Математика

Курс лекций по математике (составитель: старший преподаватель кафедры ПиМНО Керова Г. В. ) Раздел 1. Общие понятия математики Глава 1. Элементы теории множеств § 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z. Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения: N – множество натуральных чисел; N0 – множество целых неотрицательных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а  А, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а  А (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»). Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0. Множества могут быть конечными и бесконечными. Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел. § 2. Способы задания множеств Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г. Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}. Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов. Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием. Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы. При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {ххN, х < 5}. § 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий элемент 3. На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом: А В Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов. Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются. Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом: А В Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В. Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств. Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В  А). Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества. Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А1 = {1}, А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {1, 2}, А5 = {1, 3}, А6 = {2, 3} и два несобственных подмножества А7 = {1, 2, 3} и А8 = . Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2п различных подмножеств. Если В  А и А  В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В. Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I). Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике. Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна. § 4. Операции над множествами Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. 1. Пересечение множеств. Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А  В). Данное определение можно записать в таком виде: А  В = {хх  А  х  В}. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью. А В Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А  В = . Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А  В = {4, 5}. Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно. Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А  В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5. 2. Объединение множеств. Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А  В). Данное определение можно записать в таком виде: А  В = {хх  А  х  В}. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью. А В Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А  В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3. Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств. 3. Разность множеств. Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В). Данное определение можно записать так: А \ В = {хх  А  х  В}. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью. А В Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}. Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В  А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ). Множество на рисунке показано штриховкой. А Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ). Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}. Если множества заданы указанием характеристического свойства и В  А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х  А  х  В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9. Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу. х Î А Ç В  х Î А Ù х Î В х  А Ç В  х  А  х  В х Î А  В  х Î А  х Î В х  А  В  х  А Ù х  В х Î А \ В  х Î А Ù х  В х  А \ В  х  А  х Î В х Î  х  А х   х ÎА Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами. Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А  В  С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством. Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В  С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А. Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении. § 5. Законы операций над множествами 1. Коммутативные законы А  В = В Ç А А  В = В È А 2. Ассоциативные законы А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С А È (В È С) = (А È В) È С 3. Дистрибутивные законы А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С) А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С) 4. А Ç А = А А È А = А 5. А Ç I = А А È I = I 6. А Ç  =  А È Æ = А 7. А Ç = Æ А È = I 8. 9. А \ В = А Ç 10. = А Контрольные вопросы 1. Что понимают под множеством? 2. Как называют объекты, из которых образовано множество? 3. Какое множество называют пустым? 4. Какие множества называют конечными и бесконечными? 5. В каком случае считают, что множество задано? 6. Укажите способы задания множеств. 7. В каком случае множество А является подмножеством множества В? 8. Какие подмножества называют собственными и несобственными? 9. Какие множества называют равными? 10. Сформулируйте свойство равенства множеств. 11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального? § 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств. Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А). Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. А  В = . А  В ={a, b, c, d, e, f}, п (А  В) = 6, т.е. п (А  В) = п (А) + п (В). Рассмотрим еще один пример. А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = { c, d, e}, п (В) = 3. В данном примере множества А и В пересекаются, т.е. А  В  . А  В = {a, b, c, d, e}, п (А  В) = 5, т.е. п (А  В)  п (А) + п (В). Вообще, если заданы конечные множества, такие что А  В  , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле п (А  В) = п (А) + п (В) – п (А  В). Если даны три конечных множества А, В, С, то число элементов в их объединении можно найти по формуле: п (А  В  С) = п (А) + п (В) + п (С) – п (А  В) – п (А  С) – п (В  С) + + п (А  В  С) § 7. Понятие разбиения множества на классы Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. Определение. Множество А разбито на классы А1, А2, ..., Ап, если: 1) подмножества А1, А2, ..., Ап не пусты; 2) подмножества А1, А2, ..., Ап попарно не пересекаются; 3) объединение подмножеств совпадает с множеством А. Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной. Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении. Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы. Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным». А Множество А разбилось на два подмножества: А1 – множество четных чисел, А2 – множество нечетных чисел, при этом А1  А2 = А и А1  А2 = . Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса. Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. По рисунку видно, что получилось 4 класса: I – В  С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников; II – В  – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников; III –  С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников; IV –  – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников. Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А. Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда. Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса: I – множество прямоугольных треугольников; II – множество остроугольных треугольников; III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников. Контрольные вопросы 1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы? 2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств? Глава 2. Математические предложения § 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания Когда мы говорим, пишем, то свои мысли выражаем при помощи предложений. Рассмотрим ряд простых повествовательных предложений: 1) Студенты педфака изучают математику 5 лет. 2) Чепца – судоходная река. 3) Ижевск – столица Удмуртии. 4) Все птицы – перелетные. Все эти предложения различны по содержанию, но есть для них нечто общее – в одних предложениях утверждается нечто истинное (правильное, верное), а в других нечто ложное (неправильное, неверное). Так, предложения 1 и 3 считаем истинными, а предложения 2 и 4 ложными. Определение. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием. Вопросительные, восклицательные предложения высказываниями не являются. Например, предложения «Который час?», «Пусть всегда будет мир!» высказываниями не являются. Предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения, тоже не считают высказываниями, т.к. при одних значениях переменных они становятся истинными высказываниями, а при других – ложными. Например, предложение х + 2 < 5 не является высказыванием, т.к. при х = 2 получим истинное предложение, а при х = 7 – ложное предложение. Высказывания могут обозначаться не только с помощью слов, но и с помощью различных символов: 5 · 5 = 25, 7 · 8 < 50, Н2О – вода (первое и третье высказывание являются истинными, а второе – ложным). Условимся обозначать высказывания заглавными буквами латинского алфавита, значение истинного высказывания буквой «И», ложного высказывания – буквой «Л». Уже с первых уроков математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными, например: 1 < 2, 2 + 3 = 5 и т.д. Позже появляются высказывания о числах двузначных и трехзначных, геометрических фигурах и т.