Математика.Ряды

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА Направления подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры» 150700 «Машиностроение»; Профили подготовки: 1.180100.62.02 «Техническая эксплуатация судов и судового оборудования», 1.180100.62.07 «Судовые энергетические установки», 1.180100.62.08 «Судовое оборудование». Направления подготовки: 150700 «Машиностроение» Профили подготовки: 1.150700.62.01 « Оборудование и технология сварочного производства»; Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии Форма обучения: очная Санкт-Петербург 2011 1 Раздел 6. Ряды Тема 6.1. Числовые ряды Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Понятие ряда. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Гармонический и геометрический ряды. Простейшие действия над рядами: умножение на число, сложение и вычитание рядов. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Обобщенный гармонический ряд. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. 6.1.1. Числовые последовательности Определение 6.1.1 Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел N и отображающая его во множество вещественных чисел R . Для числовой последовательности используют обозначение: xn  n 1 . Вещественные числа x1, x2 ,..., xn ,... - значения последовательности, называются ее членами, а значения аргумента 1, 2, ..., n,... номерами членов последовательности. Говорят, что xn – n – й член последовательности. Последовательность задана, если задана формула ее n – го члена. Например, равенством 1 xn  задается последовательность xn  n 1 , первыми тремя членами которой являются 2 1 n 1 1 1 числа: , , . Выбирая в формуле n – го члена различные значения n , можно выписать все 2 5 10 члены этой последовательности. Некоторые последовательности удобно задавать рекуррентно, задавая первый член и соотношение, по которому каждый следующий член можно получить из предыдущего. Так задавались известные из школьного курса математики, арифметическая и геометрическая прогрессии. Например, последовательность bn n 1 , где b1  1 , bn  bn 1  2 , является геометрической прогрессией со знаменателем q  2 . Определение 6.1.2 Последовательность xn1  xn  при всех xn n 1 называется возрастающей (неубывающей), если xn 1  xn xn n 1 называется убывающей (невозрастающей), если xn 1  xn n. Определение 6.1.3 Последовательность xn1  xn  при всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной. Определение 6.1.4 Последовательность xn n 1 называется ограниченной снизу, если существует число m , такое, что xn  m при всех n . Определение 6.1.5 Последовательность xn  n 1 называется ограниченной сверху, если существует число M , такое, что xn  M при всех n . Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. 2 Пример 6.1.1 Последовательность xn n 1 , где 1 xn  2  2 n ограничена снизу числом 2. 1 Последовательность xn  ограничена сверху числом 3. Последовательность n 1 , где xn  3  n xn n 1 , где  1n ограничена, так как при всех n справедливо: 0  xn  1,5 . n Следует заметить, что множество натуральных чисел N , на котором задается последовательность, имеет одну предельную точку  . Значит, предел последовательности определяется только при n   . xn  1  Определение 6.1.6 xn n 1 Число A называется пределом последовательности при n   , если   0 найдется номер N , такой, что при всех n  N выполняется: xn  A   . Это записывают в виде: lim xn  A . x  Определение 6.1.7 Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся. Пример 6.1.2 1  1 1  lim 1    1 , так как   0 неравенство xn  1    при всех n  N    , где знаком n n n    1 1     обозначена целая часть числа  . Как ведут себя члены последовательности по отношению   к ее пределу показано на рис.1. x5 x4 x3 1 x1 x2 x 2 1,5 Рис. 6.1.1 Пример 6.1.3 lim n   1n n  0 , так как   0 неравенство xn  0   1n n  1 1    при всех n  N    . В n  данном случае последовательность сходится к своему пределу, принимая значения большие и меньшие его поочередно (рис.2). x1 1 x3 x5 x4 x2 x 0,5 Рис. 6.1.2 Пример 6.1.4 lim n 2   , так как для любого   0 xn  n 2   при n  N  n    . Пример 6.1.5 Последовательность, заданная формулой n го члена xn  3   1n не имеет предела ни конечного, ни бесконечного, так как при любых n его члены равны 4 или 2. 3 Предельный переход в неравенстве  Если для сходящихся последовательностей xn  n 1 и yn n 1 , начиная с некоторого номера N , выполняется xn  yn и если lim xn  A , а lim yn  B , то A  B . n  n  ЗАМЕЧАНИЕ 1 Теорема является верной и при бесконечных пределах A и B. Теорема Вейерштрасса Всякая монотонная последовательность имеет предел. Этот предел конечен, если последовательность возрастает и ограничена сверху или, если она убывает и ограничена снизу. 6.1.2. Числовой ряд. Сходимость числового ряда Определение 6.1.8 Пусть задана числовая последовательность an  n 1 . Построим новую последовательность чисел Sn  n 1 по следующему правилу: S1  a1 ; S2  a1  a2 ; S3  a1  a2  a3 ; …; Sn  a1  a2  a3  ...  an .  Две последовательности: заданная an  n 1 и построенная S n n 1 называются числовым рядом и обозначаются:   an . n 1 При этом члены последовательности Sn n 1 Последовательность an n 1 : a1, a2 , ..., an называются членами ряда, называется последовательностью частичных сумм ряда, а ее члены: S1, S2 , ..., Sn - частичными суммами. Определение 6.1.9   an Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его n 1 частичных сумм, то есть существует конечный предел lim Sn  S . В противном случае ряд n  называется расходящимся. Конечное число S называется суммой сходящегося ряда. Пример 6.1.6 Числовой ряд   qn называется геометрическим. n 1 При q  1 его частичная сумма Sn  n и lim Sn   , то есть ряд расходится. n  При q  1 последовательность его частичных сумм имеет вид: S2n  0 , S2n 1  1 и, следовательно, не имеет предела. 1  qn (формула суммы n 1 q 1 q  1 lim S n  . Выберем 1 q n  При значениях q  1 n – я частичная сумма ряда равна S n  членов геометрической прогрессии). Покажем, что при n произвольное   0 и рассмотрим неравенство 4 q 1 1 qn 1 Sn      , 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q   которое является верным при q   1  q  или при n  N  log q  1  q  . Значит, при q  1 n 1 последовательность Sn  n 1 имеет конечный предел, ряд сходится и его сумма равна S  1  q . q 1, Если то ряд является расходящимся, n Sn  q 1 qn qn 1 1       1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q  при так n q   1 q 1 как   0 или при  n  N  log q  1  q  1 . Следовательно, lim Sn   , что доказывает расходимость ряда. n  Пример 6.1.7 Исследуйте на сходимость ряд  1  2n  12n  1 и в случае его сходимости вычислите n 1 сумму ряда. Решение Если представить члены ряда в виде суммы двух слагаемых 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an    , an 1  , …, a3   , a3   , a3   , то 22n  1 22n  1 22n  3 22n  1 10 14 6 10 2 6 1 1 n – я частичная сумма ряда запишется в виде: Sn  a1  a2  a3  ...  an 1  an   . 2 22n  1 1 1 Тогда lim S n  . Ряд сходится и его сумма равна . 2 2 n  6.1.3. Необходимый признак сходимости. Остаток ряда. Свойства сходящихся рядов Необходимый признак сходимости Если числовой ряд   an n 1 сходится, то lim an  0 . n  Доказательство Из того, что числовой ряд   an сходится, следует, что существует конечный предел n 1 lim Sn  S , где Sn  n 1 – последовательность его частичных сумм. Поскольку n  Sn  Sn 1  an , то S  lim Sn  lim Sn 1  lim an  S  lim an , из чего следует, что n  n  n  n  lim an  0 . n  ЗАМЕЧАНИЕ Данный признак не является достаточным, то есть из условия lim an  0 не следует n   сходимость ряда. Примером этого является обобщенно гармонический ряд:  1 n 1n lim 1 n  n p  0 при всех p>0, однако сходится этот ряд только при p >1. 5 p . Следствие   an Если lim an  0 , то ряд n  расходится. n 1 Пример 6.1.8 Числовой ряд  2n  3  5n  1 2n  3 2n 2  lim  0. n  5n  1 n  5n 5 расходится, поскольку lim an  lim n  n 1 Определение 6.1.10    an . Ряд Пусть задан числовой ряд  an n  k 1 n 1 , который получен из заданного отбрасыванием k первых членов, называется остатком ряда после k – го члена. Свойства сходящихся рядов 1. Числовой ряд и любой из его остатков сходятся или расходятся одновременно.   