Математическое моделирование

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ» (СГУГиТ) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Курс лекций для обучающихся специальности 21.05.01 Прикладная геодезия заочной формы обучения СГУГиТ Составитель Т.Ю. Бугакова Новосибирск СГУГиТ 2020 1 Оглавление ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. АКТУАЛЬНОСТЬ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ................................................................................................................... 6 1. Возникновение и развитие методов моделирования ....................................... 6 2. Понятие модели, моделирования ....................................................................... 9 3. Классификация моделей.................................................................................... 12 4. Роль и задачи моделирования в современном обществе ............................... 17 5. Понятие математической модели ..................................................................... 18 6. Формы представления математических моделей ........................................... 21 7. Методы определения математических моделей ............................................. 26 8.Описание объектов моделирования. Задача корректной постановки цели моделирования ....................................................................................................... 28 9. Адекватная оценка ресурсной обеспеченности для реализации цели. Решение задач в условиях информационной неопределенности ..................... 30 10.Обобщенная схема основных этапов математического моделирования ... 36 РАЗДЕЛ 2. ПОНЯТИЕ ОБ ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ............. 43 1. Понятие имитационной модели. Основные этапы имитационного моделирования на компьютере............................................................................. 43 2.Требования, предъявляемые к имитационным моделям. ............................... 47 РАЗДЕЛ 3. ПОНЯТИЕ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ. ПОСТРОЕНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ И БЛОЧНОЙ МОДЕЛЕЙ ................................................................................................................. 49 1.Понятие системы................................................................................................. 49 2. Принципы системного анализа: агрегирование и декомпозиция. Декомпозиция и агрегирование систем при реализации системно- целевого подхода .................................................................................................................... 51 3. Структурная схема системы. Модель «белого» и «черного» ящика .......... 63 4. Признаки существования системы................................................................. 65 5. Определение содержательной части модели ................................................ 67 6. Понятие формализации. Понятие концептуальной модели. Переход от описания к блочной модели .................................................................................. 76 2 РАЗДЕЛ 4. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДАННЫМ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА И ЕГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДАННЫМ ............................................................................... 81 1. Математическое моделирование состояний физических объектов при разработке алгоритмов, программ и методик решений инженерногеодезических задач для выполнения математической обработки результатов полевых геодезических измерений ...................................................................... 81 2. Моделирование изменения состояний. Фазовое пространство. Гильбертово пространство. Функции отклика. .................................................. 84 3. Аппроксимация облака точек по принципу агрегирования ........................ 89 4. Определение геометрических параметров объекта на основе принципа декомпозиции ......................................................................................................... 91 РАЗДЕЛ 5 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ .................................................... 97 1. Идеализация математической модели ........................................................... 97 2. Дискретизация математической модели ....................................................... 98 3. Линеаризация математической модели ......................................................... 99 РАЗДЕЛ 6. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. .......... 101 1. Определение функции эффективности. ....................................................... 101 2. Оценка адекватности, экономичности, корректности и непротиворечивости математической модели .................................................. 105 РАЗДЕЛ 7. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ........................................................................................................... 108 1. Принципы и классификация методов прогнозирования, в том числе, для изучения динамики изменения поверхности Земли геодезическими методами ............................................................................................................... 108 2. Методы экстраполяции. Параметрические методы. Экспертные методы. ............................................................................................ 112 3. Сущность нормативного, экспериментального и индексного методов прогнозирования .................................................................................................. 116 РАЗДЕЛ 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ...... 118 1. Методы теории планирования эксперимента при проведении научноисследовательских работ и научно-технических разработок ......................... 118 2. Стратегическое и тактическое планирование экспериментов .................... 124 РАЗДЕЛ 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ .................. 126 1. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) ................................ 128 3 2. Дискретно-детерминированная схема модели............................................ 133 3. Дискретно-стохастическая схема модели ................................................... 137 4. Непрерывно-стохастическая схема модели .................................................. 138 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 145 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................... 146 4 ВВЕДЕНИЕ Целью освоения дисциплины «Математическое моделирование» является формирование у обучающихся общепрофессиональных и профессиональных компетенций, определяющих их готовность и способность, как будущих специалистов по направлению подготовки 21.05.01 Прикладная геодезия, специализация «Инженерная геодезия», к эффективному применению усвоенных знаний в области разработки и анализа математических моделей систем, постановки и планирования экспериментов, построения прогнозных функций физических процессов для принятия решений при управлении. Задачами изучения данной дисциплины являются: изучение методов математического моделирования для решения прикладных задач экспериментов построение с прикладной геодезии, использованием прогнозных постановка прикладных функций и планирование программных физических процессов средств, методами моделирования для принятия решений при управлении; овладение основными методами и средствами системно-целевого подхода при разрешении проблемных ситуаций; применения математических моделей в системных исследованиях при моделировании в геодезии. 5 РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. АКТУАЛЬНОСТЬ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ План 1. Возникновение и развитие методов моделирования. 2. Понятие модели, моделирования. 3. Классификация моделей. 4. Роль и задачи моделирования в современном обществе. 5. Понятие математической модели. 6. Формы представления математических моделей. 7. Методы определения математических моделей. 8. Описание объектов моделирования. Задача корректной постановки цели моделирования. 9. Адекватная оценка ресурсной обеспеченности для реализации цели. Решение задач в условиях информационной неопределенности. 10. Обобщенная схема основных этапов математического моделирования. 1. Возникновение и развитие методов моделирования Моделирование как способ отображения реальности возникает в античную эпоху параллельно с зарождением научного познания. Однако в отчётливой форме (хотя без употребления самого термина) моделирование получает широкое распространение в эпоху Возрождения; Микеланджело Буонарроти, Филиппо Брунеллески, Леон Баттиста Альберти, Донато Браманте, Джорджо Вазари, и другие итальянские архитекторы и скульпторы использовали модели проектируемых ими сооружений; а Г. Галилей и Леонардо да Винчи помимо простого применения модели в своих теоретических работах, также находят пределы применимости метода моделирования. Уже И. Ньютон практикует метод моделирования вполне серьезно, а в 19 веке сложно найти область науки или её приложений, где моделирование не 6 было бы значимо; немаловажную методологическую роль сыграли и разработки Кельвина, Дж. Максвелла, Ф. А. Кекуле, А. М. Бутлерова и других физиков и химиков — именно эти науки позволили методу моделирования развиться до внушительного уровня. В XX веке моделирование достигло определенных успехов, но также встретило определенные проблемы. С одной стороны, теория относительности, а также, квантовая механика, обнаружили неабсолютный, относительный характер механических моделей, сложности, связанные с моделированием. С другой стороны, прогрессирующий математический аппарат нашел новые перспективы этого способа в обнаружении общих законов и особенностей структуры систем разной физической природы, происходящих из разных уровней организации материи, форм движения. Использование первых электронных вычислительных машин (Джон фон Нейман, 1947) и формулирование основных принципов кибернетики (Норберт Винер, 1948) позволили многогранно использовать новые универсальные методы — как в абстрактных знаниях, так и в их приложениях. В нашей стране кибернетика многократно критиковалась в конце 40-х годов. В литературе, в том числе и в учебных пособиях, говорилось, что это реакционная лженаука, поставленная на службу империализму, которая пытается заменить мыслящего, борющегося человека машиной в быту и на производстве, используется для разработки электронного оружия, и т.п. Возрождение репутации кибернетики произошло, когда целый ряд известных научных умов, таких как А.А. Ляпунов, стали отстаивать правомерность и материалистичность кибернетического взгляда на реальность. Профессиональные философы также поддержали эту идею (Жуков, Баженов, Новик, Бирюков и другие). Это особенно важно отметить, поскольку многие ответвления науки достаточно продолжительно пребывали под идеологическим запретом (например, биология). Одной из важных и передовых областей кибернетики являлась область, осознанная впоследствии как проблематика систем искусственного интеллекта. 7 Для конца ХХ века характерно широкое использование в самых различных областях человеческой деятельности, особенно в образовании, метода математического познания действительности, а именно изучение реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого познания и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата. Для поддержки метода математического разработаны познания системы (метода компьютерной математического математики, моделирования) например, Maple, Mathematica, MathCAD, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Математическое моделирование, являясь методологией, используется как инструмент в научных дисциплинах подобно математике, физике и биологии и не конкурирует с ними. Практически во всех сферах творческой деятельности применяется моделирование, начиная от исследователей и заканчивая военачальниками. Математическое моделирование должно обеспечиваться выполнением следующих требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, основанная на опыте (апостериорный), анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. При моделировании трудноформализуемых объектов нужно дополнительно учитывать разграничение математических и нематематических терминов, а также особенности использования существующего математического аппарата к изучению объектов. Таким образом, моделирование обрело общенаучный характер и стало использоваться в исследованиях живой и неживой природы, в науках о человеке, обществе, в науках о Земле. 8 2. Понятие модели, моделирования Под объектом моделирования понимают любой предмет, процесс или явление, которые изучают методом моделирования. При изучении объекта учитываются только те свойства, которые необходимы для достижения цели. Выбор свойств объекта при построении модели является важной задачей на первых этапах моделирования. Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определённой ситуации заменял другой объект. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей. Например, древние философы считали невозможным моделирование естественных процессов, так как, по их представлениям, природные и искусственные процессы подчинялись различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики, методов рассуждений, споров, т.е., по современной терминологии, языковых (дескриптивных) моделей. Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг «Ничего словами!», который явился кратчайшим изложением принципов естествознания: признавались только выводы, подкреплённые экспериментально или математическими выкладками. В английском языке до сих пор в понятие «наука» не входят области знания, которым в русском языке соответствует термин «гуманитарные науки», – они отнесены к категории «искусств». В результате очень долго понятие «модель» относилось только к материальным объектам специального типа, например манекен (модель человеческой фигуры), гидродинамическая уменьшенная модель плотины, модели судов и самолетов, чучела (модели животных) и т.п. 9 Осмысливание основных особенностей таких моделей привело к разработке многочисленных определений, типичным примером которых служит следующее: Модель объекта – это: 1) такая мысленно представимая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна заменить его так, что её изучение даёт новую информацию об объекте. 2) объект - заместитель, который учитывает реальные свойства объекта, необходимые для достижения цели. 3) Модель – приближѐнное, целенаправленное, необходимое и достаточное для достижения цели моделирования отображение объекта моделирования. Оно может быть материальным или абстрактным, в нѐм всегда имеется, безусловно истинное, условно истинное, предположительно истинное и ложное содержание. Основная функция модели состоит не только в описании объекта, но и в получении необходимой для достижения цели информации о нём. Моделирование – имитация поведения реальных и виртуальных (гипотетических) систем. Основной метод теоретических и прикладных исследований, используемый для определения или уточнения параметрических, функциональных и структурных характеристик систем. Главные функции модели - упрощение получения информации об объекте исследования; передача информации и знаний; управление и оптимизация; прогнозирование и диагностика. Вопрос о необходимости создания модели возникает вследствие возникновения проблемной ситуации, ситуации, когда неудовлетворительность существующего положения осознана, но неясно, что следует сделать для его изменения. В связи с этим, общая схема построения модели состоит из нескольких этапов. 10 Общая схема построения модели: 1. Анализ проблемной ситуации 2. Формулировка проблемы 3. Постановка цели, разрешающей проблему 4. Выбор свойств реального объекта для достижения цели 5. Построение алгоритма модели 6. Выбор методов моделирования 7. Выбор средств моделирования 8. Постановка эксперимента на модели 9. Анализ результатов моделирования 10.Проверка адекватности (адекватна ли модель объекту и поставленной цели) 11.Практическая реализация модели Выяснение и формулировка проблемы является самым ответственным этапом моделирования, т.к. в зависимости от правильности сформулированной проблемы зависят все последующие этапы моделирования. Проблема - противоречие между необходимостью и возможностью; 1) проблема развития - неудовлетворительное состояние системы, изменение которого к лучшему является непростым делом; 2) проблема функционирования - удовлетворительное состояние системы, сохранение которого требует постоянных и непростых усилий. Для разрешения проблемы устанавливается цель моделирования. Цель – это субъективный образ желаемого, но не существующего и возможно осуществимого при определенных условиях. Достижение цели приводит к разрешению проблемы и устранению проблемной ситуации. Для достижения цели устанавливаются следующие этапы моделирования выбор свойств реального объекта для достижения цели: построение алгоритма модели, выбор методов моделирования, выбор средств (инструментов) моделирования. 11 Далее на готовой модели выполняется эксперимент или ряд экспериментов, получаются результаты для дальнейшего анализа и проверки адекватности модели поставленной цели моделирования. Если результаты моделирования отвечают цели, то модель считается готовой к практическому использованию. 3. Классификация моделей Классификация – одна из проблем распознавания образов. Каждому классу приписывают некоторые характеристические признаки или свойства и по их наличию у изучаемого объекта осуществляют классификацию. Классификация основана на анализе информации об объекте и отнесении объекта к тому или иному классу из заданного набора классов. Наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели: область использования; учет в модели временного фактора (динамики); отрасль знаний; способ представления моделей. Классификация по области использования Рисунок 1.1 – Классификация по области использования Учебные модели – наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы. 12 Опытные модели – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Их называют также натурными и используют для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик. Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений. К ним можно отнести, например, и синхротрон – ускоритель электронов, и прибор, имитирующий разряд молнии, и стенд для проверки телевизоров. Игровые модели – это военные, экономические, спортивные, деловые игры. Они как бы репетируют поведение объекта в различных ситуациях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника. Игровые модели позволяют оказывать психологическую помощь больным либо разрешать конфликтные ситуации. Имитационные модели не просто отражают реальность с той или иной степенью точности, а имитируют ее. Эксперимент либо многократно повторяется, чтобы изучить и оценить последствия каких-либо действий на реальную обстановку, либо проводится одновременно со многими другими похожими объектами, но поставленными в разные условия. Подобный метод выбора правильного решения называется методом проб и ошибок. Классификация с учетом фактора времени и области использования Рисунок 1.2 – Классификация с учетом фактора времени и области использования Статическая модель – это как бы одномоментный срез информации по объекту. Отображает совокупность свойств объекта в фиксированный момент времени. Пример: фотография, книга. 13 Динамическая модель – модель, в которой отображаются процессы, происходящие в системе с течением времени. Формальные динамические модели имеют те же типы, что и статические, но с явным указанием роли времени. Все реальные динамические системы подчиняются принципу причинности. Классификация по способу представления Рисунок 1.3 – Классификация по способу представления Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение. Информационная модель – совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Вербальная модель – информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель – информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. По форме представления можно выделить следующие виды информационных моделей: геометрические модели – графические формы и объемные конструкции; словесные модели – устные и письменные описания с использованием иллюстраций; 14 математические модели – математические формулы, отображающие связь различных параметров объекта или процесса; структурные модели – схемы, графики, таблицы и т. п.; логические модели – модели, в которых представлены различные варианты выбора действий на основе умозаключений и анализа условий; специальные модели – ноты, химические формулы и т. п.; компьютерные и некомпьютерные модели. Компьютерная модель – модель, реализованная средствами программной среды. Многообразие моделей предполагает огромный спектр инструментов для их реализации. Существует немало формальных языков, относящихся к разным областям деятельности, пригодных для описания моделей. Если модель имеет материальную природу, то для ее создания годятся традиционные инструменты: резец скульптора, кисть художника, фотоаппарат, токарный или фрезерный станок, пресс, наконец пила и топор. Если модель выражена в абстрактной, умозрительной форме, то нужны некоторые знаковые системы, позволяющие описать ее, — специальные языки, чертежи, схемы, графики, таблицы, алгоритмы, математические формулы и т. п. Здесь могут быть использованы два варианта инструментария: либо традиционный набор инженера или конструктора (карандаш, линейка), либо компьютер. Имея дело с компьютером как с инструментом, нужно помнить, что он работает с информацией. Поэтому следует исходить из того, какую информацию и в каком виде может воспринимать и обрабатывать компьютер. Современный компьютер способен работать со звуком, видеоизображением, анимацией, текстом, схемами, таблицами и т. д. Но для использования всего многообразия информации необходимо как техническое (Hardware), так и программное (Software) обеспечение. И то и другое — инструменты компьютерного моделирования. Например, для работы со звуком нужна специальная плата в компьютере, звуковая карта (Sound Blaster) и специализированное программное обеспечение. Для композитора это, к примеру, профессиональный музыкальный редактор, который позволяет не только набрать нотный текст и распечатать его, но 15 и сделать аранжировку произведения. Расписав ноты для разных инструментов, композитор может прослушивать их звуковые модели отдельно и в ансамбле. Цифровое звучание компьютерных моделей почти не отличается от тембра реальных инструментов. Компьютер позволяет соединять реальный голос певца со звуковой моделью мелодии, а также моделировать голос разной высоты и тембра (тенор, драматический бас и т. п.). Существуют программы, с помощью которых компьютер может создавать композиции самостоятельно в соответствии с заданным ритмом, темпом, музыкальным стилем и т. п. Рассмотрим другой пример. Инструментом для создания геометрической модели, передающей внешний облик прототипа, могут быть программы, работающие с графикой, например графический редактор. С его помощью возможно моделировать как плоское, так и объемное изображение, управляя графическими объектами. Сейчас имеется широкий круг программ, позволяющих создавать различные виды компьютерных знаковых моделей: текстовые процессоры, редакторы формул, электронные таблицы, системы управления в базах данных, профессиональные системы проектирования, а также различные среды программирования. Другая классификация по способу отображения объектов делит модели на два класса: 1 класс – изобразительные, аналоговые и символьные; 2 класс – познавательные и прагматические. Аналоговые модели – это вспомогательные объекты, имеющие природу, отличную от природы изучаемого объекта, и замещающие этот объект так, что его изучение даёт полезные сведения об исходном объекте. Это модели, в которых совокупность одних свойств представляется в виде совокупности других свойств. Аналоговое моделирование основано на теории подобия. Пример: Разные по названию лекарства, но обладают одним и тем же действием, хотя имеют абсолютно разный ингредиентный состав. Символьные модели – модели, в которых объекты описываются на формальном языке, состоящем из конечного набора символов, правил отношений между ними и правил интерпретации этих символов. 16 Пример: Алгоритмические языки программирования, совокупность знаков, обозначающих правила дорожного движения. Математические модели – это тоже символьные модели, так как состоят из множества математических символов, знаков, уравнений, множеств и т.д. Познавательные модели – формы организации и представления знаний средством соединения новых знаний с имеющимися. В познавательных моделях всегда отображается реальность, и модель подгоняется под реальность. Прагматические модели – способ представления образцово-правильных действий или их результатов. Они играют роль стандарта и имеют нормативный характер. В прагматических моделях всегда действительность «подгоняется» под модель. 