Математика.Интегральное исчисление функций одной переменной

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА Направления подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры» 150700 «Машиностроение»; Профили подготовки: 1.180100.62.02 «Техническая эксплуатация судов и судового оборудования», 1.180100.62.07 «Судовые энергетические установки», 1.180100.62.08 «Судовое оборудование». Направления подготовки: 150700 «Машиностроение» Профили подготовки: 1.150700.62.01 « Оборудование и технология сварочного производства»; Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии Форма обучения: очная Санкт-Петербург 2011 1 Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной 4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Простейшие способы интегрирования. Методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. 4.1.1. Первообразная функция В разделе 3 мы ввели понятие производной и научились находить производную от данной функции. В этой главе мы будем решать обратную задачу, а именно: известна функция f (x ) , требуется найти такую функцию F (x ) , производная которой равна f (x ) , т.е. F ' ( x )  f ( x ) . Определение 4.1.1. Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ) на интервале (a; b) , если F (x ) дифференцируема на (a; b) и F ' ( x )  f ( x ) . ЗАМЕЧАНИЕ Аналогично можно определить понятие первообразной на отрезке [a; b], но в точках а и b надо рассматривать односторонние производные. Пример 4.1.1 1) F ( x )  x есть первообразная для функции f(x)  1 2 x на (0; ) , т.к. ( x ) '  1 2 x . x3 2) Для функции f ( x )  x 2 первообразной будет функция F ( x )  на ( ;) , т.к. 3 '  x3     x2 .  3    Теорема 4.1.1 Если F (x ) первообразная для функции f (x ) на (a; b) , то F ( x)  C , где С – любое постоянное число, также первообразная для f (x ) . Доказательство ( F ( x)  C )'  F ' ( x)  0  F ' ( x)  f ( x) . Теорема 4.1.2 Если F1 ( x ) и F2 ( x ) – две первообразные для f (x ) на (a; b) , то на (a; b) справедливо F1 ( x)  F2 ( x)  C , где С – постоянная. Доказательство По условию F '1 ( x)  F ' 2 ( x)  f ( x) . Составим функцию Ф( x)  F1 ( x)  F2 ( x) производную x  (a; b) : Ф' ( x)  ( F1 ( x)  F2 ( x))'  F1' ( x)  F2' ( x)  f ( x)  f ( x)  0 . Следовательно Ф( x)  C , т.е. F1 ( x)  F2 ( x)  C . 2 и найдём ее 4.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства Определение Если функция F (x ) является первообразной для f (x ) , то выражение F ( x)  C , где C  const , называют неопределённым интегралом от функции f (x ) . Обозначается:  f ( x)dx  F ( x)  C. ЗАМЕЧАНИЕ 1 При этом знак  f (x ) называют подынтегральной функцией, f ( x )dx ― подынтегральным выражением, ― знаком интеграла. ЗАМЕЧАНИЕ 2 В дальнейшем будем предполагать, что функция промежутке. f (x ) определена и непрерывна на некотором С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой совокупность (семейство) кривых (интегральных), каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси ОУ. Рис. 4.1.1. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x) . Основные свойства неопределённого интеграла 10. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:  f ( x)dx  f ( x) . d  f ( x)dx  f ( x)dx и Действительно,  f ( x)dx ' (F ( x)  C)'  f ( x). 20. Неопределённый интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:  df ( x)   f ( x)dx . Но первообразной для f ( x)  C . Тогда  df ( x)  f ( x)  C . ' Действительно, f ' ( x)dx   df ( x)  f ( x)  C. f (x) является f (x) , поэтому 30. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е. В  Af ( x)dx  A f ( x)dx , где A  0. самом деле, пусть F (x) – первообразная для f (x), тогда A   f ( x)dx  A( F ( x)  C )  A  F ( x)  C1, где C1  AC и A F (x) ― есть первообразная для функции A f (x) , т.к. ( A  F ( x))'  A  ( F ( x))'  A  f ( x) . Следовательно,  A  f ( x)dx  A  F ( x)  C1  A f ( x)dx . 3 40.   f1 ( x)  f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx . Действительно, ( f1( x)dx   f 2 ( x)dx)'  ( f1( x)dx)'  ( f 2 ( x)dx)'  f1( x)  f 2 ( x) и Таким образом, функции ( [ f1( x)  f 2 ( x)]dx)'  f1( x)  f 2 ( x) .  f1dx   f 2 dx и   f1  f 2 dx являются первообразными для функции f1( x)  f 2 ( x) , т.е. отличаются на произвольную постоянную C . В этом смысле и понимается свойство 40. 4.1.3. Таблица неопределённых интегралов Из определения неопределенного интеграла получаем следующие справедливость которых можно проверить непосредственно дифференцированием. x n 1 1.  x dx   C , где n  1 n 1 n ax C ln a 5.  sin xdx   cos x  C x a  3.  7. dx 2  tgx  C cos x dx dx  ln | x | C x 2.  4.  e dx  e 6.  cos xdx  sin x  C 8.  x dx sin2 x dx x C  ctgx  C 9.  1  x2  arctg x  C 10.  11.  sh xdx  ch x  C  ch xdx  sh x  C 12.  ch xdx  sh x  C 13.  dx 2  thx  C ch x dx  1 xa ln C 2a x  a  1 x arctg  C a a 15.  x2  a2 17.  a2  x2 19.  tg xdx   ln cos x  C dx формулы, 1 x2  arcsin x  C dx  cthx  C sh2 x dx x 16.   arcsin  C a a2  x2 dx 18.   ln x  x 2  a  C 2 x a 14.  20.  ctg xdx  ln sin x  C Пример 4.1.2 1) 4  x dx  x5 C. 5  2) 2 x dx  2x C. ln 2 ЗАМЕЧАНИЕ В результате дифференцирования элементарных функций снова получаем элементарные функции, а операция интегрирования может привести к неэлементарным функциям. Доказано, что следующие интегралы не берутся в элементарных функциях:  e dx – интеграл Пуассона;  cos x dx ,  sin x dx – интегралы Френеля;  x2 2 dx  ln x 2 – интегральный логарифм; 4  cos x dx , x  sin x dx x – интегральные косинус, синус. 