный угол S навстречу потоку (рис.4-2). Благодаря такому повороту стенки сечение струйки уменьшается и она суживается. В сверхзвуковом потоке это приведет к повышению давления ( p2 > p1 ).Причем повышение давления происходит скачкообразно при переходе через поверхность* ВК* являющуюся поверхностью скачка Скачок уплотнения, возникающий перед телом, называются головным, а за кормой тела - хвостовым. Скачок уплотнения, имеющий общую точку с породившим его препятствием, называется присоединенным. Прямой скачок уплотнения всегда смещен относительно препятствия вперед и, следовательно, является отсоединенным. 105 9.5 Формы скачков уплотнения Прямой скачок возникает перед обтеканием тупого (прямого тела) косой скачок при обтекании угла (рисунок, прямого и косого). В зависимости от значения сверхзвуковой скорости полета и формы головной части тела скачок уплотнения, на передних кромках, может иметь различную форму. В общем случае скачок уплотнения имеет криволинейную форму. Присоединенный криволинейный скачок (а) образуется при обтекании заостренного тела. Отсоединенный криволинейный скачок (б), который в передней своей части с достаточным приближением может рассматриваться как прямой скачок , образуется при обтекании затупленного тела. По мере удаления от тела он переходит в косой скачок , а затем в конус Маха. При сверхзвуковом обтекании заостренного тела с прямолинейными образующими может возникнуть присоединенный прямолинейный скачок уплотнения (в). 9.6 Критическая скорость Скорость полета самолета (V), при которой где-либо на поверхности самолета местная скорость обтекания становится равной местной скорости звука, называется критической скоростью V крит . Этой скорости соответствует критическое число Маха М крит . Естественно, что М крит <1. 9.7 Течение Прандтля Майера Это плоскопараллельное течение газа, возникающее при движении равномерного сверхзвукового потока вдоль параллельной ему твѐрдой поверхности, которая плавно переходит в искривлѐнный участок с выпуклостью в сторону потока. 106 любое течение, непрерывно соединяющееся с областью пост. потока, всегда есть П.-М. т. Так, течение, соответствующее обтеканию однородным сверхзвуковым потоком криволинейного выпуклого участка стенки ОС1 (рис. 1), есть П.- М. т. Поворот потока происходит постепенно в последовательности прямых характеристик, исходящих из каждой точки искривлѐнного участка стенки. Рис. 3. Схема течения Прандтля – Майера с сжатием газа (обтекание вогнутой криволинейной стенки). При обтекании вогнутого участка стенки (рис. 3) происходит сжатие газа и движение является П.- М. т. лишь в области вверх по потоку от характеристики второго семейства АС1 , идущей из ближайшей к стенке точки пересечения прямолинейных характеристик А. У точки А образуется "висячий", не примыкающий к стенке скачок уплотнения, распространяющийся внутрь области течения; поток за скачком становится вихревым. 107 рис 2 При установившемся С. т. вдоль стенки с изломом (рис. 2,а) возмущения, идущие от всех точек линии излома, ограничены огибающей конусов возмущений и плоскостью, наклонѐнной к направлению потока под углом ,таким, что за этой плоскостью поток поворачивается, расширяясь внутри угл. области, образованной пучком плоских фронтов возмущений (характеристик) до тех пор, пока не станет параллельным направлению стенки после излома. Если стенка между двумя прямолинейными участками искривляется непрерывно (рис. 2,б),то поворот потока происходит постепенно в последовательности прямых характеристик, исходящих из каждой точки искривлѐнного участка стенки. В этих течениях, называемых течениями Прандтля - Майера, параметры газа постоянны вдоль плоских характеристик. Давление и плотность газа в таком течении при движении уменьшаются. При удалении от стенки градиенты этих величин вдоль линий тока уменьшаются. Напротив, если стенка имеет вогнутый участок(рис. 2,в), то прямолинейные характеристики сближаются и градиенты давления и плотности вдоль линий тока при некотором удалении от стенки неограниченно возрастают, в потоке возникает скачок уплотнения. 