4. Роль и задачи моделирования в современном обществе Основной задачей моделирования является получение дополнительной информации об объекте. Модели применяют для изучения объектов, не доступных для натурного эксперимента. Для этого реальный объект заменяется подобным, отражающим определённые свойства. Такая замена позволяет: 1. Изучить недоступные для натурного эксперимента объекты. Пример: при ускоренной съёмке мы можем наблюдать, как распускается цветок. 2. Исследовать гипотетические объекты или реальные объекты в гипотетических условиях 3. Выполнить имитацию на модели и получить дополнительную информацию в условиях информационной неопределённости 4. Осуществить обучение людей в различных областях науки и техники 5. Сформировать справочно-экспертные системы 6. Создавать автоматизированные системы проектирования и управления производством 17 7. Объединять формальные и неформальные методы исследования, формируя основу для создания искусственного интеллекта Недостатки экспериментирования на модели: 1. Сложность модели и возможно высокая стоимость эксперимента 2. Трудность интерпретации результатов эксперимента на модели 3. Трудность оценки достоверности результатов моделирования 4. Высокая специализация модели и невозможность или трудность её использования для других объектов. Однако, моделирование на компьютере частично устраняет эти недостатки. 5. Понятие математической модели Математическое моделирование основано на явлении изоморфизма сходстве форм при качественном различии явлений. Благодаря изоморфизму мы можем моделировать одну систему с помощью другой, вместо одного явления изучать другое. При математическом моделировании вместо изучения и исследования оригинала исследуются математические зависимости, описывающие оригинал. Математической моделью объекта называют его описание математическими средствами, позволяющее выводить суждение о некоторых свойствах объекта при помощи формальных процедур. Использование математического языка предопределяет необходимость все операции и преобразования в математических моделях осуществлять над математическими объектами: числами, векторами, множествами, матрицами, функциями и т. д. В наиболее общем виде математическая модель объекта представляется уравнением F(X, Y)= const где X, Y - множества управляемых и неуправляемых параметров модели. 18 При изучении сложных объектов приходится учитывать большое число взаимосвязанных факторов, при этом реально доступная информация может иметь любую степень детерминированности, быть плохо формализуемой, поступать в произвольной форме и эволюционировать во времени. При математическом моделировании факторы отображаются в виде математических конструкций - таких, как параметры состояния объекта и среды, ограничения па область совместного и согласованного изменения этих параметров и т.д. Многие факторы при этом могут оказаться плохо формализуемыми, т.е. их отражение математическими конструкциями оказывается либо невозможным, либо просто плохим. Формализация предполагает построение некоторой структуры с целью логического описания и понимания формализуемого объекта. Поэтому плохо формализуемыми являются аморфные, слабо структурированные явления. Причинами плохой формализуемости может служить сложность объекта, недостаток знаний о нём, наличие интуитивно оцениваемых показателей и т.д. Часто построение модели начинают с "инвентаризации" всех имеющихся сведений об объекте моделирования, например, составления списка переменных и связывающих их ограничений, идентификации определяющих переменных, выбор вида модели и т.д. Любой объект может быть описан многими способами, исходные данные о нём известны приближённо. Поэтому модели объекта должны соответствовать уровню знаний о нём, возможностям использования и достижения целей моделирования. Описание объекта начинают с описания его состояния в данный момент времени. Это состояние называют фазовым состоянием, а численные значения параметров модели, соответствующие этому состоянию, - фазовыми координатами. Например, фазовое состояние материальной точки определяется её координатами и величинами скоростей. Изменение состояния объекта под действием внешних сил или внутренних процессов сопровождается изменением фазовых координат. Связь между изменением состояния объекта и действием 19 внешних сил проявляется в законах сохранения, которые служат основой любого модельного описания объекта. К числу таких законов относятся известные физические законы сохранения вещества, энергии, количества движения и т.д. и математические, связанные с геометрическими или алгебраическими отношениями и свойствами математических объектов. Рассмотрим несколько простых примеров математических моделей реальных объектов. Пример 1. Объект моделирования поверхность участка Земной поверхности. Этот объект можно описать разными моделями: изобразительной (фотоснимок из космоса), аналоговой моделью (карта, глобус). В то случае, если будут известны координаты точек поверхности, математической моделью будет уравнение поверхности AX+BY+CX±D=0. Рисунок 1.4 – Математическая модель участка Земной поверхности Пример 2. Пусть требуется найти расстояние между двумя материальными точками. Данные – координаты Х и У каждой точки. Применяя математические методы обработки можно вычислить расстояние между двумя точками. Вычисленное расстояние будет являться математической моделью объекта. 20 Рисунок 1.5. – Математическая модель объекта 6. Формы представления математических моделей По форме представления математические модели делят на аналитические, алгоритмические, графические и цифровые. Аналитическая форма Запись модели выполняется в виде явных, неявных, параметрических функций, интегральных и дифференциальных уравнений или других аналитических выражений, связывающих управляемые и неуправляемые переменные и цель моделирования. Математические модели, представленные в аналитической форме, можно преобразовывать в соответствии с правилами и законами математики, получать решение и делать выводы, основанные на аналитических преобразованиях. Пример 1. Пусть требуется найти площадь треугольника заданного тремя точками с координатами ( X1, Y1, Z1 ), ( X 2 , Y2 , Z 2 ), ( X 3 , Y3 , Z 3 ) ( X 3 , Y3 , Z 3 ) а ( X1, Y1, Z1) c b ( X 2 ,Y2 , Z 2 ) Рисунок 1.6 – Треугольник с известными длинами 21 По S формуле Герона вычислим площадь треугольника p ( p a ) ( p b) ( p c) , где a,b,c – стороны треугольника, p – полупериметр. Формула S p ( p a ) ( p b) ( p c) и есть искомая математическая модель для определения площади треугольника, полученная аналитическим образом и представленная в аналитической форме. Математические модели, представленные в аналитической форме, позволяют выявить наиболее общие закономерности, присущие объекту моделирования. Достоинством математических моделей в аналитической форме служит высокая степень общности и значимости результатов моделирования, а недостатком - высокая чувствительность к степени сложности объекта моделирования, так как сложные объекты аналитически представляются грубо и неточно. Недостатком - высокая чувствительность к степени сложности объекта моделирования, так как сложные объекты аналитически представляются грубо и неточно. Среди моделей, представленных в аналитической форме, выделяют модели в инвариантной форме. Инвариантность модели определяется относительно какой-либо совокупности преобразований. Модель инвариантна, если она не изменяется при заданной совокупности преобразований. Алгоритмическая форма Модель представляется в форме алгоритма, т.е. в виде точного предписания последовательности некоторой системы операций над исходными данными с целью получения результата. Для определения модели в алгоритмической форме необходимо указать: 1. Множество исходных данных, 2. Множество возможных результатов, 3. Множество промежуточных результатов (может отсутствовать), 4. Критерий начала выполнения алгоритма, 5. Критерий окончания выполнения алгоритма, 22 6. Правила выполнения алгоритма, 7. Правила извлечения результата Запись модели в алгоритмической форме удобна тем, что в ней указывается путь от исходных данных к искомому результату, состоящий из конечной последовательности действий. Цифровая форма Модель объекта в цифровой форме - это упорядоченный набор {множество Y} чисел из некоторого допустимого множества значений и алгоритм (правило), который множеству {Y} ставит в соответствие некоторую такую функцию F, что эта функция представляет исходный объект в соответствии с критериями качества моделирования. Цифровая форма характеризуется свойствами набора {Y} и сложностью алгоритма. Классическим примером представления математической модели некоторого объекта в цифровой форме служит описание свойств объекта, которые отображаются в модели, наборами {Yk} чисел и алгоритмами их интерпретации. Математические модели в цифровой форме получили широкое распространение в геоинформационных системах. Другим примером цифровой модели служит цифровая модель рельефа, состоящая из последовательности отметок точек, отделённых друг от друга конечными интервалами, и алгоритмов аппроксимации этой информации. Данное определение позволяет в качестве цифровой модели рассматривать и результаты вычислительного эксперимента на математической модели, которые по существу есть программная реализация модели в алгоритмической форме. Графическая форма Графическая форма модели - это её представление на некотором графическом языке, например, на языке эквивалентных схем, диаграмм, языке графов и т. д. 23 Эквивалентная схема по своим свойствам эквивалентна некоторому реальному устройству и наглядно отражает сущность процессов в нём. Ярким примером может служить блок - схема программы или блок - схема конструкции какого-либо объекта. Она представляет графическое изображение набора операционных элементов модели, характеризующихся определённой математической зависимостью между переменными на выходе и входе. Поэтому математическое описание эквивалентной схемы тождественно математическому описанию моделируемого объекта. Рисунок 1.7. – Пример эквивалентной схемы Диаграмма (рисунок, фигура) - это один из способов изображения зависимости между объектами. Наиболее распространены прямоугольные и круговые диаграммы. Прямоугольные диаграммы основаны на использовании прямоугольной системы координат, а круговые - полярной системы координат. На прямоугольных диаграммах отображаемой величине пропорциональна высота столбика, а на круговых - площадь кругового сектора. 24 Рисунок 1.8 – Пример диаграмм Язык графов широко используется при создании и описании различных математических моделей систем в экономике, биологии и т. д. При этом объект моделирования рассматривается как множество элементарных объектов, между которыми имеются некоторые зависимости. Элементарные объекты интерпретируются как точки, а связи (зависимости) между ними - как линии. Объект, состоящий из двух множеств (множества точек и множества линий), которые между собой находятся в некотором отношении, называют графом. Множество точек графа называют множеством вершин, а линии, соединяющие пары вершин, - множеством рёбер (направление связи между вершинами безразлично) или множеством дуг (направление соединения вершин имеет значение). Пара вершин может быть соединена любым количеством рёбер; вершина может быть соединена сама с собой (петля). Простейшими примерами графов могут служить структурные схемы, маршрутные схемы, и т.д. Графические формы удобны для восприятия человеком, но их использование требует правил однозначной интерпретации графических элементов и перевода их на язык других форм представления моделей. Однако эти проблемы 25 исчезают, если графическая форма используется для наглядного представления моделей, заданных в других формах. Рисунок 1.9. – Пример форм графов 7. Методы определения математических моделей В математических моделях осуществляется упрощенное, приближённое и абстрактное описание объектов моделирования. Это происходит в результате замены моделируемых объектов, присущих им свойств и отношений, математическими объектами (числа, векторы, множества, функции и т.д.) и присущими им свойствами и отношениями. Поэтому при определении математических моделей используют два метода, отражающих основные направления в математике - аксиоматический и конструктивный. При использовании аксиоматического метода осуществляется переход из предметной области к абстрактной модели с объектами произвольной природы, отношениями и операциями, которая определяется непротиворечивым набором правил (аксиом), вводящих операции, которыми можно пользоваться и устанавливающих общие Непротиворечивость системы отношения между их аксиом (совместимость) результатами. - это свойство, состоящее в том, что из такой системы аксиом нельзя вывести противоречия, т. е. двух предложений, одно из которых является отрицанием другого. Непротиворечивость необходима для того, чтобы модель можно было рассматривать, как описание некоторой содержательной ситуации, в рамках 26 которой недоказуемы никакие утверждения, противоречащие фактам этой ситуации. Система аксиом, являющаяся логическим фундаментом математической модели, не является раз и навсегда законченной и совершенной. Она формируется соответственно имеющемуся экспериментальному материалу и изменяется и совершенствуется при появлении новых данных. Выдающимся примером аксиоматического определения модели служит аксиоматика Евклида, которая привела к созданию евклидовой геометрии. Открытие неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского - Римана) связано с изменением одной из аксиом Евклида (пятого постулата или аксиомы параллельных прямых). Основной недостаток аксиоматического метода состоит в том, что он лишь формирует утверждение о существовании модели и не определяет пути реализации. Конструктивный метод связывает утверждение о существовании модели с возможностью её построения. В связи с этим конструктивное определение модели неоднозначно и зависит от способа построения модели. Построение конструктивной модели, удовлетворяющей некоторой системе аксиом, доказывает непротиворечивость аксиоматического определения. При конструктивном определении модели очень часто пользуются уже известными моделями. Например, алгебра матриц вводится на основе алгебры чисел, аналитическая геометрия использует понятия линейной алгебры и т. д. Аксиоматическое или конструктивное построение математической модели выполняется усилиями математиков. При этом не всегда известно является ли система аксиом полной и непротиворечивой, корректно ли поставлена задача и т. д. Несмотря на это многие прикладные модели начинают создавать не имея детального исследования их математических свойств, а основываясь лишь на здравом смысле и рассуждении, что раз в природе явление, которое мы моделируем, имеет место, то, по-видимому, математическая модель этого явления. 27 может быть создана и 8.Описание объектов моделирования. Задача корректной постановки цели моделирования Корректно проблемы и поставленная устранение цель предполагает проблемной ситуации. однозначное решение Описание объекта моделирования необходимо для реализации корректной постановки цели (или целей) моделирования. Оно связано не только со сложностью объекта или множественностью целей моделирования, но и с технологией самого моделирования, которая предполагает одновременное существование нескольких модельных описаний объекта с разной степенью подробности, детальности представляющих объект. Правильное и полное описание объекта моделирования необходимо для успешного достижения желаемой цели. Описание объекта моделирование представлено тремя этапами. 1. Необходимо целостное, системное описание объекта, увязывающее всё многообразие особенностей будущей модели с корректно поставленной целью моделирования и позволяющее выполнить её декомпозицию, т.е. разделение на отдельные, относительно независимые блоки. При таком описании происходит абстрагирование от физических свойств объекта, определяется его структура и основные функции, безусловно, необходимые для достижения целей моделирования, выявляются зависимости свойств объекта от влияния внешней среды и внутренних процессов, устанавливаются правила непротиворечивого объединения блоков модели, предусматриваются альтернативные варианты и конструируется функция эффективности. 2. После этого переходят к более подробному, поблочному описанию объекта. Для каждого функциональные блока свойства, в свою очередь намечаются определяется возможные структура, допустимые альтернативные варианты средств и способов взаимодействия со смежными блоками, определяются критерии эффективности для выбора из множества альтернатив и определяются требования к отдельным структурным элементам. 28 3. На последнем этапе выполняется подробное описание элементов объекта, их свойств, функций, взаимосвязей с другими элементами, условий функционирования и тому подобное. При последовательном переходе от одного уровня описания объекта к другому углубляется знание объекта моделирования, совершенствуется качество и эффективность моделирования. Выполнение описания объекта на разных уровнях позволяет вести построение модели объекта параллельно по отдельным блокам и облегчает процедуру синтеза модели объекта в целом, оценки её качества и соответствия целям моделирования. Пример. Пусть цель моделирования - определение координат пункта в трёхмерном Евклидовом пространстве по результатам геодезических измерений. Объект моделирования - способ достижения цели. Составим описание этого объекта моделирования. Для достижения цели требуется знать координаты некоторого количества М исходных пунктов, иметь результаты измерений, необходимых для достижения цели и определить алгоритм достижения цели. Следовательно, в объекте моделирования можно выделить два блока: исходных данных, алгоритм достижения цели по исходным данным. 1. Этап. Алгоритм достижения цели определяется множеством исходных данных и этим устанавливается связь между блоками и альтернативные варианты достижения цели. Полагая исходные данные и результаты измерений идеальными, избавляемся от необходимости учёта влияния возмущающих факторов, их влияние будет приниматься во внимание при выполнении эксперимента на модели. Эффективность достижения цели может быть оценена или точностью определения координат, или материальными и временными затратами, или и тем и другим вместе взятым. 2. Этап. 29 На втором этапе сначала устанавливаем: сколько имеется исходных пунктов с известными координатами, какими результатами измерений мы располагаем, достаточно ли этих данных для достижения цели. В зависимости от этого определяются альтернативные варианты алгоритмов достижения цели и устанавливаются критерии эффективности достижения цели для каждого варианта. Будем считать, что в нашем распоряжении имеются идеальные результаты измерения расстояний от исходных пунктов до определяемого. Можно доказать, что в этом случае достаточно иметь четыре исходных пункта, не лежащих в одной плоскости и, следовательно, столько же измеренных расстояний до определяемого пункта. 3. Этап. Третий этап описания состоит в записи алгоритма выбранного варианта достижения цели и оценки эффективности решения. 9. Адекватная оценка ресурсной обеспеченности для реализации цели. Решение задач в условиях информационной неопределенности Ресурсы – средства, необходимые для достижения цели моделирования. В качестве ресурсов обычно рассматривают вещество, энергию, информацию, пространство, время, кадры. Ресурсы необходимые для реализации цели – материальные, пространственно – временные, кадровые и организационные средства и способы обеспечения реализуемости цели. Материальные ресурсы – это вещество энергия и информация, пространственно – временные ресурсы – это пространство и время, необходимые для реализации цели, кадровые и организационные средства – это специалисты, фирмы и организации, которые способны обеспечить реализацию цели. При анализе ресурсов необходимо учитывать разного рода ограничения на возможность использования ресурсов. Эти ограничения могут быть обусловлены как внешней средой, так и 30 субъективными причинами. Основное ограничение, которое накладывается внешней средой, состоит в невозможности действий, противоречащих законам природы, общества и намеченным целям. Субъективные ограничения при необходимости может изменять лицо принимающее решение (ЛПР). Распределение ресурсов – задача, которая возникает при необходимости выполнить несколько операций, причѐм возможны различные способы их выполнения, но не хватает ресурсов для выполнения каждой из этих операций оптимальным образом. Решение состоит в нахождении оптимального варианта выполнения операций с учѐтом ограничения ресурсов. Эти задачи бывают двух типов. 1) Задан объѐм работ и ограниченные ресурсы, т.е. фиксированы, например, производственные мощности и количество материалов для выполнения работ. Требуется при заданных ограничениях выполнить все работы оптимальным образом. 2) Заданы материалы и/или оборудование. Требуется определить, какая работа даѐт максимальный доход при использовании имеющегося оборудования и/или материалов. Реализация цели моделирования может сопровождаться не только ограничением ресурсов, но и неопределенностью знаний или действий. Задачи принятия решений в условиях неопределѐнности возникают при необходимости действовать в не полностью определѐнной ситуации в самых разных областях человеческой деятельности: технике, экономике, биологии, экологии и т. д. Формулируются они, как поиск наиболее полезного решения на заранее заданном множестве допустимых решений. Основная сложность этой задачи в том, что последствия принимаемого решения зависят от неизвестной ситуации. Величину опасности (неприемлемости) последствий измеряют в условных единицах – потерях, которые может понести ЛПР. При этом основной исходной информацией для принятия решения является функция потерь – функция двух аргументов: выбираемой стратегии и состояния внешней среды (ситуации). Основной проблемой при выборе решения в условиях неопределѐнности является преобразование функции потерь в другую функцию, зависящую только от одного аргумента – принимаемого решения. 31 Правила такого преобразования называют критериями выбора решения в условиях неопределѐнности, оно полностью определяется ЛПР. В результате потери, сопутствующие каждой стратегии, как бы обобщаются относительно некоторого гипотетического состояния среды, и выбор наиболее полезной стратегии осуществляется на основании потерь, соответствующих этому гипотетическому состоянию среды. Применимость различных критериев выбора зависит от типа неопределѐнности ситуации. В настоящее время наиболее изучены два типа неопределѐнностей: неопределѐнность состояния внешней среды (неопределѐнность природы) и неопределѐнность целенаправленного противодействия. Неопределенность состояния внешней среды (природы) имеет две версии реализации: 1) известно только множество Y состояний внешней среды, из которого оно может быть выбрано; 2) известно распределение вероятности на множестве возможных состояний внешней среды. Первую из этих задач называют задачей принятия решения в условиях неопределѐнности, вторую – задачей принятия решений в условиях риска, а задачи принятия решения в условиях целенаправленного противодействия – играми. Для преодоления возникающей проблемы необходимо сформулировать гипотезы о состоянии среды, позволяющие получить для каждой альтернативы числовую оценку полезности решения (потери) и по этой информации осуществить выбор. В простейшем случае множество X альтернатив и множество Y состояний среды - конечные множества и целевую функцию можно задать таблицей (матрицей Q), строки которой соответствуют какой либо альтернативе, а столбцы – состоянию среды. Тогда элемент qi,j матрицы Q – оценка эффективности альтернативы с номером i, соответствующая состоянию среды с номером j. Матрицу Q называют платёжной матрицей или матрицей потерь. Для принятия решения необходимо для каждой стратегии ввести оценку, соответствующую какому либо критерию выбора. Чаще всего используют один из следующих четырёх критериев. 