an 2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна S, то ряд n 1   c  an , где c  0 , тоже n 1 сходится и его сумма равна c  S .   an 3. Если числовые ряды и n 1   bn n 1 – сходятся и их суммы равны S1 и S 2   an  bn  также сходится и его сумма равна соответственно, то ряд n 1 4. Если числовой ряд   an сходится, а ряд n 1 S1  S2 .   bn расходится, то ряд n 1   an  bn  n 1 расходится. ЗАМЕЧАНИЕ  Если числовые ряды  an и n 1   bn расходятся, то ряд n 1 может оказаться сходящимся. Например, ряд   n 1  n 1  bn    1 , все члены которого равны   n 1 n 1   n 1 n 1  an  bn   1 , может расходиться, а n 1  an   1 ,  an  bn    1  1   0 сходится и его сумма n 1  составленный из единиц и ряд являются расходящимися. Но ряд S 0. 6.1.4. Достаточные признаки сходимости положительных рядов Определение 6.1.11 Числовой ряд   an , в котором n 1 an  0 при всех n называется положительным. Последовательность частичных сумм Sn  n 1 положительного ряда является возрастающей. Если она ограничена сверху, то ряд сходится. Сумма сходящегося положительного ряда всегда неотрицательное число. Для положительных числовых рядов доказаны следующие достаточные признаки сходимости. 6 Признак сравнения   an Если для членов положительных рядов (1) и n 1   bn (2) справедливо неравенство n 1 an  bn при всех n  N , то:  из сходимости ряда (1) (ряда с большими членами) следует сходимость ряда (2) (ряда с меньшими членами);  из расходимости ряда (2) (ряда с меньшими членами) следует расходимость ряда (1) (ряда с большими членами). Доказательство При доказательстве теорем этого параграфа следует иметь в виду, что последовательность частичных сумм положительного ряда Sn n 1 – возрастающая, следовательно всегда существует ее предел: конечный (если ряд сходится) или бесконечный (если ряд расходится). Для частичных сумм рядов (1) и (2) справедливо неравенство Sn(1)  Sn( 2) и из предельного перехода в неравенстве следует lim Sn(1)  lim Sn( 2) . n  Если ряд (1) сходится, то lim S n  ( 2) n n   lim S n  (1) n  S  ряд (2) – сходится. Если ряд (2) расходится, то lim Sn(1)  lim Sn( 2)    ряд (1) – расходится. n  n  При использовании признака сравнения в качестве эталонных рядов, с которыми проводится сравнение исследуемых рядов рассматривают геометрический ряд:  cõîäèòñÿ ïðè 0  q  1  q n  ðàñõîäèòñÿ ïðè q  1  n 1 и обобщенно гармонический ряд:  1  cõîäèòñÿ ïðè p  1  p ðàñõîäèòñÿ ïðè p  1 .  n 1 x Условия сходимости геометрического ряда следует из того, что: Sn   q 1  qn 1 q  По формуле для суммы n членов геометрической прогрессии со знаменателем q  0 .  q 0, 0  q  1 , 0  q 1  Поскольку lim q   , то lim S n  1  q . n  n    , q  1   , q  1  n ЗАМЕЧАНИЕ Исследование обобщенно гармонического ряда на сходимость будет проведено позднее. Пример 6.1.9 Исследуйте на сходимость ряд   sin 2 n n 1 n3 . Решение Так как sin 2 n n3  1 1  3 при всех n и обобщенно гармонический ряд  3 сходится, то ряд с n n 1 n меньшими членами   sin 2 n n 1 n3 является сходящимся. 7 Пример 6.1.10  1  ln n . n n 1  Исследуйте на сходимость ряд Решение 1  ln n 1 при всех n. Обобщенно гармонический ряд  n n Так как ln n  0 при n  1 , то   1  ln n 1 расходится. Следовательно, ряд с большими членами  также расходится. n n 1 n n 1  Предельный признак сравнения   n 1 n 1  an (1) и  bn (2) существует lim Если для положительных рядов an  q , то: n  bn  при q  0 из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);  при q   из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2);  при q  0 и q   ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство an  q . Тогда   0 n  bn Рассмотрим только третий пункт, т.е. существует конечный lim найдется номер N, такой, что при всех nN выполняется: an  q   , или умножая на bn  0 , bn q  bn  an  q  bn . a Поскольку an  0 и bn  0 , то lim n  q  0 . Тогда: n  b n an  q   , или bn q  (6.1.1)  если ряд (2) сходится, то сходится положительный ряд  q  b n 1 n , а тогда из  (6.1.1) по признаку сравнения следует, что сходится ряд a n 1  n , ряд (1). если ряд (2) расходится, то, при выборе  таким малым, что q    0 ,  положительный ряд  q  b n n 1 будет расходиться, а тогда из (6.1.1) по признаку сравнения следует, что ряд (1) тоже расходится. Пример 6.1.11 Исследуйте на сходимость ряд   2n  n n 1 5 n  3n . 8 Решение   2 2n  n 2n  2    ~ n    , то заданный ряд и ряд  bn     Поскольку an  n 5   5  3n n  5 n 1 n 1 5  n  2 a   одинаково, так как lim n  1 . Геометрический ряд    n  bn n 1  5    2n  n n 1 5 n  3n n ведут себя n сходится. Следовательно, ряд также сходится. Следствие Если для n – го члена числового положительного ряда   an можно выделить при n   n 1 главную часть an ~ c n  n p , то при p  1 ряд сходится, а при p  1 ряд расходится. Пример 6.1.12 Исследуйте на сходимость ряд  n3 n 1 n5  3n  n 3 . Решение Для n – n3 го члена заданного ряда можно выделить главную n 1 2 an  ~ 5  2 . Порядок p   1 , поэтому ряд расходится. 3 5 3 n  3n  n n n 3 n 3 Пример 6.1.13 1 n . Исследуйте на сходимость ряд  5 4 n 1 3  2 n  1  cos Решение Выделим главную часть n – го члена ряда: 1 1  cos n a  1 1 ~ 2n4  9 . 5 3  2 n 4 n   2n 5 4n 5 n Порядок p  9  1 , ряд сходится. 5 Пример 6.1.14 Исследуйте на сходимость ряд   n 1 n 1  3n 2  2 ln n . Решение 1  3n 3n 3 an  2 ~ 2  . Порядок p  1 , ряд расходится. n n  2 ln n n  n 9 часть Интегральный признак Коши Пусть функция f(x) непрерывная, положительная и невозрастающая при x  1 и пусть f n  an при всех n N . Числовой положительный ряд   an и несобственный интеграл n 1   f x  dx , c  1 сходятся или расходятся одновременно. c Доказательство Ряд   an , n 1 для которого f n  an , положительный и члены его не возрастают, т.е. a1  a2  ....  an  ... .. Из непрерывности функции f(x) при x  1 следует ее интегрируемость на  этом промежутке, т.е. существование интеграла  f  x dx . 1 Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y  f  x  , с основанием от x  1 до x  n , где n произвольное положительное целое число (рис. 6.1.3). n Обозначим её площадь через I n . Очевидно, что I n   f  x dx . 1 y a1  f 1 a2  f 2 a3  f 3 a4  f 4 an1  f n1 an  f n 1 2 3 n 1 4 n x Рис.6.1.3. Отметим целые точки основания x  1 , x  2 , фигуры. Одна из них (“входящая”) имеет площадь , x  n . Рассмотрим две ступенчатые f 2  f 3  ...  f n  Sn  a1 , а вторая (“выходящая”) площадь равна f 1  f 2  ...  f n  1  Sn  an , где Sn  a1  a2  ...  an – n – я частичная сумма ряда. Из чертежа ясно, что справедливо неравенство Sn  a1  I n  Sn  an . (6.1.2) По условию f  x   0 , значит интеграл I n возрастает с ростом n . Возможны 2 случая:  1) I   f  x dx 1 – сходится  I  lim I n существует и конечен. Поскольку I n n  возрастает, то I n  I , а так как из (6.1.2) Sn  I n  a1 , то Sn  I  a1 . Следовательно, частичные 10 суммы S n ограничены сверху и на основании теоремы Вейерштрасса последовательность  Sn n 1 имеет конечный предел и, значит, ряд  an сходится. n 1  2) Интеграл I   f  x dx   расходится  1 lim I n   и в силу того, что n  Sn  I n  an , последовательность Sn  n 1 неограниченно возрастает, из чего следует ее предел бесконечен и ряд расходится. Пример 6.1.15  Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда 1 n n 1 p , где p  R . Решение   1 1 По интегральному признаку Коши ряд  p и интеграл  p dx сходятся или расходятся x n 1 n 1 одновременно. Поскольку интеграл сходится при p  1 (исследовался в разделе несобственные интегралы), то ряд при p  1 сходится, а при p  1 расходится. Пример 6.1.16 Исследуйте на сходимость ряд  1  n 1n ln p , где  - положительное число и n  1 , p >0. n  Решение Функция f x   1 x ln x  p удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.  Рассмотрим несобственный интеграл 1  1 x ln x  p dx и сделаем в нем замену: lnx   t ,  1 1 dx  dt . Получим интеграл  p dt , который сходится при p  1 и расходится при p  1 . По x ln  t интегральному признаку Коши также ведет себя и ряд   n 1 n ln Ряд   n 1 n ln 1 p n  1 p n  . , где  - положительное число и n  1 , p >0 также можно использовать как эталонный в признаках сравнения. Пример 6.1.17 Исследуйте на сходимость ряд   n 1 1 2n  3ln 2 3n  1 . Решение Так как an  1 1 ~ 2n  3ln 3n  1 n 2n ln 3n 2 где bn - n–й член сходящегося ряда 2   n 1 2 ln 1 2 3n  an 1  , 2 n  bn , то существует конечный предел lim . Значит ряд предельному признаку. 