Математическое описание процесса разделения двух материалов

Лекция 3 Математическое описание процесса разделения двух материалов Задача разделения двух материалов встречается во многих отраслях промышленности. Например, извлечение золота из золотосодержащего песка (разделение золота и песка), обогащение угля (отделение угля от пустой породы), очистка воздуха от пыли, разделение водонефтяной эмульсии, классификация сыпучего материала на два класса по заданному граничному размеру. Таким образом, в общем случае задача разделения ставится следующим образом. Имеется смесь, состоящая из двух материалов. Требуется эту смесь разделить, чтобы каждый материал был по отдельности. В соответствии с конкретной задачей аппараты для разделения материалов могут работать на различных принципах. При разделении по крупности используются сита или аппараты, разделяющие по скорости витания. Для разделения материалов по плотности применяют разделяющие жидкости с плотностью легче тяжелого материала и тяжелее легкого материала (легкий материал всплывает, тяжелый тонет). При разделении магнитного и немагнитного материала, например, магнетита и песка, используются магнитные сепараторы (магнетит прилипает к магнитному барабану). Идеальное разделение смеси материалов можно изобразить следующей схемой. Имеется смесь двух материалов – первый и второй (условно, белый и черный) с массами m1 и m2, соответственно. Смесь пропускается через разделительный аппарат, у которого имеется один вход и два выхода, первый и второй. При идеальном разделении весь первый материал поступает в первый выход, а второй – во второй выход. Возможен и второй вариант идеального разделения – первый материал идет во второй выход, а второй материал в первый. Но если мы перенумеруем выходы, то получим прежнюю схему. В реальных условиях, как правило, идеальное разделения не достигается и в обоих выходах содержатся оба материала. Реальное разделение можно проиллюстрировать следующей схемой В первом выходе содержится белый материал с массой m11 и второй с массой m12. Во втором выходе также содержится белый и черный материалы с массами m21 и m22, соответственно. Массы материалов на выходе составляют матрицу , которую назовем матрицой разделения. Номер строки матрицы соответствует номеру выхода, а номер столбца – номеру материала. Матрица разделения дает полную картину разделения. При идеальном разделении матрица разделения имеет вид . В матрице не все элементы независимы, т.к. сохранение массы каждого материала накладывает два ограничения и . Таким образом, из четырех элементов матрицы независимыми являются два. Для описания процесса разделения используются еще ряд величин, выражаемых через элементы матрицы разделения. В частности, доля материала, которая пошла в первый или второй выход, называется соответственно выход материала в первый γ1 или второй выход γ2. Величины γ1 и γ2 определяются формулами , и связаны зависимостью γ1 и γ2 = 1. Кроме размерной матрицы разделению удобно ввести безразмерную матрицу, которая определяется следующим образом . (Для удобства запоминания можно отметить, что обезразмеривание элементов матрицы производится исходной массой соответствующего вида материала). Безразмерная матрица также дает полную картину разделения. Зная матрицу µ, можно вычислить матрицу m. В безразмерной матрице разделения сумма элементов по столбцам равна 1, т.е. и . В идеальном случае безразмерная матрица разделения имеет вид . Посмотрим, как будут выглядеть размерная и безразмерная матрицы разделения при простом делении материала (без обогащения) с выходами γ1 и γ2. , . Можно заметить, что при простом делении материала в безразмерной матрице строки одинаковые, а след матрицы равен 1 (). Т.