Математическая статистика
Выбери формат для чтения
Статья: Математическая статистика
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòàòèñòèêà
Ëåêöèè äëÿ ñòóäåíòîâ ÔÑÔ (20172018 ó÷.ã.)
È.Å. Ïîëîñêîâ
Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé íàöèîíàëüíûé
èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
1 / 297
Ñîäåðæàíèå I
1
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÑ
2
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÀÑÏ ÅÄÅËÅÍÈß ÑÂ, ÂÑÒ Å×ÀÞÙÈÅÑß Â ÌÑ
àììà-ðàñïðåäåëåíèå
χ2 -ðàñïðåäåëåíèå
χ-ðàñïðåäåëåíèå
t-ðàñïðåäåëåíèå
F -ðàñïðåäåëåíèå
3
ÄÅÑÊ ÈÏÒÈÂÍÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
Ââåäåíèå
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Òèïû ïðèçíàêîâ
Îñíîâíûå ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè
Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Ìåðû ðàññåÿíèÿ
Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
4
ÒÎ×Å×ÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ ÏÀ ÀÌÅÒ ÎÂ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
2 / 297
Ñîäåðæàíèå II
Ìåòîä ïîäñòàíîâêè
Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
Ìåòîä êâàíòèëåé
5
ÈÍÒÅ ÂÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ ÏÀ ÀÌÅÒ ÎÂ
Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ñõåìà ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ
ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
6
Ï ÎÂÅ ÊÀ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÈÏÎÒÅÇ
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
Ïðèìåðû êðèòåðèåâ
Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
7
Å ÅÑÑÈÎÍÍÎ-ÊÎ ÅËßÖÈÎÍÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ
åãðåññèîííûé àíàëèç
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
3 / 297
Ñîäåðæàíèå III
Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Êîððåëÿöèîííûå ìåòîäû èçìåðåíèÿ òåñíîòû ñâÿçè
Âûáîðî÷íûé ëèíåéíûé êîý èöèåíò êîððåëÿöèè
Çíà÷èìîñòü ëèíåéíîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè
àíãîâûå êîý èöèåíòû êîððåëÿöèè
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
4 / 297
àçäåë 1. Ââåäåíèå â ÌÑ
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
5 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îïðåäåëåíèå 1.1.
Ñòàòèñòèêà íàóêà, êîòîðàÿ èçó÷àåò ìàññîâûå îáùåñòâåííûå ÿâëåíèÿ
(ïðåæäå âñåãî, ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèå), èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ñâÿçàíî ñ êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé è âûÿâëåíèåì ïðèñóùèõ èì çàêîíîìåðíîñòåé.
Ïðåäìåòîì ñòàòèñòèêè ÿâëÿþòñÿ îáùèå âîïðîñû èçìåðåíèÿ è àíàëèçà ìàññîâûõ êîëè÷åñòâåííûõ îòíîøåíèé è âçàèìîñâÿçåé.
Îñíîâíîé õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî îíè èìåþò äåëî íå ñ îòäåëüíûìè ñëó÷àÿìè, îáúåêòàìè, èíäèâèäóóìàìè,
ñ ñîâîêóïíîñòÿìè, ãðóïïàìè, ò.å. ñ ìàññîâûì ìàòåðèàëîì. Òàì è òîãäà, ãäå è
êîãäà ðå÷ü èäåò î ñîâîêóïíîñòè äàííûõ, âîçìîæåí ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäñ÷åò è,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
6 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îïðåäåëåíèå 1.2.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà:
ðàçäåë ìàòåìàòèêè, ïîñâÿùåííûé ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäàì ñèñòåìàòèçàöèè, îáðàáîòêè è èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ äëÿ íàó÷íûõ
è ïðàêòè÷åñêèõ âûâîäîâ, èçó÷åíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé ìàññîâûõ ÿâëåíèé è
èõ âçàèìîñâÿçåé;
2
òåñíî ñâÿçàíà ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé, èçó÷àþùåé ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è
ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.
1
Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
... ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî ðåçóëüòàòàì îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà íàáëþäåíèé çà
ìàññîâûì ÿâëåíèåì ñîñòàâèòü ïðåäñòàâëåíèå î çàêîíå åãî îñóùåñòâëåíèÿ ñ
öåëüþ ïîñëåäóþùåãî ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ëîãè÷åñêîé îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, îíà äàåò âîçìîæíîñòü îñìûñëåíèÿ
è èíòåðïðåòàöèè âûâîäîâ, ïîëó÷åííûõ èñõîäÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
7 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Èíîãäà ïîä ñòàòèñòèêîé ïîíèìàþò òàêæå è ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
Òèïû ñòàòèñòèê
1
2
3
4
5
6
7
8
ñòàòèñòèêà òîðãîâëè,
ñóäåáíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà çàíÿòîñòè,
äåìîãðà è÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà (ñòàòèñòèêà íàñåëåíèÿ),
ìåäèöèíñêàÿ ñòàòèñòèêà,
òðàíñïîðòíàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà òðóäà
è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
åïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè
Õîòÿ â öåëîì ýòîò âîïðîñ ñëîæåí è çàòðàãèâàåò íå òîëüêî âåðîÿòíîñòíûå
àñïåêòû, îäíàêî ÒÂ ïîçâîëÿåò ñîïîñòàâèòü ñîáðàííûå äàííûå äàííûì ãîñóäàðñòâåííîé ñòàòèñòèêè, íàïðèìåð, ðåçóëüòàòàì ïåðåïèñè íàñåëåíèÿ, è îòâåòèòü
íà âîïðîñ, ñîîòâåòñòâóåò ëè âûáîðêà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Äëÿ îïèñàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ ñîöèàëüíûõ ÿâëåíèé èñïîëüçóþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Ìîäåëè ïîçâîëÿþò ÷åòêî ïðåäñòàâèòü ìåõàíèçì âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ìîäåëü ýòî òåîðåòè÷åñêàÿ
êîíñòðóêöèÿ, ñ äðóãîé, ýìïèðè÷åñêàÿ, ò. ê. ïàðàìåòðû ìîäåëåé îöåíèâàþòñÿ
íà îñíîâå äàííûõ ñëó÷àéíîé âûáîðêè. Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, àäåêâàòíà ëè
ìîäåëü äàííûì, ñóùåñòâåííû ëè âñå åå ïàðàìåòðû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
9 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
!!!
Ìåòîäû ÌÑ èñïîëüçóþòñÿ ïðè àíàëèçå ÿâëåíèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì
ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ýòî ñâîéñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, õîòÿ ðåçóëüòàò Xk îòäåëüíîãî îïûòà íå ìîæåò áûòü ïðåäñêàçàí ñ äîñòàòî÷íîé òî÷b 1 , X2 , ..., Xn ) îò ðåçóëüòàòîâ íàíîñòüþ, çíà÷åíèå íåêîòîðîé óíêöèè θb = θ(X
áëþäåíèé ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè òåðÿåò ñâîéñòâî
ñëó÷àéíîñòè è ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê íåêîòîðîé íåñëó÷àéíîé âåëè÷èíå θ
(çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë!).
ÌÑ íå äàåò ðåêîìåíäàöèé êàñàòåëüíî èíòåðïðåòàöèè ÷èñëîâûõ ðåçóëüòàòîâ
îáñëåäîâàíèÿ âûáîðî÷íûõ äàííûõ. Ïîñëåäíåå åñòü çàäà÷à è ïðåðîãàòèâà òåõ
êîíêðåòíûõ îòðàñëåé çíàíèÿ, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ýòè ðåçóëüòàòû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
10 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îñíîâíûå çàäà÷è ÌÑ
1
2
3
4
ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ,
îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé,
ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç (óòâåðæäåíèé î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèé,
÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ò.ä.),
îïèñàíèå âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðèçíàêàìè (ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
11 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îñíîâíûå çàäà÷è ÌÑ
1
2
3
4
ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ,
îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé,
ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç (óòâåðæäåíèé î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèé,
÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ò.ä.),
îïèñàíèå âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðèçíàêàìè (ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
11 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îñíîâíûå çàäà÷è ÌÑ
1
2
3
4
ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ,
îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé,
ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç (óòâåðæäåíèé î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèé,
÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ò.ä.),
îïèñàíèå âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðèçíàêàìè (ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
11 / 297
1. Ââåäåíèå â ÌÑ
Îñíîâíûå çàäà÷è ÌÑ
1
2
3
4
ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ,
îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèé,
ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç (óòâåðæäåíèé î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèé,
÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ò.ä.),
îïèñàíèå âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðèçíàêàìè (ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
11 / 297
àçäåë 2. Îñíîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âñòðå÷àþùèåñÿ â
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
12 / 297
2.1.
àììà-ðàñïðåäåëåíèå
Îïðåäåëåíèå 2.1.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ãàììàðàñïðåäåëåíèå Γ (λ, ν) ñ ïàðàìåòðàìè
λ > 0 è ν > 0, åñëè åå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
f (x) =
1
λν xν−1 e−λx ,
Γ (ν)
x > 0,
ãäå Γ (ν) ãàììà óíêöèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.2.
àììà- óíêöèÿ çàäàåòñÿ îðìóëîé
Γ (α) =
+∞
Z
tα−1 e−t dt,
α > 0.
Åå ñâîéñòâà:
Γ (α + 1) = α Γ (α),
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Γ (n + 1) = n!,
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
n ∈ N0 .
13 / 297
2.1.
àììà-ðàñïðåäåëåíèå
Ñâîéñòâà ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ
1°.
2°.
3°.
4°.
Íà÷àëüíûå ìîìåíòû(k > 0): αk = (k + ν − 1)(k + ν − 2) ... ν/λk .
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå: mX = ν/λ.
Äèñïåðñèÿ: DX = ν/λ2 .
Åñëè X1 , X2 , ..., Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òàêèå ÷òî
Xi ∼ Γ (νi , λ), i = 1, 2, ..., n, òî ðàñïðåäåëåíèå ÑÂ
Y =
n
X
Xi
i=1
èìååò âèä:
Y ∼ Γ (ν, λ),
ν=
n
X
νi .
i=1
5°. Åñëè X ∼ Γ (ν, λ) è a > êîíñòàíòà, òî a X ∼ Γ (ν, a λ).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
14 / 297
2.1.
àììà-ðàñïðåäåëåíèå
0.20
0.15
λ=2
λ=4
λ=6
0.10
λ=8
λ=10
0.05
5
10
15
20
èñ. 2.1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
15 / 297
2.2.
χ2 -ðàñïðåäåëåíèå
àññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
Yn = X12 + X22 + ... + Xn2 ,
ãäå ÑÂ Xi íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, 1).
Îïðåäåëåíèå 2.3.
àñïðåäåëåíèå ñóììû êâàäðàòîâ n íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíûõ ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàçûâàåòñÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèåì Ïèðñîíà ñ n
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
χ2 ÷èòàåòñÿ "õè-êâàäðàò". Îáîçíà÷åíèå: Yn ∼ χ2n .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
16 / 297
2.2.
χ2 -ðàñïðåäåëåíèå
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Yn :
f Yn =
y n/2−1 e−y/2
,
Γ (n/2) · 2n/2
y > 0.
0.2
4
0.15
8
10
0.1
15
20
0.05
5
10
15
20
25
30
èñ. 2.2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
17 / 297
2.2.
χ2 -ðàñïðåäåëåíèå
Ìîìåíòû
E[Y ] = n, D[Y ] = 2 n,
n
n
αk [Yn ] = n (n + 2) (n + 4) ... (n + 2k − 2).
Àñèìïòîòèêà
Ïðè n → ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Yn /n} ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê 1, à
ðàñïðåäåëåíèå ÑÂ
Yn − n
√
2n
ê ñòàíäàðòíîìó ãàóññîâîìó.
Ïðè íåáîëüøèõ n ðàñïðåäåëåíèå χ2n çàòàáóëèðîâàíî, äëÿ áîëüøèõ èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå àïïðîêñèìàöèè, íàïðèìåð, ïðè n → ∞ äëÿ óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FYn (x) Ñ χ2n âåðíî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî:
FYn (x) ≈ FN (0,1)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
√
√
2x − 2n − 1 .
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
18 / 297
2.3.
χ-ðàñïðåäåëåíèå
√
Îáîçíà÷àåòñÿ è îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàñïðåäåëåíèå Vn = χn = Yn . Èñïîëüçóÿ ýòó ñâÿçü, ìîæíî ïîëó÷èòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ Vn :
f (x) =
2
1
xn−1 e−x /2 ,
2n/2−1 Γ (n/2)
x > 0,
à çàòåì è íà÷àëüíûå ìîìåíòû
2k/2 Γ (n + k)/2
αk =
.
Γ (n/2)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
19 / 297
2.4. t-ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü X , Y1 , Y2 , ..., Yn íåçàâèñèìûå íîðìàëüíûå ñ ïàðàìåòðàìè (0,1)
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ïóñòü
T =
X
√
n
,
Z
Z2 =
n
X
i=1
Yi2 ≡ χ2n .
(2.1)
Îïðåäåëåíèå 2.4.
àñïðåäåëåíèå Ñ T , îáîçíà÷àåìîå t(n) èëè tn , íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ó.Ñ. îññåò (W.S. Gosset, 18761937) èçâåñòíûé ó÷åíûéñòàòèñòèê, áîëåå
èçâåñòíûé ïîä ñâîèì ïñåâäîíèìîì Ñòüþäåíò áëàãîäàðÿ ñâîèì èññëåäîâàíèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ, íàçâàííîãî ïî åãî ïñåâäîíèìó.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
20 / 297
2.4. t-ðàñïðåäåëåíèå
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
fT (t) = √
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
t2 −(n+1)/2
1 Γ ((n + 1)/2)
1+
.
Γ (n/2)
n
πn
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
21 / 297
2.5.
F -ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü U1 , U2 , ..., Un , V1 , V2 , ..., Vm íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ÑÂ. Ïîëîæèì
1
n
Fnm =
1
m
n
P
i=1
m
P
i=1
Ui2
=
Vi2
m χ2n
.
n χ2m
Îïðåäåëåíèå 2.5.
Âåëè÷èíà Fnm íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ÔèøåðàÑíåäåêîðà ñ n è
m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ñýð .Ý. Ôèøåð (Sir R.A.Fisher, 18901962) àíãëèéñêèé ñòàòèñòèê, áèîëîãýâîëþöèîíèñò è ãåíåòèê. Äæ.Ó. Ñíåäåêîð (G.W. Snede or, 18811974) àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê è ñòàòèñòèê, ó÷åíèê .Ý.Ôèøåðà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
22 / 297
2.5.
F -ðàñïðåäåëåíèå
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ÑÂ Fnm
fFnm (x) =
m+n
2
Γ
Γ
n
2
Γ
m
2
n n/2 n/2−1
x
m
,
n
(1 + m
x)(n+m)/2
x > 0,
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ÔèøåðàÑíåäåêîðà (èëè F -ðàñïðåäåëåíèåì) n è m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Íà÷àëüíûå ìîìåíòû
αk =
n k
m
m̄ (m̄ + 1) ... (m̄ + k − 1)
,
(n̄ − k) (n̄ − k − 1) ... (n̄ − 1)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
n̄ = n/2,
m̄ = m/2.
23 / 297
àçäåë 3. Äåñêðèïòèâíàÿ ñòàòèñòèêà
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
24 / 297
3.1. Ââåäåíèå
Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî èññëåäîâàíèÿ ìàòåðèàëà íåîáõîäèìû îáîáùàþùèå
êîëè÷åñòâåííûå ïîêàçàòåëè, ðàñêðûâàþùèå îáùèå ñâîéñòâà ñòàòèñòè÷åñêîé
ñîâîêóïíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 3.1.
Äåñêðèïòèâíàÿ èëè îïèñàòåëüíàÿ ñòàòèñòèêà ïîçâîëÿåò äëÿ êàæäîãî ïîêàçàòåëÿ çàìåíèòü âñþ ñîâîêóïíîñòü åãî èíäèâèäóàëüíûõ çíà÷åíèé íåêîòîðûìè
îáùèìè äëÿ âñåõ îáúåêòîâ âåëè÷èíàìè.
Ýòè îáîáùåííûå ïîêàçàòåëè:
äàþò îáùóþ êàðòèíó, ïîêàçûâàþò òåíäåíöèþ ðàçâèòèÿ ïðîöåññà èëè ÿâëåíèÿ, íèâåëèðóÿ ñëó÷àéíûå èíäèâèäóàëüíûå îòêëîíåíèÿ,
2
ïîçâîëÿþò ñðàâíèâàòü ðàçëè÷íûå ñîâîêóïíîñòè,
3
èñïîëüçóþòñÿ âî âñåõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïðè áîëåå ïîëíîì è ñëîæíîì àíàëèçå ñòàòèñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà.
1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
25 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
ÌÑ èìååò äåëî ñ ñîâîêóïíîñòÿìè îáúåêòîâ, êîòîðûå îáëàäàþò íåêîòîðûì
íàáîðîì ïðèçíàêîâ (ïîêàçàòåëåé, õàðàêòåðèñòèê). Ýòî ñòàòèñòè÷åñêèå ñîâîêóïíîñòè.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü ìîæåò âêëþ÷àòü âñå èçó÷àåìûå îáúåêòû (â
ýòîì ñëó÷àå îíà íàçûâàåòñÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ) èëè òîëüêî ÷àñòü
îáúåêòîâ (òîãäà îíà íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé).
Êëàññè÷åñêèì äëÿ ÌÑ ïîäõîäîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå èñõîäíûõ äàííûõ
êàê âûáîðêè èç ðåàëüíîé èëè ãèïîòåòè÷åñêîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Ïðè ýòîì âñå ðåçóëüòàòû àíàëèçà èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê âûáîðî÷íûå è ñòàâèòñÿ çàäà÷à èõ îöåíêè â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
26 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.2.
Îáúåêò íàáëþäåíèÿ ýòî ñîâîêóïíîñòü ïðåäìåòîâ èëè ÿâëåíèé, îáúåäèíåííûõ êàêèì-ëèáî îáùèì ïðèçíàêîì èëè ñâîéñòâîì êà÷åñòâåííîãî èëè êîëè÷åñòâåííîãî õàðàêòåðà, êîòîðûå ïîäëåæàò èññëåäîâàíèþ, èëè òî÷íûå ãðàíèöû,
â ïðåäåëàõ êîòîðûõ áóäóò ðåãèñòðèðîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 3.3.
Êîëè÷åñòâåííûì íàçûâàåòñÿ ïðèçíàê, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî âûðàæàþòñÿ ÷èñëàìè.
Îïðåäåëåíèå 3.4.
Êà÷åñòâåííûì íàçûâàåòñÿ ïðèçíàê, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì èëè ñîñòîÿíèåì ýëåìåíòîâ ñîâîêóïíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 3.5.
Êàæäûé îáúåêò ñòàòèñòè÷åñêîãî íàáëþäåíèÿ ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ åäèíèö íàáëþäåíèÿ. åçóëüòàòû ñòàòèñòè÷åñêèõ íàáëþäåíèé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëîâóþ èí îðìàöèþ äàííûå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
27 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.6.
Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå ýòî ñâåäåíèÿ î òîì, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíÿë èíòåðåñóþùèé èññëåäîâàòåëÿ ïðèçíàê â ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 3.7.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü ýòî ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ èëè ÿâëåíèé
îäíîãî è òîãî æå âèäà, îáúåäèíåííûõ îïðåäåëåííûì ïðèçíàêîì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
28 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïóñòü íåîáõîäèìî îáñëåäîâàòü êîëè÷åñòâåííûé ïðèçíàê â ïàðòèè ýêçåìïëÿðîâ íåêîòîðîãî òîâàðà. Ïðîâåðêó ïàðòèè ìîæíî ïðîâîäèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1) ïðîâåñòè ñïëîøíîé êîíòðîëü âñåé ïàðòèè; 2) ïðîâåñòè êîíòðîëü òîëüêî
÷àñòè ïàðòèè.
Ïåðâûé ñïîñîá íå âñåãäà îñóùåñòâèì, íàïðèìåð, èç-çà áîëüøîãî ÷èñëà ýêçåìïëÿðîâ â ïàðòèè, èç-çà äîðîãîâèçíû ïðîâåäåíèÿ îïåðàöèè êîíòðîëÿ, èç-çà
òîãî, ÷òî êîíòðîëü ñâÿçàí ñ ðàçðóøåíèåì ýêçåìïëÿðà (ïðîâåðêà ýëåêòðîëàìïû
íà äîëãîâå÷íîñòü åå ðàáîòû).
Îïðåäåëåíèå 3.8.
Ïðè âòîðîì ñïîñîáå ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàííûõ îáúåêòîâ,
÷òîáû êàæäûé îáúåêò èìåë ðàâíûå øàíñû áûòü îòîáðàííûì, íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ, èëè âûáîðêîé. Âñå ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, èç êîòîðîãî
ïðîèçâîäèòñÿ âûáîðêà, íàçûâàåòñÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ïîýòîìó ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü ñîâïàäàåò ñ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ, åñëè èññëåäîâàíèþ ïîäëåæàò âñå ýëåìåíòû ñîâîêóïíîñòè, è ñ âûáîðêîé ïðè âòîðîì
ñïîñîáå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
29 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.9.
×èñëî îáúåêòîâ â âûáîðêå íàçûâàåòñÿ îáúåìîì âûáîðêè.
Îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè áåñêîíå÷åí.
Ïðèìåð 3.1.
1) X ÷èñëî ðîæäåíèé â ãîðîäå çà ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
åíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâî ÷èñåë {0, 1, 2, ..., N }, îãðàíè÷åííîå
ñâåðõó êàêèì-òî ÷èñëîì N . Òàê êàê çàðàíåå äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ óêàçàòü êàêîåëèáî êîíêðåòíîå ÷èñëî N íåâîçìîæíî, òî ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé
òåîðèè çäåñü óäîáíî ðàññìàòðèâàòü èäåàëèçèðîâàííóþ ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü âñå ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë {0, 1, 2, ...} ñ íåêîòîðûì
çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.
2) X âåëè÷èíà îòêëîíåíèÿ äåòàëè îò çàäàííîãî ðàçìåðà ïðè ìàññîâîì
ïðîèçâîäñòâå. Äëÿ óäîáñòâà èññëåäîâàíèé çà ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü çäåñü
ïðèíèìàþò âñå ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñ íåêîòîðûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
30 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.10.
×èñëà, ñîñòàâëÿþùèå ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, íàçûâàþòñÿ åå ýëåìåíòàìè. Çàêîí FX ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ ãåíåðàëüíûì
çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, à ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè X ãåíåðàëüíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Âûáîðêó íåëüçÿ ñîñòàâëÿòü êàê ïîïàëî. Èíà÷å îíà íå áóäåò ïðàâèëüíî õàðàêòåðèçîâàòü ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü.
Îïðåäåëåíèå 3.11.
Ïðîöåññ ñîñòàâëåíèÿ âûáîðêè íàçûâàåòñÿ îòáîðîì, èëè âûáîðîì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
31 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Òèïû îòáîðà
1
Îòáîð ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ.
Îáà òèïà âûáîðà èìåþò ñìûñë äëÿ êîíå÷íîé ïåðåíóìåðîâàííîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Èõ ìîæíî óïîäîáèòü âûáîðó øàðîâ èç óðíû. Ïðè îòáîðå
áåç âîçâðàùåíèÿ øàðû âûáèðàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî è â óðíó íå âîçâðàùàþòñÿ. Ïðè îòáîðå ñ âîçâðàùåíèåì øàð âûíèìàåòñÿ èç óðíû, çàïîìèíàåòñÿ
åãî íîìåð, à äàëåå øàð âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî â óðíó. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
ïîñëåäóþùèõ îòáîðàõ îí ñíîâà ìîæåò áûòü èçâëå÷åí. Îáû÷íî îñóùåñòâëÿþòñÿ áåñïîâòîðíûå âûáîðêè, íî áëàãîäàðÿ áîëüøîìó (áåñêîíå÷íîìó) îáúåìó
ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âåäóòñÿ ðàñ÷åòû è äåëàþòñÿ âûâîäû, ñïðàâåäëèâûå
ëèøü äëÿ ïîâòîðíûõ âûáîðîê.
Òèïû îòáîðà (ïðîäîëæåíèå)
2
Âûáîð ñëó÷àéíûé, ò.å. ïðîâîäèìûé ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî ñëó÷àéíîãî
ìåõàíèçìà, è íåñëó÷àéíûé (ïðèñòðàñòíûé, ïî çàêîíîìåðíîñòè).
 ñòàòèñòèêå ïðèìåíÿåòñÿ â îñíîâíîì ñëó÷àéíûé âûáîð êàê áîëåå íàäåæíûé â îòðàæåíèè ñâîéñòâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
32 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.12.
Ïðîñòûì ñëó÷àéíûì îòáîðîì íàçûâàåòñÿ îòáîð, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:
1
Îòáîð ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì.
2
Êàæäûé ýëåìåíò ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ìîæåò áûòü âûáðàí.
3
Êàæäûé ýëåìåíò âûáèðàåòñÿ íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ.
4
Âñå ýëåìåíòû âûáîðêè ïîëó÷àþòñÿ â ðàâíûõ óñëîâèÿõ.
åàëüíî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü íà îñíîâå óðíîâîé ñõåìû èç êîíå÷íîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ïåðåíóìåðîâàâ âñå åå ýëåìåíòû, à çàòåì
âûáèðàÿ íîìåðà ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî ñëó÷àéíîãî ìåõàíèçìà: âûáîð êàðòî÷åê èç êîëîäû, ÷èñåë èç òàáëèöû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ
÷èñåë, îäèíàêîâûõ øàðîâ èç áàðàáàíà è ò. ä. (âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ èëè ñ
âîçâðàùåíèåì).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
33 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.2.
Íàïðèìåð, âñå ýëåìåíòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íóìåðóþòñÿ è èç òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë áåðóò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëþáûõ 30-òè èäóùèõ ïîäðÿä
÷èñåë. Ýëåìåíòû ñ âûïàâøèìè íîìåðàìè è âõîäÿò â âûáîðêó. Òàê ìîæíî âûáèðàòü êîëëåêòèâû ëþäåé ïî ïåðå÷íþ äëÿ îáñëåäîâàíèÿ, àâòîìàøèíû ïàðòèè
äëÿ èñïûòàíèÿ, øòóêè òîâàðà èç ïàðòèè äëÿ êîíòðîëÿ è ò.ä.
 ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ïðîñòîé ñëó÷àéíûé âûáîð íå âñåãäà îñóùåñòâèì. Îí
ÿâëÿåòñÿ êàê áû ýòàëîííûì èäåàëüíûì âûáîðîì. åàëüíûé âûáîð ëèøü ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòûì ñëó÷àéíûì. Åãî íåëüçÿ, íàïðèìåð, îñóùåñòâèòü èç áåñêîíå÷íîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè (âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ, îòêëîíåíèå ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ îò íîðìû), èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, îáðàçîâàíèå êîòîðîé íå çàâåðøåíî è ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî äîëãî (èññëåäóåòñÿ ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà èþëÿ â ãîðîäå).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
34 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñïîñîáû îòáîðà
1
Ìåõàíè÷åñêèé âûáîð
 ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âûáèðàþòñÿ ïî êàêîéëèáî çàêîíîìåðíîñòè. Íàïðèìåð, èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè, êîíòðîëèðóåòñÿ êàæäàÿ äåñÿòàÿ äåòàëü, ñõîäÿùàÿ ñ êîíâåéåðà, êàæäûé ïÿòûé ÷åëîâåê ïî ñïèñêó. Ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ àâòîìàòèçèðîâàííîãî
êîíòðîëÿ.
Ñïîñîáû îòáîðà (ïðîäîëæåíèå)
2
Ñåðèéíûé âûáîð
Ýëåìåíòû â ýòîì ñëó÷àå âûáèðàþòñÿ íå ïî îäíîìó, à ñåðèÿìè.  âûáîðêó
ïîäáèðàþòñÿ ýêçåìïëÿðû, ïðîèçâåäåííûå íà êàêîì-òî ïðîèçâîäñòâå â îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Íàïðèìåð, êîíòðîëþ ïîäâåðãàåòñÿ íå îäíà òàáëåòêà ëåêàðñòâà, à óïàêîâêà, íå îäèí ÷åëîâåê èç êàêîé-ëèáî ãðóïïû, à âñÿ
ãðóïïû. Äèêòóåòñÿ óñëîâèÿìè ïðîèçâîäñòâà è îáñëåäîâàíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
35 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñïîñîáû îòáîðà (ïðîäîëæåíèå)
3
Òèïè÷åñêèé îòáîð
Òàêîé îòáîð ïðîèçâîäèòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè Ñ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
îáúåäèíåíèÿ ïîäìíîæåñòâ, îáúåêòû êîòîðûõ îäíîðîäíû ïî êàêîìó-òî ïðèçíàêó, õîòÿ âñÿ ñîâîêóïíîñòü òàêîé îäíîðîäíîñòè íå èìååò (ïàðòèÿ òîâàðà ñîñòîèò
èç íåñêîëüêèõ ãðóïï, ïðîèçâåäåííûõ íà ðàçíûõ ïðåäïðèÿòèÿõ).  ýòîì ñëó÷àå
Ñ äåëèòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ÷àñòè. Èç êàæäîé ÷àñòè ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî îòáîðà âûáèðàþòñÿ ýëåìåíòû â êîëè÷åñòâå, ïðîïîðöèîíàëüíîì
îáúåìó ÷àñòè, è â âûáîðêó îáúåäèíÿþòñÿ âñå ïîëó÷åííûå îáúåêòû. Òàê ìîæíî ïîëó÷èòü ñâåäåíèÿ î ñðåäíåé çàðïëàòå â îòðàñëè, îá óðîæàéíîñòè ïîëÿ, î
ïîëèòè÷åñêèõ ïðåäïî÷òåíèÿõ ëþäåé. Õàðàêòåðåí äëÿ ýêîí. è ñîö. èññë.!
Ñïîñîáû îòáîðà (ïðîäîëæåíèå)
4
Ñóáúåêòèâíûé âûáîð
Îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå êàêîãî-ëèáî ñóáúåêòèâíîãî ïðèíöèïà. Íàïðèìåð, àíàëèç íå âñåõ ïàðòèé ïðîäóêöèè, à ëèøü íàèáîëåå ïîäîçðèòåëüíîé íà
ñîäåðæàíèå áðàêà; îïðîñ ïî òåëå îíó ÷àñòè, à íå âñåõ ñëîåâ íàñåëåíèÿ. Ýêîíîìèÿ âðåìåíè, ñðåäñòâ, íî âîçìîæíû îøèáêè!
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
36 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñïîñîáû îòáîðà (ïðîäîëæåíèå)
5
Âûáîð ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíûõ íåçàâèñèìûõ èçìåðåíèé (òåìïåðàòóðà ñðåäû, âåëè÷èíà òîêà, çàãðÿçíåííîñòü ðåêè).
Õàðàêòåðåí äëÿ èíæåíåðíûõ è åñòåñòâåííîíàó÷íûõ èññëåäîâàíèé.
!!!
Âñå òèïû âûáîðîâ ìîãóò êîìáèíèðîâàòüñÿ ìåæäó ñîáîé. Ñóùåñòâóþò è
äðóãèå òèïû âûáîðîâ.
 ÌÑ ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî ïðîñòîé ñëó÷àéíûé âûáîð. Îòìåòèì îäíî
åãî âàæíîå ñâîéñòâî ñëó÷àéíîñòü (ðàíäîìèçèðîâàííîñòü). Ñëó÷àéíûé âûáîð
îáúåêòèâåí, ãàðàíòèðóåò îò ïðîïóñêà ñêðûòûõ çàêîíîìåðíîñòåé â Ñ, ïîýòîìó ðåàëüíûé âûáîð ñëåäóåò îðãàíèçîâûâàòü òàê, ÷òîáû ñâîéñòâî ñëó÷àéíîñòè
ïðèñóòñòâîâàëî.  ìåõàíè÷åñêîì è ñóáúåêòèâíîì âûáîðàõ ñëó÷àéíîñòü îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó îíè ìåíåå íàäåæíû. Íàïðèìåð, êàæäàÿ äåñÿòàÿ äåòàëü, ñíèìàåìàÿ ñ êîíâåéåðà ìîæåò èçãîòàâëÿòüñÿ áðàêîäåëîì. Òàêîé êîíòðîëü ìîæåò
èñêàçèòü ðåçóëüòàòû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
37 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.13.
 äàëüíåéøåì ïîä Ñ áóäåì ïîäðàçóìåâàòü íå ñàìî ìíîæåñòâî îáúåêòîâ,
à ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ÑÂ, ïðèíèìàþùåé ÷èñëîâîå çíà÷åíèå íà êàæäîì èç
îáúåêòîâ.
 äåéñòâèòåëüíîñòè Ñ êàê ìíîæåñòâà îáúåêòîâ ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü.
Íàïðèìåð, èìååò ñìûñë ãîâîðèòü î ìíîæåñòâå äåòàëåé, êîòîðûå ìîæíî ïðîèçâåñòè, èñïîëüçóÿ äàííûé òåõíîëîãè÷åñêèé ïðîöåññ. Èñïîëüçóÿ êàêèå-òî èçâåñòíûå íàì õàðàêòåðèñòèêè äàííîãî ïðîöåññà, ìû ìîæåì îöåíèâàòü ïàðàìåòðû
ýòîãî íåñóùåñòâóþùåãî ìíîæåñòâà äåòàëåé.
Îïðåäåëåíèå 3.14.
Ïàðàìåòðû Ñ åñòü ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, à âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
(ñòàòèñòèêè) ÑÂ.
Ïðèìåð 3.3.
àçìåð äåòàëè ýòî Ñ X , çíà÷åíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âîçäåéñòâèåì
ìíîæåñòâà àêòîðîâ. ×òîáû âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ýòà Ñ ïðèíèìàåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå, íåîáõîäèìî çíàòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ÑÂ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
38 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Èòàê, îòâëåêàÿñü îò ïîíÿòèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè êàê ìíîæåñòâà îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ïðèçíàêîì, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãåíåðàëüíóþ
ñîâîêóïíîñòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X , íàáëþäàåìóþ â ñëó÷àéíîì ýêñïåðèìåíòå. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x) ÷àñòè÷íî èëè ïîëíîñòüþ íåèçâåñòåí.
Ïàðàìåòðû ýòîé Ñ îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ âûáîðî÷íîãî ìåòîäà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî çàäàíî.
àññìîòðèì âûáîðêó îáúåìà n, ïðåäñòàâëÿþùóþ äàííóþ ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü. Ïåðâîå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå x1 áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ðåàëèçàöèþ, êàê îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X1 , èìåþùåé
òîò æå çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè, ÷òî è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X . Âòîðîå âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå x2 îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû X2 ñ òåì æå çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî è ñëó÷àéíà âåëè÷èíà X .
Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü î çíà÷åíèÿõ x3 , x4 , ..., xn .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
39 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Òàêèì îáðàçîì íà âûáîðêó áóäåì ñìîòðåòü êàê íà ñîâîêóïíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , ..., Xn , ðàñïðåäåëåííûõ òàê æå, êàê è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü. Âûáîðî÷íûå
çíà÷åíèÿ x1 , x2 , ..., xn ýòî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíÿëè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû â ðåçóëüòàòå 1-ãî, 2-ãî, ..., n-ãî ýêñïåðèìåíòà.
 ñåðèè óæå ïðîèçâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ âûáîðêà ýòî íàáîð ÷èñåë. Íî
åñëè ýòó ñåðèþ ýêñïåðèìåíòîâ ïîâòîðèòü åùå ðàç, òî âìåñòî ýòîãî íàáîðà ìû
ïîëó÷èì íîâûé íàáîð ÷èñåë. Âìåñòî ÷èñëà x1 ïîÿâèòñÿ äðóãîå ÷èñëî îäíî
èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X . Òî åñòü X1 (è X2 , è X3 , è
ò.ä.) ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü òå æå çíà÷åíèÿ, ÷òî è
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , è òàê æå ÷àñòî (ñ òåìè æå âåðîÿòíîñòÿìè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
40 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Äî òîãî êàê ýêñïåðèìåíò ïðîâåäåí, èìååò ñìûñë ñ÷èòàòü âûáîðêó íàáîðîì
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íåçàâèñèìûõ è ðàñïðåäåëåííûõ òàê æå, êàê X . Äåéñòâèòåëüíî, äî ïðîâåäåíèÿ îïûòîâ ìû íå ìîæåì ñêàçàòü, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèìóò ýëåìåíòû âûáîðêè: ýòî áóäóò êàêèå-òî èç çíà÷åíèé Ñ X . Ïîýòîìó èìååò
ñìûñë ñ÷èòàòü, ÷òî äî îïûòà Xi ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííàÿ ñ X , à ïîñëå îïûòà ÷èñëî, êîòîðîå ìû íàáëþäàåì â i-ì ïî ñ÷åòó
ýêñïåðèìåíòå, ò.å. îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi .
àññìîòðèì ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ïðîñòîãî ñëó÷àéíîãî âûáîðà î òîì, ÷òî
âñå ýëåìåíòû âûáîðêè ïîëó÷àþòñÿ â ðàâíûõ óñëîâèÿõ. Ýòî ñâîéñòâî ìîæíî
âûðàçèòü, ââåäÿ Ñ X ∗ , ïðèíèìàþùóþ âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ x1 , x2 , ..., xn ñ
îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþ 1/n.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
41 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.15.
Äèñêðåòíîå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ çàêîíîì, çàäàííûì îðìóëîé
P X ∗ = xk = 1/n,
k = 1, 2, ..., n,
(3.1)
íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì, à åãî ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè
âûáîðî÷íûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè (èíà÷å ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè âûáîðêè).
Ê âûáîðêàì, êàê è ê âûáîðó, ïðåäúÿâëÿåòñÿ ðÿä òðåáîâàíèé. Âàæíåéøèì èç
íèõ ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòè (ïðåäñòàâèòåëüíîñòè). Ýòî òðåáîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðêà äîëæíà äîñòàòî÷íî ïîëíî îòðàæàòü îñîáåííîñòè âñåõ îáúåêòîâ Ñ. Íàïðèìåð, èçó÷àÿ ñðåäíþþ çàðïëàòó îòðàñëè, íåëüçÿ
îãðàíè÷èòüñÿ äàííûìè îäíîãî çàâîäà, îäíîãî ìåñÿöà è ò.ä. Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ
ðåïðåçåíòàòèâíîé âûáîðêè áîëåå âñåãî ïîäõîäèò òèïè÷åñêèé âûáîð. Ïðîñòîé
ñëó÷àéíûé âûáîð òîæå ðåïðåçåíòàòèâåí, ò.ê. òåîðåòè÷åñêè ëþáîé ýëåìåíò Ñ
ìîæåò ïîïàñòü â âûáîðêó, íî ìåíåå íàäåæåí, ÷åì òèïè÷åñêèé, òàê êàê â ñèëó
íåçàâèñèìîñòè è ñëó÷àéíîñòè âûáîðà ýëåìåíòîâ âîçìîæíà èõ êîíöåíòðàöèÿ
è, ñëåäîâàòåëüíî, íåäîñòàòî÷íî ïðåäñòàâèòåëüíûé îõâàò Ñ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
42 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Äðóãèì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå îäíîðîäíîñòè âûáîðêè. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûáîðêè íå
äîëæíû ìåíÿòüñÿ. Âûáîðêà äîëæíà áûòü ïîëó÷åíà èç îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, à íå èç íåñêîëüêèõ.  íåé äîëæíû îòñóòñòâîâàòü âûáðîñû. Íåîäíîðîäíàÿ âûáîðêà íå ìîæåò äàòü ïðàâèëüíîãî ïðîãíîçà.
Îïðåäåëåíèå 3.16.
Îäíîðîäíîé âûáîðêîé (âûáîðêîé) X = {X1 , ..., Xn } îáúåìà n èç ðàñïðåäåëåíèÿ FX íàçûâàåòñÿ íàáîð èç n íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ("êîïèé X "), èìåþùèõ, êàê è X , ðàñïðåäåëåíèå F .
Îïðåäåëåíèå 3.17.
Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðà X íåçàâèñèìû, íî èõ ðàñïðåäåëåíèÿ F1 (x1 ), ...,
Fn (xn ) ðàçëè÷íû, òî òàêóþ âûáîðêó íàçûâàþò íåîäíîðîäíîé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
43 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè äëÿ îäíîðîäíûõ âûáîðîê èìååò âèä
FX (x1 , x2 , ..., xn ) = FX (x1 ) FX (x2 ) ... FX (xn ) =
n
Y
FX (xi ),
i=1
à äëÿ íåîäíîðîäíûõ
FX (x1 , x2 , ..., xn ) = FX1 (x1 ) FX2 (x2 ) ... FXn (xn ) =
n
Y
FXi (xi ).
i=1
àçëè÷àþòñÿ ìàëûå è áîëüøèå âûáîðêè, òàê êàê îíè îòëè÷àþòñÿ ìåòîäàìè
îáðàáîòêè. Äëÿ îáðàáîòêè áîëüøîé âûáîðêè ïðèâëåêàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå.  ñòàòèñòè÷åñêîé
ïðàêòèêå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü âûáîðêó ñ îáúåìîì n > 30 áîëüøîé.
Äëÿ èçó÷åíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X, Y ) ñîçäàåòñÿ äâóìåðíàÿ
âûáîðêà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ òàáëèöó ïàð ÷èñåë (xi , yi ), i = 1, 2, ... , n. Ñóùåñòâóþò âûáîðêè ëþáîé ðàçìåðíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
44 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.18.
Ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîãóò íàáëþäàòüñÿ â ýêñïåðèìåíòå, îáðàçóþò âûáîðî÷íîå ïðîñòðàíñòâî S.
Îïðåäåëåíèå 3.19.
Ëþáàÿ óíêöèÿ ðåçóëüòàòîâ îïûòîâ, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò íåèçâåñòíûõ
ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé.
×òî çíà÷èò "ïî âûáîðêå ñäåëàòü âûâîä î ðàñïðåäåëåíèè"? àñïðåäåëåíèå
õàðàêòåðèçóåòñÿ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ,
èëè òàáëèöåé, íàáîðîì
ïëîòíîñòüþ
÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê mX , DX ,
X k è ò.ä. Ïî âûáîðêå íóæíî óìåòü
ñòðîèòü ïðèáëèæåíèÿ äëÿ âñåõ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê.
E
 ñàìîì îáùåì ñìûñëå ñòàòèñòè÷åñêîå îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ äåëàòü
íàó÷íî îáîñíîâàííûå âûâîäû î ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðàõ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïî ñëó÷àéíîé âûáîðêå èç íåå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
45 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Çàäà÷à ñòàòèñòè÷åñêîé îöåíêè ïàðàìåòðîâ â îáùåì âèäå
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïîä÷èíåííàÿ çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; θ),
ãäå θ ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷èñëîâîå çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî. Èññëåäîâàòü âñå ýëåìåíòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðà
θ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, ïîýòîìó î äàííîì ïàðàìåòðå ïûòàþòñÿ ñóäèòü ïî âûáîðêàì èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 3.20.
Âñÿêóþ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííóþ óíêöèþ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ñóäÿò î çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ, íàçûâàþò ñòàòèñòèêîé ïàðàìåòðà θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
46 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.21.
Îöåíêîé θb ñòàòèñòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè θ íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêà, ðåàëèçàöèÿ êîòîðîé, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå îïûòîâ, ïðèíèìàåòñÿ çà íåèçâåñòíîå
èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ.
àññìîòðèì íåêîòîðîå ìíîæåñòâî âûáîðîê îáúåìîì n êàæäàÿ. Îöåíêó ïàðàìåòðà θ, âû÷èñëåííóþ ïî i-é âûáîðêå, îáîçíà÷èì ÷åðåç θbi . Òàê êàê ñîñòàâ
âûáîðêè ñëó÷àåí, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî θbi ïðèìåò íåèçâåñòíîå çàðàíåå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Èçâåñòíî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûìè
õàðàêòåðèñòèêàìè, ñëåäîâàòåëüíî, è âûáîðî÷íóþ îöåíêó òàêæå ìîæíî îïèñûâàòü çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. Îñíîâíàÿ çàäà÷à
òåîðèè îöåíèâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðîèçâåñòè âûáîð îöåíêè θbi ïàðàìåòðà θ, ïîçâîëÿþùåé ïîëó÷èòü õîðîøåå ïðèáëèæåíèå îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
47 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Íà ïðàêòèêå ïðè èññëåäîâàíèè êîíêðåòíîãî ýêñïåðèìåíòà ðàñïðåäåëåíèÿ
FX1 (x1 ), ..., FXn (xn ) Ñ X1 ,..., Xn ðåäêî áûâàþò èçâåñòíû ïîëíîñòüþ. ×àñòî àïðèîðè (äî îïûòà) ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå FX (x)
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó (ñåìåéñòâó) F .
Îïðåäåëåíèå 3.22.
Ïàðà {S, F } íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëüþ îïèñàíèÿ ñåðèè îïûòîâ,
ïîðîæäàþùèõ âûáîðêó X .
Îïðåäåëåíèå 3.23.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýòî ñîâîêóïíîñòü äîïóùåíèé, ëåæàùèõ â îñíîâå
ñòàòèñòè÷åñêîãî òåñòà è îòíîñÿùèõñÿ:
1
ê îðìå äàííûõ;
2
ê õàðàêòåðó ïåðåìåííûõ;
3
ê ïðèðîäå âûáîðêè;
4
ê ïðèðîäå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èç êîòîðîé áûëà ïîëó÷åíà âûáîðêà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
48 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Óñëîâíî ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà èññëåäîâàíèå
áàéåñîâñêèõ è íåáàéåñîâñêèõ ìîäåëåé.
Îïðåäåëåíèå 3.24.
Áàéåñîâñêèå ìîäåëè âîçíèêàþò òîãäà, êîãäà íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è èìååòñÿ àïðèîðíàÿ èí îðìàöèÿ î åãî ðàñïðåäåëåíèè. Ïðè áàéåñîâñêîì ïîäõîäå íà îñíîâå îïûòíûõ äàííûõ àïðèîðíûå âåðîÿòíîñòè ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ â àïîñòåðèîðíûå. Ïðèìåíåíèå áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà
àêòè÷åñêè ñâîäèòñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ îðìóëû Áàéåñà, îòêóäà, ñîáñòâåííî
ãîâîðÿ, è ïîøëî åãî íàçâàíèå.
Îïðåäåëåíèå 3.25.
Íåáàéåñîâñêèå ìîäåëè ïîÿâëÿþòñÿ òîãäà, êîãäà íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð
íåëüçÿ ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è âñå ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû ïðèõîäèòñÿ
äåëàòü, îïèðàÿñü òîëüêî íà ðåçóëüòàòû "ïðîáíûõ" èñïûòàíèé. Èìåííî òàêèå
ìîäåëè áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äàëåå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
49 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.26.
Åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x; θ) èç êëàññà F îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà θ ∈ Θ ⊂ Rs , òî òàêàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü
íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé è îáîçíà÷àåòñÿ {Sθ , FX (x; θ)}, θ ∈ Θ ⊂ Rs .
Ïàðàìåòðè÷åñêèå ìîäåëè âîçíèêàþò òîãäà, êîãäà íàì èçâåñòíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðà (ñêàëÿðíîãî èëè âåêòîðíîãî) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäàåìîé õàðàêòåðèñòèêè è íåîáõîäèìî ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé îïðåäåëèòü ýòîò ïàðàìåòð (çàäà÷à îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà) èëè ïðîâåðèòü
ãèïîòåçó î ïðèíàäëåæíîñòè åãî íåêîòîðîìó çàðàíåå âûäåëåííîìó ìíîæåñòâó
çíà÷åíèé (çàäà÷à ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç).
Îïðåäåëåíèå 3.27.
Åñëè íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòü òåîðåòè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x) êàêîìó-ëèáî ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó, òî îðìóëèðóåòñÿ
çàäà÷à îöåíêè íåèçâåñòíûõ õàðàêòåðèñòèê òåîðåòè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â íåïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
50 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.28.
Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ñòàòèñòè÷åñêîãî íàáëþäåíèÿ ðåàëèçàöèÿ âûáîðêè
èç n çíà÷åíèé (èëè âàðèàíò) èçó÷àåìîãî êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà (ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû) X îáðàçóåò âàðèàöèîííûé ðÿä.
Îïðåäåëåíèå 3.29.
àíæèðîâàííûé âàðèàöèîííûé ðÿä ïîëó÷àþò, ðàñïîëîæèâ âàðèàíòû xj ,
ãäå j = 1, 2, ..., n, â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ çíà÷åíèé, òî åñòü x(1) 6 x(2) 6 ... 6
x(j) 6 ... 6 x(n) .
Èçó÷àåìûé ïðèçíàê X ìîæåò áûòü äèñêðåòíûì, åñëè åãî çíà÷åíèÿ îòëè÷àþòñÿ íà êîíå÷íóþ, çàðàíåå èçâåñòíóþ âåëè÷èíó (ãîä ðîæäåíèÿ, òàðè íûé
ðàçðÿä, ÷èñëî ëþäåé), èëè íåïðåðûâíûì, åñëè åãî çíà÷åíèÿ îòëè÷àþòñÿ íà
ñêîëü óãîäíî ìàëóþ âåëè÷èíó (âðåìÿ, âåñ, îáúåì, ñòîèìîñòü).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
51 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.30.
×àñòîòîé mi â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ïðèçíàêà X íàçûâàþò ÷èñëî îäèíàêîâûõ
âàðèàíò xi , ñîäåðæàùèõñÿ â âûáîðêå.
 ðàíæèðîâàííîì âàðèàöèîííîì ðÿäå îäèíàêîâûå âàðèàíòû î÷åâèäíî ðàñïîëîæåíû ïîäðÿä:
n
z
}|
{
x1 , x1 , ..., x1 , ..., xi , xi , ..., xi , ..., xk , xk , ..., xk .
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
m1
mi
mk
Îïðåäåëåíèå 3.31.
Âàðèàöèîííûé ðÿä äëÿ äèñêðåòíîãî ïðèçíàêà X ïðèíÿòî íàãëÿäíî è êîìïàêòíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå òàáëèöû, â ïåðâîé ñòðîêå êîòîðîé óêàçàíû k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé xi (xℓ < xℓ+1 ) èçó÷àåìîãî ïðèçíàêà, à âî âòîðîé ñòðîêå
ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì çíà÷åíèÿì ÷àñòîòû mi , ãäå i = 1, 2, ..., k . Òàêóþ
òàáëèöó íàçûâàþò ñòàòèñòè÷åñêèì (âûáîðî÷íûì) ðàñïðåäåëåíèåì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
52 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.4. Ïåðåõîä îò èñõîäíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà äèñêðåòíîãî
ïðèçíàêà X ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ
1°. Âàðèàöèîííûé ðÿä, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ñòàòèñòè÷åñêîãî íàáëþäåíèÿ (åäèíèöû èçìåðåíèÿ îïóñêàåì):
7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14
2°. àíæèðîâàííûé âàðèàöèîííûé ðÿä:
x(j) : 7, 7, 7, 7, 10 , 14, 14, 14, 17, 17,
| {z } | {z } | {z } | {z }
m1 =4
m2 =1
m3 =3
j = 1, 2, ..., n,
n = 10.
m4 =2
3°. Ñîîòâåòñòâóþùåå ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (i = 1, 2, ..., k , k = 4):
xi 7 10 14 17
mi 4 1 3 2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
53 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ íåïðåðûâíîãî ïðèçíàêà X ïðèíÿòî
ïðåäñòàâëÿòü èíòåðâàëüíûì ðÿäîì òàáëèöåé, â ïåðâîé ñòðîêå êîòîðîé óêàçàíû k ñåãìåíòîâ çíà÷åíèé èçó÷àåìîãî ïðèçíàêà X âèäà [x⋆i−1 , x⋆i ], à âî âòîðîé
ñòðîêå ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñåãìåíòàì ÷àñòîòû mi , ãäå i = 1, 2, ..., k . Ïðè
ïîïàäàíèè âàðèàíòû íà ãðàíèöó îáû÷íî åå îòíîñÿò ê ëåâîìó ñåãìåíòó.
Äëÿ íåïðåðûâíîãî ïðèçíàêà X ÷àñòîòà mi ÷èñëî ðàçëè÷íûõ xj , ïîïàâøèõ
â ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåðâàë xj ∈ [x⋆i−1 , x⋆i ]:
xH1L xH2L xH3L xH4L
x0*
m1=4
...
xH jL xH j+1L xH j+2L ...
*
x1* ... xi-1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
mi =3
xi*
*
... xk-1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
xHn-1L
xHnL
mk =2
xk*
X
54 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îáû÷íî èíòåðâàëû [x⋆i−1 , x⋆i ] âûáèðàþò îäèíàêîâûìè ïî äëèíå: h = x⋆1 −
= x⋆2 − x⋆1 = ... = x⋆k − x⋆k−1 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû èíòåðâàëà ìîæíî (íî
íå îáÿçàòåëüíî!) âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé Ñòåðäæåñà:
x⋆0
h=
xmax − xmin
,
1 + ⌊log2 n⌋
ãäå xmin è xmax íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ, k = 1 +
⌊log2 n⌋ ÷èñëî èíòåðâàëîâ. Çà íà÷àëî ïåðâîãî èíòåðâàëà ðåêîìåíäóåòñÿ áðàòü
òî÷êó x0 = xmin − h/2.