108 9.8 Закон обращения воздействия Изменения условий течения газа, вызывающие соответствующие изменения параметров состояния потока, называются воздействиями. Существует пять видов воздействий: 1. Геометрическое воздействие изменение величины проходного сечения канала вдоль потока. 2. Расходное воздействие — изменение массового расхода газа в канале путем вдува (отсоса) дополнительной массы через боковую поверхность. 3. Механическое воздействие — обмен механической энергией в форме технической работы между потоком газа и окружающей средой. 4. Тепловое воздействие — подвод (отвод) тепла в поток. 5. Воздействие трением — учет влияния реально существующих сил вязкого трения в рамках модели идеального газа. Закон образования воздействий. Записывается в виде (все воздействия справа) (M 2 − 1) 𝑑𝑉 𝑑𝐹 𝑑𝑚 𝑘 − 1 1 𝑘 = − − 2 𝑑𝑄 − 2 𝑑𝐿тех − 2 𝑑𝐿тр 𝑉 𝐹 𝑚 𝑎 𝑎 𝑎 Дозвуковой поток. M<1 -* + = 1) Ускорение dV>0 Сужение канала dF<0 – геометр воздействие Подвод массы(вдув) m >0 – расходное воздействие подвод тепла dQ>0 – тепловое воздействие турбина dL тех >0 – механическое воздействие Воздействие трения dL тр >0 – воздействие трением. 2) Торможение dV<0 -*- = + Расширение канала dF>0 – геометр воздействие отвод массы m <0 – расходное воздействие отбор тепла dQ<0 – тепловое воздействие компрессор dL тех <0 – механическое воздействие Сверхзвуковой поток M>1 1) Ускорение dV>0 +*+=+ 109 Расширение канала dF>0 – геометр воздействие отвод массы(вдув) m <0 – расходное воздействие отвод тепла dQ<0 – тепловое воздействие компрессор dL тех <0 – механическое воздействие 2) торможение dV<0 +*-=Сужение канала dF<0 – геометр воздействие Подвод массы(вдув) d m >0 – расходное воздействие подвод тепла dQ>0 – тепловое воздействие турбина dL тех >0 – механическое воздействие Воздействие трения dL тр >0 – воздействие трением. Выводы: 1. Воздействие одного знака противоположным образом влияет на дозвуковой и сверхзвуковой поток. 2. Воздействие одного знака приводит к ускорению дозвукового потока до λ=1 или M=1; и торможению сверхзвукового потока до λ=1 или M=1 3. Для перехода через кризис течения λ=1 или M=1 знак воздействия нужно менять на противоположный. 1) Расходное воздействие на газовый поток. 𝑑𝐹 = 0, 𝑑𝑄 = 0 𝑑𝐿тех = 0 𝑑𝐿тр = 0 Тогда формула воздействия принимает вид: (M 2 − 1) 𝑞 𝜆2 = 𝑞 𝜆1 ∗ (1 + Критический подвод массы 𝑑𝑚кр = 𝑚1 (𝑞 1 𝜆1 𝑑𝑉 𝑉 =− 𝑑𝑚 𝑚 𝑑𝑚 ) 𝑚1 − 1) 0 < 𝑑𝑚 < 𝑑𝑚кр Если подвод массы меньше критического то дозвуковой поток ускоряется но не переходит звуковой барьер (остается дозвуковым) M1<1 после 𝜆2 < 1 Если подвод массы меньше критического то сверхзвуковой поток тормозится но не переходит звуковой барьер (остается сверхзвуковым) M1>1 после 𝜆2 > 1 𝑑𝑚 > 𝑑𝑚кр поток становится 𝜆 = 1 110 Если подвод массы больше критического то дозвуковой поток ускоряется до звуковой скорости. До подвода M1<1 после 𝜆2 = 1 Если подвод массы больше критического то сверхзвуковой поток сначала тормозится через скачек до дозвуковой скорости 𝜆′ 2 < 1 а потом разгоняется до 𝜆2 = 1 Схема расходного сопла. 2) Механическое воздействие. 𝑑𝐹 = 0, 𝑑𝑄 = 0 𝑑𝑚 = 0 𝑑𝐿тр = 0 Тогда формула воздействия принимает вид: (M 2 − 1) Схема механического сопла 𝑑𝑉 𝑉 1 = − 𝑎 2 𝑑𝐿тех Температура торможения (полная) высчит по формуле: 𝐿тех 𝑇 ∗ = Т∗1 − Ср Давление торможения (полное) высчит по формуле: 𝑇∗ 𝑘 ∗ ∗ Р = Р 1 − ( )𝑘−1 𝑇 3) Тепловое воздействие 𝑑𝐹 = 0, 𝑑𝑚 = 0 𝑑𝐿тех = 0 𝑑𝐿тр = 0 Тогда формула воздействия принимает вид: (M 2 − 1) 𝑑𝑉 𝑉 =− 𝑘−1 𝑎2 𝑑𝑄 Схема теплового сопла 111 Критический подвод тепла dQкр это такое тепло при котором скорость потока становится = 𝜆2 = 1 𝑧 𝜆 2 𝑄кр = 4 Подвод тепла по условию 0 < 𝑄 < 𝑑𝑄кр Дозвук ускоряется но остается дозвуковым Сверхзвук тормозится но остается сверхзвуковым Подвод тепла по условию 𝑄 = 𝑑𝑄кр Дозвук ускоряется до 𝜆2 = 1 Сверхзвук тормозится до 𝜆2 = 1 Подвод тепла по условию 𝑄 > 𝑑𝑄кр Дозвук ускоряется до 𝜆2 = 1 Сверхзвук тормозится через прямой скачек до 𝜆2 < 1 4) Воздействие трением. 