д. Так, выполняя упражнение: «Проверьте, правильно ли выполнено действие: 364 + 287 = 641», требуется установить, истинным или ложным является данное предложение. Легко определить, что оно ложно. Высказывания бывают элементарные (простые) и составные. Определение. Высказывание называется элементарным, если его нельзя расчленить на другие высказывания. Определение. Высказывание называется составным, если его можно расчленить на другие высказывания. Пример. «Число 135 делится на 5.» – элементарное высказывание, а «Число 135 трехзначное и делится на 5.» - составное высказывание. Составные высказывания образуются из элементарных при помощи связок «и», «или», «если, то», «неверно, что», «тогда и только тогда», причем их смысловая характеристика не рассматривается. Допускаются, например, такие высказывания: «Земля вращается вокруг Солнца и параллельные прямые не пересекаются». Операции над высказываниями 1. Отрицание высказываний Пусть А – некоторое высказывание. Определение. Высказывание «не А» называют отрицанием высказывания А (обозначают ). Оно истинно, когда высказывание А ложно, и ложно, когда высказывание А истинно. Связь между высказыванием и его отрицанием можно изобразить с помощью таблицы, которую называют таблицей истинности: Чтобы получить отрицание некоторого высказывания А, можно перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или к сказуемому добавить частицу «не» (или ее отбросить, если она стоит перед сказуемым в высказывании). Например, если В – высказывание «8 делится на 2», то – высказывание «неверно, что 8 делится на 2» или «8 не делится на 2». Пусть А – некоторое высказывание. Его отрицание тоже является высказыванием, и, следовательно, можно рассмотреть отрицание высказывания , т.е. высказывание . Оно называется двойным отрицанием высказывания А. Легко показать, что двойное отрицание высказывания А есть само высказывание А, т.е. отрицая дважды какое-либо высказывание, получаем исходное высказывание. 2. Конъюнкция высказываний Определение. Высказывание «А и В» (обозначают А  В называют конъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова соnjunctio – связываю). Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны; если хотя бы одно из высказываний ложно, то и конъюнкция ложна. Из определения следует, что таблица истинности будет такой: А В А  В И И И И Л Л Л И Л Л Л Л Рассмотрим высказывание «Глазов расположен на севере Удмуртии и является ее столицей». Оно является конъюнкцией двух высказываний «Глазов расположен на севере Удмуртии» и «Глазов является столицей Удмуртии». Первое высказывание истинно, а второе ложно, следовательно, все высказывание будет ложным. Высказывание «2 < 4 и 3 · 3 = 9» является истинным, т.к. истинны оба высказывания, входящие в конъюнкцию. С конъюнкцией двух высказываний мы встречаемся, оперируя двойным неравенством. Так, неравенство 23 < 34 < 45 является конъюнкцией двух высказываний «23 < 34» и «34 < 45», т.е. его можно записать так: «23 < 34  34 < 45» и оно истинно, т.к. истинны оба высказывания, из которых оно составлено. 3. Дизъюнкция высказываний Определение. Высказывание «А или В» (обозначают А  В называют дизъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова disjunctio – различаю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В ложны; если хотя бы одно из высказываний истинно, то и конъюнкция истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид: А В А  В И И И И Л И Л И И Л Л Л Высказывание «Стихотворение «Идет бычок, качается» написал Пушкин или Лермонтов» является ложным, т.к. ложны оба элементарные высказывания, в него входящие. Высказывание «2 · 2 = 4 или 2 · 2 = 5» является истинным, т.к. одно из элементарных высказываний «2 · 2 = 4» истинно. Нестрогое неравенство, например, «12  4» представляет собой дизъюнкцию высказываний «12 > 4» и «12 = 4». Поскольку одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна. 4. Импликация высказываний Определение. Высказывание «если А, то В» (обозначают А  В) называют импликацией высказываний А, В (от латинского слова implicatio – тесно связываю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А истинно, а высказывание В ложно; во всех остальных случаях импликация истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид: А В А  В И И И И Л Л Л И И Л Л И Рассмотрим импликацию: «Если 3 < 5, то 7 · 8 = 48». Т.к. условие импликации «3 < 5» истинно, а заключение импликации «7 · 8 = 48» ложно, то все высказывание является ложным. Высказывание «Если 2 · 2 = 5, то Земля – спутник Луны» истинно, т.к. представляет собой импликацию, условие и заключение которой – ложные высказывания. 5. Эквиваленция высказываний. Определение. Высказывание «А в том и только в том случае, если В» (обозначают А  В) называют эквиваленцией высказываний А, В. Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны или оба высказывания А, В ложны; если одно из высказываний истинно, а другое ложно, то эквиваленцию считают ложной. Таблица истинности для эквиваленции имеет вид: А В А В И И И И Л Л Л И Л Л Л И Например, высказывание «Число 123 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3» истинно, т.к. оба высказывания истинны. Высказывание «Число 29 делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3» является истинным, т.к. оба элементарных высказывания ложные. Высказывание «Число 27 делится на 3 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 3» будет ложным, т.к. высказывание «Число 27 делится на 3» истинно, а высказывание «Последняя цифра числа 27 делится на 3» ложно. Определение. Составные высказывания А и В называются равносильными, если принимают одинаковые значения истинности при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний (обозначают А  В) § 2. Законы алгебры высказываний 1. Коммутативные законы А  В  В  А А  В  В  А 2. Ассоциативные законы А  (В  С)  (А  В)  С А  (В  С)  (А  В)  С 3. Дистрибутивные законы А  (В  С)  (А  В)  (А  С) А  (В  С)  (А  В)  (А  С) 4. А  А  А А  А  А 5. А  И  А А  И  И 6. А  Л  Л А  Л  А 7. А   Л А   И 8. 9. 10. А  В   В 11. А  В  Докажем равенство 10: А  В   В. Для этого составим таблицу истинности. А В А  В И И И Л И И Л Л Л Л Л И И И И Л Л И И И Т.к. формулы принимают одинаковые значения истинности при всех наборах значений истинности переменных, то они тождественно равны. Аналогично с помощью таблиц истинности доказываются остальные законы. С помощью таблиц истинности и законов алгебры высказываний можно доказать равносильность составных формул высказываний (смотри рекомендации по решению задач). Контрольные вопросы 1. Какие предложения называются высказываниями? 2. Какие высказывания называют элементарными, а какие – составными? 3. Сформулируйте определения отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции высказываний и составьте для данных операций над высказываниями таблицы истинности. 4. Какие высказывания называют равносильными? 5. Каким законам подчиняются операции над высказываниями? § 3. Предикаты и операции над ними В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных, например: «х + 2 = 7», «город стоит на Волге». Эти предложения не являются высказываниями, т.к. о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Однако при подстановке конкретных значений переменной х они обращаются в истинные или ложные высказывания. Так, в первом примере при х = 5 получаем истинное высказывание, а при х = 3 – ложное высказывание. Определение. Предложение с переменными, которое при конкретных значениях переменных обращается в высказывание, называется высказывательной формой или предикатом. По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты и обозначают А(х), В(х;у)… Пример: А(х): «х делится на 2» – одноместный предикат, В(х; у): «прямая х перпендикулярна прямой у» – двухместный предикат. Следует иметь в виду, что в предикате переменные могут содержаться неявно: «число делится на 2», «студент получил отличную оценку на экзамене по математике». Задание предиката, как правило, предполагает и задание множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат. Определение. Множеством (областью) определения предиката называется множество Х, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. Так, предикат «х > 2» можно рассматривать на множестве натуральных чисел или действительных чисел. Каждый предикат А(х), х  Х определяет множество Т  Х, состоящее из элементов, при подстановке которых в предикат А(х) вместо х получается истинное высказывание. Определение. Множество, состоящее из всех тех значений, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, называется множеством истинности предиката (обозначается Т). Пример. Рассмотрим предикат А(х): «х < 5», заданный на множестве натуральных чисел. Т = {1; 2; 3; 4}. Предикаты, как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок. Пусть ТА – область истинности предиката А(х), ТВ – область истинности предиката В(х). Определение. Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х)  В(х), который истинен для тех и только тех значениях х  Х, для которых оба предиката истинны. Покажем, что ТА  В = ТА ТВ. Доказательство. 1) Пусть а  ТА  В  А(а)  В(а) – истинное высказывание. По определению конъюнкции имеем: А(а) – истинно, В(а) – истинно  а  ТА  а  ТВ  а  ТА  ТВ  ТА  В  ТА  ТВ. 2) Пусть b ТА  ТВ  b  ТА  b  ТВ  А(b) – истинно, В(b) – истинно  по определению конъюнкции А(b)  В(b) – истинное высказывание  b  ТА  В  ТА  ТВ  ТА  В. Т.к. ТА  В  ТА  ТВ и ТА  ТВ  ТА  В, то по свойству равенства множеств ТА  В = ТА ТВ, что и требовалось доказать. Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной. Пример. Рассмотрим предикаты А(х): «х < 10», В(х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А(х)  В(х): «х < 10 и делится на 3». ТА = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; …}, тогда ТА  В = {3; 6; 9}. Определение. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х)  В(х), который истинен для тех и только тех значениях х  Х, для которых истинен хотя бы один из предикатов. Можно доказать (самостоятельно), что ТА  В = ТА ТВ. Пример. Рассмотрим предикаты А(х): «х делится на 2 », В(х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А(х)  В(х): «х делится на 2 или на 3». ТА = {2; 4; 6; 8; 10;…}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; …}, ТА  В = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}. Определение. Отрицанием предиката А(х) называется предикат . Он истинен для тех и только тех значениях х  Х, для которых предикат А(х) ложен и наоборот. Заметим, что = . Определение. Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х)  В(х) (читают: «Если А(х), то В(х)»). Он обращается в ложное высказывание при тех значениях х  Х, для которых предикат А(х) истинен, а предикат В(х) ложен. Из определения имеем, что предикат А(х)  В(х) ложен на множестве ТА  , а следовательно истинен на дополнении к этому множеству. Воспользовавшись законами операций над множествами, имеем: . Контрольные вопросы 1. Что называется высказывательной формой или предикатом? 2. Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры. 3. Какое множество называют областью определения предиката? 4. Какое множество называют множеством истинности предиката? 5. Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов. 6. Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов. § 4. Высказывания с кванторами и их отрицания Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение. Например, если на множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х – четное число», то подставив вместо переменной число 4, получим истинное высказывание «4 – четное число», а, подставив вместо переменной число 5, получим ложное высказывание «5 – четное число». Существуют и другие способы получения высказывания из предиката. Подставим перед этим предикатом слово «всякое», получим ложное предложение «Всякое натуральное число – четное». Если же перед предикатом подставим слово «некоторые», то получим истинное высказывание «Некоторые натуральные числа – четные». Выражение «для всякого х» в логике называют квантором общности, обозначают  х. В математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «все», «каждый», «любой». Высказывание ( х  Х) А (х) выражает свойства всех объектов множества Х. Выражение «для некоторых х» ( «существует х, такое, что …», «хотя бы один», «найдется») называют квантором существования и обозначают  х. Высказывание ( х  Х) А (х) выражает существование объектов из данного множества, обладающих определенными свойствами или находящимися в определенном отношении с другими объектами. Таким образом, чтобы превратить предикат в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащиеся в нем переменные. Х. Выясним, как установить значение истинности высказываний, содержащих кванторы. Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Нужно убедиться в том, что при подстановке каждого из значений х в предикат последний обращается в истинное высказывание. Если множество Х конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же Х бесконечно, то необходимо провести рассуждение в общем виде. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример. Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство. Выясним, как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы. Рассмотрим высказывание: «все натуральные числа – четные». Оно ложно. В этом легко убедиться, приведя контрпример: 5 не является четным числом. Можно перед данным предложением поставить слова «неверно, что». Тогда отрицанием высказывания: «все натуральные числа – четные» будет высказывание «неверно, что все натуральные числа – четные». Оно имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые натуральные числа четными не являются». Вообще если дано предложение ( х) А (х), то его отрицанием будут предложения и ( х), имеющие один и тот же смысл. Рассмотрим высказывание «некоторые однозначные числа делятся на 10». Оно ложно. Отрицанием данного высказывания будет высказывание «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10», которое имеет тот же смысл, что и высказывание «все однозначные числа делятся на 10». Вообще если дано предложение ( х) А (х), то его отрицанием будут предложения и ( х), также имеющие один и тот же смысл. Правило: для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора. Контрольные вопросы 1. Как можно предикат превратить в высказывание? 2. Приведите примеры слов, которые используются в качестве кванторов общности и существования. 3. Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы? 4. Как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы? § 5. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно 9» следует предикат В(х): «число х кратно 3», т.к. мы знаем, что при всех значениях х, при которых истинно утверждение «число х кратно 9» будет и истинно утверждение «число х кратно 3». Определение. Предикат В (х) следует из предиката А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых истинен предикат А (х). В этом случае говорят, что данные предложении находятся в отношении логического следования и обозначают: А (х)  В (х). Выясним в каком отношении находятся области истинности предикатов А (х) и В (х). ТА = {9; 18; 27; …}, ТВ = {3; 6; 9; 12; 15; 18; …}. Видим, что ТА  ТВ. Таким образом, А (х)  В (х)  ТА  ТВ. Если А (х)  В (х), то предикат В (х) называют необходимым условием для А (х), а предикат А (х) – достаточным условием для В (х). Так, утверждение о том, что если число кратно 9, то оно кратно 3, можно сформулировать так: «кратность числа 9 является достаточным условием кратности числа 3» или «кратность числа 3 является необходимым условием его кратности 9». Как и любое высказывание, предложение А (х)  В (х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А (х) есть В (х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а то, что оно ложно – с помощью контрпримера. Рассмотрим два предиката: А (х): «число оканчивается нулем» и В (х): «число делится на 10». Из школьного курса математики известно, что если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Верно и обратное. В этом случае говорят, что предложения А (х) и В (х) равносильны. Определение. Предикаты А (х) и В (х) равносильны, если из предиката А (х) следует предикат В (х), а из предиката В (х) следует предикат. Для обозначения отношения равносильности используется знак . Высказывание А (х)  В (х) можно прочитать так: А (х) равносильно В (х), А (х) тогда и только тогда, когда В (х), А (х) необходимое и достаточное условие для В (х), В (х) необходимое и достаточное условие для А (х). Заметим, что А (х)  В (х) тогда и только тогда, когда ТА = ТВ. Контрольные вопросы 1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов? 2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)? 3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны? § 6. Строение и виды теорем Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А  В , где А и В – предикаты с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением. Рассмотрим теорему: «Если натуральное число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Условие теоремы: «число делится на 2 и на 3», заключение теоремы: «число делится на 6». Условие и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве Х натуральных чисел. Данное предложение истинно при всех х из множества Х, следовательно, запись теоремы будет следующей: ( х  Х) А (х)  В (х). Т.о. в записи теоремы можно выделить 3 части: 1) разъяснительную ( х  Х) – в ней описываются множества объектов, о которых идет речь в теореме; 2) условие теоремы: предикат А (х), заданный на множестве Х; 3) заключение теоремы: предикат В (х), заданный на множестве Х. Для всякой теоремы вида ( х  Х) А (х)  В (х) можно сформулировать предложения: обратное данному ( х  Х) В (х)  А (х), противоположное данному ( х  Х) , обратное противоположное данному ( х  Х) . Заметим, что эти предложения не всегда является теоремами. Например, предложение, обратное для теоремы «если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на данное число» будет ложным. Оно будет формулироваться так: «Если сумма делится на данное число, то и каждое слагаемое делится на данное число». Чтобы убедиться в том, что оно ложное, можно привести контрпример: 3 + 7 = 10. Сумма 10 делится на 5, но ни одно слагаемое на 5 не делится. Данные предложения будут теоремами только в том случае, если они истинны. Пример. Рассмотрим предложение: «Если каждое слагаемое – четное число, то и сумма – четное число». В нашем примере предикат А (х): «каждое слагаемое – четное число», В (х): «сумма – четное число». Данное предложение является истинным, поэтому его можно назвать теоремой. Построим обратное предложение: «Если сумма – четное число, то и каждое слагаемое – четное число». Оно ложное, т.к. можно привести контрпример 8 = 5 + 3. Противоположное предложение: «Если хотя бы одно из слагаемых – нечетное число, то и сумма – нечетное число. Оно также ложно (можно воспользоваться тем же контрпримером). Обратное противоположному предложение: «Если сумма – нечетное число, то хотя бы одно слагаемое – нечетное число». Оно истинно, поэтому оно также является теоремой. Заметим, что прямое и обратное противоположному предложения всегда имеют одинаковые значения истинности, т.к. имеется равносильность (А  В)  (В  А), называемая законом контрапозиции. Из этого предложения также следует, что предложения, обратное данному и противоположное данному также имеют одинаковые значения истинности. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать (или опровергнуть) какое-нибудь одно, тем самым будет доказано (или опровергнуто) другое. Если для данное теоремы А (х)  В (х) существует обратная В (х)  А (х), то их можно соединить в одну А (х)  В (х), в формулировке которой будут использоваться слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда». Заметим также, что если условие или заключение теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции. Контрольные вопросы 1. Какое утверждение называется теоремой? 