32 Критерий Лапласа основан на принципе равновозможности вариантов состояния среды и применяется, когда невозможно отдать предпочтение ни одному из них. Оценка альтернативы с номером i принимается равной среднему арифметическому элементов строки платёжной матрицы с этим же номером 1m 1 qi , j . mj 0 L(i ) (1.1) Например, пусть дана матрица 0 2 5 3 7 1 6 3 1 1 9 1 U 0 5 5 1 4 0 7 4 8 8 5 4 Критерий Лапласа для этой матрицы равен 3 L 3.5 max( L) 2.5 6 6 Любые две альтернативы сравнимы между собой по критерию Лапласа: лучшая альтернатива имеет большую (меньшую) оценку, а оптимальная максимальную (минимальную) оценку. Недостатки этого критерия связаны с эффектом сглаживания отдельных оценок при вычислении критерия. Критерий Вальда основан на принципе минимакса (максимина). Минимакс – значение функции f(x,y), которое она принимает, когда сначала выбирается максимум по y из множества Y, а затем – минимум по x из множества X. Оценка альтернативы с номером i в соответствии с критерием Вальда выполняется по одной из формул 33 min max qi, j , W (i ) i j max min qi, j i . (1.2) j Выбор одной из этих формул зависит от цели. Первая формула позволяет выбрать стратегию с наименьшими максимальными потерями, а вторая - с наибольшими минимальными потерями. Например, для матрицы U 4 8 6 2 7 4 U 0 5 5 7 6 7 1 3 2 1 7 5 2 0 7 2 5 1 найдём 8 MaxUi 2 7 MinmaxU 7 7 MinUi 7 1 MaxminU 2 Содержательный смысл критерия Вальда состоит в том, что при его использовании выбранная стратегия обеспечивает или минимум максимально возможных потерь (minmax), или максимум минимально возможных доходов (maxmin). Критерий Гурвица основан на задании для любой альтернативы с номером строки i субъективной вероятности наибольших (А) и (1- ) наименьших (а) потерь, вычислении по этим данным значения H(i) = Аi + (1- )аi (1.3) и выборе альтернативы с экстремальным значением H. Например, при = 0.5 7 7 9 5 2 7 U 3 6 0 2 5 7 maxH 4 6 4 6 5 6 5 1 4 4 6 1 34 5.5 Критерий Гурвица учитывает только наилучший и наихудший исходы. Это обстоятельство относят к недостаткам данного критерия, как и субъективность определения значения . Критерий Сэвиджа основан на вычислении максимальной утерянной выгоды при различных вариантах действий, и выборе того варианта действий, который минимизирует максимальную утерянную выгоду. Матрица U преобразуется в матрицу R утерянной выгоды по правилу ri , j max U i , j U i , j j (1.4) Например, 7 7 9 5 2 7 U 2 2 0 4 7 2 3 6 0 2 5 7 r 4 6 4 6 5 6 5 1 4 4 6 1 Оптимальной 4 1 7 5 2 0 2 0 2 0 1 0 7 maxr 1 5 2 2 0 5 по критерию Сэвиджа 7 2 minmaxr 2 5 считается альтернатива минимизирующая утерянную выгоду S (i ) min (max qi , j qi , j ) . i (1.5) j Рассмотрим пример. Пусть требуется из четырёх вариантов (A1, A2, A3, A4) выбрать проект технологии. Последствия, связанные с выбором, зависят от некоторого множества неопределённых факторов, которые определяют состояние среды. Пусть определено четыре варианта (B1 , B2, B3, B4) состояний среды. Эффективность выбора, какого либо варианта при различных состояниях среды определяется платёжной матрицей Таблица 1.1 – Платежная матрица A1 A2 A3 A4 B1 7 5 1 8 B2 5 2 3 5 35 B3 1 8 4 1 B4 10 4 12 10 Какой вариант является оптимальным? Рассмотрим решение этой задачи при помощи рассмотренных критериев. Таблица 1.2 – Оптимальные варианты решения X1 X2 X3 X4 L(i) 23 / 4 19 /4 20 / 4 24 / 4 W(i) 1 2 1 1 H (i), 11 / 2 10 / 2 13 / 2 11 / 2 S(i) 7 8 7 7 =1/2 Оптимальные по каждому критерию варианты в таблице выделены жирным шрифтом. Для разных критериев получаем разные оптимальные решения. Это обусловлено тем, что критерии основываются на различных гипотезах о состоянии среды. Использование той или иной гипотезы снимает неопределённость, но гипотеза это лишь предположение, которое не обязательно совпадает с истинным состоянием среды. Поэтому, если позволяют обстоятельства, рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных состояний среды и составить представление об эффективности решений в этом диапазоне. Решение оптимальное для заданного диапазона состояний среды называется локально оптимальным. Совокупность локально оптимальных решений для всего диапазона состояний среды и даёт представление об эффективности решения и её зависимости от состояния среды. Совершенно очевидно, что неопределённость при этом сохраняется. Поэтому неразумно предъявлять к точности решения слишком высокие требования и лучше вместо строго оптимального решения выделить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже оптимального, и в пределах этой области произвести окончательный выбор. 10.Обобщенная схема основных этапов математического моделирования Любая математическая модель может возникнуть тремя путями в результате: 36 1. Изучения и обобщения экспериментального материала; 2. Изучения частных моделей и их обобщения методом индукции; 3. Применения процесса дедукции, в результате которого модель получается как частный случай из некоторой более общей модели. Исходным пунктом служит некоторая эмпирическая ситуация, весьма расплывчатая и сложная, так что точное описание ситуации чаще всего невозможно. Процедура преобразования такой ситуации к виду, когда для её изучения можно применить математические методы, и есть процедура построения математической модели (рис.1.10) Рисунок 1.10 – Общая схема построения математической модели Первый этап 1. Построение модели начинается с изучения и анализа объекта: выявления его основных, существенных особенностей, необходимых для достижения целей моделирования; перечисления всех элементов, оказывающих влияние на конечный результат. Изучая каждый элемент, устанавливают его зависимость от выбора вариантов решения. Элементы, для которых такая зависимость отсутствует или пренебрегаемо мала, исключают из рассмотрения. Для каждого из оставшихся элементов выясняют является ли он постоянным или переменным. Каждому элементу присваивают символическое имя. 37 2. Связи между элементами описывают разнообразными аналитическими выражениями, графиками, уравнениями и т.д. 3. После этого анализируются цели исследования. Они могут быть качественными и количественными. Качественные цели чаще всего носят психологический или социальный характер, их иногда называют неосязаемыми, так как очень трудно измерить степень достижения этих целей. Все цели должны быть непротиворечивыми и независимыми. Противоречивые цели необходимо исключить, а зависимые объединить. Объект схематизируется, идеализируется, все его несущественные свойства игнорируются. Результатом этого этапа может быть изобразительная или аналоговая модель. Второй этап – постановка задачи. Процесс постановки задачи при моделировании идёт непрерывно, постановка задачи меняется и уточняется. При этом: выясняется возможность постановки задачи; оценивается ориентировочная стоимость решения; определяются условия моделирования и предусматриваются меры для их выполнения; уточняются и формулируются задачи, решение которых необходимо для достижения целей моделирования; намечаются пути (стратегии) достижения целей и каждая стратегия анализируется. В результате выявляются те цели и стратегии, которые не могут быть использованы из-за ограниченности ресурсов (материальных и временных), нарушений обязательных ограничений (например, экологических) и т.д. После завершения постановки задачи необходимо знать: 1. цели моделирования, 2. условия необходимые для реализации модели, 38 3. альтернативные варианты моделирования и способы их сопоставления между собой, 4. "узкие места" моделирования и возможные способы их преодоления, 5. необходимые и имеющиеся ресурсы, 6. способ оценки эффективности решения. Постановка задачи завершается определением критериев эффективности, которые должны позволять выбирать наиболее эффективные стратегии достижения целей. Критерии эффективности, как и цели, бывают качественные и количественные. Мера эффективности может изменяться во времени и поэтому необходимо установить способ отображения изменений эффективности каждой стратегии относительно каждой цели, т.е. построить функцию эффективности (1.6), которую желательно выразить, через переменные, определяющие объект моделирования. E = F(X,Y), (1.6) где X,Y множества управляемых и не управляемых параметров. И тем самым свести задачу к определению таких управляемых переменных, которые обеспечивают максимальную эффективность. Третий этап - создание математической модели: формулирование законов, связывающих основные объекты модели и описывающих динамику её функционирования, запись на математическом языке всех соотношений и зависимостей, присущих идеализированному объекту. Полученная модель должна быть непротиворечивой и корректной. Задача называется корректной, если решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных, т.е. решение устойчиво. При создании математической модели используется два подхода. 39 В первом на некоторый момент t определяется состояние x(t) моделируемого объекта и оператор Т, представляющий процедуру перехода объекта в состояние x(t + Δt) (рис.1.11) Состояние x(t) рассматривается как точка фазового пространства Ф, в котором изменение состояния объекта отождествляется с траекторией движения этой точки по фазовой траектории. Фазовое пространство Ф и оператор Т определяют математическую модель объекта. Исследование объекта на математической модели при таком подходе сводится к изучению способов деления фазового пространства на траектории и установлению зависимости физических параметров объекта от структуры разбиения фазового пространства на траектории. Рисунок 1.11 – Создание математической модели по принципу Δt Другой подход основан на понятии "чёрного ящика", имеющего "входы" и "выходы", связанные между собой оператором Т. При этом не требуется знать внутреннюю структуру моделируемого объекта, математическая модель определяется пространством входов и выходов и оператором Т однозначного преобразования "входов" в "выходы" (рис.1.12). 40 Рисунок 1.12 – Создание математической модели по «особых» состояний Четвёртый этап – выполнение экспериментов на модели, получение и анализ результатов моделирования. Основной задачей анализа результатов является оценка адекватности модели относительно целей моделирования. При этом возникает две ситуации: В первом случае считается, что модель полностью определена, все её параметры известны. Тогда по уклонениям результатов моделирования от теоретических следствий судят о качестве модели, её адекватности объекту. Если уклонения выходят за допустимые границы, то модель бракуется. Во втором случае, некоторые параметры, характеристики модели остаются не определёнными. Их значения находят в процессе моделирования так, чтобы результаты моделирования с необходимой точностью согласовывались с результатами наблюдений изучаемых объектов. Если ни при каком выборе значений характеристики этим требованиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Проблема организации вычислительного процесса связана с потерей точности из-за ошибок выполнения арифметических операций на компьютере и приближённости числовых значений переменных и констант. Поэтому прежде, 41 чем выполнять вычисления, необходимо предпринять возможные меры по устранению или оценке и учёту влияния этих факторов. Пятый этап – анализ и модернизация модели в связи с полученными результатами моделирования, появлением новой информации об изучаемом объекте или изменением целей моделирования. Метод математического моделирования сводит исследование объектов и явлений к математическим задачам. Он позволяет проектировать сложные технические средства, работающие в оптимальных режимах, находит применение в экономике, системах автоматизированного проектирования и управления, определения состояния объектов и эволюции состояния. Он позволяет заменить натурный эксперимент - математическим. 42 РАЗДЕЛ 2. ПОНЯТИЕ ОБ ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ План 1. Понятие имитационной модели. Основные этапы имитационного моделирования на компьютере 2. Требования, предъявляемые к имитационным моделям. 1. Понятие имитационной модели. Основные этапы имитационного моделирования на компьютере Возникновение имитационного моделирования связано с необходимостью изучения сложных объектов и систем, недоступных для натурного или лабораторного эксперимента. Первоначально имитационные модели использовались для имитации физических или информационных процессов с целью установления зависимости фазовых переменных от времени. Примерами таких имитационных моделей в геодезии могут служить модели, устанавливающие зависимость геодезических измерений от внешних условий или модели, предназначенные для изучения движений и деформаций инженерных объектов по геодезическим данным. Под имитацией следует понимать численный метод проведения на компьютере экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение системы для определения интересующих нас функциональных характеристик. При имитационном моделировании на компьютере воспроизводится моделируемая система так, что имеется возможность, управляя ходом процесса имитации и обозревая полученные результаты, делать вывод о её свойствах и качестве поведения. При имитационном моделировании на компьютере выделяют следующие основные этапы: 1. Формулировка проблемы; 2. Построение математической модели системы; 43 3. Составление и отладка программы; 4. Планирование имитационных экспериментов; 5. Проведение экспериментов и обработка результатов. Моделирование имитационное - это моделирование, в котором реализуется модель, производящая процесс функционирования системы во времени, а также имитируются элементарные явления, составляющие процесс. Имитационные методы реализации математических моделей – это численные методы проведения на компьютере вычислительных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение системы. При имитационном моделировании, в отличие от численных методов, дискретизируют не математические соотношения, а саму систему. Разделяя систему на части, воспроизводят на компьютере с помощью моделирующего алгоритма все процессы функционирования множества элементов и подсистем так, чтобы иметь возможность, управляя ходом процесса имитации и обозревая полученные результаты, делать вывод о свойствах системы и качестве поведения. Меняя параметры модели можно изучать, как при этом меняются свойства моделируемого объекта, т.е. воспроизводить возможную реальность. Наиболее просто имитация осуществляется на основании принципа t. Для имитации динамики систем, изменение состояния которых происходит в отдельные моменты времени, используют принцип особых состояний. При решении задачи программной имитации составляется содержательное описание процесса функционирования, формализованное в виде математической модели. При имитационном моделировании построенная математическая модель преобразуется в моделирующий алгоритм, в котором сохраняется логическая структура, последовательность протекания процесса во времени, характер и состав информации о компьютере сводится состояниях процесса. Особенность имитации на к определению 44 правила развёртывания квазипараллельных процессов функционирования множества элементов в системе в последовательный моделирующий алгоритм. Принцип Δt Прямой путь решения данной задачи следующий. Интервал времени [0;T], в течение которого рассматривается работа системы, разбивается на интервалы длиной Δt (принцип Δt). В пределах каждого интервала последовательно вычисляются приращения всех процессов в модели, и производится, если это необходимо, изменение состояния отдельных элементов модели. При достаточно малых Δt получают хорошее приближение имитируемых процессов к процессам в реальной системе с параллельным выполнением операций. Однако, точность моделирования при этом достигается ценой больших затрат времени. Принцип Δt является наиболее универсальным принципом построения моделирующих алгоритмов, хотя и наименее экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов. Чаще всего он применяется для моделирования непрерывных динамических систем. Однако данный способ мало пригоден для имитации систем, динамика которых состоит в переходе из состояния в состояние, причём в промежутках между переходами состояние системы остаётся неизменным. Каждый такой переход связан с наступлением некоторого события в системе, например, приход входного или управляющего дискретного сигнала, отказ элемента, достижение некоторой характеристикой системы заданного порогового значения и другие. Для такого класса систем наиболее часто используется принцип особых состояний. Принцип особых состояний При построении алгоритма имитации в соответствии с данным принципом функционирование системы, формализованное в математической модели, рассматривается как совокупность параллельно протекающих процессов, 45 причём каждый процесс есть некоторая последовательность событий, с каждым процессом связано изменение состояния системы. Событие, возникающее в системе, определяется как особое состояние. Процессы в общем случае не являются независимыми, а взаимодействуют между собой. Анализ показывает, что для развёртывания совокупности параллельно протекающих процессов в последовательный необходимо упорядочить во времени моменты наступления событий каждого из процессов. Далее, сканируя по временной упорядоченной последовательности и имитируя в каждый наступивший момент особого состояния все необходимые действия, заданные в содержательном описании процесса функционирования системы, как реакции системы на событие, получим имитационную модель алгоритма функционирования системы. В этом и состоит содержание принципа особых состояний. С целью формализации принципа особых состояний определим для каждого выделенного процесса момент Ti наступления очередного события i-го процесса и, если таких процессов будет n, то выбор наиболее раннего момента наступления особого состояния определится в соответствии с операцией n Tr min Ti , где r - номер процесса, в котором наступило ближайшее событие. i Моменты Тi называются моментами системного времени, в отличие от реального времени, в котором работает моделирующий компьютер. Развёртывание квазипараллельных процессов функционирования системы в последовательный в соответствии с принципом особых состояний называется диспетчеризацией по принципу узловых точек. Чтобы сократить количество вариантов вычислений применяют методы планирования эксперимента. 46 2.Требования, предъявляемые к имитационным моделям. К имитационным моделям, как и к любому инструменту, используемому в технологическом процессе, предъявляются определенные требования. К математическим имитационным моделям как инструменту исследования процессов таможенного контроля предъявляются следующие требования. 1. Модель должна удовлетворять требованиям полноты, адекватности, обеспечивать возможность включения и варьирования достаточно широким спектром параметров и изменений. Это необходимо для получения моделей, удовлетворяющих требованиям точности воспроизведения исследуемого объекта. Полнота модели должна рассматриваться с ряда точек зрения. Прежде всего, функциональная полнота: модель должна воспроизводить те функции, которые присущи исследуемому объекту. Кроме того, модель должна быть достаточно полной для обеспечения рассмотрения значительно большого числа вариантов и требуемой точности результатов моделирования и в целом результатов исследования. 2. Модель должна быть достаточно абстрактной, чтобы допускать варьирование большим числом переменных. При этом в стремлении к абстрактности важно, чтобы не был утерян физический смысл исследуемого объекта и возможность оценки полученных результатов. 3. Модель должна удовлетворять требованиям и условиям, ограничивающим время решения задачи. При исследовании в реальном масштабе времени допустимое время решения определяется ритмом функционирования объекта (реализации операций таможенного контроля). Для достижения опережения или синхронности с процессами внутри объекта должна быть решена упреждающая задача создания средств моделирования, учитывающих специфику исследуемого объекта (процессов таможенного контроля) и обеспечивающих автоматизированное построение и исследование моделей. Это очень важно с точки зрения экономии временных и трудовых ресурсов. 47 4. Модель должна быть реализуема. Она должна ориентироваться на реализацию с помощью существующих компьютерных средств и современных информационных технологий, т. е. должна быть физически осуществима на данном уровне развития теории, техники и технологии с учетом условий и ограничений конкретной организации - заказчика модели (или в целом системы моделирования) и потребителя результатов моделирования. 5. Модель должна обеспечивать получение полезной информации об объекте в плане поставленной задачи исследования. В связи с тем, что в большинстве случаев математические модели строятся с целью оптимизации параметров и моделируемых процессов, это требование следует понимать как требование оптимизации модели. Информация, полученная с помощью модели, должна обеспечивать диагностику проблемной ситуации, расчет значений параметров и показателей деятельности таможенных органов, позволять определять пути достижения их экстремальных значений. 6. Модель по возможности должна строиться с использованием общепринятой терминологии. 7. Модель должна предусматривать возможность проверки истинности соответствия ее оригиналу, т. е. обеспечивать проверку адекватности или верификацию. 8. Модель должна обладать свойством робастности, т. е. устойчивости по отношению к погрешностям и ошибкам в исходных данных. В противном случае корректное использование результатов моделирования возможно при относительно небольших изменениях исходных данных. Это требование особенно важно при принятии решений в условиях относительно низкой точности исходных данных, а именно, высокой степени неопределенности проблемных ситуаций внутри объекта, неопределенности условий развития внешней среды, условий прогнозирования параметров системы таможенного контроля. 48 РАЗДЕЛ 3. ПОНЯТИЕ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ. ПОСТРОЕНИЕ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ И БЛОЧНОЙ МОДЕЛЕЙ План 1. Понятие системы. 2. Принципы системного анализа: агрегирование и декомпозиция. Декомпозиция и агрегирование систем при реализации системноцелевого подхода. 3. Структурная схема системы. Модель «белого» и «черного» ящика. 4. Признаки существования системы. 5. Определение содержательной части модели. Понятие формализации. 6. Понятие концептуальной модели. Переход от описания к блочной модели. 1.Понятие системы Основополагающим понятием системного анализа является система. Определений системы существует множество. Это объясняется тем, что определение - это языковая модель, и, следовательно, различия целей и требований к модели приводят к разным видам изложения одного и того же понятия. Понятие “система” в переводе с греческого языка означает “целое, составленное из частей”. В философских школах Древней Греции считалось, что часть всегда проще целого, что, изучив каждую из частей можно узнать свойства целого. Однако в настоящее время выяснилось, что такое понимание системы недостаточно, целое обладает свойствами, которых нет ни у одной из частей. Система – это совокупность частей (элементов и подсистем), обособленных от среды и объединённых общими ресурсами, связями, функциональной средой и целью существования и обладающая свойствами, отсутствующими у отдельных частей. Это определение позволяет все объекты и явления естественного или искусственного происхождения рассматривать как 49 системы. Солнечная система, река, лес, самолёт, автомобиль, завод, торговое предприятие – всё это примеры естественных и искусственных систем. Из данного определения следует, что всякая система предназначена для достижения некоторой цели. Что же такое «цель системы?». Для ответа на поставленный вопрос заметим, что все системы возникают вследствие потребности разрешения противоречий между необходимостью и возможностью их существования. Такое противоречие называют проблемой или проблемной ситуацией. Таким образом, цель системы – результат, который разрешает проблему (противоречие). Она может быть субъективной или объективной. Субъективные цели определяет человек, а объективные – природа [1]. Ни одна система не может существовать без цели. Нет цели – нет системы. Объективная цель – будущее реальное состояние системы и окружающей среды, в которое они приходят в результате реализации объективных закономерностей. Например, падение материальных тел на Землю, износ технического оборудования в процессе эксплуатации, возникновение и развитие опасных процессов в техносфере. Субъективная цель – образ желаемого будущего состояния системы и окружающей среды. Например, получение высшего образования, вертикальный взлёт и посадка самолёта и многие другие цели являются субъективными. Они могут быть достижимыми или недостижимыми. Недостижимыми целями являются те, которые противоречат законам природы. Например, создание вечного двигателя, материальной точки и т. д. - недостижимые субъективные цели. 50 2. Принципы системного анализа: агрегирование и декомпозиция. Декомпозиция и агрегирование систем при реализации системноцелевого подхода Агрегирование и декомпозиция - основные процедуры системно-целевого подхода, в них содержатся операции разделения целого на части и объединения частей в целое. Эти операции называют декомпозицией и агрегированием соответственно. Операция декомпозиции приводит к упрощению решения задачи о сложной системе путём разложения её на какое-то число меньших (простых) частей. Чтобы обеспечить окончание процедуры, достаточно для простых объектов прекратить процесс декомпозиции и решать задачу непосредственно для них. Операция агрегирования из частей, полученных после декомпозиции, конструирует агрегат. Его можно представить в виде модели чёрного ящика, имеющее конечное число входов и выходов и некоторое множество внутренних состояний. На входы из окружающей среды поступают сигналы. В зависимости от значений сигналов и от состояния, в котором находится агрегат, он переходит в новое состояние и выдаёт сигналы на выходы. При изменении входных сигналов изменяются состояния агрегата и выходные сигналы, агрегат функционирует во времени Операции декомпозиции и агрегирования – неформальные операции. Декомпозиция системы При возрастании сложности систем существенно затрудняется их исследование. Основой системно-целевого подхода является расчленение сложной проблемы на разрешимые задачи и рассмотрение их во взаимодействии. Процедура декомпозиции состоит в определении последовательности формальных и неформальных действий, позволяющих представить исходный объект в виде совокупности более простых частей, которые, взаимодействуя, обеспечивают достижение цели системы в целом. 