!!!
Íå ðåêîìåíäóåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé Ñòåðäæåñà îðìàëüíî. Êàê ïðàâèëî, êîëè÷åñòâî èíòåðâàëîâ çàâèñèò íå òîëüêî îò îáúåìà âûáîðêè, íî è îò
ñóùåñòâà ðåøàåìîé çàäà÷è, à òàêæå æåëàíèÿ êà÷åñòâåííî ïðåäñòàâèòü èìåþùèåñÿ äàííûå. Íàïðèìåð, ïðèâåòñòâóåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ãðàíèö ðàçðÿäîâ â
âèäå äåñÿòè÷íûõ ÷èñåë ñ ìèíèìàëüíûì êîëè÷åñòâîì öè ð.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
55 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.5. Ïåðåõîä îò èñõîäíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà íåïðåðûâíîãî
ïðèçíàêà X ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ
1°. Âàðèàöèîííûé ðÿä, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ñòàòèñòè÷åñêîãî íàáëþäå-
íèÿ (åäèíèöû èçìåðåíèÿ îïóñêàåì):
3,14; 1,41; 2,87; 3,62; 2,71; 3,95
2°. àíæèðîâàííûé âàðèàöèîííûé ðÿä x(j) :
1,41; 2,71; 2,87; 3,14; 3,62; 3,95
ãäå j = 1, 2, ..., n, n = 6.
3°. Ñîîòâåòñòâóþùåå ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (i = 1, 2, ..., k , k = 3):
[x⋆i−1 , x⋆i ] [1, 2℄ (2, 3℄ (3, 4℄
mi
1
2
3
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
56 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
!!!
Åñëè ÷èñëî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äèñêðåòíîãî ïðèçíàêà î÷åíü âåëèêî, òî
äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé è íàãëÿäíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå òàêîãî äèñêðåòíîãî ïðèçíàêà òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
èíòåðâàëüíîãî ðÿäà.
Âìåñòî ÷àñòîò mi âî âòîðîé ñòðîêå ìîãóò áûòü óêàçàíû îòíîñèòåëüíûå
÷àñòîòû wi = mi /n. Î÷åâèäíî, ÷òî ñóììà ÷àñòîò ðàâíà îáúåìó âûáîðêè (âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè) n, à ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò åäèíèöå:
k
X
mi = n,
i=1
k
X
i=1
wi =
k
X
mi
i=1
n
=
k
1 X
mi = 1.
n i=1
Îïðåäåëåíèå 3.32.
Åñëè â ñòàòèñòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè âìåñòî ÷àñòîò (îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò) óêàçàòü íàêîïëåííûå ÷àñòîòû (îòíîñèòåëüíûå íàêîïëåííûå ÷àñòîòû), òî
òàêîé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò êóìóëÿòèâíûì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
57 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 3.33.
Íàêîïëåííîé ÷àñòîòîé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî çíà÷åíèé ïðèçíàêà X , ìåíüøèõ
çàäàííîãî çíà÷åíèÿ x:
X
G(x) =
mj ,
xj xk
G(x)
m1
m1 + m2 ... m1 + ... + mk−1
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
58 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïåðåõîä îò èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ÷àñòîò ê êóìóëÿòèâíîìó ðÿäó èíòåðâàëüíîìó ðÿäó íàêîïëåííûõ ÷àñòîò
x
(−∞, x⋆1 ] (x⋆1 , x⋆2 ] (x⋆2 , x⋆3 ] ...
(x⋆k−1 , x⋆k ]
(x⋆k , +∞)
G(x)
m1
m1 + m2 ... m1 + m2 + ... + mk−1
n
Îïðåäåëåíèå 3.34.
Íàêîïëåííîé îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà çíà÷åíèé ïðèçíàêà X , ìåíüøèõ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ x, ê îáúåìó âûáîðêè n:
∗
FX
(x) =
G(x)
,
n
ò.å. äîëÿ âàðèàíò â âûáîðêå, îòâå÷àþùèõ óñëîâèþ x(j) < x.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
59 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïî àíàëîãèè ñ òåîðåòè÷åñêîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè FX (x), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {X < x}: FX (x) =
∗
P(X < x), ââîäÿò ïîíÿòèå ýìïèðè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX
(x), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó ýòîãî æå ñîáûòèÿ {X < x}. Òàêèì
îáðàçîì, ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ðÿäîì íàêîïëåííûõ
îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò.
∗
Èç òåîðåìû Áåðíóëëè ñëåäóåò, ÷òî FX
(x) ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê
FX (x). Áîëåå òîãî, âåðíà
Òåîðåìà 3.1.
Ïóñòü X1 , X2 , ..., Xn , ... áåñêîíå÷íàÿ âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F . Ïóñòü F ∗ âûáîðî÷íàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííàÿ íà ïåðâûõ n ýëåìåíòàõ âûáîðêè. Òîãäà
lim
max
n→∞ −∞ xmax = x(n) .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
64 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
-4
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
-2
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
4
6
65 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
0.20
Это не гистограмма!
0.15
0.10
0.05
0.00
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
66 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
èñòîãðàììà ïîêàçûâàåò:
1
2
çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû âñòðå÷àåìîñòè ïðèçíàêà îò ñîîòâåòñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ èëè èíòåðâàëà ãðóïïèðîâêè,
ìîäó ðàñïðåäåëåíèÿ.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè ïîìîùè ãèñòîãðàììû îïðåäåëèòü ìîäó, íàäî íàéòè
íà íåé ñàìûé âûñîêèé ñòîëáèê. Îí ñîîòâåòñòâóåò òîìó çíà÷åíèþ ïðèçíàêà,
êîòîðîå âñòðå÷àåòñÿ ÷àùå äðóãèõ, ò.å. ìîäå.
 çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ðàñïðåäåëåíèÿ íàèáîëüøóþ âûñîòó ìîãóò
èìåòü íåñêîëüêî ñòîëáèêîâ. Òàê, ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòî áûâàåò áèìîäàëüíûì.
Åñëè ìîäà èìååò òîëüêî îäíî çíà÷åíèå, ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ óíèìîäàëüíûì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
67 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïëîùàäü ãèñòîãðàììû åñòü ñóììà ïëîùàäåé åå ïðÿìîóãîëüíèêîâ: ïëîùàäü
ãèñòîãðàììû ÷àñòîò ðàâíà îáúåìó âûáîðêè, à ïëîùàäü ãèñòîãðàììû îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ðàâíà åäèíèöå.
 òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ãèñòîãðàììå îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ñîîòâåòñòâóåò
ãðà èê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé fX (x). Ïîýòîìó ãèñòîãðàììó
ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîäáîðà çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
×àñòî ãèñòîãðàììà èñïîëüçóåòñÿ è äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèçíàêà ñ íîðìàëüíûì (äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû î òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ äàííîãî ïðèçíàêà ðàñïðåäåëåíû ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
68 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
-4
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
-2
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
4
6
69 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.6.
 ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ðÿäà èñïîëüçîâàòü êóìóëÿíòó äëÿ èçîáðàæåíèÿ
∗
FX
(x) è G(x) ìîæíî ëèøü óñëîâíî, äëÿ íàãëÿäíîñòè. Áîëåå êîððåêòíûì ÿâ∗
ëÿåòñÿ èçîáðàæåíèå ýìïèðè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX
(x) (à òàêæå
G(x)) ïî àíàëîãèè ñ òåîðåòè÷åñêîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòóïåí÷àòûì ãðà èêîì îòðåçêàìè ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ
îñè àáñöèññ; äëèíû îòðåçêîâ hi = x⋆i − x⋆i−1 , ðàññòîÿíèÿ îò îòðåçêîâ äî îñè
∗
àáñöèññ FX
(x⋆i ) (èëè G(x⋆i )).
Ïðèìåð 3.7.
Èìååòñÿ ðàñïðåäåëåíèå 80 ïðåäïðèÿòèé ïî ÷èñëó ðàáîòàþùèõ íà íèõ
(÷åë.):
xi 150 250 350 450 550 650 750
mi 1 3 7 30 19 15 5
Íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
70 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.7.(ïðîäîëæåíèå)
Ïðèçíàê X ÷èñëî ðàáîòàþùèõ (÷åë.) íà ïðåäïðèÿòèè.  äàííîé çàäà÷å ïðèçíàê X ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì. Ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà
ñðàâíèòåëüíî íåìíîãî: k = 7, òî ïðèìåíÿòü èíòåðâàëüíûé ðÿä äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåöåëåñîîáðàçíî. Îòñþäà ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíûé. Ïîëèãîí ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòîò ïðèâåäåí íà ðèñóíêå
íèæå.
p*
30
20
10
100
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
200
300
400
500
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
600
700
800
71 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.8.
Äàíî ðàñïðåäåëåíèå 100 ðàáî÷èõ ïî çàòðàòàì âðåìåíè íà îáðàáîòêó îäíîé
äåòàëè (ìèí):
[x⋆i−1 , x⋆i ] [22, 24℄ (24, 26℄ (26, 28℄ [(28, 30℄ (30, 32℄ (32, 34℄
mi
2
12
34
40
10
2
Ïðåäñòàâèòü ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå, ñîñòàâèòü êóìóëÿíòó ÷àñòîò è ýìïèðè÷åñêóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
72 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 3.8.(ïðîäîëæåíèå)
Ïðèçíàê X çàòðàòû âðåìåíè íà îáðàáîòêó îäíîé äåòàëè (ìèí). Ïðèçíàê
X íåïðåðûâíûé, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåðâàëüíûé.
i
1
2
3
4
5
6
7
[x⋆i−1 , x⋆i ] (−∞, 24℄ (24, 26℄ (26, 28℄ (28, 30℄ (30, 32℄ (32, 34℄ (34,+∞)
mi
2
12
34
40
10
2
G(x)
2
14
48
88
98
100
∗
FX
(x)
0,00
0,02
0,14
0,48
0,88
0,98
1,00
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
73 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
8
6
4
2
-2
-4
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
74 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
75 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
-1.25 to -1
-1.5 to -1.25
1.5 to 1.75
1.25 to 1.5
1. to 1.25
0.5 to 0.75
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
76 / 297
3.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
0.2
0.4
0.6
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
0.8
1.0
77 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.3. Òèïû ïðèçíàêîâ
ðóïïû ïðèçíàêîâ
 ñâÿçè ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåðåíèÿ âñå ïðèçíàêè ïðèíÿòî äåëèòü íà äâå
áîëüøèå ãðóïïû êîëè÷åñòâåííûå (ÊîÏ) è êà÷åñòâåííûå (ÊàÏ).
1
ÊîÏ ìîãóò áûòü èçìåðåíû äëÿ êàæäîãî îáúåêòà ÷èñëîì.
2
ÊàÏ íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû êîëè÷åñòâåííî (âûðàæåíû ÷èñëîì) äëÿ êàæäîãî îáúåêòà, îíè óêàçûâàþò (êàê ïðàâèëî â òåêñòîâîé îðìå) êàòåãîðèþ,
ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ òîò èëè èíîé îáúåêò.
3
Íàèáîëåå ÷àñòî â ñòàòèñòèêå èñïîëüçóþòñÿ ÊîÏ (âîçðàñò, äîõîä è ò.ï.).
4
Ñ ÊîÏ äîïóñòèìû âñå àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, èìåííî äëÿ íèõ ðàçðàáîòàíî áîëüøèíñòâî ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
5
Îäíàêî ÊàÏ òàêæå äîïóñêàþò èçìåðåíèå: ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
îáúåêòîâ, ïîïàäàþùèõ â òó èëè èíóþ êàòåãîðèþ äàííîãî ïðèçíàêà; äîëþ
ýòîé êàòåãîðèè â ñîâîêóïíîñòè, ò.å. îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó.
6
Òàê íà óðîâíå ñîâîêóïíîñòè ïðîèñõîäèò "ïðåâðàùåíèå" êà÷åñòâà â êîë-âî:
äëÿ ãðóïïû ëþäåé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ñòóäåíòîâ ñðåäè íèõ, à ýòî óæå
ÊîÏ, ñ êîòîðûì ìîæíî âûïîëíÿòü àðè ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè òî÷íî òàê
æå, íàïðèìåð, êàê ñî ñðåäíèì âîçðàñòîì â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
78 / 297
3.4. Îñíîâíûå ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè (ÎÑÕ)
Äâå îñíîâíûå ãðóïïû
1
2
Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ,
Ìåðû ðàññåÿíèÿ (ðàçáðîñà).
Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ äàþò óñðåäíåííóþ õàðàêòåðèñòèêó ñîâîêóïíîñòè
îáúåêòîâ ïî îïðåäåëåííîìó ïðèçíàêó (íàïðèìåð, ñðåäíèé âîçðàñò õàðàêòåðèñòèêà íåêîòîðîé ãðóïïû ëþäåé).
Ìåðû ðàññåÿíèÿ ïîêàçûâàþò, íàñêîëüêî õîðîøî ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò äàííóþ ñîâîêóïíîñòü.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
79 / 297
3.5. Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Ê îñíîâíûì ìåðàì ñðåäíåãî óðîâíÿ îòíîñÿòñÿ:
1
2
3
ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå (îáîçíà÷åíèÿ: X , x),
âûáîðî÷íàÿ ìîäà (îáîçíà÷åíèÿ: Xmod , xmod ),
âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà (îáîçíà÷åíèÿ: Xmed , xmed ).
Îïðåäåëåíèå 3.36.
Ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ýòî ñóììà çíà÷åíèé ïðèçíàêà ó âñåõ
îáúåêòîâ ñîâîêóïíîñòè, îòíåñåííàÿ ê îáùåìó ÷èñëó îáúåêòîâ, ò.å. ñðåäíèì
àðè ìåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïðèçíàêà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà:
n
X=
1X
Xi ,
n i=1
n
x=
1X
xi ,
n i=1
ãäå xi çíà÷åíèå ïðèçíàêà ó i-ãî îáúåêòà, n ÷èñëî îáúåêòîâ â ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
80 / 297
3.5. Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Ïðèìåð 3.9.
Åñëè çíà÷åíèÿ âîçðàñòà â ñîâîêóïíîñòè (ãðóïïå) èç 5 ÷åëîâåê, ðàâíû 30,
35, 30, 40 è 30 ëåò (âûáîðêà èç ïÿòè ýëåìåíòîâ), òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåãî
âîçðàñòà íàäî ñëîæèòü âñå ïÿòü çíà÷åíèé è ïîëó÷åííóþ ñóììó (165) ðàçäåëèòü
íà 5.  ðåçóëüòàòå ñðåäíèé âîçðàñò ïîëó÷èòñÿ ðàâíûì 33.
Îïðåäåëåíèå 3.37.
Ìîäà ýòî íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùååñÿ çíà÷åíèå ïðèçíàêà â äàííîé
ñîâîêóïíîñòè îáúåêòîâ.
Ïðèìåð 3.10.
 ïðåäûäóùåì ïðèìåðå çíà÷åíèÿ âîçðàñòà â ñîâîêóïíîñòè (ãðóïïå) èç 5
÷åëîâåê ðàâíû 30, 35, 30, 40 è 30 ëåò. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå 30 ëåò âñòðå÷àåòñÿ 3 ðàçà, 35 ëåò è 40 ëåò ïî 1 ðàçó. Ìîäîé áóäåò òî çíà÷åíèå, êîòîðîå
âñòðåòèëîñü ÷àùå äðóãèõ, ò.å. xmod = 30 ëåò.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
81 / 297
3.5. Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Îïðåäåëåíèå 3.38.
Ìåäèàíà ýòî "ñåðåäèííîå" çíà÷åíèå ïðèçíàêà â òîì ñìûñëå, ÷òî ó ïîëîâèíû îáúåêòîâ çíà÷åíèÿ ýòîãî ïðèçíàêà ìåíüøå ìåäèàíû, à ó äðóãîé ïîëîâèíû
îáúåêòîâ áîëüøå ìåäèàíû.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ìåäèàíó, íåîáõîäèìî óïîðÿäî÷èòü âñå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà ïî âîçðàñòàíèþ è íàéòè òî ÷èñëî, êîòîðîå íàõîäèòñÿ â ñåðåäèíå ïîëó÷åííîãî ðÿäà.
Ïðèìåð 3.11.
Âûáîðêà, óïîðÿäî÷åííàÿ ïî âîçðàñòàíèþ (ðàíæèðîâàííûé âàðèàöèîííûé
ðÿä), âûãëÿäèò òàê: {30, 30, 30, 35, 40}. Ñåðåäèíîé ÿâëÿåòñÿ òðåòüå çíà÷åíèå
(ñëåâà è ñïðàâà îò íåãî ñòîÿò ïî äâà ÷èñëà). Çíà÷èò, ìåäèàíà xmed = 30 ëåò.
Åñëè â âûáîðêå ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé, ïîñåðåäèíå îêàæóòñÿ äâà ÷èñëà.
Íàïðèìåð, â ðàíæèðîâàííîì âàðèàöèîííîì ðÿäå {30, 30, 30, 35, 40, 50} ïîñåðåäèíå (íà òðåòüåì è ÷åòâåðòîì ìåñòàõ) ñòîÿò ÷èñëà 30 è 35.  ýòîì ñëó÷àå
â êà÷åñòâå ìåäèàíû ìîæíî âçÿòü ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå èç ýòèõ ÷èñåë, ò.å.
xmed = 32,5 ãîäà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
82 / 297
3.5. Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Íå âñå ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ ìîæíî íàéòè äëÿ ëþáîãî ïðèçíàêà!!!
1
2
3
Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà ìîæíî âû÷èñëèòü ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå, ìîäó è ìåäèàíó.
Äëÿ ðàíãîâîãî ïðèçíàêà ìîæíî íàéòè ìîäó è ìåäèàíó.
Äëÿ íîìèíàëüíîãî ïðèçíàêà ìîæíî íàéòè òîëüêî ìîäó (åå çíà÷åíèåì
áóäåò íàçâàíèå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùåéñÿ êàòåãîðèè íîìèíàëüíîãî
ïðèçíàêà).
Ñâîéñòâà ìåð ñðåäíåãî óðîâíÿ
1
2
3
 ñëó÷àå êîëè÷åñòâåííûõ äàííûõ âñå ìåðû èçìåðÿþòñÿ â òåõ æå åäèíèöàõ,
÷òî è ñàì èñõîäíûé ïðèçíàê.
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ èñõîäíîãî ïðèçíàêà èçìåíÿòñÿ â íåñêîëüêî ðàç, òî æå
ñàìîå ïðîèçîéäåò è ñî âñåìè ñðåäíèìè âåëè÷èíàìè äëÿ ýòîãî ïðèçíàêà.
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ èñõîäíîãî ïðèçíàêà èçìåíÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî
æå ñàìîå ïðîèçîéäåò è ñî âñåìè ñðåäíèìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
83 / 297
3.5. Ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ
Ñâîéñòâà ìåð ñðåäíåãî óðîâíÿ (ïðîäîëæåíèå)
4
5
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé ïðèçíàêà áëèçêî ê íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, âñå òðè ìåðû ñðåäíåãî óðîâíÿ (ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå, ìåäèàíà
è ìîäà) äàþò áëèçêèå çíà÷åíèÿ.
Åñëè æå èìåþòñÿ çíà÷åíèÿ, ñèëüíî îòëè÷àþùèåñÿ îò äðóãèõ, òî îíè çàìåòíî âëèÿþò íà ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå ("ïðèòÿãèâàþò" åãî ê ñåáå),
è â òàêîì ñëó÷àå ëó÷øå èñïîëüçîâàòü ìåäèàíó, ìåíåå ÷óâñòâèòåëüíóþ ê
"âûïàäàþùèì òî÷êàì".
Ïðèìåð 3.12.
Äëÿ âûáîðêè {30, 30, 30, 35, 40} ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå ðàâíî 33, à
ìåäèàíà ðàâíà 30. Äîïóñòèì, â ðåçóëüòàòå îøèáêè ïîñëåäíåå ÷èñëî â ýòîé
âûáîðêå çàïèñàíî íåâåðíî: {30, 30, 30, 35, 400}. Òîãäà ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå
ðåçêî óâåëè÷èâàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì 105. Ìåäèàíà æå íå èçìåíèòñÿ(, êàê
è ìîäà).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
84 / 297
3.6. Ìåðû ðàññåÿíèÿ
Âñå ìåðû ðàññåÿíèÿ ïîêàçûâàþò, íàñêîëüêî ñèëüíî âàðüèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ
ïðèçíàêà (à òî÷íåå, èõ îòêëîíåíèÿ îò ñðåäíåãî) â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
×åì ìåíüøå çíà÷åíèå ìåðû ðàçáðîñà, òåì áëèæå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà ó âñåõ
îáúåêòîâ ê ñâîåìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ, à çíà÷èò, è äðóã ê äðóãó.
Åñëè âåëè÷èíà ìåðû ðàçáðîñà ðàâíà íóëþ, çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà ó âñåõ îáúåêòîâ îäèíàêîâû.
Ê îñíîâíûì ìåðàì ðàññåÿíèÿ îòíîñÿòñÿ:
1
2
3
âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå (ÑÊÎ, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå) ìåðà ðàçáðîñà çíà÷åíèé ïðèçíàêà îêîëî ñðåäíåãî àðè ìåòè÷åñêîãî (îáîçíà÷åíèÿ: Sn , S , S0 , sn , s, s0 ),
âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ (îáîçíà÷åíèÿ: Sn2 , S 2 , S02 , s2n , s2 , s20 ),
âûáîðî÷íûé êîý èöèåíò âàðèàöèè îòíîøåíèå âûáîðî÷íîãî ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ ê ñðåäíåìó àðè ìåòè÷åñêîìó, âûðàæåííîå â ïðîöåíòàõ
(îáîçíà÷åíèå: ν ).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
85 / 297
3.6. Ìåðû ðàññåÿíèÿ
Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå
1
2
3
èñïîëüçóåòñÿ íàèáîëåå ÷àñòî,
èçìåðÿåòñÿ, êàê è ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå, â òåõ æå åäèíèöàõ, ÷òî è ñàì
èñõîäíûé ïðèçíàê,
åñëè âñå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà èçìåíèòü â íåñêîëüêî ðàç, òî÷íî òàê æå èçìåíèòñÿ è ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå, îäíàêî åñëè âñå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà
óâåëè÷èòü (óìåíüøèòü) íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó, åãî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå íå èçìåíèòñÿ.
Êîý èöèåíò âàðèàöèè
1
2
3
4
èçìåðÿåò íå àáñîëþòíóþ, à îòíîñèòåëüíóþ ìåðó ðàçáðîñà çíà÷åíèé ïðèçíàêà â ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòè,
åñëè â íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè êîý èöèåíò âàðèàöèè íå ïðåâûøàåò
30%, ýòà ñîâîêóïíîñòü ñ÷èòàåòñÿ îäíîðîäíîé ïî äàííîìó ïðèçíàêó,
åñëè êîý èöèåíò âàðèàöèè ïðåâûøàåò 50%, ñîâîêóïíîñòü ñ÷èòàåòñÿ íåîäíîðîäíîé. Òàêóþ ñîâîêóïíîñòü ðàçáèâàþò íà áîëåå îäíîðîäíûå ÷àñòè,
åñëè êîý èöèåíò âàðèàöèè íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå 30..50%, òî ðåøåíèå
îá îäíîðîäíîñòè ïðèíèìàåò èññëåäîâàòåëü.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
86 / 297
3.6. Ìåðû ðàññåÿíèÿ
Îáùèå ñâîéñòâà ìåð ðàññåÿíèÿ
1
2
3
4
5
6
Âñå ìåðû ðàññåÿíèÿ (ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, äèñïåðñèþ è
êîý èöèåíò âàðèàöèè) ìîæíî âû÷èñëÿòü òîëüêî äëÿ êîëè÷åñòâåííûõ
ïðèçíàêîâ.
Âåëè÷èíû ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ è äèñïåðñèè ìåíÿþòñÿ
ïðè èçìåíåíèè åäèíèö èçìåðåíèÿ ïðèçíàêà, à âåëè÷èíà êîý èöèåíòà
âàðèàöèè íåò.
Êîý èöèåíò âàðèàöèè ìîæåò ïðåâûøàòü 100%.
Âñå ìåðû ðàññåÿíèÿ ïîêàçûâàþò, íàñêîëüêî ñèëüíî âàðüèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ
ïðèçíàêà (à òî÷íåå, èõ îòêëîíåíèÿ îò ñðåäíåãî) â äàííîé ñîâîêóïíîñòè.
×åì ìåíüøå çíà÷åíèå ìåðû ðàçáðîñà, òåì áëèæå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà ó âñåõ
îáúåêòîâ ê ñâîåìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ, à çíà÷èò, è äðóã ê äðóãó.
Åñëè âåëè÷èíà ìåðû ðàçáðîñà ðàâíà íóëþ, çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà ó âñåõ îáúåêòîâ îäèíàêîâû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
87 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Ïóñòü X1 , X2 , ..., Xn âûáîðêà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a è äèñïåðñèåé σ 2 , à x1 , x2 , ..., xn åå ðåàëèçàöèÿ.
Ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå
n
1X
X=
Xi ,
n i=1
n
1X
x=
xi .
n i=1
Âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà (ñðåäèííîå çíà÷åíèå ïðèçíàêà X ); ïî îïðåäåëåíèþ F ∗ (xmed ) = 0,5
Xmed
X(j) + X(j+1) ,
=
2
X n+1 ;
(
)
2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
xmed
x(j) + x(j+1) , n − ÷åòíîå,
2
=
x n+1 ,
n − íå÷åòíîå.
(
)
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
88 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Âûáîðî÷íàÿ ìîäà íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùååñÿ â âûáîðêå çíà÷åíèå
ïðèçíàêà X
xmod = xi ,
åñëè mi = mmax (ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî ðÿäà).
Âûáîðî÷íûé êâàíòèëü ïîðÿäêà p
Xp =
(
X([np]+1) , n p − äðîáíîå,
X(np) ,
n p − öåëîå;
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
x
bp =
(
x([np]+1) ,
x(np) ,
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
n p − äðîáíîå,
n p − öåëîå.
89 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Âûáîðî÷íàÿ ïîëóñóììà êâàðòèëåé
Tq = X0,25 +2 X0,75 ,
tq =
x
b0,25 + x
b0,75
.
2
Âûáîðî÷íàÿ ïîëóñóììà ýêñòðåìàëüíûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé
TR = Xmin +2 Xmax ,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
xmin + xmax
.
