Математический анализ

СОДЕРЖАНИЕ Тема 3. Математический анализ 3 3.1 Функциональная зависимость 3 3.2 Обзор элементарных функций 5 3.3 Предел и непрерывность функции 9 3.4 Неопределенности 16 3.5 Производная. Определение. Свойства и формулы 18 3.6 Приложения дифференциального исчисления 25 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 31 Тема 3. Математический анализ 3.1 Функциональная зависимость Понятие функции и функциональной зависимости является основополагающим в математике. Это понятие тесно связано с понятием числового множества. Числовым множеством будем называть всякую совокупность вещественных чисел. Каждое вещественное число изображается точкой числовой оси, поэтому всякому числовому множеству можно сопоставить на оси множество точек. Отрезком [а, b] называется множество чисел х, для которых а  х  b. Длина отрезка [а, b] равна b–а. Интервалом (а, b) называется множество чисел х, для которых а < x < b. Интервал называют открытым промежутком, отрезок – замкнутым. Дадим важное в дальнейшем понятие δ-окрестности (δ – дэльта) точки. Пусть х0 – некоторое число и δ > 0 (положительное число). Определение. δ-окрестностью числа х0 называется множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х0–δ  х  х0+δ. Иначе говоря, δ-окрестность точки х0 – это интервал с центром в точке х0, длина которого равна 2δ. Рисунок - 43 Используя определение модуля (абсолютной величины) числа, δ окрестностью числа х0 можно назвать все те числа х, которые удовлетворяют неравенству х–х0δ. Изучая тот или иной процесс, мы сталкиваемся с различными величинами, которые можно разбить на два типа. Одни величины в данном процессе остаются неизменными. Их называют постоянными величинами. Другие в данном процессе изменяются и называются переменными. Например, при движении автомобиля его длина, ширина постоянны, а длина пути, количество бензина в баке являются величинами переменными. Определение. Множество всех значений переменной величины, которое она принимает в процессе своего изменения, называется множеством ее значений или областью изменения переменной. Рассматривая некоторый процесс, мы имеем дело со взаимным изменением нескольких величин, когда изменение одной величины влечет изменение другой. Понятие функциональной зависимости возникло в результате отвлечения от физической сущности взаимно изменяющихся величин и выделения самого факта зависимости. Определение. Если каждому значению переменной величины х из множества Х ее значений по некоторому правилу сопоставлено определенное значение другой переменной у, то у называется зависимой переменной или функцией от х. х называется независимой переменной (аргументом); множество Х называется областью определения данной функции. Множество У значений переменной у называется множеством значений функции. Задать функцию – значит задать и область определения ее и закон соответствия между переменными х и у. Функция обозначается следующим образом: у=ƒ(x), y=φ(х), у=F(х) и т.п. 3.1.1 Способы задания функции Аналитический способ задания является одним из самых распространенных и наилучшим образом приспособлен к операциям математического анализа. Функциональная зависимость задается с помощью формулы, аналитического выражения. Например, . Здесь функция у принимает только неотрицательные значения и определена на множестве, где R2–х2  0, т.е. х2 R2. Если R0, то –R  x  R. Другой пример: . Здесь у – функция, определенная всюду (х – любое число), и принимает любые действительные значения. Заметим, что к недостаткам аналитического способа следует отнести следующее: не всякую функциональную зависимость можно задать аналитически, найденная формула может быть очень громоздкой и неудобной для исследования, наконец, формула не дает наглядности. Табличный способ задания знаком из школьного курса (таблицы значений для sinx, cosx, lgx, …). При табличном способе задания выбирается лишь ограниченное число значений аргумента х, и соответствующие им значения функции у заносятся в таблицу. Недостатком этого способа задания прежде всего является то, что некоторых нужных нам значений функции в таблице может не быть. Рассмотрим наиболее наглядный способ задания функции. 3.1.2 График и графическое задание функции В прямоугольной системе координат на плоскости построим множество точек М (х, у), где у=ƒ(х). Полученное множество называется графиком функции ƒ(х). В этом случае уравнение у=ƒ(х) называют уравнением множества точек М. Как правило, будем рассматривать функции, график которых состоит из одной линии или из совокупности нескольких линий. График является наглядным и легко обозримым изображением функции и поэтому оказывает большую помощь при изучении ее. Рассмотрим некоторые общие свойства функций. 