51 Процесс декомпозиции имеет циклический характер – он может повторно применяться к ранее полученным результатам декомпозиции. Процесс декомпозиции прекращается, когда дальнейшая детализация или невозможна или не требуется. Основное требование, предъявляемое к результатам декомпозиции, состоит в представлении системы исчерпывающе подробно и с минимальным по возможности числом элементов и подсистем, обеспечивающим достижение цели. Всё, что не требуется для достижения цели и не нарушает диалектического единства, может быть исключено из рассмотрения. В результате этого описание исходного объекта упрощается и достижение цели облегчается. Результаты декомпозиции удобно представлять в виде графа подобно тому, как это изложено при структурном (морфологическом) описании систем. Существуют различные варианты выполнения процедуры декомпозиции, основные из которых приведены на рисунке 3.1 Имитационн ые методы Эвристически е методы Аналитические методы (графы) Формальные процедуры декомпозици и Основные варианты декомпозиции систем Рисунок 3.1 – Основные варианты декомпозиции Формальная декомпозиция выполняется на основании принятой формальной модели системы. При этом рассматриваемый объект сравнивается с принятой формальной моделью и разделяется на столько частей, сколько их содержится в принятой модели. Например, если в качестве формальной модели выбрана модель типа «чёрный ящик», то результатом декомпозиции будет множество входов, множество выходов. Результаты декомпозиции в этом случае можно представить вектором входов и вектором выходов Вопрос о 52 конкретном содержании частей системы при этом остаётся открытым до тех пор, пока содержательно не определена цель исследования. В качестве примера формальной дкеомпозиции рассмотрим декомпозицию сложного события S, на основании формальной модели состава и структуры. Возможный вариант декомпозиции показан на рисунок 3.2. Рисунок 3.2 – Диаграмма декомпозиции Первый цикл декомпозиции представляется выявлением трёх предпосылок S1, S2, S3 первого уровня таких, что для появления события S необходимо появление каждой из них. Этот факт на рисунке показан в кружке логическим знаком конъюнкции. На втором цикле декомпозиции каждая из предпосылок первого уровня в свою очередь рассматривается состоящей из предпосылок второго уровня. Предпосылка S1 составляется из событий S4 и S5, предпосылка S2 – из событий S6, S7, S8, предпосылка S3 – из событий S9, S10. Варианты взаимодействия предпосылок второго уровня показаны в кружках логическими операциями дизъюнкции и конъюнкции. В третьем цикле декомпозиции события – предпосылки S4, S5, S7, S8, S9 рассматриваются как неделимые, а события – предпосылки S6, S10 оказалось возможным разделить на предпосылки третьего уровня S11, S12, S13, S14. Продолжать декомпозицию оказалось невозможным– все предпосылки нижнего уровня оказались элементарными, их деление нецелесообразно. В 53 результате декомпозиции исходное событие S разделено на множество взаимосвязанных элементарных частей. Чтобы придать результатам декомпозиции содержательный смысл, необходимо содержательно определить исходное событие S. Например, исходное событие S – металлоконструкций, безопасность производства в цехе №5 завода или S – экономическая эффективность выпуска пылесосов на машиностроительном предприятии. Результаты декомпозиции будут различными в зависимости от конкретного содержания исходного события. Аналитическая декомпозиция выполняется, когда имеется возможность конкретизировать понятие простоты, элементарности результата декомпозиции. Такая возможность часто возникает в математических задачах и при изучении технических систем. В математике аналитическая декомпозиция осуществляется разделением решения сложной задачи на совокупность решений простых задач и конструировании из них решения сложной задачи, а в технике – разделением системы на части, выполняющие простые элементарные операции, объединение которых в соответствии с принятой технологией обеспечивает достижение цели. Примером аналитической декомпозиции может служить представление функций рядами, в которых удерживается количество элементов – членов ряда - обеспечивающее достижение необходимой точности или методы фильтрации ошибок экспериментальных исследований. В технике примером может служить конвейерная организация производства или блочноиерархический подход к изучению и проектированию сложных систем. Пример. Изменение пространственно-временного состояния объекта определятся функцией (фазовой траекторией) по заданным дискретно временным рядам эмпирических данных. Для прогнозирования будущего состояния объекта обычно используются различные методы прогнозирования, основой которых является подбор такой непрерывной математической функции, заданной уравнением, которая бы с требуемой точностью описывала реальный процесс. 54 Одним из приемлемых методов прогнозирования является метод экспоненциального сглаживания (рисунок 3.3-А): St Здесь yt 1 St 1 (3.1) 0,1 - постоянный коэффициент сглаживания, St - сглаженное значение y , отнесённое к моменту t , yt состояние объекта в момент t . Начальное значение сглаживания S0 при t=1, может быть задано как среднее из эмпирических данных рассматриваемой функции. Выбор коэффициента сглаживания зависит от степени «доверия» эмпирическим данным. Отсутствие случайных ошибок данных прогнозируемого процесса предполагает выбор значения коэффициента α близким к единице. И, напротив, выбор значения α близким к нулю, осуществляется, когда прогнозируемая функция имеет стохастический характер. Рисунок 3.3-А – Прогнозирование состояния объекта методом экспоненциального сглаживания 55 Функция (3.1) позволяет получить прогнозируемое состояние объекта в дискретный момент времени. Описание наблюдаемого процесса для каждого значения коэффициента α определяет результат декомпозиции системы. Для сравнения приведём результаты аппроксимации по методу наименьших квадратов многочленами третьей, пятой и седьмой степени (рисунок 3.3-Б) 5.556 10 13 (y A3 C3) (y A5 C5) (y A7 C 7) 1.106 10 7 4.365 10 10 (y A3 C3) 2 6.938 (y A5 C 5) 2 4.674 (y A7 C 7) 2 2.968 6 5 yi y3 y5 4 y7 3 2 2 4 6 8 10 xi x 13 2 y(iy- Исходный A3 C3) 5.556(наблюдаемый) 10 ( y A3процесс C3) 6.938 10 2 траектории y3 -( yМодель A5 C5) фазовой 4.365 10 ( y A5при C5) α=0,3 4.674 7 2 A7 C7) 1.106 10 ( y A7 C7) 2.968 фазовой траектории при α=0,5 y5 -( yМодель y7 - Модель фазовой траектории при α=0,7 Рисунок 3.3-Б. – Прогнозирование состояния объекта методом наименьших квадратов В отличие от метода экспоненциального сглаживания, сглаживание по методу наименьших квадратов осуществляется для всего множества экспериментальных данных в предположении, что в области аппроксимации 56 характер аппроксимируемого процесса остаётся неизменным. При экспоненциальном сглаживании этого предположения не требуется. Эвристическая декомпозиция осуществляется экспертами – специалистами, обладающими большим субъективным запасом знаний, опыта и интуиции. Каждый эксперт самостоятельно генерирует варианты декомпозиции и определяет наиболее эффективные для достижения. Экспертные варианты могут обобщаться на основании коллективного обсуждения вариантов и выработки общего приемлемого варианта. При декомпозиции сложных систем может использоваться «метод мозгового штурма». Для этого создаётся специальная группа, в которую, как правило, включают 1 – 2 специалиста из других областей знания и малознакомых с рассматриваемой проблемой. Процедура «мозгового штурма» проходит в два этапа. На первом этапе генерируются и фиксируются любые идеи, критика которых на этом этапе запрещена. На втором этапе высказанные идеи изучаются и оцениваются высококвалифицированными специалистами, на основании мнения которых выбирается вариант декомпозиции. Одним из способов декомпозиции является процедура дискретизации модели, которая состоит в преобразовании непрерывной информации в дискретную. При реализации этой процедуры обычно приходится решать следующие задачи: 1. разделить пространственные и временные области на конечное число элементарных участков, 2. представить значения переменных конечным числом значений в избранных узловых точках, принадлежащих элементарным участкам, преобразовать непрерывную информацию (сигналы) в цифровую форму. Сетка может быть прямоугольной или косоугольной, с постоянным или переменным шагом. Первая задача имеет два варианта решения. В первом варианте преобразуемая область покрывается сеткой, и область заменяется множеством точек - узлов сетки (рисунок 3.4.А). Во втором варианте дискретизация области осуществляется её разделением на непересекающиеся 57 подобласти - конечные элементы. В пределах каждого конечного элемента выбирают конечное число узловых точек (рисунок 3.4.Б). А Б Рисунок 3.4. А– Способ дискретизации Рисунок 3.4. Б – Способ области с помощью сетки дискретизации области конечными элементами Решение второй задачи дискретизации модели выполняется заменой непрерывных переменных конечным числом их значений в узловых точках. В дальнейшем эти значения используются для аппроксимации соответствующих переменных в каждом конечном элементе и решении разнообразных задач, обеспечивающих достижение целей моделирования. Дискретизация области широко используется, например, в цифровой картографии при моделировании рельефа. Имитационная декомпозиция применяется для сложных систем, когда применение других методов невозможно. При имитационной декомпозиции система некоторым образом делится на взаимосвязанные части так, что сохраняется внутренняя и внешняя целостность системы, а декомпозиция частей выполняется каким либо из вышеназванных методов декомпозиции. Например, вычисление интегралов методом Монте-Карло, когда процедуры аналитического или численного интегрирования заменяются (имитируются) случайным процессом. 58 По своей природе процедура декомпозиции часто имеет эвристический характер. Это значит, что результат декомпозиции зависит от опыта и компетентности специалиста, выполняющего декомпозицию системы. Разные специалисты по-разному выполнят декомпозицию одной и той же системы. Поэтому в качестве основания для декомпозиции используют формальные модели системы, сопоставляя объект декомпозиции с каждым элементом модели. Содержание каждого элемента декомпозиции зависит от содержания соответствующих элементов исходного объекта. Агрегирование системы Агрегирование – процедура противоположная декомпозиции. В результате агрегирования устанавливают отношения на заданном множестве элементов, и образуется агрегат – такое объединение конструктивно и функционально унифицированных частей в целое, которое приводит к появлению нового качества за счёт конкретных взаимосвязей между конкретными элементами агрегата. Другие связи приведут к возникновению других качеств. Основная задача агрегирования состоит в определении структуры системы и значений параметров, наиболее эффективных относительно достижения поставленной цели. Эти задачи называют задачами структурного и параметрического синтеза. Задача структурного синтеза относится к сложным задачам из-за большого числа факторов влияющих на свойства и параметры агрегируемой структуры и трудностей решения задач оптимизации большой размерности. Результатом структурного синтеза служит список необходимых для достижения цели частей системы и описание функциональных и информационных отношений между ними. Задача параметрического синтеза заключается в определении наиболее эффективных значений параметров конструируемого агрегата с учётом всех ограничений, обусловленных взаимодействием 59 с внешней средой и физическими законами его функционирования. По содержанию это задача нахождения вектора X выходных параметров системы таких, что целевая функция F( X ) при заданных ограничениях достигает наиболее эффективного значения. Как правило, эти задачи решаются методами математического программирования, среди которых широкое применение нашли методы комбинаторного анализа и в частности методы «ветвей и границ». Агрегат, как и система, характеризуется множествами моментов времени T, состояний S в каждый момент времени, множеством входных X и выходных Y сигналов. Поэтому агрегат рассматривается как унифицированная модель разнородных элементов системы, с помощью которой динамика системы раскрывается через динамику взаимодействующих между собой моделей элементов. разработать Для создания агрегативные агрегативной модели модели элементов системы и необходимо построить модель взаимодействия агрегатов. Агрегат можно представить как некоторое устройство («чёрный ящик»), имеющее конечное число входов и выходов и некоторое множество внутренних состояний. На входы из окружающей среды поступают сигналы. В зависимости от значений сигналов и от состояния, в котором находится агрегат, он переходит в новое состояние и выдаёт сигналы на выходы. При изменении входных сигналов изменяются состояния агрегата и выходные сигналы, агрегат функционирует во времени. Всякая сложная система характеризуется многомерностью и разнообразием протекающих в ней процессов, имеющих смешанную природу происхождения. Однако не вся эта информация необходима для достижения поставленной цели. Поэтому в результате агрегирования необходимо получить описание системы, позволяющее с необходимой и достаточной для достижения цели полнотой описать систему. Такой агрегат называют конфигуратором.. В конфигураторе объединяются мнения специалистов различных областей знания о рассматриваемой проблеме. Полнота описания проблемы зависит от цели. Например, конфигуратором для определения положения точки n – 60 мерного пространства является совокупность её координат. Если число координат окажется меньше размерности пространства, то положение точки не будет определено с необходимой полнотой. Разные системы координат – разные конфигураторы. Конфигуратором является описание экономической системы с финансовой, правовой, экологической, общественной и другой точки зрения. Варианты агрегирования такие же, как и варианты декомпозиции: формальное, аналитическое, эвристическое и имитационное. Формальное агрегирование. Как и при декомпозиции, агрегирование выполняется на основе какой либо формальной модели, выбор которой зависит от условий и целей агрегирования. Разнообразие в выборе элементов и отношений между ними порождает разнообразие задач агрегирования. Если в качестве модели основания для агрегирования принята модель «чёрный ящик», то результаты декомпозиции в этом случае можно представить графом с матрицей смежности, в которой число строк равно числу входов, а число столбцов – числу выходов. Элементам матрицы смежности, соответствующих связанным входам – выходам приписывают значения 1, а не связанным – значения 0. Аналитическое агрегирование. В результате аналитического агрегирования получают аналитическое описание системы, в котором отсутствуют свойства, не требующиеся для достижения цели. В общем случае аналитическое агрегирование требует на множестве элементов (результатов декомпозиции) установления некоторой системы отношений, обеспечивающих достижение цели. В результате этого образуется агрегат – оператор. Например, сложная функция может быть с заданной точностью определена частичной суммой ряда или аппроксимирована детерминированной простой числовой функцией. функции Агрегат-оператор получают, когда в виде агрегируемые признаки определены в числовых шкалах. С этих позиций любая функция многих переменных есть агрегат-оператор: на множестве элементов – независимых переменных – функция устанавливает правило их соответствия 61 элементам другого множества. Выбор правила соответствия регламентируется целью агрегирования – результат агрегирования должен быть адекватным цели. Агрегат – структура - чаще всего используется при синтезе систем. Они возникают при описании структуры уже существующей системы или определяются для проектируемой системы. При создании агрегата – структуры необходимо учесть все наиболее существенные отношения между элементами. Эти отношения определяются конфигуратором системы и, следовательно, структур должно быть столько, сколько языков включено в конфигуратор системы. Например, проект организационной системы включает структуры распределения власти, распределения ответственности и распределения информации. Эти структуры лишь с разных сторон описывают одну и туже систему. При статистическом анализе данных образуются агрегаты – статистики (функции выборочных значений). Они предназначены для извлечения из статистических данных полезной информации о некоторых параметрах. В качестве примера выполним агрегирование события S, декомпозиция которого рассмотрена выше. Составим для этого события агрегат оператор. Учитывая, что взаимодействие частей представляется логическими операциями дизъюнкции и конъюнкции, агрегат оператор для события S – это логическая функция F (S1, S 2,..., S14) где символами S1 S 2 S 3 (S 4 S 5) (S 6 S 7 S 8) (S 9 S10) ( S 4 S 5) ((S11 S12) S 7 S 8) (S 9 (S13 S14)) , обозначены операции логического умножения и логического сложения, соответственно. Эта логическая функция принимает значения «ложь» или «истина». Такие же значения получают и элементарные предпосылки: значение «истина» свидетельствует о реализации предпосылки, а значение «ложь» - о не реализации предпосылки. Сочетания предпосылок, при которых функция F принимает значение «истина», обеспечивают появление 62 события S, а сочетания, при которых функция F принимает значение «ложь» не появление события S. Такой агрегат позволяет выявлять предпосылки, благоприятствующие появлению события S, или исключающие возможность его появления. Эвристическое агрегирование. Как и эвристическая декомпозиция, эвристическое агрегирование осуществляется экспертами – специалистами, обладающими большим субъективным запасом знаний, опыта и интуиции. Только теперь их задача состоит не в разделении системы на взаимосвязанные части, а в целенаправленном и эффективном объединении частей, полученных в результате декомпозиции. Имитационное агрегирование. В этом случае агрегирование рассматривают как выбор структуры частей системы и принципов их взаимодействия из некоторого небольшого числа перспективных вариантов, отбор которых осуществляется группой высококвалифицированных специалистов. Детальное исследование вариантов проводится для каждого из них в отдельности и осуществляется их сравнительный анализ и выбор окончательного варианта. Конечным результатом системного исследования является принятие решения, направленного на ликвидацию проблемы. Как правило, существует множество вариантов решения, из которого необходимо сделать выбор оптимального или наиболее полезного варианта. Для этого необходимо оценить возможные последствия принимаемых решений, зависящие от условий (состояния внешней среды), в которых осуществляется выбор. Везде далее предполагается, что последствия принимаемых решений и соответствующие состояния среды известны или заданы. 3. Структурная схема системы. Модель «белого» и «черного» ящика Основой всего системного анализа является построение моделей систем. Несмотря на многообразие реальных систем, различают всего несколько 63 принципиально различных типов моделей систем: «чёрный ящик», модель состава, модель структуры, структурная схема системы и их корректные комбинации. Эти модели являются формальными, они относятся к любым системам и, следовательно, ни к одной конкретно. Чтобы получить модель конкретной системы, необходимо наполнить формальную модель конкретным содержанием. Эта процедура носит неформальный характер и непосредственно зависит от исследователя, который должен определить элементный состав системы, существенные и несущественные свойства и отношения между частями системы. Рассмотрим эти формальные системы. Модель «чёрного ящика». «Чёрный ящик» - система, в которой внешнему наблюдателю доступны лишь её связи с внешней средой, а внутреннее устройство и процессы, в ней протекающие, не известны. Система связана со средой и через эти связи взаимодействует со средой. Эти связи называют входами и выходами системы. В результате имеем модель системы, которая получила название модель «чёрного ящика». Ряд важных выводов о поведении системы можно сделать, наблюдая реакцию выходов на изменение входов. Такой подход позволяет изучать системы, устройство которых неизвестно или слишком сложно. Пусть на вход системы подаются входные воздействия X1, X2,…,Xn , на выходе регистрируются выходные Y1,Y2,…,Ym. Наблюдая достаточно долго за поведением такой системы, и, если потребуется, выполняя активные эксперименты над ней, т. е. изменяя по заданному сценарию входные воздействия, можно изучить систему настолько, что окажется возможным предсказать изменение её выходов при любом изменении входов. Однако, как бы тщательно не изучалось поведение «чёрного ящика» его внутреннее строение остаётся неизвестным, так как разные системы могут иметь одно и то же поведение. Они неотличимы для наблюдателя, которому доступны только их входы и выходы. Максимально формализованная модель «чёрного ящика» состоит из двух множеств X и Y входов и выходов системы. Никакие отношения между этими 64 множествами задавать нельзя. Построение модели «чёрного ящика» не является тривиальной задачей, так как непросто установить, сколько и какие входы и выходы следует включать в модель. Критерием выбора служит целевое назначение модели и существенность связи по отношению к этой цели. В некоторых случаях модель «чёрного ящика» оказывается единственно применимой для изучения систем. Модель состава системы описывает, из каких подсистем и элементов она состоит. Состав системы определяется в зависимости от: уровня и глубины знаний о системе, назначения модели и её целей, определения элемента системы, правил построения подсистем. Модель состава системы, хотя и показывает из каких частей состоит система, не всегда достаточна для решения необходимых задач. Это связано с тем, что система обладает свойствами, которых нет ни у одной из её частей. Это обстоятельство обусловливает необходимость установления связей между частями системы, т.е. в определении структуры системы. Объединяя модели «чёрного ящика», состава и структуры имеем определение системы как совокупности взаимосвязанных элементов, обособленных от среды и взаимодействующих с ней как целое. Такую модель называют структурной схемой системы. В ней перечисляются все элементы системы, все связи между элементами внутри системы и связи с окружающей средой (входы и выходы системы). Все рассмотренные модели отображают систему неизменной во времени. Их называют статическими моделями. 4. Признаки существования системы Не всякую совокупность элементов, взаимосвязанных друг с другом можно считать системой. Существуют критерии (признаки) по которым можно установить, что рассматриваемый объект в действительности является системой. 65 1. Всякая система обладает целостностью, обособленностью от окружающей среды. Целостность системы не означает её однородности и неделимости: в системе всегда различают составные части. Разделимость системы на части не означает, что эти части полностью изолированы друг от друга. Они образуют целое благодаря связям между ними. 2. Цельность системы обусловлена тем, что система как целое обладает такими свойствами, которых нет, и не может быть у составляющих её частей. Свойства системы не сводятся к свойствам её частей, не являются простым объединением этих свойств. Свойство системы как целого проявляется в её взаимодействии с окружающей средой (т.е. реализуется через внешние связи как функция системы), но само это свойство возникает и может существовать лишь благодаря взаимодействию частей (т.е. благодаря внутренним связям, структуре системы). Система не простое объединение составляющих её частей. Она обладает свойством эмерджентности, которого нет у составляющих её частей. 