Механические колебания и волны.

Курс Общей физики. Факультет БИТ. 13 октября 2020 Модуль №1. Механика. Лекция №5. Механические колебания и волны. 1 Гармонические колебания и их характеристики Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Различают колебания механические, электромагнитные и др. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Трофимова Т.И. Курс физики. 2 Гармонические колебания Гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса): 𝑥(𝑡) = 𝐴cos 𝜔𝑡 + 𝜑 А — максимальное значение колеблющейся величины — амплитудa колебания; 𝜔— круговая (циклическая) частота; 𝜔𝑡 + 𝜑 — фазa колебания; 𝜑 — начальная фаза; Трофимова Т.И. Курс физики. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики в 2 т. Том 1. 3 Гармонические колебания и их характеристики Период колебаний Т — промежуток времени, за который колебания повторяются и фаза колебания получает приращение 2π: Частотa колебаний [Гц=1/c] — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени: 1 𝑇 𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑 = 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2𝜋 𝜈= = 2𝜋 𝑇= 𝜔 𝜔 = 2𝜋𝜈 Трофимова Т.И. Курс физики. 𝜔 2𝜋 — круговая (циклическая) частота; Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики в 2 т. Том 1. 4 Гармонические колебания и их характеристики =𝑥max T/2 𝑥(𝑡) = 𝐴cos 𝜔𝑡 + 𝜑 d𝑥 𝑣= = −𝐴𝜔sin 𝜔 + 𝜑 = d𝑡 𝜋 = 𝐴𝜔0 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2 d2 𝑥 a= 2 d𝑡 2 = −𝐴𝜔 cos(𝜔𝑡 + T =𝑣max =𝑎max 𝜑) = = 𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 + 𝜋 Трофимова Т.И. Курс физики. 5 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_2.pdf Гармонический осциллятор. Уравнение гармонических колебаний Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. 𝑚𝑎Ԧ = 𝐹Ԧ Пружинный маятник d2 𝑥 𝑚 2 d𝑡 d2 𝑥 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝑘 =− 𝑥 𝑡 2 d𝑡 𝑚 𝑘 = 𝑚 ω2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: http://phys.bspu.by /static/um/phys/m eh/1mehanika/pos/ glava09/9_1.pdf 2 d 𝑥 2 + 𝑥ω = 0 2 d𝑡 Решение: 𝑥(𝑡) = 𝐴cos 𝜔𝑡 + 𝜑 Трофимова Т.И. Курс физики. 6 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_2.pdf Векторные диаграммы 𝑥(𝑡) = 𝐴cos 𝜔𝑡 + 𝜑 2𝜋 𝜔= 𝑇 1 𝑇 𝜈= = 𝜔 2𝜋 𝜑 𝑥(𝑡)=𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑) 𝑥=𝐴cos(𝜑) Трофимова Т.И. Курс физики. http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_2.pdf https://ru.wikipedia.org 7 Комплексная форма записи уравнения гармонического колебания Комплексная амплитуда комплексное число, модуль которого равен амплитуде, а аргумент — фазе сигнала: 𝑥෤ = 𝐴𝑒 𝑖 𝜔𝑡+𝜑 = =𝐴cos 𝜔𝑡 + 𝜑 +𝑖Asin 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 = Re(𝑥) ෤ Im(A) 𝐴𝑒 𝑖 (𝜔𝑡+𝜑) 𝜔𝑡+𝜑 Re(A) 𝐴cos(𝜔𝑡+𝜑) e𝑖𝛼 = cos 𝛼 + 𝑖sin(𝛼) – формула Эйлера 𝑖 = −1 – мнимая единица Трофимова Т.И. Курс физики. https://ru.wikipedia.org 8 Энергия колебательного движения • • • • Свободные, или собственные, колебания — это такое движение системы, которое происходит при отсутствии внешних воздействий. Поскольку упругие или квазиупругие силы, под действием которых происходят гармонические колебания, являются консервативными, то полная энергия таких колебаний должна оставаться постоянной. Полная энергия колеблющейся системы слагается из кинетической энергии элемента системы, который движется и имеет массу, и потенциальной энергии упругой части системы, равной работе квазиупругой силы. В процессе колебаний величина каждой из них периодически меняется, происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную и наоборот. 