4.1.4. Интегрирование методом замены переменной Пусть требуется найти  f ( x)dx , интеграл причём непосредственно подобрать первообразную для f (x) мы не можем, но нам известно, что она существует. Сделаем замену переменной: x  u (t ) , где u (t ) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx  u (t )dt . Докажем, что в этом случае имеет место равенство:  f ( x)dx   f (u(t ))  u (t )dt . (4.4.1) Найдём производные по x от правой и левой части этого равенства:  1) ( f ( x)dx)'x  f ( x) 2) Правая часть – есть сложная функция, где t - промежуточный аргумент – есть функция от x . Тогда: dt  f (u (t )) u (t )  (  f (u (t ))  u (t )dt ) 'x  (  f (u (t ))  u (t )dt ) t'  dx  f (u (t )) u (t )  1 dx dt  1  f (u (t ))  f ( x) . u (t ) Производные равны и равенство (1) доказано. Пример 4.1.3 t  sin x t2 sin 2 x  sin x  cos xdx  dt  cos xdx   tdt  2  C  2  C . Пример 4.1.4 x5  t 2t 5 10t 3 2 2 x x  5 dx  x  t  5  ( t  5 ) t  2 tdt   C    5 3 dx  2tdt  5  3 2 x5 10 x  5   С. 5 3 Если F (x) - первообразная для f (x) , то из равенства (1) следует, что если dt  F (u )  C .  f ( x)dx  F ( x)  C , то  f (u)  u du Отсюда  f (u)du  F (u)  C . На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов, заменяя формально x на u , где u – любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной, т. е. U (х) . Так, например, u n1 du  u du  n  1  C , где (n  1) или  u  ln u  C и т.д. n Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего: 1) dx  d ( x  b) , где b  const ; 2) dx  1 d (ax  b) , где a  0 ; a 5 1 d ( x2 ) ; 2 4) sin xdx  d (cos x) ; 5) cos xdx  d (sin x) ; 1 6) dx  d (ln x) ; x 7) e x dx  d (e x ) и т.д. Вообще, ( х)dx  d (( x)) . Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найдем 3) xdx  следующие неопределенные интегралы. Пример 4.1.5 1 d 2 x  3 dx 2  2 x  3   2 x  3  12 ln 2 x  3  C . Пример 4.1.6 2 2 x x 2 2  xe dx  12  e d ( x )  x  u  2  12  е u du  12 e u  C  12 e x  C . Сформулируем еще одно очень полезное правило: если  f ( x)dx  F ( x)  C , то  f (аx  b)dx  1a F (ax  b)  C , где a  0 , так как  f (аx  b)dx  1a  f (аx  b)d (аx  b)  1a F (ax  b)  C . Пример 4.1.7  cos(3x  1)dx  13 sin(3x  1)  C . 4.1.5. Интегрирование по частям Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции x . На основании формулы дифференциала произведения имеем: d (uv)  udv  vdu  udv  d (uv)  vdu Интегрируя это соотношение, получим  udv   d (uv)   vdu . Из последнего соотношения получается формула  udv  u  v   v du которая называется формулой интегрирования по частям. Выведенная формула используется в тех случаях, когда интеграл  v  du являяется табличным или легко к такому приводится. Интегралы, берущиеся "по частям" 1. Интегралы вида  Рп ( х)  f ( x) dx , где Pn (x ) ― многочлен степени n , f (x ) ― одна из следующих функций: sin  x; cos  x; ex ; ax . В качестве функции u(x ) следует взять многочлен Pn (x ) и применить к интегралу формулу интегрирования по частям n раз. Пример 4.1.8 ux du  dx  x cos xdx  dv  cos xdx v  sin x  x sin x   sin xdx  6  x sin x  cos x  C . Для интегралов такого типа в тех случаях, когда степень многочлена Pn (x ) больше 1, можно использовать "правило многократного интегрирования по частям", которое можно записать в следующем виде:  Рп ( х)  f ( x) dx   Pn x  d g x  Pn x g x   Pn x  g x dx   Px   g x dxdx  Px    g x dxdxdx.... и так до тех пор, пока производная Pnn 1 ( x )  0 .   2)  х 2 е 3х dx   x 2 d 1 e x  x 2 e 3x  2 x  1 e 3x  2  1 e 3x  0 . 3 9 27 2. Интегралы вида х п  ln k x dx , где п  1, берутся по частям, причем за функцию u (x) принимают ln k x и применяют k раз формулу интегрирования по частям. Пример 4.1.9 1 1 u  ln 2 x du  2 ln x  dx  x ln 2 x  2 x  ln x  dx   ln xdx  x x dv  dx vx 2  x ln x  2 ln xdx  2 1 dx  x ln 2 x  2x ln x   dx   x vx u  ln x du  dv  dx  x ln 2 x  2x ln x  x   C . 3. Интегралы вида х п  f ( x) dx , где f (x) ― одна из следующих функций: arcsin k x; arccos k x; arctg k x; arcсtg k x , также берутся "по частям", приняв за u (x) функцию f (x) . 4. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному применяется формула интегрирования по частям и искомый интеграл определяется из получившегося e алгебраического уравнения. К таким интегралам относятся  x cosxdx , x 2  a dx – так называемые возвратные интегралы. Пример 4.1.10  2 x  а dx  u  x2  а du  dv  dx  x x а  2 x 2 x x2  а vx dx  x x  а   2 x 2 dx   a a x2  а x2  а x2  a 1  x x2  а   dx  a  dx  2 2 x а x а dx   x x 2  а   x 2  а dx  a ln x  x 2  а  C . Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение 2 x 2  а dx  x x 2  а  a ln x  x 2  а  C , откуда 7 e x sin xdx и  x 2  а dx  12  x x 2  а  a ln x  x 2  а   C .   4.2. Интегрирование алгебраических дробей Комплексные числа. Многочлен в комплексной области. Основная теорема высшей алгебры. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Способы определения коэффициентов разложения. Интегрирование рациональной дроби. 4.2.1. Многочлен в комплексной плоскости. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на множители первой и второй степени Определение 4.2.1 Комплексными числами называют всевозможные упорядоченные пары чисел z  x, y  для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: x1, y1   x2 , y2   x1  x2 , y1  y2  , (4.2.1) x1, y1  x2 , y2   x1x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1  . (4.4.2) Вещественные числа x и y называются вещественной и мнимой частями комплексного числа z  x, y  и обозначаются x  Re z , y  Im z . Определение 4.2.2 Два комплексных числа z1  x1  i y1 и z2  x2  i y2 называются равными, если равны их действительные и мнимые части x1  x2 , y1  y2 . Множество комплексных чисел обозначается C. ЗАМЕЧАНИЕ 1 Понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел, вообще говоря, не имеют смысла. ЗАМЕЧАНИЕ 2 Из (4.2.1) и (4.2.2) следует, что комплексное число z   x, y  может быть записано в виде x, y   x, 0  0, 1 y, 0 Если теперь число x, 0 считать вещественным, а число 0, 1 не вещественным, а мнимым и его обозначать через i , то комплексное число z  x, y  можно представить в виде z  x iy . Запись комплексного числа в виде числа. Из (4.4.2) следует, что единицей. z  x iy называется алгебраической формой комплексного i 2  0, 1  0, 1  1 . Поэтому число i называют мнимой Определение 4.2.3 Комплексное число z  x  i y называется комплексно сопряжённым числу z  x  i y . Введем на плоскости прямоугольную Декартову систему координат. Будем изображать комплексное число z  x, y  точкой x, y  плоскости (рис. 4.2.1). Это ознчает, что на оси Ox отмечаются вещественные части комплексных чисел, а на оси Oy – мнимые. Числу z  0 ставится в соответствие начало координат. 