11   n 1 1 2n  3ln 2 3n  1 сходится по Признак Даламбера Если члены положительного числового ряда   an таковы, что существует предел n 1 an 1  q , то при 0  q  1 ряд сходится, а при q  1 (в частности при q   ) ряд n  an расходится. При q  1 ряд может сходиться и может расходиться. lim Доказательство an 1  q и 0  q  1 . Тогда   0 найдется номер N , n  an 1) Пусть существует предел lim такой, что при всех n  N выполняется: an  0 , получим an 1 a  q   , или q    n 1  q   , или умножая на an an q  an  an 1  q  an . (6.1.3) an  q  0 , из чего следует, что q    0 . Поскольку n  b n 0  q  1 , то выбирая  таким малым, что 0  q    1, заметим a2  q  a1 , Поскольку an  0 и bn  0 , то lim a3  q  a2  q   a1 , 2 a4  q  a3  q   a1 3 ……………………………….. an  q  an 1  q   a1 ,… n Из того, что члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося геометрического  ряда   a1 q    a1  q   , следует по признаку сравнения сходимость ряда. n n 1 n n 1 an 1  q и q  1 . Выбирая в неравенстве (6.1.3) n  an 2) Пусть существует конечный предел lim  таким малым, что q    1, получим a2  q  a1 , a3  q  a2  q   a1 , 2 a3  q  a2  q   a1 , 2 ………………………………… an  q  an 1  q   a1 . n Из того, что члены ряда больше соответствующих членов расходящегося геометрического  ряда   a1 q    a1  q   , следует по признаку сравнения сходимость ряда. n 1 n n n 1 Пример 6.1.18 Исследуйте на сходимость ряд   5n n ! n  1n . n 1 Решение Так как an  5n 1n  1! a  , , то: n 1 n  1n n  2n 1 5n n ! 12 n  1n  1n  a 5n 1n  1!n  1n lim n 1  lim  5 lim n  an n  5n n !n  2n 1 n  n  2n n  2  1  n ln1  1   n2  5  5 lim 1   , так как   5 lim e  n 2 e n  n     1  1  n  lim  n ln1   1 .    lim  n      lim n  2 n  2  n n  n   n        n a 5 Поскольку lim n 1   1 , то по признаку Даламбера ряд расходится. e n  an Радикальный признак Коши  Пусть для положительного числового ряда  an n 1 существует lim n an  q . Тогда при n  0  q  1 ряд сходится, а при q  1 (в частности при q   ) ряд расходится. При q  1 ряд может сходиться и может расходиться. Пример 6.1.19 Исследуйте на сходимость ряд   1 n 1  n arctgn n . Решение 1 1  1 1 lim n an  lim n n arctgn n  lim  arctgn     1 . Ряд сходится по  n  n   n   2 2 радикальному признаку Коши. Рассмотрим Пример 6.1.20 Исследуйте на сходимость ряд n   2n  1    5n  2  .  n 1 Решение n 2n  1 2n 2  2n  1  lim n an  lim n   lim   1 . Ряд сходится по   lim n  n   5n  2  n  5n  2 n  5n 5 радикальному признаку Коши. Рассмотрим ЗАМЕЧАНИЕ Учитывая свойства сходящихся рядов, все теоремы для положительных рядов справедливы и для рядов, для членов которых справедливо an  0 , а также для рядов, для которых неравенство an  0 выполняется, начиная с некоторого номера N. 6.1.5. Знакопеременный ряд Если все члены ряда отрицательны, то можно рассмотреть ряд, все члены, которого умножены на  1 . Он будет сходиться или расходиться вместе с исходным. Если в ряду конечное число отрицательных членов, то можно рассмотреть ряд   an , в котором все члены n  k 1 будут положительны. Этот ряд ведет себя так же, как и исходный ряд. Если среди членов ряда бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных, то ряд является знакопеременным. Для знакопеременного ряда достаточные 13 признаки сходимости использовать нельзя. Например, ряды:  sin n  n 1 и   n 1 n 1   являются cos n 2  1 2 n 1 знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды. В знакочередующемся ряду любые два соседних члена имеют разные знаки. Например, ряды:    1n n n 1 и    1n  2 n 1 - знакочередующиеся. n2  1 При исследовании сходимости знакопеременного ряда   an обязательно исследуют n 1   an сходимость его абсолютного ряда , который является положительным. В зависимости от n 1 того, как ведет себя абсолютный ряд, различают два типа сходимости знакопеременного ряда: абсолютную и условную. Определение 6.1.12 Знакопеременный ряд   an называется абсолютно сходящимся, если сходится он и его n 1 абсолютный ряд   an . n 1 Определение 6.1.13 Знакопеременный ряд   an называется условно сходящимся, если он сходится, а его n 1 абсолютный ряд   an расходится. n 1 Признак абсолютной сходимости Если абсолютный ряд сходится, то знакопеременный ряд сходится и сходимость абсолютная. Доказательство     an   an  an   an    an  an    an ,  n 1 n 1 n 1 n 1     Следует из того, что сходится  где сходимость положительного ряда  a n 1 n сходится  an  следует из признака сравнения, поскольку  an  an  2 an , а ряд  an сходится вместе с абсолютным рядом n 1  a n 1 n . Пример 6.1.21 Знакопеременный ряд   n 1n   n 1n cos n 2  3n  2 cos n 2  3n  2 сходится абсолютно, так как его абсолютный ряд сходится по признаку сравнения, поскольку гармонический ряд   1 n 1 n 2 сходится. 14 cos n 1  2 , а обобщенно n  3n  2 n 2 Пример 6.1.22  n сходится абсолютно, так как его абсолютный ряд Знакочередующийся ряд   1 n  3 n 1   tg  tg   n n3 сходится по следствию из предельного признака сравнения, поскольку n n3 ~ 2 , n  n n 1  n tg p  2 1 . Признак Лейбница    1 Если для членов знакочередующегося ряда n 1 an , где an  0 , выполнены два n 1 условия: 1. lim an  0 , n  2. an 1  an начиная с некоторого номера n  N , то ряд сходится и его сумма S  a1 . Доказательство Последовательность частичных сумм Sn n 1 возрастает. Чтобы доказать это, рассмотрим  последовательность S2 m m 1 при n  2m , т.е.последовательность с четными номерами.  S2 n  a1  a2   a3  a4   ...  a2 m 1  a2 m         0 0 0 S2 n  2  a1  a2   a3  a4   ...  a2 m 1  a2 m   a2 m 1  a2 m  2   S2 m  a2 m 1  a2 m  2   S2 m .            0 0 0 0 0 Каждая скобка больше нуля, потому, что a1  a2  a3  ... u1  u2  u3  . Следовательно, последовательность S2 m m 1 – возрастает.  S2 n 1  a1  a2   a3  a4   ...  a2 m 1  a2 m   a2 m 1  S2 m  a2 m 1          0 0 0 0 0 С другой стороны, S 2 m можно переписать в виде S2 m  a1  a2  a3   a4  a5   ...  a2 m  2  a2 m 1   a2 m  a1           0 0 Следовательно, последовательность S  0 0  2 n n 1 возрастает и ограничена сверху. Значит, по теореме Вейерштрасса существует конечный предел lim S2 m  S . n  Если рассмотреть последовательность частичных сумм с нечётными номерами S2 m 1m 1 , то каждый ее член можно представить в виде: S2 m 1  a1  a2  a3  a4  ...  a2 m 1  a2 m  a2 m 1  S2 m  a2 m 1 .     S2m Переходя в последнем равенстве к пределу, получим lim S2m 1  lim S2m  a2m 1   lim S2 m  lim a2m 1  S , m  m  m  m  т.к. lim a2 m 1  lim an  0 по условию теоремы. m  n  Из того, что lim S2 m  S и lim S2 m1  S следует, что lim Sn  S (из единственности m m n   предела) и ряд   1 n 1 n 1 an сходится. 15 Из того, что S2 m  a1 по предельному переходу в неравенстве следует, что сумма ряда S  a1 . ЗАМЕЧАНИЕ 1  В теореме рассматривался знакочередующийся ряд вида   1 n 1 n 1 an , где an  0 , у которого первый член положителен. Если рассмотреть ряд тоже представляет собой знакочередующийся  ряд   1 a n n n 1 членов на , где an  0 , то он получается из рассмотренного ряда умножением всех его  1 и поэтому также сходится при выполненных условиях теоремы. ЗАМЕЧАНИЕ 2  Если рассмотреть остаток ряда  1 a n n nk теоремы. Кроме того, если обозначить Rk , то он также сходится при выполненных условиях сумму этого ряда, то   Rk  ak   ak 1  ak  2   ak  3  ak  4   ....   ak .     0  0    0 ЗАМЕЧАНИЕ Признак Лейбница не дает ответа на вопрос о типе сходимости знакочередующегося ряда. Но поскольку его используют только, если абсолютной сходимости нет, то признак Лейбница иногда называют признаком условной сходимости. Пример 6.1.23 Исследуйте на сходимость ряд  1n .  3 n 1 n ln n  2  Если ряд сходится, то укажите тип сходимости. Решение Абсолютный ряд   n 1 n3 1 ln n  2 расходится по предельному признаку, так как  1 1 1 ~ , а ряд  расходится. Следовательно, абсолютно ряд сходиться 1 1 3 n lnn  2 n  n ln 3 n n 1 n ln 3 n не будет. Поскольку ряд знакочередующийся, используем признак Лейбница: 1 1  0, 1. lim an  lim n  n  n 3 ln n  2  1 1 , an 1  , значит an 1  an . 