Матрично-параметрические характеристики N-полюсников СВЧ

Лекция 2. Матрично-парметрические характеристики N-полюсников СВЧ 2.1. Матрицы рассеяния многополюсников Под многополюсником СВЧ (англ. – multiport device) понимают комбинацию СВЧ элементов, которая имеет несколько входов (плеч) в виде поперечных сечений линий передачи с заданными типами волн. Сечения входов многополюсника называют плоскостями отсчета фазы. Положение плоскостей отсчета выбирают таким образом, чтобы волны высших типов, которые возникают внутри многополюсника, и не могут распространяться в линиях передачи, были в этих плоскостях ничтожно малы. Такое требование обеспечивает возможность обмена энергией между многополюсником и остальным трактом лишь путем перенесения мощности волнами заданного типа в каждой линии передачи. Когда волны высших типов являются рабочими, для каждого из них задается свое плечо, хотя физически они распространяются в одном и том же плече многополюсника. С каждым входом многополюсника СВЧ ассоциируют определенную фиктивную пару полюсов в соответствующей длинной линии, хотя для большинства типов микроволновых линий передачи (например, волноводов) такие полюса не могут быть выделены в явном виде. Таким образом, когда речь идет о 2 N -полюснике СВЧ, имеют в виду устройство с N линиями передачи, которые подходят к многополюснику, или, точнее, с N типами волн во всех входных линиях передачи. Среди многополюсников СВЧ необходимо выделить класс пассивных многополюсников, внутри которых отсутствует усиление или генерация мощности СВЧ при любых видах возбуждения входных линий передачи. Другое свойство широкого класса многополюсников – это линейность, обусловленная независи-мостью внешних характеристик многополюсников от уровня мощности СВЧ. Понятно, что последнее свойство наблюдается в определенных пределах, т.е., как минимум, мощность не должна превышать границу электрической прочности. Для описания линейных многополюсников широкое применение получили матричные методы. Традиционно для многополюсников вводят комплексные амплитуды входящей a i (падающей) и выходящей bi (отраженной или рассеянной) волн для каждого i -го входа из N входов многополюсника, которые нормируют по правилу 2 ai = Pпадi , 2 bi 2 2 = Pотрi . (2.1) Естественно, что комплексные амплитуды ai и bi имеют тесную связь с нормированными амплитудами u и i . Считается, что фазу необходимо выбирать таким же самым образом, что и для u . Единица измерения ai и bi – корень квадратный из Ватт ( Вт ). С учетом введенных ограничений можно использовать 31 принцип суперпозиции, справедливый для линейных цепей. Таким образом, получим систему для определения комплексных амплитуд отраженных (выходящих) волн b1 , b2 , b3 ,..., bN каждого плеча 2 N -полюсника СВЧ: b1 = s11a1 + s12 a 2 + ... + s1N a N , b2 = s21a1 + s22 a 2 + ... + s2 N a N , . . . . . . . . . . . bN = s N 1a1 + s N 2 a 2 + ... + s NN a N . (2.2) В матричной форме это выражение можно представить в виде  b1   s11      b2  =  s 21  .   ...    bN   s N 1 s12 s22 ... s N 2 ... s1N   a1  ... s2 N   a 2    , ... ...   .    ... s NN  a N  (2.3) или b = Sa . Матрицу S называют матрицей рассеяния (англ. – scattering matrix), она устанавливает связь между комплексными нормированными амплитудами выходящих (отраженных) и входящих (падающих) волн в плечах многополюсника. Очевидно, является комплексной величиной, то есть smn smn = smn exp( jϕ mn ) . В обозначении элемента матрицы smn первый индекс m указывает номер строки матрицы и одновременно номер плеча, на которое передается мощность, второй индекс n – номер столбца и одновременно номер плеча, из которого осуществляется возбуждение. Элемент матрицы smm – коэффициент отражения по напряжению в m-плече многополюсника при условии, что ко всем другим плечам подключены согласованные нагрузки. Элемент