2
tR =
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
90 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
n
Sn2 =
1X
(Xi − X)2 ,
n i=1
n
s2n =
1X
(xi − x)2 .
n i=1
Èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
n
1 X
S =
(Xi − X)2 ,
n − 1 i=1
2
n
1 X
s =
(xi − x)2 .
n − 1 i=1
2
Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ (ïðè èçâåñòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè a)
n
S02 =
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1X
(Xi − a)2 ,
n i=1
n
s20 =
1X
(xi − a)2 .
n i=1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
91 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
àçìàõ âàðèàöèè (ìåðà ðàçáðîñà çíà÷åíèé âûáîðêè íàáëþäåíèé èëè
ðàñïðåäåëåíèÿ)
R = Xmax − Xmin,
R = xmax − xmin .
Âûáîðî÷íûé êîý èöèåíò âàðèàöèè
N = XS
· 100%,
ν=
s
· 100%.
x
Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå àáñîëþòíîå îòêëîíåíèå
d = n1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n
X
i=1
n
| Xi − Xmed |,
d=
1X
| xi − xmed |.
n i=1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
92 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Âûáîðî÷íàÿ èíòåðêâàðòèëüíàÿ øèðîòà
Q=
X0,75 − X0,25,
Âûáîðî÷íûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû
Ak = X k = n1
n
X
n
Xik ,
i=1
Âûáîðî÷íûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
Mk = n1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n
X
i=1
q=x
b0,75 − x
b0,25 .
α
bk = xk =
1X k
x .
n i=1 i
n
(Xi − x)k ,
1X
(xi − x)k .
n i=1
µ
bk =
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
93 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Êîý èöèåíò àñèììåòðèè âàðèàöèîííîãî ðÿäà
Sk = MS 33 ,
b3
c= µ
Sk
.
s3
Ýêñöåññ (èëè êîý èöèåíò ýêñöåññà) âàðèàöèîííîãî ðÿäà
Ex = MS 44 − 3,
Êîâàðèàöèÿ äâóõ ïðèçíàêîâ
b4
c = µ
Ex
− 3.
s4
n
KXY =
1 X
(Xi − X)(Yi − Y ),
n − 1 i=1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n
kXY =
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
1 X
(xi − x)(yi − y).
n − 1 i=1
94 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Êîý èöèåíò êîððåëÿöèè äâóõ ïðèçíàêîâ
ρXY =
KXY
,
SX SY
rXY =
kXY
,
sX sY
ãäå
SX
v
u
u
=t
n
1 X
(Xi − X)2 ,
n − 1 i=1
v
u
u
SY = t
1
n−1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n
X
i=1
(Yi − Y )2 ,
sX
v
u
u
=t
v
u
u
sY = t
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
n
1 X
(xi − x)2 ,
n − 1 i=1
n
1 X
(yi − y)2 .
n − 1 i=1
95 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Ïðèìåð 3.13.
Èìååòñÿ ðàñïðåäåëåíèå 80 ïðåäïðèÿòèé ïî ÷èñëó ðàáîòàþùèõ íà íèõ (÷åë.):
xi 150 250 350 450 550 650 750
mi 1 3 7 30 19 15 5
Íàéòè ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäïðèÿòèé.
◭ Ïðèçíàê X ÷èñëî ðàáîòàþùèõ (÷åë.) íà ïðåäïðèÿòèè. Èñïîëüçóÿ îðìóëû äëÿ ñãðóïïèðîâàííûõ äàííûõ áóäåì èìåòü
k
1 X
x=
x · mi =
n i=1 i
=
150 · 1 + 250 · 3 + 350 · 7 + 450 · 30 + 550 · 19 + 650 · 15 + 750 · 5
=
80
40800
=
= 510.
80
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
96 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Ïðèìåð 3.13.(ïðîäîëæåíèå)
Îáúåì âûáîðêè n = 80 ÷èñëî ÷åòíîå. Ïóñòü n = 2 j , òîãäà j = 40.
Ïîýòîìó
xmed =
x(j) + x(j+1)
x(40) + x(41)
450 + 450
=
=
= 450.
2
2
2
×àñòîòà äîñòèãàåò ìàêñèìóìà mi = mmax = 30 ïðè xi = 450. Ïîýòîìó
xmod = 450.
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå àñèììåòðè÷íîå, ò.ê. x 6= xmed = xmod .
àçìàõ âàðèàöèè
R = xmax − xmin = 750 − 150 = 600.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
97 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Ïðèìåð 3.14.(ïðîäîëæåíèå)
Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
s2n =
k
2
1 X
xi − x · mi = 15400.
n i=1
Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå
p
√
sn = s2n = 15400 ≈ 124.
Âûáîðî÷íûé êîý èöèåíò âàðèàöèè
ν=
sn
124
· 100% =
· 100% ≈ 24, 3%.
x
510
Íà ïðàêòèêå ñ÷èòàþò, ÷òî åñëè ν < 33%, òî ñîâîêóïíîñòü îäíîðîäíàÿ, ÷òî
è íàáëþäàåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
98 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Îïðåäåëåíèå 3.39.
Îöåíêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè f (x) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ fb(x), ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâå âûáîðêè è ïðèáëèæåííî ðàâíàÿ f (x).
àíåå áûëà ðàññìîòðåíà ãèñòîãðàììà, Òîãäà îöåíêîé fb(x) áóäåò ñòóïåí÷àòàÿ ëèíèÿ, îãðàíè÷èâàþùàÿ ãèñòîãðàììó ñâåðõó. Äëÿ ýòîé óíêöèè ìîæíî
çàïèñàòü ñëåäóþùåå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå:
x − z
1 X
i
fb(x) =
mi K
,
n h i=1
h
k
zi =
x⋆i−1 + x⋆i
,
2
ãäå n îáúåì âûáîðêè; mi ÷àñòîòû èíòåðâàëüíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà;
h øèðèíà ðàçðÿäà; i = 1, 2, ..., k ; k ÷èñëî ðàçðÿäîâ, à óíêöèÿ K(u),
íàçûâàåìàÿ ÿäåðíîé (ÿäðîì), îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
(
1, |u| 6 1/2,
K(u) =
0, |u| > 1/2.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
99 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Íåäîñòàòêîì ýòîé ãèñòîãðàììíîé îöåíêè ÿâëÿåòñÿ åå ðàçðûâíîñòü â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ ðàçðÿäîâ è ìàëàÿ òî÷íîñòü.
Âûáèðàÿ äðóãèå ÿäðà èç ÷èñëà íåïðåðûâíûõ óíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ ïëîòíîñòÿìè âåðîÿòíîñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü íåïðåðûâíûå ÿäåðíûå îöåíêè ïîäîáíîãî
æå âèäà ñ ÷èñëîì ñëàãàåìûõ â ñóììå, ðàâíûì îáúåìó âûáîðêè:
fbn (x) =
n
1 X x − xi
K
.
n hn i=1
hi
Çäåñü xi ýëåìåíòû âûáîðêè, {hn } ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè
hn → 0,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
hn n → ∞.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
100 / 297
3.7. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
ßäðî K(u) äëÿ ÿäåðíîé îöåíêè â îáùåì ñëó÷àå ýòî êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, èìåþùàÿ ñâîéñòâà:
max
−∞
n · I(θ)
D
ãäå I(θ) èí îðìàöèÿ Ôèøåðà, îïðåäåëÿåìàÿ â äèñêðåòíîì ñëó÷àå îðìóëîé
I(θ) =
E
m h ′
hn ∂
o2 i X
pθ (xi ; θ) i2
ln p(X; θ)
=
· p(xi ; θ),
∂θ
p(xi ; θ)
i=1
ãäå p(xi ; θ) = P(X = xi ), à â íåïðåðûâíîì îðìóëîé
I(θ) =
E
+∞
Z
hn ∂
o2 i
h f ′ (x; θ) i2
θ
ln f (X; θ)
=
· f (x; θ) dx,
∂θ
f (x; θ)
∞
ãäå f (x; θ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ÍÑÂ X .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
111 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 4.8.
Ïî íåðàâåíñòâó àîÊðàìåðà äèñïåðñèÿ ëþáîé íåñìåùåííîé îöåíêè íå
ìîæåò áûòü ìåíüøå 1/[n I(θ)]. Íàçîâåì ý åêòèâíîñòüþ e(θ) íåñìåùåííîé
îöåíêè θb âåëè÷èíó
e(θ) =
1
n I(θ)
h i.
D θb
ßñíî, ÷òî ý åêòèâíîñòü ëþáîé îöåíêè θb ïðè êàæäîì θ çàêëþ÷åíà ìåæäó
íóëåì è åäèíèöåé, ïðè÷åì ÷åì îíà áëèæå ê åäèíèöå ïðè êàêîì-ëèáî θ, òåì
ëó÷øå îöåíêà θb ïðè ýòîì çíà÷åíèè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà.
Îïðåäåëåíèå 4.9.
Íåñìåùåííàÿ îöåíêà θb íàçûâàåòñÿ ý åêòèâíîé (ïî àîÊðàìåðó), åñëè
e(θ) = 1 ïðè ëþáîì θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
112 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ý åêòèâíûå ïî àîÊðàìåðó îöåíêè ñóùåñòâóþò êðàéíå ðåäêî. Ïðàâäà,
ý åêòèâíîñòü ïî àîÊðàìåðó èãðàåò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â àñèìïòîòè÷åñêîì
àíàëèçå îöåíîê, ïîëó÷àåìûõ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Êðîìå
òîãî, ñóùåñòâóþò îáîáùåíèÿ íåðàâåíñòâà àîÊðàìåðà (íàïðèìåð, íåðàâåíñòâî Áõàòòà÷àðèÿ), ïîçâîëÿþùèå äîêàçûâàòü îïòèìàëüíîñòü áîëåå øèðîêîãî
êëàññà îöåíîê.
Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñâîéñòâî ñîñòîÿòåëüíîñòè î÷åíü âàæíî åãî
íàëè÷èå ïîçâîëÿåò íàäåÿòüñÿ, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà âûáîðêè òî÷íîñòü
îöåíèâàíèÿ áóäåò ðàñòè (êîíå÷íî, òîëüêî â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ). Íåñìåùåííîñòü æå èãðàåò ìåíåå âàæíóþ ðîëü. Åñëè îöåíêà ÿâëÿåòñÿ
íåñìåùåííîé, òî ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòñóòñòâèè ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè
â îöåíèâàíèè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ñòàíîâèòñÿ
âàæíûì â ñëó÷àå ìàëûõ âûáîðîê, êîãäà îöåíêè ìîãóò áûòü äàëåêè îò îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà è íàëè÷èå ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè îöåíèâàíèÿ òîëüêî
óõóäøàåò òî÷íîñòü îöåíèâàíèÿ.  ñëó÷àå áîëüøèõ âûáîðîê ñìåùåíèå îöåíêè
(ïðè íàëè÷èè ñîñòîÿòåëüíîñòè!) íà òî÷íîñòü îöåíèâàíèÿ ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íå îêàçûâàåò.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
113 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Âàæíî òàêæå ïîíèìàòü, ÷òî âûøåèçëîæåííîå èìååò ñìûñë òîëüêî åñëè
âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè çàêîíîâ áîëüøèõ ÷èñåë, íà âûâîäàõ èç êîòîðûõ áàçèðóþòñÿ ýòè çàêëþ÷åíèÿ. Âàæíåéøèì èç ïîäîáíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ
ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èññëåäóåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
114 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
îáàñòíîñòü â ñòàòèñòèêå ïðåäîñòàâëÿåò ïîäõîäû, íàïðàâëåííûå íà ñíèæåíèå âëèÿíèÿ âûáðîñîâ è äðóãèõ îòêëîíåíèé â èññëåäóåìîé âåëè÷èíå îò ìîäåëåé, èñïîëüçóåìûõ â êëàññè÷åñêèõ ìåòîäàõ ñòàòèñòèêè. Íà ïðàêòèêå íàëè÷èå
â âûáîðêàõ äàæå íåáîëüøîãî ÷èñëà ðåçêî âûäåëÿþùèõñÿ íàáëþäåíèé ñïîñîáíî àòàëüíî ïîâëèÿòü íà ðåçóëüòàò ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ (ïðèìåðîì
ìîæåò ñëóæèòü ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èëè ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ), è çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåìûå â ðåçóëüòàòå, ìîãóò ïåðåñòàòü íåñòè â
ñåáå êàêîé-ëèáî ñìûñë.
Îïðåäåëåíèå 4.10.
b
Îöåíêà θ(X)
ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ ðîáàñòíîé, åñëè îíà óñòîé÷èâà ïî
îòíîøåíèþ ê âûáðîñàì â ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ.
Âûáðîñû â âûáîðêå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ âñëåäñòâèå ñáîåâ ðåãèñòðèðóþùåãî
ïðèáîðà, ãðóáûõ îøèáîê îïåðàòîðà. Âûáðîñû ãðóïïèðóþòñÿ íà êîíöàõ âàðèàöèîííîãî ðÿäà. Ïîýòîìó îöåíêè, íå èìåþùèå â ñâîåì ñîñòàâå ýëåìåíòîâ,
áëèçêèõ ê êîíöàì âàðèàöèîííîãî ðÿäà, áóäóò ðîáàñòíûìè. Ýòî, íàïðèìåð, âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà xm ed è ïîëóñóììà êâàðòèëåé tq .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
115 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå ðîáàñòíîñòè îöåíîê ïîíèìàåòñÿ áîëåå øèðîêî, ÷åì
îá ýòîì ñêàçàíî â îïðåäåëåíèè, òàê êàê íàðóøåíèÿ â ñîñòàâëåíèè âûáîðêè
ìîãóò ïðîèñõîäèòü íå òîëüêî ïî ïðè÷èíå ïîÿâëåíèÿ âûáðîñîâ. Íàïðèìåð, âûáîðêà ìîæåò áûòü íåîäíîðîäíîé âñëåäñòâèå ïðèìåøèâaíèÿ ýëåìåíòîâ èç äðóãîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.  ðàìêàõ äàííîãî êóðñà àíàëèç îãðàíè÷èâàåòñÿ
òîëüêî ñëó÷àåì ïîÿâëåíèÿ âûáðîñîâ.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ïîäîáíûõ íåïðèÿòíîñòåé, íåîáõîäèìî êàêèìòî îáðàçîì ñíèçèòü âëèÿíèå "ïëîõèõ" íàáëþäåíèé, ëèáî âîâñå èñêëþ÷èòü
èõ. Îäíàêî âîçíèêàåò âîïðîñ: "Êàê îòëè÷èòü 'ïëîõîå' íàáëþäåíèå îò 'õîðîøåãî' ?" Äàæå ñàìûé ïðîñòîé èç ïîäõîäîâ ñóáúåêòèâíûé (îñíîâàííûé íà
âíóòðåííèõ îùóùåíèÿõ ñòàòèñòèêà) ìîæåò ïðèíåñòè çíà÷èòåëüíóþ ïîëüçó, îäíàêî äëÿ îòáðàêîâêè âñå æå ïðåäïî÷òèòåëüíåå ïðèìåíÿòü ìåòîäû, èìåþùèå
â ñâîåé îñíîâå íåêèå ñòðîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå îáîñíîâàíèÿ, à íå òîëüêî èíòóèòèâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ èññëåäîâàòåëÿ. Ýòîò ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
âåñüìà íåòðèâèàëüíóþ çàäà÷ó äëÿ ñòàòèñòèêà è îïðåäåëÿåò ñîáîé îäíî èç íàïðàâëåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé íàóêè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
116 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïîä ðîáàñòíîñòüþ â ñòàòèñòèêå ïîíèìàþò íå÷óâñòâèòåëüíîñòü ê ðàçëè÷íûì îòêëîíåíèÿì è íåîäíîðîäíîñòÿì â âûáîðêå, ñâÿçàííûì ñ òåìè èëè èíûìè,
â îáùåì ñëó÷àå íåèçâåñòíûìè, ïðè÷èíàìè. Ýòî ìîãóò áûòü îøèáêè äåòåêòîðà,
ðåãèñòðèðóþùåãî íàáëþäåíèÿ, ÷üè-òî äîáðîñîâåñòíûå èëè íå î÷åíü ïîïûòêè
"ïîäîãíàòü" âûáîðêó äî òîãî, êàê îíà ïîïàäåò ê ñòàòèñòèêó, îøèáêè î îðìëåíèÿ, âêðàâøèåñÿ îïå÷àòêè è ìíîãîå äðóãîå. Íàïðèìåð, íàèáîëåå ðîáàñòíîé
îöåíêîé ïàðàìåòðà ñäâèãà çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíà, ÷òî íà èíòóèòèâíîì óðîâíå âïîëíå î÷åâèäíî. Ïîìèìî íåïîñðåäñòâåííî "áðàêîâàííûõ"
íàáëþäåíèé òàêæå ìîæåò ïðèñóòñòâîâàòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé,
ïîä÷èíÿþùèõñÿ äðóãîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ââèäó óñëîâíîñòè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèé, à ýòî íå áîëåå, ÷åì ìîäåëè îïèñàíèÿ, ñàìà ïî ñåáå âûáîðêà ìîæåò
ñîäåðæàòü íåêîòîðûå ðàñõîæäåíèÿ ñ èäåàëîì.
Òåì íå ìåíåå, ïàðàìåòðè÷åñêèé ïîäõîä íàñòîëüêî ïðèæèëñÿ, äîêàçàâ ñâîþ
ïðîñòîòó è öåëåñîîáðàçíîñòü, ÷òî íåëåïî îò íåãî îòêàçûâàòüñÿ. Ïîýòîìó è
âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü ïðèñïîñîáèòü ñòàðûå ìîäåëè ê íîâûì çàäà÷àì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
117 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñòîèò îòäåëüíî ïîä÷åðêíóòü è íå çàáûâàòü, ÷òî îòáðàêîâàííûå íàáëþäåíèÿ
íóæäàþòñÿ â îòäåëüíîì, áîëåå ïðèñòàëüíîì âíèìàíèè. Íàáëþäåíèÿ, êàæóùèåñÿ "ïëîõèìè" äëÿ îäíîé ãèïîòåçû, ìîãóò âïîëíå ñîîòâåòñòâîâàòü äðóãîé. Íàêîíåö, îòíþäü íå âñåãäà ðåçêî âûäåëÿþùèåñÿ íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ "áðàêîì".
Îäíî òàêîå íàáëþäåíèå äëÿ ãåííîé èíæåíåðèè, ê ïðèìåðó, ñòîèò ìèëëèîíîâ
äðóãèõ, ìàëî îòëè÷àþùèõñÿ äðóã îò äðóãà.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îãðàíè÷èòü âëèÿíèå íåîäíîðîäíîñòåé, ëèáî âîâñå åãî èñêëþ÷èòü, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâ. Ñðåäè íèõ âûäåëÿþòñÿ
äâà îñíîâíûõ íàïðàâëåíèÿ:
ñãðóïïèðîâàòü äàííûå, íå îòáðàêîâûâàÿ îòäåëüíûå íàáëþäåíèÿ, òàêèì
îáðàçîì çíà÷èòåëüíî ñíèçèâ âîçìîæíîñòü ïîð÷è âûáîðêè îòäåëüíûìè âûïàäàìè. Ïîñëå ÷åãî ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ óâåðåííîñòè ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ñòàòèñòèêè;
îòñëåæèâàòü âûáðîñû íåïîñðåäñòâåííî â ïðîöåññå àíàëèçà. Íàïðèìåð,
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàòü èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó ñ óñå÷åííûìè èëè th-ñíèæåííûìè M-îöåíêàìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
118 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïîñðåäñòâîì ãðóïïèðîâàíèÿ âûáîðêè ìîæíî ðåçêî ñíèçèòü âëèÿíèå îòäåëüíûõ íàáëþäåíèé, íå îòáðàñûâàÿ èõ. àçáèåíèå íà èíòåðâàëû íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáûõ òðóäíîñòåé è äàåò âåñüìà îùóòèìûé ðåçóëüòàò.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
119 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Õàðàêòåðèñòèêè îöåíîê
1°. Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé
ãåíåðàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mX .
2°. X íå ÿâëÿåòñÿ ðîáàñòíîé îöåíêîé mX , òàê êàê â ñâîåì ñîñòàâå èìååò
êðàéíèå ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî ðÿäà.
3°. Âûáîðî÷íûé íà÷àëüíûé ìîìåíò α
bk ïîðÿäêà k ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è
ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ãåíåðàëüíîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà αk ïîðÿäêà k .
4°. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ Sn2 ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ãåíåðàëüíîé
äèñïåðñèè.
5°. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ Sn2 ñìåùåííàÿ îöåíêà ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè
2
σ ñ îòðèöàòåëüíûì ñìåùåíèåì −σ 2 /n.
6°. Íåñìåùåííîé îöåíêîé σ2 ÿâëÿåòñÿ èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
n
2
S = n−1
Sn2 .
7°. Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ Sn2 íå ÿâëÿåòñÿ ðîáàñòíîé îöåíêîé σ2 .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
120 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Õàðàêòåðèñòèêè îöåíîê (ïðîäîëæåíèå)
8°.  ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà Xmed (îöåí-
T
êà ãåíåðàëüíîé ìåäèàíû), ïîëóñóììà âûáîðî÷íûõ êâàðòèëåé q (îöåíêà ïîëóñóììû ãåíåðàëüíûõ êâàðòèëåé) è ïîëóñóììà ýêñòðåìàëüíûõ âûáîðî÷íûõ ýëåìåíòîâ R ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè è íåñìåùåííûìè îöåíêàìè ãåíåðàëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ mX .
9°. q è Xmed ÿâëÿþòñÿ ðîáàñòíûìè îöåíêàìè, à R íåò.
10°.Îòíîñèòåëüíàÿ ý åêòèâíîñòü ýòèõ îöåíîê ðàçëè÷íà. Ïðè n > 4 èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî
X < [ q ] < [Xmed ] < [ R ] .
T
T
T
D
DT
D
DT
11°. Äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîì σ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
X ÿâëÿåòñÿ ý åêòèâíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà mX .
12°. Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå Sn , âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
àáñîëþòíîå îòêëîíåíèå , âûáîðî÷íàÿ èíòåðêâàðòèëüíàÿ øèðîòà Q, ðàçìàõ
ñìåùåííûå îöåíêè σ .
d
R
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
121 / 297
4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Õàðàêòåðèñòèêè îöåíîê (ïðîäîëæåíèå)
13°. Ïîñëå äåëåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîý èöèåíòû ñòàíîâÿòñÿ íåñìå-
ùåííûìè îöåíêàìè, ïðè÷åì
D[S ] < D[d ] < D[R ] < D[Q ] .
′
n
′
′
′
14°. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m∗A /n ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â n íåçàâèñèìûõ
èñïûòàíèÿõ ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé è ý åêòèâíîé îöåíêîé âåðîÿòíîñòè p = P(A) ýòîãî ñîáûòèÿ.
15°. Ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè FX∗ (x) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x) ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû X .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
122 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê
Òî÷å÷íîé îöåíêîé íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ëþáàÿ ñòàòèñòèêà. Îäíàêî íà ïðàêòèêå èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ëèøü
íàèáîëåå "êà÷åñòâåííûå" îöåíêè, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîé âûáîðêè îíè ïðèìóò çíà÷åíèå ìàêñèìàëüíî áëèçêîå ê
íåèçâåñòíîìó çíà÷åíèþ θ íàèáîëüøàÿ. Òàêèå îöåíêè äîëæíû áûòü íåñìåùåííûìè, ñîñòîÿòåëüíûìè è ý åêòèâíûìè. Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê ïîëó÷èòü êà÷åñòâåííóþ îöåíêó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà θ íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû X ? Íåñêîëüêî ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ áóäóò ðàññìîòðåíû äàëåå.
Îöåíêè, âû÷èñëåííûå íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ, ðàçëè÷àþòñÿ. Óíèâåðñàëüíîãî îòâåòà íà âîïðîñ, êàêîé èç ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ ëó÷øå èëè
ñëåäóåò ëè ïîëîæèòüñÿ íà äàííûé ìåòîä ïðè ðåøåíèè ëþáîé çàäà÷è, íåò. Çíà÷åíèå îöåíêè â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå (äëÿ ðàçíûõ âûáîðîê) îòëè÷àåòñÿ
îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà íà íåèçâåñòíóþ âåëè÷èíó, èíà÷å ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ äîëÿ íåîïðåäåëåííîñòè â çíàíèè äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà. Êà÷åñòâî îöåíîê ìîæíî îïðåäåëèòü êîñâåííî ïóòåì ïðîâåðêè
ñîãëàñîâàííîñòè ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ è òåîðåòè÷åñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
123 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.1. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè
Ìåòîä ïîäñòàíîâêè (èëè àíàëîãèè) ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûì ìåòîäîì
ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê. Ìåòîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî â êà÷åñòâå îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ âûáèðàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûáîðî÷íàÿ ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà:
θb = θ∗ .
Íàïðèìåð, ñîãëàñíî ìåòîäó ïîäñòàíîâêè îöåíêîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
áóäåò âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, à îöåíêîé äèñïåðñèè âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.
Âñå îöåíêè, ðàññ÷èòàííûå ïî ìåòîäó ïîäñòàíîâêè, ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè. Îäíàêî èõ íåñìåùåííîñòü è ý åêòèâíîñòü íå ãàðàíòèðîâàíû. Ïðèìåðîì
ñìåùåííîé îöåíêè, ðàññìîòðåííîé ðàíåå, ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
124 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Îäíèì èç íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÌÌÏ), ïðåäëîæåííûé . Ôèøåðîì ìåæäó 1912 è 1922 ãã., õîòÿ ðàíåå îí è áûë èñïîëüçîâàí Ê.Ô. àóññîì,
Ï.-Ñ. Ëàïëàñîì è äðóãèìè.
Âûáåðåì óíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ (ÔÏ) ñëó÷àéíîé âûáîðêè X = (X1 ,
X2 , ..., Xn ) îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, îïðåäåëÿåìîé íåïðåðûâíûì ïðèçíàêîì X , ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (x; θ) êîòîðîé èçâåñòíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðà θ ∈ Θ, â âèäå:
L(x; θ) =
n
Y
f (xi ; θ).
i=1
Åñëè æå ïðèçíàê X ÄÑ ñ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè xj , ïðè÷åì
P X = xj = pj (θ), j = 1, 2, ..., òî ÔÏ äëÿ ÄÑÂ îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
L(x; θ) =
n
Y
i=1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
P(X = xi ) .
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
125 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Îïðåäåëåíèå 4.11.
Îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÎÌÏ) ïàðàìåòðà θ íàçûâàþò ñòàb, çíà÷åíèÿ êîòîðîé äëÿ ëþáîé âûáîðêè x óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
òèñòèêó θ
b = max L(x; θ).