3.1.3 Ограниченность функции Назовем функцию ƒ(х) ограниченной, если для всех х из области ее определения существует такое число D, что ƒ (х)  D (D 0). Например, функции sin x и cos x являются ограниченными. Монотонные функции Функция ƒ (х) называется возрастающей в области ее определения Х, если бóльшим значениям аргумента соответствуют и бóльшие значения функции, т. е. для х1  х2 ƒ(х1)  ƒ(х2). Функция ƒ(х) называется убывающей, если для х1  х2 ƒ(х1)  ƒ (х2). Например, функция ƒ(х)=2х является возрастающей. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Периодические функции Функция ƒ(х) называется периодической с периодом Т, если равенство ƒ(х+Т)=ƒ(х) выполняется для всех х из области определения функции. Например, sin (х+2π)=sin x, tg (x+π)=tg x. Это значит, что функция sin x – периодическая с периодом 2π, tg х – периодическая с периодом π. Четные и нечетные функции Функция ƒ(х) должна быть определена в симметричной относительно начала координат области. Функция ƒ(х) называется четной, если значение не изменится при замене х на –х, т. е. ƒ(–х)=ƒ(х). Если же ƒ(–х)= –ƒ(х), то ƒ(х) – нечетная. Например, х2, х4, cos x, 1+5·x2 – функции четные, х, х3, sin x, tg x – функции нечетные. Заметим, что график четной функции симметричен относительно оси ординат Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. 3.2 Обзор элементарных функций Кратко остановимся на основных классах элементарных функций, т. к. все они изучаются в курсе средней школы. Постоянная функция: ƒ(х)=с. График ее – прямая у=с. Степенная функция: ƒ(х)=хn, где n – любое число. При n четном степенная функция является четной, при n – нечетном – функция нечетная. Приведем графики функций Рисунок 44 - Графики степенных функций ƒ(х)=х, ƒ(х)=х2, ƒ(х)=х3, ƒ(х)=х4. Многочлен (целая рациональная функция): ƒ(х)=а0+а1х+а2х2+а3х3+ … +аnхn. Рисунок 45 - Графики линейных функций Частные случаи этой функции – хорошо известные линейная функция ƒ(х)=ах+b (график ее – прямая) и квадратный трехчлен ƒ(х)=ах2+bх+с (график ее – парабола). Рисунок 46 - График квадратного трехчлена у=ах2+bх+с, а  0. Дробно-линейная функция: ƒ(х).Частным случаем этой функции является обратная пропорциональная зависимость, графиком которой является гипербола . Рисунок 47 - График дробно-линейной функции. Показательная функция: ƒ(х)=ах, а0, а1. Эта функция возрастает при а  1, убывает при 0  а 1. Рисунок 48 - Графики показательных функций. Логарифмическая функция: ƒ(х)=logax, a  0, а1 Рисунок 49 - График логарифмической функции. Тригонометрические функции хорошо известны. Приведем их графики у=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x. Рисунок 50 - График y=sin x.. Рисунок 51 - График у=cos x. Рисунок 52 - График у=tg x. Рисунок 53 - График у=ctg x. Обратные тригонометрические функции. Графики этих функций y=arcsin x, y=arсcos x, y=arсtg x и y=arcctg x приведены ниже. Рисунок 54 - График функции у=arcsin x Рисунок 55 - График функции у=arccos x Рисунок 56 - График функции у=arcctg x Рисунок 57 - График функции у= arctg x Все рассмотренные функции называют основными (или простейшими) элементарными функциями. Рассмотрим сложные функции. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве Х со значениями на множестве У. Пусть на множестве У задана функция z=φ(у), которая всякому значению х из Х сопоставляет значение переменной z, полученное через промежуточное значение переменной у. Поэтому z-функция переменной х: z=φ(ƒ(х)), с областью определения Х, но зависимость z от х осуществляется через посредство переменной у, которая называется промежуточным аргументом. Итак, переменная z здесь – функция от функции. Функцию такого рода называют сложной функцией (или суперпозицией функций). Функции, записываемые с помощью конечного числа суперпозиций основных элементарных функций, называют элементарными функциями. Примеры элементарных функций: у=lg tg x, , y=(1+cos23x)3. Понятно, что чаще приходится иметь дело именно с элементарными функциями. 3.3 Предел и непрерывность функции Понятие предела является основным понятием математического анализа. Использование предельного перехода является одной из отличительных черт высшей математики вообще и математического анализа в особенности. Пусть функция у=ƒ(х) определена на некотором множестве Х и х0 – некоторая точка из множества Х. Определение. Число А называется пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0, если для любой ε – окрестности точки А можно указать такую δ-окрестность точки х0 (δ зависит от ε), что для любого х из δ-окрестности точки х0 (хх0) соответствующее значение функции ƒ(х) будет принадлежать ε–окрестности точки А. Обозначают: . Читают: А является пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0. Употребляется и такое обозначение предела функции: ƒ(х)А при хх0. Замечая, что δ-окрестностью точки х0 называют интервал (х0–δ, х0+δ), ε-окрестностью точки А называют интервал (А–ε; А+ε), дадим еще одно определение предела функции. Определение. Число А называется пределом функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что неравенство А–ε  ƒ(х)  А+ε выполняется для любого х, отличного от х0, удовлетворяющего неравенству х0–δ  х  х0+δ. 3.3.1 Геометрическая интерпретация предела Пусть дан график функции у=ƒ(х), точка х0 на оси Ох и точка А=ƒ(х0) – на оси Оу. Рисунок - 58 Отложим на Оу вверх и вниз от точки А отрезки длиной  . Получим интервал (А–ε, А+ε) на оси Оу. Проведем прямые, параллельные оси Ох, через точки А–ε и А+ε, до пересечения с графиком функции. Точки пересечения спроектируем на ось Ох. Очевидно, что для каждого х из интервала (х0–δ, х0+δ) значение функции ƒ(х) попадет в интервал (А–ε, А+ε). 