3. Все части системы взаимосвязаны и поэтому воздействие, на какую либо часть системы проявляется в изменении состояния других частей. Изъятие из системы, какой либо её части влечёт утрату и самой системой и изымаемой частью некоторых существенных свойств. В этом проявляется внутренняя целостность систем. Недопустимо, без нарушения свойства целостности системы, рассматривать части системы вне их взаимодействия с другими частями. 4. Система связана со средой, существует в ней, взаимодействует с ней, обменивается со средой веществом, энергией, информацией. Это значит, что все системы открыты, т.е. изолированных (замкнутых) от среды систем не существует. Замкнутые (изолированные) системы являются абстракцией, доказать их существование невозможно из-за невозможности взаимодействия с ними. Закрытые системы обмениваются со средой только информацией. 5. Открытость системы, её связанность со средой означает, что она (система) является частью другой большей системы. В этом проявляется 66 внешняя целостность систем. В результате мир представляется как система вложенных друг в друга, перекрывающихся частично или полностью, или разделённых, но взаимодействующих систем. 6. Внутренняя и внешняя целостность систем обобщаются, объединяются, синтезируются в понятии цели, которая как бы диктует и структуру, и функцию системы. Функция системы интерпретируется, как проявление целеустремлённости системы, структура системы выступает при этом как вариант реализации цели. 7. В результате внутренних и внешних взаимодействий системы изменяются. Многообразие процессов в системах велико. Многие явления в системах невозможно понять без учёта их изменчивости (динамики). 5. Определение содержательной части модели Внутреннее строение объектов неоднородно, в них можно различать части, в которых, в свою очередь, могут быть выделены составные части и.т.д. В связи с этим возникает необходимость структурирования системы. Всякая система состоит из частей, которые могут быть простыми (элементарными) (элементами) и сложными. системы Простыми, считаются всякие, элементарными условно частями неделимые и самостоятельно функционирующие части системы. Например, планеты – элементы Солнечной системы, деревья – элементы системы лес, рабочие на заводе – элементы системы завод. Сложными частями (подсистемами) системы считают совокупность относительно однородных элементов, объединённых общими функциями и ресурсами. Малые планеты в Солнечной системе, бригады рабочих на заводе, устройства управления автомобилем - образуют подсистемы в соответствующих системах. Объединение элементов в подсистемы позволяет рассматривать не свойства отдельных элементов, мало отличающиеся между собой, а их общие свойства. Количественные оценки этих свойств называют интегральными 67 характеристиками. Они позволяют сократить число параметров, используемых при описании и оценке свойств подсистем и системы в целом. Например, при формулировке закона всемирного тяготения не рассматривается детальное строение космических тел, а принимается во внимание только их масса и расстояние между ними, при описании случайных явлений вместо множества значений случайных величин рассматривают их функции распределения или их числовые характеристики и т.д. Понятие элементарности относительно, и то, что с одной точки зрения является элементом, с другой оказывается подсистемой, подлежащей дальнейшему разделению. Для различных целей одна и та же система может быть разбита на разные составные части. В общем виде состав системы условно представлен на рисунке 3.5. Рисунок 3.5 – Состав системы Примером модели состава системы, может служить материнская плата компьютера (рисунок 3.6.), где четко прослеживается как совокупность отдельных элементов, так и выделение элементов в группы (подсистемы). 68 Рисунок 3.6 – Материнская (системная) плата Способ определения элементарных объектов неоднозначен и зависит от уровня и глубины изученности объекта, назначения системы и других обстоятельств. Поэтому любой объект может быть представлен различными совокупностями элементарных объектов, каждый из которых обладает элементарными свойствами. Для любой системы характерно наличие свойства, присущего системе в целом, но отсутствующих у каждого элемента в отдельности. Это свойство называют свойством эмерджентности (системообразующим свойством). Этим свойством не обладает ни один из элементов системы в отдельности. Оно проявляется в результате взаимодействия системы с окружающей средой и по существу есть тот результат, для достижения которого предназначена система. Например, свойством эмерджентности естественной системы «Солнечная система» служит то, что Солнце, планеты и другие космические элементы, входящие в систему, рассматриваются относительно самостоятельный, неделимый других объект, космических свойством систем как эмерджентности искусственной системы – завод, является способность завода производить определённый продукт или товар. Главная трудность в определении состава системы заключается в том, что разделение целостной системы на части 69 является относительным, т.е. границы между подсистемами условны. Относительны и границы между системой и окружающей средой. При удалении из системы, какой-то её части система теряет некоторые свойства (становится другой системой). Часть, изъятая из системы, тоже теряет свойства, которые проявлялись в результате её взаимодействия с другими частями. Следовательно, система не просто совокупность элементов, и, изучая каждый из них в отдельности, невозможно познать все свойства системы в целом. Для описания или определения свойств объекта как целого необходима дополнительная информация. Эту информацию можно найти, если установить функции взаимосвязи (отношения) между элементарными объектами, удовлетворяющие определённым условиям. Множество необходимых и достаточных для достижения цели связей (отношений) между элементарными объектами называется структурой объекта. Структура определяется, исходя из распределения функций между частями объекта, в ней отображаются отношения этих частей, как между собой, так и с внешней средой. Реальные объекты имеют между собой неисчерпаемое множество отношений. Однако существенными для достижения цели являются лишь некоторые. Следовательно, и в структуре учитывается конечное число связей, важных по отношению к рассматриваемой цели. Построение и анализ структуры позволяет отвлечься от конкретной физической природы элементов и, проводя математические преобразования структуры, выявить некоторые общие закономерности, характеризующие свойства объекта. Состав и структура системы дают наглядное представление о том, как устроен объект, – из каких частей он состоит и как эти части связаны друг с другом. Принцип, по которому объединение элементов приводит к появлению новых свойств, отличных от свойств элементов, называют принципом организации. Различные принципы организации могут приводить к созданию систем, различающихся своими структурами, но тождественными по функциональному назначению. Сложность реальных объектов порождает 70 разнообразие структур. Среди этого многообразия выделяют линейные, иерархические (древовидные), матричные и сетевые структуры, изображенные на рисунках 3.7 (А,Б,В и Г). Линейная структура устанавливает связь (например, обмен информацией) между элементарными объектами в заданной последовательности, подчинённость последующего элемента предшествующему элементу. Рисунок 3.7.А – Основные типы структур. Линейная структура В иерархических структурах элементарные объекты объединяются в группы, между которыми устанавливается соподчинённость, как в линейных структурах, но связи между элементарными объектами одной группы, как правило, запрещены, хотя допускаются и исключения, все элементы данной группы связаны только с одним элементом предшествующей группы. Рисунок 3.7. Б – Основные типы структур. Иерархическая структура Матричные структуры отображают отношения между элементарными объектами, которые могут быть представлены двумерными таблицами. 71 Рисунок 3.7. В – Основные типы структур. Матричная структура Сетевые структуры являются обобщением иерархических структур. Они допускают произвольные связи между элементарными объектами, где каждый элементарный объект может подчиняться (зависеть) нескольким элементарным объектам. Рисунок 3.7. Г – Основные типы структур. Сетевая структура Примером видов структур может служить различный тип соединения компьютеров в сети. Связь — одно из основных понятий в системно-целевом подходе. Система как единое целое существует именно благодаря наличию связей между ее элементами, т.е., иными словами, связи выражают законы функционирования системы. По характеру связи бывают прямыми и обратными, а по виду проявления (описания) детерминированными и вероятностными. Прямые связи предназначены для заданной функциональной передачи вещества, энергии, информации или их комбинаций — от одного элемента к другому в направлении основного процесса. Обратные связи, в основном, выполняют осведомляющие функции, отражая изменение состояния системы в результате управляющего воздействия на нее. Процессы управления, 72 адаптации, саморегулирования, самоорганизации, развития невозможны без использования обратных связей. Схема обратной связи изображена на рисунке 2.8. Рисунок 3.8 – Пример обратной связи Обратная связь предназначена для выполнения следующих операций: сравнение данных на входе с результатами на выходе с выявлением их качественно-количественного различия; оценка содержания и смысла различия; выработка решения, вытекающего из различия; воздействие на вход. С помощью обратной связи сигнал (информация) с выхода системы (объекта управления) передается в управляющую систему. Здесь этот сигнал, содержащий информацию о работе, выполненной объектом управления, сравнивается с сигналом, задающим критерии состояния объекта. Основными функциями обратной связи являются: 1. противодействие тому, что делает сама система, когда она выходит за установленные пределы (например, реагирование на выход состояния объекта за пределы нормы); 2. компенсация возмущений и поддержание состояния устойчивого равновесия системы (например, воздействие на отдельные свойства объекта для удержания его состояния в допустимых пределах); 73 3. синтезирование внешних и внутренних возмущений, стремящихся вывести систему из состояния устойчивого равновесия, сведение этих возмущений к отклонениям одной или нескольких управляемых величин (например, выработка управляющих команд на изменение параметров системы в связи с изменением ее состояния); Нарушение обратных связей в технических системах по различным причинам ведет к тяжелым последствиям. Детерминированная связь, как правило, однозначно определяет причину и следствие, дает четко обусловленную формулу взаимодействия элементов. Недетерминированная связь определяет неявную, косвенную зависимость между элементами системы. Всякое целенаправленное действие состоит в преобразовании входных (известных) сигналов в значения выходных сигналов с учетом обратной связи. Рисунок 3.9 – Функционирование системы Вход — каналы передачи ресурсов для протекания процесса. Выход — результат процесса. Процесс — преобразование входа в выход. Система взаимодействует с внешней средой через входы и выходы. Из внешней среды на вход системы поступают ресурсы, необходимые для достижения цели. Формирующийся на выходе конечный результат поступает во внешнюю среду. Готовность к адекватному восприятию результата внешней средой называют ингерентностью. Управление системой связано с понятием ограничения. Ограничение — обеспечивает соответствие между выходом системы и требованием к нему, как к входу во внешнюю среду. Внешняя среда, в данном 74 случае, является потребителем. Если заданное требование не выполняется, ограничение не пропускает его. Процесс функционирования системы связан с понятием «проблемной ситуации», которая возникает, когда неудовлетворительность существующего положения осознана, но неясно, что следует делать для его изменения. Исследование объекта как системы предполагает использование ряда системных представлений (категорий) среди которых основными являются: 1. Структурное представление связано с выделением элементов системы и связей между ними. 2. Функциональные представление систем — выделение совокупности функций (целенаправленных действий) системы и её компонентов направленное на достижение определённой цели. 3. Макроскопическое представление — понимание системы как нерасчленимого целого, взаимодействующего с внешней средой. 4. Микроскопическое представление основано на рассмотрении системы как совокупности взаимосвязанных элементов. Оно предполагает раскрытие структуры системы. Понятие элемент, подсистема, система взаимопреобразуемы, система может рассматриваться как элемент системы более высокого порядка (метасистема), а элемент при углубленном анализе, как система. То обстоятельство, что любая подсистема является одновременно и относительно самостоятельной системой приводит к двум аспектам изучения систем: на макро- и микро- уровнях. При изучении на макроуровне основное внимание уделяется взаимодействию системы с внешней средой. Причём системы более высокого уровня можно рассматривать как часть внешней среды. При таком подходе главными факторами являются целевая функция системы (цель) и мера достижения цели. При этом элементы системы изучаются с точки зрения организации их в единое целое, влияние на функции системы в целом. 75 На микроуровне основными становятся внутренние характеристики системы, характер взаимодействия элементов между собой, их свойства и значения для достижения цели. 6. Понятие формализации. Понятие концептуальной модели. Переход от описания к блочной модели Формализация - представление какой-либо содержательной области знания в виде формальной системы. Формализация предполагает построение некоторой структуры с целью логического описания и понимания формализуемого объекта. Например, математическая модель системы является результатом формализации описания системы с соответствующей целям моделирования степенью приближения к действительности. Например, формулы, описывающие физические процессы, — это формализация этих процессов; радиосхема электронного устройства — это формализация 49 функционирования этого устройства; ноты, записанные на нотном листе, — это формализация музыки и т.п. Формальные модели систем – модели, в которых отображаются формальные наиболее общие свойства систем. Они не имеют конкретного содержания, но облегчают построение содержательной модели системы. Принципиально формальные различные модели систем – это модель “чѐрного ящика”, модель состава, модель структуры и их различные комбинации, например, структурная схема системы Концептуальная модель объекта – обобщѐнная формальная схема модели, в которой определяются: граница между объектом и внешней средой, цель моделирования, метод оценки эффективности, типовые математические схемы моделирования, необходимые гипотезы и предположения и ожидаемые результаты. Первым этапом машинного моделирования является построение концептуальной модели, основным назначением которого является переход от содержательного описания объекта к его математической модели. Концептуальная модель является основополагающей моделью при создании модели систем. Она отражает основные концепции принятия решения 76 о построении модели по намеченному плану. Концептуальная модель является теоретической основой при разработке моделей. 3.10 Концептуальная модель системы Элементы 5-8, 39-41,43-47 – переход от описания системы к её модели. В этой интерпретации указанные элементы являются второстепенными (относятся к описательной части) и в некоторых случаях значения не имеют или несут просто описательную функцию. Элементы 14,15,28,29,42 отражают внутренние свойства системы. Элементы 1-4,10,11,24,25, 38 отражают внешние факторы и воздействие внешней среды. Элементы 9,18,19,32,33 – это взаимодействие внешней среды, её воздействие на систему. Элементы 22,23,36,37 отражают воздействие системы на внешнюю среду. Оставшиеся элементы системы S формируются в блоки, представлены в блоках I, II, III, которые отображают процесс функционирования исследуемой системы. Концептуальная модель является полной относительной моделью системы. Однако на практике концептуальная модель должна быть преобразована в так называемую блочную модель. Блочная модель учитывает только необходимые элементы, формализует построение системы, приводя её к практическому применению. 77 Блочная модель – это модель, которая является следствием формализации концептуальной модели, она учитывает только необходимые элементы, формализует построение системы, приводя ее к практическому применению. Блочная модель является следствием формализации концептуальной модели. 3.11 – Блочная модель системы I блок – блок, представляющий собой имитатор воздействия внешней среды на систему. II блок – отображает непосредственно функционирование системы S. III блок – служит для машинной реализации I и II блоков. Группа элементов 14,15,28,29,42 концептуальной модели заменяется пассивными связями h1. Элементы 1-4,10,11,24,25 заменяются входными факторами Х и воздействиями внешней среды Е. Элементы 9,18,19,32,33 заменяются пассивными связями h2. Элементы 22,23,36,37 – элементы выходного сигнала При построении математических моделей широко используют блочный принцип, суть которого состоит в том, что модель строится из отдельных логически законченных блоков, отражающих обычно ту или иную сторону рассматриваемого процесса. Это может быть блок кинетики ммассопередачи, блок гидродинамики, блок фазового равновесия. Блочный принцип построения моделей позволяет: 78 разбивать общую задачу построения математической модели на отдельные подзадачи и тем самым упростить ее решение; использовать разработанные блоки в других моделях; модернизировать и заменять отдельные блоки на новые, не касаясь при этом остальных. Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) – блоке «гидродинамика». Потому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока становится возможным осуществить масштабный переход. Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико- химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возможным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математического описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнения 79 математической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать определенные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использовании блочного принципа в математическом описании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применить эмпирические соотношения. 80 РАЗДЕЛ 4. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТОВ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДАННЫМ.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА И ЕГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ДАННЫМ План 1. Математическое моделирование состояний физических объектов при разработке алгоритмов, программ и методик решений инженерногеодезических задач для выполнения математической обработки результатов полевых геодезических измерений. 2. Моделирование изменения состояний. Фазовое пространство. Гильбертово пространство. Функции отклика. 3. Аппроксимация облака точек по принципу агрегирования. 4. Определение геометрических параметров объекта на основе принципа декомпозиции. 1. Математическое моделирование состояний физических объектов при разработке алгоритмов, программ и методик решений инженерногеодезических задач для выполнения математической обработки результатов полевых геодезических измерений Состояние объекта определяется множеством его свойств, каждое из которых выражено в качественных или количественных показателях, отнесённых к некоторому фиксированному моменту времени. Свойства объектов изменяются в результате внутренних процессов или взаимодействия с внешней средой. Каждый объект обладает неисчерпаемым множеством свойств. При описании состояния объекта необходимо сформулировать цель определения состояния и, в зависимости от поставленной цели, из множества свойств (характеристик) объекта выбрать лишь те, которые необходимы для его описания поставленной цели. При решении задачи определения состояний объектов по геодезическим данным основной целью является описание его пространственно-временного состояния (ПВС), которое в полной мере характеризуется формой, размерами, ориентацией и положением в пространстве и времени. Т.е. пространственновременное состояние объекта определяется функцией (4.1) 81 ПВС(t ) ПВС(F (t ), R(t ), P(t ), O(t )) (4.1) где F (t ) форма объекта, R(t ) - размеры, P(t ) - положение объекта в пространстве относительно системы координат, O(t ) - ориентация в пространстве, определенные как функции времени. Современные геодезические технологии (например, наземное лазерное сканирование) совместно со специализированными программными комплексами позволяют определить статическую модель состояния объекта. Результатом лазерного сканирования инженерных сооружений и природных объектов является массив (облако) точек с координатами X,Y,Z, определенных относительно установленной системы координат. Программы, обеспечивающие обработку данных лазерного сканирования, позволяют представить объект в виде трехмерного скана, определить его размеры и ориентацию относительно установленной системы координат, выполнить мониторинг геометрических параметров объекта. Для определения изменения состояния объекта в пространстве и времени необходимо иметь временные ряды данных, которые получают в результате многократных циклов наблюдений за объектом. В настоящее время наиболее популярны автоматизированные системы мониторинга (АСМ), контролирующие объект в любое время суток, невзирая на погодные условия с заданным временным интервалом. Для этого в теле объекта закрепляются контрольные точки (датчики), передающие сигнальную информацию о состоянии объекта. Моделирование изменений ПВС объекта представляет достаточно сложную задачу. Получить временные ряды координат X(t),Y(t),Z(t) методом лазерного сканирования представляется слишком затратным, а данных, полученных методом АСМ недостаточно для определения изменения ПВС объекта в целом. 82 Поэтому, для определения динамической модели изменения ПВС и прогнозирования состояния объекта в будущем необходимо применение методов математического моделирования. В настоящее время применяют два основных метода математического моделирования: аналитический и имитационный. Аналитический метод математического моделирования состоит в получении результатов моделирования в виде утверждений, истинность которых устанавливается на основании доказательства. Если аналитическое моделирование не представляется возможным, то применяют имитационное моделирование. Любое воспроизведение в компьютере динамического процесса и анализ множества вариантов его реализации называют имитацией. Возникновение имитационного моделирования связано с необходимостью проектирования и изучения сложных объектов, недоступных для натурного или лабораторного эксперимента с целью оптимизации выбора их структурных и функциональных характеристик. В геодезии имитационные модели используются для имитации физических или информационных процессов с целью установления зависимости фазовых переменных от времени, например, изменения ПВС объектов. Изменение ПВС объекта проявляются в движениях и деформациях. Анализируя движения и деформации, можно судить об опасности состояния объекта и принимать необходимые меры для снижения риска и ущерба от возникновения опасных состояний. Движения объекта – это изменения его положения в пространстве относительно принятой неизменной системы отсчета, а деформации – движения частей системы относительно друг друга, сопровождающиеся изменениями формы и размеров всего сооружения или отдельных его частей. Форма, размеры, ориентация и положение в пространстве объекта, отнесенные к некоторому моменту времени, определяют ее пространственно-временное состояние (ПВС), а функции, характеризующие ПВС системы, – характеристики состояния. 83 2. Моделирование изменения состояний. Фазовое пространство. Гильбертово пространство. Функции отклика. В качестве формальной модели объекта принята модель динамической системы f X S Y, (4.2) где X – множество входных сигналов; Y – множество выходных сигналов; S – пространство состояний системы; – отображение перехода системы из состояния в состояние в результате потока входной информации; f – отображение выхода системы. Задача моделирования изменения состояния объекта сводится к содержательному определению элементов модели (4.2). Исходными данными для решения этой задачи, служит массив высотных координат контрольных точек объекта, т.е. состояние объекта в момент t j определяется высотными координатами точек. Следовательно, множество X состоит из скалярных функций (4.3). Hi Hi t (4.3) Фазовое пространство – это пространство, описываемое математическими функциями, где каждому свойству объекту сопоставляется своя координатная ось. Фазовое пространство или пространство состояний системы контрольных точек объекта определяется как декартово произведение всех элементов этого множества. Размерность пространства n равна числу контрольных точек. 