Матрицы и операции над ними.
Выбери формат для чтения
Статья: Матрицы и операции над ними.
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1.1. Определения и примеры
Вещественной матрицей размерности mn назовем таблицу из m строк и n
столбцов, составленную из вещественных чисел:
x11
x21
X ...
...
x
m1
x12
... ...
x22
... ...
...
... ...
...
... ...
xm 2 ... ...
x1n
x2 n
1,..., n
... {xij }ij1,...,
m.
...
xmn
(1.1)
Частным случаем матриц являются вектора, т.е. матрицы, имеющие одну
строку или один столбец.
1,..., n
1,..., n
Пусть A {aij }ij1,...,
– матрицы одинаковой размерности. Для
B {bij }ij1,...,
m,
m
них можно определить операции:
сложения:
1,...,n
,
C A B, C {cij }ij1,...,
m , cij aij bij , i 1, ..., m, j 1, ..., n
умножения на числовую константу:
1,..., n
.
C A, C {cij }ij1,...,
m , cij aij , i 1, ..., m, j 1, ..., n
Пример 1.1. Вычислить матричное выражение A+3B, где
5 3 2
A 4 7 10 ,
5 2 0
0 3 1
B 8 6 4 .
7 6 5
Решение.
5 3 2
0 3
A 3 B 4 7 10 3 8 6
5 2 0
7 6
3 3 3
2 3 (1) 5
5 3 0
4 3 8 7 3 (6) 10 3 (4) 28
2 3 6
0 3 (5) 16
5 3 7
1
4
5
6
1
11 2
20 15
Транспонирование - это операция, переводящая матрицу размера mn в
матрицу размера nm. При этом строки исходной матрицы становятся
столбцами транспонированной и наоборот. Транспонированную матрицу
обычно обозначают AT. Элементы транспортированной матрицы AT связаны с
элементами исходной матрицы A простым соотношением: aTij = aji. Матрица
A называется симметричной, если A = AT.
Пример 1.2. Транспонировать заданную матрицу С.
Решение.
10 49
0
10 56 15 67
56
T
C
, C
49 0 33 28
15 33
67 28
Операцию умножения двух матриц можно определить в том случае, если
число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
1,...,n
j 1,...,l
Результатом будет третья матрица
A {aij }ij1,...,
m , B {bij }i 1,...,n .
n
1,...,l
C A×B, C {cij }ij1,...,
cij aik bkj .
m,
(1.2)
k 1
Пример 1.3. Найти произведение матриц
2 3
1 1 2 5
2 4 8 3
4 1
A
,B
3 0 1 7
4
0
5 0 6 1
5 1
Решение. Количество столбцов матрицы A равно количеству строк
матрицы B, значит операция умножения матриц корректна. В результате
получится матрица C = AB, имеющая 4 строки и 2 столбца.
1 2 (1) (4) ( 2) 0 5 5 1 ( 3) ( 1) 1 ( 2) 4 5 1 31
(2) 2 4 (4) 8 0 ( 3) 5 (2) ( 3) 4 1 8 4 ( 3) 1 35
C
3
2
(
4)
(
1)
7
5
3
(
3)
1
(
1)
4
7
1
41
5 (3) 0 1 6 4 1 1 15
5 2 0 (4) 6 0 1 5
7
39
6
10
Для квадратных матриц определим операцию возведения в целую степень:
C С С
т
С
m
2 1
3 3
Пример 1.4. Возвести квадратную матрицу C
в куб.
Решение. По определению, C3 = CCC. Выполняем умножение матриц:
2 1 2 1 2 1 2 2 (1) 3 2 (1) (1) (3) 2 1
C3
3 3 3 3 3 3 3 2 (3) 3 3 (1) (3) (3) 3 3
1 (1) 1 (3) 5 4
1 1 2 1 1 2 1 3
3 6 3 3 3 2 3 6 (1) (3) 6 (3) 12 15
Следует заметить, что даже если обе матрицы – квадратные и имеют
одинаковую размерность, AB BA, т.е. операция умножения не
коммутативна.
Частным случаем операции является умножение матриц на вектор-строку и
вектор-столбец. Согласно правилу умножения матриц, если матрица стоит
слева от вектора, то вектор должен быть вектор-столбцом и иметь столько
компонент (строк), сколько столбцов в матрице. Если же вектор стоит слева от
матрицы, то он должен быть вектор-строкой с количеством компонент (строк),
равным количеству строк исходной матрицы.
Единичной матрицей называется матрица I размером n n, такая, что
AI = IA = A, где A – любая квадратная матрица. Легко убедиться, что этому
определению удовлетворяет матрица
1
0
I
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A порядка n
называется многочлен порядка n, в котором каждое слагаемое содержит по
одному элементу из каждой строки и по одному элементу из каждого столбца
матрицы, причем члены ряда суммируются с учетом индексов элементов,
входящих в сомножитель. Суммирование идет по всем возможным
перестановкам порядка n, поэтому число слагаемых в ряде равно n!.