3.3.2 Односторонние пределы Пусть дана функция ƒ (х) и точка х0 внутри области ее определения. Предел функции (х) при х, стремящемся к х0 слева (т. е. при х  х0), называют левосторонним пределом функции в точке х0 (или левым пределом) и обозначают . Предел функции ƒ(х) при х, стремящемся к х0 справа (т. е. при х  х0), называют правосторонним пределом функции в точке х0 (или правым пределом) и обозначают . Имеет место следующее утверждение: Если функция ƒ(х) имеет предел А при , то она имеет в точке х0 предел слева и предел справа, каждый из которых равен А. Укажем некоторые теоремы о пределах функций. Пусть существует и . Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме пределов слагаемых, т. е. . (31) Теорема 2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, т. е. (32) Теорема 3. Предел частного от деления двух функций равен частному от деления их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е. , если . (33) Теорема 4. Пусть в некоторой окрестности точки х0 выполняются неравенства и (34) Тогда существует равный числу А, т. е. Теорема 5. Если и и в некоторой окрестности точки х0 ƒ(х)  φ(х), то и , т. е. А  В. Применяя эти теоремы, вычисляем Сравнивая полученное выражение с данным алгебраическим выражением, видим, что вместо переменной х всюду записан lim x, т. е. Для вычисления предела алгебраического выражения следует всюду вместо переменной подставить ее предел и подсчитать результат, если при этом нигде не встретилось деление на нуль. Рассмотрим теперь функции, стремящиеся к нулю и действия с ними. 3.3.3 Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение. Бесконечно малой при хх0 называется функция α(х), предел которой при хх0 равен нулю, т. е. Для бесконечно малых верны теоремы о пределах функций, а именно: –сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малых есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малой на постоянную есть функция бесконечно малая; –произведение бесконечно малой на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая. Например, α1(х)=(х–2)2 – функция бесконечно малая при х2. α2(х)=sin x – функция бесконечно малая при хπ. α3(х)=х2–3х+2 – функция бесконечно малая при х1. Обратимся теперь к рассмотрению функций, значения которых в окрестности точки х0 не ограничены. Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа М найдется такое положительное число δ, что для каждого х из δ-окрестности точки х0 выполняется неравенствоƒ(х)  М. Примером такой функции является функция tg х при . Функция при х0 также является бесконечно большой. Если ƒ(х) – бесконечно большая при хх0 функция, то записывают:. Здесь знак ∞ (бесконечность) указывает, что функция не имеет предела и является бесконечно большой. Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций. Теорема. Если функция α(х) – бесконечно малая при хх0, то – бесконечно большая функция при хх0. Если ƒ(х) – бесконечно большая функция при хх0, то – бесконечно малая функция при хх0. Например, если sin x – бесконечно малая при х0, то – бесконечно большая при . Или при х3 функция х–30, а функция . Заметим, что отношение любой функции, стремящейся к конечному пределу, и функции бесконечно малой является функцией бесконечно большой. Поэтому, , т. к. , а . Рассмотрим поведение функций при неограниченном возрастании аргумента х. Говорят х∞ (неограниченно возрастает по абсолютной величине), если для любого числа М  0 переменная х примет значение х  М Можно говорить о пределе функции при х∞. Если при этом существует предел А функции ƒ(х), то записывают. 3.3.4 Непрерывность функции Понятие непрерывности функции интуитивно связано с непрерывностью линии (графика функции). С точки зрения математика это понятие связано с существованием предела функции в точке. Рисунок - 59 Рисунок - 60 Рисунок - 61 Рисунок - 62 На рисунках 59 - 62 представлены графики различных функций, из которых только одна (Рисунок 62) является непрерывной в точке х0. Остальные функции не являются непрерывными в точке по разным причинам. На рисунке 59 дан график функции, которая имеет в точке х0 различные (хотя и конечные) односторонние пределы. На рисунке 60 функция в точке х0 не имеет конечного правого предела. На рисунке 61 функция имеет оба равные односторонние пределы, но сама в точке х0 не определена. Таким образом, для непрерывности функции в точке должны быть устранены все эти особенности. Определение. Функция ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если 