L(x; θ)
θ∈Θ
Åñëè óíêöèÿ L(x; θ) äè åðåíöèðóåìà êàê óíêöèÿ àðãóìåíòà θ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x èç ìíîæåñòâà X çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X , è ìàêñèìóì
L(x; θ) äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåé òî÷êå èç Θ, òî çíà÷åíèå òî÷å÷íîé ÎÌÏ
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì
∂L(x; θ)
= 0,
∂θs
s = 1, 2, ..., m,
(4.1)
èëè
∂ ln L(x; θ)
= 0,
∂θs
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
s = 1, 2, ..., m.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
(4.2)
126 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Óðàâíåíèÿ (4.2) èìåþò òå æå ðåøåíèÿ, ÷òî è (4.1) âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî
ïðè ëîãàðè ìèðîâàíèè óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ åå òî÷êè ýêñòðåìóìà íå
èçìåíÿþòñÿ. Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (4.1), êàê ïðàâèëî, óïðîùàþòñÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.12.
Óðàâíåíèÿ (4.2) íàçûâàþò óðàâíåíèÿìè ïðàâäîïîäîáèÿ.
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ïðàâäîïîäîáèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèå òî÷êè, à çàòåì èç ýòèõ òî÷åê íàäî âûáðàòü òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.
Äëÿ íàèáîëåå âàæíûõ ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé f (x; θ) è P X = xj = pj (θ)
b.
ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå θ
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
127 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.2.
Íàéòè ÎÌÏ ïàðàìåòðà λ ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ E(λ).
◭ Ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü f (x; θ) = θ e−θx, x > 0 (θ = λ > 0).
Òîãäà
L(x; θ) =
n
Y
f (xi ; θ) =
i=1
n
Y
θ e−θxi = θn e−θ
P
xi
.
i=1
Îòñþäà, ñíà÷àëà ëîãàðè ìèðóÿ
ln L(x; θ) = n ln θ − θ
n
X
xi ,
i=1
à çàòåì äè åðåíöèðóÿ ïî θ îáå ÷àñòè ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
n
∂ ln L(x; θ)
n X
= −
xi .
∂θ
θ
i=1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
128 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.2.(ïðîäîëæåíèå)
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
θb = n/
n
X
xi = 1/x.
i=1
∂ 2 ln L(x; θ)
n
= − 2 < 0,
2
∂θ
θ
äåëàåì âûâîä, ÷òî θb = 1/x ÎÌÏ ïàðàìåòðà λ. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
129 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.3.
Íàéòè ÎÌÏ ïàðàìåòðà λ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà.
◭ Ýòî ðàñïðåäåëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì P(X = m) = θm e−θ /m!,
m > 0 (θ = λ > 0). Òîãäà
L(x; θ) =
n
Y
i=1
P(X = xi ) =
n
Y
θ xi
i=1
xi !
e−θ = θ
P
xi
e−nθ /
n
Y
xi !.
i=1
Âû÷èñëèì
ln L(x; θ) = ln θ
n
X
i=1
xi − n θ − ln
n
Y
xi !
i=1
è ïðîäè åðåíöèðóåì ïî θ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà. Òîãäà
n
∂ ln L(x; θ)
1 X
=
xi − n.
∂θ
θ i=1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
130 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.3.(ïðîäîëæåíèå)
Êàê è âûøå, ïðèðàâíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ê íóëþ, íàõîäèì, ÷òî
n
1X
θb =
xi = x.
n i=1
Èç òîãî, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî θ óíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ
∂ 2 ln L(x; θ)
n
=− 2
2
∂θ
θ
îòðèöàòåëüíà, ñëåäóåò, ÷òî θb = 1/x ÎÌÏ ïàðàìåòðà λ. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
131 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.4.
Ïóñòü âåëè÷èíà X ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, ò.å. èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (θ), ãäå θ = {θ1 , θ2 } ≡ {a, σ 2 } (äâóìåðíûé ïàðàìåòð). Íàéòè ÎÌÏ
ïàðàìåòðà θ.
◭ Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ X èìååò ñëåäóþùèé âèä:
− 2θ1
1
2
L(x; θ) =
e
(2πθ2 )n/2
n
P
(xi −θ1 )2
i=1
.
Íàõîäèì ëîãàðè ì óíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ:
ln L(x; θ) = −
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n
n
1 X
ln(2 π) + ln θ2 −
(xi − θ1 )2 .
2
2 θ2 i=1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
132 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.4.(ïðîäîëæåíèå)
Îïðåäåëèì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî θ1 è ïî θ2 è ïðèðàâíÿåì èõ ê íóëþ:
n
∂ ln L(x; θ)
1 X
≡
(xi − θ1 ) = 0,
∂θ1
θ2 i=1
n
∂ ln L(x; θ)
n
1 X
≡−
+
(xi − θ1 )2 = 0.
∂θ2
2 θ2
2 θ22 i=1
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì îöåíêó θ1 :
n
1X
xi ≡ x.
θb1 =
n i=1
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëèì îöåíêó θ2 :
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1X
θb2 =
(xi − x)2 ≡ s2n .
n i=1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
133 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ïðèìåð 4.4.(ïðîäîëæåíèå)
Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî òî÷êà (x, s2n ) òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ÔÏ.
Äëÿ ýòîãî íàäî âû÷èñëèòü ãåññèàí (ìàòðèöó âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïî θ1 è ïî
θ2 ) óíêöèè L â òî÷êå (x, s2n ):
n
n
1 X
−
− 2
(xi − θ1 )
θ2
θ2 i=1
H(x, s2 ) =
n
n
1 X
1 X
n
2
− 2
(xi − θ1 )
−
(x
−
θ
)
i
1
θ2 i=1
2 θ22
θ23 i=1
=
(x,s2n )
n
s2n
=
n .
0 − 4
2 sn
−
Îïðåäåëèòåëü
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì îòðèöàòåëüíîñòè
′′ ýòîé ìàòðèöû ïîëîæèòåëåí.
b = (x, s2 ) ÎÌÏ ïàðàìåòðà θ. ◮
ln L(x; θ) θ1 θ1 , ñëåäóåò, ÷òî θ
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
134 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Ñâîéñòâà îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
1°. Èíâàðèàíòíîñòü. Åñëè îöåíèâàåòñÿ íåêîòîðàÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íàÿ ïà-
d = h(θ)
b.
ðàìåòðè÷åñêàÿ óíêöèÿ h(θ), òî åå ÎÌÏ h(θ)
Ýòî ñîîòíîøåíèå î÷åâèäíî, òàê êàê òî÷êè ìàêñèìóìà ÔÏ, íàéäåííûå ïî
θ è ïî h(θ), ñîâïàäàþò. Èç ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ÎÌÏ
ìîæíî âûáèðàòü íàèáîëåå óäîáíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, à ÎÌÏ ïîëó÷àòü çàòåì
ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé.
2°. ÎÌÏ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåíû, ñîñòîÿòåëüíû è ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ìîäåëè àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíû.
3°. Åñëè îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíû, òî îíè è àñèìïòîòè÷åñêè ý åêòèâíû, ò.å.
h i
θb → 1/I(θ).
D
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
135 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.2. Ìåòîä ÌÏ
Îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà ÌÏ òðóäíîñòü âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèé ïðàâäîïîäîáèÿ, ÷àùå âñåãî íåëèíåéíûõ. Ñóùåñòâåííî òàêæå è òî, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÎÌÏ è îáåñïå÷åíèÿ èõ "õîðîøèõ"
ñâîéñòâ íåîáõîäèìî òî÷íîå çíàíèå òèïà àíàëèçèðóåìîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ f (x; θ), ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåâîçìîæíî.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
136 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ìåòîä ìîìåíòîâ, ïðåäëîæåííûé Ê. Ïèðñîíîì â 1894 ã. è ÿâëÿþùèéñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ ïðèåìîâ ïîñòðîåíèÿ îöåíîê, ïîëó÷èë ñàìîå øèðîêîå
ðàñïðîñòðàíåíèå â ïðàêòèêå ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, òàê êàê, âî-ïåðâûõ,
íå òðåáóåò çíàíèÿ çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íûõ äàííûõ; âî-âòîðûõ, äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàí â ïëàíå âû÷èñëèòåëüíîé ðåàëèçàöèè.
Ñóùíîñòü ìåòîäà
âûáèðàåòñÿ ñòîëüêî ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, ñêîëüêî òðåáóåòñÿ îöåíèòü íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Æåëàòåëüíî ïðèìåíÿòü ìîìåíòû ìëàäøèõ ïîðÿäêîâ, òàê êàê ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ðåçêî âîçðàñòàþò ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà ìîìåíòà;
âû÷èñëåííûå ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì îöåíêè ìîìåíòîâ ïðèðàâíèâàþòñÿ ê òåîðåòè÷åñêèì ìîìåíòàì;
ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ìîìåíòû, è ñîñòàâëÿþòñÿ
óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ îò ìîìåíòîâ, â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé. åøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò îöåíêè ïàðàìåòðîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
137 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ïóñòü ìû èìååì âûáîðêó X1 , X2 , ..., Xn èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
ñ òåîðåòè÷åñêîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), ïðèíàäëåæàùåé ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó F (x; θ) íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè θ = {θ1 , θ2 , ..., θk },
êîòîðûå íóæíî îöåíèòü. Ïîñêîëüêó íàì èçâåñòåí âèä òåîðåòè÷åñêîé óíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ïåðâûå k òåîðåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Ýòè
ìîìåíòû, ðàçóìååòñÿ, áóäóò çàâèñåòü îò k íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ θ1 , θ2 , ...,
θk :
E[X] = α (θ , θ , ..., θ ),
= E X = α (θ , θ , ..., θ ),
α1 =
α2
1
2
2
1
1
2
2
k
k
... ... ... ... ... ... ...
k
X = αk (θ1 , θ2 , ..., θk ).
αk =
E
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
138 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Îáîñíîâàíèå ìåòîäà ìîìåíòîâ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: òàê êàê âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè îöåíêàìè òåîðåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, ìû ìîæåì â íàïèñàííîé ñèñòåìå ðàâåíñòâ ïðè áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè
n òåîðåòè÷åñêèå ìîìåíòû α1 , α2 , ..., αk çàìåíèòü íà âûáîðî÷íûå x, x2 , ...,
xk , à çàòåì, ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî θ1 , θ2 , ..., θk íàéòè îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, â ìåòîäå ìîìåíòîâ îöåíêè θb1 , θb2 , ..., θbk
íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ θ1 , θ2 , ..., θk îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
x = α1 (θb1 , θb2 , ..., θbk ),
x2 = α2 (θb1 , θb2 , ..., θbk ),
... ... ... ... ... ... ...
xk = αk (θb1 , θb2 , ..., θbk ).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
139 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè óñëîâèè íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ýòîé
ñèñòåìû îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé x, x2 , ..., xk îöåíêè, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ìîìåíòîâ, áóäóò ñîñòîÿòåëüíûìè (ýòî ñëåäñòâèå ñîñòîÿòåëüíîñòè âûáîðî÷íûõ
ìîìåíòîâ êàê îöåíîê ãåíåðàëüíûõ ìîìåíòîâ). Áîëåå òîãî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 4.2 (àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì ìîìåíòîâ).
Ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ, íàëîæåííûõ íà ñåìåéñòâî F (x; θ), ñîâìåñòíîå
ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
√
√
√
n (θb1 − θ1 ), n (θb2 − θ2 ), ..., n (θbk − θk )
ïðè n → +∞ ñõîäèòñÿ ê (ìíîãîìåðíîìó) íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ íóëåâûìè
ñðåäíèìè è ìàòðèöåé êîâàðèàöèé, çàâèñÿùåé îò òåîðåòè÷åñêèõ íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ α1 , ..., α2k è ìàòðèöû {∂αi /∂θj }.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
140 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Âîîáùå ãîâîðÿ, â ìåòîäå ìîìåíòîâ íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü ïåðâûå íà÷àëüíûå k ìîìåíòîâ. Âîçìîæíî ïðèìåíåíèå è öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ. Áîëåå
òîãî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ìîìåíòû íå îáÿçàòåëüíî öåëîãî ïîðÿäêà. Èíîãäà
äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ â ìåòîäå ìîìåíòîâ ïðèâëåêàþò áîëåå èëè ìåíåå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè g1 (x), g2 (x), ..., gk (x) ñðàâíèâàÿ âûáîðî÷íûå ñðåäíèå
1
g1 (X1 ) + g1 (X2 ) + ... + g1 (Xn ) , ...
n
1
gk (x) =
gk (X1 ) + gk (X2 ) + ... + gk (Xn )
n
g1 (x) =
óíêöèé g1 (X), g2 (X), ..., gk (X) ñ òåîðåòè÷åñêèìè ñðåäíèìè
α1 [g1 (X)] =
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
E[g (X)],
1
...,
α1 [gk (X)] =
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
E[g (X)] .
k
141 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ïðèìåð 4.5.
Ïóñòü âûáîðêà X1 , X2 , ..., Xn ïðîèçâåäåíà èç íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ èçâåñòíûì ñðåäíèì a è íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ 2 = θ. Ïîïðîáóåì äëÿ îöåíèâàíèÿ θ ïðèìåíèòü ìåòîä ìîìåíòîâ, âçÿâ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x.
Íî òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå α1 = a íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
èñïîëüçîâàíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî äëÿ îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè
íåïðàâîìî÷íî è íóæíî ïðèâëåêàòü ìîìåíòû äðóãèõ ïîðÿäêîâ.  ÷àñòíîñòè,
ïðèìåíÿÿ âòîðîé âûáîðî÷íûé ìîìåíò x2 è âñïîìèíàÿ, ÷òî α2 = θ + a2 , ïîëó÷àåì îöåíêó θb = x2 − a2 .
Ïðèìåð 4.6.
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè è
ñðåäíåå a = θ1 , è äèñïåðñèÿ σ 2 = θ2 íåèçâåñòíû. Èç óðàâíåíèé ìåòîäà ìîìåíòîâ ñëåäóåò, ÷òî
ò.ê. a = α1 [X] =
θb1 = x,
E[X] = θ , σ
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1
2
θb2 = s20 ,
= µ2 [X] =
E(X − a) = θ .
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
2
2
142 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ïðèìåð 4.7.
Ïóñòü èìåþòñÿ ðåçóëüòàòû xi ñáîðà äàííûõ ïî îáìåííîìó êóðñó òóãðèêîâ
íà àíòèêè ïî îòäåëåíèÿì ðàçíûõ áàíêîâ â îäèí èç äíåé. Ýòè çíà÷åíèÿ â âèäå
âàðèàöèîííîãî ðÿäà ïðåäñòàâëåíû â òàáë.
Òàáë. 4.1
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
1
25,79
11
26,74
21
27,30
31
28,01
41
28,99
2
25,98
12
26,85
22
27,38
32
28,10
42
29,03
3
25,98
13
26,90
23
27,40
33
28,11
43
29,12
4
26,12
14
26,91
24
27,49
34
28,37
44
29,28
5
26,13
15
26,96
25
27,64
35
28,38
6
26,49
16
27,02
26
27,66
36
28,50
7
26,52
17
27,11
27
27,71
37
28,63
8
26,60
18
27,19
28
27,78
38
28,67
9
26,66
19
27,21
29
27,89
39
28,90
10
26,69
20
27,28
30
27,89
40
28,99
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ñ X , âûáîðêà çíà÷åíèé êîòîðîé ïðåäñòàâëåíà â òàáë.,
èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå. Íåîáõîäèìî íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
143 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ïðèìåð 4.7.(ïðîäîëæåíèå)
◭ Ïëîòíîñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
f (x; λ, ν) =
λν ν−1
x
exp(−λ x),
Γ (ν)
x > 0,
λ > 0,
ν > 0.
àñïðåäåëåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè ν = θ1 è λ = θ2 , ïîýòîìó
ñëåäóåò âûðàçèòü îäèí ïàðàìåòð ÷åðåç îöåíêó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ,
à äðóãîé ÷åðåç îöåíêó äèñïåðñèè. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ
ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíû ν/λ è ν/λ2 ñîîòâåòñòâåííî. Èõ îöåíêè: x = 27,51,
s2 = 0,91. Òîãäà ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ
n
θ1
1 X
=
xi = x,
θ2
n i=1
n
2
θ1
1 X
=
xi − x = s2 .
2
θ2
n − 1 i=1
àçäåëèâ îöåíêó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íà îöåíêó äèñïåðñèè, ïîëó÷èì
θb1 = x/s2 = 30,12, à ñëåäîâàòåëüíî, θb2 = θb1 x = 828,6. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
144 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.3. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Ìåòîä ìîìåíòîâ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñîñòîÿòåëüíûå, ñìåùåííûå îöåíêè.
Îíè ïðè äîâîëüíî îáùèõ óñëîâèÿõ ðàñïðåäåëåíû àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíî. Ñìåùåíèå óäàåòñÿ óñòðàíèòü ââåäåíèåì ïîïðàâîê. Ý åêòèâíîñòü îöåíîê
íåâûñîêàÿ (ñóùåñòâåííî ìåíüøå åäèíèöû), ò.å. äàæå ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðîê äèñïåðñèÿ îöåíîê îòíîñèòåëüíî âåëèêà (çà èñêëþ÷åíèåì íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî ìåòîä ìîìåíòîâ äàåò àñèìïòîòè÷åñêè ý åêòèâíûå îöåíêè).
 ðåàëèçàöèè ìåòîä ìîìåíòîâ ïðîùå ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ýòîò ìåòîä öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü äëÿ îöåíêè íå áîëåå ÷åì ÷åòûðåõ
ïàðàìåòðîâ, òàê êàê òî÷íîñòü âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ ðåçêî ïàäàåò ñ óâåëè÷åíèåì èõ ïîðÿäêà. Èíîãäà èç-çà ñâîåé ïðîñòîòû îíè èñïîëüçóþòñÿ â êà÷åñòâå
íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ áîëåå òî÷íûõ îöåíîê.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
145 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.4. ÌÍÊ
àññìîòðèì óíêöèþ èçâåñòíîãî âèäà ψ(θ, x) îò íåèçâåñòíîãî âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà θ = {θ1 , θ2 , ..., θk } è ìíîãîìåðíîé íåñëó÷àéíîé ïåðåìåííîé
x = {x1 , x2 , ..., xs }, õàðàêòåðèçóþùåé óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà (íàáëþäåíèÿ). Ïóñòü â ðåçóëüòàòå i-ãî ýêñïåðèìåíòà (íàáëþäåíèÿ) ìû
ðåãèñòðèðóåì (ïðè òî÷íîì çíàíèè âåëè÷èíû "ñîïóòñòâóþùåé" ïåðåìåííîé xi )
çíà÷åíèå yi óíêöèè ψ(θ, xi ) ñî ñëó÷àéíîé îøèáêîé εi :
Yi = ψ(θ, xi ) + εi ,
i = 1, 2, ..., n.
Òðåáóåòñÿ ïî íàáëþäåíèÿì (y1 , x1 ), ..., (yn , xn ) êàê ìîæíî òî÷íåå îöåíèòü
ïàðàìåòðû θ1 , θ2 , ..., θk .  îòëè÷èå îò äðóãèõ ñõåì îöåíèâàíèÿ â äàííîì ñëó÷àå
ìû íå îáÿçàíû çàäàâàòüñÿ îáùèì âèäîì çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îøèáîê εi (à
ñëåäîâàòåëüíî, è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Yi ).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
146 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.4. ÌÍÊ
Îïðåäåëåíèå 4.13.
bLS íåèçâåñòíîãî ïàðàÌåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ îïðåäåëÿåò îöåíêó θ
ìåòðà θ èç óñëîâèÿ
n
n
X
X
2
bLS , xi ) 2 = min
yi − ψ(θ
yi − ψ(θ, xi ) .
i=1
b
θ
(4.3)
i=1
Ïðè âåñüìà îáùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ î ïðèðîäå ñëó÷àéíûõ îøèáîê ε è ñòðóêòóðå óíêöèé ψ(θ, x) îöåíêè, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ (4.3), ÿâëÿþòñÿ
ñîñòîÿòåëüíûìè, àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííûìè, àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíûìè è àñèìïòîòè÷åñêè ý åêòèâíûìè.
Âàðèàíòû ïðèìåíåíèÿ ÌÍÊ: ïîñòðîåíèå âûáîðî÷íûõ óðàâíåíèé; ìåòîä
ìèíèìóìà χ2 .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
147 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.5. Ìåòîä êâàíòèëåé
Ñóùíîñòü ìåòîäà êâàíòèëåé ñõîæà ñ ìåòîäîì ìîìåíòîâ: âûáèðàåòñÿ ñòîëüêî êâàíòèëåé, ñêîëüêî òðåáóåòñÿ îöåíèòü ïàðàìåòðîâ; íåèçâåñòíûå òåîðåòè÷åñêèå êâàíòèëè, âûðàæåííûå ÷åðåç ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðèðàâíèâàþòñÿ
ê ýìïèðè÷åñêèì êâàíòèëÿì:
xpk (θ) = x
bpk ,
k = 1, 2, ..., m,
θ ∈ Θ ⊂ Rm .
åøåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äàåò èñêîìûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ.
Ïðè ýòîì îáû÷íî âûáèðàþòñÿ êâàíòèëè óðîâíåé p = 1/4, p = 1/2, p = 3/4,
ò.å. íèæíèé è âåðõíèé êâàðòèëè è ìåäèàíà.
Äèñïåðñèÿ âûáîðî÷íîãî êâàíòèëÿ x
bp îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó
ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ â îêðåñòíîñòÿõ òî÷êè xp . Ïîýòîìó ñëåäóåò âûáèðàòü
êâàíòèëè âáëèçè òåõ çíà÷åíèé x, â êîòîðûõ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ìàêñèìàëüíà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
148 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.5. Ìåòîä êâàíòèëåé
Ïðèìåð 4.8.
Îöåíèòü ìåòîäîì êâàíòèëåé ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé
òàáëèöå:
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
1
25,79
12
26,85
23
27,40
34
28,37
2
25,98
13
26,90
24
27,49
35
28,38
3
25,98
14
26,91
25
27,64
36
28,50
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
4
26,12
15
26,96
26
27,66
37
28,63
5
26,13
16
27,02
27
27,71
38
28,67
6
26,49
17
27,11
28
27,78
39
28,90
7
26,52
18
27,19
29
27,89
40
28,99
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
8
26,60
19
27,21
30
27,89
41
28,99
9
26,66
20
27,28
31
28,01
42
29,03
10
26,69
21
27,30
32
28,10
43
29,12
11
26,74
22
27,38
33
28,11
44
29,28
149 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.5. Ìåòîä êâàíòèëåé
Ïðèìåð 4.8.(ïðîäîëæåíèå)
◭ Ïðåæäå âñåãî âû÷èñëèì: x = 27,51, s2 = 0,91, s = 0,95.
Òàê êàê òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü äâà ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ θ1 = a è θ2 =
σ 2 , òî âûáåðåì èç âàðèàöèîííîãî ðÿäà äâå ýìïèðè÷åñêèõ êâàðòèëÿ x
b0,25 è
x
b0,75 , ðàâíûå
x
b0,25 = x(11) = 26,74,
x
b0,75 = x(44−11+1) = x(34) = 28,37.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê èìåþò âèä
x0,25 (θ) = x
b0,25 ,
x0,75 (θ) = x
b0,75 .
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
x − a
FN (x) = Φ
+ 0,5,
σ
(4.4)
ãäå Φ(x) óíêöèÿ Ëàïëàñà, òî äëÿ ãåíåðàëüíîãî êâàíòèëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü
xp ñîîòíîøåíèå
xp −ñòàòèñòèêà
a
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
150 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.5. Ìåòîä êâàíòèëåé
Ïðèìåð 4.8.(ïðîäîëæåíèå)
Îòñþäà xp = a + σ Φ−1 (p − 0,5), à óðàâíåíèÿ (4.4) ïðèìóò âèä
p
p
x0,25 ≡ θ1 + θ2 Φ−1 (−0,25) = x
b0,25 , x0,75 ≡ θ1 + θ2 Φ−1 (0,25) = x
b0,75 .
Ó÷èòûâàÿ íå÷åòíîñòü óíêöèè Φ−1 (p), ïîëó÷èì
p
p
θ1 − θ2 Φ−1 (0,25) = x
b0,25 ,
θ1 + θ2 Φ−1 (0,25) = x
b0,75 ,
îòêóäà
x
b0,25 + x
b0,75
b
a = θb1 =
= tq ,
2
σ
b=
p
x
b0,75 − x
b0.,25
q
d
θ2 =
=
= 0,7414 q,
−1
2 Φ (0,25)
2 · 0,6745
σ
b2 = θb2 = 0,5495 q 2,
ãäå äëÿ îðìèðîâàíèÿ èñêîìûõ îöåíîê èñïîëüçîâàíû ñòàòèñòèêè ïîëóñóììû
âûáîðî÷íûõ êâàðòèëåé tq è èíòåðêâàðòèëüíîé øèðîòû q .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
151 / 297
4.2. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ îöåíîê. 4.2.5. Ìåòîä êâàíòèëåé
Ïðèìåð 4.8.(ïðîäîëæåíèå)
Èñïîëüçóÿ âûáîðî÷íûå êâàíòèëè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêè, ïîëó÷èì
b
a=
26,74 + 28,37
= 27,56,
2
σ
b=
28,37 − 26,74
= 1,2083.
2 · 0,6745
Íàïîìíèì, ÷òî x = 27,51, s2 = 0,91, s = 0,95. ◮
Ìåòîä êâàíòèëåé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíûå îöåíêè,
îäíàêî îíè íåñóò â ñåáå íåêîòîðûé ñóáúåêòèâèçì, ñâÿçàííûé ñ îòíîñèòåëüíî
ïðîèçâîëüíûì âûáîðîì êâàíòèëåé. Ý åêòèâíîñòü îöåíîê íå âûøå ìåòîäà
ìîìåíòîâ. Îïðåäåëåíèå æå îöåíîê ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåîáõîäèìîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé.
 ñèëó ñîñòîÿòåëüíîñòè âûáîðî÷íûõ êâàíòèëåé êàê îöåíîê ãåíåðàëüíûõ
êâàíòèëåé îöåíêè ìåòîäà êâàíòèëåé ñîñòîÿòåëüíû. Îñíîâíûì èõ äîñòîèíñòâîì, êàê è ìåòîäà ìîìåíòîâ, ÿâëÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíàÿ ïðîñòîòà èõ âû÷èñëåíèÿ â îòëè÷èå îò ÎÌÏ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
152 / 297
àçäåë 5. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè
ïàðàìåòðîâ
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
153 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Òî÷å÷íûå îöåíêè, ðàññìîòðåííûå ðàíåå, õîòÿ è ÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííûìè, íî
íå äàþò âñåé æåëàòåëüíîé èí îðìàöèè îá îöåíèâàåìûõ ãåíåðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ. Êàê ïðàâèëî, òî÷å÷íàÿ îöåíêà íå ñîâïàäàåò ñ îöåíèâàåìûì ïàðàìåòðîì è áîëåå ðàçóìíî áûëî áû óêàçûâàòü òå äîïóñòèìûå ãðàíèöû, â êîòîðûõ
ìîæåò íàõîäèòüñÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ ïðè íàáëþäåííîé âûáîðêå.