smn в случае, когда m ≠ n , является коэффициентом передачи по напряжению из плеча n в плечо m при условии, что ко всем плечам подключены согласованные нагрузки. Матрица рассеяния (как и любая другая матрица) описывает свойства многополюсника лишь на заданной частоте. В ходе описания свойств многополюсника в полосе частот элементы матриц преобразуются в комплекснозначные функции частоты. Если в линиях передачи, которые образуют плечи многополюсника, затуханием можно пренебречь, изменения плоскости отсчета влияет только на фазы элементов матрицы рассеяния, оставляя их модули неизменными. Очевидно, можно выбрать положения плоскостей отсчета таким образом, чтобы фаза любого элемента матрицы рассеяния равнялась нулю, то есть этот элемент имел действительное значение. Поскольку в N - плечем устройстве есть N плоскостей отсчета фазы, их можно выбрать так, чтобы любые N элементов S матриц имели действительные значения (на данной частоте). 32 В ряде случаев необходимо пересчитать матрицы многополюсника к новым, сдвинутым относительно первичных, плоскостям отсчета фазы. С помощью матрицы рассеяния эту задачу решить довольно просто. В случае удаления плоскостей отсчета от многополюсника в элементы матрицы рассеяния вносятся дополнительные запаздывающие фазовые сдвиги вследствие удлинения путей прохождения сигналов. В результате каждый элемент матрицы рассеяния, который определяют при сдвинутых плоскостях отсчета, имеет вид ′ = smn exp(− γ m lm − γ n ln ) , smn где lm , ln (2.4) – удлинения m -й и n -й входных линий; γ m = α m + jβ m , γ n = α n + jβ n – комплексные постоянные распространения в этих линиях. Недиссипативными (англ. – nondissipative) называют такие многополюсники, в которых отсутствуют внутренние потери и поступление электромагнитной энергии. Строго говоря, абсолютно недиссипативных устройств СВЧ не существует, поскольку любое устройство в той или иной мере теряет часть мощности, проходящей через него. Внутренние потери энергии для многих устройств стремятся минимизировать, предельным случаем устройств с малыми потерями и являются недиссипативные устройствами. Малость потерь предполагает, что они исчезающе малы по сравнению с мощностью, поступающей в многополюсник. Для случая недиссипативных многополюсников из закона сохранения энергии следует, что сумма мощностей падающих волн во всех плечах многополюсника должна равняться сумме мощностей отраженных волн: N N m =1 m =1 2 2 ∑ am = ∑ bm , (2.5) или в векторной форме a *a = b *b = (Sa )* (Sa ) = a *S*Sa . (2.6) Вследствие произвольного выбора вектора a такое равенство может быть верным при выполнении условия S*S = E или S* = S −1 , (2.7) где E – единичная матрица; * – эрмитово сопряжение матрицы, то есть транспонирование и взятие комплексного сопряжения элементов. Таким образом, доказано, что матрицы недиссипативных многополюсников унитарны. Согласно свойствам унитарных матриц их строки и столбцы ортонормированы: N ∑ skm skn* = δ mn ; m, n = 1,2,..., N , k =1 0, m ≠ n; – символ Кронекера. где δ mn =  1, m = n 33 (2.8) К взаимным (англ. – reciprocal) относятся многополюсники, удовлетворяющие требованиям теоремы взаимности относительно двух каких-либо входов при условии произвольных режимов на других входах. Для взаимных устройств справедлив следующий принцип: если некоторая электродвужущая сила (ЭДС) в цепи одного входа многополюсника вызывает в цепи другого короткозамкнутого входа электрический ток определенной силы, то в случае перемещения источника ЭДС в цепь второго входа в цепи первого короткозамкнутого входа появляется электрический ток точно такой же силы. Этот принцип может быть формализован в виде I2 / U1 = I1 / U 2 . Данное свойство обусловливает симметрию нормированной матрицы рассеяния. Симметричные и (или) унитарные матрицы имеют меньшее количество независимых