к. результат разделения описывается двумя параметрами, то выбрав любые два независимые параметра, можно определить все остальные. Например, если в качестве независимых параметров взять γ1 и m11, то остальные элементы матрицы выразятся через них , , . Непрерывные процессы разделения удобнее описывать на языке массовых долей. Массовые доли первого с1 и второго с2 материала в исходной смеси будут , При этом выполняется . Массовые доли на выходе аппарата описываются матрицей концентраций . Для матрицы концентраций сумма элементов по строкам равна единице, и . Для идеального разделения вид матрицы концентраций совпадает с безразмерной матрицей разделения. В случае простого деления материала матрица концентраций имеет вид . Матрица концентраций дает полную картину разделения за исключением случая простого деления. Описывая процесс разделения двумя параметрами, возникает вопрос, как сравнивать между собой результаты различных опытов? Например, в одном опыте получили γ1 = 0.5 и с11 = 0.7, а в другом γ1 = 0.4 и с11 = 0.8. Во втором опыте получили меньше выход, но с большей концентрацией. В каком опыте обогащение лучше? Таким образом возникает необходимость в некотором критерии, по которому можно бы было оценивать эффективность разделения сравнивать различные опыты между собой. Попробуем вывести такой критерий. Обозначим его Е и выберем в качестве независимых переменных параметры μ11 и μ22, т.к. безразмерный критерий Е удобнее выражать через безразмерные величины. Таким образом, нам нужно получить вид зависимости Е(μ11, μ22). К функции Е(μ11, μ22) предъявим следующие требования. 1. Симметричность относительно номера материала. Т.к. материалы равноправны, то функция Е(μ11, μ22) должна быть симметричной функцией от μ11 и μ22. 2. Е = 1 при идеальном разделении. 3. Е = 0 при простом делении материала. 4. Требование простоты, которое сводится к линейной зависимости функции Е(μ11, μ22) от μ11 и μ22. Это требование связано с тем, что любая функция, удовлетворяющая требованиям 1 – 3, при возведении в любую положительную степень удовлетворяет этим же требованиям. Общий вид линейной функции от двух переменных (требование 4) имеет вид . Из симметричности функции относительно μ11 и μ22 (требование 2) следует С = В. Таким образом, . При идеальном разделении μ11 = μ22 = 1 и требование 2 можно записать в виде уравнения . При простом делении μ11 + μ22 = 1 и требование 3 запишется в виде . Решая два уравнения относительно А и В, получим А = -1 и В = 1. Таким образом, критерий эффективности разделения имеет вид Используя, соотношения между элементами безразмерной матрицы разделения, эффективность разделения можно записать в другом виде Последнюю формулу легко запомнить, представляя ее как «извлечение» минус «засорение». Критерий эффективности разделения, выведенный выше, был сформулирован впервые Барским М.Д. []. Зависимость Е от μ11 и μ22 можно проанализировать в плоскости μ11 - μ22. Область допустимых значений представляет собой квадрат 0 ≤ μ11 ≤ 1 и 0 ≤ μ22 ≤ 1. В точке μ11 = μ22 = 1 Е = 1. На диаганали квадрата μ11 + μ22 = 1 Е = 0. На любой линии, параллельной этой диаганали Е = const. В области выше диаганали Е больше нуля, в области ниже диаганали – меньше нуля. В области с отрицательной эффективностью разделение происходит, но материалы поступают не в свои выходы. От отрицательной эффективности можно избавиться перенумеровав выходы или взять Е по модулю. Если в качестве независимых переменных взять не μ11 и μ22, а другие переменные, то критерий эффективности будет выглядеть иначе. Приведем несколько записей этого критерия , (Ханкока – Луйкена), (Чечотта), (Лященко – Хаузера). Рассмотрим формулы расчета эффективности разделения на примере классификации порошка на два класса по заданному граничному размеру хг в циклоне. Будем считать, что нам известны плотность функции распределения массы частиц по размеру f(x) и функция фракционного улавливания частиц g(x), где х – размер частицы. Обозначим первый материал – мелкие частицы (х < хг), второй материал – крупные частицы (х > хг), первый выход – патрубок выхода газа, второй – бункер циклона. Поскольку эффективность разделения не зависит от массы исходного материала, примем ее равной единице. Последовательность расчета эффективности разделения представлена ниже , , , , . Меняя скорость газа в циклоне, можно влиять на функцию g(x) через х50 и, соответственно, на эффективность классификации.