Îáîñíîâàòü íåîáõîäèìîñòü èíòåðâàëüíûõ îöåíîê ìîæíî è òàê: åñëè äëÿ
âûáîðîê áîëüøîãî îáúåìà òî÷íîñòü îáû÷íî áûâàåò äîñòàòî÷íîé (ïðè óñëîâèè
íåñìåùåííîñòè, ý åêòèâíîñòè è ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê), òî äëÿ âûáîðîê
íåáîëüøîãî îáúåìà âîïðîñ òî÷íîñòè îöåíîê ñòàíîâèòñÿ î÷åíü âàæíûì.
Åñëè, íàïðèìåð, x = 10, òî íåÿñíî, íàñêîëüêî òî÷íî ÷èñëî 10 îöåíèâàåò
íåèçâåñòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mX . Ìû ëèøü çíàåì íåêîòîðûå êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà X , òàêèå êàê ñîñòîÿòåëüíîñòü è íåñìåùåííîñòü, êîòîðûå
äàþò óâåðåííîñòü, ÷òî X õîðîøàÿ îöåíêà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè âîçìîæíûìè. À ñëåäîâàëî áû ñâÿçàòü òî÷å÷íóþ îöåíêó ñ îáúåìîì âûáîðêè, âûðàáîòàòü
âåðîÿòíîñòíûå ïîêàçàòåëè åå òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè. Ýòè âîïðîñû ðåøàþòñÿ
â òåîðèè èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
154 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ñ
óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x; θ), çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà θ, çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî.
Ê ñîæàëåíèþ, â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå âàæíûõ äëÿ ïðàêòèêè ñëó÷àåâ ïðè ëþáîé ñëó÷àéíîé âûáîðêå X äîñòîâåðíàÿ îáëàñòü, â êîòîðîé ìîæåò
íàõîäèòüñÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ, ñîâïàäàåò ñî âñåé âîçìîæíîé îáëàñòüþ
èçìåíåíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà, ïîñêîëüêó òàêóþ âûáîðêó ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñ
íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ (èëè ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ) ïðè êàæäîì çíà÷åíèè θ. Ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ íàõîæäåíèåì ãðàíèö èçìåíåíèÿ
íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ñ íåêîòîðîé íàïåðåä çàäàííîé ñòåïåíüþ äîâåðèÿ èëè
äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ (ÄÂ).
Ïóñòü θ íåèçâåñòíàÿ ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà èëè ïàðàìåòð ãåíåðàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
155 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Îïðåäåëåíèå 5.1.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
P θ1 < θ < θ2 = γ,
(5.1)
òî èíòåðâàë (θ 1 , θ2 ) íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì (ÄÈ), êîòîðûé
íàêðûâàåò íåèçâåñòíóþ õàðàêòåðèñòèêó θ ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ γ .
Çäåñü θ 1 = θ 1 (X), θ 2 = θ 2 (X) èçâåñòíûå óíêöèè ñëó÷àéíîé âûáîðêè
X , ò.å. ñòàòèñòèêè; ñîîòâåòñòâåííî íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû èíòåðâàëüíîé
îöåíêè, ìåæäó êîòîðûìè ñîäåðæèòñÿ íåèçâåñòíîå èñòèííîå çíà÷åíèå θ.
Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà (θ 1 , θ2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðâàë ñî ñëó÷àéíûìè ãðàíèöàìè, êîòîðûé ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ γ íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå
èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàçëè÷íûõ ðåàëèçàöèé
ñëó÷àéíîé âûáîðêè X , ò.å. äëÿ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà S ñòàòèñòèêè θ1 (X) è θ2 (X) ìîãóò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Áîëåå
òîãî, ñîãëàñíî (5.1), ñóùåñòâóåò
ïîäìíîæåñòâî K ⊂ S òàêîå, ÷òî åñëè X ∈ K,
òî θ ∈
/ θ1 (X), θ2 (X) .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
156 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Îïðåäåëåíèå 5.2.
×èñëî γ òàêæå íàçûâàåòñÿ íàäåæíîñòüþ, ñ êîòîðîé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàêðûâàåò ïàðàìåòð θ. ×èñëî α = 1 − θ íàçûâàåòñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè.
Ïðè ýòîì ñîáûòèå âåðîÿòíîñòè 1−γ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì. àçóìååòñÿ, âûáîð Ä ïîëíîñòüþ çàâèñèò îò èññëåäîâàòåëÿ.  ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå îáû÷íî èñïîëüçóþò çíà÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè
0,9; 0,95; 0,99; 0,995; ðåæå 0,999; 0,9999 è ò.ä.
Îòìåòèì, ÷òî ÄÂ γ íè â êîåé ìåðå íå ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ γ ïðèíàäëåæíîñòè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ äîâåðèòåëüíîìó èíòåðâàëó (θ1 , θ 2 ), ïîñêîëüêó,
êàê ìû ïðåäïîëîæèëè ñ ñàìîãî íà÷àëà, àïðèîðíûå ñâåäåíèÿ î ïàðàìåòðå θ, â
÷àñòíîñòè î åãî ðàñïðåäåëåíèè, îòñóòñòâóþò. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íåèçâåñòíûé
ïàðàìåòð θ íå ìîæåò âûéòè çà ãðàíèöó ÄÈ (θ1 , θ 2 ), êîíñòàòèðóþò òîëüêî, ÷òî
åñëè ïðè ëþáîì èñòèííîì çíà÷åíèè γ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ïîëó÷åíà âûáîðêà X , à çàòåì ïî íåé ïîñòðîåí ÄÈ (θ 1 , θ2 ), òî ýòîò èíòåðâàë ñ âåðîÿòíîñòüþ
γ íàêðîåò çíà÷åíèå θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
157 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ñòàòèñòèêè θ1 è θ 2 â ñîîòíîøåíèè (5.1) ÿâëÿþòñÿ òî÷å÷íûìè îöåíêàìè θ.
Îäíà äàåò ëåâóþ, à äðóãàÿ ïðàâóþ ãðàíèöû, ìåæäó êîòîðûìè ñîäåðæèòñÿ θ
ñ íàäåæíîñòüþ γ .
Îïðåäåëåíèå 5.3.
Ïîëîâèíà äëèíû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
∆=
θ2 − θ1
2
(5.2)
íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ èíòåðâàëüíîãî îöåíèâàíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé õàðàêòåðèñòèêîé òî÷íîñòè îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðà θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
158 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
 íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ (íàïðèìåð, ïðè ðàññìîòðåíèè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí) âìåñòî ðàâåíñòâà (5.1) óäàåòñÿ îáåñïå÷èòü ëèøü íåðàâåíñòâî
P θ1 < θ < θ2 > γ,
(5.3)
ò.å. ïîñòðîèòü èíòåðâàëüíóþ îöåíêó äëÿ ïàðàìåòðà θ ñ êîý èöèåíòîì äîâåðèÿ, íå ìåíüøèì γ . Èíîãäà òðåáóåòñÿ îöåíèòü ïàðàìåòð θ òîëüêî ñíèçó èëè
òîëüêî ñâåðõó. Ïðè ýòîì, åñëè
P θ1 < θ = γ,
(5.4)
òî ñòàòèñòèêó θ1 íàçûâàþò îäíîñòîðîííåé íèæíåé γ -äîâåðèòåëüíîé ãðàíèöåé
äëÿ ïàðàìåòðà θ. Àíàëîãè÷íî, åñëè
P θ < θ2 = γ,
(5.5)
òî ñòàòèñòèêó â θ2 íàçûâàþò îäíîñòîðîííåé âåðõíåé γ -äîâåðèòåëüíîé ãðàíèöåé
äëÿ ïàðàìåòðà θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
159 / 297
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ìîæíî îïðåäåëèòü, ñëåäóÿ Þ. Íåéìàíó, ò.å. îïèðàÿñü íà òî÷å÷íûå îöåíêè. Ïî çàäàííîé îöåíêå θb äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû
äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Íà
ïðàêòèêå îáû÷íî èñïîëüçóþò äâà òèïà äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ: ñèììåòðè÷íûå è îäíîñòîðîííèå. Îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû
íàõîäÿòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü òåïåðü èçâåñòíà îäíà òî÷å÷íàÿ îöåíêà θb ãåíåðàëüíîé ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè èëè ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ θ.
Îïðåäåëåíèå 5.4.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
b < ∆ = γ,
P |θ − θ|
(5.6)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
160 / 297
òî, êàê è âûøå, ÷èñëî ∆ òàêæå íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ, à ÷èñëî γ íàäåæíîñòüþ îöåíêè θb ãåíåðàëüíîé ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè θ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
5.1. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
b 1 , X2 , ..., Xn ) ñòàòèñòèêà, ò.å. óíêöèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè
Çäåñü θb = θ(X
ýëåìåíòîâ.
Åñëè èçâåñòíû ∆ è γ , òî ëåãêî ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ θ ñ
ïîìîùüþ åå òî÷å÷íîé îöåíêè θb.
Äåéñòâèòåëüíî,
b <∆
|θ − θ|
⇔
−∆ < θ − θb < ∆
⇔
θb − ∆ < θ < θb + ∆.
Òîãäà θ1 = θb − ∆, θ2 = θb + ∆, è ìû îò ñîîòíîøåíèÿ (5.6) ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (5.1).
Ïðèìå÷àíèå.
Îöåíêà θb ìîæåò óéòè âëåâî èëè âïðàâî çà ïðåäåëû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ (1 − γ)/2 = α/2.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
161 / 297
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ñ
óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ FX (x; θ), çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà θ, çíà÷åíèå êîòîðîãî íåèçâåñòíî. àññìîòðèì îäèí èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëüíûõ îöåíîê äëÿ θ, ñâÿçàííûé
ñ èñïîëüçîâàíèåì öåíòðàëü
íîé ñòàòèñòèêè ëþáîé
ñòàòèñòèêè
T
X,
θ
,
óíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé
FT (t) = P T X, θ < t íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ.
Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñëåäóþùåå:
1) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FT (t) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé è âîçðàñòàþùåé;
2) çàäàíû òàêèå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà α è β , ÷òî êîý èöèåíò äîâåðèÿ
γ = 1 − α − β;
3) äëÿ ëþáîé âûáîðêè X èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X óíêöèÿ T X, θ
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé è âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) óíêöèåé ïàðàìåòðà â
θ ∈ Θ. Ñîãëàñíî äîïóùåíèþ 1, äëÿ ëþáîãî q ∈ (0, 1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êîðåíü hq óðàâíåíèÿ FT (t) = q , êîòîðûé íàçûâàþò êâàíòèëåì
óðîâíÿ q
óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FT (t) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû T X, θ .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
162 / 297
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî äîïóùåíèþ 2, èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
P hα < T X, θ < h1−β = FT (h1−β ) − FT (hα ) = 1 − α − β = γ,
(5.7)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
163 / 297
êîòîðûå ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà θ, òàê êàê
T X, θ öåíòðàëüíàÿ ñòàòèñòèêà, è åå óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FT (t) íå çàâèñèò îò θ. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (5.7) â (5.1), ò.å. äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé
èíòåðâàëüíîé îöåíêè, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè óíêöèÿ T X, θ ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé óíêöèåé ïàðàìåòðà θ. Òîãäà, ñîãëàñíî
äîïóùåíèÿ 3, äëÿ êàæäîé âûáîðêè x ∈ S
óðàâíåíèÿ T x, θ = hα è T x, θ = h1−β èìåþò åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ θ̄1 (x)
è θ̄2 (x) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâà
hα < T X, θ < h1−β
è
θ̄1 (X) < θ < θ̄2 (X)
ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, ò.å. äëÿ ëþáîé âûáîðêè x ∈ S îíè âûïîëíÿþòñÿ
èëè íå âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî. Òàêèì îáðàçîì,
γ = P hα < T X, θ < h1−β = P θ̄1 (X) < θ < θ̄2 (X)
è θ̄1 (X), θ̄2 (X) èñêîìàÿ èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
164 / 297
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Çàâåðøàÿ ðàññóæäåíèÿ, çàìåòèì, ÷òî àêòè÷åñêè ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñâîäèòñÿ ê âûïîëíåíèþ ñëåäóþùèõ
äåéñòâèé:
1) âûáîð öåíòðàëüíîé ñòàòèñòèêè T X, θ ñ èçâåñòíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ FT (t);
2) ïðåäñòàâëåíèå çàäàííîãî êîý èöèåíòà äîâåðèÿ γ â âèäå γ = 1 − α − β ;
3) íàõîæäåíèå êâàíòèëåé hα è h1−β óðîâíÿ α è 1 − β óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FT (t);
4) íàõîæäåíèå çíà÷åíèé íèæíåé θ̄1 (x) è âåðõíåé θ̄2 (x) ãðàíèö èñêîìîé
èíòåðâàëüíîé îöåíêè ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
T x, θ̄1 = hα ,
T x, θ̄2 = h1−β
(5.8)
ñîîòâåòñòâåííîâ ñëó÷àå, êîãäà T x, θ âîçðàñòàþùàÿ óíêöèÿ ïàðàìåòðà θ.
Åñëè æå T x, θ óáûâàþùàÿ óíêöèÿ ïàðàìåòðà θ, òî θ̄1 (x) è θ̄2 (x) ïîëó÷àþò
ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
T x, θ̄1 = h1−β ,
T x, θ̄2 = hα
(5.9)
ñîîòâåòñòâåííî.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
165 / 297
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Ñëåäóÿ Þ.Íåéìàíó, ìîæíî îïðåäåëÿòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, îïèðàÿñü íà òî÷å÷íûå îöåíêè. Ïî çàäàííîé îöåíêå θ̂ äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ïðè
äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Íà
ïðàêòèêå îáû÷íî èñïîëüçóþò äâà òèïà äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ: ñèììåòðè÷íûå è îäíîñòîðîííèå. Îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû
íàõîäÿòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü òåïåðü èçâåñòíà îäíà òî÷å÷íàÿ îöåíêà (ñòàòèñòèêà) θ̂n = θ̂(X) ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ θ.
Îïðåäåëåíèå 5.5.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
P |θ − θ̂n | < ∆n = γ,
(5.10)
òî ÷èñëî ∆n íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ, à ÷èñëî γ íàäåæíîñòüþ îöåíêè θ̂n ãåíåðàëüíîé ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè θ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
166 / 297
5.2. Ïîíÿòèå î äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëå è âåðîÿòíîñòè
Êàê íàéòè ∆n è γ è ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (θ̄1 , θ̄2 ) â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ, áóäåò ðàññìîòðåíî íèæå äëÿ ïðàêòè÷åñêè íàèáîëåå âàæíûõ ñëó÷àåâ îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ p, à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
mX è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ σX äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïðèìå÷àíèå.
Îöåíêà θ̂n ìîæåò óéòè âëåâî èëè âïðàâî çà ïðåäåëû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ (1 − γ)/2 = α/2.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
167 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ,
2
ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè mX è σX
. àññìîòðèì
2
âñå âàðèàíòû ïîñòðîåíèÿ èíòåðâàëüíûõ îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðîâ mX è σX
.
 êà÷åñòâå îáîñíîâàíèÿ èñïîëüçóåìûõ äàëåå ñîîòíîøåíèé ïðèâåäåì òåîðåìó, âïåðâûå äîêàçàííóþ .À. Ôèøåðîì â 1925 ã.
Òåîðåìà 5.1.
2
Ïóñòü X íåçàâèñèìàÿ âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ N (mX , σX
). Òîãäà:
1) âûáîðî÷íîå ñðåäíåå X è èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S 2 íåçàâèñèìû;
2) ÑÂ
(n − 1) S 2
2
σX
èìååò χ2 -ðàñïðåäåëåíèå ñ (n − 1) ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
168 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
1°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè
 äàííîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêà
X − mX √
T X, mX =
n
σX
èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:
σ
θ1 = x − √ z1−α/2 ,
n
σ
θ2 = x + √ z1−α/2 ,
n
ãäå zp p-êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, α = 1 − γ , à γ
äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
169 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïðèìåð 5.1.
Ïóñòü èìååòñÿ ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñ íåêîòîðîé õàðàêòåðèñòèêîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ äèñïåðñèåé, ðàâíîé 6,25. Ïðîèçâåäåíà
âûáîðêà îáúåìà n = 27 è ïîëó÷åíî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòèêè x = 12. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ïîêðûâàþùèé íåèçâåñòíîå
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èññëåäóåìîé õàðàêòåðèñòèêè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99.
◭ Ñíà÷àëà ïî òàáëèöå äëÿ óíêöèè Ëàïëàñà ( ìóðìàí, ñ.389; Å èìîâ,
ñ.412) íàéäåì çíà÷åíèå z1−α/2 = uγ/2 èç ðàâåíñòâà Φ(uγ/2 ) = γ/2 = 0,495. Ïî
ïîëó÷åííîìó çíà÷åíèþ z0,995 = 2,58 îïðåäåëèì òî÷íîñòü îöåíêè ïîëîâèíó
äëèíû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà:
2,5
∆27 = √ 2,58 ≈ 1,24.
27
Îòñþäà ïîëó÷àåì èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (10,76; 13,24). ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
170 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
2°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè
Ñòàòèñòèêà
X − mX √
T X, mX =
n
S
èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû, êîòîðîå íå çàâèñèò
2
îò mX è σX
.
Òîãäà ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî äîâåðèòåëüíûé
èíòåðâàë áóäåò:
s
θ1 = x − √ tn−1;1−α/2 ,
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
s
θ2 = x + √ tn−1;1−α/2 .
n
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
171 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïðèìåð 5.2.
Íà êîíòðîëüíûõ èñïûòàíèÿõ 20-òè ýëåêòðîëàìï ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü èõ ðàáîòû îêàçàëàñü ðàâíîé 2000 ÷àñîâ ïðè ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì
îòêëîíåíèè (ðàññ÷èòàííîì êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç èñïðàâëåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè), ðàâíîì 11 ÷àñàì. Èçâåñòíî, ÷òî ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû
ëàìïû ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Îïðåäåëèòü
ñ íàäåæíîñòüþ 0,95 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
◭ Âåëè÷èíà 1 − γ = α â äàííîì ñëó÷àå ðàâíà 0,05. Ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ( ìóðìàí, ñ.391 íåò; Å èìîâ, ñ.419), ïðè ÷èñëå ñòåïåíåé
ñâîáîäû, ðàâíîì 19, íàõîäèì
t19;0,975 = 2,093.
Òîãäà òî÷íîñòü îöåíêè áóäåò:
√
∆20 = 2,093 · 11/ 20 ≈ 5,15.
Îòñþäà ïîëó÷àåì èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (1994,85; 2005,15). ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
172 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
3°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äèñïåðñèè ïðè èçâåñòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè
àññìîòðèì ñòàòèñòèêó
n
X
n S2
Xi − mX 2
,
T X, σX = 2 0 =
σX
σX
i=1
èìåþùóþ χ2 -ðàñïðåäåëåíèå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò
2
íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà σX
. Îáîçíà÷èì ÷åðåç χ2n;q êâàíòèëè ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ q . Òîãäà íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû γ -äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
2
äëÿ ïàðàìåòðà σX
áóäóò:
θ1 =
n s20
,
2
χn;1−α/2
θ2 =
n s20
.
χ2n;α/2
Ïðè ýòîì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σX ïðèíèìàåò îðìó:
s
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
n s20
χ2n;1−α/2
< σX <
s
n s20
.
χ2n;α/2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
173 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
4°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äèñïåðñèè ïðè íåèçâåñòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè
àññìîòðèì ñòàòèñòèêó
n
X
(n − 1) S 2
Xi − X 2
T X, σX =
=
,
2
σX
σX
i=1
(5.11)
èìåþùóþ χ2 -ðàñïðåäåëåíèå ñ n − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû, êîòîðîå íå çàâèñèò îò
2
mX è σX
. Òîãäà íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû èíòåðâàëüíîé îöåíêè äëÿ ïàðà2
ìåòðà σX ñ êîý èöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 1 − α:
θ1 =
(n − 1) s2
,
χ2n−1;1−α/2
θ2 =
(n − 1) s2
,
χ2n−1;α/2
ãäå χ2n−1;q êâàíòèëü óðîâíÿ q äëÿ χ2 -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ n−1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
174 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïðèìåð 5.3.
Èç ïàðòèè îäíîòèïíûõ èçäåëèé îòîáðàíî 10 øòóê. Ó êàæäîãî èç íèõ èçìåðåíû îòêëîíåíèÿ îò íîìèíàëüíîãî ðàçìåðà:
Íîìåð èçäåëèÿ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Îòêëîíåíèå
1 3 -2 2 4 2 5 3 -2 4
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êîíòðîëèðóåìûé ïðèçíàê èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x, èñïðàâëåííóþ âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ s2 è äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äèñïåðñèè ñ γ = 0,96.
◭ Íàõîäèì âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
10
1 X
1+3−2+2+4+2+5+3−2+4
x=
xi =
=2
10 i=1
10
è èñïðàâëåííóþ âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ
10
1X
1 + 1 + 16 + 4 + 9 + 1 + 16 + 4
s =
(xi − x)2 =
≈ 5, 78.
9 i=1
9
2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
175 / 297
5.3. ÄÈ äëÿ ïàðàìåòðîâ ãàóññîâîãî ïðèçíàêà
Ïðèìåð 5.3.(ïðîäîëæåíèå)
Ïîñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äèñïåðñèè.  äàííîì ñëó÷àå
α = 1 − γ = 1 − 0,96 = 0,04,
à ðàñïðåäåëåíèå èìååò äåâÿòü ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïî òàáëèöå êâàíòèëåé ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 ( ìóðìàí, ñ.392 íåò; Å èìîâ, ñ.417 íåò; MS Ex el!) íàõîäèì
êâàíòèëè χ29;α/2 è χ29;1−α/2 óðîâíåé α/2 è 1 − α/2:
χ29;0,02 = 2,53;
χ29;0,98 = 19,68.
Äëÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïîëó÷àåì
θ1 =
9 · 5,78
≈ 2,64;
19,68
θ2 =
9 · 5,78
≈ 20,56.
2,53
Îòñþäà ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ ñ êîý èöèåíòîì äîâåðèÿ 0,96: (2,64; 20,56). ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
176 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðè áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ
ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä íà îñíîâå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.
1°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè èíòåðâàëüíóþ îöåíêó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X íåèçâåñòåí. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
a = [X] è äèñïåðñèÿ σ 2 = [X].
àññìîòðèì ñòàòèñòèêó
E
D
T =
X −a√
n.
σ
(5.12)
 ñîîòâåòñòâèè ñ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé ýòà ñòàòèñòèêà ïðè áîëüøîì îáúåìå n ñëó÷àéíîé âûáîðêè X èìååò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, áëèçêèé ê
ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
177 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
1°. Ïðîäîëæåíèå
Ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n äâîéíîå íåðàâåíñòâî
−z1−β 6
X −a √
n 6 z1−α
σ
âûïîëíÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê âåëè÷èíå γ = 1 − α − β , ãäå zq
êâàíòèëü óðîâíÿ q ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,÷òî ýêâèâàëåíòíî
ñëåäóþùåìó íåðàâåíñòâó:
σ
σ
X − √ z1−α 6 a 6 X + √ z1−β .
n
n
Åñëè òåïåðü ïîäñòàâèòü â ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà âìåñòî íåèçâåñòíîãî òî÷íîãî çíà÷åíèÿ σ åãî îöåíêó S , òî ïîëó÷èì íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíèöû (ïðèáëèæåííîé) èíòåðâàëüíîé îöåíêè ñ êîý èöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 1 − α − β
äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a:
S
θ̄1 = X − √ z1−α ,
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
S
θ̄2 = X + √ z1−β .
n
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
(5.13)
178 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
1°. Ïðîäîëæåíèå
 ñëó÷àå îäèíàêîâûõ (α = β = (1 − γ)/2) è ïðè èñïîëüçîâàíèè ðåàëèçàöèè
ñëó÷àéíîé âûáîðêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
s
s
x − √ u1−α ; x + √ z1−α .
(5.14)
n
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
179 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðèìåð 5.4.
Èç áîëüøîé ïàðòèè ýëåêòðîëàìï áûëî îòîáðàíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì 400
øò. äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ãîðåíèÿ ëàìï îêàçàëàñü ðàâíîé 1220 ÷. Íàéòè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ γ = 0,98 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ ýëåêòðîëàìïû ïî âñåé ïàðòèè, åñëè èñïðàâëåííîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ ðàâíî
35 ÷.
◭ Íåçàâèñèìî îò çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X (ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ ýëåêòðîëàìïû) ñòàòèñòèêà
T =
X −a √
n
σ
èìååò àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1), ÷òî
ñëåäóåò èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû. Ïîñêîëüêó îáúåì âûáîðêè áîëüøîé (n = 400), òî ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà íàõîäèì ïî îðìóëå
(5.14).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
180 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðèìåð 5.5.(ïðîäîëæåíèå)
Äëÿ α = (1 − γ)/2 = 0,01 íàõîäèì êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
z1−α = z0,99 = 2,33.
 ñèëó ñîîòíîøåíèÿ
s
35
z0,99 · √ ≈ 2,33
≈ 4,08
n
20
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä (1220 − 4,08; 1220 + 4,08), èëè (1215,92;
1224,08). ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
181 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
2°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ σ
ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
n
S2 =
1X
(Xi − X)2
n i=1
ïðè áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè ÿâëÿåòñÿ ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà
P ïðàêòè÷åñêè
âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (èìååòñÿ îäíà ñâÿçü ni=1 Xi = n X ,
êîòîðîé ïðè áîëüøîì n ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èññëåäóåìàÿ
ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü èìååò êîíå÷íûå ïåðâûå ÷åòûðå ìîìåíòà.
 ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû öåíòðèðîâàííàÿ è íîðìèðîâàííàÿ
ÑÂ
2
S2 −
S
p
∼ N (0, 1)
[S 2 ]
E
D
(ïðèáëèæåííî).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
182 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
2°. Ïðîäîëæåíèå
∗
√Èç îðìóëû (5.17)ñëåäóåò, ÷òî p îòëè÷àåòñÿ îò P íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà
1/ n. Òàê êàê p íåèçâåñòíî, òî â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè åãî çàìåíÿåì íà p∗ , à q ñîîòâåòñòâåííî íà q ∗ = 1 − p∗ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ïîä êîðíåì
â îðìóëå (5.17) ìû ïðåíåáðåãàåì ìàëûìè ñëàãàåìûìè ïîðÿäêà
√
1/(n n). Ïîëó÷àåì îðìóëó
p
P |p − p∗ | < ε p∗ (1 − p∗ )/n ≈ 2 Φ(ε).
(5.15)
Ïîëàãàåì
∆n = ε
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
r
p∗ (1 − p∗ )
,
n
γ = 2 Φ(ε).