84 Каждому циклу наблюдений с номером j в пространстве состояний соответствует точка, радиус-вектор которой Н tj n k i Hi t j , i 1 (4.4) где k i – орт-векторы базиса n -мерного пространства состояний. Таким образом, функция сигналов Hi t j есть отображение, которое множеству входных ставит в соответствие фазовую точку (элемент H tj ) пространства состояний. Эта точка и представляет состояние объекта в цикле с номером j . Множество точек, радиус-векторы которых определяются векторфункцией (4.4) в каждом цикле наблюдений, образует в фазовом пространстве фазовую траекторию, которая представляет собой явную функцию координат и времени, характеризующую изменение состояния объекта от цикла к циклу. Однако, для адекватной оценки состояния объекта в пространстве и времени, кроме высотных координат контрольных точек объекта, необходимо учитывать и плановые координаты x, y. Имея для каждой контрольной точки массив данных на множество циклов измерений, анализ изменения положения объекта относительно системы координат сводится к анализу вектор-функции: S (t ) S ( x(t ), y(t ), z (t )) . (4.5) Таким образом, анализируя вектор-функцию (4.5) для каждой контрольной точки, делают выводы о закономерностях изменения положения объекта. Вектор, кроме своих координат, определяется модулем М и направлением , поэтому корректно принять эти параметры за координаты точки в фазовом пространстве. В этом случае, модель эволюции пространственно-временного состояния объекта определится вектор-функцией 85 r (t ) r ( M (t ), (t )), (4.6) где 1/ 2 n M (t ) ( H (t )) i 2 , i 1 Пример фазовой траектории изменения пространственно-временного состояния исследуемого объекта по геодезическим контрольным точкам в фазовом пространстве представлен на рисунке 2.1. Рисунок 2.1 – Фазовая траектория изменения пространственно-временного состояния объекта, где t1..t9 состояние объекта на моменты времени 1 - 9 Множество X={x,y,z,…} называется метрическим пространством X, если на совокупности упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ(x,y), называемая расстоянием (или метрикой). Элементы метрического пространства называются точками. Для множества всевозможных последовательностей x={xn} действительных чисел: . (4.7) Каждая такая последовательность называется точкой пространства, а числа xn, n=1,2,…, - ее координатами. Расстояние между двумя точками x={xn} и y={yn} определяется по формуле: 86 (4.8) При любом натуральном m в пространстве Rm для точек (x1,…,xm), (y1,…,ym), (z1,…,zm), справедливо неравенство треугольника: (4.9) Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (4.6), с метрикой (4.7) называется гильбертовым пространством последовательностей и обозначается l2 . Используя принцип сжимающего пространства можно преобразовать nмерное метрическое пространство в 3-х мерное. Положение точки в 3-х мерном пространстве определяется координатами X,Y,Z, которые вычисляются по формулам (4.9): (4.10) X,Y,Z – координаты точки фазовой траектории; x,y,z – координаты контрольных точек системы; m – количество контрольных точек. Пример фазовой траектории в гильбертовом пространстве представлен на рисунке 2.2. 87 Рисунок 2.2. – Фазовая траектория изменения состояния объекта в гильбертовом пространстве, где X,Y,Z гильбертовы координаты, t1..t7 состояния на моменты времени 1-7 Фазовая траектория эквивалентна функции отклика объекта. Если объект рассматривать в виде черного ящика (рис. 4.3), то входами системы является множество X (4.2), а на выходе множество У(4.2). Функцией отклика называется зависимость математического ожидания отклика от факторов. В данном случае влияние внешних факторов влияет на изменение состояния S объекта. Применительно к 4.2, множество функция X характеризуется координатами контрольных точек объекта x(t),y(t),z(t), а Y, характеризует изменение состояния и представляет собой фазовую траекторию. X Y Состояние S объекта Рисунок 4.3 – Модель черного ящика, где X входные данные, Y выходные данные 88 3. Аппроксимация облака точек по принципу агрегирования Как правило, изменение пространственно-временное состояние объектов (зданий, сооружений), представленного облаком (множеством точек с координатами X,Y,Z, происходит в результате влияния внешних факторов, что приводит к изменению положения объектов относительно системы координат и (или) деформациям. Анализируя движения и деформации, можно судить об «опасности» состояния объектов и принимать необходимые меры для снижения риска и ущерба от возникновения чрезвычайных ситуаций. Особую опасность для эксплуатации объектов представляют деформации. Фактически деформации представляют собой движение частей системы относительно друг друга, сопровождающееся изменениями формы и размеров. В геодезии существуют различные методы определения деформаций, в основе которых заложены алгоритмы вычисления приращений координат контрольных точек относительно первоначального состояния или относительно друг друга, а также вычисления параметров отклонения элементов конструкции объектов от принятых стандартов. Применение численных математических позволяют представить методов обработки данных изучаемый объект в виде математической модели, увязывающей математическими соотношениями весь объект в целом и, таким образом, определить его форму. Форма и размеры определяются границей, отделяющей объект от внешней среды. Форма любого объета определяется набором интегральных и дифференциальных характеристик. Интегральными характеристиками, например, являются геометрические свойства объекта – возможность его представления одним геометрическим телом, его размеры, площадь поверхности, объем занимаемого пространства, числовые значения инвариантных характеристик. Дифференциальными характеристиками объекта служат направления касательных и нормалей к поверхностям и/или линиям, ограничивающим систему, их кривизна, площади частей поверхности и длины линий, охватывающих эти части и другие. 89 Для определения геодезических точек формы объекта, необходимо, в по координатам соответствии с множества целью, выбрать геометрический образ, который принимается в качестве модели формы, и определить требования (критерии), которым этот образ должен удовлетворять. После этого нужно оценить значения конечного числа параметров, необходимых для математического описания выбранного геометрического образа формы объекта соответственно предъявляемым требованиям. На рисунках 4.4–4.7 приведены примеры математического описания геометрических образов формы ТС. ( x1 y1 z1) B1 Купол планетария Рис.4.4 - Аппроксимация ТС сферой B1 1 B1 2 Математическая модель Высотное здание Математическая модель Рис.4.5 - Аппроксимация ТС цилиндром 90 Модель башни 0 1 2 Математическая модель (X Y H) M M M Рис.4.6 - Аппроксимация ТС конусом Рис.4.7 - Определение деформации фундамента инженерного объекта методом сплайн-интерполяции A1 Amin Amax Изменение формы ТС, как функции времени является явным признаком ее деформации. А математическая модель формы позволяет определить количественные показатели деформации ТС в любой ее точке, а не только в точках геодезического контроля. 4. Определение геометрических параметров объекта на основе принципа декомпозиции Рассматривая отдельные геодезические точки или некоторые их множества, связанные заданными отношениями, как элементарные объекты, связи между ними установим посредством математических правил и тем самым на множестве элементарных объектов определим представляющие структуру объекта. 91 отношения между ними, Возможность различного выбора элементарных объектов обеспечивает свободу в определении структуры. В результате на множестве исходных геодезических данных могут быть определены геометрические объекты не обязательно состоящие из конечного множества точек. Например, прямая, проходящая через две заданные точки, плоскость, содержащая три заданные точки, многоугольник, составленный из отрезков прямых и т.д. Это позволяет, как свойства объектов находить различные геометрические признаки: внешнюю конфигурацию, в которой отображается структура объекта (точка, линия, полоса, оболочка, стержень, слой) и размерность пространства состояний; количество и размерность связей со смежными элементами, иерархию связей; уравнения линий и поверхностей; числовые характеристики. Среди множества методов описания геометрических признаков объектов определёнными преимуществами обладает параметрический метод, который позволяет избежать привязки к той или иной системе координат, относительно просто осуществлять преобразования координат (перенос и вращение), получать простые математические модели закрученных кривых и других объектов и отображать их на экране компьютера. При параметрическом описании координаты любой точки x = x(t), y = y(t), z = z(t) рассматриваются как функции вспомогательного (4.11) параметра t, область изменения которого должна быть оговорена. Параметрическое представление не является единственным, и один и тот же геометрический объект может быть представлен различными функциями вида (4.11). Полагая в (4.11) параметр t = ti = const, определяем радиус-вектор, т. е. положение точки Mi . При изменении параметра t точка Mi опишет в пространстве некоторую траекторию, каждая точка которой соответствует некоторому значению параметра t, являющегося 92 координатой точки. Это обстоятельство позволяет для описания траектории точки ввести вектор-функцию r r (t ) x(t ), y(t ), z(t ) i x(t ) j y(t ) k z(t ) . (4.12) В качестве примера запишем векторное уравнение прямой, проходящей через точку M0 в направлении орт-вектора u (рисунок 1). u M0 M k r0 r (t ) r j i � Рисунок 4.8 – Составление уравнения прямой Как видно из чертежа, M 0 M r 0 , а направление M 0 M совпадает с r направлением u . Тогда искомым уравнением является r r0 t u r r0 t u r (t ) . (4.13) Если прямая должна проходить через две заданные точки М0 и М, то роль направляющего вектора выполняет вектор M 0M OM OM 0 r r0 , (4.14) и для произвольной точки Mk искомой прямой является rk OM k r0 OM 0 t (r M 0M k r0) OM 0 t M 0M (4.15) r (t ). В параметрическом виде могут быть заданы и произвольные поверхности. Их можно представить как «след» перемещающейся в пространстве и деформирующейся линии. Положение точки на такой поверхности определяется параметром u, определяющим положение точки на линии, и параметром v, определяющим положение линии в пространстве. Следовательно, в трёхмерном пространстве поверхность определяется вектор-функцией 93 r r (u, v) i x(u, v) j y (u, v) k z (u, v) . (4.16) Если в уравнении (4.16) фиксировать один из параметров (u или v), то получим уравнения линий, принадлежащих поверхности (4.16). Такие линии называют параметрическими линиями на поверхности. В качестве примера запишем уравнение плоскости (рисунок 4.9), проходящей через точку r 0 и содержащей векторы: r r0 u n1 , r v n2 , r0 где параметры u, v – координаты точки в плоской (может быть косоугольной) системе координат, оси которой задают векторы n1 ,n 2 . n2 n1 k r0 r u u n1 vn2 j i Рисунок 4.9 – Составление уравнения плоскости Введём вектор, перпендикулярный плоскости векторов n1 ,n 2 . n1 n 2 n , n1 n 2 Тогда искомое уравнение имеет вид: n1 n n 2 n 0, r n (r 0 u n1 v n2 ) n r 0 n (r r 0 ) n 0. (4.17) В координатной форме оно запишется в виде выражения: nx ( x x0 ) n y ( y y0 ) n z ( z z0 ) 0 . (4.18) Из уравнения (4.17) следует, что проекция радиус-вектора r любой точки плоскости на направление нормали – величина постоянная, по абсолютной величине равная расстоянию от плоскости до начала координат. 94 Уравнения прямой и плоскости – основные и простейшие геометрические характеристики объектов, которые могут быть получены по геодезическим данным. Кроме этих характеристик, существует множество других вариантов. Например: условие принадлежности четырех точек одной и той же плоскости, угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью, координат точки пересечения прямой; определение кратчайшего расстояния между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой, проекции вектора на плоскость; уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярную данному вектору. Все они являются основными элементарными объектами, из которых можно, исходя из целей моделирования или структуры объекта, оценивать качественные свойства и вычислять значения геометрических характеристик. Изменение координат облака точек в пространстве и времени позволяет выводить суждение о движении объекта, т.е. об изменении его пространственновременного состояния. Движение D объекта в трехмерном пространстве представляют совокупностью относительного традиционно поступательного Dp , вращательного Dw и Do движений. Для определения перечисленных видов движения в явном виде выполним процедуру декомпозиции: D Характеристики Dp (4.20) Dw Do поступательного движения Dp оцениваются по движению гипотетической точки, координаты которой определяются как среднее арифметическое координат точек облака. При вращательном движении Dw объекта, представленного облаком точек, ось вращения может принадлежать плоскости OXY (в геодезии – крен объекта) или плоскости OZ (в геодезии – кручение). Деформация объекта 95 может проявляться в изменении геометрических параметров объекта (площади конечных элементов, длины сторон, углы между направлениями и т.д.) Анализ 4.20 дает ответ на вопросы не только о характере и динамике изменения пространственно-временного состояния объекта, но и позволяет выполнить оценку результатам риска в техногенных геодинамических системах по моделирования эволюции состояния. 96 их пространственно-временного РАЗДЕЛ 5 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ План 1. Идеализация математической модели. 2. Дискретизация математической модели. 3. Линеаризация математической модели. 1. Идеализация математической модели Математическая модель может подвергаться различным преобразованиям с целью её упрощения, пренебрежения несущественными деталями, сокращения множества исходных данных, перехода из одного математического пространства в другое, приведения к виду более удобному для экспериментирования и т.д. При этом преобразовываться может и модель в целом, и отдельные элементы модели. Любое преобразование модели обязано заканчиваться проверкой сохранения в преобразованной модели свойств полноты, непротиворечивости, корректности и проверкой адекватности модели своему назначению. В любой модели отображается лишь конечное число свойств объекта. Усложнение модели за счёт включения в неё большого числа параметров приводит к увеличению времени её реализации, затруднениям при интерпретации результатов моделирования, запаздыванию результатов и т.д. Упрощение может привести к потере содержательности и адекватности. Поэтому при построении модели необходимо установить равновесие между простотой модели и качеством отображения объекта. Нахождение такого состояния и представляет процедуру идеализации. Идеализированная модель должна: быть простой в обращении и доступной для пользователя: 1. быть представительной во всём диапазоне точностью отображать объект; 2. быть адекватной целям моделирования. 97 применения и с необходимой 2. Дискретизация математической модели Процедура дискретизации модели состоит в преобразовании непрерывной информации в дискретную. При реализации этой процедуры обычно приходится решать три задачи: 1. разделить пространственные и временные области на конечное число элементарных участков; 2. представить значения переменных конечным числом значений в избранных узловых точках, принадлежащих элементарным участкам; 3. преобразовать непрерывную информацию (сигналы) в цифровую форму. Первая задача имеет два варианта решения. В первом варианте преобразуемая область покрывается сеткой, и область заменяется множеством точек - узлов сетки Рис.5.1 Рисунок 5.1 – Дискретизация области с помощью сетки Во втором варианте дискретизация области осуществляется её разделением на непересекающиеся подобласти - конечные элементы. В пределах каждого конечного элемента выбирают конечное число узловых точек Рис. 5.2. Рисунок 5.2 – Дискретизация области конечными элементами Решение второй задачи дискретизации модели выполняется заменой непрерывных переменных конечным числом их значений в узловых точках. 98 В дальнейшем эти значения используются для аппроксимации соответствующих переменных в каждом конечном элементе и решении разнообразных задач, обеспечивающих достижение целей моделирования. Дискретизация области широко используется, например, в цифровой картографии при моделировании рельефа. Решение третьей задачи дискретизации модели связано с выполнением операции квантования сигнала по уровню. Каждое числовое значение должно быть выражено конечным числом цифр. Приближённо бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала можно описать с помощью конечного числа уровней квантования Рис.5.3. Рисунок 5.3 – Квантование сигнала по уровню Примером квантования по уровню служит представление чисел в компьютере конечным набором цифр. Интервал квантования при этом составляет одну единицу последнего разряда в представлении числа, а процедура квантования состоит в округлении числа до ближайшего значения шкалы квантования. Представление чисел в компьютере конечным набором цифр является источником неконтролируемых погрешностей сложных вычислительных процессов. Поэтому при выборе уровня квантования для представления непрерывной информации конечным набором цифр необходимо получить результаты вычислений с нужной точностью, не слишком увеличивая объём вычислений. 3. Линеаризация математической модели Когда в математической модели содержатся нелинейные элементы (входные сигналы, функции перехода объекта из состояния в состояние, функции преобразования текущего состояния и входных сигналов в результат моделирования и т.д.) практическая реализация модели может оказаться затруднительной. Чтобы избежать этих трудностей выполняют линеаризацию всех или некоторых нелинейных элементов модели. 99 Методы линеаризации позволяют сводить решение нелинейных задач к последовательному решению родственных линейных задач. Метод линеаризации широко используется при обработке результатов геодезических измерений по методу наименьших квадратов. С вычислительной точки зрения методы линеаризации лучше применять после дискретизации модели. Во многих случаях линеаризацию выполняют, исходя из физических соображений. 100 РАЗДЕЛ 6. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. План 1. Определение функции эффективности. 2. Оценка адекватности, экономичности, корректности и непротиворечивости математической модели. 1. Определение функции эффективности. Эффективность модели - это её приспособленность к достижению цели. Задача оценки математических моделей - это задача выбора, для решения которой необходимо определить функцию эффективности. Эта функция должна достигать экстремальных значений при выборе модели наиболее подходящей для достижения целей моделирования с учётом возможных материальных и временных ограничений. Чтобы иметь возможность судить об эффективности модели, необходим численный критерий оценки или показатель эффективности. Этот критерий принято обозначать W. Явный вид показателя эффективности определяется исходя из целей и конкретных условий моделирования. Среди множества вариантов моделирования лучшим считается тот, который доставляет показателю эффективности экстремальное значение. Кроме этого функция эффективности должна характеризовать всю модель и её значения должны быть вычислимы по возможности наиболее простым способом. Предположим, что имеется математическая модель, позволяющая оценить значение W при любом принятом решении, для любой совокупности условий. Обозначим αi,(i = 1,2,...,..)- известные факторы, на которые мы влиять не можем; xj, (j = 1,2,...,...) - факторы, которые мы можем выбирать по своему усмотрению. Показатель эффективности зависит от всех этих факторов, т.е. W = W(αi,xj) 101 Задача поиска функции эффективности формулируется следующим образом: "При заданных условиях αt найти такие элементы решения xj, при которых показатель эффективности W достигает экстремума". В рассматриваемом случае задача сводится к отысканию экстремума функции W. Возникающие при этом возможные трудности имеют не принципиальный, а вычислительный характер. В действительности моделирование может осуществляться, когда не все условия известны заранее, некоторые из них содержат элемент неопределённости. Обозначим эти неизвестные условия или параметры Yk, (k = 1,2,...,...). Тогда, очевидно, W = W(αi, Yk, xj) Задача формулируется следующим образом: "При заданных условиях αt, с учётом неизвестных факторов Yk найти такие решения хj, при которых показатель эффективности W по возможности достигал бы экстремума". Выбор решения в условиях неопределённости в значительной мере зависит от природы неопределённости. Неопределённость бывает разного происхождения: · неизвестность (есть ли жизнь на Марсе?), · расплывчатость, · случайность (вид неопределённости, подчиняющийся строгой закономерности, которая выражается распределением вероятностей). Наиболее простым и благоприятным для расчётов является случай, когда неизвестные факторы Yk есть случайные величины или случайные функции, о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение, т.е. они статистически устойчивы. В этом случае для нахождения оптимального решения или заменяют случайные факторы на неслучайные (чаще всего на их математические ожидания) и неопределённая, вероятностная картина явления приближённо заменяется детерминированной. Или применяют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), выбирая в качестве оптимального решения 102 то, при котором достигает экстремума математическое ожидание показателя эффективности. Эффективность охарактеризована больших одним и сложных показателем моделей не эффективности может и быть приходится использовать множество показателей. Пусть анализируется операция U, оцениваемая по двум показателям: W вероятность достижения цели и S - стоимость израсходованных средств. Первый показатель желательно обратить в максимум, а второй - в минимум, т.е. где x - вектор параметров (свойств), соответствующих тому или иному решению. Тогда каждому допустимому значению x соответствует точка на плоскости (W,S), которая при изменении x опишет в этой плоскости некоторую линию Рис.6.1 Рисунок 6.1 – Компромиссы Парето Значения x, соответствующие участку bс не могут обеспечить выполнение требований предъявляемых к критериям W и S, так как на этом участке их значения одновременно возрастают, на участке аb значения W(x) заведомо меньше, чем на участке cd. Критерии W(x), S(x) удовлетворяют сформулированным требованиям лишь на участках аа' и сd. Таким образом имеется возможность уменьшить множество вариантов решения, исключив из рассмотрения заведомо худшие. 103 Этот путь решения предложен итальянским экономистом В. Парето. Множество решений, полученных таким образом, называют множеством Парето. Выбор решения из множества Парето называют принципом Парето. Часто, чтобы избежать оценки операции по нескольким критериям, их объединяют в один обобщённый критерий. Эта процедура реализуется в зависимости от операции по-разному. 1. Обобщённый показатель представляется дробью в числителе дроби ставят те показатели, которые желательно увеличить, а в знаменателе - те, которые желательно уменьшить: 1. Обобщённый показатель представляется в виде взвешенной суммы отдельных показателей эффективности: где ai - весовые коэффициенты, имеющие знак "+" при тех показателях, которые желательно увеличить, и знак "-" при тех, которые желательно уменьшить. 3. Из множества показателей эффективности выделяют один, наиболее важный и стремятся получить оптимальное решение лишь по этому единственному критерию. На остальные показатели эффективности накладывают ограничения вида: и включают в число заданных условий проведения операции. 4. Показатели эффективности располагают в порядке убывающей важности. Для простоты будем считать, что каждый из них нужно обратить в максимум (если это не так, достаточно изменить знак показателя). Сначала ищется решение, обращающее показатель W1 в максимум. Затем назначается, исходя из практических соображений и точности исходных данных, некоторая 104 уступка ΔW1, ценой которой можно добиться максимума показателя W2, т.е. на W1 накладывается ограничение: где W*1 - максимально возможное значение W1, и при этом ограничении ищем решение, при котором достигается максимум показателя W2. Этот процесс продолжается по мере необходимости. Этот метод поиска компромиссного решения хорош тем, что всегда известно, ценой какой уступки в одном показателе достигается выигрыш в другом. 