3 n  1 lnn  3 ln n  2 По признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. 2. an  n3 16 Пример 6.1.24 Исследуйте на сходимость ряд    1n n 1 ln n  1 . Если ряд сходится, то укажите тип n сходимости. Решение Абсолютный ряд ряд ln n  1 lnn  1 ln 2 расходится по признаку сравнения, так как ,а  n n n n 1     ln 2 1 и, следовательно, ряд  расходятся. n 1 n n 1 n По признаку Лейбница:  lnn  1    1     lim n  lim  0 ; 1. lim an  lim n n  n     n  1 n   n lnn  1 lnn  2 2. an  , an 1  . Докажем, что an 1  an . Рассмотрим функцию n n 1 lnx  1 . Поскольку ее производная f x   x 1  x  lnx  1 x1  lnx  1  lnx  1 f x   x  1   0 при x  1 , то функция f x  убывает 2 x x 2 x  1 при x  1 . Члены ряда an и an 1 являются значениями этой функции при x1  n и x2  n  1 . Так как x2  x1 , то an  an 1 . По признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. Признак Лейбница можно использовать и при приближенном вычислении суммы ряда (замечание 2). 1 Пример 6.1.25 Вычислите сумму ряда  1  n n 1 3 с точностью   103 . n Решение  1 1 1 1 1       R5 , где R5 - сумма остатка ряда после пятого члена. 3 18 81 324 1215 n 1 3 n 1   , а так как члены ряда убывают по модулю, то и все Модуль пятого члена a5  1215 последующие члены меньше  . Тогда по признаку Лейбница сумма остатка ряда R5  a5   .  1 n Следовательно, сумма ряда  1 1 1 1 31      . 3 18 81 324 108 n 1 3 n  1 n 6.2. Функциональные ряды Функциональные ряды Область сходимости. Сумма функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля о структуре области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена функций e x , sin x, cos x, ln 1  x , 1  x  .  17 6.2.1. Функциональный ряд и его область сходимости Определение 6.2.1 Пусть задана последовательность функций un x  n 1 и все ее члены определены на одном а; b . Заданная функциональная последовательность последовательность функций Sn x  n 1 , построенная по правилу: S1x   u1x  , S2 x   u1x   u2 x  , и том же промежутке и новая …………………………. Sn x  u1x   u2 x   ...  un x называются функциональным рядом и обозначаются:   un x  (6.2.1). n 1 Для любого значения x  x0 , где x0  а; b , функциональный ряд является числовым  рядом  u n  x0  . Если этот ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд (6.2.1) n 1 сходится в точке x 0 . Определение 6.2.2 Множество значений x , при которых функциональный ряд (6.2.1) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости функционального ряда обычно удается найти с помощью известных признаков сходимости. Определение 6.2.3 Разность между суммой ряда и его частичной суммой S x   Sn x  называется остатком ряда и обозначается: Rn ( x)  S ( x)  S n ( x) . ЗАМЕЧАНИЕ Остаток  Rn x – это n – й член последовательности функций, которая сходится к нулю, если функциональный ряд сходится. Теорема 6.2.1 Функциональный ряд сходится тогда и только тогда, когда lim R n x   0 . n  Пример 6.2.1  Найдите область сходимости функционального ряда 1  хп . n 0 Решение Все члены ряда определены при x  0 . Если положить x равным какому-нибудь числу, то полученный числовой ряд в общем случае является знакопеременным. Рассмотрим его  абсолютный ряд  n 0 1 хп , который является положительным, и исследуем его сходимость с помощью признака Даламбера: xn u n1  x  1 . lim  lim n1  n u n  x  n x x 18 При 1  1 , т.е. в области x  1 , ряд сходится абсолютно, при x  1 и x  0 ряд x расходится.  1  1  1  1   При x  1 и x  1 числовые ряды и n 1    1  1  1  1  1   расходятся; n 1 так как для них не выполняется необходимый признак сходимости.  Следовательно, областью сходимости (абсолютной) ряда 1  хп является множество n 0 значений х   ;  1  1;    . Пример 6.2.2 Найдите область сходимости ряда   1 n 1 ï õ . Решение Область определения всех членов ряда есть множество  ;   . Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при х  1 . Следовательно, луч 1;    является областью сходимости данного ряда. Как и в случае числовых рядов сумма S  x  функционального ряда определяется через предел последовательности Sn x  n 1 его частичных сумм: S  x   lim S n  x  , где S n  x   u1  x   u 2  x     u n  x  . n Таким образом, сумма S (x) функционального ряда является функцией x , причём областью определения этой функции является область сходимости ряда. Пример 6.2.3  Найдите область сходимости ряда  x n  1  x  x 2  . n 0 Решение Все члены ряда определены на всей числовой оси. Это геометрический ряд со знаменателем q  x . Если x  1 , то ряд сходится. Следовательно, интервал  1; 1 есть область сходимости данного ряда и его сумма равна S  x  1 , x , областью ее определения является область сходимости ряда, т.е. интервал 1 х  1; 1 . 6.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов  Рассмотрим функциональный ряд  u n  x  , который сходится при всех x  a; b . n 1 Возьмем x0  a; b , тогда числовой ряд Это значит, что:   и n  x0  n 1 lim S n  x0   S  x0  , n 19 сходится и его сумма равна S  x0  . или, что то же самое,   0 существует n  N 0  S n  x0   S  x0    . Аналогично, если взять x1  a; b , lim S n x1   S x1  , что означает, что номер N 0 , x0  , x1  x0 , то сумма ряда равна S x1  что или n   0 N1, x1  : n  N1  Sn x1   S x1    . Таким образом, каждому значению x  a; b будет соответствовать некоторый числовой ряд и некоторый номер N , который зависит не только от  , но и от x из области сходимости ряда, то есть N  N  x  . Определение 6.2.3  Функциональный ряд промежутке a; b, если:  и n  x  называется равномерно сходящимся к своей сумме S  x  на n 1 1) он сходится на промежутке a; b; 2)   0 существует номер N   , зависящий только от  и не зависящий от x , что 3) n  N   S n  x   S  x    для всех x  a; b . Пример 6.2.4 Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда    1п n 1 хп на отрезке 0; 1 . 2п  3 Решение Ряд является знакочередующимся для всех x  0; 1 . По признаку Лейбница ряд сходится при x  0; 1 . Рассмотрим остаток ряда, который по признаку Лейбница не больше (n+1) – го члена, т.е. х п1 1 для вех x  0; 1 .  2(п  1)  3 2п  1 1 Так как Rn ( x)  S ( x)  S n ( x) , то S  x   S n  x   . 2п  1 1 Возьмем   0 такое, что   . Последнее неравенство 2п 1 1 1  . 2n  1   n   2 Rn  x   u n1  x   равносильно 1    Если взять в качестве N      , то для любых n  N () будет выполняться  2  неравенство S  x   S n  x      0 и x  0; 1 , которое доказывает равномерную сходимость данного ряда. Геометрический смысл равномерной сходимости Рассмотрим неравенство S n  x   S  x    для любых n  N () и x  a; b , которое равносильно неравенству (6.2.2) S  x    S n  x  S  x   . 20 На отрезке a; b построим графики функций y  S  x  , y  S  x    и y  S n  x  для n  N () (рис. 6.2.1). у у  S (x)   у  S (x) у  S n (x) у  S (x)   a х b Рис. 6.2.1 y  S  x  «  -полоской», определяемой соотношением (6.2.2), то графики всех функций y  S n  x  , начиная с некоторого номера n  N () , целиком лежат в этой «  -полоске». Из рисунка видно, что если окружить график функции Признак Вейерштрасса равномерной сходимости  Если существует сходящийся положительный числовой ряд  an и для всех x  a; b n 1 выполняется неравенство u n  x   an , n  1, 2, 3, , то функциональный ряд   иn  x n 1 сходится равномерно и абсолютно на промежутке a; b. Определение 6.2.4  В условии теоремы Вейерштрасса ряд  an называется мажорантой или мажорирующим n 1  рядом данного функционального ряда  иn  x . n 1 Пример 6.2.5  Для данного функционального ряда  cos nx n 1 nn построить мажоранту и найти интервал сходимости. Решение Для всех x   ;   справедливо: cos nx nn  1 nn  . Ряд 1  nn является мажорантой, n 1 его сходимость устанавливается с помощью радикального признака Коши: lim n n an  lim n 1 n n n  lim 1 n n  0  1. Мажорирующий ряд сходится и, следовательно, данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси. Пример 6.2.6 Найдите область сходимости функционального ряда   e nx n 1 n равномерно. 