1) она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности, 2) существует , 3) предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т. е. Второе условие определения может быть сформулировано более подробно: существуют и равны оба односторонних предела в точке, т. е. Рассмотрим примеры. № 1. . Эта функция не является непрерывной в точке х=0, т. к. в этой точке она не определена. № 2. . Эта функция не является непрерывной в точке х=2, т. к. в этой точке не существует ее предел: . Заметим, что в точке х=2 тоже не определена. № 3. Зададим функцию с помощью двух аналитических выражений, а именно. Посмотрим, является ли эта функция непрерывной в точке х=1. Значение функции в этой точке ƒ(1)=3–1=2. Функция определена для всех действительных чисел. Вычислим односторонние пределы. При х  1 ƒ(х)=х, поэтому При х  1 ƒ(х)=3–х, поэтому Так как односторонние пределы не равны между собой, то не существует и в точке х=1 функция не может быть непрерывной. Определение. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Рассматривая простейшие элементарные функции, легко убедится, что каждая из них непрерывна в области своего определения. Определение. Точка х=х0 называется точкой разрыва функции, если в этой точке нарушается хотя бы одно требование непрерывности. На рисунках 17–19 приведены примеры точек разрыва. Точку называют точкой разрыва первого рода, если существуют и конечны оба односторонних предела. Точку разрыва называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один односторонний предел в этой точке не существует (или бесконечен). В рассмотренном примере № 3 функция имеет в точке х=1 точку разрыва первого рода. График этой функции состоит из двух полупрямых у=х (для х  1) и у=3–х (для х  1). Рисунок – 63 При исследовании функции на непрерывность точку разрыва следует искать там, где функция не определена, или в точках, где одно аналитическое выражение функции меняется на другое. Укажем некоторые свойства непрерывных функций. 1. Если функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны в точке х0, то непрерывны в точке х0 функции ƒ(х)φ(х), ƒ(х)·φ(х), . Заметим, что непрерывна в точке х0 только, если φ(х0)0. 2. Каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения. 3. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свое наибольшее и свое наименьшее значения. 4. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и ƒ(а)=А, ƒ(b)=В, то каково бы ни было число С (А  С  В), найдется точка х=с внутри отрезка [а, b] такая, что ƒ(с)=С То есть функция принимает на отрезке все промежуточные значения. 5. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и принимает на концах его значения разных знаков (ƒ(а)·ƒ(b)  0), то внутри отрезка найдется точка х=с такая, что ƒ(с)=0. Это свойство позволяет приближенно находить корень уравнения, т. к. если ƒ(с)=0, то с – решение уравнения ƒ(х)=0. То есть функция принимает на отрезке все промежуточные значения. 5. Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а, b] и принимает на концах его значения разных знаков (ƒ(а)·ƒ(b)  0), то внутри отрезка найдется точка х=с такая, что ƒ(с)=0. Это свойство позволяет приближенно находить корень уравнения, т. к. если ƒ(с)=0, то с – решение уравнения ƒ(х)=0. 3.4 Неопределенности Теоремы о пределах функций, о бесконечно малых функциях облегчают нахождение пределов. Рассмотрим так называемые неопределенные выражения, когда эти теоремы не применимы. Например, теорема о пределе частного не применима для отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций. Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые при ; u(x) и v(x) – бесконечно большие при хх0. Тогда можно рассматривать пределы при хх0 таких, неопределенных для х=х0, выражений (называемых неопределенностями): α(х)·u(x), u(x)–v(x), которые условно обозначают символами , 0·∞, ∞–∞. Раскрытие неопределенностей (т. е. нахождение пределов неопределенных выражений) происходит с применением некоторых простейших приемов, которые позволят применить теоремы о пределах. Рассмотрим эти приемы на примерах. Пример 1. Здесь применима теорема о пределе частного. К этому же выражению при х теорема о пределе неприменима, т. к. и . представляет собой неопределенность вида . Разложим на множители квадратный трехчлен. 9х2+8х–1=9·(х–)·(х+1). Для этого достаточно найти корни х1 и х2 квадратного трехчленаах2+bх+с=а(х–х1)·(х–х2). Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу: Пример 2. . Обнаружив неопределенность (так это в примере и записывают), раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители. Сократив на х–1, получили дробь , числитель которой стремится к конечному пределу, отличному от нуля (), а знаменатель при х1 является бесконечно малой, тогда дробь при х1 является бесконечно большой. Пример 3. . Здесь числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х3, получим , т. к. каждая из дробей является бесконечно малой и стремится к нулю. Пример 4. , так как . Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной. Неопределенности вида 0·∞ и ∞–∞ приводятся к неопределенностям или . Пример 5. После приведения данных дробей к общему знаменателю была получена дробь, представляющая собой неопределенность . Пример 6. . Здесь удалось избавиться от разности (–2), стремящейся к нулю при х4, разложив х–4 на множители по формуле разности квадратов. Пример 7. В этом примере нужно было избавиться от радикалов, для чего умножили и числитель и знаменатель на сумму – сопряженное числителю выражение. Применив формулу разности квадратов в числителе, мы избавились от радикалов: . Пример 8. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, используется первый замечательный предел: Чтобы подчеркнуть, что первый замечательный предел представляет собой неопределенность , т. е. отношение двух бесконечно малых, записывают его формулу в виде:, если α(х) – бесконечно малая функция. Заметим, что, например, не является замечательным пределом. Пример 9. . При вычислении этого предела прежде всего обнаружили неопределенность . Чтобы использовать первый замечательный предел, разделим sin3πх (и умножим) на 3πх, затем и знаменатель sin πх разделим (и умножим) на πх. Сократив общие множители вынесем множитель 3 и, перейдя к пределу в числителе () и в знаменателе (), получим искомый предел. Пример 10. . Принимая =α(х) (бесконечно малая при х∞), используем . 3.5 Производная. Определение. Свойства и формулы Пусть функция у=ƒ(х) определена в некоторой области Х и х0 – точка внутри Х. Перейдем из точки х0 в другую точку области Х, изменив значение х0 на величину Δх (говорят: дадим х0 приращение Δх). Эта другая точка х=х0+Δх. Функция ƒ(х) при этом тоже получит некоторое приращение Δу=Δƒ(х0)=ƒ(х0+Δх)–ƒ(х0). Приращение функции Δƒ(х0) (или Δу) – величина, на которую изменяется значение функции, когда аргумент получает приращение Δх. Основным вопросом, который нас будет интересовать, является вопрос о характере изменения функции в точке х0. Точнее, нас будет интересовать скорость изменения значений функции при переходе от значения х0 независимой переменной к другому. Рассмотрим для этого отношение приращения функции к приращению независимой переменной . (35) Это отношение называют средней скоростью изменения функции на промежутке между точками х0 и х0+Δх. Средняя скорость зависит от Δх, поэтому средняя скорость не будет достаточно хорошей характеристикой изменения функции в точке х0. За скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0 принимается предел средней скорости при Δх0. Определение. Если существует конечный предел отношения приращения функции у=ƒ(х) к приращению независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю, то этот предел называется производной функции у=ƒ(х) точке х0и обозначается одним из следующих символов: , . По определению: или . (36) Таким образом, производная ƒ(х0) есть скорость изменения функции ƒ(х) в точке х0. Таков физический смысл производной. Рассмотрим геометрический смысл производной. Пусть дан график функции у=ƒ(х), представляющий собой некоторую кривую. Отметим на ней некоторую точку М0. Если М – другая точка этой кривой, то прямая М0М называется секущей. Определение. Касательной к кривой в точке М0 называется предельное положение секущей М0М при условии, что точка М, двигаясь по кривой, приближается к точке М0. Пусть х0 и х0+Δх – абсциссы точек М0 и М графика функции у=ƒ(х). Ординатами этих точек будут числа ƒ(х0) и ƒ(х0+Δх) или у0=ƒ(х0) и у0+Δу=ƒ(х0+Δх). Рисунок - 64 Запишем уравнение касательной к графику у=ƒ(х) в точке М0(х0, у0): у–у0=k·(х–х0), где k – угловой коэффициент касательной, т. е. k=tg α. Поскольку касательная – предельное положение секущей, то и угол α наклона касательной есть предел угла β наклона секущей, т. е. k=tg α=, при условии, что точка М по графику приближается к точке М0, но тогда Δх0. Из треугольника М0FМ и . Таким образом, касательная к графику функции у=ƒ(х) существует, если в точке х0 функция ƒ(х) имеет производную, а угловой коэффициент касательной в точке М0(х0, у0) равен значению производной в точке х0, т. е. k=ƒ(x0). Уравнение касательной: у–у0=ƒ(х0)·(х–х0). (37) Выяснив физический и геометрический смысл производной, рассмотрим основные свойства и формулы дифференцирования (дифференцированием функции называется процесс отыскания ее производной). Теорема 1. Если функция ƒ(х) дифференцируема в точке х0, то ƒ(х) непрерывна в точке х0. Заметим сразу, что обратное утверждение не всегда верно. Теорема 2. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет положительную производную, то ƒ(х) возрастает на [а, b], т. е. еслиƒ(х)  0 на [а, b], то ƒ(х) возрастает на [а, b]. Теорема 3. Если функция ƒ(х) во всех точках отрезка [а, b] имеет отрицательную производную, то ƒ(х) убывает на [а, b], т. е. если f'(x)<0, то f(x) убывает на [а, b]. Рисунок - 65 Рисунок - 66 В случае ƒ(х)  0 и tg α  0, т. е. в любой точке графика угол наклона α  900. Функция возрастает на [а, b]. В случае ƒ(х)  0 tg α  0 и угол наклона касательной α  900. Функция убывает на [а, b]. Теоремы 2 и 3 используются при решении задачи на отыскание интервалов монотонности функции. 