2. Оценка адекватности, экономичности, корректности и непротиворечивости математической модели Экономичность (Э) модели оценивается разностью между ценностью (S) новой информации, полученной с помощью модели, и затратами (Z) на получение новой информации: Э = S – Z. Под новой информацией понимаются неизвестные ранее сведения, пополняющие знания, уточняющие предположения и гипотезы. Ценность новой информации зависит от точности, своевременности, полноты, соответствия целям моделирования, возможности восприятия. Затраты на получение новой информации складываются из стоимости разработки и эксплуатации модели. Многие модели полностью или частично могут быть использованы при создании других моделей. Это свойство моделей называют универсальностью моделей. Очевидно, что универсальность модели снижает затраты на её создание и повышает экономичность. Однако, следствием универсальности является усложнение модели, необходимость учёта многочисленных, в конкретных условиях второстепенных, свойств объекта и затруднения при её использовании. Попытка создать универсальную модель для решения разнообразных задач настолько может усложнить модель, что она становится непригодной для 105 применения. Опыт показал, что лучше для каждого объекта строить свою модель, в которой отображаются наиболее важные, существенные в данном исследовании свойства объекта. Адекватность математической модели и объекта - это правильность отображения в модели свойств объекта в той мере, которая необходима для достижения цели моделирования. Существует несколько аспектов оценки адекватности модели и объекта: 1. Математическая основа модели должна быть непротиворечивой, подчиняться всем законам математической логики. 2. Математическая модель должна правильно отображать исходный объект и обеспечивать возможность предсказывать изменения состояния объекта. Для этого в модели должны выполняться законы сохранения, присущие объекту моделирования. 3. При анализе результатов моделирования, их интерпретации необходимо использовать не только формальные методы, но и, так называемые, неформальные процедуры, основанные на опыте и интуиции человека. Таким образом, оценка адекватности математической модели и объекта выполняется на различных этапах математического моделирования: при постановке задачи, в процессе построения модели, при анализе и интерпретации результатов, вследствие чего эта процедура приобретает циклический характер. Стандартной методики проверки адекватности модели объекту не существует. В каждом конкретном случае разработчик формирует систему вопросов, в которых отражаются все аспекты оценки адекватности и ответы на которые позволяют сделать вывод об адекватности модели и объекта, т.е. ответить на вопрос: отражает ли модель заданные свойства объекта в соответствии с предъявляемыми требованиями, необходимыми для достижения целей моделирования. Адекватность модели включает такие понятия как корректность и непротиворечивость. 106 Задача, решаемая в математической модели, является корректной, если при ее решении малым изменениям непрерывно меняющихся исходных данных соответствуют такие же незначительные изменения выходного результата. При неудовлетворении этого условия применение математической модели недопустимо из-за низкой устойчивости полученных по ней результатов. Другими словами задача называется корректной, если решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных, т.е. решение устойчиво. Непротиворечивость модели характеризует отсутствие абсурдных ответов и выводов при использовании модели. При этом обычно рассматриваются крайние случаи (метод доведения до абсурда). Что произойдет, если какая-то переменная примет нулевое (отрицательное, бесконечно большое) значение? Модель проверяется также на противоречия между выводами, которые можно сделать из модели и из экспериментальных данных. 107 РАЗДЕЛ 7. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ План 1. Принципы и классификация методов прогнозирования, в том числе, для изучения динамики изменения поверхности Земли геодезическими методами. 2. Методы экстраполяции. Параметрические методы. Экспертные методы. 3. Сущность нормативного, экспериментального и индексного методов прогнозирования. 1. Принципы и классификация методов прогнозирования, в том числе, для изучения динамики изменения поверхности Земли геодезическими методами Одним из признаков адекватности модели является возможность с необходимой точностью прогнозировать будущее состояние объекта. Поэтому выбор методов прогнозирования является очень важной задачей, и ее решение требует индивидуального подхода к выбору используемой модели. Под прогнозом понимается научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках изменения этого состояния. Модели можно классифицировать по различным признакам. В зависимости от вида объекта, могут быть модели физических процессов, модели развития производства, модели развития науки и техники, экономические модели, демографические модели, социальные модели, модели политических ситуаций и т. д. В зависимости от характера протекания прогнозируемого процесса, существуют следующие группы моделей: 108 эволюционного развития; революционного развития; включающие элементы и эволюционного, и революционного развития. В настоящее время существует большое количество способов и методов прогнозирования, однако все они основаны на двух подходах: эвристическом и математическом. Эвристический метод основан на мнении высококвалифицированных специалистов в данной области знания, что дает возможность избежать грубых ошибок, особенно в области скачкообразных изменений прогнозируемой величины. Метод эвристического прогнозирования в основном используется для прогнозирования процессов, формализацию которых нельзя привести к моменту прогнозирования. Математическое прогнозирование заключается в использовании имеющихся (до определенного времени) данных о некоторых характеристиках прогнозируемого объекта, обработке этих данных математическими методами и определении функций зависимости этих характеристик от времени (или от других независимых переменных) для получения необходимых свойств объекта в заданный момент времени. Процесс математического прогнозирования условно подразделяется на следующие этапы: - сбор и подготовку исходных данных; - выбор и прогнозирование математической модели исследуемого объекта; - обработку статистических данных для определения неизвестных параметров модели и получения зависимости, связывающей прогнозируемые характеристики объекта от времени или других величин; - прогнозирование, т. е. вычисления значения интересующих характеристик или свойств объекта в заданный момент времени и при заданных значениях других известных переменных. Методы математического прогнозирования условно подразделяются на методы прогнозирования движения (развития) и экстраполяции (статистические 109 методы). Процессы прогнозирования могут быть как непрерывными во времени, так и дискретными. Качество прогноза определяет степень соответствия модели реальному процессу. В ряде случаев функциями, моделирующими процесс, являются экспонента, полином (парабола, прямая), тригонометрические ряды и т. д. Используя достаточно большое количество параметров, можно провести кривую через все точки. Однако такой подход к прогнозированию содержит методический недостаток, так как при постоянных параметрах, полученных по предыстории, нельзя предсказать возможные изменения характера процесса. Комбинированное прогнозирование. Эвристическим и математическим методам прогнозирования присущи и преимущества, и недостатки. Комбинированный метод объединяет достоинства этих методов и сглаживает недостатки. Комбинированное прогнозирование имеет следующую последовательность действий. Из исследования модели процесса развития явления выявляются общие закономерности, при этом в них могут быть коэффициенты или функции, которые не удается определить на основании анализа моделей процесса. Эти коэффициенты (или функции) определяют статистическими методами. Полученные данные позволяют выполнить математический прогноз. Независимо от него осуществляется эвристический прогноз, и затем результаты эвристического и математического прогнозирования сравниваются. В случае их непротиворечивости, задачу прогнозирования можно считать решенной. В случае противоречивости прибегают к методу логического анализа, с помощью которого и принимают окончательное решение. Укажем на достоинства и недостатки методов математического и эвристического прогнозирования. Эвристический метод принципиально применим для прогнозирования любых процессов: непрерывных или дискретных, стационарных или нестационарных, имеется ли «скачок» или нет, имеются ли статистики или нет. Однако этот метод является субъективным. 110 Метод наименьших квадратов (МНК) объективен. По своей сути он предназначен для обработки статистических данных, дискретных процессов. Однако, для него необходим достаточно большой статистический материал, необходимо знать вид функции, описывающий процесс, а также он не дает возможности предсказать «скачок» ни на участке упреждения, ни на участке наблюдения. МНК предполагает неизменность модели в области наблюдений и в области прогноза, «скачок» же – это изменение модели. Существуют методы оптимальной фильтрации (Винера – Хопфа, фильтр Калмана), предназначенные для обработки непрерывных статистических данных и рассчитанные, прежде всего, на применение в автоматических системах управления. Эти фильтры быстро и просто реализуются на ЭВМ, очень удобны для получения непрерывного прогноза, однако для них характерны: необходимость значительного статистического материала, знания корреляционной функции процесса и невозможность предсказания скачков на участке упреждения. Кроме перечисленных методов, для прогнозирования применяют метод канонических разложений и метод прогнозирования с помощью моделирования процессов развития, который идеален в том случае, если процесс детально изучен. Для сложных процессов построить корректную модель часто не удается. Рассмотренные способы прогнозирования характеристик процессов являются актуальными при допущении неизменности их моделей как на участке наблюдения за этими процессами, так и на участке прогнозирования. Однако не всегда параметры принятой модели не меняются. В большинстве случаев входные данные искажены помехой. Поэтому иногда трудно распознать, является ли отклонение нового наблюдения следствием внешнего воздействия, помехи или внутреннего воздействия. В последнем случае необходимо, чтобы модель позволяла как можно точнее описывать текущие данные о процессе, и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в 111 прошлом. Очень важно, чтобы прогнозирующая система могла автоматически распознавать изменения в модели. Одним из путей решения этой задачи является применение прогнозирования методом экспоненциального сглаживания. Математическая модель экспоненциального сглаживания имеет вид St A yt (1 A) St 1. (7.1) В выражении (7.1) A – постоянная сглаживания. Текущее значение сглаженной величины St равно сумме предыдущего ее значения и некоторой доли разности между текущим наблюдением и предыдущим значением сглаженной величины. Величина St является линейной комбинацией всех наблюдений, вес которых убывает по геометрической прогрессии со временем. Текущее наблюдение имеет вес A. Значение A Предельное значение A 0 . При этом S t лежит в интервале (0, 1). S t 1 , т. е. значение S настолько стабильное, что можно не использовать новую информацию о процессе. Напротив, A 1 означает, что предшествующей информации о процессе доверять нельзя. При применении экспоненциального сглаживания для определения коэффициента постоянной предшествующее значение оценки At 1 модели A необходимо знать и текущего наблюдения yt . Точность и скорость реакции системы на изменение в модели зависят от величины постоянной сглаживания A. Малая величина A обеспечивает большую точность оценки A при неизменной модели, но медленную реакцию на изменение в модели, а увеличение A будет способствовать увеличению скорости этой реакции. 2. Методы экстраполяции. Параметрические методы. Экспертные методы. Экстраполяция представляет метод прогнозирования, заключающийся в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций развития процессов и явлений и переносе их на будущее. Метод экстраполяции 112 применим, если используются следующие допущения: а) период времени, для которого построена функция, должен быть достаточным для выявлении тенденции развития; б) анализируемый процесс является устойчиво динамическим и обладает инерционностью, т.е. для значительных изменений характеристик процесса требуется время; в) не ожидается сильных внешних воздействий на изучаемый процесс, которые могут серьезно повлиять на тенденцию развития. Прогнозирование с помощью метода экстраполяции – один из простейших методов статистического прогнозирования. Его использование оправдано при недостаточном знании о природе изучаемого явления или отсутствии данных, необходимых для применения более совершенных методов прогнозирования. Различают а) простую экстраполяцию, которая предполагает, что все действовавшие в прошлом и настоящем тенденции сохранятся в полном объеме, так как все действовавшие факторы останутся неизменными; б) прогнозную экстраполяцию, которая базируется на предположении об изменении факторов, определяющих динамику изучаемого процесса или явления. Основу экстраполяции составляет изучение динамических рядов, представляющих собой упорядоченные во времени наборы измерений тех или иных показателей исследуемого объекта. В основе динамического анализа лежит понятие траектории, которая описывает состояние изучаемого процесса как функцию от времени: Q = Q(t), t [0,T], [0,T] – отрезок времени. При этом время может учитываться как по интервалам, так и непрерывно. В первом случае функция называется динамическим рядом. Использование экстраполяции имеет в своей основе предположение о том, что рассматриваемый процесс представляет собой сочетание двух составляющих: регулярной составляющей (Хt) и случайной переменной ( Временной ряд может условно представлен в виде: Yt = Xt + t. 113 t ). Регулярная составляющая называется трендом, тенденцией и характеризует существующую динамику развития процесса в целом. Случайная составляющая отражает случайные колебания (шумы процесса). Параметрический метод прогнозирования — метод прогнозирования элементов полезного эффекта͵ затрат и других, основанный на установлении зависимостей между параметрами объекта и организационно-технического уровня производства, с одной стороны, и полезным эффектом или элементами затрат — с другой. Осуществляется изучение влияния условий на достижение интересующего результата. Изучение проводиться на базе формулы- ʼʼПараметрической моделиʼʼ. Y- ком в этой модели выступает цель, а условия обозначены другими символами и являются параметрами модели. К примеру : объём реализации = количество * цена =Q=qi*цi Область применения: применяется для любого технико-экономического показателя для которого известна алгебраическая зависимость между его значением и параметрами характеризующими процесс. Составление сред несрочных прогнозов полезного эффекта͵ возможного изменения рынков сбыта анализируемой продукции серийного производства. Срок прогнозирования до 10 лет Преимущества: Достаточная точность и простота расчета. Очень дешевый способ поскольку требует интуиции исследователя и минимального количества исходной информации. В качестве исходной информации выступают параметры учтенные в модели и интервалы в которых эти параметры могут изменяться. Недостатки: достоверность прогноза зависит от точности модели. Значительная трудоемкость установления зависимости для прогнозирования, учет функций объекта и показателей организационно-технического уровня производства у изготовителя, потребителя и ремонтной организации. Экспертные методы– количественные и качественные оценки процессов или явлений, основанные на суждениях экспертов. При работе с 114 экспертами используются специальные методы объективизации полученных выводов (метод Дельфи, метод обобщенных характеристик и т.п.). Экспертные подразделяются на методы: индивидуальной экспертизы (методы интервью различных экспертов); коллективной экспертизы (метод Дельфи). Метод экспертных оценок – метод Дельфи, был разработан Олафом Хелмером, видным математиком из корпорации “Рэнд”. По этому методу группа специалистов-экспертов анонимно делает прогноз относительно предстоящих изменений. Собирается группа экспертов, составляется набор вопросов, рассылаются анкеты с этими вопросами экспертам-специалистам, они отвечают, затем идет уточнение и повторная рассылка, опять собираются ответы, затем формируется мнение. Мозговая атака– групповой метод решения проблем. Мозговая атака была предложена в 30-е гг. прошлого столетия Алексом Осборном. Он использовал в процедуре тот факт, что одни люди хорошо генерируют идеи, но плохо справляются с их анализом, а другие больше склонны к критическому анализу идей, чем к их генерированию. Метод сценариев–метод декомпозиции (т.е. упрощения) задачи прогнозирования, предусматривающий выделение набора отдельных вариантов развития событий (сценариев), в совокупности охватывающих все возможные варианты развития. При этом каждый отдельный сценарий должен допускать возможность достаточно точного прогнозирования, а общее число сценариев – быть обозримым. В конкретной ситуации сама возможность подобной декомпозиции не всегда очевидна. Мнение жюри, как правило, сводится к обобщению мнений экспертов с дальнейшим их усреднением. Метод контрольных вопросов – один из методов психологической активизации творческого мышления. Цель метода контрольных вопросов – с 115 помощью заранее сформулированных наводящих вопросов подвести экспертов к решению задачи. Метод лицом к лицу – одна из процедур группового опроса экспертов. Опрос в рамках метода лицом к лицу проводится в группе численностью от 10 до 30 экспертов. Руководство опросом со стороны организатора почти исключено. Он должен лишь следить за тем, чтобы каждый эксперт предлагал свои оценки. Время продолжительности процедуры не ограничено, но на практике составляет 20–40 мин. Достоинство метода – его простота. Метод ситуационного анализа – метод, объектом исследования которого является новая ситуация. Разработан Е.М.Примаковым, В.И.Гантманом и В.И.Любченко в 1970-е гг. Ситуационный анализ позволяет организовывать и направлять процесс активного сбора, оценки и переработки имеющейся первичной информации и воспроизводства новой, вторичной информации как аналитического, так и прогнозного характера. Ситуационный анализ проводится в три этапа. В первоначальном варианте метода оптимальным считалось использование 25–30 экспертов. Модель ожидания потребностей – производится опрос клиентов. Методы аналитических справок – например: метод морфологического анализа. Изобрел этот метод швейцарский астрофизик Цвейки при попытке определить химический состав снаряда. Смысл его в том, что объект делится на ряд характерных составляющих, параметров. Составляется матрица вариантов реализации прогноза. 3. Сущность нормативного, экспериментального и индексного методов прогнозирования Нормативный метод является одним из основных методов прогнозирования и планирования. В современных условиях ему стало придаваться особое значение в связи с использованием ряда норм инормативов в качестве регуляторов экономики. Сущность нормативного метода за116 ключается в технико-экономическом обосновании прогнозов, планов, программ с использованием норм и нормативов. Последние применяются для расчета потребности в ресурсах и показателей их использования. С помощью норм и нормативов обосновываются важнейшие пропорции, развитие материального производства и непроизводственной сферы, осуществляется регулирование экономики. Норма характеризует научно обоснованную меру расхода ресурса на единицу продукции (работы) в принятых единицах измерения, например расход муки на 1 т хлебобулочных изделий согласно утвержденной рецептуре. В виде нормы выступает потребление того или иного продукта на душу населения согласно научно обоснованному рациону питания. В непроизводственной сфере применяются нормы, характеризующие необходимый размер общей и жилой площади на одного жителя, потребление воды на одного человека и др. Экспериментальный метод прогнозирования применяется для решения частных задач в массовом производстве на стадиях НИОКР и организационнотехнологической подготовки производства. На экспериментальных установках, испытательных полигонах, опытно-промышленных партиях товаров, которые потом будут выпускаться в больших количествах, устанавливаются различные нормативы качества и элементов затрат. Экспериментальный метод прогнозирования дорогой, т. к. требует строительства (реконструкции) опытноэкспериментальных установок, полигонов и других объектов. Поэтому для его применения необходимо провести тщательное технико-экономическое обоснование, обеспечить высокий уровень организации р Индексный метод , позволяющий с помощью индексов соизмерять сложные явления путем приведения анализируемых величин к некоторому общему единству. В роли соизмерителя могут выступать денежная оценка, трудовые затраты и т.п. Метод применяется для изучения динамики явления, позволяет выявлять и измерять влияние факторов на изменение изучаемого явления. 117 РАЗДЕЛ 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ План 1. Методы теории планирования эксперимента при проведении научноисследовательских работ и научно-технических разработок. 2. Стратегическое и тактическое планирование экспериментов. 1. Методы теории планирования эксперимента при проведении научноисследовательских работ и научно-технических разработок Планирование эксперимента раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию опытов, подверженных случайным ошибкам. Его содержание составляет процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Объективно существует три типа эксперимента: 1. Активный, когда имеется неограниченная возможность вмешательства в эксперимент и сознательного изменения его условий. 2. Пассивный, когда имеется лишь возможность регистрации результатов и никакое вмешательство в эксперимент невозможно. 3. Смешанный (активно - пассивный), когда имеется ограниченная возможность вмешательства в эксперимент, например, возможность выбора некоторых условий эксперимента или выбора значений некоторых параметров. Эксперимент всегда выполняется над некоторым объектом. В теории планирования эксперимента объект рассматривается как "чёрный ящик" система, у которой доступны для наблюдения лишь внешние воздействия (факторы) и её реакция на эти воздействия в виде численных характеристик целей исследования. Связь между внешними воздействиями и реакцией системы на них определяется вектор - функцией 118 где Y, X - векторы, составленные из значений внешних факторов и реакций системы. Эта функция называется функцией отклика. После того как функция отклика определена, остаётся только спланировать и провести эксперимент. Рассмотрим два варианта постановки задачи планирования эксперимента. ПРИМЕР 1 1. Из теории игр и статистических решений Пусть имеется m возможных стратегий: А1, А2,...,Аm(внешних воздействий) и n вариантов реакции объекта на каждое из этих воздействий. Предположим, что известна функция отклика и имеется возможность оценить "стоимость" а ij (i=l,2,...,m; j=l,2,...n) использования каждой стратегии относительно каждой возможной реакции объекта. Требуется выбрать такую стратегию А, которая является предпочтительной (более выгодной) по сравнению с другими. (Здесь можно рассмотреть решения, основанные на критериях Вальда, Гурвица, Сэвиджа и выяснить следует ли проводить эксперимент, чтобы уменьшить неопределённость). ПРИМЕР 2 2. Из планирования оптимального эксперимента Задача формулируется в терминах "чёрного ящика". Состояние "Ч.