21 2 и выясните, где он сходится Решение en 1x lim n  12 e nx n  e x n2  lim  e x . По признаку Даламбера ряд сходится при 2 2 nx n  n  1 e n  n  lim e nxe x n 2 n2 e x  1 , что справедливо при x  0 . При x  0 числовой ряд   1 n 1 n 2 является сходящимся. Следовательно, областью сходимости является луч  ; 0 . А так как при x  0 e nx  1 и  1  e nx 1 и мажорирующий ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд    2 2 n2 n2 n 1 n n 1 n сходится равномерно на всей области сходимости. e nx Свойства равномерно сходящихся рядов Свойство 1. (Непрерывность суммы ряда) Если:  1) функциональный ряд  un  x сходится равномерно на промежутке a; b и S x  - n 1 его сумма; 2) все члены ряда u n  x  есть непрерывные функции, то сумма ряда S  x  также является непрерывной функцией на промежутке a; b . Свойство 2. (Почленное интегрирование ряда) Если:  1) функциональный ряд  u n  x  сходится равномерно на промежутке a; b ; n 1 2) все члены ряда u n  x  есть непрерывные функции, то сходится ряд, полученный почленным интегрированием по промежутку x исходного ряда и его сумма S1x    S t  dt , то есть:  частности: b  b a n 1 a x x      n 1  ; х  а; b õ  n 1     S t dt     è n t dt     è n t dt  . В  S  x dx    и n  x dx . ЗАМЕЧАНИЕ Свойство 2 означает, что равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать. Свойство 3. (Почленное дифференцирование ряда) Если:  1) функциональный ряд S x  ;  un  x сходится на промежутке a; b и его сумма равна n 1 2) все члены ряда u n  x  имеют непрерывные производные;  3) ряд  и n'  x  равномерно сходится на a; b и его сумма равна S1x ; n 1 22 то S1x   S x  , то есть     S  x     и n  x     и n'  x   и1'  x   и 2'  x     и n'  x    .  n1  n1 ЗАМЕЧАНИЕ В свойстве 3 не требуется равномерной сходимости функционального ряда, от него требуется только сходимость. Теорема требует равномерной сходимости ряда из производных и невыполнение этого требования может привести к тому, что исходный ряд нельзя дифференцировать почленно. Пример 6.2.7  Исследовать непрерывность суммы сходящегося ряда n n 1 4 1 .  n2  x 2 Решение Каждый un  x   член данного ряда 1 n  x2  n2 4  n x   ;   функция. По теореме 1, ряд n 1 4 есть 1  x2  n2 непрерывная для любого сходится равномерно, т.к.  1 1 1 , а ряд сходится. Тогда по первому свойству, сумма S  x  ряда   4 2 2 4 4 n  x n n n 1 n  1 есть непрерывная для любого x  R функция.  4 2 2 n 1 n  x  n Пример 6.2.7  Можно ли почленно интегрировать ряд n n 1 2 1 ?  x2 Решение Каждый член данного ряда un  x   1 есть функция, непрерывная для любого x  R . n  x2 2 По признаку Вейерштрасса этот ряд сходится равномерно на всей действительной оси, т.к. 1 1  2 , а ряд 2 2 n x n  1 n n 1 2 сходится. Поэтому, согласно второму свойству, данный ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку  ; y   R . Полагая, в частности   0 и интегрируя по промежутку  0; y  , получим y    1  1 1 x 1 y   dx  dx  arctg   arctg .    2 2  2 2 0    n0 n n 1 n  x  n 1 0 n  x n 1 n n 1 n y y Пример 7.2.8  Можно ли почленно дифференцировать ряд sin nx ? n3 n 1  Решение sin nx есть функция, дифференцируемая для любого n3  cos nx cos nx x  R , причём un  x   . Составим ряд из производных . Этот ряд сходится  2 n n2 n 1 Каждый член данного ряда un  x   23 cos nx 1  2 2 n n равномерно по теореме Вейерштрасса, т.к. и члены его un  x   cos nx n2  непрерывные функции. Поэтому по третьему свойству исходный ряд  sin nx можно n3 n 1  sin nx    sin nx    cos nx .     n3  n 1  n3  x n2 n 1 n 1    почленно дифференцировать, причём  6.2.3. Степенные ряды Определение 6.2.5 Степенным рядом называется функциональный ряд, определенный на последовательности an x  x0 n n1 , степенных функций вида где x0  R , а an n 1 - последовательность вещественных чисел. Степенной ряд обозначают:   an x  x0 n . n 1 вид: В частности, при x0  0 степенной ряд имеет   an x n . n 1 Теорема Абеля  Если степенной ряд a x n n 1 n сходится в точке x  x1  0 , то он сходится абсолютно при всех x , таких, что x  x1 . Если же этот степенной ряд расходится в точке x  x1 , то он расходится при всех x , таких, что x  x1 . Доказательство  1) Пусть ряд  an x n сходится в точке x  x1  0 , т.е. сходится числовой ряд n 1  a x n 1 n n 1 , из чего следует, что lim an x1  0 . Поскольку, последовательность (функция), имеющая конечный n n  предел, ограничена, то  положительное число M  0 , такое, что при n  N an x1  M . n n n x x M Тогда an x  a x  . Поскольку при x  x1 ряд x1 x1 n n n 1 сходится как геометрический ряд с q    an x n . Следовательно, при x  x1 ряд n 1  2) Пусть ряд a x n 1 n n  n  x x M  M  x1 n 1 n 1 x1 n x  1 , то по признаку сравнения сходится ряд x1  a x n 1 n n сходится абсолютно. расходится в точке x  x1 , Предположим, что при некотором x  x2 , таком, что x2  x1 ряд сходится. Но тогда по доказанному в первом пункте он должен сходиться при x  x1 , что противоречит условию. 24 Следствие 1  Из теоремы следует, что для степенного ряда a x n 1 n n существует такое положительное число R , которое называется радиусом сходимости и для которого справедливо: при x  R ряд сходится абсолютно; при x  R ряд расходится. Следовательно, для степенного ряда   an x n n 1 область сходимости имеет вид:  R; R  . Следствие 2 Поскольку степенной ряд   an x  x0 n , сделав замену x  x0  y можно записать в виде n 1  a y n 1 n n , то область сходимости этого ряда имеет вид: x0  R; x0  R , где R – радиус сходимости. an . n  an 1 Если R  0 , то степенной ряд сходится только в точке x0 . Если R   , то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. Радиус сходимости R степенного ряда определяется по формуле: R  lim ЗАМЕЧАНИЕ 1 В точках x  x0  R ряд может сходиться, а может расходиться. Эти точки следует исследовать отдельно. ЗАМЕЧАНИЕ 2 Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости. Следовательно, при x  x0  R; x0  R степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать.   Сумма степенного ряда на всем этом интервале является непрерывной функцией. При этом точки x  x0  R не принадлежат области равномерной сходимости. Пример 6.2.9 Найдите область сходимости степенного ряда  n3 x n  n  1! . n 1 Решение n3 n  1! an n3 n  2!  lim  lim . n  an 1 n  n  13 n  n  1!n  13 n  2! Проводя сокращение под знаком предела и выделяя главные части бесконечно больших, получим Радиус сходимости R  lim n3 n  2  lim n  2   . n  n3 Следовательно, ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. При определении области сходимости степенного ряда можно не искать радиус сходимости, а определять интервал сходимости, используя признак Даламбера. R  lim n  25 Пример 6.2.10 Найдите область сходимости степенного ряда   n !x  1n 3n n 1 . Решение По признаку Даламбера: n  1!x  1n 1 lim n  3n 1 n !x  1n  lim n  n  1x  1  3 x 1 , x  1 . Значит, ряд сходится lim n  1   3 n   0, x  1 n 3 абсолютно только в точке x  1 . Пример 6.2.11 Найдите область сходимости степенного ряда n n x  2    1  n  5 n 1 2n  1 . Решение x  2n 1 n 1 n n 1 2n  3  lim x  2 5 2n  1  x  2 lim 2n  x  2 . lim 5 5 n   2n 5 n  n  x  2 n 5n 1 2n  3 x  2n 5n 2n  1 x2  1 , или x  2  5 , или 5  5  x  2  5 , или  3  x  7 . Значит, заданный ряд в интервале  3  x  7 сходится абсолютно. Исследуем концы интервала сходимости. По признаку Даламбера абсолютный ряд сходится, если При x  3 получим степенной ряд n n  5    1  n  n 1  12n  записать в виде:  n 1 2n  1 или   n 1 1 2n  1 2n  1 , который после упрощений можно . 1 1 1 ~ , p   1 , то ряд расходится. 1 2 2 n  1 n  2 n 2 Поскольку an  При x  7 получим степенной ряд записать в виде: 5    1n  5n n 1 5n 2n  1   1n , который после упрощений можно . Этот ряд знакопеременный. Его абсолютный ряд   1 2n  1 n 1 2n  1 расходится. Следовательно, знакопеременный ряд может сходиться только условно. Так как ряд знакочередующийся, то можно использовать признак Лейбница. По признаку Лейбница, так как 1 1   0; 1. lim an  lim n  n  2n  1  1 1  an  an 1 ; 2. an  , an 1  2n  1 2n  3 то ряд сходится и сходимость условная. Область сходимость степенного ряда  3; 7 (рис. 6.2.2). n 1 26 Сходится условно Расходится Сходится абсолютно Расходится 3 Расходится 2 7 x Рис. 6.2.2. Пример 6.2.12 Найдите область сходимости степенного ряда x  1n n n .   