𝑑𝐹 = 0, 𝑑𝑄 = 0, 𝑑𝑚 = 0, 𝑑𝐿тех = 0, 𝑑𝑉 𝑘 2 Тогда формула воздействия принимает вид: (M − 1) 𝑉 = − 𝑎 2 𝑑𝐿тр Дозвук ускоряется Сверхзвук тормозится Критическая длина трубы 9.9 Гидравлический удар Явление гидравлического удара открыл в 1897-1899 г. Н. Е. Жуковский. Увеличение давления при гидравлическом ударе определяется в соответствии с его теорией по формуле: , где Dp — увеличение давления в Н/м², ρ — плотность жидкости в кг/м³, v0 и v1 — средние скорости в трубопроводе до и после закрытия задвижки (запорного клапана) в м/с, с — скорость распространения ударной волны вдоль трубопровода. Жуковский доказал, что скорость распространения ударной волны c находится в прямо пропорциональной зависимости от сжимаемости жидкости, величины деформации стенок трубопровода, определяемой модулем упругости материала E, из которого он выполнен, а также от диаметра трубопровода. 112 Следовательно, гидравлический удар не может возникнуть в трубопроводе, содержащем газ, так как газ легко сжимаем. Зависимость между скоростью ударной волны c, еѐ длиной и временем распространения (L и τ соответственно) выражается следующей формулой: Виды гидравлических ударов В зависимости от времени распространения ударной волны τ и времени перекрытия задвижки (или другой запорной арматуры) t, в результате которого возник гидроудар, можно выделить 2 вида ударов: Полный (прямой) гидравлический удар, если t < τ Неполный (непрямой) гидравлический удар, если t > τ При полном гидроударе фронт возникшей ударной волны движется в направлении, обратном первоначальному направлению движения жидкости в трубопроводе. Его дальнейшее направление движения зависит от элементов трубопровода, расположенных до закрытой задвижки. Возможно и повторное неоднократное прохождения фронта волны в прямом и обратном направлениях. При неполном гидроударе фронт ударной волны не только меняет направление своего движения на противоположное, но и частично проходит далее сквозь не до конца закрытую задвижку. Гидроударом часто называют следствие заполнения надпоршневого пространства в моторе водой, что приводит к внезапной остановке и поломке мотора из-за того, что жидкость практически несжимаема. Расчет гидравлического удара Прямой гидравлический удар бывает тогда когда время закрытия задвижки t3 меньше фазы удара T, определяемой по формуле: Здесь l - длина трубопровода от места удара до сечения, в котором поддерживается постоянное давление, Cu - скорость распространения ударной волны в трубопроводе, определяется по формуле Н.Е. Жуковского, м/с: где E - модуль объемной упругости жидкости, ρ- плотность жидкости, скорость распространения звука в жидкости, Etr - модуль упругости материала стенок трубы, D - диаметр трубы, h - толщина стенок трубы. 113 Для воды отношение зависит от материала труб и может быть принято; для стальных - 0.01; чугунных - 0.02; ж/б - 0.1-0.14; асбестоцементных - 0.11; полиэтиленовых - 1-1.45 Коэффициент k для тонкостенных трубопроводов применяется (стальные, чугунные, а/ц, полиэтиленовые) равным 1. коэффициент армирования кольцевой арматурой (f - площадь сечения кольцевой арматуры на 1м длины стенки трубы). Обычно a = 0.015 − 0.05 Повышение давления при прямом гидравлическом ударе определяется по формуле: P = ρCuVo где Vo - скорость движения воды в трубопроводе до закрытия задвижки. Если время закрытия задвижки больше фазы удара (t3>Т), такой удар называется непрямым. В этом случае дополнительное давление может быть определено по формуле: Результат действия удара выражают также величиной повышения напора H, которая равна: при прямом ударе при непрямом Способы предотвращения возникновения гидравлических ударов Исходя из формулы Жуковского (определяющей увеличение давления при гидроударе), для ослабления силы этого явления или его полного предотвращения можно - уменьшить скорость движения жидкости в трубопроводе, увеличив его диаметр. - Для ослабления силы этого явления следует увеличивать время закрытия затвора - Установка демпфирующих устройств. Примеры Наиболее простым примером возникновения гидравлического удара является пример трубопровода с постоянным напором и установившимся движением жидкости, в котором была резко перекрыта задвижка или закрыт клапан. В скважинных системах водоснабжения гидроудар, как правило, возникает, когда ближайший к насосу обратный клапан расположен выше статического уровня воды более, чем на 9 метров, или ближайший к насосу обратный клапан имеет утечку, в то время как расположенный выше следующий обратный клапан держит давление. 