8 y z y x x Рис. 4.2.1. Определение 4.2.4 Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось ординат — мнимой.  Комплексное число z  x  i y можно также изображать вектором r с началом в точке 0, 0 и концом в точке x, y  (рис. 4.2.2). y y z r φ x x Рис. 4.2.2.  Длина вектора r  x, y называется модулем комплексного числа z и обозначается r  z .  Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r называется аргументом числа z :   arg z . Положительным направлением изменения угла  считается направление против часовой стрелки. Очевидно, что r  z  x 2  y 2 , tg  y . x Для каждого числа z  0 его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 (действительно, совершив любое количество полных оборотов, мы возвращаемся в эту же точку). Аргумент числа z  0 не определён (а его модуль равен нулю). В качестве главного значения величины arg z обычно выбирают значение из промежутка   ,  . Всё множество значений аргумента обозначают Arg z . Таким образом, Arg z  arg z  2 k ( k  0,  1,  2,). ЗАМЕЧАНИЕ 1 Иногда удобно считать 0  arg z  2 или   2  arg z  3 2 . ЗАМЕЧАНИЕ 2 Модули комплексного и сопряжённого ему числа равны: zz . Аргументы отличаются знаком: Arg z   Arg z . Так как r и  являются полярными координатами точки x, y  , то x  r cos  , y  r sin  , и, следовательно, z  r cos   i sin   . Эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Для комплексных чисел справедлива формула Эйлера 9 ei  cos  i sin , (4.2.3) с помощью которой можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к показательной (экспоненциальной) z  r e i . В показательной форме удобно проводить умножение комплексных чисел. Если z1  r1ei1 , z1  r1ei 2 , то z1 z2  r1r2 ei 1  2  . Из правила умножения следует правило возведения комплексного числа в натуральную степень: для z  rei получаем z n  r n ei n , Извлечь корень целой положительной степени n из числа z —значит найти такое число w  n z , n -я степень которого равна z. Если z  rei , w   ei , то z  wn   n ei n  rei   rei   2 k  . Следовательно,  n  r , n    2 k , k  0, 1, Таким образом,     2 k n n i wk  z  re n , то есть  re n i  2k n   2 k   2 k    n r  cos  isin  n n   ( k  0, 1,, n  1 ). Получим n различных значений корня. Все они имеют один и тот же модуль, равный n z ; аргументы значений wk и wk 1 отличаются один от другого на 2 . Поэтому точки, n соответствующие значениям n z , являются вершинами правильного n –угольника, вписанного в окружность радиуса n z с центром в начале координат. Определение 4.2.5 Многочленом (полинимом) или целой рациональной функцией n – й степени называется функция вида (4.2.4) Pn z   an z n  an 1z n 1  ...  a1z  a0 где z  C , n  N , an , an 1,..., a1, a0 – коэффициенты (вообще говоря, комплексные), an  0 . Определение 4.2.6 Число z0 называется корней многочлена Pn z  , если Pn z0  . Теорема Гаусса (основная теорема алгебры) Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный). Теорема 4.2.1 Число z0 является корнем мнгочлена Pn z  тогда и только тогда, когда он делится без остатка на на бином z  z0 , т.е. Pn z   z  z0 Qn 1 z  где Qn 1 z  – многочлен степени n  1 . 10 Определение 4.2.6 Число z0 является корнем мнгочлена Pn z  кратности k  1 , если Pn z  делится без остатка на z  z0 k и не делится на z  z0 k 1 . Многочлен Pn z  при этом представим в виде: Pn z   z  z0 k Qn  k z  где Qn  k z   0 . Следствие из теоремы Гаусса Многочлен n – й степени имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Теорема 4.2.2 Пусть многочлен Pn z  имеет корни z1, z2 ,..., zm , m  n кратностей k1, k2 ,..., km ( k1,k2  ...,km  n ) соответственно. Тогда его можно разложить на линейные множители, т.е.справедливо тождество Pn z   an z  z1 k1 z  z2 k 2    z  zm k m . (4.2.5) Многочлен n – й степени с вещественными коэффиициентами Если коффициенты an , an 1,..., a1, a0 многочлена Pn z  – вещественные числа, то:  z0  x0  i y0 кратности k , то комплексно сопряженное ему число z0  x0  i y тоже корень этого многочлена если многочлен имеет комплексный корень той же кратности;  разложение (4.2.5) можно получить в виде линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Задача 4.2.1 Найти корни многочлена Pn z   z 6  2 x 3  1 и арзложить его на множители с вещественными коэффициентами Решение   2 Поскольку Pn z   z 6  2 x 3  1  z 3  1 , то корнями многочлена является все корни третьей степени из  1 . Один корень очевиден геометрически (рис. 4.2.3). z1  1 . Остальные корни найдем y z3  z1 x 3 z2 Рис. 4.3.3. Из рисунка ясно, что z3  cos 3  i sin 3  1 2 i 3 2 , z 2  z3  кратности 2. В результате получим разложение (4.2.5) в виде 2 2 Pn z   z  12  z   12  i 23    z   12  i 23   .       Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим 11 1 2 i 3 2 . Все корни 2  Pn z   z  12 z 2  z  1 . 4.2.2. Интегрирование простейших рациональных дробей Дробно-рациональная функция или рациональная дробь ― это дробь вида Pm ( x) B0 x m  B1 x m1    Bm .  Qn ( x) A0 x n  A1 x n1    An Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней, т.е. дробь сокращена. Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m  n , то дробь называют правильной, в противном случае дробь называют неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив Pm (x) на Qn (x) (по правилу деления многочленов), Pm ( x) P ( x) P ( x) , где M (x) - многочлен, k - правильная дробь (т.е.  M ( x)  k Q n ( x) Qn ( x) Qn ( x) получим: k  n ). Определение Правильные рациональные дроби вида: A 1. , xa B 2. (k  Z  ) , ( x  b) k Mх  N p2 (дискриминант D  4  q  0 ), x 2  px  q Mx  N 4. ( D  0 и k – целое положительное число). 