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 Кинетическая энергия: 𝑚𝑣 2 1 d𝑥 𝐸𝑘 = = 𝑚 2 2 d𝑡 2 𝑣= d𝑥 = −𝐴𝜔sin 𝜔 + 𝜑 d𝑡 𝑘 = 𝑚 ω2 1 = 𝑚𝐴2 𝜔2 sin2 𝜔𝑡 + 𝜑 2 Потенциальная энергия: 𝑥 𝑥 𝑘𝑥 2 𝐸n = 𝑈 = − න 𝐹𝑑𝑥 = න 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 2 1 2 1 2 = 𝑘𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 = 𝑚𝜔2𝐴2 cos2 𝜔𝑡 + 𝜑 2 2 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_4.pdf 𝜕𝑈 𝐹𝑥 = − 𝜕𝑥 9 Трофимова Т.И. Курс физики. Энергия колебательного движения 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 Кинетическая энергия: 2 𝑘 = 𝑚 ω2 𝑚𝑣 1 𝐸𝑘 = = 𝑚𝐴2 𝜔2 sin2 𝜔𝑡 + 𝜑 2 2 Потенциальная энергия: 𝑥 𝐸n = 𝑈 = − න 𝐹𝑑𝑥 • • • • 1 = 𝑚𝜔2𝐴2 cos 2 𝜔𝑡 + 𝜑 2 𝜕𝑈 𝐹𝑥 = − 𝜕𝑥 Значения кинетической и потенциальной энергии колеблются со сдвигом фаз, равным π/2 . Минимуму кинетической энергии в состоянии максимального отклонения соответствует максимум потенциальной энергии. При прохождении положения равновесия система имеет максимальную кинетическую энергию. Потенциальная же энергия равна нулю, потому что в положении равновесия отсутствуют квазиупругие силы. При дальнейшем движении квазиупругие силы выполняют отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная энергия увеличивается. http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_4.pdf 10 Трофимова Т.И. Курс физики. Энергия колебательного движения 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 Кинетическая энергия: 2 𝑚𝑣 1 𝐸𝑘 = = 𝑚𝐴2 𝜔2 sin2 𝜔𝑡 + 𝜑 = 2 2 1 = 𝑚𝜔2𝐴2 [1 − cos(2 𝜔𝑡 + 𝜑 )] 4 Потенциальная энергия: 𝑥 𝐸п = 𝑈 = − න 𝐹𝑑𝑥 = = 1 = 𝑚𝜔2𝐴2 cos 2 𝜔𝑡 + 𝜑 = 2 1 𝑚𝜔2𝐴2 [1 + cos(2 𝜔𝑡 4 Полная энергия: + 𝜑 )] 1 𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸п = 𝑚𝜔2𝐴2 2 Кинетическая и потенциальная энергии колеблются около среднего значения 1 𝑚𝜔2𝐴2 с частотой, вдвое большей частоты 4 колебания системы, изменяясь от нуля до 1 𝑚𝜔2𝐴2 на протяжении каждого 2 полупериода колебания системы. http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_4.pdf 11 Трофимова Т.И. Курс физики. Пружинный маятник Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. 𝑚𝑎Ԧ = 𝐹Ԧ d2 𝑥 𝑚 2 d𝑡 𝟐 = −𝑘𝑥(𝑡) 𝒅 𝒙 𝒌 =− 𝒙 𝒕 𝟐 𝐝𝒕 𝒎 𝑘 = 𝑚 2 ω2 ⇒ ω= – уравнение движения пружинного маятника 𝑘 𝑚 d 𝑥 2 =0 + 𝑥ω d𝑡 2 𝑚 – период колебаний 𝑇 = 2𝜋 𝑘 Eп= http://phys.bspu.by /static/um/phys/m eh/1mehanika/pos/ glava09/9_1.pdf 𝑘𝑥2 2 Трофимова Т.И. Курс физики. 12 Математический маятник Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. 𝑚𝑎Ԧ = 𝐹Ԧ d2 𝑥 𝑚 2 d𝑡 = −𝑚𝑔 sin(φ) – уравнение движения математического маятника При малых φ (=3—5°): sin(φ) ≈ φ 𝒅𝟐 𝒙 𝒈 = − 𝒙 𝒕 =-kx 𝐝𝒕𝟐 𝒍 𝑔 = 𝑙 ω2 ⇒ ω = 𝑙 𝑇 = 2𝜋 𝑔 Eп= 𝑘𝑥2 2 𝑔 𝑙 d2 𝑥 => 2 d𝑡 + 𝑥ω2 = 0 – период колебаний https://youtu.be/JJFczJe-jqc?t=70 13 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_3.pdf Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси подвеса, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс 𝑃𝜏 = 𝑚𝑔sin 𝜑 ≈ 𝑚𝑔𝜑 𝑀 = −𝑚𝑔𝜑𝑙 – момент силы тяжести Основной закон динамики для вращательного движения: 𝐼ε =𝑀 𝑑2 𝜑 𝐼 2 = −𝑚𝑔𝑙𝜑 𝑑𝑡 I — момент инерции тела относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку O перпендикулярно плоскости чертежа. 𝜔= 𝑚𝑔𝑙 𝐽 𝑑2 𝜑 2 + 𝜔 0𝜑 = 0 2 𝑑𝑡 – уравнение колебаний физического маятника Трофимова Т.И. Курс физики. 14 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_3.pdf Физический маятник https://youtu.be/qg33vx_vDIM Уравнение колебаний физического маятника: 𝑑2 𝜑 2 + 𝜔 0𝜑 = 0 2 𝑑𝑡 𝜔= 𝑚𝑔𝑙 – частота 𝐼 I — момент инерции тела относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку O перпендикулярно плоскости чертежа. 