2. Для теоремы вида А (х) Þ В (х) запишите обратное, противоположное, обратное противоположному предложения. В каком случае полученные предложения будут являться теоремами? Глава 3. Математические понятия § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, ромб имеет 4 угла, 4 стороны, противоположные стороны параллельны. Можно указать и другие свойства, например, диагональ АС расположена горизонтально. Среди свойств различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Существенные свойства: иметь 4 равных стороны, 4 угла. Несущественные свойства: вершина В лежит напротив вершины D, диагональ АС расположена горизонтально. Чтобы понимать, что представляет собой данный объект, надо знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о треугольнике, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Любое понятие имеет объем и содержание. Определение. Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. Определение. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии. Пример. Рассмотрим понятие «параллелограмм». Объем понятия – это множество различных параллелограммов (в том числе и ромбов, прямоугольников, квадратов). В содержание понятия входят такие свойства параллелограммов, как «иметь 4 стороны», «иметь параллельные противоположные стороны», «иметь равные противоположные углы» и т.д. Между объемом и содержанием понятия существует такая связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание и наоборот. Например, объем понятия «ромб» является частью понятия «параллелограмм», а в содержании понятия «ромб» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «параллелограмм». Например, в содержании понятия «ромб» есть свойство «все стороны равны», которого нет в содержании понятия «параллелограмм». Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами. Условимся понятия обозначать строчными буквами а, b, с, d,…, а их объемы соответственно А, В, С, D,… . Если объемы понятий а и b не пересекаются, т.е. А  В = , то говорят, что понятия а и b несовместимы. Примерами несовместимых понятий являются понятия трапеции и треугольника. Если объемы понятий а и b пересекаются, т.е. А  В  , то говорят, что понятия а и b совместимы. Пример – прямоугольник и ромб. Если объемы понятий а и b совпадают, т.е. А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны. Пример – квадрат и ромб с прямым углом. Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, т.е. А  В, А  В, то говорят, что: а) понятие а является видовым по отношению к понятию b, понятие b – родовым по отношению к понятию а; б) понятие а уже, чем понятие b, понятие b шире, чем понятие а; в) понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b – обобщение понятия а. Пример: понятие «квадрат» – видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат». Остановимся подробнее на последнем отношении. 1) Понятие рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть видовым по отношению к одному понятию и родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» является родовым по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «параллелограмм». 2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий, среди которых можно указать ближайшее. Например, родовыми для понятия «квадрат» будут понятия «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник». Ближайшим среди них будет понятие «прямоугольник». 3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм»; ромбы обладают всеми свойствами, присущими параллелограммам. Рассмотрим отношения между понятиями «отрезок» и «прямая». Объемы этих понятий не пересекаются, т.к. ни один отрезок нельзя назвать прямой и наоборот. Об этих понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид. Заметим, что часть не всегда обладает свойством целого. Прямая бесконечна, а отрезок – нет. § 2. Определение понятия. Требования к определению понятия Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина. Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Определить понятие – значит указать существенные свойства объекта, которых достаточно для распознавания объекта. Различают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий, его можно представить в таком виде: а есть (по определению) b. Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b. Рассмотрим определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами». В этом определении можно выделить определяемой понятие «квадрат» и определяющее понятие «прямоугольник с равными сторонами». Примеры явных определений. 1) Определение через род и видовое отличие. Оно имеет вид: + определяющее понятие Примером такого определения является определение квадрата, данное выше. Требования к определению через род и видовое отличие: ◦ Определение должно быть соразмерным – объемы определяемого и определяющего понятия должно совпадать. Например, определение «Квадрат – это четырехугольник с равными сторонами» соразмерным не является, т.к. множество четырехугольников с равными сторонами – это множество ромбов. ◦ В определении не должно быть порочного круга – нельзя определять понятие через само себя. Так, нельзя дать такое определение: «сложение называется действие, при котором числа складываются». ◦ Определение должно быть ясным – значения терминов, входящих в определяющее понятие должны быть известны к моменту определении нового понятия. Например, нельзя определить квадрат как ромб с прямыми углами, если понятие «параллелограмм» еще не изучено. ◦ Определение должно быть достаточным – в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия. Например, в определении «Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам» этим свойством не обладает, т.к. не указано, что луч выходит из вершины угла. ◦ Определение не должно быть избыточным – не должно быть указано лишних свойств. Так, в определении «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны» свойство, что диагонали взаимно перпендикулярны, является лишним. 2) Генетические – указывается способ образования определяемого объекта. Например: «Ломаной называется линия, состоящая из точек и соединяющих их отрезков 3) Индуктивные – указываются некоторые основные объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Например: «Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число». Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий. В них нельзя выделить определяемое и определяющее понятия. Примеры неявных определений. 1) Контекстуальные – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст. Пример: после записи 3 + х = 9 и перечня чисел 2, 3, 6 и 7 идет текст: «х – неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел надо подставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6». Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение – это значит найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. 2) Остенсивные – введение терминов путем показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Пример: 2 < 7, 2 · 4 > 5 – это неравенства. Неявные определения часто используются в начальной школе. Контрольные вопросы 1. Какие свойства считают существенными и несущественными для объекта? 2. Что понимают под объемом понятия? 3. Что понимают под содержанием понятия? 4. В каком отношении находятся объемы понятий, если понятия несовместимы, совместимы, тождественны, одно понятие является видовым по отношении к другому понятию? 5. Что значит – определить понятие? 6. Какие определения относят к явным и неявным? 7. Какие правила необходимо соблюдать, формулируя определения понятий через род и видовое отличие? Глава 4. Математические доказательства § 1. Умозаключения и их виды Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. Пример 1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10. Пример 2. На основе примеров дети устанавливают, что 2 + 3 = 3 + 2, 4 + 5 = 5 + 4, 2 + 4 = = 4 + 2, а затем на основе полученных знаний делают вывод, что для всех натуральных чисел а и b верно равенство: а + b = b + а. Виды умозаключений 1. Дедуктивные умозаключения Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором заключение логически следует из посылок. В дедуктивном умозаключении из посылок, выражающих знания большей степени общности следует заключение, выражающее знания меньшей степени общности (рассуждение ведется от общего к частному). Если посылки умозаключения обозначить А1, А2, …, Ап, , а заключение буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде . Пример дедуктивного умозаключения: «Все цветы – растения. Роза – цветок. Следовательно, роза – растение». 2. Индуктивные умозаключения Определение. Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. В индуктивных умозаключениях от знания меньшей степени общности переходят к новому знанию большей степени общности (т.е. от отдельных частных случаев – к общему суждению) Индуктивные умозаключения обычно дают нам не достоверные, а лишь вероятностные (правдоподобные) заключения. Пример. 2 + 3 < 2 · 3, 4 + 5 < 4 · 5, 7 + 8 < 7 · 8, т.е для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. На основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, делаем вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа: ( а, b N) а + b = а · b. Это высказывание ложно; можно привести пример: 1 + 2 < 1 · 2. Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Определение. Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о некотором классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса. Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому часто применяется в доказательствах. Чтобы использовать полную индукцию, надо: 1) точно знать число явлений или предметов, подлежащих изучению; 2) убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса; 3) число элементов изучаемого класса должно быть невелико. Пример: Простое число 11 – нечетное, простое число 13 – нечетное, простое число 17 – нечетное, простое число 19 – нечетное. Следовательно, все простые числа второго десятка – нечетные. 3. Умозаключения по аналогии Термин «аналогия» означает сходство, соответствие. Определение. Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения и нуждается в доказательстве или в опровержении. Пример. В классе единиц – 3 разряда, в классе тысяч – 3 разряда, следовательно, в классе миллионов также 3 разряда. § 2. Схемы дедуктивных умозаключений Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений. Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила. 1. Правило заключения: . В данном правиле А(х)  В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение вида А(х)  В(х). Вторая посылка А(а) – частная посылка, а предложение В(а) – заключение. Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А  В)  А) В). Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности. А В А В А В  А (А В  А) В И И И И И И Л Л Л И Л И И Л И Л Л И Л И 1. Правило отрицания: . Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А  В)  ) ). А В А В А В  (А В  )  И И И Л Л Л И И Л Л И Л Л И Л И И Л Л И И Л Л И И И И И 3. Правило силлогизма: . Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы. В основе правила лежит тождественно истинная формула (А  В)  В  С)  (А  С). А В С А  В В  С (А  В)  (В  С) А  С (А  В)  В  С)  (А  С) И И И И И И И И И И Л И Л Л Л И И Л И Л И Л И И Л И И И И И И И Л Л И И И И И И Л И Л И Л Л И И И Л Л Л И Л Л И Л Л Л И И И И И 4. Правило контрапозиции: . Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (А  В)  ( ). А В А В  (А  В)  ( ) И И Л Л И И И И Л Л И Л Л И Л И И Л И И И Л Л И И И И И § 3. Проверка правильности умозаключений В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на кругах Эйлера. Словесная формулировка Запись на теоретико-множественном языке Изображение на кругах Эйлера Всякое А есть В А  В В Некоторые А есть В А  В   А В Некоторые А не есть В А  В   А В Ни одно А не есть В А  В =  А В а есть А а  А А а не есть А а  А А  а Изображая посылки на кругах Эйлера, считают их истинными. После этого выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если всегда – умозаключение правильное; если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то умозаключение неправильное. Пример 1. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. число 140 делится на 10. Следовательно, число 140 делится на 5. Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке, для чего обозначим через А множество чисел, делящихся на 10, через В множество чисел, делящихся на 5. Тогда умозаключение можно записать в виде: . Изобразив посылки на кругах Эйлера, видим, что в этом случае а  В, т.е. умозаключение построено правильно. Пример 2. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 47 не делится на 10. Следовательно, число 47 не делится на 5. На теоретико-множественном языке умозаключение примет вид: . Изобразим посылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно ли а  В. По первому рисунку видно, что возможен случай, когда а  В. Следовательно, заключение логически не следует из посылок, т.е. умозаключение построено неправильно. Математические софизмы В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, приводят к неверному выводу, лонному заключению. Математики стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Пример 1. Докажем, что 5 = 1. Будем рассуждать так: из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и тоже число 3. Получим числа 2 и –2. при возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть и исходные числа 5 и 1. Необходимо указать, где допущена ошибка. Ошибка в следующем: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны. Пример 2. Докажем, что спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а – дли на спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между b и а обозначим через с. Имеем: b – а = с, b = а + с. Перемножая эти два равенства по частям, находим: b2 – ab = ca+ c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2 – ab – bc = ca+ c2 – bc, или b(b– a – c) = – c(b– a – c), откуда b = – с, но b – а = с, поэтому b = а – b, или а = 2b, т.е. спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Ошибка состоит в том, что нельзя делить на b– a – c, т.к. b– a – c = 0. § 4. Способы математического доказательства Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений. В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние. Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке. Доказательства различают прямые и косвенные. Прямые доказательства. 1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению. Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно,  1 +  2 = 180о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно,  2 +  3 = 180о. Имеем:  1 = 180о –  2  3 = 180о –  2   1 =  2. 2 1 3 4 2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.) 3) Полная индукция (смотри ранее). Косвенные доказательства. 1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А  В. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему. Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Дано: х с, у с. Доказать, что х  у. Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у, т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по аксиоме параллельности. 2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А  В доказывают равносильную ей теорему . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна. Пример. Если х2 – четное число, то х – четное число. Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1  х2 = (2k + 1)2 = = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 – нечетное. Контрольные вопросы 1. Что называется умозаключением? 2. Какое умозаключение называется дедуктивным? 3. Дайте определения неполной и полной индукции. 4. Дайте определение умозаключения по аналогии. 5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил. 6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений? 7. Какое умозаключение называется софизмом? 8. Что значит доказать утверждение? 9. Какие доказательства различают по способу ведения? 10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства. Глава 5. Соответствия §1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа. Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны). В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой. Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b). а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары. Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d. В школьном курсе математики мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел. Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В. Такими числами будут 15, 25, 16, 26. В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В. Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Записывают: А  В = {(а; b)а  А, bВ} Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А  В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В  А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А  В  В  А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности. Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности. Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства. Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы: В А 3 4 1 (1; 2) (1; 4) 2 (2; 3) (2; 4) Каждый элемент множества А  В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца. Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А  В. Декартово произведение множеств можно задать также графом и графиком § 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу: Музыкальный Рисования Танцевальный Выжигания Артем Борис Виктор Из таблицы видно, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания… В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y = {м; р; т; в} – множество названий кружков. При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделено заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y. Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества: множество Х – множество имен, множество Y – множество названий кружков и подмножество декартова произведения Х  Y. Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y. Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y – множеством прибытия соответствия. Если пара (х; у)  R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х; у является образом элемента х; х является прообразом элемента у. Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия. Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия. Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения. Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y = {6; 9; 15; 17} R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства; R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей: Х Y 6 9 15 17 2 3 5 7 графом: графиком: Х Y 2 3 5 7 х В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3. В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у  Y, соответствующих элементу х. Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х. В общем виде: полный прообраз элемента уY определяют как множество элементов х Х, таких что элементу х соответствует элемент у. Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R. Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия R. В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений. Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними. § 3. Взаимно однозначное соответствие Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х  Х соответствует единственный элемент уY. Определение. Если множество значений отображения f совпадает с множеством прибытия этого отображения, то f называют отображением множества Х на множество Y. В математике такое отображение называется сюръективным. Определение. Если полный прообраз каждого элемента уY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называется инъективным. Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называется взаимно однозначным. Другими словами: отображение f множества Х на множество Y называется взаимно однозначным, если двум различным элементам х1 и х2 множества Х соответствует два различных элемента у1 и у 2 множества Y. Пример. Х – множество вершин треугольника АВС, Y – множество сторон треугольника АВС. с а b Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Х имеет единственный образ, а каждый элемент множества Y – единственный прообраз. § 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х  Y). Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов. Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам. Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными). Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А  N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза: 1 2 3 4 5… 2 4 6 8 10 … Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел. Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным. Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств. Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно. Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости. Контрольные вопросы 1. Дайте определение декартова произведения множеств. 2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств. 3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X? 4. Что называют соответствием между множествами Х и Y? 5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия? 6. Перечислите способы задания соответствий. 7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y? 8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием? 9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества? 10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств. § 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций На рисунке дан граф соответствия между множествами Х = {а; b; с; d; е}, Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный. А = {а; b; с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y. Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией. Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х). х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции. Пусть дана функция f с областью определения А  Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y. Элемент у  Y, соответствующий элементу х  А, называют значением функции f и пишут у = f (х). Определение. Множество всех у  Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f. Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R \ {2}. Способы задания функций 1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х. 2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений. 3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Свойства функций Четные и нечетные функции Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х). Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х). Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х  Х, то – х  Х. График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Возрастающие и убывающие функции Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если х1, х2  Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1) < f (х2). Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если х1, х2  Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1) > f (х2). Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает. § 6. Виды функций 1. Постоянная функция. Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число. у Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b). х 2. Прямая пропорциональность. Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = k х, где k  0. Число k называют коэффициентом пропорциональности. Свойства функции у = k х 1) Область определения – множество всех действительных чисел. 2) Множество значений – множество всех действительных чисел. 3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = k ∙ (– х) = – k х = – f (х). 4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает. 5) Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой). Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2  0, то . Действительно, у1 = k х1, у2 = k х2. Т.к. х2  0, то у2  0. Тогда . Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз. 3. Обратная пропорциональность Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = , где k  0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности. Свойства функции у = 1) Область определения: (-; 0) (0; +) 2) Множество значений: R \ {0}. 3) Функция нечетная, т.к. f (– х) = = – = – f (х). 4) При k > 0 функция убывает на промежутке (-; 0) (0; +), при k < 0 функция возрастает на промежутке (-; 0) (0; +). 5) Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k < 0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции. Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2  0, у1  0, то . Действительно, у1 = , у2 = . Тогда . Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз. 4. Линейная функция Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где k и b – некоторые действительные числа. Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х. Свойства: 1) Область определения – все действительные числа. 2) Множество значений – все действительные числа. 3) Функция не является ни четной, ни нечетной. 4) При k > 0 функция возрастает, при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой. 5) Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. Пусть даны две линейные функции у = k1 х + b1 и у = k2 х + b2. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k1  k2; параллельны, если k1 = k2; совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2. 5. Квадратичная функция Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах2 + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а  0. Рассмотрим частный случай у = ах2. Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х2, и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно) График функции у = ах2 можно получить из графика функции у = ах2 сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1. Свойства функции у = ах2 (а > 0): 1) Область определения – вся числовая прямая. 2) Множество значений [0; +) 3) Функция четная. 4) Убывает на (–; 0), возрастает на (0; +). 5) График – парабола, проходящая через точку (0; 0). 6) Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет. График функции у = – х2 получают из параболы у = х2 путем осевой симметрии относительно оси абсцисс. Рассмотрим функцию у = ах2 + bx + с. ах2 + bx + с = а(х2 + х + ) = Получим формулу вида у = а(х – т)2 + п. Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т = , п = . Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз. Свойства квадратичной функции у = ах2 + bx + с: 1) Область определения – вся числовая прямая. 2) Множество значений: при а > 0 – , при а < 0– 3) Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной. 4) При а > 0 убывает на (–; ), возрастает на промежутке (; +); при а < 0 возрастает на промежутке (–; ), убывает на промежутке (; +). Примеры построения графиков квадратичных функций. Первый способ. Пусть требуется построить график функции у =х2 + 4х + 5. Выполним преобразования: х2 + 4х + 5 = (х2 + 8х + 10) = (х2 + 8х + 16 + 10 – 16) = = (х + 4)2 – 3. Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у =х2. Можно было воспользоваться формулами: х0 = = = – 4; у0 = = . Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена. Пусть требуется построить график функции у = х2 – 4х + 5. Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х2 – 4х + 5 = 5. Имеем: х2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0, откуда х1 = 0; х2 = 4. Точки А(0; 5) и В(4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1). Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена. Пусть х1 и х2 = корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А(х1; 0) и В(х2; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х0 = . § 7. Обратная функция Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции). Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х  Х. Тогда для любого у0  Y найдется единственное значение х0  Х, такое, что у0 = f (х0). Этим определяется отображение Y на Х, т.е. функция х = φ(у), у  Y. Такую функцию называют обратной для функции у = f (х), где х  Х. Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами. Замечание 1. Если отображение у = f (х) не является инъективным, то обратной функции не существует. Замечание 2. Если функция у = f (х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) на Y. Пример 1. Функция у = х2 (х  R) не имеет обратной, т.к., например, значениям х = 5 и х = – 5 соответствует одно и то же значение у = 25. Пример 2. Функция у = 2х – 1 (х  R) возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулы у = 2х – 1 выразить х. Получим х = . Поменяем х и у местами. у = – искомая обратная функция. Контрольные вопросы 1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций. 2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции? 3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции? 4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства. Глава 6. Отношения на множестве § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений Мы выяснили, что между элементами двух различных множеств существуют различные соответствия. Но различные связи, отношения существуют и между элементами одного и того же множества. Например, на множестве студентов первого курса можно рассмотреть отношения: «х старше у», «х и у – друзья», «х и у учатся в одной группе» и т.