2 ( x  px  q) k называют простейшими дробями 1, 2, 3, 4 типов. Найдем интегралы от этих дробей: A dx  A  ln x  a  C . 1.  xa 3. 2. 3.  B dx  A ( x  b)  k dx  A ( x  b) k ( x  b)  k 1 C .  k 1 M Mp (2 x  p)  ( N  ) 2 2 dx   dx   2 x  px  q x 2  px  q Mх  N    M 2  2x  p x  px  q 2 dx  ( N  Mp dx ) 2  2 x  px  q M d ( x 2  px  q) Mp dx  (N  )  2 p 2 2 x  px  q ( x  2 )2  (q  M Mp ln x 2  px  q  ( N  ) 2 2 1 q p2 4  arctg p2 ) 4 p x 2 q  p2 4 C . Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей типа 4. 12 M Mp (2 x  p)  ( N  ) 2 2 dx  4.  dx   ( x 2  px  q) m ( x 2  px  q) m M (2 x  p)dx Mp dx   (N  ) 2   2 m 2 ( x  px  q) 2 ( x  px  q) m Mх  N p d(x  ) M d ( x 2  px  q) Mp 2   (N  )  2 ( x 2  px  q) m 2 p 2   ( x  2 )  (q   x  q p t 2 2 p  a2 4  p2  ) 4  m   M 1 Mp dt  2  (N  ) 2 . m  1 2 ( x  px  q) 2 (t  a 2 ) m (m  1)     Im Рассмотрим интеграл I m и получим для него рекуррентную формулу, т.е. формулу позволяющую вычислить интеграл I m , если мы знаем интеграл I m 1 . Для этого рассмотрим I m 1  dt  (t 2  a 2 )m 1  Применим к нему формулу интегрирования по частям: 1 u 2 du  (m  1)  (t 2  a 2 )  m  2tdt 2 m  1   (t  a ) d   dt  t  t (t 2  a 2 ) m 1   2(m  1)  t (t  a 2 ) m 1 2 t 2 dt (t 2  a 2 ) m  t (t 2  a 2 ) m 1  2(m  1)  (t 2  a 2 )  a 2 (t 2  a 2 ) m     1 dt   2  2( m  1)  2 dt  а  2 2 m 1 2 m a ) (t  a )   (t        I Im m 1   Таким образом, получили: I m 1  t (t  a 2 ) m 1 2  Im   2(m  1) I m 1  2(m  1)a 2 I m  t 2 m 1 2(m  1)a (t  a ) 2 2  2(m  1)  1 2(m  1)a 2 I m 1 Пример 4.2.1 2 1  1  I1  2 11 t 1 dt t 1     arctg t  C .  2(t 2  1) 2 (t 2  1) 2(t 2  1) 2 dt t  (t 2  1)2  2  1  1(t 2  1)  4.2.3. Интегрирование рациональных дробей Теорема Если Qm ( x)  ( x  a ) ( x  b)k ( x 2  p1x  q1 )   ( x 2  p2 x  q2 ) m , 13 dt  где ( x 2  p1 x  q1 ) и ( x 2  p2 x  q2 ) не имеют вещественных корней, то правильная дробь Pn ( x ) может быть представлена в виде: Qm ( x ) Pn ( x ) Bk A B1 B2      2 Qm ( x ) x  a ( x  b ) ( x  b) ( x  b) k M x  Nm Сx  D M x  N1 .  2  2 1  2 m x  p1 x  q1 ( x  p2 x  q2 ) ( x  p2 x  q2 ) m Т.е. правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, которые интегрируются в элементарных функциях. Пример 4.2.2 x2  2 2 ( x  1) ( x  2)  A B B2  1  . x  2 x  1 ( x  1) 2 Поскольку x 2  2  A( x 2  2 x  1)  B1( x 2  x  2)  B2 ( x  2) , то из тождественного равенства многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях правой и левой частей равенства. Получим x2 x1 1  A  B1 0  2 A  B1  B2 . x 0 2  A  2 B1  2 B2 Или, подставляя значения х в правую и левую части равенства, получим;  A 2 х  1 3  3B2 3    B1  13  x2 6  9A  B  1 x  0 2  A  2 B1  2 B2  2  x2  2  2 3  1 3  1 . x  2 x  1 ( x  1) 2 P ( x) Пусть требуется вычислить интеграл  m dx . Если данная дробь неправильная, то мы Qn ( x) ( x  1) ( x  2) 2 представим её в виде суммы многочлена M (x) и правильной рациональной дроби Pk ( x) , Qn ( x) которая представима в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей. x2  2 2 dx 1 dx dx  ( x  1)2 ( x  2) dx  3  x  2  3  x  1   ( x  1)2  1  23 ln x  2  13 ln x  1  C. x 1 Тема 4.3. Подстановки, применяемые при интегрировании Интегрирование рациональных функций от радикалов и от тригонометрических функций. 14 4.3.1. Интегрирование некоторых иррациональных выражений 1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность n ax  b (a  0) , то полезна подстановка t  n ax  b . Пример 4.3.1 t  3 x 1 xdx (t 3  1)t 2 dt 3  x  t  1  3   3 x 1  t dx  3t 2 dt 5 2 t5 t2  3 (t  t )dt  3  3  C  53 ( x  1) 3  32 ( x  1) 3  C . 5 2 k k k В интегралах вида  R x, 1 ax  b , 2 ax  b , , m ax  b dx надо сделать подстановку   4 2. ax  b  t n , где n  НОК( k1, k2 , km ) . 3. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности  dx ax  bx  c 2 с помощью добавления квадратного трёхчлена ax 2  bx  c до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов Пример 4.3.2 dx  x 2  6 x  13  x3t   dx  a  x2  dx ( x  3) 2  4 dt t 4 2 , которые являются табличными.  d ( x  3) ( x  3) 2  4   ln t  t 2  4  C   ln x  3  x 2  6 x  13  C . 4. Интегралы вида 2n 2 2  R( x , a  x )dx 2n 2 2  R( x , a  x )dx 2n 2 2  R( x , x  a )dx интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок: x  a cos t (a sin t ) 2n 2 2 2 2 2 2 2  R( x , a  x )dx  a  x  a  a cos t  a sin t dx  a sin tdt 2n 2 2  R( x , a  x )dx  x  a tg t ( a ctg t ) 1 a2  x2  a  ; cos t a dx  dt cos2 t 15 ; x  a ch t ( a sh t ) 2n 2 2 2 2 2  R( x , x  a )dx  x  a  a ch t  1  a sh t . dx  a sh tdt Пример 4.3.3 dx  (a 2  x 2 )3  1 a 2 x  a cos t  a sin tdt a  x 2  a sin t   3 3  a sin t dx  a sin tdt  2 dt 1 x  sin 2 t  a 2 ctg t  C  t  arccos a  x 1 x 1 a C   2 ctg arccos  C  2 x a a a sin arccos a x 1 1 x a  2 C  2 C  2 x a a 2 x 1  cos arccos a 1 2 a a cos arccos  1 a 2 x C. a2  x2 ЗАМЕЧАНИЕ Для интегралов  R( x 2n1  R( x вида , x 2  a 2 )dx 2n 1 , a 2  x 2 )dx ,  R( x 2n 1 , a 2  x 2 )dx , также можно использовать тригонометрические подстановки. Однако проще их вычислять, делая замену a2  x2  t 2 или x2  a2  t 2 . 4.3.2. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций Рассмотрим интеграл вида  R(sin x, cos x)dx , где R(sin x, cos x) ― рациональная функция своих аргументов Сделаем sin x  подстановку 2 tg 2х 1  tg 2 х 2  2t 1 t2 , cos x  tg 2х  t 1  tg 2 1 х 2 tg 2 2х   1 t2 1 t2 x  2 arctg t  dx  2dt 1 t2 . Тогда: . Таким образом, сделав подстановку, исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции переменной t , т.е.  2t 1  t 2  2dt R   1  t 2 , 1  t 2  1  t 2 .   Пример 4.3.4 tg 2х  t dx  sin x  sin x  2t 1 t2 2dt x  2 arctg t 1 t2  2dt   2t dx  1 t2 1 t2 16  dt  ln t  C  ln tg 2х  C . t Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида R(sin x, cos x) . Поэтому её называют универсальной тригонометрической подстановкой. Однако на практике она часто приводит к сложным интегралам от рациональных функций. Поэтому полезно знать также другие подстановки. 