Матрицы. Определители. Системы уравнений

Лекция №1 Матрицы. Определители. Системы уравнений (2 часа) Матрицей размера m  n , где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij , где i - номер строки, а j - номер столбца.  a11 a12   a21 a22 A    a  m1 am 2  a1n    a2 n      amn  Квадратная матрица, порядок Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. Если число столбцов матрицы равно числу строк m  n  , то матрица называется квадратной. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называют ее порядком. Диагонали матрицы Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведенная из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний. Определитель 2-го порядка Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов: a  a A   11 12   a21 a22  Определение. Определителем или детерминантом второго порядка, соответствующим матрице A , называется число, равное разности произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали (определитель обозначается A или det A ). a11 a12  a11a22  a21a12 . a21 a22 Свойства определителей  Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами. a a12 a11 a21 A  11  a21 a22 a12 a22 det A    Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1). Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.  Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k . ka11 ka12 a a  k 11 12 a21 a22 a21 a22  Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.  Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.  Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель k , то величина определителя не изменится. Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца и вычисляется по правилу: Для запоминания формулы (2) часто используют такой прием. Перед слагаемым ставится знак «+», если это слагаемое (а их три) составляется по схеме (+), и ставится знак «-», если оно составляется по схеме (-). Минор матрицы Пусть задана квадратная матрица Ann (т.е. квадратная матрица n -го порядка). Минором M ij элемента aij матрицы Ann именуют определитель матрицы, полученной из матрицы A вычёркиванием i -й строки и j -го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij ). 0 3 9   1    2  7 11 5  Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвертого порядка: A   .  9 4 25 84     3 12  5 58    Найдём минор элемента a32 , т.е найдем M 32 . Сперва запишем минор M 32 , а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить M 32 , вычеркнем из матрицы A третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент a32 ). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор M 32 . 0 3 9   1    2  7 11 5  A  9 4 25 84     3 12  5 58    1 3 9 M 32  2 11 5 3  5 58 1 3 9 M 32  2 11 5  1  11  58   3  5  3  2   5  9  9  11  3   3  2  58  5   5  1  579 . 3  5 58 Итак, минор элемента a32 равен 579, т.е. M 32  579 . Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента aij нужно вычеркнуть из исходного определителя i -ю строку и j -й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента aij . 1 Например, найдём минор элемента a12 определителя 9 4 3 2 0  5 . Чтобы записать требуемый 3 7 минор M 12 нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец: 9 5 M 12   9  7   5  4  83 . 4 7 Итак, минор элемента a12 равен 83, т.е M 12  83 . Алгебраическое дополнение Определение. Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij определителя n -го порядка называется число Aij   1 i j  M ij Свойства алгебраического дополнения элемента матрицы  Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы: n a A ij ij  det  A j 1  Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю: n a kj Aij  0 i  k  j 1  Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана "произвольная" строка. Вычисление определителя через суммы Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) его матрицы на их алгебраические дополнения. a11 a12  a1n n a21 a22  a2 n A   akj Akj ak1 ak 2  akn j 1 an1 an 2  ann Эта формула для определителя 3 –го порядка выглядит следующим образом: Элементарные преобразования матриц К элементарным преобразованиям над строками матриц относятся следующие преобразования: 1. перестановка местами двух строк; 2. умножение каждого элемента строки на одно и тоже, отличное от нуля, число; 3. добавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на некоторое ненулевое число. Если матрица B получена в результате элементарных преобразований строк матрицы A , то матрицы A и B называются эквивалентными и обозначают A ~ B . Пример. Продемонстрируем элементарные преобразования строк на примере матрицы 0 4  1   A   3 1 1 .  2 1 5   1. Переставим местами первую и третью строки, при этом получится 0 4  2 1 5  1     эквивалентная матрица:   3 2 1  ~   3 2 1  .  2 1 5  1 0 4     Умножим первую строку последней матрицы на  2 :  2 5  1   4  10 2      2  3 1 2  ~  3 1  1 4 0  1 4 0     3. Прибавим к первой строке третью, умноженную на 4:   4  10 1    4  1  4  10  4  4 1  4  0   0 6 1        1 1    3 1 1 .   3 1 1 ~   3  1 4 0   1 4 0   1 4 0   Элементарные преобразования строк используются при нахождении ранга матрицы и лежат в основе метода Гаусса. 2. Теорема. Элементарные преобразования не изменяют решение системы. Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым. 1. Перестановка строк не меняет максимального числа линейно-независимых среди них. Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя. 2. При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число. При умножении ни один минор, равный нулю не сделается отличным от 0. 3. Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец). Если все миноры r+1-го порядка =0 , то сложение строк не сделает ни один из них отличным от 0. Метод Крамера решения СЛАУ Матричная запись системы С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ(1) рассмотрим такие матрицы:  a 11  a A   21   a  m1 a 12 a 13  a 22 a 23     am2 am3  a1 n   a11 a12 a13  a 2 n  ~  a21 a22 a23 ; A          a mn   am1 am 2 am3  a1n  a2 n    amn b1   b2  ;   bm   x1   b1       x2   b2  X  ;B         x  b   n  m Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ. ~ Матрица A называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1 , b2 ,  , bm . Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности. Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец X - матрицей неизвестных. Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A  X  B . Примечание. Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков. Правило Крамера решения систем линейных уравнений Одним из методов решения систем линейных уравнений является метод Крамера. Используется для нахождения решения систем, в которых количество строк равно количеству неизвестных. То есть для квадратных систем уравнений. Основан он на вычислении определителей матрицы: основного и дополнительных, получающихся замещением одного из столбца основного определителя на столбец свободных членов системы алгебраических уравнений. Рассмотрим сам алгоритм метода Крамера и примеры с решением. a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1  Дано СЛАУ a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 a x  a x  a x  b 32 2 33 3 3  31 1  x1    Найти неизвестные  x2  . x   3 Алгоритм решения заключается в том, что составляется из системы матрица  a11 a12 a13   b1      A   a21 a22 a23  и столбец свободных членов B   b2  . a  b   31 a32 a33   3 Далее вычисляется основной определитель матрицы   A и дополнительные  i , получающиеся из основного определителя путем поочередного замещения столбцов на  b1    столбец свободных членов  b2  . b   3 В итоге по формуле метода Крамера находим неизвестные в системе линейных уравнений:    x1  1 , x2  2 , x3  3 .    Если получается   0 , тогда система не может быть решена методом Крамера. Пример. Решить СЛАУ методом Крамера: 3x1  x2  2 x3  4   x1  2 x2  3x3  1   2 x  x  x  2 1 2 3   3 1 2   4      Составляем матрицу A    1 2  3  , выписываем столбец свободных членов b   1  .  2 1 1    2     Вычисляем главный определитель матрицы: 3 1 2   A   1 2  3  6  6  2  8  1  9  28 2 1 1 Замечаем, что   28  0 , то систему можно решить методом Крамера. Вычисляем первый дополнительный определитель 1 . Подставляем столбец свободных членов  4    b   1  на место первого столбца в основной матрице:   2   4 1 2 1  1 2  3  8  6  2  8  1  12  35 2 1 1 Аналогично вычислим  2 : 3 4 2  2   1 1  3  3  24  4  4  18  4  21 2 2 1 Точно также находим  3 : 3 1 4  3   1 2 1  12  2  4  16  3  2  7 2 1 2 По формуле Крамера:   35 5  21 3 7 1 x1  1   ; x2  2   ; x3  3    28 4  28 4  28 4 Общая теория СЛАУ. Метод Гаусса Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Если решения есть, то указать сколько их. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Запись системы по определению операций над столбцами Рассматривая коэффициенты aij СЛАУ при одном неизвестном x j как элементы столбца, а xij как коэффициент, на который умножается столбец, из a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 , a x  a x   a x  b ,  21 1 22 2 2n n 2  .............................................. am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm . Понятие расширенной матрицы Расширенная матрица – матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов. Пусть задана СЛАУ (1) Матрица A , полученная из основной матрицы, дописыванием справа столбца свободных членов, называется расширенной матрицей СЛАУ:  a11 a12  a1n b1     a21 a22  a2 n b2  A        a  a  a b m 1 m 2 mn m   Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. Следствие из теоремы Кронекера-Капелли ~ 1. Если rang A  rang A , то СЛАУ несовместна (не имеет решений). ~ 2. Если rang A  rang A  n , то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). ~ rang A  rang A  n , то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение). 3. Метод Гаусса решения СЛАУ Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх. Принцип метода Гаусса Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю базисного минора расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. Опишем алгоритм метода Гаусса. Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля. Прямой ход ( сведение расширенной матрицы системы к верхнее-трапецевидному виду): Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на третьему уравнению прибавим первое, умноженное на ,к , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Коэффициенты при первом неизвестном во всех уравнениях системы после таких преобразований будут равны нулю. К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x1 исключена из всех уравнений, начиная со второго. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, начиная со второго уравнения. Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на уравнению прибавим второе, умноженное на второе, умноженное на начиная с третьего. , к четвертому , и так далее, к n-ому уравнению прибавим . Таким образом, переменная x2 будет исключена из всех уравнений, Далее приступаем к исключению неизвестной x3, и т.д. Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет трапецевидный вид. Обратный ход метода Гаусса ( приведение базисного минора расширенной матрицы к диагональному виду) : Этот этап полностью аналогичен первому этапу с той лишь разницей, что все преобразования ведутся с последней строки, входящей в базисный минор к первой его строке. Сначала «нулим» все числа, находящиеся над нижним крайним числом, входящим в базисный минор, затем – все числа над предпоследним числом диагонали базисного минора и т.д. После приведения базисного минора к диагональному виду вычисляем xn из последнего уравнения как , затем находим значение xn-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x1 из первого уравнения. Базисные и свободные переменные Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор расширенной матрицы системы A , то эти r переменных называют базисными или основными. Остальные n  r переменных именуют свободными или неосновными. Пример: Стремимся «занулить» все элементы первого столбца, кроме первой строки, которой и «воздействуем» на 2-ю и 3-ю строки (то есть вычитаем из 2-й строки первую, домноженную на 2, а из третьей строки – первую, умноженную на 3: Далее, добиваясь, чтобы во второй строке элемент, стоящий на главной диагонале, был равен 1 – делим всю 2-ю строку на -5. А затем прибавляем к 3-й строке новую вторую, домноженную на 4: Большее количество решенных примеров можно посмотреть по ссылке: http://mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html Дополнительно можно почитать методическое указание 1-34 Определители