n! n 1 Решение x  1n 1n  1n 1 n  1! lim n  x  1n n n x  1n 1n  1n 1 n!  x  1 lim n  1n 1  n  n n x  1n n  1! n  n n n  1  lim n! n  1n n  1  n  n n n  1  x  1 lim n  1 x  1 lim 1    x  1  e . n n  Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при x  1  e  1 или при 1 1  1  x  1 . e e При 1 x  1 e числовой   ряд n 1 e nn nn 1 , поскольку an  n ~  1 n e n ! n  n  n  2 2  n e   2n e n Стирлинга: n ! ~   n   e  nn n p n расходится, так как n! 1  1 . Здесь использована формула 2 2n .  nn 1 При x    1 знакочередующийся числовой ряд   1n n может сходиться только e e n! n 1 условно, так как его абсолютный ряд   nn n 1 e n расходится. Поскольку ряд знакочередующийся, n! то можно использовать признак Лейбница: nn nn 1 1. lim an  lim n  lim  lim 0; n n  n  e n ! n  n  n  n  2n e   2n e n  1n 1 . nn 2. an  n , an 1  n 1 e n  1! e n! 27 Рассмотрим n  1n 1 n an 1 e n 1 n  1! 1 n  1n n  1 1  1      1   . an e n n n  1 e  n nn Было доказано, что enn! последовательность  1 1    n n n монотонно возрастает и n  1 lim 1    e . Следовательно, n n   n a 1  1 1  1 1    e при всех n . Тогда n 1   1     e  1 и an 1  an при всех n . n a e n e     n Значит, по признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. Областью сходимости является промежуток  1  1e ;  1  1e (рис. 6.2.3).   Сходится условно Расходится 1 Расходится Сходится абсолютно Расходится  1 1 1 e x 1 e Рис. 6.2.3. Пример 6.2.13   n  Найдите область сходимости степенного ряда    n 1 n  1  n2 xn . Решение Найдем интервал сходимости степенного ряда, используя радикальный признак Коши.  n  lim n   n   n  1  n2 n  n  x n  x lim    x n   n  1  1 1  x . e  1 lim 1   n n   n 1 По радиальному признаку Коши ряд сходится абсолютно при x   1 или при  e  x  e . e Исследуем сходимость на концах промежутка.  n2     n  n  n  При x  e числовые ряды  an    и   1n an    1n   e   n 1 n 1 n 1 n  1  n 1 n 1 расходятся, так как для них не выполняется необходимый признак сходимости: n2 n  n  n n lim an  lim   e  lim e e n  n   n  1  n  2  n  ln   n 1   lim n   1 n  n 2 ln1   n e n2 en  e , поскольку предел показателя     1   1  lim  n  n 2 ln1     lim  n  1  n ln1      n    n   n   n      1 1  1  1  1  lim  n  1  n  2   2      lim  n  1  1        1 . Следовательно, интервалом n n    n   n     n   n n  сходимости является промежуток  e; e (рис. 6.2.4). Расходится Расходится e Расходится Сходится абсолютно Расходится e Рис. 6.2.4. 28 x Свойства степенных рядов   an x  x0 n 1. Степенной ряд сходится равномерно на любом замкнутом промежутке n 1  ;   , целиком лежащем в интервале сходимости ;   x0  R; x0  R . 2. Пусть степенной ряд   an x  x0 n n 1 его можно почленно имеет промежуток сходимости x0  R; x0  R  , тогда дифференцировать в этом промежутке, т.е.     n n 1   an x  x0     n  an x  x0  , причём ряд в правой части имеет тот же интервал  n 1  n 1 сходимости x0  R; x0  R  . Следствие Сумма степенного ряда – бесконечно дифференцируемая функция (в промежутке сходимости). 3. Сумма степенного ряда   an x  x0 n является непрерывной функцией в каждой точке его n 1 промежутка сходимости x0  R; x0  R  .  4. Степенной ряд  an x  x0 n можно почленно интегрировать по любому промежутку, n 1 принадлежащему промежутку сходимости, т.е. если y   y0  R; y0  R  , то     y  y0  , причём ряд в правой части имеет тот же n   a x  x dx  an    n 0   n 1 n 1 n 1  промежуток сходимости  y0  R; y0  R  . n 1 y 6.2.4. Ряд Тейлора и Ряд Маклорена Начиная с этого пункта, мы будем решать следующую задачу теории функциональных рядов: по заданной функции искать сходящийся степенной ряд того или иного типа, сумма которого в области сходимости равнялась бы заданной функции. Эта задача называется разложением функции в степенной ряд. Рассмотрим степенной ряд общего вида   an x  x0 n . Обозначим его сумму через f  x  . n 1 Теорема (О связи суммы степенного ряда и его коэффициентов) Если в некотором промежутке x0  R; x0  R  функция f  x  есть сумма степенного ряда   n 0 n0 n  cn x  x0 n , т.е. f x    cn x  x0  , то коэффициенты cn c0  f x0  , c1  определяются по формулам: f n  x0  f x0  f x0  , c2  ,…, cn  . n! 1! 2! Доказательство Известно, что в промежутке сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, причём в результате получается ряд, имеющий тот же интервал 29  сходимости, что и исходный. Последовательно дифференцируя f x    c x  x  , получим n n0 следующие равенства, справедливые для любого x  x0  R; x0  R  . n f x   c0  c1 x  x0   c2 x  x0   ...  cn x  x0   ... 2 n f x   c1  2c2 x  x0   3c3 x  x0   ...  ncn x  x0  n 1 2 f x   1  2c2  2  3c3 x  x0   ...  n  1ncn x  x0  n2  ...  ... ……………………………………………………………………… f n  x   1  2    n  1n  cn  2  3    n  n  1cn 1 x  x0   ...... Полагая в написанных выше равенствах x  x0 , получим f x0   c0 , f x0   c1 , f x0   1  2c2 ,…….., f n  x0   1  2    n  1n  cn Откуда f n  x0  f x0  f x0  , c2  ,…, cn  . n! 1! 2! c0  f x0  , c1  Итак, если f  x  – сумма степенного ряда  f x    n0 f   cn x  x0 n , то это записывают в виде n 0 n  x0 x  x n . n! Определение 6.2.6 Рядом Тейлора для функции f x  называется степенной ряд   cn x  x0 n , где n 0 коэффициенты cn определяются по формулам: f n  x0  f x0  f x0  , c2  ,…, cn  . c0  f x0  , c1  n! 1! 2! Определение 6.2.7 При x0  0 степенной ряд   cn x n , где коэффициенты n 0 c0  f 0 , c1  cn определяются по формулам: f n  0 f 0 f 0 , c2  ,…, cn  . 1! 2! n! называется рядом Маклорена. Функция f x  представляется рядом Тейлора, сходящимся к ней на промежутке a; b  , если в каждой точке этого промежутка существуют производная любого порядка этой функции и если lim Rn x   lim  f x   Sn x   0 , где Sn x  - n – я частичная сумма ряда Тейлора. n  n Запись f x   f x0   n   f x0  x  x0   f x0  x  x0 2  ...  f x0  x  x0 n  ... или 1! 2! n!  f x    n0 f n  x0  x  x0 n . n! называется разложением функции f x  в ряд Тейлора. Запись 30 f x   f 0  f 0 f 0 2 f n  0 n x x  ...  x  ... или 1! 2! n!  f x    n0 f n  0 n x n! называется разложением функции f x  в ряд Маклорена. ЗАМЕЧАНИЕ Как всякий степенной ряд, ряд Тейлора сходится равномерно на любом промежутке, лежащим внутри интервала сходимости. Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена 1. e x   xn x x2 xn  1   ...   ... . Интервал сходимости  ;   . 1! 2! n! n 0 n !  2. cos x  3. sin x   x 2n   1n 2n!  1  n 0  x2 x4 x 2n   ...   1n  ... . Интервал сходимости  ;   . 2n! 2! 4! 2n 1 2n 1 3 x x x x   1n 2n  1!  1!  3!  ...   1n 2n  1!  ... . Интервал сходимости  ;   . n 0 4. ln1  x      1n 1 n 1  xn x 2 x3 xn  x   ...   1n 1  ... . Интервал сходимости  1; 1 . n 2 3 n xn x 2 x3 xn  x    ...   ... . Интервал сходимости  1; 1 . 2 3 n n 1 n 5. ln1  x     6. arctg x  x 2n 1    1n 2n  1  x  n 0 7. 1  x   1    1...  n  1 n   1 2 x  1  x  x  ...  n! 2! n 1     1...  n  1 n x  ... .. n!   R,   N .  x 2 x3 xn   ...   1n 1  ... . . Интервал сходимости  1; 1 . 2 3 n (биномиальный ряд). Интервал сходимости  1; 1 , При   n N функция f x   1  x n раскладывается по биному Ньютона в многочлен и разложение является верным на всей числовой оси.  1    1n x n . 8. При   1 - частный случай биномиального ряда 1  x 1  1  x n 0 Пример 6.2.14 Найдите область сходимости степенного ряда и его сумму   n 0 x  3n . n 1 Решение Сделаем замену x  3  y и запишем ряд в виде  yn . Область сходимости данного ряда n 0 n  1  y n 1 y n  1 n определяется по признаку Даламбера lim n n2  lim y lim  y . Ряд сходится n  2 n  y n  n  n n 1 31   1n 1 расходится, а при y  1 ряд  сходится n  1 n  1 n  n 0 условно. Следовательно, область сходимости  1; 1 . На любом промежутке ;    1; 1 ряд сходится равномерно. Чтобы найти сумму ряда, сделаем следующие преобразования абсолютно при y  1 . При y  1 ряд    y n 1 1  y n yn ln1  y  ln4  x  , при x  3 . При x  3 , сумма ряда равна      y n 1 n y x 3 n  0 n  1 n 1 n нулю.   Пример 6.2.15 Разложите функцию f x   3 27  x в ряд Маклорена. Использую полученное разложение, вычислите приближенно 3 26 , взяв три члена разложения. Оцените полученную погрешность. Решение 1 x 3  Представим функцию в виде f x   31   и используем биномиальный ряд:  27  1   1   2   5    1  n  1  x n  x 3  . 3 3 3 31    31   3 n   n !  27  27   n 1 Проделав все упрощения, получим:   1  2  5    3n  4  1  2  5    3n  4 x n   n  31    12n 1  3 1  x   n 3n  4n    3 n ! 3 3 n ! n  1 n  1          1 2  5    3n  4 n 1 1 2 1 2  5 x  3  3 x  7 x 2  11 x3  ... . 