1. sin x  t  R(sin x) cos xdx  cos xdx  dt   R(t )dt . Пример 4.3.5 sin 3 x (1  cos 2 x) sin xdx cos x  t 1 t2 dx     dt   1  cos x   sin xdx  dt 1  cos x 1 t2   (t  1)dt  2. 3. t2 cos 2 x t C   cos x  C . 2 2 tg x  t dt  R(tg x)dx  x  arctg t   R(t )  1  t 2 . dt 1  t2  R(sin x, cos x)dx , где sin x и cos x входят в чётных степенях. Сделаем подстановку: tg x  t , x  arctg t 1 1 cos x   2 1  tg x 1  t 2 tg2 x t2 . sin x 2   1  tg2 x 1  t 2 dt dx  1  t2 2 4. m n  sin x  cos x dx , где n - нечётное, m - любое. Пусть n  2 p  1, тогда 2 p 1 xdx   sin x  cos x  cos xdx   sin x  cos   sinm x(1  sin2 x) p cos xdx   R(sin x ) cos xdx . m m 2p Получили первый случай. 5.  sin m x  cos n xdx , где m, n – чётные неотрицательные. В этом случае используем формулы понижения степени: sin 2 x  1 1 (1  cos 2 x) и cos 2 x  (1  cos 2 x) . 2 2 Пример 4.3.6 1 1 1 2  sin xdx  2  (1  cos 2 x)dx  2 ( x  2 sin 2 x)  C . 6.  cos αx  cos βxdx;  sin αx  sin βxdx;  sin αx  cos βxdx, где (α  β ) берутся при помощи следующих формул: 17 1 (sin(   ) x  sin(   ) x ); 2 1 cos x  cos x  (cos(   ) x  cos(   ) x ); 2 1 sin x  sin x  (cos(   ) x  cos(   ) x ). 2 sin x  cos x  7. m  tg xdx или m  ctg xdx , где т - четное неотрицательное, берутся, если к подынтегральной функции прибавить и отнять tg m2 x или ctg m2 x . Пример 4.3.7  tg 4      dx dx   tg x  1  1dx   tg x    dx  cos x cos x x dx   tg4 x  tg2 x  tg2 x dx   tg2 x 1  tg2 x dx  2 2 2 2  tg x  d tg x  tg x  x  2 tg3 x  tg x  x  C . 3 ЗАМЕЧАНИЕ 2 2 Иногда полезно использовать тригонометрическое тождество sin x  cos x  1 . Это удобно, 1 , где n – четное неотрицательное. 1 если под знаком интеграла стоят и sinn x cosn x Пример 4.3.8 dx sin2 x  cos2 x dx  sin2 x cos4 x 1 1 1  dx   2 dx   d tg x  4 2 dx  4 2 2 cos x sin x cos x cos x sin 2 x 1 tg3 x 2   1  tg x d tg x  2 2 d 2 x  tg x   2 ctg 2 x  C. 3 sin 2 x   sin2 x cos4 x 1   4.4. Определенные интегралы и их приложения Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Условия его существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула НьютонаЛейбница. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Метод замены переменой в определенном интеграле. Интегрирование в симметричных пределах четной и нечетной функций. Вычисление площади плоской фигуры при различных способах задания ее границы. Вычисление длины кривой при различных способах ее задания. Вычисление объема тела по площади его поперечного сечения. Объем тела вращения. Общая схема решения физических, механических задач с помощью определенного интеграла. 4.4.1. Понятие определенного интеграла Пусть на отрезке а; b задана непрерывная функция y  f (x) (рис. 4.4.1). Разделим а; b на части произвольными точками: a  x0  x1  x2  ...  xn  b . xi  xi 1  xi . 18 Обозначим через Рис. 4.4.1. На каждом частичном отрезке xi ; xi1  разбиения выберем произвольную точку  i  xi ; xi 1  .В каждой точке i вычислим значение функции f (i ) . Составим сумму S n  n 1  f (i )  xi , которую будем называть интегральной суммой i 0 функции f , соответствующей этому разбиению. Обозначим через   max xi максимальную длину частичных отрезков xi ; xi 1  . 0i  n 1 Определение 4.4.1 Пусть f (х) непрерывная функция на а; b . Если существует предел последовательности интегральных сумм S n при   0 (и n   ) и не зависящего от способа разбиения отрезка, то он называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке а; b . Функция f (х) называется интегрируемой на а; b . Обозначается: lim Sn   0 n 1 b max xi 0 i  0 a lim  f (i )  xi   f ( x)dx , где a – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования. Геометрический смысл определенного интеграла Пусть функция y  f (x) непрерывна и неотрицательна на а; b . Произведение f (i )  xi численно равно площади прямоугольника, имеющего основание xi ; xi 1  и высоту f (i ) . Построив на каждом отрезке xi ; xi 1  такой прямоугольник, получим ступенчатую фигуру, площадь которой равна интегральной сумме S n  n 1  f (i )  xi . i 0 Если   0 , то площадь ступенчатой фигуры будет стремиться к площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной кривой y  f (x) , прямыми x  a , x  b и осью Ox (рис. 4.4.2). b Таким образом  f ( x)dx  S . a Рис. 4.4.2. 19 ЗАМЕЧАНИЕ Понятие определенного интеграла так, как мы его определили, было введено для непрерывных   функций французским математиком Коши. Говорят, что непрерывная на отрезке а; b функция интегрируема на нем в смысле Коши. В общем случае – для функций не обязательно непрерывных – может существовать предел интегральных сумм, тогда говорят, что функция интегрируема в смысле Римана. Это определение дано немецким математиком Б. Ф. Риманом (1826-1866гг.). 4.4.2. Основные свойства определенного интеграла 10. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного b интеграла, т.е. b  Af ( x)dx = A f ( x)dx , a A  Const , если эти интегралы существуют. a Действительно, b  Af ( x)dx = a n 1  Af (i )  xi =  lim max x i  0 i  0 lim max x i  0 n 1 b i 0 a A  f (i )  xi  A f ( x )dx . 2 . Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е. b b  ( f1( x)  f2 ( x))dx   a a b f1 ( x)dx  если f1 ( х) и f 2 ( х) - интегрируемые на а; b функции. b Так как  ( f1( x)  f2 ( x))dx  a  f 2 ( x)dx a n 1  ( f1 ( i )  f 2 ( i ))  xi  lim max xi 0 i 0 n 1 n 1 b b  f1(i )  xi  maxlim  f 2 ( i )  xi   f1 ( x)dx    f 2 ( x)dx . x 0 i 0 a a 3 . Если на отрезке а; b , где а  b , интегрируемые функции f (x) и g (x) удовлетворяют  lim max xi 0 i  0 i b условию f ( x)  g ( x) , то  b f ( x)dx   g ( x)dx . a a Действительно, если рассмотреть разность b b  g ( x)dx   a a b f ( x)dx   ( g ( x)  f ( x))dx , a то, поскольку g ( х)  f ( х)  0 х  а; b, то, по геометрическому смыслу определенного b интеграла, b  ( g ( x)  f ( x))dx  0   a a b f ( x)dx   g ( x)dx . a 4 . Если m и M – наименьшее и наибольшее значения интегрируемой функции f (x) на отрезке а; b и а  b , то m(b  a)  b  f ( x)dx  M (b  a) . a b Действительно, по условию m  f ( x)  M , тогда 20 b  mdx   a a b f ( x)dx   Mdx . a b Поскольку b  mdx  m  dx  m a a Аналогично, n 1  xi  m(b  a) . lim max xi 0 i  0 b b a a  Mdx  M (b  a)  m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) . Если f ( x)  0 , то SaA1B1b  SaABb  SaA2 B2b (рис. 4.4.3). y A2 M B2 y  f x  A m B A1 B1 a x b Рис. 4.4.3 50. Теорема о среднем. Если f (x) - непрерывна на отрезке а; b , то существует точка   а; b такая, что справедливо равенство b  f ( x)dx  (b  a) f () . a Доказательство. Пусть для определенности а  b и m  f ( x)  M . Тогда b m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) : (b  a) a b m 1 1 f ( x)dx  M , обозначим  baa ba b  f ( x)dx   , тогда m    M . a Так как f (x) - непрерывна, то она принимает все значения, заключенные между m и M . Следовательно, b   a; b,  f ( x)dx  (b  a) f () , где такое, что f ()   , т.е. 1 f ()  ba b  f ( x)dx и a   a; b . a b 6 . Из определения определенного интеграла  f ( x)dx а a    f ( x)dx . b b 70. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство если только все три интеграла существуют. 21 c  f ( x)dx   f ( x)dx  a a b  f ( x)dx , c Для доказательства разобьем а; b на части так, чтобы точка c была точкой деления. Затем b разобьем интегральную сумму , соответствующую отрезку а; b , на две суммы:  a сумму, соответствующую а; c  и c  – a b  – сумму, соответствующую c; b . Тогда c b c b a a c  f ( i )  xi   f ( i )  xi   f ( i )  xi . Переходя к пределу при max xi  0 , получим b c  f ( x)dx   f ( x)dx  a a b  f ( x)dx . c Если же, например, a  b  c , то на основании доказанного c b b c  f ( x)dx   f ( x)dx   a a b f ( x)dx   a c f ( x)dx   f ( x)dx  a c  f ( x)dx . По свойству 6 b получим b c b a a c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx . Аналогично доказывается это свойство при другом расположении точек a, b, c . 4.4.3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница Пусть f (x) – непрерывна на а; b . Рассмотрим интеграл x  f (t )dt , где t  a; x  a; b a (во избежание путаницы, переменная интегрирования обозначена другой буквой). При постоянном a этот интеграл будет представлять собой функцию верхнего предела x . x Эту функцию мы обозначим через ( x)   f (t )dt . a Если f ( x)  0 , то величина (x) численно равна площади криволинейной трапеции aAXx (рис. 4). Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от x . Рис. 4.4.4. Теорема 4.4.1. (теорема Барроу) x Если f (x) – непрерывная функция и ( x)   f (t )dt , a функция и ее производная равна 22 то (x) дифференцируемая  x  ( x)    f (t )dt   f ( x) .   a  Доказательство Дадим x приращение x , тогда ( x  x)  Найдем приращение  : x  x x x  x a a x  f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt . x  x x a a   ( x  x)  ( x)   f (t )dt   f (t )dt x x  x x a a a   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt . x  x  f (t )dt . Применим к этому интегралу теорему о среднем (рис. 4.4.5): Таким образом   a x  x    f (t )dt  f ()( x  x  x)  f ()x , ãäå   x; x  x . x Рис. 4.4.5  f ()x  lim  lim f () . Так как   x при x  0 , то x 0 x x 0 x 0 x lim f ()  lim f ()  f ( x) вследствие непрерывности. Следовательно, ( x)  f ( x) . Найдем ( x)  lim x 0  x Теорема 4.4.2 (Праввило Ньютона – Лейбница) Если F (x) есть какая-либо первообразная для функции f (x) , непрерывной на а; b , то справедлива формула b  f ( x)dx  F (b)  F (a) a ― формула Ньютона – Лейбница. Доказательство x Пусть y  f (x) - первообразная для f (x) . Но  f (t )dt – тоже первообразная для f (x) , a x так как   f (t )dt  a     f ( x) . Эти первообразные отличаются на произвольную постоянную, т.е.   x  f (t )dt  F ( x)  C . a 23 a Положим x  a,  тогда a f (t )dt  F (a)  C . Поскольку a  f (t )dt  0, то a 0  F (a)  C  C   F (a) и, значит, x  f (t )dt  F ( x)  F ( a ) . a b При x  b , получим  f (t )dt  F (b)  F (а) или, заменив обозначение переменной a интегрирования на x , b  f ( x)dx a b  F (b)  F (a)  F ( x) a Пример 4.4.1 1  1 xdx 1 x 2  d ( x 2  1) 2 1 x 2  1  x2 1  2  1. 4.4.4. Замена переменной в определенном интеграле Теорема 4.4.3 b Пусть дан интеграл  f ( x)dx , где f (x) – непрерывна на а; b . Введем новую переменную a t по формуле x  (t ) . Если: 1) ()  a ; ()  b ; 2) (t ) и (t ) - непрерывны на ;  ; b  a  3) f ((t )) – определена и непрерывна на  ;   ., то  f ( x )dx   f  (t ) (t )dt . Доказательство Пусть F (x) – первообразная для f (x) , т.е. F ( x)  f ( x) . Рассмотрим сложную функцию F (t )  и найдем ее производную d F (t )   F (t )   (t )  f (t ) (t ) . dt Значит F (t )  – первообразная для f (t ) (t ) . Тогда    b f (t ) (t )dt  F (t )    F ()  F ()  F (b)  F (a)   f ( x)dx .  a Пример 4.4.2 x 1  t 3 x  t2 1 2 2   (t 2  1)t 2tdt  2  (t 4  t 2 )dt   x x  1dx  dx  2tdt 1 x  0  t 1 1 x  3t  2 24 2  t5 t3  11  31 7   2    2    7 . 5 3 15  5 3  1 Теорема 4.4.4 Если f (x) – четная функция, т.е. f ( x)  f (x) , то a  f ( x)dx a Действительно, a a a a a  2 f ( x)dx .  f ( x)dx   f ( х)dх   f ( х)dх . Сделаем подстановку в первом интеграле x  t x  a  t  a . Тогда x0t 0 а а a а а  f ( х)dх   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt  t  x   f ( x)dx . a Следовательно,  а a a a f (t )dt   f ( x)dx   f ( x)dx  2 f ( x)dx . Теорема 4.4.5 Если f (x) – нечетная функция, т.е. f ( x)   f (x) , то a  f ( x)dx  0. a x  t Действительно,  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  x  a  t  a x0t 0 a a a a (подстановка в первом интеграле) a    f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt  a a a  a f (t )dt   f (t )dt  0 . a 4.4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле Пусть u (х) и v(х) – дифференцируемые функции. Тогда (u  v)  u v  uv . Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b , получим: b b b b b a a a a   u  v  dx   u vdx   uvdx   vdu   udv , a так как  b   uv  dx  uv  C , то  uv  dx  uv  a . Получили формулу, b a b  udv a b  uv a b   vdu , a которая называется формулой интегрирования по частям. 25 Пример 4.4.3 ux 2 dv  cos xdx  x sin x 2  sin x dx  0  cos x 2   cos 2  cos 0  1  1  0 . x cos x dx    du  dx v  sin x 2 4.4.6. Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей в декартовых координатах 1. Если функция f ( x)  0 и непрерывна на отрезке а; b , то площадь криволинейной трапеции xb aABb , ограниченной графиком функции y  f (x) , осью Ox и прямыми xa и (рис. 4.4.6), равна b S   f ( x )dx . (4.4.1) a у y= f A ( x) B S b a х Рис. 4.4.6. 2. Если функция f ( x)  0 и непрерывна на отрезке а; b , то определенный интеграл b  f ( x)dx  0 и по абсолютной величине равен площади S соответствующей криволинейной a трапеции aABb (рис. 4.4.7), т.е. S у b b a a  f ( x)dx    f ( x )dx . a b х S А y=f (x) В Рис. 4.4.7. 3. Если непрерывная функция f (x) конечное число раз меняет свой знак на отрезке а; b (рис. 4.4.8), то интеграл по всему отрезку а; b разбиваем на сумму интегралов по отрезкам а; с , с; d  и d; b . Тогда площадь S криволинейной трапеции можно найти по формулам с d b b a c d a S   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx или S   f ( x ) dx . 26 у y=f (x) + + х b a Рис. 4.4.8. 4. Если фигура ограничена снизу и сверху графиками функций y  f1 ( x) и y  f 2 ( x) (рис. 4.4.9), причем f1 ( x)  f 2 ( x) для всех x  а; b , то площадь S данной фигуры определяется формулой b b a a S   f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx у y = f 2 ( x) S y = f1 ( x ) a х b Рис. 4.4.9. b или, что тоже самое, S    f 2 ( x )  f1 ( x ) dx . a Пример 4.4.4 Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y  sin x , x  0; 2 и осью Ох (рис. 4.4.10). у y = sin x  2 х Рис. 4.4.10. Решение   S  sin x dx  2  2  sin x dx  cos x 0  ( cos x)   2 2  4.    Или, учитывая симметричность фигуры S  2 sin x dx  4 . Пример 4.4.5 Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  2 x , y  3  x 2 (рис. 4.4.11). 27 Решение Найдем абсциссы точек пересечения прямой y  2 x и параболы y  3  x 2 . Решая систему  y  2x уравнений  , получим х1  3 , х2  1 . Искомая площадь равна 2 y  3  x  x 2  3  х  2 хdx   3x  3 1 3  3 1  x 2   10 23 .  3  у у =3 - х2 -3 х 1 у =2х Рис. 4.4.11. Вычисление площадей, если линии заданы параметрически Если верхняя граница АВ (рис. 4.4.12) криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями х  (t ) и y  (t ) , где   t   и ()  a; ()  b , то в формуле (1) надо сделать замену переменной, положив х  (t ) , y  (t ) , dx  (t )dt у ( x) B y= f S A b=( ) х a=( ) Рис. 4.4.12. Тогда площадь криволинейной трапеции будет определяться, как: y   (t ) x  (t )  b b S  f ( x)dx  ydx  dx  (t )dt   (t )(t )dt. a a xat   xbt     В итоге мы получаем, что  S   (t ) (t )dt .  Площадь сектора в полярных координатах Пусть кривая задана уравнением:   () , где      , функция () непрерывна и неотрицательна на промежутке ;  (рис. 4.4.13). 28 у A   () В   х Рис. 4.4.13. Тогда площадь криволинейного сектора ОАВ, ограниченного линией   () и лучами    ,    , определяется формулой S сек   1 2   ( )d . 2 Пример 4.4.6 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли   a сos 2 (рис. 4.4.14). у  4 S х Рис. 4.4.14.  1 S  4S   4  2 4 a  2 cos 2d 2a 2 4  cos 2d 2a 2 sin 2 2  4  2  a (1  0)  a 2 . Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений Пусть T – некоторое тело, заключенное между плоскостями х  а и х  b . Предположим, что для любого х  а; b известна S (x) – площадь сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox (рис. 4.4.15). S (x) a x b Рис. 4.4.15. b Тогда объем тела T равен V   S ( x )dx . a 29 х Объем тела вращения Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y  f (x) , непрерывной на a; b , прямыми x  a , x  b и осью Ox (рис. 4.4.16). у y=f (x) a b х z Рис. 4.4.16. b V     f ( x ) 2 dx . Тогда объем тела вращения равен a ЗАМЕЧАНИЕ 1 Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, построенной на отрезке c; d  оси ординат и ограниченной кривой x  f ( y) , вычисляется по формуле d V     f ( y ) 2 dy . с ЗАМЕЧАНИЕ 2 Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями  х  (t ) , где   t   и ()  a; ()  b ,   y  (t ) тогда объем тела вращения вокруг оси Ох определяется формулой  V     (t ) 2  t dx  Пример 4.4.7 Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболы у  х 2  4 , заключенной между точкой 0;  4 и осью Ох. Решение Изобразим тело вращения (рис. 4.4.17). у -2 2 х 4 Рис. 4.4.17. Из уравнения у  х 2  4 найдем x 2  y  4 , т.е.  f ( y) 2  y  4 . Вычислим объем: 30   V    f ( y )  dy    у  4dy  8 . 2 4 4 Длина дуги в декартовых координатах Длина дуги AB (рис. 4.4.18) графика непрерывно дифференцируемой функции у  f (x) , x  a; b , вычисляется по формуле b l   1   f ( x )2 dx . у a y=f (x) В A а х b Рис. 4.4.18. Длина дуги кривой, заданной параметрически Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме  х  (t ) , где   t   и ()  a; ()  b ,   y  (t ) тогда длина дуги AB находится следующим образом: l  2 2   t    t  dt .  Длина дуги кривой в полярных координатах Если уравнение непрерывной кривой AB задано в полярных координатах   () , где      , то длина дуги будет равна l  2 2   ( )   ( ) d .  Пример 4.4.7 Найти длину кардиоиды   a(1  cos ) , a  0 (рис. 4.4.19). у l х Рис. 4.4.19 Решение  l  2l   2    (a sin ) 2  a 2 (1  cos ) 2 d  2  2a 2  2a 2 cos d  2 2 а     2  2a cos d  4a  2sin  8a . 2 20  31  2  2 cos 2 d  Площадь поверхности тела вращения Пусть функции f (x) и f (x) непрерывные на отрезке a; b , кривая AB является графиком функции y  f ( x)  0 . Тогда площадь Р поверхности, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox (рис. 4.4.20) равна b P  2  f ( x ) 1   f ( x ) 2 dx . у a y=f (x) B A 0 a х b Рис. 4.4.20 . Пример 4.4.8 Вычислить площадь поверхности шарового пояса образованного вращением дуги полуокружности у  R 2  x 2 , где  R  a  x  b  R , вокруг оси Ox . Решение  2х Учитывая, что производная f ( x)  у   , найдем 2 R2  x2 1   f ( x )2  1  x2 R2  x2  R R x 2 2 . Следовательно, b P  2  R2  x2 a b R R2  x2  dx  2 Rdx  2R(b  a) . a ЗАМЕЧАНИ Е 1 Если кривая AB задана параметрическими уравнениями:  х  (t ) , t    y  (t ) то площадь поверхности вращения определяется формулой  P  2  (t )  (t )2   (t )2 dt .  