д. В математике рассматриваются такие отношения как «х > у», «х кратно у», «прямая х параллельна прямой у» и т.д. В математике чаще всего рассматриваются отношения между двумя объектами. Их называют бинарными. Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х  Х. Другими словами: бинарное отношение – это соответствие, заданное на одном и том же множестве Х. Обозначают отношения прописными буквами латинского алфавита: Р, Q, R и т.д. Поскольку отношение есть частный случай соответствия, то и способы задания отношений будут те же, что и для соответствий. Рассмотрим отношение «меньше», заданное на множестве Х = {1; 2; 3; 4}. Отношение задано указанием характеристического свойства. Зададим его перечислением: R = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}. Также данное отношение можно задать 1 2 3 4 1 2 3 4 таблицей графом графиком Точки, изображающие элементы множества Х – вершины графа, стрелки – ребра графа. Пример. Построим граф отношения «х кратно у», Х = {1; 2; 3; 4}. Каждое число является делителем самого себя, поэтому для каждой точки множества рисуем стрелку, начало и конец которой совпадают (стрелку на графе, у которой начало и конец совпадают, называют петлей). Графы отношений удобно использовать при решении логических задач, в том числе и в начальной школе. Задача. Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Аня, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Аня – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей, и кто идет перед Мишей? В задаче рассматривается два отношения: «идти впереди» и «идти позади». Выберем одно из них, например, «идти впереди», т.е. будем на графе ставить стрелку от впереди идущего к тому, кто идет вслед за ним. Граф будет выглядеть следующим образом: Вася Аня Толя Миша Лена По графу можно легко ответить на все вопросы задачи: Первой идет Аня, последним – Вася, Вслед за Мишей идет Лена, а перед Мишей – Толя. § 2. Свойства отношений Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно: 2. Рефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой. Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: R рефлексивно на Х  (х  Х) х R х Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому. Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли. 2. Антирефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой. R антирефлексивно на Х  (х  Х) Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у» на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе. Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли. Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у» на множестве точек плоскости.  у l х Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе. 3. Симметричность Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х. R симметрично на Х  (х, у  Х) х R у  у R х Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у, то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х. Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении. 4. Асимметричность Определение. Отношение R на множестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х, у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х. R асимметрично на Х  (х, у  Х) х R у  Пример. Отношение «х < у» асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х, у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х. Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. 5. Антисимметричность Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с х следует, что х = у. R антисимметрично на Х  (х, у  Х) х R у  у R х  х = у Пример. Отношение «х  у» антисимметрично, т.к. условия х  у и у  х одновременно выполняются только тогда, когда х = у. Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. 6. Транзитивность Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z из множества Х из того, что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z. R транзитивно на Х  (х, у, z  Х) х R у  у R z  х R z Пример. Отношение «х кратно у» транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему. Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z. 7. Связность Определение. Отношение R на множестве Х называется связным, если для любых элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у. R связно на Х  (х, у, z  Х) х R у  у R z  х = у Другими словами: отношение R на множестве Х называется связным, если для любых различных элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у. Пример. Отношение «х < у» связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны. На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками. Пример. Проверить, какими свойствами обладает отношение «х – делитель у», заданное на множестве Х = {2; 3; 4; 6; 8}. Построим граф данного отношения: 1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя; 2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает; 3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является; 4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны; 5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего; 6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются. Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности. § 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у» на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами: 1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе; 2) симметричности, т.к. если студент х является однокурсником студента у, то и студент у является однокурсником студента х; 3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у, а студент у – однокурсник z, то студент х будет однокурсником студента z. Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств. Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы. Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности). Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности. Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности? Построим граф данного отношения: Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классы эквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х1 = {3; 6}, Х2 = {1; 4; 7}, Х3 = {2; 5; 8}. Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у». § 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично. Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно и асимметрично. Примеры отношений строгого порядка: «больше» на множестве натуральных чисел, «выше» на множестве людей и др. Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Примеры отношений нестрогого порядка: «не больше» на множестве действительных чисел, «быть делителем» на множестве натуральных чисел и др. Определение. Множество Х называют упорядоченным, если на нем задано отношение порядка. Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5} заданы два отношения: «х  у» и «х – делитель у». Оба эти отношения обладают свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности (постройте графы и проверьте свойства самостоятельно), т.е. являются отношением нестрогого порядка. Но первое отношение обладает свойством связности, а второе – нет. Определение. Отношение порядка R на множестве Х называется отношением линейного порядка, если оно обладает свойством связности. В начальной школе изучаются многие отношения порядка. Уже в первом классе водятся отношение «меньше», «больше» на множестве натуральных чисел, «короче», «длиннее» на множестве отрезков и др. Контрольные вопросы 1. Дайте определение бинарного отношения на множестве Х. 2. Как записать утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R? 3. Перечислите способы задания отношений. 4. Сформулируйте свойства, которыми могут обладать отношения. Как данные свойства отражаются на графе? 5. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением эквивалентности? 6. Как отношение эквивалентности связано с разбиением множества на классы? 7. Какими свойствами должно обладать отношение, чтобы оно являлось отношением порядка? Глава 7. Выражения. Уравнения. Неравенства § 1. Числовое выражение и его значение Записи 3 + 8, 2 ∙ 7, (38 – 2) : 4 называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Дадим определение числового выражения в общем виде. Определение. Каждое число является числовым выражением. Если А и В – числовые выражения, то (А) + (В), (А) – (В), (А) ∙ (В), (А) : (В) тоже являются числовыми выражениями. Выражения называют в зависимости от того, какое действие выполняется последним. Так выражение 142 : 2 + 15 ∙ 4 называют суммой, т.к. последним в нем выполняется действие сложение, а выражение 24 – 3 ∙ 5 называют разностью, т.к. последним выполняется действие вычитание. В математике применяют следующие способы упрощения записи числовых выражений: 1) опускают скобки, содержащие лишь одно число: вместо записи (3) + (5) пишут 3 + 5; 2) опускают скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем операции выполняются по порядку слева направо. точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо: 3 ∙ 9 ∙ 24 : 8 : 2; 3) т.к. условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание), то выражение (2 ∙ 3 ∙ 5) – (8 : 2 : 2) записывают так: 2 ∙ 3 ∙ 5 – 8 : 2 : 2. Выполнив действия, указанные в выражении, мы получим число, называемое значением числового выражения. Так, значение выражения 24 – 3 ∙ 5 равно 9. Если выражение состоит из одного числа, то значением выражения является само число. Для более сложных выражений порядок вычисления значений таков: 1) Если числовое выражение не содержит скобок, то сначала надо вычислить значения тех частей, выражения, в которые входят лишь операции умножения и деления, выполняя эти операции слева направо. после этого надо заменить соответствующие части выражений их значениями и выполнить их слева направо. 2) Если выражения содержат скобки, то надо взять все пары левых и правых скобок, внутри которых нет иных скобок и вычислить их значения по правилу 1. Если же скобки остались, то надо повторить операцию 2 с оставшимися скобками. Пример. Найдите значение числового выражения ((36 : 2 – 14) ∙ (42 ∙ 2 – 14) + 20) : 2. 