114 В обоих случаях в стояке возникает частичное разрежение. При следующем пуске насоса вода, протекающая с очень большой скоростью, заполняет вакуум и соударяется в трубопроводе с закрытым обратным клапаном и столбом жидкости над ним, вызывая скачок давления и гидравлический удар. Такой гидравлический удар способен вызвать образование трещин в трубах, разрушить трубные соединения и повредить насос и/или электродвигатель. Гидроудар может возникать в системах объѐмного гидропривода, в которых используется золотниковый гидрораспределитель. В момент перекрытия золотником одного из каналов, по которым нагнетается жидкость, этот канал на короткое время оказывается перекрытым, что влечѐт за собой возникновение явлений, описанных выше. 9.10 Истечение жидкости и газа через отверстия и насадки. СТРУЯ - форма течения жидкости, при к-рой жидкость (газ) течѐт в окружающем пространстве, заполненном жидкостью (газом) с отличающимися от струи параметрами (скоростью, темп-рой, плотностью, составом и т. п.). В приближѐнной модели течения идеальной жидкости граница струи является поверхностью тангенциального разрыва и вещество струи не смешивается с веществом окружающего пространства. В реальных течениях ввиду неустойчивости тангенциального разрыва между струей и окружающим еѐ внешним пространством возникает слой вязкого перемешивания, в к-ром все рассмотренные параметры течения изменяются непрерывно от соответствующих струи до соответствующих внеш. пространству. Струйные течения классифицируют по наиб. существ. признакам. 1) Струи, вытекающие из сопла или отверстия в стенке сосуда. В зависимости от формы поперечного сечения отверстия (сопла) могут быть: - круглые, квадратные, плоские. в зависимости от направления скорости течения на срезе сопла различают: - осевые, веерные и закрученные С. 2) В соответствии с характеристиками веществ рассматривают струи: - капельной жидкости, газа, плазмы. В особый класс выделяются - двухфазные струи,( напр. газовые, содержащие жидкие или твѐрдые частицы, или С. жидкости, заполненные пузырьками газа.) Для сжимаемых газов в зависимости от значения М различают: -дозвуковые ( М<1) и сверхзвуковые ( М>1). Аналогичная классификация в зависимости от числа М проводится и для скорости среды, в к-рую вытекает С. 3) В зависимости от направления скорости течения газа (жидкости) в окружающей среде различают: - вытекающие в спутный (направленный в ту же сторону), встречный и сносящий потоки (напр., С. жидкости, вытекающая из трубы в реку и направленная соответственно по течению, против течения и под углом к скорости течения реки). 3) По составу жидкости (газа) в струе и окружающей еѐ неподвижной среды 115 - Струя наз. затопленной – составы идентичны (напр., С. воздуха, вытекающая в неподвижную атмосферу). -С. наз. свободной, если она вытекает в среду, не имеющую ограничивающих поверхностей, -п о л у о г р а н и ч е н н о й, если она течѐт вдоль плоской стенки, - с т е с н ѐ н н о й, если вытекает в среду, ограниченную твѐрдыми стенками (напр., С., вытекающая в трубу большего диаметра, чем диаметр сопла). 4) В соответствии с физ. особенностями веществ струи и внеш. среды различают: - струи смешивающиеся (С. газа, вытекающая в воздух) - несмешивающиеся (С. воды, вытекающая в атмосферу). Поверхность несмешивающейся С. неустойчива, и на нек-ром расстоянии от среза сопла С. распадается на капли. Дальнобойность такой Струи - расстояние, на кром она сохраняется монолитной,(- зависит от физ. свойств еѐ вещества, кинѐтич. энергии и уровня начальных возмущений в сопле.) В случае, когда вещество С. способно смешиваться с веществом внеш. среды, на еѐ поверхности образуется область вязкого перемешивания - струйный пограничный слой. В