3.5.1 Правила вычисления производных Производная сложной функции. Если у=ƒ(и), и=φ(х), то у(х)=ƒ(и)·φ (х). Производная суммы. Если у(х)=и(х)+v (х), то у (х)=и (х)+v (х) Производная произведения. Если у(х)=и(х)·v(х), то у=и·v+u·v. В частности, (с·и)=с·и, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что (u2)=2u·u, (u3)=3u2·u, … , (un)=n·un–1·u. Производная частного. Если , то . Приведем и таблицу производных. Таблица 1 Таблица производных 1. (с)=0 Для сложной функции: если и=и(х), то: 2. (х)=1 3. (хα)=α·хα–1, а – любое действительное число. . 3. 4. (ах)=ах·ln а 4. 5. (logax)= . 5. 6. (sin x)=cos x 6. 7. (cos x)= –sin x 7. 8. (tg x)= 8. 9. (ctg x)= 9. 10. 10. 11. 11. 12. 12. 13. 13. При дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоваться. Найти производные следующих функций. Пример 1 у=(3–2 sin5x)4 Применяем формулы производных для иα, sin u y=4·(3–2·sin5x)3·(3–2sin5x)=4·(3–2·sin5x)3·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)3. Пример 2. . Пример 3. . Пример 4. Пример 5. . Пример 6. Запишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцирования . Пример 7. Пример 8. Пример 9. . Пример 10. Составить уравнение касательной к параболе у=х2–4х в точке, где х=1. Уравнение касательной у-у0=ƒ(х0)·(х–х0), где х0, у0 – координаты точки касания. Дано, что х0=1. Из уравнения параболы найдем у0=у(х0)=у(1)=12–4·1= –3. Уравнение параболы у=х2–4х, т. е. ƒ(х)=х2–4х. Найдем ƒ(х0). ƒ(х)=2х–4. ƒ(х0)=ƒ(1)=2·1–4= –2. Уравнение касательной: у+3= –2·(х–1) или 2х+у+1=0 Пример 11. Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных а) оси Ох, б) прямой3х–у–5=0. Найдем производную от у: а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х0 должна быть равна нулю: х2–4х+3=0. Решая это уравнение, находим х1=3 и х2=1. Найдем соответствующие им значения функции: Получены две точки на данной кривой: М1(3, –3) и М2(1, ). Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у= –3 и у=. б) Если касательная параллельна прямой 3х-у-5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой: 3х–у–5=0 или у=3х–5. k=3. Производная у в точке х0 должна быть равна 3. х2–4х+3=3. Решая это уравнение х2–4х=0, находим х1=0 и х2=4. Найдем соответствующие им значения функции: у1=у(0)= –3. у2=у(4)=·43–2·42+3·4–3= –. Уравнение касательной в точке М1(0,–3): у+3=3·(х–0) или 3х–у–3=0. Уравнение касательной в точке М2(4, –): или 9х–3у–41=0. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множества Х и дифференцируема в каждой его точке. Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной функции на приращение аргумента и обозначается dy или dƒ(х), т. е. dy=ƒ(x)·Δx Пусть дана функция у=х. Тогда у=1. Дифференциал этой функции dy=1·Δx, т.е. dx=Δx. Поэтому формулу дифференциала записывают в виде dy=f(x)·dx Отсюда , т. е. производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Иногда удобно пользоваться именно таким «определением» производной. Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией, то производная от ƒ(х) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции ƒ(х) и обозначается: уи, ƒ(х), т. е. ƒ(х)=(ƒ(х)). Аналогично, производной третьего порядка (третьей производной) от функции ƒ(х) называется производная от второй производной ƒ(х), т. е. ƒ(х)=(ƒ(х)). Производная четвертого порядка ƒIV(х)=(ƒ(х)). Например, для функции ƒ(х)=2х6–sin3x ƒ(x)=12x5–3cos3x, ƒ(x)=12·5x4–3·(–sin3x)·3=60x4+9sin3x, ƒ(x)=60·4x3+9·cos3x·3=240x3+27cos3x, ƒIV(x)=240·3x2–27sin3x·3=720x2–81sin3x и т. д. Производную порядка n обозначают: y(n) или ƒ(n)(x). 3.6 Приложения дифференциального исчисления Были рассмотрены некоторые приложения производной, а именно: задача о касательной к графику функции, отыскание интервалов монотонности функции. С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям и . 3.8.1 Правило Лопиталя Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных. Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и во-вторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел. Итак, , если или = Пример 1. Найти следующие пределы 1) 2) т. к. , – бесконечно большая при х∞ 3) т. к. cos 5π=cos(4π+π)=cos π= –1. cos 3π=cos(2π+π)=cos π= –1. Рассмотрим случай неоднократного применения правила Лопиталя. 4) . Правило Лопиталя было применено дважды. Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату. 5) Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, но предел этот легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х , т.к. . Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида 0·∞, ∞–∞. 6) 7) , т. к. 3.8.2 Экстремум функции Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания. Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него. Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности ƒ(х)  ƒ(х0) (ƒ(х)  ƒ(х0)). Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума). Рисунок - 67 Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1)  ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки. Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума. Теорема. Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ(х0)=0. Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум. Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х3. Найдем ƒ(х)=3х2. В точке х=0 ƒ(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х0, где ƒ(х)=х3  0, найдем х0, где (х)=х30. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума. Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ(х)=0) называются критическими. Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох. Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах. Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а именно, если производная меняет знак с плюса на минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка минимума. Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной. Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х) имеет ƒ(х) и ƒ(х)). Теорема 2. Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ(х0)  0, то х0 – точка минимума, если ƒ(х0)  0, то х0 – точка максимума. С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции. 3.8.3 Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба Кривая у=ƒ(х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале ƒ(х)  0. Кривая у=ƒ(х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале ƒ(х)  0 Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута. В точке перегиба ƒ(х)=0. Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них. Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс. Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то функция на (а, b) возрастает (убывает). Если для всех х на интервале (а, b) ƒ(х)  0 (ƒ(х)  0), то график на (а, b) вогнут (выпукл). Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох. Уравнение ƒ(х)=0 определяет критические точки. Уравнение ƒ(х)=0 определяет возможные точки перегиба. 3.8.4 Схема исследования функции Для исследования функции ƒ(х) и построения графика у=ƒ(х) следует найти: 1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат; 2) интервалы монотонности; 3) точки экстремумов и значения функции в этих точках; 4) интервалы выпуклости и вогнутости графика; 5) точки перегиба графика; 6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график. 3.8.5 Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка. Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ(х) на отрезке [а, b]. 1. Найти производную функции ƒ(х). 2. Найти критические точки из уравнения ƒ(х)=0. 3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [а, b] и найти значение функции ƒ(х) в каждой такой точке. 4. Вычислить значения функции ƒ(х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b). 5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее). Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х)=х3–9х2+24х–10 на отрезке [0 3]. 1. ƒ(х)=3х2–9·2х2+24. 2. ƒ(х)=0, 3(х2–6х+8)=0, х1=2, х2=4. 3. Точка х2=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х1=2 ƒ(2)=23–9·22+24·2–10=10. 4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=33–9·32+24·3–10, ƒ(3)=8. 5. Получены значения: ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8. Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х=2. Наименьшее – равно –10 и достигается в точке х=0. Пример 3. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х2–2х3–х4. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. хЄ(–∞, +∞). Найдем вторую производную. у=1+72х–6х2–4х3. у=72–12х–12х2= –12(х2+х–6). Из уравнения у=0 получим абсциссу точки перегиба: –12(х2+х–6)=0 х1= –3; х2=2. Определим знак у на интервалах (–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞). Таблица 2 х (–∞, –3) -3 (–3; 2) 2 (2; +∞) у – + – форма кривой выпукла перегиб вогнута перегиб выпукла Найдем ординаты точек перегиба: у(–3)=726; М1(–3; 726) – точка перегиба у(2)=114; М2(2; 114) – точка перегиба. На интервале (–3; 2) кривая вогнута. На интервалах (–∞; –3) и (2; +∞) – выпукла. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Барвенов С.А. Математика [Электронный ресурс]: экспресс-тренинг для подготовки к централизованному тестированию/ Барвенов С.А., Бахтина Т.П. – Электрон. текстовые данные. – Минск: ТетраСистемс, Тетралит, 2014. – 160 c. – ЭБС «IPRbooks». 2. Гусак А.А. Математика [Электронный ресурс]: пособие-репетитор/ Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А.– Электрон. текстовые данные.– Минск: ТетраСистемс, Тетралит, 2013.– 720 c.– ЭБС «IPRbooks». 3. Королев В.Т. Математика и информатика. Часть первая. Математика [Электронный ресурс]/ Королев В.Т., Ловцов Д.А., Радионов В.В.– Электрон. текстовые данные.– М.: Российский государственный университет правосудия, 2015.– 248 c.– ЭБС «IPRbooks». 4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. – Электрон. текстовые данные. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015. – 481c.– ЭБС «IPRbooks». 5. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Н.Б. Карбачинская [и др.].– Электрон. текстовые данные.– М.: Российский государственный университет правосудия, 2015.– 342 c.– ЭБС «IPRbooks». 6. Математика. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ В.Ф. Золотухин [и др.].– Электрон. текстовые данные.– Ростов н/Д.: Институт водного транспорта имени Г.Я. Седова – филиал «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова», 2016.– 129 c.– ЭБС «IPRbooks». 7. Окунева Е.О. Математика для менеджеров. Часть I [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Окунева Е.О., Моисеев С.И.– Электрон. текстовые данные.– Воронеж: Воронежский филиал Московского гуманитарно-экономического института, 2015.– 157 c.– ЭБС «IPRbooks». Дополнительная литература: 1. Березина Н.А. Высшая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Березина Н.А.– Электрон. текстовые данные.– Саратов: Научная книга, 2012.– 159 c.– ЭБС «IPRbooks». 2. Веременюк В.В. Математика. Учимся быстро решать тесты [Электронный ресурс]: пособие для подготовки к тестированию и экзамену/ Веременюк В.В., Крушевский Е.А., Беганская И.Д. – Электрон. текстовые данные. – Минск: ТетраСистемс, Тетралит, 2014. – 192 c.– ЭБС «IPRbooks». 3. Высшая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Е.А. Ровба [и др.].– Электрон. текстовые данные.– Минск: Вышэйшая школа, 2012.– 391 c.– ЭБС «IPRbooks». 4. Гарькина И.А. Математика. Часть I. Справочные материалы и тесты по модулям [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов-заочников/ Гарькина И.А., Данилов А.М., Круглова А.Н.– Электрон. текстовые данные.– Пенза: Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, ЭБС АСВ, 2013.– 328 c.– ЭБС «IPRbooks». 5. Диденко О.П. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Диденко О.П., Мухаметдинова С.Х., Рассказова М.Н.– Электрон. текстовые данные.– Омск: Омский государственный институт сервиса, 2013.– 160 c.– ЭБС «IPRbooks». 6. Задохина Н.В. Математика и информатика. Решение логико-познавательных задач [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов вузов/ Задохина Н.В.– Электрон. текстовые данные.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015.– 127 c.– ЭБС «IPRbooks». 7. Краснощекова В.П. Элементарная математика. Арифметика. Алгебра. Тригонометрия [Электронный ресурс]: учебное пособие. Направление подготовки – 050100 «Педагогическое образование». Профили – «Математика. Информатика», «Технология»/ Краснощекова В.П., Мусихина И.В., Цай И.С.– Электрон. текстовые данные.– Пермь: Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 2014.– 132 c.– ЭБС «IPRbooks». 8. Краснощекова В.П. Элементарная математика. Арифметика. Алгебра. Тригонометрия [Электронный ресурс]: задачник. Направление подготовки - 050100 «Педагогическое образование». Профили - «Математика. Информатика», «Технология»/ Краснощекова В.П., Мусихина И.В., Цай И.С.– Электрон. текстовые данные.– Пермь: Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 2014.– 52 c.– ЭБС «IPRbooks». 9. Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000)/ Кузнецов Б.Т.– Электрон. текстовые данные.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.– 719 c.– ЭБС «IPRbooks». 10. Математика в примерах и задачах. Часть 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Л.И. Майсеня [и др.].– Электрон. текстовые данные.– Минск: Вышэйшая школа, 2014.– 359 c.– ЭБС «IPRbooks». 11. Математика. Факультативный курс [Электронный ресурс]: методические указания, справочные материалы и индивидуальные домашние задания для студентов 1-го курса МГСУ, обучающихся по направлениям подготовки 080100, 080200, 230100/ – Электрон. текстовые данные. – М.: Московский государственный строительный университет, ЭБС АСВ, 2014. – 87 c. – ЭБС «IPRbooks». 12. Сухотин А.М. Математика в вузе. Альтернативная методология и инновационное обучение [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Сухотин А.М., Тарбокова Т.В.– Электрон. текстовые данные.– Томск: Томский политехнический университет, 2012.– 224 c.– ЭБС «IPRbooks». 13. Углирж Ю.Г. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие (для студентов I курса факультета международного бизнеса, обучающихся по направлению подготовки 031600 "Реклама и связи с общественностью")/ Углирж Ю.Г.– Электрон. текстовые данные.– Омск: Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, 2013.– 268 c.– ЭБС «IPRbooks». 14. Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине «Математика» [Электронный ресурс]/ – Электрон. текстовые данные.– СПб.: Российский государственный гидрометеорологический университет, 2013.– 70 c.– ЭБС «IPRbooks», 15. Фролов С.В. Высшая математика [Электронный ресурс]: этюды по теории и её приложениям: учебное пособие/ Фролов С.В., Багаутдинова А.Ш. – Электрон. текстовые данные. – СПб.: ГИОРД, 2012. – 616 c.– ЭБС «IPRbooks».