элементов, чем произвольные. Так, если известно, что устройство взаимное, то его свойства определяют только N ( N + 1) / 2 комплексных числа – элементов матрицы рассеяния, которые лежат на главной диагонали и выше нее. Если дополнительно устройство недиссипативно, то условие (4.8) позволяет уменьшить количество независимых элементов еще в два раза. Взаимный и недиссипативный многополюсник часто называют реактивным. В развернутом виде условие унитарности для матрицы рассеяния второго порядка, которая описывает четырехполюсник, сводится к уравнениям 2 2 s11 + s21 = 1 , 2 2 s22 + s12 = 1, * * s11 s12 + s21 s22 = 0 . (2.9) Первые два, уравнения являются очевидным следствием закона сохранения энергии в случае возбуждения четырехполюсника со стороны входов 1 и 2 при наличии согласованной нагрузки на противоположном входе. Последнее из уравнений (4.9) дает два соотношения: s11 / s22 = s21 / s12 , ϕ11 + ϕ 22 = ϕ12 + ϕ 21 ± π , (2.10) где φ ij = arg sij – фаза элемента матрицы рассеяния с индексами ( i, j = 1, 2 ). Из совместного решения всех трех уравнений следует, что для любого недиссипативного четырехполюсника должны удовлетворяться следующие выражения: s11 = s22 = ρ , s21 = 1 − ρ 2 , s21 = s12 , ϕ11 + ϕ22 = ϕ12 + ϕ21 ± π . (2.11) Отсюда следует, если четырехполюсник без потерь (недиссипативный) согласован со стороны одного плеча ( ρ = 0) , то он будет согласованным и со стороны второго плеча. Если четырехполюсник взаимный, то выполняется соотношение s21 = s12 , что обусловливает выполнение ϕ12 = ϕ 21 , ϕ11 + ϕ 22 = ϕ12 + ϕ 21 ± π = 2ϕ 21 ± π . (2.12) Таким образом, для взаимного недиссипативного четырехполюсника модули коэффициента передачи в обоих направлениях, а также модули собственных 34 коэффициентов отражения попарно равны, а фазы всех элементов матрицы рассеяния не являются независимыми величинами. С учетом этих соотношений имеем вид матрицы рассеяния для взаимного реактивного четырехполюсника:  ρ exp( jϕ ) 1 − ρ2 exp( jϕ21 )  11 (2.13) S= . 2  1 − ρ exp( jϕ21 ) − ρ exp j (2ϕ21 − ϕ11 ) С другой стороны можно составить матрицу рассеяния, которая удовлетворяет условиям (4.9) в несколько другом виде, выбрав в качестве независимых переменных другой набор значений фазы:  ρ exp( jϕ11 ) S= 2  1 − ρ exp( j (ϕ11 − ϕ12 + ϕ22 − π) ) 1 − ρ2 exp( jϕ12 ) , ρ exp( jϕ22 )  (2.14) Из (4.14) видно, что S полностью определяют четыре действительных коэффициента: a , φ11 , φ12 и φ 22 . Для взаимного четырехполюсника без потерь матрица рассеяния, полученная на основе выполнения условий (4.9), имеет три независимых действительных коэффициента: ρ , φ11 и φ 22 :  ρ exp( jϕ11 ) ± j 1 − ρ2 exp[ j (ϕ11 + ϕ22 ) / 2] S= , 2 ρ exp( jϕ22 )  ± j 1 − ρ exp[ j (ϕ11 + ϕ22 ) / 2] (2.15) где учтено, что φ12 = (φ11 + φ 22 ) / 2 + π / 2 + nπ , n = 0,1, 2,... , а exp( jπ / 2 ) = j . Для симметричных четырехполюсников к тому же выполняется равенство s11 = s22 . (2.16) Из (4.16) следует, что φ11 = φ 22 , и тогда матрица рассеяния приобретает вид  ρ exp( jϕ11 ) ± j 1 − ρ2 exp( jϕ11 ) S= . 2 ( ) ( ) ± − ρ ϕ ρ ϕ j 1 exp j exp j 11 11   (2.17) То есть она имеет только два независимых действительных коэффициента a и φ11 . Из (4.17) видно также, что коэффициенты отражения и передачи, например s11 и s12 , сдвинуты по фазе на π / 2 + nπ . В пределах линейной теории зависимость, аналогичная уравнениям (2.2), может быть записана для физических значений напряжения: U від1 = S11U пад1 + S12U пад2 + ... + S1N U падN , U від2 = S 21U пад1 + S 22U пад2 + ... + S 2 N U падN , . . . . . . . . . . . U відN = S N 1U пад1 + S N 2U пад2 + ... + S NN U падN . 