Я." и численных значений факторов определяют условия одного из возможных опытов. Необходимо выбрать количество и условия проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий, выполнить математическую обработку результатов и на основании этого принять решение о продолжении или завершении эксперимента. Основные задачи необходимые при планировании эксперимента следующие: 1. выбор области, где имеет смысл планировать эксперимент, 2. определение внешних воздействий и реакции объекта на них, 3. определение функции отклика, 119 4. составление плана эксперимента по имеющимся данным, 5. выполнение активных и пассивных экспериментов в автоматическом и диалоговом режиме, 6. анализ результатов и принятие решений о необходимых дальнейших действиях. Не смотря на успехи в теории планирования эксперимента, имитационные модели не всегда могут быть реализованы из-за неопределённости выбора вариантов моделирования среди множества альтернатив или неопределённости возможной реакции объекта на внешние воздействия. В таких условиях в имитационную модель вводится неформальный элемент, с помощью которого разрешаются эти проблемы. Включение неформального элемента в имитационную модель осуществляется за счёт организации диалога "человек компьютер". Главным в организации диалога является создание своеобразного алгоритма - системы вопросов, ответы на которые получают в процессе имитационного моделирования, используя формальные и неформальные методы анализа. В условиях неопределённости для повышения эффективности имитационного моделирования заблаговременно формулируются гипотезы о возможных состояниях и поведении объекта и создают модели, соответствующие этим гипотезам и сравнительно просто и эффективно реализуемые в условиях диалога. Имитационные модели эффективно применяются для решения, например, следующих задач: 1. изучение недоступных объектов, 2. создание методик изучения объекта, 3. выявление наиболее существенных параметров объекта, 4. использование в качестве тренажёра для приобретения профессиональных навыков обучения методам анализа и принятия решений Для успешного решения этих задач имитационная система должна: 120 состоять из математических моделей, адекватно отражающих реальность, иметь надёжную и доброкачественную исходную информацию, иметь хорошо функционирующую систему визуализации результатов и предельно облегчённый ввод новой информации, техническая база должна соответствовать требованиям, предъявляемым к имитационной системе, и обеспечивать достижение поставленных целей. Имитационное моделирование создаёт информационную базу для решения проблемных ситуаций, когда способ действия для достижения результата неизвестен, приводит к нетрадиционным способам получения новой информации. Основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе S при ограничениях на ресурсы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся задачи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т. д. Основная задача планирования машинных экспериментов с моделью Мм формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования. Для планирования эксперимента наиболее важное значение имеет следующее: 1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью Мм системы S; 2) возможность управления экспериментом с моделью Мм, включая его прерывание и возобновление; 3) легкость варьирования условий (воздействий внешней среды Е); 121 проведения эксперимента наличие корреляции между последовательностью точек в процессе моделирования. Преимуществом машинных экспериментов перед натурным является возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы S. Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях. Различают входные и выходные переменные: x1, x2 ,..., xk ; y1, y2 ,..., yi В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то х — фактор, а у — реакция. В экспериментах с машинными моделями Мм системы S фактор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной. Каждый фактор xi , i 1, k может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов. Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить соотношения yl l ( x1 , x2 ,..., xk ), l 1, m 122 в виде Функцию , связывающую реакцию с факторами, называют Функцией l реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции — поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей l ~ поэтому используют приближенные соотношения: yl l , l 1, m ( x1 , x2 ,..., xk ), l 1, m При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми изучаемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и и не изучаемыми, количественными ненаблюдаемыми, и качественными, фиксированными и случайными. Фактор называется УПРАВЛЯЕМЫМ, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели Мм исследователь принимает решения, управляя изменением в допустимых пределах различных факторов. Фактор называется НАБЛЮДАЕМЫМ, если его значения наблюдаются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как моделью Мм нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили название СОПУТСТВУЮЩИХ. Фактор относится к ИЗУЧАЕМЫМ, если он включен в модель Мм для изучения свойств системы S, а не для вспомогательный целей, например для увеличения точности эксперимента. Фактор будет КОЛИЧЕСТВЕННЫМ, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактом называется КАЧЕСТВЕННЫМ. Фактор называется ФИКСИРОВАННЫМ, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую 123 случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется СЛУЧАЙНЫМ. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется ОПЕРАЦИОНАЛЬНЫМ и обеспечивает однозначность понимания фактора. Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Для этого необходимо: 1, k 1. отобрать факторыxi , i , влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; 2. установить диапазон изменения факторовxi min : xi max 3. определить координаты точек факторного пространства x1 , x2 ,..., xk , в которых следует проводить эксперимент; 4. оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется ПОЛНЫМ ФАКТОРНЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ (ПФЭ). 2. Стратегическое и тактическое планирование экспериментов Стратегическое планирование ставит своей целью решение задачи получения необходимой информации о системе S с помощью модели Мм, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора. По своей сути стратегическое планирование 124 аналогично внешнему проектированию при создании системы S, только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы. Тактическое планирование представляет собой определение способа проведения каждой серии испытаний машинной модели Мм, предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планирования также имеется аналогия с внутренним проектированием системы S, но опять в качестве объекта рассматривается процесс работы с моделью Мм. 125 РАЗДЕЛ 9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ План 1. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) 2. Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) 3. Дискретно-стохастические модели (Р-схемы) 4. Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы) Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которые требуется моделировать (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей). Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а возможно, и комбинированном, т.е. аналитико-имитационном. Применительно к конкретному объекту моделирования, т.е. к сложной системе, разработчику модели должны помочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса систем математические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследованиях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем. Основные подходы к построению математических моделей систем Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы, исследуемой (проектируемой) системы. Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать 126 требования к разрабатываемой математической модели M. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы. Введение понятия "математическая схема" позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой, исследователя системы, в первую очередь, должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационновычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде. Математическую схему можно определить, как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка «описательная модель — математическая схема — математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель». Каждая конкретная система характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой). 127 При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об её полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S - среда E». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причём, отнесение свойств системы к основным или второстепенным, существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т.д.). 1. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы) Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена модель. Особенностью непрерывно-детерминированного подхода является применение в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде будет: 128 y1=f(y,t); y(t0)=y0 (9.1) где y1=dy/dt, y=(y1, y2,…,yn) и f=(f1, f2,…,fn) – переменные n-векторы; f(y,t) – вектор-функция, которая определена на некотором (n + 1)-мерном (y,t) множестве и является непрерывной. Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т.е. её поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic). В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид: y1=f(y,t) (9.2) Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования элементарных систем различной физической природы: механической SM (колебания маятника, рис.9.1): Рисунок 9.1 – Колебания маятника электрической SX (колебательный контур, рис. 9.2): Рисунок 9.2 – Колебательный контур 129 двух Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением: mMl2M|d20(t)/dt2|+mMglM0(t)=0 (9.3) где mM, lM - масса и длина подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; в 0(t) – угол отклонения маятника в момент времени t. Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением: LI|d2q(t)/dt2|+|q(t)/CI|=0 где LI, CI - индуктивность и ёмкость конденсатора; q(t) – заряд конденсатора в момент времени t. Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Очевидно, что, введя обозначения h0=mMl2M=LI, h1=0, h2=mMglM=1/CI, 0(t)=q(t)=z(t), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение замкнутой системы: h0|d2z(t)dt2|+h1|dz(t)/dt|+z2z(t)=0 (9.4) где h0, hl — параметры системы; z(t) — состояние системы в момент времени t. Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (9.4). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы SM) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы SX). Если изучаемая система S, т.е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие x(t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид: h0|d2z(t)/dt2|+h1|dz(t)dt|+h2z(t)=x(t) 130 (9.5) где h0, hl, h2 — параметры системы; х(t) — состояние системы в момент времени t. С точки зрения общей схемы математической модели x(t) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управления — частный случай динамических систем, описываемых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики. Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Рисунок 9.3 – Структура системы автоматического управления Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рисунке 9.3, где обозначены: эндогенные (зависимые) переменные: x(t) – вектор входных (задающих) воздействий; v(t) – вектор возмущающих воздействий; hI(t) – вектор сигналов ошибки; h0(t) – вектор управляющих воздействий; экзогенные (независимые) переменные: z(t) – вектор состояния системы S; 131 у(t) – вектор выходных переменных; обычно у(t)=z(t) Современная управляющая система — это совокупность программнотехнических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект управления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния y(t). Разность между заданным yзад(t) и действительным y(t) законами изменения управляемой величины есть ошибка управления h'(t)= yзад(t) - y(t). Системы, для которых ошибки управления h'(t) = 0 во все моменты времени, называются идеальными. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким автоматического образом, управления, ошибка h'(t) основанного на — необходимый принципе субстрат отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной у(t) ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной у(t) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной у(t) в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы S. Таким образом, использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их 132 основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники. 2. Дискретно-детерминированная схема модели Дискретно - детерминированные модели (f-схемы) Дискретно - детерминированные модели в своей основе содержат теорию автоматов. В этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свое внутреннее состояние лишь в допустимые моменты времени. Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а, следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами. Дискретно-детерминированный подход характерен тем, что в качестве математического аппарата на этапе формализации процесса функционирования систем используется математический аппарат теории автоматов. Теория автоматов - изучение математических моделей — автоматов. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: - конечным множеством X входных сигналов (входным алфавитом); - конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); 133 - конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); - начальным состоянием z0, z0ЄZ; - функцией переходов ф(z, х); - функцией выходов j(z, х). Автомат, задаваемый F-схемой F={Z,X,Y,j,y,z0} функционирует в дискретные моменты времени, которые называются такты, равные друг другу, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, ... дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=zo. В момент времени t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t)ЄX и выдать на выходном канале сигнал у(t) = y [z(t), x(t)], переходя в состояние z(t +1) = j [z(t), х(t)], z(t)ЄZ, y(t)ЄY. Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного алфавита Y. Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z0, подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита х(0), х(1), х(2), ..., т. е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у(0), у(1), у(2), ..., образуя выходное слово. Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-ом такте на вход автомата, находящегося в состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t + 1)-ом такте в новое состояние z(t + l) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили: z(t+1)=ф|z(t),x(t)|, t=0,1,2,… (9.6) 134 j(t)=y|z(t),x(t)|, t=0,1,2,… (9.7) для F-автомата второго рода: z(t+1)=ф|z(t),x(t)|, t=0,1,2,… (9.8) j(t)=y|z(t),x(t-1)|, t=0,1,2,… (9.9) Автомат второго рода, для которого: y(t)=j|z(t)|, t=0,1,2,… (9.10) т.е. функция выходов не зависит от входной переменной х(t), называется автоматом Мура. По числу состояний различают: - конечные автоматы с памятью и - конечные автоматы без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (9.7), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида: y(t)=ф|x(t)|, t=1,2,... Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв. По характеру отсчёта дискретного времени конечные автоматы делятся на: - синхронные и - асинхронные: В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные синхронизирующими сигналы, сигналами. После определяются очередного принудительно синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (9.6) — (9.10) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего 135 автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из (9.6) — (9.10), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом. Чтобы задать конечный F-автомат, необходимо описать все элементы множества F={Z,X,Y,ф,j,z0}, т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z0, в котором автомат находился в момент времени t=0. Таким образом, понятие F-автомата в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной функционирования для реальных описания объектов широкого в класса автоматизированных процессов системах обработки информации и управления. В качестве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т. д. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени, т.е. их описание с помощью F-схем является эффективным. 136 3. Дискретно-стохастическая схема модели Дискретно-стохастические модели (Р-схемы) При дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования системы S подход остается аналогичный рассмотренному конечному автомату, то влияние фактора стохастичности (вероятностности) можно проследить разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный (стохастический) автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Применение схем вероятностных автоматов (Р-схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям. Множество G, элементами которого являются всевозможные пары (xi,zs), где хi и zs —-элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, то с их помощью осуществляются отображения G→Z и G→Y, то говорят, что F={Z,X,Y,ф,j} определяет автомат детерминированного типа. Введём в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида (xi, yj), где yj - элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида: 137 При этом, K J k 1j 1 bkj 1 , где bkj - вероятности перехода автомата в состояние zk и появления на выходе сигнала yj если он был в состоянии zs и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x i. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов B=(Z,X,Y,B) называется вероятностным автоматом (Р-автоматом). Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей (случайных чисел), которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е. Для оценки различных характеристик исследуемых систем, представляемых в виде Р-схем, кроме случая аналитических моделей можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования. 4. Непрерывно-стохастическая схема модели Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы) При непрерывно-стохастическом подходе в качестве типовых математических схем применяется система массового обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания. 138 В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования. обслуживания, Остановимся необходимых на для основных использования понятиях Q-схем, массового как при аналитическом, так и при имитационном. В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: 1. Ожидание обслуживания заявки; 2. Собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-гo прибора обслуживания Пi (см.рис. 9.4), Рисунок 9.4 – прибора обслуживания Пi состоящего из накопителя заявок Нi, в котором может одновременно находиться li=01LHi заявок, где LHi - ёмкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki 139 На каждый элемент прибора обслуживания Пi, поступают потоки событий: в накопитель Hi — поток заявок wi на канал Ki — поток обслуживания ui. Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью: {tn}={01 to = 0, т. е. t1 = t1 Потоком неоднородных событий называется последовательность {tn,fn} где tn — вызывающие моменты; fn — набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п. Поток, в котором события разделены интервалами времени t1, t2,…, которые вообще являются случайными величинами. Пусть интервалы t1, t2,.., независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием. Пример потока событий приведен на рисунке 9.5, где обозначено Тj — интервал между событиями (случайная величина); Тн — время наблюдения, Tс — момент совершения события: 140 Рисунок 9.5 – Пример потока событий Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле λ=N/TH, где N — число событий, произошедших за время наблюдения Тн. Если Тн =const или определено какой-либо формулой Tj=f(Tj-1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным. Случайные потоки бывают: 1. Ординарными - когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю. Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени Dt, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события Р>1 (t, Dt), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени Dt попадает ровно одно событие P1 (t, Dt), т. е. P1 (t, Dt)> Р>1 (t, Dt). 2. Стационарными - когда частота появления событий постоянная. Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени t зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени взят этот участок. 3. Без последействия - когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий. Обычно при моделировании различных систем применительно к элементарному каналу обслуживания Кi можно считать, что поток заявок wiEW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе Ki образует подмножество неуправляемых переменных, а 141 поток обслуживания uiEU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных. Заявки, обслуженные каналом Кi и заявки, покинувшие прибор Пi, по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя Нi), образуют выходной поток yiEY, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных. В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания Пi ( (сети массового обслуживания). Если каналы Кi различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы Пi и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой. Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует. В замкнутых Q-схемах имеются обратные связи, по которым заявки двигаются в направлении, обратном движению вход-выход. Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в различных неоднозначных ситуациях. В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания 142 заявок в накопителе Нi, и обслуживания заявок каналом Кi каждого элементарного обслуживающего прибора Пi Q-схемы. Неоднородность заявок, отражающая процесс в той или иной реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов. В зависимости от динамики приоритетов в Q-схемах различают статические и динамические приоритеты. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Qсхемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании в зависимости от возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя Hi на обслуживание каналом Кi можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Нi ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом Кi и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Нi прерывает обслуживание каналом Кi заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал (при этом вытесненная из Кi заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какоето место в Нi). При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания Пi (каналов Кi и накопителей Нi) необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают Нi и Кi, для Нi — либо правила переполнения, по которым заявки в зависимости от заполнения Нi, покидают систему, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Нi, для Кi — правила выбора маршрутов или направлений ухода. 143 Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале Кi или не допускаются до обслуживания каналом Кi т. е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки Кi по выходу и по входу. Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А. Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно задаётся в виде Q=(W,U,H,Z,R,A). При ряде упрощающих предположений относительно подмножеств входящих потоков W и потоков обслуживания U (выполнение условий стационарности, ординарности и ограниченного последействия) оператора сопряжения элементов структуры R (однофазное одноканальное обслуживание в разомкнутой системе), подмножества собственных параметров Н (обслуживание с бесконечной емкостью накопителя), оператора алгоритмов обслуживания заявок А (бесприоритетное обслуживание без прерываний и блокировок) для оценки вероятностно-временных характеристик можно использовать аналитический аппарат, разработанный в теории массового обслуживания. 144 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представленный конспект лекций дает возможность обучающимся ознакомиться с основными понятиями математического моделирования, а также с концептуальными принципами разработки и анализа математических моделей, постановкой и планированием экспериментов, построением прогнозных функций физических процессов, методами моделирования для принятия решений при управлении. 145 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Геодезия. Теория математической обработки геодезических измерений [Текст] : учебник / В. В. Голубев. - М. : МИИГАиК, 2016. - 422 с. 2. Математические методы обработки и анализа пространственных данных на ЭВМ [Текст] : учеб. пособие / А. Г. Барлиани ; СГУГиТ. - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. - 146 с. 3. Математическая обработка полевых геодезических измерений. Предварительные вычисления [Текст] : учеб. пособие (утв.) / П.А. Карев. - Новосибирск : СГГА, 2010. - 67 с. 4. Барлиани А.Г. Теория математической обработки геодезических измерений [Текст] : учеб. пособие / А. Г. Барлиани ; СГУГиТ. - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. - 174 с. 5. Барлиани А.Г. Теория математической обработки геодезических измерений [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А. Г. Барлиани ; СГУГиТ. - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. - Режим доступа: http://lib.sgugit.ru – Загл. с экрана. 6. Маркузе Ю.И., Голубев В.В. «Теория математической обработки геодезических измерений» - М., Академический Проект, 2010. – 247 с. 7. Поклад, Г. Г. Геодезия [Текст] : учеб. пособие для вузов, рекомендовано УМО / Г. Г. Поклад, С П. Гриднев. - М. : Академический проект, 2011. – 537 с. 8. Мазуров Б.Т. Математическое моделирование по геодезическим данным: учеб. пособие. – Новосибирск: СГГА, 2013. - 127 с. 9. Мазуров Б.Т. Математическое моделирование по геодезическим данным [Электронный ресурс]: учебное пособие. – Новосибирск: СГГА, 2013. – 126 с. – Режим доступа: http://lib.sgugit.ru - Загл. с экрана. 146