ЗАМЕЧАНИ Е 2 Если кривая AB задана уравнением в полярных координатах:   () ,      , то площадь поверхности вращения определяется формулой  P  2   ( )  2     ( )2 d .  Приложение определенного интеграла к решению физических и механических задач Некоторые приложение определенного интеграла иллюстрируются на примерах. 32 Пример 4.4.9 Какую работу нужно затратить, чтобы поднять, для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R , на высоту h ? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? Решение Работа A переменной силы f x  , действующей вдоль оси Ox на отрезке a; b , выражается интегралом b A   f ( x )dx . a С другой стороны , по закону всемирного тяготения сила F , действующая на тело массой m , равна mM F k 2 , r где M – масса земли, r – расстояние от массы m до центра Земли, k – гравитационная постоянная. Поскольку на поверхности земли, т.е. при r  R , вполняется F  mg . то можно записать R2 2 F  mg , откуда можно найти . Поэтому . kM  gR R2 r2 Следовательно, искомая работа равна mg  k mM A Rh  Fdr  R  mg R При h   A  lim mgR h  Rh h  1 R  h dr  mgR2     mgR . Rh  r R r R2 2 h  mgR . Rh 4.5. Несобственные интегралы Несобственные интегралы первого и второго рода. Главное значение. Признаки сходимости. Свойства несобственных интегралов. b В определении интеграла  f ( x)dx предполагалось, что: a  промежуток интегрирования a; b конечен.  функция f (x) определена и непрерывна на a; b . Такой определенный интеграл называется собственным (слово собственный обычно опускается). Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным определенным интегралом. Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев. Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования Этот интеграл по определению равен  b a a  f ( x)dx  blim  f ( x)dx . Несобственный интеграл  с бесконечным пределом интегрирования часто называют несобственным интегралом 1 рода. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, в противном случае интеграл называется расходящимся. Если F (x) – первообразная функция для подынтегральной функции f (x) , то 33  lim F (b)  F ( a )  F ( )  F (a ),  f ( x )dx  b   a где F ( )  lim F (b) b   Аналогичным образом определяются интегралы: b  b  c  f ( x)dx  alim  f ( x)dx и  f ( x)dx      a  f ( x)dx . f ( x)dx   c Пример 4.5.1 Установить, при каких значениях  сходится интеграл   1 dx x . Решение   1 dx x   x  1 x1 dx  1    1 dx Если   1 , то   ln x 1 x 1 1    , если   1 x1 1    1  1  lim .  x   1   1   , если   1.    . Следовательно, 1  dx  сх. при   1    расх. при   1 1 x Во многих случаях достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится. Для этого могут быть полезными следующие теоремы. Теорема 1 (Признак сравнения)  Если для всех x  a выполняется неравенство 0  f ( x)  g ( x) и если  g ( x)dx сходится, a  то    a a   f ( x)dx f ( x)dx тоже сходится, причем  f ( x)dx   g ( x)dx . Если же a расходится, то a   g ( x)dx – тоже расходится. a Пример 4.5.2  Исследовать сходится ли интеграл  1 dx . x (1  e x ) 2 Решение Поскольку 1 1  и x 2 (1  e x ) x 2   1 1 dx – сходится, то данный интеграл сходится. x2 Теорема 4.5.2  Если интеграл   f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл a  f ( x)dx . a последний интеграл называется абсолютно сходящимся. 34 В этом случае Пример 4.5.3  Исследовать сходимость интеграла  1 sin x x3 dx . Решение Так как sin x x 3  1  x и 3  1 1 x3 dx сходится, то данный интеграл сходится абсолютно. Теорема 4.5.4 (Предельный признак сравнения) Если для всех х  а функции f ( x)  0 и g ( x)  0 , причем f ( x) ~ x    g ( x) , то интегралы  f ( x)dx и a  g ( x)dx одновременно сходятся или одновременно расходятся. a Пример 4.5.4   1 x 1 х x 1 х е ~ е х и  е dx сходится, так как x  x x  е х dx   е х 1  1  ― сходится. Пример 4.5.5   1 x 1 х x 1 х  е ~ ех и  е dx расходится, так как x  x x  х х  е dx  е 1  1   ― расходится. Несобственный интеграл от разрывной функции Пусть f (x) непрерывна при а  х  c и имеет точку разрыва при x  c . Тогда несобственный интеграл c b a a  f ( x)dx  blimc0 f ( x)dx называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или нет конечный предел. Аналогично определяются интегралы: b b  f ( x)dx  alimc0 f ( x)dx (разрыв в точке a ) с b и  a a x0 f ( x)dx   f ( x)dx  a b  f ( x)dx (разрыв в точке x0 ). x0 Пример 4.5.6 a dx  x  a m lim x a a Если m  1 , то dx x  a 1m   x  a  d x  a   a 1 m x  a 1 m   a 1 m 1 m 1 m a  x  a  ln x  a 0   a m  сходится при m  1,  расходится при m  1.  расходится. 35 a Таким образом  b Например, интеграл  dx p a x  b dx x  a  m сходится при m  1,  расходится при m  1. является сходящимся. Рассмотрим теоремы, устанавливающие признаки сходимости несобственных интегралов от разрывной функции. Теорема 4.5.5. (Признак сравнения) Если на отрезке а; с функции f (x) и g (x) разрывные в точке с , причем c g ( x )  f ( x)  0 и  g ( x)dx c c  f ( x)dx сходится, то a тоже сходится. Если же a  f ( x)dx a c расходится, то  g ( x)dx тоже расходится. a Теорема 4.5.6 c  Если f (x) разрывная функция в точке с и интеграл f ( x) dx сходится, то интеграл a c  f ( x)dx тоже сходится и такая сходимость называется абсолютной. a Теорема 4.5.7 Если на отрезке а; с функции f (x) и g (x) разрывные в точке с , причем f ( x)  0 и с g ( x)  0 и f ( x) ~ g ( x) , то интегралы xс  с f ( x)dx и a  g ( x)dx одновременно сходятся или a одновременно расходятся. Пример 4.5.7 1  1 х  4х 2 dx сходится, так как 1 х  4х 2 ~ x0 36 1 x 1 2 1 и  dx x 1 2 сходится.