35 (2.18) Используя связь между амплитудами физического и нормированного напряжения и определения комплексных амплитуд a и b (2.1), можно переписать уравнения (2.18) в виде b1 2W1 = S11a1 2W1 + S12 a 2 2W2 + ... + S1N a N 2W N , b2 2W2 = S 21U 1 2W1 + S 22U 2 2W2 + ... + S 2 N a N 2W N , . . . . . . . . . . . bN 2W N = S N 1a1 2W1 + S N 2 a 2 2W2 + ... + S NN a N 2W N . (2.19) Таким образом, получаем связь между элементами матрицы для нормированных амплитуд и матрицы для амплитуд физического напряжения: smn = Smn Wn Wm . Совершенно ясно, что для случая m = n всегда выполняется s = S , в общем случае s = S , если W = W . Надо заметить, что mm mm mn mn n m аппарат матриц рассеяния типа (2.18) может быть применен и относительно вектора электрического поля в случае распространения волны типа ТЕМ в свободном пространстве при наличии границ слоистых структур. 2.2. Передаточные волновые матрицы многополюсников Элементы матрицы рассеяния имеют прозрачный физический смысл и на основе определения могут быть экспериментально измерены с помощью стандартных СВЧ измерительных приборов. Но в случае каскадного соединения нескольких устройств СВЧ применения матрицы рассеяния затруднено, в этом случае целесообразно пользоваться волновой матрицей передачи T (англ. – transmission matrix). Волновая матрица передачи T устанавливает зависимость нормированных амплитуд на входах устройства СВЧ от нормированных амплитуд волн на его выходах. Применение такой матрицы целесообразно, если линии могут быть распределены на входящие и исходящие. Преимущество матрицы передачи заключается в том, что матрица T каскадного соединения ряда элементов СВЧ с матрицами передачи Tk равна произведению матриц передачи этих элементов T = T1T2 ...TK в отличие от матрицы S , для которой такая операция недопустима. Для практически важного случая четырехполюсника соответствующая зависимость имеет вид a1  t11 t12   b2   =   .  b1  t21 t22  a 2  (2.20) Комплексные элементы матрицы передачи t11 , t12 , t21 , t22 не имеют такого простого физического смысла, как коэффициенты матрицы рассеяния, а представ- 36 ляют собой некоторые функции последних, например, элемент t11 равен 1 / s21 . Следует отметить, что этот коэффициент для четырехполюсника называют величиной затухания и, как правило, измеряют в децибелах согласно L = −20 lg s21 (дБ). Связь элементов матрицы передачи и матрицы рассеяния для случая четырехполюсника может быть получена из уравнений для матрицы рассеяния, записанных в виде − s11a1 + b1 = 0 ⋅ b2 + s12 a 2 , (2.21) − s21a1 + 0 ⋅ b1 = −b2 + s22 a 2 , в матричной форме имеем  − s11 1 a1   0 s12   b2  − s    =    .  21 0  b1  − 1 s22  a 2  (2.22) Решая эти уравнения для волн на входе четырехполюсника, получим −1 a1   − s11 1  0 s12   b2  b  = − s  − 1 s     .  1   21   22   a 2  (2.23) Отсюда найдем выражение матрицы передачи через элементы матрицы рассеяния:  1  s T =  21  s11  s21 s22  s21  . s11s22  s12 − s21  − (2.24) Аналогично можно получить матрицу S , элементы которой рассчитываются на основе известных элементов матрицы T :  t21  t S =  11 1  t11 t t  t22 − 12 21  t11 . t12  − t11  (2.25) Из выражения (2.9) для недиссипативного четырехполюсника следует соотно* * шение s11 / s21 = − s22 / s12 , что в терминах волновой матрицы передачи дает * . Условие взаимности s21 = s12 обусловливает дополнительные соотноt12 = t12 2 2 * шения t11 = t22 и t11 = t21 + 1 . Продемонстрируем возможность применения матриц передачи и рассеяния для расчета коэффициентов отражения Γ вх и прохождения для несогласо- 37 ванного четырехполюсника на основе данных об элементах матрицы S и коэффициенте отражения нагрузки Γ н . Согласно определению t + t a / b t + t Γ b t b + t a Γ вх = 1 = 21 2 22 2 = 21 22 2 2 = 21 22 н . a1 t11b2 + t12 a 2 t11 + t12 a 2 / b2 t11 + t12Γ н (2.26) Использую формулу (4.25) для преобразования элементов матрицы T в элементы матрицы S , получим s s Γ (2.27) Γ вх = s11 + 12 21 н . 1 − s22Γ н Очевидно, что при полном согласовании с нагрузкой, то есть, при Γ н = 0 , коэффициент отражения Γ вх равен s11 . 38