1) 36 : 2 = 18; 2) 18 – 14 = 4; 3) 42 ∙ 2 = 84;4) 84 – 14 = 70; 5) 4 ∙ 70 = 280; 6) 280 + 20 = 300; 7) 300 : 2 = 150. Следует заметить, что не всякое числовое выражение имеет значение. Так, выражение 15 : (5 – 5) не имеет значения во множестве действительных чисел, т.к. на нуль делить нельзя. Выражение (14 – 5) : 2 не имеет значения во множестве целых чисел, т.к. результат деления 9 на 2 множеству целых чисел не принадлежит. § 2. Числовые равенства и их свойства Пусть даны 2 числовых выражения А и В. Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством. Равенство А = В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выражения А и В имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы. Пример. 1) 16 : 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8; 2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11; 3) 15 : (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения. Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А = В и С = D, где А, В, С, D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А) + (С) = (В) + (D), (А) – (С) = (В) – (D), (А) ∙ (С) = (В) ∙ (D), (А) : (С) = (В) : (D), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить. Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами: 1) рефлексивности (А = А); 2) симметричности (А = В  В =А); 3) транзитивности (А = В  В = С  А =С), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение; 4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) + (С) = (В) + (С)); 5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) ∙ (С) = (В) ∙ (С)); 6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – нечетное натуральное число, то А = В  (А)п = (В) п; 7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выражений А и В неотрицательны, то А = В  (А)п = (В)п. Если снять условие, что значения числовых выражений А и В неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликацию А = В  (А)п = (В)п. § 3. Числовые неравенства и их свойства Пусть А и В – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. Неравенство А < В считается истинным, если А и В имеют числовые значения, причем числовое значение выражения А меньше числового значения выражения В. Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12. Неравенство А ≤ В является дизъюнкцией неравенства А < В и равенства А = В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний. Неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства. Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а, b, с, d – соответствующие значения числовых выражений А, B, C, D. Свойства числовых неравенств 1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А < В  (А) + (С) < (В) + (С)); 2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А < В  (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С)); 3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А < В  (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С)); 4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А < В, С < D  (А) + (С) < (В) + (D)); 5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А < В, С < D, причем а, b, с, d > 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D)); 6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, то А < В  (А)п < (В) п); 7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число и а, b ≥ 0, то А < В  (А)п < (В) п); 8) если а, b < 0, А < В  > . § 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество. Записи 2а + 8, 3а + 5b, а4 – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы. Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д. Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А(х), В(х, у) и т.д. Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является. Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Пример. 8 : (4 – х) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8 : (4 – 4) не имеет смысла. Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у, то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а; b) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение. Пример. , область определения множество пар (а; b) │а ≥ b. Определение. Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Т.о. два выражения А(х), В(х) тождественно равны на множестве Х, если 1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают; 2) для любого х0 их множества допустимых значений, значения выражений при х0 совпадают, т.е. А(х0) = В(х0) – верное числовое равенство. Пример. (2х + 5)2 и 4х2 + 20х + 25 – тождественно равные выражения. Обозначают А(х)  В(х). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е, то они тождественно равны и на любом подмножестве Е1  Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием. Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве. Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей. Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения. Пример. 7х + 2 + 3х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R. § 5. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения Определение. Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда предикат f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной. Определение. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или его решением. Решить уравнение – это значит найти множество его корней. Пример. 1) 7х + 5 = 3х + 13, х R. Это уравнение обращается в истинное равенство при х = 2, следовательно, множество его решений есть {2}. 2) (х – 3)(х + 3) = 0 – множество решений есть {–3; 3}. Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества: 1) множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката), 2) множество Т корней уравнений (множество истинности предиката). Заметим, что Т  Х. Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f1(x) = g1(x) и f2(x) = g2(x) и известно, что Т1 – множество решений первого уравнения (Т1  Х), Т2 – множество решений второго уравнения (Т2  Х). Если Т1 = Т2, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х. Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают. Пример. 1) 3х + 5 = 4х + 3 и 2х + 3 = 7 равносильны на множестве N, т.к. Т1 = {2}, Т2 = {2}, Т1 = Т2. 2) (х – 2)2 = 3(х – 2) и (х – 2) = 3 не являются равносильными, т.к. Т1 = {2; 5}, Т2 = {5}, Т1  Т2. Определение. Если множество решений уравнения f1(x) = g1(x) (1) является подмножеством множества решений уравнения f2(x) = g2(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Пример. (х + 2)2 = 25 является следствием уравнения х + 2 = 5, т.к. уравнение х + 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х + 2)2 = 25, получаем истинное равенство (3 + 2)2 = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х + 2)2 = 25. Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого. Теоремы о равносильности уравнений Теорема 1. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) + h(х) = g(x) + h(х) (2) равносильны. Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, получим новое уравнение, равносильное данному. При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы. Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) ∙ h(х) = g(x) ∙ h(х) (2) равносильны на множестве Х. Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному. Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 3. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х, f(x)  0, g(x)  0 на множестве Х и п – четное натуральное число. Тогда уравнения f(x) = g(x) и f п(x) = gп(x) равносильны. Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны. Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Если п нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и f п(x) = gп(x) равносильны. Пример. Равносильны ли уравнения? 1) (4х + 3) ∙ х = 11х и 4х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т1 = {0; 2}, Т2 = {2}. 2) (4х + 3)(х2 + 2) = 11(х2 + 2) и 4х + 3= 11 равносильны, т.к. х2 + 2  0 ни при каких действительных х. В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий. Оглавление Раздел 1. Общие понятия математики 2 Глава 1. Высказывания 2 § 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания 2 § 2. Законы алгебры высказываний 4 Глава 2. Элементы теории множеств 6 § 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество 6 § 2. Способы задания множеств 6 § 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств 7 § 4. Операции над множествами 8 § 5. Законы операций над множествами 9 § 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств 10 § 7. Понятие разбиения множества на классы 11 Глава 3. Соответствия 13 §1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств 13 § 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий 14 § 3. Взаимно однозначное соответствие 15 § 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества 15 § 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций 16 § 6. Виды функций 18 § 7. Обратная функция 20 Глава 4. Отношения на множестве 22 § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений 22 § 2. Свойства отношений 23 § 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы 25 § 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества 26 Глава 5. Предикаты и теоремы 27 § 1. Предикаты и операции над ними 27 § 2. Высказывания с кванторами и их отрицания 28 § 3. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие 29 § 4. Строение и виды теорем 30 Глава 6. Математические понятия 32 § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями 32 § 2. Определение понятия. Требования к определению понятия 33 Глава 7. Математические доказательства 35 § 1. Умозаключения и их виды 35 § 2. Схемы дедуктивных умозаключений 36 § 3. Проверка правильности умозаключений 37 § 4. Способы математического доказательства 39