𝑇 = 2𝜋 𝐼 – период колебаний 𝑚𝑔𝑙 физического маятника 𝑙 – период колебаний 𝑇 = 2𝜋 𝑔 математического маятника 𝐼 = 𝑚𝑙 2 – момент инерции математического маятника Приведенная длина физического маятника – длина при которой математический маятник будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник: 𝐼 𝐿= Трофимова Т.И. Курс физики. 𝑚𝑙 Период колебаний физического маятника через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (используя теорему Штейнера): 𝐼0 + 𝑚𝑙2 𝑇 = 2𝜋 𝑚𝑔𝑙 15 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_3.pdf Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений. Многократного применения теорему сложения, получаем На рисунке амплитуды представлены векторами. Их направления соответствуют начальным фазам. В течение времени t они поворачиваются на один и тот же угол ωt, поскольку колебания имеют одинаковую частоту. Представление колебаний с помощью вращающихся векторов называется векторной диаграммой. Оно позволяет находить амплитуду и отклонение, не прибегая к математическим выкладкам. В частном случае равных амплитуд: 16 https://www.fxyz.ru Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления 17 https://www.fxyz.ru Сложение колебаний разной частоты При сложении двух гармонических колебаний разной частоты, происходящих в одном направлении, возникает негармоническое колебание. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме отклонений составляющих колебаний. Любые негармонические колебания можно рассматривать как результирующее ряда гармонических колебаний и разложить его на эти составляющие. Соответствующий математический прием носит название анализа Фурье. https://www.fxyz.ru 18 Сложение колебаний близких частот и одинакового направления. Биения https://ru.wikipedia.org A 110 Hz sine wave (first 2 seconds), a 104 Hz G♯ sine wave (following 2 seconds), their sum (final 2 seconds) https://ru.wikipedia.org Спектр звука: https://youtu.be/ HVP5gjZWHm8 Биения связанных маятников: https://youtu.be/QwKz4x1CNv0 https://ru.wikipedia.org 19 Сложение колебаний близких частот и одинакового направления. Биения Биения представляют собой колебания с усредненной частотой (f1 + f2)/2. Амплитуда биений периодически изменяется от максимального значения 2Ym до минимального значения 0. При каждом обращении амплитуды в нуль фаза скачком меняется на π. https://www.fxyz.ru Биения на осциллографе: https://youtu.be/-sjLkrjJkxU?t=11 20 Сложение колебаний близких частот и одинакового направления. Биения Период биений Тб — это промежуток между соседними моментами времени, в которые амплитуда обращается в нуль, а фаза изменяется на π: Частота биений определяется как разность частот составляющих колебаний: Частота и период результирующих колебаний: https://www.fxyz.ru 21 Сложение колебаний https://www.audiomania.ru/content/art-4081.html Настройщик фортепиано и другие: https://youtu.be/gQ5aWstG0LQ?t=11 22 Камертоны. Биения. Резонанс. https://en.wikipedia.org/wiki/Sound 23 Сложение колебаний разных направлений GetAClass: https://youtu.be/l0V bZaxx-nE Фигуры Лиссажу: запись песком: https://youtu.be/rd WWvjH8cPM?t=11 r - результирующее отклонение в момент времени t, х, у - отклонения составляющий колебаний в момент времени t, ε - угол между результирующим отклонением и положительным направлением оси х Величины r и ε представляют собой полярные координаты результирующего отклонения. Если