зависимости от режима течения в этом слое различают С. ламинарные и турбулентные. (Так, струя, вытекающая из сопла реактивного двигателя летящего самолѐта,пример турбулентной сверхзвуковой С., вытекающей в спутный поток, к-рый в зависимости от скорости полѐта самолѐта может быть дозвуковым или сверхзвуковым.) В д о з в у к о в о й турбулентной струе статическое давление в любой точке струи почти постоянно и близко к давлению в окружающем пространстве. Такие С., называемые и з о б а р и ч е с к и м и, широко распространены. Рис. 1. Спутная изобарическая струя газа: bс - радиус сопла; b - радиус струи; α-угол наклона внутренней границы начального участка; θ - угол расширения внешней границы струи. На срезе сопла спутной изобарической С. (сечение аа, рис. 1) скорость течения Vc отличается от скорости спутного потока Va. На границе струи и внеш. потока образуется слой вязкого перемешивания В, состоящий из газа струи и смешивающегося с ней газа внеш. среды. Расход газа в струе, ограниченной размером b, по мере удаления от среза сопла монотонно увеличивается за счѐт подсасываемого из внеш. пространства газа, но суммарное количество движения, определѐнное по избыточной скорости, остаѐтся неизменным. 116 В нач. участке струи при х<хн расширяющийся слой перемешивания ещѐ не достигает оси течения; скорость Vc вблизи оси постоянна и равна скорости на срезе сопла. В переходном участке С. ( х н<х<х н + х п ) вязкое перемешивание распространяется на весь объѐм струи, скорость течения на оси уменьшается, но профили скоростей ещѐ продолжают изменяться. В осн. участке струи ( х>х н + х п ) скорость течения на оси уменьшается, профили относит, скорости ΔV/ΔVm=f(y/b )становятся неизменными (автомодельными) ΔV =Vy -Va, ΔVm=Vm-Va - избыточные скорости в рассматриваемой точке течения на расстоянии у от оси струи и на оси). Аналогично профилю скорости ведут себя профили избыточных температуры и концентрации в осн. участке струи; все они связаны зависимостью: 1 1 v  T  Pr  x  Pr y      f     vm  Tm  b  xm  где ΔT=T-Tа, ΔТm=Тm -Та, Δχ= χ- χa, Δχm= χm- χa - соответствующие значения избыточных темп-ры Т и концентрации , Рr - число Прандтля, для осесимметричных газовых струй Pr = 0,75-0,8. Углы расширения границ слоя перемешивания струи α и θ различны для полей скорости, темп-ры и концентрации. Для турбулентных струй сжимаемого газа углы α и θ тем больше, чем больше отличается от 1 спутность потока m =Va/Vc, Кроме того, углы α и θ, существенно увеличиваются при увеличении ср. значения турбулентности потока v ' / u , где v ' величина поперечной пульсации скорости, а u - средняя величина скорости в струе. Таким образом, течение в изобарич. турбулентной спутной струе. в осн. определяется безразмерными числами Маха, Прандтля, спутности течения m, и турбулентности течения Схема течения в изобарической, с в е р х з в у к о в о й спутной струи такая же, как для дозвуковой (рис. 1). Скорость течения на оси изобарической струи постоянна в пределах начального (изоэнтропического) участка течения х<=хн, а в дальнейшем монотонно изменяется, стремясь к значению скорости в окружающем пространстве. В осн. участке затопленной струи х>хн+хп скорость на оси изменяется по закону для осесимметричных сртуй 1 / x и по закону для плоских 1 / x ( x  x / bc -безразмерное расстояние от среза сопла). Независимо от формы поперечного сечения струи на срезе сопла, начиная с некрого расстояния , в осн. участке струя. становится круглой. В случае, когда давление Рс в сверхзвуковой струе на срезе сопла отличается от давления Ра в окружающей атмосфере (pc>pа) Струя наз. нерасчѐтной и к числу параметров, характеризующих течение в С., добавляется нерасчѐтность истечения n =рс/ра, определяющая картину ударных волн в струе. и во внеш. пространстве. Примером такого течения является С., вытекающая из сопла вертикально стартующей ракеты. Для неѐ условие n=1 будет иметь место только в одной точке траектории. 117 Расчетный нерасчетные режимы иситечения из сопла: Расчетный если Pc=Pa Не равно значит нерасчетный – Pa>Pc недорасширение Pa