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
183 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
2°. Ïðîäîëæåíèå
Òîãäà
P −z1−α/2
ES < z
D[S ]
2
S2 −
< p
2
1−α/2
!
≈ γ,
ãäå γ = 1 − α, z1−α/2 êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
N (0, 1) ïîðÿäêà 1 − α/2.
Èçâåñòíî, ÷òî
ES = n −n 1 σ
2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
2
≈ σ2
ïðè n ≫ 1.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
184 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
2°. Ïðîäîëæåíèå
Êðîìå òîãî, èçâåñòíî
D S = µ
2
4
− µ22
µ4 − µ22
+ o(1/n) ≈
,
n
n
ãäå µk öåíòðàëüíûé ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îòñþäà
4
DS ≈ σn
2
σ 4 h µ
i σ4
σ4
µ4
4
c +2 ,
−
1
=
−
3
+
2
=
Ex
+
2
≈
Ex
σ4
n
σ4
n
n
c âûáîðî÷íûé ýêñöåññ:
ãäå Ex ýêñöåññ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; Ex
4
c
Ex = µ
b4 /s − 3, µ
b4 ÷åòâåðòûé âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò. Òîãäà
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σ áóäåò èìåòü âèä:
s
s
q
q
h
i1/2 ; h
i1/2 .
c
c
1 + z1−α/2 Ex+2
1 − z1−α/2 Ex+2
n
n
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
185 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðèìåð 5.6.
c = −0,619. Òðåáóåòñÿ
Ïî âûáîðêå îáúåìà n = 100 íàéäåíû s = 1,05 è Ex
ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ σ
èññëåäóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ = 0,95 = 1−α;
α = 0,05.
◭ Ïî òàáëèöå íàõîäèì êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
z1−α/2 = z0,975 = 1,96.
Ïî ïîñëåäíåé îðìóëå ïîëó÷àåì
1,05
1,05
;
q
q
h
i1/2 h
i1/2 ≈ (0,993; 1,118).
−0,619+2
1 + 1,96 −0,619+2
1
−
1,96
100
100
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
◮
186 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
3°. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ
Ïóñòü p âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A, à
P∗ =
m∗
X
=
n
n
åãî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà, X ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ
(P ∗ ÑÂ). Ïî òåîðåìå ÌóàâðàËàïëàñà èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè áîëüøèõ
n ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
X − np
P −ε < √
< ε ≈ Φ(ε) − Φ(−ε),
(5.16)
npq
ãäå Φ(x) óíêöèÿ Ëàïëàñà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
187 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
3°. Ïðîäîëæåíèå
Îòñþäà
P
è
P
X − np
<ε
√
npq
p − P∗ < ε
≈ 2 Φ(ε)
p
p q/n ≈ 2 Φ(ε).
(5.17)
∗
Èç îðìóëû (5.17)
√ âèäèì, ÷òî â íàøèõ ïîñòðîåíèÿõ p îòëè÷àåòñÿ îò P íà
âåëè÷èíó ïîðÿäêà 1/ n. Òàê êàê p íåèçâåñòíî, òî â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà
ïîä çíàêîì âåðîÿòíîñòè åãî çàìåíÿåì íà p∗ , à q ñîîòâåòñòâåííî íà q ∗ = 1 − p∗ .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîä êîðíåì
â îðìóëå (5.17) ìû ïðåíåáðåãàåì ìàëûìè
√
ñëàãàåìûìè ïîðÿäêà 1/(n n). Ïîëó÷àåì îðìóëó
p
P |p − p∗ | < ε p∗ (1 − p∗ )/n ≈ 2 Φ(ε).
(5.18)
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
188 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
3°. Ïðîäîëæåíèå
Ïîëàãàåì
∆n = ε
r
p∗ (1 − p∗ )
,
n
γ = 2 Φ(ε).
Îòñþäà
γ+1
= Φ(ε) + 0, 5 = FN (0,1) (ε),
2
(5.19)
ãäå FN (0,1) (·) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (0, 1).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
189 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
3°. Ïðîäîëæåíèå
åøàÿ óðàâíåíèå (5.19), íàõîäèì åãî êîðåíü:
−1
z(γ+1)/2 = FN
(0,1)
γ + 1
2
(5.20)
êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (0, 1) ïîðÿäêà (γ + 1)/2. Òîãäà
r
p∗ (1 − p∗ )
∆n = z(γ+1)/2
.
(5.21)
n
Ôîðìóëû (5.19), (5.21) ñâÿçûâàþò òðè âåëè÷èíû ∆n , γ , n. Çàäàâàÿ äâå èç
íèõ, ìîæíî íàéòè òðåòüþ. Òåì ñàìûì áóäåò ïîñòðîåí äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
äëÿ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè p:
P(p∗ − ∆n < p < p∗ + ∆n ) = γ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
(5.22)
190 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðèìåð 5.7.
Çàäàíû n = 1600 è γ = 0,95. Òðåáóåòñÿ íàéòè ε è ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé
èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè p ñ ïîìîùüþ íàéäåííîé ïî âûáîðêå îòíîñèòåëüíîé
÷àñòîòû p∗ = 0,2.
◭ åøàÿ óðàâíåíèå (5.19) ñ ïîìîùüþ òàáëèöû êâàíòèëåé íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èì z(γ+1)/2 = z0,975 = 1,96. Äàëåå ïî îðìóëå (5.21)
íàõîäèì
∆1600 = z0,975 ·
r
0,2 · 0,8
=
1600
=
0,4
· z0,975 = 0,01 · 1,96 = 0,0196 ≈ 0,02.
40
Ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòè p:
P(0,18 < p < 0,22) = 0,95.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
◮
(5.23)
191 / 297
5.4. Ïðèáëèæåííûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
Ïðèìå÷àíèå. 1°. åøåííîé çàäà÷å ìîæåò áûòü ïðèäàíî, íàïðèìåð, ñëåäóþùåå
ðåàëüíîå ñîäåðæàíèå.  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîãî ñîöèîëîãè÷åñêîãî îïðîñà n
= 1600 ÷åëîâåê ðåéòèíã êàíäèäàòà N â ïðåçèäåíòû ñîñòàâëÿåò 20%. Òîãäà
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,95
äåéñòâèòåëüíûé ðåéòèíã êàíäèäàòà N çàêëþ÷åí â ïðåäåëàõ îò 18 äî 22%. Ýòîò
ðåçóëüòàò ìîæíî âûðàçèòü è èíà÷å: ðåéòèíã N ðàâåí 20% ± 2% ñ ïÿòèïðîöåíòíîé îøèáêîé. 2°. Âåðîÿòíîñòü p, îöåíèâàåìàÿ ñ ïîìîùüþ äîâåðèòåëüíîãî
èíòåðâàëà (5.22) è òî÷å÷íîé îöåíêè p∗ , ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì áèíîìèàëüíîãî
çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
192 / 297
àçäåë 6. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ
ãèïîòåç
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
193 / 297
6.0. Ââåäåíèå
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç (Ñ ) ÿâëÿåòñÿ âòîðûì ïîñëå ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ è â òî æå âðåìÿ âàæíåéøèì
ðàçäåëîì ÌÑ.
àíåå áûëè ðàññìîòðåíû çàäà÷è îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ ïî
ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîé âûáîðêè èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè Ñ X , çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé çàâèñèò îò θ â ñèòóàöèè, êîãäà íåò íèêàêîé àïðèîðíîé
èí îðìàöèåé îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà θ.
 ðàìêàõ çàäà÷è î ïðîâåðêå Ñ î ïàðàìåòðå θ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî çàðàíåå íà
îñíîâàíèè òîé èëè èíîé àïðèîðíîé èí îðìàöèè âûäâèíóòî ïðåäïîëîæåíèå
(ãèïîòåçà) î âåëè÷èíå θ, íàïðèìåð, θ = θ0 , ãäå θ0 íåêîòîðîå çàäàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîëó÷àåòñÿ ðåàëèçàöèÿ x ñëó÷àéíîé âûáîðêè X èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ,
ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé çàâèñèò îò ïàðàìåòðà θ. Ïî ýòèì äàííûì íóæíî äàòü
îòâåò íà âîïðîñ: ñîãëàñóåòñÿ ãèïîòåçà θ = θ0 ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà èëè
íåò? Äðóãèìè ñëîâàìè, íóæíî ðåøèòü, ìîæíî ëè ïðèíÿòü âûäâèíóòóþ ãèïîòåçó èëè åå íóæíî îòêëîíèòü êàê ïðîòèâîðå÷àùóþ ðåçóëüòàòàì ýêñïåðèìåíòà
è ïðèíÿòü íåêîòîðóþ àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó (íàïðèìåð, θ 6= θ0 ).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
194 / 297
6.0. Ââåäåíèå
Ìåòîäû ÌÑ ïîçâîëÿþò ïðîâåðèòü ïðåäïîëîæåíèÿ î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ
íåêîòîðîé Ñ (ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè), î çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ýòîãî çàêîíà (íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè è äèñïåðñèè), î íàëè÷èè êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ÑÂ, îïðåäåëåííûìè íà ìíîæåñòâå îáúåêòîâ
îäíîé è òîé æå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
195 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà x, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé âûáîðêè
X èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X , ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé fX (x; θ)
çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ.
Îïðåäåëåíèå 6.1.
Ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî èñòèííîãî çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðà θ èëè î ñðàâíèòåëüíîé âåëè÷èíå ïàðàìåòðîâ äâóõ ðàñïðåäåëåíèé
íàçûâàþò ïàðàìåòðè÷åñêèìè ãèïîòåçàìè. Ïðè ýòîì åñëè θ ñêàëÿð, òî ðå÷ü
èäåò îá îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåçàõ, à åñëè âåêòîð, òî ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ.
Îïðåäåëåíèå 6.2.
èïîòåçû î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ íåïàðàìåòðè÷åñêèìè ãèïîòåçàìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
196 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 6.3.
Ñòàòèñòè÷åñêóþ ãèïîòåçó H íàçûâàþò ïðîñòîé, åñëè îíà èìååò âèä
H : θ = θ0 ,
ãäå θ0 íåêîòîðîå çàäàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà.
Îïðåäåëåíèå 6.4.
Ñòàòèñòè÷åñêóþ ãèïîòåçó íàçûâàþò ñëîæíîé, åñëè îíà èìååò âèä
H : θ ∈ Θ∗ ⊂ Θ,
ãäå Θ∗ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà θ, ñîñòîÿùåå áîëåå ÷åì èç
îäíîãî ýëåìåíòà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
197 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 6.1.
Ïðåäïîëîæèì, ïðîâîäèòñÿ ñåðèÿ èç n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ïî ñõåìå
Áåðíóëëè ñ íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì p, ãäå p âåðîÿòíîñòü "óñïåõà" â îäíîì
èñïûòàíèè. Òîãäà ãèïîòåçà H : p = 1/2 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé. Ïðèìåðàìè ñëîæíûõ
ãèïîòåç ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå: H1 : p > 1/2; H2 : p 6 1/2; H3 : 1/2 6 p 6 3/4
è ò.ä.
Ïðèìåð 6.2.
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ,
ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæè2
äàíèåì mX è èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σX
. Òîãäà ãèïîòåçà H : mX = m0 , ãäå m0
íåêîòîðîå çàäàííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà mX , ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé.
èïîòåçû H1 : mX > m0 ; H2 : mX 6 m0 ; H3 : m0 6 mX 6 m1 ÿâëÿþòñÿ
ñëîæíûìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
198 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïðèìåð 6.3.
Ïóñòü X ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè X ,
ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ íåèçâåñòíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæè2
2
äàíèåì mX è èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σX
, è ïóñòü îáà ïàðàìåòðà mX è σX
íåèçâåñòíû.  ýòîì ñëó÷àå ãèïîòåçà H : mX = m0 ñòàíîâèòñÿ ñëîæíîé, òàê
êàê åé ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé äâóìåðíîãî âåêòîðà θ = (mX , σ),
äëÿ êîòîðûõ mX = m0 , 0 < σ < +∞.
àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ïðîâåðÿþòñÿ äâå ïðîñòûå ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû âèäà
H0 : θ = θ0 ,
H1 : θ = θ1 ,
ãäå θ0 , θ1 äâà çàäàííûõ (ðàçëè÷íûõ) çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà. Ïåðâóþ ãèïîòåçó H0 îáû÷íî íàçûâàþò îñíîâíîé (íóëåâîé), à âòîðóþ H1 àëüòåðíàòèâíîé,
èëè êîíêóðèðóþùåé, ãèïîòåçîé (ýòà òåðìèíîëîãèÿ äîñòàòî÷íî óñëîâíà). Òàê,
íàïðèìåð, îäíà è òà æå ãèïîòåçà ìîæåò â îäíèõ çàäà÷àõ âûñòóïàòü â êà÷åñòâå îñíîâíîé, à â äðóãèõ â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíîé. Ïî äàííûì âûáîðêè x
íåîáõîäèìî ïðèíÿòü ðåøåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè îäíîé èç óêàçàííûõ ãèïîòåç.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
199 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 6.5.
Ïðîâåðèòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ãèïîòåçó ýòî çíà÷èò ïðîâåðèòü, ñîãëàñóþòñÿ
ëè äàííûå, ïîëó÷åííûå èç âûáîðêè ñ ýòîé ãèïîòåçîé. Ïðîâåðêà îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ.
Îïðåäåëåíèå 6.6.
Êðèòåðèåì, èëè ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåì, ïðîâåðêè ãèïîòåç íàçûâàþò
ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó ïî äàííûì âûáîðêè x ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè ëèáî îñíîâíîé, ëèáî àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû.
Îïðåäåëåíèå 6.7.
Ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ
êîòîðîé (âìåñòå ñî çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ) èçâåñòåí â ñëó÷àå, åñëè îñíîâíàÿ
ãèïîòåçà ñïðàâåäëèâà.
Îïðåäåëåíèå 6.8.
Ýòîò êðèòåðèé íàçûâàþò åùå êðèòåðèåì ñîãëàñèÿ (èìååòñÿ â âèäó ñîãëàñèå
ïðèíÿòîé ãèïîòåçû ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè èç âûáîðêè).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
200 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà K ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé ïðîâåðêè íåêîòîðîé ãèïîòåçû H0 . Ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû K õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé èçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ fK (x).
Âûáåðåì íåêîòîðóþ ìàëóþ âåðîÿòíîñòü α, ðàâíóþ 0,05; 0,01 èëè åùå ìåíüøóþ. Îïðåäåëèì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ Kêðèò êàê ðåøåíèå îäíîãî èç
òðåõ óðàâíåíèé â çàâèñèìîñòè îò âèäà íóëåâîé è êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåç:
(1) P(K > Kêðèò ) = α;
(2) P(K < Kêðèò ) = α;
(3) P {K < Kêðèò1 } ∩ {K > Kêðèò2 } = α.
Âîçìîæíû è äðóãèå óðàâíåíèÿ, íî îíè âñòðå÷àþòñÿ çíà÷èòåëüíî ðåæå, ÷åì
ïðèâåäåííûå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
201 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
fK (x)
Kкрит
x
èñ. 6.1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
202 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
fK (x)
0 Kкрит
x
èñ. 6.2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
203 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
fK (x)
0 Kкрит1
Kкрит2
x
èñ. 6.3
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
204 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
åøåíèå óðàâíåíèÿ (1) (òî æå ñàìîå äëÿ óðàâíåíèé (2) è (3)) çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: ïî âåðîÿòíîñòè α, çíàÿ êâàíòèëè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè fK (x),
çàäàííûå êàê ïðàâèëî òàáëèöåé, íóæíî îïðåäåëèòü Kêðèò .
×òî îçíà÷àåò óñëîâèå (1)?
Åñëè ãèïîòåçà H0 ñïðàâåäëèâà, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êðèòåðèé K ïðåâçîéäåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå Kêðèò î÷åíü ìàëà, 0.05, 0.01 ìåíüøå, â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà èññëåäîâàòåëÿ. Åñëè Kýêñï çíà÷åíèå êðèòåðèÿ K , ðàññ÷èòàííîå ïî âûáîðî÷íûì äàííûì, ïðåâçîøëî çíà÷åíèå Kêðèò , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
âûáîðî÷íûå äàííûå íå äàþò îñíîâàíèÿ äëÿ ïðèíÿòèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû H0
(íàïðèìåð, åñëè α = 0.01, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå, êîòîðîå
ïðè ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 âñòðå÷àåòñÿ â ñðåäíåì íå ÷àùå, ÷åì â îäíîé èç ñòà âûáîðîê).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ãèïîòåçà H0 íå ñîãëàñóåòñÿ ñ
âûáîðî÷íûìè äàííûìè è äîëæíà áûòü îòâåðãíóòà. Åñëè Kýêñï íå ïðåâîñõîäèò
Kêðèò , òî ãîâîðÿò, ÷òî âûáîðî÷íûå äàííûå íå ïðîòèâîðå÷àò ãèïîòåçå H0 , ò.å.
íåò îñíîâàíèé îòâåðãàòü ýòó ãèïîòåçó.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
205 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 6.9.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (1) îáëàñòü K > Kêðèò íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ.
Åñëè çíà÷åíèå Kýêñï ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü, òî ãèïîòåçà H0 îòâåðãàåòñÿ.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (1) îáëàñòü K < Kêðèò íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû. Åñëè çíà÷åíèå Kýêñï ïîïàäàåò â îáëàñòü ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû, òî ãèïîòåçà
H0 ïðèíèìàåòñÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
206 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 6.10.
Êðèòåðèé çàäàþò ñ ïîìîùüþ êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà W, ÿâëÿþùåãîñÿ
ïîäìíîæåñòâîì âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà S ñëó÷àéíîé âûáîðêè X . åøåíèå
ïðèíèìàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1) åñëè âûáîðêà x ïðèíàäëåæèò êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó W, òî îòâåðãàþò
îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 è ïðèíèìàþò àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó H1 ;
2) åñëè âûáîðêà x íå ïðèíàäëåæèò êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó W (ò.å. ïðèíàäëåæèò äîïîëíåíèþ W ìíîæåñòâà W äî âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà S), òî
îòâåðãàþò àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçó H1 è ïðèíèìàþò îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 .
Îïðåäåëåíèå 6.11.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ëþáîãî êðèòåðèÿ âîçìîæíû îøèáêè ñëåäóþùèõ âèäîâ:
1) ïðèíÿòü ãèïîòåçó H1 , êîãäà âåðíà H0 îøèáêà ïåðâîãî ðîäà;
2) ïðèíÿòü ãèïîòåçó H0 , êîãäà âåðíà H1 îøèáêà âòîðîãî ðîäà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
207 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
β:
Âåðîÿòíîñòè ñîâåðøåíèÿ îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà îáîçíà÷àþò α è
α = P(X ∈ W|H0 ),
β = P(X ∈ W|H1 ).
Óêàçàííûå âåðîÿòíîñòè âû÷èñëÿþò ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè X :
α=
Z Y
n
fX (ti ; θ0 ) dt,
W i=1
β=
Z Y
n
W
fX (ti ; θ1 ) dt.
i=1
Îïðåäåëåíèå 6.12.
Âåðîÿòíîñòü ñîâåðøåíèÿ îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α íàçûâàþò òàêæå óðîâíåì
çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
208 / 297
6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Îïðåäåëåíèå 6.13.
Âåëè÷èíó 1 − β , ðàâíóþ âåðîÿòíîñòè îòâåðãíóòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 ,
êîãäà îíà íåâåðíà, íàçûâàþò ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ.
!!!
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè ïðàâèëî (êðèòåðèé),
ïî êîòîðîìó ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå ïðèíÿòü èëè îòêëîíèòü ãèïîòåçó è êîòîðîå
ìèíèìèçèðóåò îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
209 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
1°. èïîòåçà î ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè
Ïóñòü èìååòñÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå îáúåêòîâ íåêîòîðîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Èçâåñòíî,
2
÷òî σX
= 2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mX íåèçâåñòíî. Äîïóñòèì, ÷òî èìåþòñÿ îñíîâàíèÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî mX = a, ãäå a íåêîòîðîå ÷èñëî (òàêèìè
îñíîâàíèÿìè ìîãóò áûòü îãðàíè÷åííûå ñâåäåíèÿ îá îáúåêòàõ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, îïûò èññëåäîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñîâîêóïíîñòåé è ò.ä.). Áóäåì ñ÷èòàòü
òàêæå, ÷òî èìååòñÿ äðóãàÿ èí îðìàöèÿ, óêàçûâàþùàÿ íà òî, ÷òî mX = a1 ,
ãäå a1 > a.
èïîòåçû: 1) H0 : mX = a, H1 : mX = a1 , a1 > a.
Äðóãèå âàðèàíòû: 2) H0 : mX = a, H1 : mX = a1 , a1 < a; 3) H0 : mX = a,
H1 : mX 6= a.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
210 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
Ïðîöåäóðà ïðîâåðêè ãèïîòåçû ãèïîòåòè÷åñêîé ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé
íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè
1°. Ñ îðìóëèðîâàòü ãèïîòåçû: H0 : mX = a0 , H1 : mX 6= a0 .
2°. Íàéòè íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ:
Kýêñï =
x − a0
√ .
σ/ n
3°. Íàéòè êðèòè÷åñêóþ òî÷êó äâóñòîðîííåé êðèòè÷åñêîé îáëàñòè èç ðàâåíñòâà Φ(Kêðèò ) = (1 − α)/2.
4°. Ñðàâíèòü Kýêñï è Kêðèò : 1) åñëè |Kýêñï | > Kêðèò , òî íóëåâóþ ãèïîòåçó îòâåðãàþò; 2) åñëè |Kýêñï | < Kêðèò , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü íóëåâóþ
ãèïîòåçó.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
211 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
2°. èïîòåçà î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé
Ïóñòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X îïðåäåëåíà íà
íåêîòîðîì ìíîæåñòâå, îáðàçóþùåì ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, à íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y îïðåäåëåíà íà äðóãîì ìíîæåñòâå, êîòîðîå òîæå ñîñòàâëÿåò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü. Èç îáåèõ ñîâîêóïíîñòåé äåëàþòñÿ âûáîðêè: èç ïåðâîé îáúåìà n1 , à èç âòîðîé îáúåìà n2 . Ïî êàæäîé
âûáîðêå ðàññ÷èòûâàåòñÿ èñïðàâëåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ: s21 äëÿ âûáîðêè
èç ïåðâîé ñîâîêóïíîñòè è s22 äëÿ âûáîðêè èç âòîðîé ñîâîêóïíîñòè.
2
2
èïîòåçû: H0 : σX
= σY2 , H1 : σX
> σY2 .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
212 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
3°. èïîòåçà î çíà÷èìîñòè âûáîðî÷íîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè
Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y , îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå îáúåêòîâ îäíîé è òîé æå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ïðè÷åì îáå èìåþò
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêîé
ãèïîòåçû îá îòñóòñòâèè êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y .
èïîòåçû: H0 : ρXY = 0, H1 : ρXY 6= 0, ãäå ρXY êîý èöèåíò ëèíåéíîé
êîððåëÿöèè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
213 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
4°. èïîòåçà î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïóñòü ïðîâîäÿò n íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé íàä íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X ñ íåèçâåñòíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
èïîòåçû: H0 : F (x) = F0 (x), H1 : F (x) 6= F0 (x), ãäå F0 (x) ïîëíîñòüþ
çàäàíà.
Äðóãîé âàðèàíò: H0 : F (x) ∈ {F }, H1 : F (x) ∈
/ {F }, ãäå {F } çàäàííîå
ñåìåéñòâî óíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè ýòîì îáû÷íî ñåìåéñòâî {F } çàäàþò
â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå: {Fθ }, ãäå Fθ = F (x, θ).
Ïðèìåð 6.4.
èïîòåçû: H0 : ïðèçíàê X èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, H1 :
ïðèçíàê X èìååò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, îòëè÷íûé îò íîðìàëüíîãî.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
214 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
5°. èïîòåçà îäíîðîäíîñòè
Ïðîèçâåäåíî k ñåðèé íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé. Åñëè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé îò ñåðèè ê ñåðèè íå ìåíÿåòñÿ, òî ãîâîðÿò,
÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå îäíîðîäíû. Ïóñòü Fℓ (x) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
íàáëþäåíèé ℓ-é ñåðèè, ℓ = 1, ..., k .
èïîòåçà: H0 : F1 (x) ≡ F2 (x) ≡ ... ≡ Fk (x).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
215 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
6°. èïîòåçà íåçàâèñèìîñòè
Íàáëþäàåòñÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (X, Y ) ñ íåèçâåñòíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ FXY (x, y), ïðîâåðÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î íåçàâèñèìîñòè
êîìïîíåíò (X, Y ).
èïîòåçà: H0 : FXY (x, y) = FX (x) FY (y), H1 : FXY (x, y) 6= FX (x) FY (y).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
216 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
7°. èïîòåçà ñëó÷àéíîñòè
åçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà îïèñûâàþò ñëó÷àéíîé n-ìåðíîé âåëè÷èíîé X =
(X1 , ..., Xn ) ñ íåèçâåñòíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x). Äëÿ âûÿñíåíèÿ,
ìîæíî ëè ðàññìàòðèâàòü X êàê ñëó÷àéíóþ âûáîðêó èç ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (òî åñòü ÿâëÿþòñÿ ëè êîìïîíåíòû Xi íåçàâèñèìûìè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè), ïðîâåðÿþò ãèïîòåçó ñëó÷àéíîñòè.
èïîòåçà: H0 : F (x) ≡ FX1 (x) ≡ ... ≡ FXn (x) ≡ FX (x).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
217 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
Îïðåäåëåíèå 6.14.
èïîòåçû î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðîâåðÿþò ñ ïîìîùüþ êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ.
Ôîðìû êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ
1
2
3
4
5
6
7
8
êðèòåðèé
êðèòåðèé
êðèòåðèé
êðèòåðèé
êðèòåðèé
êðèòåðèé
êðèòåðèé
...