соединить результирующие отклонения в различные моменты времени линией, то получится траектория результирующих колебаний (в плоскости х, у). Фигуры Лиссажу — это траектория результирующих колебаний от колебаний происходящих в перпендикулярных направлениях. В случае одинаковых частот двух колебаний получаются эллипсы с различным эксцентриситетом (включая прямую и окружность). В других случаях получаются причудливые фигуры. https://www.fxyz.ru Изучение фигур Лиссажу с анимацией: https://static.livescience.ru/lissazhu/lissazhu.html 24 https://ru.wikipedia.org Фигуры Лиссажу Несколько фигур Лиссажу для разных соотношений частот колебаний и заданной разности фаз: разность фаз: http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_6.pdf Фигуры Лиссажу: осциллограф: https://youtu.be/hUu653khUlE?t=12 25 Затухающие колебания 𝑚𝑎𝑥 = 𝐹упр + 𝐹сопр 𝑚𝑎𝑥 = −𝑘упр𝑥 − 𝑘сопр𝑣𝑥 𝑣𝑥 = 𝑥ሶ и 𝑎𝑥 = 𝑥ሷ 𝑚𝑥ሷ + 𝑘сопр𝑥ሶ + 𝑘упр𝑥 = 0 𝑘упрΤ𝑚 = 𝜔02 − собственная частота 𝑘сопрΤ𝑚 = 2𝛿, (𝛿 – показатель затухания) 𝑥ሷ + 2𝛿 𝑥ሶ + 𝜔02 𝑥 = 0 – уравнение затухающих колебаний 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 – решение 𝜔= 𝜔02 − 𝛿 2 −частота затухающих колебаний 26 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_7.pdf 𝑣𝑥 = 𝑥ሶ и 𝑎𝑥 = 𝑥ሷ Затухающие колебания 𝑥ሷ + 2𝛿 𝑥ሶ + 𝜔02 𝑥 = 0 – уравнение затухающих колебаний 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 – решение 𝜔= 𝜔02 − 𝛿 2 −частота затухающих колебаний 𝐴 = 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 - амплитуда колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону Период затухающих колебаний: 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝑇= = = 2 𝜔 𝑘 𝑘 2 2 упр сопр 𝜔0 − 𝛿 − 𝑚 4𝑚2 > 𝑇0 = 2𝜋 𝑘упр 𝑚 27 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_7.pdf 𝑣𝑥 = 𝑥ሶ и 𝑎𝑥 = 𝑥ሷ Затухающие колебания 𝑥ሷ + 2𝛿 𝑥ሶ + 𝜔02 𝑥 = 0 – уравнение затухающих колебаний 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 – решение 𝐴 = 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 - амплитуда колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. 𝛿 – показатель затухания τ =1/𝛿 - время релаксации 𝐴𝑛 𝐴0 𝑒 −𝛿𝑡 = = 𝑒 𝛿𝑇 - декремент 𝐴𝑛+1 𝐴0 𝑒 − 𝛿𝑡 + 𝑇 затухания 𝐴𝑛 𝑇 𝜃 = ln = = 𝛿𝑇 – логарифмический 𝐴𝑛+1 𝜏 декремент затухания 𝑄= 𝜋 - добротность 𝜃 28 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_7.pdf Вынужденные колебания Уравнение движения груза: Вынуждающая сила с частотой Ω 𝑚𝑥ሷ = −𝑘упр𝑥 − 𝑘сопр𝑥ሶ + 𝐹0 cos(Ω𝑡) 𝑣𝑥 = 𝑥ሶ и 𝑎𝑥 = 𝑥ሷ 𝐹0 2 𝑥ሷ + 2𝛿 𝑥ሶ + 𝜔0 𝑥 = cos(Ω𝑡) 𝑚 𝑘упрΤ𝑚 = 𝜔02 − собственная частота 𝑘сопрΤ𝑚 = 2𝛿, (𝛿 – показатель затухания) 𝜔= 𝜔02 − 𝛿 2 −частота затухающих колебаний Решение: 𝑥 = 𝐴 cos 𝛺𝑡 + 𝜑0 𝐹0 𝐴= 𝑚 𝜔02 −Ω2 2 - амплитуда вынужденных колебаний +4𝛿 2 Ω2 2𝛿Ω 𝜑0 = −arctg 2 − фаза вынужденных колебаний 𝜔0 − Ω2 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_8.pdf 29 𝐹0 2 𝑥ሷ + 2𝛿 𝑥ሶ + 𝜔0 𝑥 = cos(Ω𝑡) 𝑚 Резонанс 𝐹0 𝐴= 𝑘упрΤ𝑚 = 𝜔02 − собственная частота 𝑘сопрΤ𝑚 = 2𝛿, (𝛿 – показатель затухания) 𝑚 𝜔02 − Ω2 2 + 4𝛿 2 Ω2 - амплитуда вынужденных колебаний При частоте внешней силы, стремящейся к бесконечности, амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю. При резонансной частоте Ωрез = 𝜔02 − 2𝛿 2 амплитуда колебаний смещения от положения равновесия достигает максимального значения 𝐹0 𝐴рез = 2𝑚𝛿 𝜔02 − 𝛿 2 Амплитуда колебаний стремится к бесконечности, если коэффициент сопротивления стремится к нулю. 30 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_9.pdf Резонанс (GetAClass): https://youtu.be/nQaJloZD-xY Колебания в