4n 1 3 n! 3 1! 3 2! 3 3! n 1 Положив в полученном разложении x  1 и взяв три члена в этом разложении, получим 3 26  3  1  1  2  R  3  1  1  R  2,9625. Абсолютная погрешность 3 3 27 2187 331! 37 2!  3   R3    1  0,00046. 2187 Пример 6.2.16 Вычислите приближенно 4 e с точностью   0,001. Решение Требуется вычислить приближенно с заданной точностью  значение функции f x   e x в 1 ex точке Представим функцию рядом Маклорена. x . 4 x x 2 x3 x 4 x5 x 6 1 ex  1       ... и положим x  . Получим 1! 2! 3! 4! 5! 6! 4 1 e4  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  3  4  5  6  ...  1     R4 , 4  1! 4 2! 4 3! 4 4! 4 5! 4 6! 4 32 384  1 1 1 1  1 1 R4  4  5  6  ...  4 1   2  ...  4 4 ! 4 5! 4 6 ! 4 4!  4  5 4 5  6  1  1 1  1 1 1 20 5  4 1   2 2  ...    . 256 24 19 256 6 19 4 4!  4  5 4 5  256 24 1  1 20 32 где 1 1 1 Тогда с точностью  : 4 e  1     1,284 . 4 32 384 Пример 6.2.17 0,8 Вычислите приближенно sin x dx с точностью   0,0001. x  Решение sin x  x  x3 x5 sin x x2 x4   ... ;  1   ... ; 3! 5! x 3! 5! 0,8 0,8     0,8 sin x sin x x2 x4 x3 x5    dx  dx  1    ... dx  x    ...  x  x   3! 4!   3  3! 5  5!   0    8 0,8  0,8  0,83 0,85 0,512 0,32768 0,87   ...  0,8    R3 , где R3  a4  . 3  3! 5  5! 18 600 7  7! Тогда с точностью  : 0,8 sin x dx  0,8  0,0287  0,00055 0,7718 . x  6.3. Ряды Фурье Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по полной ортогональной системе функций. Приближение в среднем. Свойство минимальности коэффициентов Фурье. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на конечном интервале. Разложение только по синусам и только по косинусам. Физический смысл разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. 33 6.3.1. Ортогональные системы функций Определение 6.3.1 Последовательность функций  f  x   n n 1 называется ортогональной на промежутке  a; b , если выполняется условие b  f  x   f  x  dx  0 при n  m . n m a Теорема 6.3.1 Последовательность функций 1 , sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , ортогональна на промежутке   ;   . , sin nx , cos nx , Доказательство    sin nxdx  0 ,  cos nxdx  0 , так как sin nx и cosnx − 2 - периодические функции.     sin nx  cos mxdx     1 sin  n  m  x  sin  n  m  x  dx  0 , при n  m , 2    1  sin nx  sin mxdx  2  cos  n  m  x  cos  n  m  x  dx  0 , при n  m ,   cos nx  cos mxdx    1 cos  n  m  x  cos  n  m  x  dx  0 , при n  m . 2   Теорема 6.3.2 Последовательности функций 1 , cos x , cos2x , ортогональны на промежутке  0;   . , cos nx , и sin x , sin 2x , , sin nx , Доказательство 1. Докажем ортогональность последовательности 1 , cos x , cos 2x , π π , cos nx ,  cos nx dx  n sin nx 0  n sin nπ  sin 0  0 , 1 1 π  cos nx  cos mx dx  1π  cosn  mx  cosn  mx  dx  20 1 1 1 π   sin n  mx   sin n  mx   0 . 2 n  m nm 0 2. Докажем ортогональность последовательности sin x , sin 2x , , sin nx , π π 1  sin nx  sin mx dx  2  cosn  mx  cosn  mx dx  1 1 1 π   sin n  mx   sin n  mx   0 . 2 n  m nm 0 34 . . 6.3.2. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье Определение 6.3.2 a0    an cos nx  bn sin nx , заданный на ортогональной на 2 n1 промежутке   ;  последовательности функций 1 , sin x , cos x , sin 2x , cos2x , , sin nx , называется тригонометрическим рядом Фурье. cosnx , Пусть задана 2 – периодическая функция f  x  . Если известно, что ряд Фурье Функциональный ряд вида a0    an cos nx  bn sin nx сходится равномерно на промежутке   ;   и его сумма равна 2 n1 f  x  , то это записывают в виде равенства f  x  a0    an cos nx  bn sin nx . 2 n1 (6.3.1) ЗАМЕЧАНИЕ  Далее будет доказано, что для равномерной сходимости ряда Фурье к функции f x она должна быть кусочно-непрерывной вместе со своей производной. При этом в каждой точке x0 непрерывности ряд Фурье сходится к f x0  , а в точке разрыва к 1  f x0  0  f x0  0 . 2 Если соотношение (6.3.1) выполняется, то для коэффициентов a0 , an и bn , которые мы будем называть коэффициентами Фурье, справедлива следующая теорема. Теорема 6.3.3 Для коэффициентов Фурье в равенстве (1) справедливы формулы: a0  1    f  x  dx , an   bn  1  1    f  x  cos nxdx ,    f  x  sin nxdx .  Доказательство Поскольку ряд (6.3.1) сходится равномерно и его члены являются непрерывными функциями, то его можно почленно интегрировать по промежутку   ;  . При этом сумма  полученного ряда будет равна  f x dx  Проинтегрируем обе части равенства (1) в пределах от  до  . Получим равенство    a f  x  dx  0 2      dx  a cos nxdx  b sin nxdx  ,  n n    n 1       в правой части которого вследствие ортогональности последовательности функций отлично от нуля только первое слагаемое. Поэтому   f  x  dx   a0  2   a0 , откуда следует, что 2 a0  1    f  x  dx .  35 Теперь умножим равенство (6.3.1) на cos kx и проинтегрируем его в пределах от  до  . Получим соотношение   f  x  cos kxdx   a0 2       cos kxdx  a cos kx  cos nxdx   b  n  n  cos kx sin nxdx  .  n 1     Если положить n  k и использовать ортогональность функций, то правую часть равенства можно преобразовать к виду   f  x  cos kxdx         a0 2 cos kxdx  a cos kxdx  b  k  k  cos kx sin kxdx    2  k 1       a 1  cos 2kx  ak  dx  k 2 2  из которого следует, что ak  1    dx   ak  2   ak , 2   f  x  cos kxdx . Положив в этом равенстве k  n , получим  формулу для коэффициента a n an  1    f  x  cos nxdx .  Аналогично, умножая равенство (1) на sin kx и интегрируя его в пределах от  до  , получим формулу для коэффициента Фурье bn . bn  1    f  x  sin nxdx .  ЗАМЕЧАНИЕ 1 Следует понимать, что в равенстве (6.3.1) правая часть, т.е. сумма ряда Фурье, является периодической функцией. Если равенство справедливо только f  x  не является 2 – при   x   . Вне этого f1  x   f  x  при   x   и промежутка равенство (6.3.1) обладающую f  x , свойством иначе говоря периодичности f1  x  2   f1  x  . Если при этом f     f   , то f1  x   f  x  только на промежутке ЗАМЕЧАНИЕ 2 Для 2  – периодической функции   2  f  x  dx   f  x  dx , так как    2     2  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx .   Если в последнем интеграле сделать замену x  x  2 , то 36 - периодической функцией, то определяет так называемое периодическое продолжение функции функцию 2   x   .      f  x  dx         f  x  dx   f  x  2  dx      f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  . ЗАМЕЧАНИЕ 3 Учитывая замечание 2, рядом Фурье можно представлять кусочно-непрерывную вместе со своей производной на промежутке  ;  2  функцию. При этом для коэффициентов Фурье будут справедливы формулы a0  1   2    f  x  dx , an  1   2  f  x  cos nxdx , bn    1   2   f  x  sin nxdx . Пример 6.3.1 Представить рядом Фурье функцию f  x   x 2 при x    ;   и x   0; 2  . Решение 1. x    ;   .  1 x3 a0   x dx      3 1 an    2 1     2 1 2 3 2 2   .  3 3  x  x 2 cos nxdx   2 cos nxdx    2  2 sin nx  cos nx  sin nx  2 cos n 4 n  2x 2   2  1 . x    2 2 3 2 n  n n n n 0  bn  1    x 2 sin nxdx  0 ,  как интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку. 2  1 n 1 cos nx , x    ;   . График суммы ряда Фурье для 2  3 n 1 n 2 f  x   x на промежутке   ;   показан на рисунке 6.3.1. При этом сумма ряда Фурье Тогда x  2  4 S x   f x  на всей числовой оси. S x  π2  2π π π Рис. 6.3.1. 2. x   0; 2  . 37 2π 3π x a0  an  1  2  1 2   1 x3 x dx    3 2  2 8 2 . 3 2  sin nx  1 cos 2 n 2 1  sin nx  cos nx x cos nxdx   x 2  2x  2  2.    2 2 3  n n n  n2 n 0 2 bn  1  2 x 2 sin nxdx  2 1   cos nx  sin nx cos nx    x2  2x 2 3   2  n n n 0  1  4 2 2 2 4 2 2 4 cos 2 n  3 cos 2 n  3 cos 0     .  3  3   n  n  n n  n n n  2  4 cos nx 2 Тогда: x 2   2 2  sin nx , x   0; 2  . 3 n n n 1 На рис. 6.3.2 показан график функции f  x   x 2 на промежутке  0; 2  . В точках x  2n  периодическое продолжение функции f  x  имеет разрыв и сумма ряда Фурье равна 1  f x0  0  f x0  0 . 2 S x  4π 2 2π 2  4π  2π π 2π 4π x Рис. 6.3.2. Следует заметить, что ряды Фурье для f  x   x 2 на промежутках совпадают при x  0;    ;   и 0; 2  8.3.3. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций Теорема 6..3.4 Если f  x  – чётная функция, то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам a0  2    f  x  dx , an  2    f  x  cos nxdx , b n 0. Доказательство Если bn  1  f  x – чётная, то f  x   sin x  – нечётная  f  x  sin nxdx  0 . Функция f  x   cos nx – чётная, тогда:  38 функция. Поэтому 1     f  x  dx  2    f  x  dx и 1    f  x  cos nxdx   2    f  x  cos nxdx . Теорема 6.3.5 Если f  x  – нечётная функция, то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам a0  0 , an  0 , bn  2    f  x  sin nxdx .  Доказывается аналогично теореме 6.3.4. S x  π π x Рис. 6.3.3. Пусть функция f  x  задана на промежутке  0;   и требуется разложить её в ряд Фурье на промежутке   ;   . Функцию f  x  можно продолжать на промежуток   ;0 чётным (рис. 6.3.3) или нечётным (рис. 6.3.4) образом. Это означает, что данную функцию можно раскладывать в ряд Фурье по косинусам или синусам. S x  π π x Рис. 6.3.4. При этом удобно раскладывать f  x  на  0;   по синусам, если f  0   f    0 , так как сумма ряда в этих точках равна нулю. Если f  0   0 или f    0 , то следует раскладывать в ряд по косинусам, тогда периодическое продолжение f  x  сохраняет непрерывность. Если же f  0   f    0 , то разложение по косинусам сохраняет непрерывность, но производная в точках  k терпит разрыв (рис. 6.3.5). S x  π π Рис. 6.3.5. 39 x Пример 6.3.2 Разложить функцию f  x     x в ряд Фурье на промежутке  0;   . Решение Так как f    0 , f  0    , то разложим заданную функцию в ряд Фурье по косинусам. a0  2     x   2    x  dx    2   . 2   2 sin nx cos nx      x    0  n n2  0 0, n  чётное 2 2 n .  2 1  cos  n   2 1   1   4  2 , n  нечётное n n  n 4 Следовательно, a2 n  0 , a2 n 1  . 2   2n  1 an  2    x  cos nxdx    Ряд Фурье для заданной функции имеет вид:  x  2   4   cos   2n  1  x   2n  1 n 1 2 . График суммы ряда Фурье показан на рисунке 6.3.6. S x  π π 3π π 3π x Рис. 6.3.6. ЗАМЕЧАНИЕ С помощью рядов Фурье можно суммировать некоторые числовые ряды. Например, в последнем примере можно положить x  0 и получить   2  4    n 1  1  2n  1 2 или  n 1 1  2n  1 2  2 8 6.3.3. Признак сходимости ряда Фурье Теорема 6.3.6 Если   x  – ограниченная интегрируемая функция, то  1  lim    u   sin  n   u du  0 . n  2  40 . Доказательство   1 u   lim    u   sin  n   u du  lim     u  cos   sin nu du  n n 2 2  0  u   lim     u  sin   cos nu du  0 , n  2 0 так как выражения под знаками пределов можно рассматривать как коэффициенты Фурье для ограниченных и интегрируемых функций следующего вида u u     u  sin , 0  u     u  cos , 0  u     ; 2  u   . 1  u   2 2   0,   u  0 0,   u  0   Теорема 6.3.7 Если функция f  x  и ее производная f   x  непрерывны или кусочно непрерывны, то ряд f  x0  0   f  x0  0  в 2 каждой точке разрыва. На каждом промежутке непрерывности f  x  сходимость ряда Фурье для f  x  сходится к f  x  в каждой точке непрерывности и к равномерная. Доказательство Заметим, что в точке непрерывности x f  x  0  f  x  0  f  x  . Поэтому, рассмотрим 2 f  x  0  f  x  0 , где f  x  0  и f  x  0  - значения функции справа и 2 f  x  0  f  x  0   слева от точки разрыва, и докажем, что lim  Sn  x     0 при заданных n  2   разность Sn  x   условиях. Используя формулу Дирихле, перепишем последнее равенство в виде  1   sin  n   u 1   f x   f x      2   0. lim   f  x  u    du  n   u 2    2sin   2 Для доказательства последнего равенства, достаточно доказать, что  1   sin  n   u 1  f x      0 и 2 lim   f  x  u    du  n   u 2  0  2sin   2  1   sin  n   u 1 0 f x      0 . 2 lim   f  x  u    du  n   u 2    2sin   2 Рассмотрим выражение под знаком первого предела 41 1  sin  n   u f  x  0 1 2 f  x  u  du    u  0 2 2sin 2 1  sin  n   u  1 2    f  x  u   f  x  0   du , u  0 2sin 2 1  π sin n  u 1 1 2  du следствие предыдущего раздела. где использовано в виде   2 π 0 2 sin u 2  Чтобы доказать, что  1   sin  n   u   1  1 1 2   lim    f  x  u   f  x  0    du   0 или lim    u   sin  n   u du  0 , n   n   u 2   0  2sin   2 f  x  u   f  x  0 где положено   u   , нужно доказать, что функция u 2sin 2 f  x  u   f  x  0 f  x  u   f  x  0 u  u     u u u 2sin 2sin 2 2 ограничена. Для доказательства ограниченности функции f  x  u   f  x  0 выберем  так, чтобы u 0  u   и чтобы на промежутке  x;  не было разрывов. По теореме Лагранжа f  x  u   f  x    f     u   K  u  , где x  u    x  и существует K , для которого справедливо неравенство f     K в силу ограниченности производной f   x  . Переходя к пределу при   0 , получим неравенство f  x  u   f  x  0  K  u или f  x  u   f  x  0 u 42 K. Ограниченность функции u u 2sin 2  u 2 следует из её непрерывности при u  0 и u sin 2 u lim 2 существования конечного предела n 0 u sin 2 1 (мы воспользовались здесь первым sin x  1 ). x 0 x Следовательно, функция   u  ограничена и по теореме 6.3.5 справедливо равенство замечательным пределом lim lim n  1   1   u   sin  n   u du  0 .  2  Аналогично доказывается, что  1   sin  n   u 1 0 f  x  0  2  0. lim   f  x  u    du  n   u 2    2sin   2 6.3.4. Ряд Фурье для функций произвольного периода Если функция f  x  задана на  l ; l  и имеет период 2l , то получить для неё формулы коэффициентов Фурье можно, сделав замену промежуток   ;   . Поскольку x  lt  x l  t , которая переведёт промежуток  l ; l  в  lt  f  x   f   , то эта функция уже 2l –   и периодическая и для нее выполняется условие  l  t  2    lt   lt  f   f   2l   f  x  2l   f  x   f   .        Ряд Фурье для этой функции имеет вид   lt  a f    0   an cos nt  bn sin nt ,    2 n1 где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам    1 1  lt   lt   lt  a0   f   dt , an   f   cos nt dt , bn   f   sin nt dt .                x Если положить t  , то ряд Фурье запишется в виде l  a  nx  nx f  x   0   an cos  bn sin , 2 n1 l l 1 а формулы для коэффициентов Фурье примут вид a0  1    l l  l f  x  dx  1 1  nx 1  nx f  x  dx , an   f  x  cos dx , bn   f  x  sin dx .  l l l l l l l l l l l 43 Пример 6.3.3 Функция f  x  задана на промежутке  0;1 следующими аналитическими выражениями 1   x, 0  x  2 . f  x   1  x, 1  x  1  2 Построить ее периодическое продолжение и разложить ее в ряд Фурье по синусам. Решение Так как f  0   f 1  0 , l  1 и f  x  – нечётная на промежутке  1;1 , то a0  0 , an  0 . 1  nx bn   f  x  sin dx   f  x  sin  nx dx  l l l 1 l 1 1 1 2 1  2  f  x  sin  nx dx  2  x sin  nx dx  2  1  x  sin  nx dx  1 2 1 2   cos  nx  sin  nx   2 x    n  2 n 2  0   cos πnx  sin πnx  1   2 1  x    1 2 2  1  πx π n 2   2cos n sin n 2 2 2  2 2 2 n  n Поскольку при n  1 sin  2 n n 0, n  чётное 2 2 2   4 sin  n   . 4 2 n  2n 2  2 n2 2   2 2 , n  нечётное   n 2cos sin  1 и знаки чередуются, коэффициент bn можно записать в виде bn  4 1 n 1  1 .  2n  1 2 Тогда ряд Фурье для заданной функции будет иметь вид  4 f  x   2   1 n 1 n 1 sin  2n  1  x . 2n  1 S  x 1 3 2 1 2 1 2 1 2 3 x Рис. 6.3.7. Этот ряд сходится к функции f  x  во всех точках числовой оси и сходимость равномерная. График суммы ряда показан на рис. 6.3.7. 44 Пример 6.3.4 Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке  2; 2 следующими 1,  2  x  1 и имеющую период T  4 .  2, 1  x  2 аналитическими выражениями f  x    Решение 2 l  2 , a0  1 1  nx 1  nx 1  nx f  x  cos dx   cos dx   2 cos dx   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 an  2 1 1 1 3 5 f  x  dx   dx   2 dx   1  ,  2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2  nx 2  nx 1 n 1   sin  sin  sin  sin  n  2 n 2 2  n 2 1 n 2 n 2 2 n 1 n 3  sin  n  sin  sin  sin  n  n n 2 n 2 n 0, n  чётное 1 n ;  1   1    2n  1 , n  нечётное  n 2 1 2 1  nx 1  nx 1  nx bn   f  x  sin dx   sin dx   2 sin dx  2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2  nx 2  nx 1 n 1   cos  cos  cos  cos  n  2 n 2 2  n 2 1 n 2 n 2 2 n 1 1 n  cos  n  cos  cos  n  cos  n n 2 n n 2  1   1 k , n  2k  n  чётное   2  k  .   1 k 1  , n  2k  1  n  нечётное     2k  1 1 2 Ряд Фурье для функции f  x  имеет вид f  x   1 5 1  1   sin  2n  1  x   2n  1 4  n 1 2n  1 n 1   2n  1 x   2n  1 x     cos  sin . 2 2   y 2 2 1 2 x Рис. 6.3.8 По признаку сходимости ряд сходится к функции f  x  на всей числовой оси, кроме точек x  2k и x  4k  1 . В этих точках ряд Фурье сходится к среднему арифметическому значений 45 функции в точке разрыва f  x  0  f  x  0 . График суммы ряда Фурье показан на рис. 2 6.3.8. 46