Определитель порядка n вычисляется по формуле
n A
(1) N (1 , 2 ,..., n ) a11 a 2 2 ... a n n ,
(1.3)
1 , 2 ,..., n
где 1 , 2 ,..., n - перестановки чисел от 1 до n, N (1 , 2 ,..., n ) - число инверсий в
перестановке.
Определители первого, второго и третьего порядков вычисляются по
простым формулам:
1 a11
2 a11 a22 a21 a12
3 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 .
a31 a22 a13 a21 a12 a33 a11 a23 a32
(1.4)
Для нахождения определителей более высокого порядка используем
разложение по строкам/столбцам
n
n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aij Aij ,
j 1
где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij, которое находится по
формуле:
Aij (1)i j Mij ,
а матрица Мij получена путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца
матрицы A.
Пример 1.5. Найти определитель матрицы С из Примера 1.4.
Решение. Применяем формулы (1.4): C 2 (3) (1) 3 3 .
Пример 1.6. Найти определитель матрицы А из Примера 1.1.
Решение. A 5 7 0 (3) 10 (5) 4 2 2 (5) 7 2
4 (3) 0 2 10 5 0 150 16 70 0 100 136.
Пример 1.7. Найти определитель матрицы
1 1 2 5
2 4 8 3
A
.
3 0 1 7
5 0 6 1
Решение. Разложим определитель по второму столбцу:
2
A (1)1 2 (1) 3
5
8
3
1 2 5
1
7 (1) 2 2 4 3 1 7
6
1
5
6
1
2
5
1
2
5
(1)3 2 0 2
8
3 (1) 4 2 0 2
8
3
5
6
1
1
7
1
3
(1) (1) (2) (1) 1 8 7 5 3 6 (3) 5 (1) (3) 3 8 1 6 7 (2)
1 4 1 (1) 1 (2) 7 5 3 6 5 5 (1) 5 3 (2) 1 6 7 1
273 32 305.
Рангом матрицы называется наибольшее натуральное число k, для которого
существует отличный от нуля определитель k-ого порядка подматрицы,
составленной из любого пересечения k строк и k столбцов исходной матрицы.
Если ранг квадратной матрицы A порядка n совпадает с ее порядком, т.е.
n 0 то матрица называется невырожденной, и для нее можно определить
обратную
матрицу
A-1,
обладающую
следующим
свойством:
1
1
A × A A × A I , где I – единичная матрица. Обратную матрицу можно найти
различными методами. В данной работе будем использовать метод ГауссаЖордано, описанный в разделе 2.3.
1.2. Операции с матрицами в MathCAD
Описанные
выше
операции реализованы в
MathCAD
в
виде
операторов,
запись
которых
максимально
приближена
к Рис. 1.1. Панель инструментов «Матрица»
математическим
выражениям. Для работы с
матрицами и векторами
предназначена
панель
инструментов
Matrix
(Матрица), показанная на
рис. 1.1.
В таблице 1.1. приведен список операций и функций с матрицами и
векторами.
Таблица 1.1. Операции с матрицами и векторами
Название операции
Вызов/обозначение в MathCAD
Клавиши
Создание матриц
Меню:
Insert
–
Matrix +
Панель инструментов:
Обращение
к Панель инструментов:
<[>
элементу матрицы
Выделение столбца
+<6>
Панель инструментов:
Создание единичной Identity(N)
матрицы NN
Размерность
rows(A) – число строк A
матрицы A
cols(A) -число столбцов A
Выделение
Submatrix(A,ir,jr,ic,jc) - ча подматрицы
из сть матрицы между строками ir,jr
матрицы A
и столбцами ic,jc
Слияние матриц
augment(A,B,C,...)
- новая матрица
формируется
слиянием
матриц аргументов слева – направо;
stack(A,B,C,...) - новая матрица
формируется
слиянием
матриц
аргументов cверху - вниз
rank(A)
Ранг матрицы
Определитель
Панель инструментов:
+<\>
матрицы
Обратная матрица
Панель инструментов:
Умножение матриц A, A*B
B
Транспонирование
Панель инструментов:
матрицы
+<1>
На рис. 1.2 и 1.3. показан процесс создания матрицы и примеры
использования различных матричных функций. Рис. 1.4 представляет решение
в MathCAD разобранных выше примеров 1.1 - 1.7.
а
в
б
г
Рис. 1.2. Фрагменты рабочего листа MathCAD, представляющие создание
матрицы (а), сложение матриц (б), произведение матриц (в), нахождение
определителя и обратной матрицы (г)
Рис. 1.3. Фрагмент рабочего листа MathCAD, представляющий умножение
матриц несоответствующих размерностей
Рис. 1.4. Фрагмент рабочего листа MathCAD с решением задач 1.1 – 1.7