нелинейных системах. Автоколебания Когда начинают проявляться изменения параметров, приходится учитывать нелинейность колебательной системы. Автоколебаниями называют незатухающие колебания, которые могут существовать в какой-нибудь системе при отсутствии внешнего переменного воздействия. При этом амплитуда и период колебаний определяется свойствами самой системы. Этим автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, параметры которых определяются характером внешнего воздействия. Примером механических автоколебаний могут быть колебания маятника часов, струны в смычковых или столба воздуха в духовых музыкальных инструментах, действие всевозможных генераторов электрических и электромагнитных колебаний, применяемых в электротехнике, радиотехнике и электронике; работа поршневых паровых машин и двигателей внутреннего сгорания. В любой автоколебательной системе существует источник энергии, благодаря которому поддерживаются колебания. Чтобы колебания были незатухающими, энергия, поступающая из источника в систему, должна компенсировать потери энергии в самой системе. Автоколебания: флейта и свисток: https://youtu.be/im5WM455RxY Автоколебания: маятник Жуковского и скрипка: https://youtu.be/D0Wy8E2qXL0 http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava09/9_10.pdf 31 Механические волны Механическая волна представляет собой колебательный процесс в упругой среде. Такая среда состоит из большого числа связанных друг с другом частиц, совершающих колебания. Если возбуждаются колебания одной из частиц, то она становится центром распространяющейся волны. Кинематическим признаком волнового движения служит распространение фазы колебаний, динамическим — перенос энергии. Скорость обоих этих процессов представляет собой фазовую скорость, или скорость распространения волны. https://www.fxyz.ru 32 Принцип Гюйгенса Распространение волны легко понять и объяснить, если обратиться к принципу Гюйгенса. Каждая точка среды, вовлеченная в волновое движение, становится источником новой волны, называемой элементарной волной. Наблюдаемый волновой фронт представляет собой результат сложения множества элементарных волн. Принцип Гюйгенса справедлив для всех видов волн, в том числе и для электромагнитных. https://www.fxyz.ru 33 Виды волн, поперечные волны, продольные волны https://www.fxyz.ru 34 Виды волн, поперечные волны, продольные волны https://ru.wikipedia.org https://ru.wikipedia.org http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava10/10_1.pdf 35 Виды волн Бегущая волна Стоячая волна https://en.wikipedia.org/wiki/ Acoustic_resonance https://en.wikipedia.org/wiki/Wave https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave 36 Волны Направление распространения волны называют лучом. Волновой фронт перпендикулярен лучу. Волновой фронт представляет собой геометрическое место всех частиц, колеблющихся с одинаковой фазой. У поверхностных и пространственных волн, распространяющихся из точечного центра возбуждения, лучи направлены радиально, а волновые фронты представляют собой соответственно окружности и сферы. В случае плоского или удаленного источника возникают плоские волны. В них лучи параллельны, а волновые фронты представляют собой плоскости. https://www.fxyz.ru 37 Волны Расстояние между соседними волновыми фронтами называется длиной волны λ. Длина волны есть расстояние между частицами, колеблющимися с одинаковой фазой. Длина волны не зависит от координат и времени. Красный квадрат движется с фазовой скоростью, а зеленые кружки - с групповой скоростью. https://www.fxyz.ru https://en.wikipedia.org/wiki/Wave 38 Природа звука, характеристики звука и ощущения Источниками звука называт колеблющиеся тела (в любых агрегатных состояниях), излучающие звуковые волны. Это может быть струна, стержень, пластина, столб воздуха в трубе, мембрана и другие... Характеристика звука Ощущение Амплитуда колебаний Громкость Частота колебаний Высота Форма колебаний Тембр https://www.fxyz.ru http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava11/11_1.pdf 39 Колебания струны, формула частоты колебаний В фортепиано, скрипке, гитаре, арфе и других музыкальных инструментах звук возникает в результате колебания струн. Эти колебания могут возбуждаться щипком, смычком, или ударом. Формула определяет частоту основных колебаний струны (основного тона). Кроме того, возможны колебания с более высокими частотами (обертоны). Обертоны влияют на тембр звука, но не меняют частоты воспринимаемого тона. f — частота колебаний (Гц), l — длина струны (м), F — сила натяжения струны (Н), ρ — плотность материала струны (кг/м³), S — площадь поперечного сечения струны (м²), https://www.fxyz.ru 40 Скорость звука в твердых телах c — Скорость звука в твердом теле (м/с), E — Модуль упругости твердого тела (Н/м²), ρ — Плотность твердого тела (кг/м³), Скорость звука в жидкостях c — Скорость звука в жидкости (м/с), K = 1/χ — Модуль всестороннего сжатия (Н/м²), χ — коэффициент сжимаемости жидкости (м²/Н), ρ — Плотность жидкости (кг/м³), Скорость звука в твёрдых телах и жидкостях зависит от температуры. Скорость звука в газах c — Скорость звука в газе (м/с), χ = сp / сu — показатель адиабаты, ρ — Плотность газа (кг/м³), p — Давление газа (Н/м²), R — Газовая постоянная (Дж/кг·К), T — Температура газа (К), Скорость звука в газах в широких пределах зависит только от температуры и не зависит от давления газа. Скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, чем в твердых телах https://www.fxyz.ru http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava11/11_1.pdf 41 Эффект Доплера Если источник или приемник (или оба) движутся относительно среды, то частота ν′ , воспринимаемая приемником, отличается от частоты ν волн, излучаемых источником. Явление изменения частоты волн при относительном движении источника и приемника была теоретически обоснована в 1842 г. австралийским физиком, математиком и астрономом Христианом Доплером (1803—1853). Доплер теоретически обосновал зависимость частоты звуковых и световых колебаний, воспринимаемых наблюдателем, от скорости и направления движения источника волн и наблюдателя относительно друг друга. https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect Частота, воспринимаемая наблюдателем, который приближается к источнику звука, будет больше частоты источника; если же наблюдатель удаляется от источника, то воспринимаемая им частота будет меньше частоты источника. http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava11/11_10.pdf 42 Эффект Доплера При удалении источника воспринимаемая наблюдателем частота меньше частоты ν . Если источник движется в направлении к наблюдателю, то воспринимаемая им частота будет больше ν . при одновременном движении источника и приемника: Знак «плюс» соответствует случаю, когда источник удаляется, знак «минус» — когда приближается. https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect http://phys.bspu.by/static/um/phys/meh/1mehanika/pos/glava11/11_10.pdf 43