χ2 ("õè-êâàäðàò") Ïèðñîíà,
ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà,
ñîãëàñèÿ ω 2 Ìèçåñà,
ñîãëàñèÿ ÀíäåðñîíàÄàðëèíãà,
ñîãëàñèÿ Êóïåðà,
ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà,
ñîãëàñèÿ Âàòñîíà,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
218 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
Äðóãèå îðìû êðèòåðèåâ
1
2
3
êðèòåðèé çíà÷èìîñòè,
êðèòåðèé ïðîâåðêè íà îäíîðîäíîñòü,
íåïàðàìåòðè÷åñêèå êðèòåðèè:
1
2
3
4
5
6
4
Q-êðèòåðèé îçåíáàóìà,
U -êðèòåðèé Ìàííà-Óèòíè,
êðèòåðèé ÊîëìîãîðîâàÑìèðíîâà,
êðèòåðèé Óèëêîêñîíà,
êðèòåðèé Ïèðñîíà,
êðèòåðèé çíàêîâ,
ïàðàìåòðè÷åñêèå êðèòåðèè:
1
2
3
4
t-êðèòåðèé Ñòüþäåíòà,
êðèòåðèé Ôèøåðà,
êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ,
êðèòåðèé îìàíîâñêîãî
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
219 / 297
6.2. Ïðèìåðû ìàòåìàòè÷åñêèõ îðìóëèðîâîê ãèïîòåç
Àëãîðèòì ïðîâåðêè ïàðàìåòðè÷åñêèõ ãèïîòåç
1. Ñ îðìóëèðîâàòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ïàðàìåòðè÷åñêóþ ìîäåëü, íóëåâóþ è
àëüòåðíàòèâíóþ ãèïîòåçû, çàäàòü óðîâåíü çíà÷èìîñòè α.
2. Âûáðàòü ñòàòèñòèêó T (X; θ), òàêóþ, ÷òî îíà ñàìà çàâèñèò îò ïàðàìåòðà
θ, à åå ðàñïðåäåëåíèå ïðè âåðíîé H0 îò θ íå çàâèñèò è ðàçëè÷àåòñÿ ïðè H0 è
ïðè H1 .
3. Íàéòè êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü W.
4. àññ÷èòàòü ïî âûáîðêå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè týêñï .
5. Åñëè týêñï ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü W, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ (â ïîëüçó àëüòåðíàòèâíîé). Åñëè týêñï íå ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ
îáëàñòü W, òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà íå îòâåðãàåòñÿ.
6. Ñ îðìóëèðîâàòü îòâåò â òåðìèíàõ âîïðîñà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
220 / 297
6.3. Ïðèìåðû êðèòåðèåâ
1°. Êðèòåðèé çíàêîâ
Ïóñòü X = {X1 , ..., Xm }, Y = {Y1 , ..., Ym } ïàðíûå âûáîðêè.
èïîòåçà: H0 : FX = FY (âûáîðêè îòíîñÿòñÿ ê îäíîé è òîé æå ãåíåðàëüíîé
ñîâîêóïíîñòè).
Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: íåêîòîðûé ïîêàçàòåëü ñíèìàëñÿ ñ m îáúåêòîâ äî (X ) è ïîñëå (Y ) íåêîòîðîãî âîçäåéñòâèÿ. èïîòåçà H0 : âîçäåéñòâèå
íå ïîâëèÿëî íà ïîêàçàòåëü.
Ïðèìåð 6.5.
Ó ãðóïïû ñòóäåíòîâ ïðîâåðÿëèñü çíàíèÿ ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè ÷åðåç
ïîëãîäà (X ) è ÷åðåç ïîëòîðà ãîäà (Y ) ïîñëå îêîí÷àíèÿ øêîëû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
221 / 297
6.3. Ïðèìåðû êðèòåðèåâ
2°. àíãîâûé U -êðèòåðèé
Êðèòåðèé ïðîâåðÿåò ãèïîòåçó H0 î òîì, ÷òî äâå âûáîðêè èçâëå÷åíû èç
îáùåé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.  ÷àñòíîñòè, îí ïðèìåíèì ê ïðîâåðêå ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ äëÿ íåçàâèñèìûõ âûáîðîê. Äàííûå äîëæíû áûòü
÷èñëîâûìè èëè "ïîëóêîëè÷åñòâåííûìè" (òàê íàçûâàþò äàííûå, êîòîðûå íå
âûðàæàþòñÿ ÷èñëàìè, íî ìîãóò áûòü óïîðÿäî÷åíû, ïðîðàíæèðîâàíû). Ýëåìåíòû ïåðâîé âûáîðêè ïîïàðíî ñðàâíèâàþòñÿ ñ ýëåìåíòàìè âòîðîé âûáîðêè
è ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ÷èñëî èíâåðñèé. Àëãîðèòì îïðåäåëÿåò, äîñòàòî÷íî ëè ìàëà çîíà ïåðåêðåùèâàþùèõñÿ çíà÷åíèé ìåæäó äâóìÿ ðàíæèðîâàííûìè ðÿäàìè
çíà÷åíèé â ïåðâîé è âòîðîé âûáîðêàõ. ×åì ìåíüøå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè, òåì
âåðîÿòíåå, ÷òî ðàçëè÷èÿ ìåæäó âûáîðêàìè äîñòîâåðíû. àñïðåäåëåíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíûì (èñïîëüçóåòñÿ ñâîéñòâî
ðàíãîâ ýëåìåíòîâ âûáîðêè èç íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: âñå âîçìîæíûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàíãîâ ðàâíîâåðîÿòíû).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
222 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Êðèòåðèé îñíîâàí íà ñðàâíåíèè
1
2
ýìïèðè÷åñêîé ãèñòîãðàììû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ åå òåîðåòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ äëÿ íåïðåðûâíîãî ïðèçíàêà;
ýìïèðè÷åñêîãî ìíîãîóãîëüíèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ åå
òåîðåòè÷åñêèì ìíîãîóãîëüíèêîì ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî ïðèçíàêà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
223 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Äëÿ äèñêðåòíûõ ïðèçíàêîâ
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíûé äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ
âêëþ÷àåò k çíà÷åíèé. Ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ñòàòèñòèêà
2
χýêñï =
k
X
(mi − n pi )2
i=1
n pi
k
X
m2i
=
− n,
n pi
i=1
ãäå mi ÷àñòîòà xi ; n îáúåì âûáîðêè; P(X = xi ) âåðîÿòíîñòè ñîãëàñíî ãèïîòåòè÷åñêîìó òåîðåòè÷åñêîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðèçíàêà;
pi = P(X = xi ) òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî X = xi .
Ñòàòèñòèêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ r = k − ℓ − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû,
ãäå ℓ ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, îöåíèâàåìûõ ïî âûáîðêå. Ïðàâèëî
ïðîâåðêè ãèïîòåçû: åñëè
χ2ýêñï > χ2r;α ,
òî íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α ãèïîòåçà H0 îòêëîíÿåòñÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
224 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Äëÿ íåïðåðûâíûõ ïðèçíàêîâ
Äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ðàçáèâàåòñÿ íà k èíòåðâàëîâ, è ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ñòàòèñòèêà
2
χýêñï
k
X
mi − n p i
=
n pi
i=1
2
k
X
m2i
=
− n,
n pi
i=1
ãäå mi êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â i-é èíòåðâàë; n îáúåì
âûáîðêè; F (x) ãèïîòåòè÷åñêèé òåîðåòè÷åñêèé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû; pi = F (x⋆i+1 )−F (x⋆i ) òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â i-é èíòåðâàë.
Ñòàòèñòèêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå χ2 ñ r = k − ℓ − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû,
ãäå ℓ ÷èñëî ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, îöåíèâàåìûõ ïî âûáîðêå. Ïðàâèëî
ïðîâåðêè ãèïîòåçû: åñëè
χ2ýêñï > χ2r;α ,
òî íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α ãèïîòåçà H0 îòêëîíÿåòñÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
225 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Ïðèìå÷àíèÿ
Êðèòåðèé χ2 èñïîëüçóåò òîò àêò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (mi −
√
n pi )/ n pi , i = 1, 2, ..., k , èìååò ðàñïðåäåëåíèå, áëèçêîå ê íîðìàëüíîìó
N (0, 1). ×òîáû ýòî óòâåðæäåíèå âûïîëíÿëîñü äîñòàòî÷íî òî÷íî, ÷òîáû äëÿ
âñåõ èíòåðâàëîâ äëÿ ÍÏ è âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ÄÏ âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
n pi > 5. Åñëè â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëû èëè çíà÷åíèÿ ñëåäóåò îáúåäèíèòü ñ ñîñåäíèìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
226 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Ïðèìåð 6.6.
Ïî î èöèàëüíûì äàííûì â Øâåöèè â 2013 ã. ðîäèëîñü 113593 ðåáåíêà,
ïðè÷åì ïî ìåñÿöàì áûëî 9500, 8717, 9916, 10034, 10230, 9716, 10506, 10199,
9426, 9081, 8167, 8101 ðîæäåíèé. Ñîâìåñòèìû ëè ýòè äàííûå ñ ãèïîòåçîé, ÷òî
äåíü ðîæäåíèÿ ðåáåíêà ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèõîäèòñÿ íà ëþáîé èç 365
äíåé ãîäà?
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
227 / 297
6.4. Êðèòåðèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Ïðèìåð 6.7.
 ïîòîêå ñîîáùåíèé, ïîñòóïàþùèõ íà ïî÷òîâûé ñåðâåð, èìåþòñÿ ïèñüìà,
àäðåñîâàííûå ñðàçó íåñêîëüêèì àäðåñàòàì.  òàáëèöå ïðèâåäåíû 200 íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî ÷èñëà X àäðåñîâ, óêàçàííûõ â çàãîëîâêå ñîîáùåíèÿ:
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8
mi 107 55 22 8 5 2 0 1 0
Èñïîëüçóÿ êðèòåðèé Ïèðñîíà, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ñîãëàñèè íàáëþäåíèé ñ
ãåîìåòðè÷åñêèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðèíÿâ óðîâåíü çíà÷èìîñòè α ðàâíûì 0,044.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
228 / 297
àçäåë 7.
åãðåññèîííî-êîððåëÿöèîííûé àíàëèç
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
229 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç
Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ èëè íåñêîëüêèìè ïðèçíàêàìè. àññìîòðèì
âíà÷àëå çàâèñèìîñòü ìåæäó äâóìÿ ïðèçíàêàìè X è Y . Äâå ïåðåìåííûå X
è Y ìîãóò áûòü ëèáî íåçàâèñèìûìè, ëèáî ñâÿçàííûìè óíêöèîíàëüíîé èëè
ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ.
Îïðåäåëåíèå 7.1.
Ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó ïðèçíàêàìè X è Y íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî f , êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó X èç ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà E ñòàâèò â
ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííûé ýëåìåíò Y ìíîæåñòâà D, ò.å. y = f (x).
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ñëó÷àéíûìè ïðèçíàêàìè X è Y îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
230 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç
Îïðåäåëåíèå 7.2.
Ñòàòèñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y
ñîñòàâëÿþùèìè äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X, Y ) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî,
êîòîðîå êàæäîìó ÷èñëó x èç ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà R ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
óñëîâíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùåé Y , ò.å. êàæäîìó x ñîîòâåòñòâóåò
f (y|x).
Îïðåäåëåíèå 7.3.
Îñíîâíàÿ öåëü èçó÷åíèÿ çàâèñèìîñòåé ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñêàçàíèè (ïðîãíîçå) ñ äàííîé âåðîÿòíîñòüþ çíà÷åíèé îáëàñòè
èçìåíåíèÿ îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íà îñíîâàíèè íàáëþäåííûõ çíà÷åíèé
äðóãîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
231 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
232 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
!!!
Ñâÿçü êàê ñèíõðîííîñòü (ñîãëàñîâàííîñòü) êîððåëÿöèîííûé àíàëèç.
Ñâÿçü êàê çàâèñèìîñòü (âëèÿíèå) ðåãðåññèîííûé àíàëèç (ïðè÷èííîñëåäñòâåííûå ñâÿçè).
 ðåãðåññèîííîì àíàëèçå îäèí èç ïðèçíàêîâ çàâèñèò îò äðóãîãî.
Îïðåäåëåíèå 7.4.
Ïåðâûé (çàâèñèìûé) ïðèçíàê íàçûâàåòñÿ â ðåãðåññèîííîì àíàëèçå ðåçóëüòèðóþùèì, âòîðîé (íåçàâèñèìûé) àêòîðíûì.
Íå âñåãäà ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü, êàêîé èç ïðèçíàêîâ ÿâëÿåòñÿ
íåçàâèñèìûì, à êàêîé çàâèñèìûì. ×àñòî ñâÿçü ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê
äâóíàïðàâëåííàÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
233 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ýòàïû àíàëèçà
1
2
3
Âûÿâëåíèå íàëè÷èÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè.
Îïðåäåëåíèå îðìû ñâÿçè.
Îïðåäåëåíèå ñèëû (òåñíîòû) è íàïðàâëåíèÿ ñâÿçè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
234 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ýòàï 1. Âûÿâëåíèå íàëè÷èÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè
Äèàãðàììà ðàññåÿíèÿ (êîððåëÿöèîííîå ïîëå)
7
6
5
4
3
2
1
-1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
3
4
5
235 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ýòàï 2. Îïðåäåëåíèå îðìû ñâÿçè
1
2
Ëèíåéíàÿ ñâÿçü
Íåëèíåéíàÿ ñâÿçü
Ïîñêîëüêó íàèáîëåå ïðîñòîé îðìîé çàâèñèìîñòè â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, òî è â ðåãðåññèîííîì àíàëèçå íàèáîëåå ïîïóëÿðíû ëèíåéíûå ìîäåëè.
Îäíàêî èíîãäà ðàñïîëîæåíèå òî÷åê íà äèàãðàììå ðàññåÿíèÿ ïîêàçûâàåò
íåëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ëèáî âîîáùå îòñóòñòâèå ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
236 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
237 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå â ðåãðåññèîííîì àíàëèçå çàâèñèìîñòü Y îò X
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå íåëèíåéíîãî ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè
E[Y |x] = ϕ(x).
 ñèëó âîçäåéñòâèÿ íåó÷òåííûõ ñëó÷àéíûõ àêòîðîâ è ïðè÷èí îòäåëüíûå íàáëþäåíèÿ ïåðåìåííîé Y áóäóò â áîëüøåé èëè ìåíüøåé ìåðå îòêëîíÿòüñÿ îò
óíêöèè ðåãðåññèè ϕ(x).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå âçàèìîñâÿçè äâóõ ïåðåìåííûõ (ïàðíàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå:
Y = ϕ(X) + ε,
ãäå ε ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ (ñëó÷àéíûé ÷ëåí), õàðàêòåðèçóþùàÿ îòêëîíåíèå
îò óíêöèè ðåãðåññèè. Ýòó ïåðåìåííóþ íàçûâàåòñÿ âîçìóùàþùåé (âîçìóùåíèåì, îøèáêîé). Òàêèì îáðàçîì, â ðåãðåññèîííîé ìîäåëè çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ Y åñòü íåêîòîðàÿ óíêöèÿ ϕ(X) ñ òî÷íîñòüþ äî ñëó÷àéíîãî âîçìóùåíèÿ
ε.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
238 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
àññìîòðèì ìîäåëü ëèíåéíîãî ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà (Ë À), â êîòîðîì
óíêöèÿ ϕ(X) ëèíåéíà îòíîñèòåëüíî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ.
Ëèíèÿ ðåãðåññèè
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ, êîý èöèåíòû óðàâíåíèÿ êîòîðîé âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ëèíèåé ðåãðåññèè.
Îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé îò òî÷åê íà äèàãðàììå äî ýòîé ëèíèè ìèíèìàëüíà (ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè âîçìîæíûìè ëèíèÿìè).
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ ðåãðåññèè äàåò íàèëó÷øåå ïðèáëèæåííîå îïèñàíèå ëèíåéíîé
çàâèñèìîñòè ìåæäó äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
239 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
7
6
5
4
3
2
1
-1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
3
4
5
240 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Óðàâíåíèå ïàðíîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè
Êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè äëÿ íåñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âèäà y = a x + b.  ðàìêàõ Ë À òàêîé âèä èìååò óðàâíåíèå ðåãðåññèè [Y |x] = α X + β , ãäå Y ðåçóëüòèðóþùèé ïðèçíàê, X àêòîðíûé ïðèçíàê, α è β ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû óðàâíåíèÿ. Êîý èöèåíò α â
óðàâíåíèè ðåãðåññèè íàçûâàåòñÿ êîý èöèåíòîì ðåãðåññèè.
E
Ëèíèÿ ðåãðåññèè
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ, êîý èöèåíòû óðàâíåíèÿ êîòîðîé âû÷èñëåíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, íàçûâàåòñÿ ëèíèåé ðåãðåññèè. Îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ ðàññòîÿíèé îò òî÷åê íà äèàãðàììå
äî ýòîé ëèíèè ìèíèìàëüíà (ïî ñðàâíåíèþ ñî âñåìè âîçìîæíûìè ëèíèÿìè).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé óíêöèè ðåãðåññèè
âçÿòà âûáîðêà, ñîäåðæàùàÿ n ïàð âàðèàíò (xi , yi ), ãäå i = 1, 2, ..., n. Â ýòîì
ñëó÷àå ëèíåéíàÿ ïàðíàÿ ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü èìååò âèä:
Yi = α X + β + εi ,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
241 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Y
yx = a x + b
ϵi
Pi(xi,yi)
X
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
242 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê a è b êîý èöèåíòîâ α è β ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ
óñëîâèÿ ìèíèìóìà íåâÿçêè:
ε2 =
n
X
ǫ2i =
i=1
n
n
X
2 X
2
yi − y x (xi ) =
yi − a xi − b =⇒ min .
i=1
i=1
Ïîñêîëüêó íåâÿçêà ε2 êàê óíêöèÿ ïàðàìåòðîâ a è b èìååò ëîêàëüíûé ìèíèìóì, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ìèíèìóìà íàõîäÿò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ε2 ïî
a è b:
n
X
∂ε2
= −2
yi − a xi − b xi ,
∂a
i=1
n
X
∂ε2
= −2
yi − a xi − b .
∂b
i=1
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
243 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Çàòåì ïðèðàâíèâàþò ýòè ïðîèçâîäíûå ê íóëþ:
n
X
i=1
yi − a xi − b xi = 0,
n
X
i=1
yi − a xi − b = 0,
è ðåøàþò ïîëó÷èâøóþñÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî a è b:
a
n
X
x2i + b
i=1
a
n
X
xi =
i=1
n
X
i=1
xi + n b =
n
X
xi yi ,
i=1
n
X
yi ,
i=1
êîòîðàÿ ïîñëå äåëåíèÿ ïðàâûõ è ëåâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé íà n ïðèíèìàåò ñëåäóþùóþ îðìó:
x2 a + x b = x y,
x a + b = y.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
244 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Òîãäà îöåíêè êîý èöèåíòîâ óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè áóäóò âûãëÿäåòü òàê:
èëè
α
b=a=
xy − xy
x2 − x2
α
b = a = rXY
,
sY
,
sX
x2 x2 − x x y
βb = b =
,
x2 − x2
βb = b = y − a x.
Ïðè ýòîì âûáîðî÷íîå óðàâíåíèå ðåãðåññèè ìîæíî áóäåò çàïèñàòü â äâóõ îðìàõ:
sY
y = a y + b,
y = y + rXY
(x − x).
sX
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
245 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ ìîæíî ñòðîèòü è íåëèíåéíóþ ðåãðåññèþ:
6
5
4
3
2
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
1
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
3
246 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.2. Ëèíèÿ è óðàâíåíèå ðåãðåññèè
Ñìûñë êîý èöèåíòà ðåãðåññèè
 îáùåì ñëó÷àå êîý èöèåíò ðåãðåññèè α ïîêàçûâàåò, êàê â ñðåäíåì èçìåíèòñÿ ðåçóëüòàòèâíûé ïðèçíàê (Y ), åñëè àêòîðíûé ïðèçíàê (X ) óâåëè÷èòñÿ
íà åäèíèöó.
Ñâîéñòâà êîý èöèåíòà ðåãðåññèè
1
2
3
4
Êîý èöèåíò ðåãðåññèè ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Êîý èöèåíò ðåãðåññèè íå ñèììåòðè÷åí, ò.å. èçìåíÿåòñÿ, åñëè X è Y ïîìåíÿòü ìåñòàìè.
Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ êîý èöèåíòà ðåãðåññèè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ Y ê åäèíèöå èçìåðåíèÿ X .
Êîý èöèåíò ðåãðåññèè èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè åäèíèö èçìåðåíèÿ X
è Y.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
247 / 297
6.4. Êðèòåðèèé õè-êâàäðàò Ïèðñîíà
Ïðèìåð 7.1.
Íåîáõîäèìî ïðåäñêàçàòü îáúåì ãîäîâûõ ïðîäàæ äëÿ íîâûõ ìàãàçèíîâ, çíàÿ
èõ ðàçìåðû. Äëÿ îöåíêè çàâèñèìîñòè ìåæäó ðàçìåðîì ìàãàçèíà X (â êâàäðàòíûõ óòàõ) è îáúåìîì åãî ãîäîâûõ ïðîäàæ (â ìëí. USD) èñïîëüçîâàòü
âûáîðêó èç 14 ìàãàçèíîâ:
xi 1,7 1,6 2,8 5,6 1,3 2,2 1,3 1,1 3,2 1,5 5,2 4,6 5,8 3,0
yi 3,7 3,9 6,7 9,5 3,4 5,6 3,7 2,7 5,5 2,9 10,7 7,6 11,8 4,1
Íàéòè âûáîðî÷íûé êîý èöèåíò êîððåëÿöèè è ïîñòðîèòü ëèíåéíîå óðàâíåíèå
ðåãðåññèè Y íà X .
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
248 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Óñëîæíåíèå ìîäåëè
Îáû÷íî íà çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ äåéñòâóþò ñðàçó íåñêîëüêî àêòîðîâ,
ñðåäè êîòîðûõ òðóäíî âûäåëèòü åäèíñòâåííûé èëè ãëàâíûé.
Ïðè ýòîì àêòîðû, âëèÿþùèå íà çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ, êàê ïðàâèëî, íå
ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà.
Òàêèì îáðàçîì, ñîâîêóïíîå âëèÿíèå âñåõ íåçàâèñèìûõ àêòîðîâ íà çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ïðîñòàÿ ñóììà íåñêîëüêèõ
ïàðíûõ ðåãðåññèé.
Ýòî ñîâîêóïíîå âëèÿíèå íàõîäèòñÿ áîëåå ñëîæíûì ìåòîäîì ìåòîäîì ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
249 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Íåâîçìîæíîñòü ñëîæåíèÿ âëèÿíèé îòäåëüíûõ àêòîðîâ ñâÿçàíà ñ ý åêòîì ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè, èëè âëèÿíèåì íåçàâèñèìûõ àêòîðîâ äðóã íà äðóãà. Ïðè ýòîì êàæäûé àêòîð âëèÿåò íà ðåçóëüòàò êàê íåïîñðåäñòâåííî, òàê è
îïîñðåäîâàíî, ÷åðåç ñâÿçü ñ äðóãèìè àêòîðàìè.
Îïðåäåëåíèå 7.5.
Ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòü íàëè÷èå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè ( àêòîðàìè) ðåãðåññèîííîé ìîäåëè.
Ïðè íàëè÷èè ñóùåñòâåííîé ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè èíòåðïðåòàöèÿ êîý èöèåíòîâ óðàâíåíèÿ ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíîé. Ïîýòîìó ïðè ïîñòðîåíèè ðåãðåññèîííûõ ìîäåëåé âëèÿíèå ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè
ñëåäóåò ìèíèìèçèðîâàòü, íàïðèìåð, èç êàæäîé ãðóïïû òåñíî ñâÿçàííûõ àêòîðíûõ ïðèçíàêîâ îñòàâëÿòü òîëüêî îäèí.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
250 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Ïðè ýòîì ðàçëè÷àþò ïîëíóþ êîëëèíåàðíîñòü, êîòîðàÿ îçíà÷àåò íàëè÷èå
óíêöèîíàëüíîé (òîæäåñòâåííîé) ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è ÷àñòè÷íóþ, èëè
ïðîñòî ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòü íàëè÷èå ñèëüíîé êîððåëÿöèè ìåæäó àêòîðàìè. Ïîëíàÿ êîëëèíåàðíîñòü ïðèâîäèò ê íåîïðåäåëåííîñòè ïàðàìåòðîâ â ëèíåéíîé ðåãðåññèèîííîé ìîäåëè íåçàâèñèìî îò ìåòîäîâ îöåíêè.
Óðàâíåíèå ìíîæåñòâåííîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè
Y = β + α1 X1 + α2 X2 + ... + αm Xm + ε,
ãäå X1 , X2 , ..., Xm íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ( àêòîðû); α1 , α2 , ..., αm
ñîîòâåòñòâóþùèå èì êîý èöèåíòû ðåãðåññèè.
Ñìûñë êîý èöèåíòà ðåãðåññèè â óðàâíåíèè ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïîêàçûâàåò êàê â ñðåäíåì èçìåíèòñÿ çíà÷åíèå ðåçóëüòàòèâíîãî ïðèçíàêà, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé àêòîðíûé ïðèçíàê óâåëè÷èòñÿ íà
åäèíèöó ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âñåõ îñòàëüíûõ àêòîðîâ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
251 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè
1
2
3
4
5
Êîý èöèåíò ìíîæåñòâåííîé êîððåëÿöèè R.
Ñîîòâåòñòâóþùèé êîý èöèåíò äåòåðìèíàöèè R2 .
Çíà÷èìîñòü ðåãðåññèîííîé ìîäåëè.
Êîý èöèåíòû ðåãðåññèè è óðîâíè çíà÷èìîñòè.
×àñòíûå êîý èöèåíòû êîððåëÿöèè.
Êîý èöèåíò ìíîæåñòâåííîé êîððåëÿöèè (ÊÌÊ) R
ÊÌÊ R ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êîý èöèåíòà ïàðíîé êîððåëÿöèè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî íåçàâèñèìûõ àêòîðîâ, âêëþ÷åííûõ â óðàâíåíèå, áîëüøå
îäíîãî.
1
R ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé áåçðàçìåðíîé.
2
R íå ìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèè åäèíèö èçìåðåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèçíàêîâ.
3
R ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå [0;1℄.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
252 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Êîý èöèåíò äåòåðìèíàöèè R2
1
2
3
4
5
6
Êâàäðàò êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè âûáîðêè, êàê ïðàâèëî, îáîçíà÷àåòñÿ
R2 è íàçûâàåòñÿ êîý èöèåíòîì äåòåðìèíàöèè (ÊÄ).
ÊÄ îöåíèâàåò äîëþ äèñïåðñèè (èçìåí÷èâîñòè) Y , êîòîðàÿ îáúÿñíÿåòñÿ ñ
ïîìîùüþ X â ïðîñòîé ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëè. Â ìíîæåñòâåííîé
ðåãðåññèè ÊÄ R2 ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî èçìåíåíèÿ çàâèñèìîãî ïðèçíàêà
(â ïðîöåíòàõ) îáúÿñíÿþòñÿ èçìåíåíèÿìè ñîâîêóïíîñòè íåçàâèñèìûõ ïðèçíàêîâ, ò.å. ýòî äîëÿ äèñïåðñèè çàâèñèìîãî ïðèçíàêà, îáúÿñíÿåìàÿ âëèÿíèåì íåçàâèñèìûõ ïðèçíàêîâ.
×åì áëèæå R2 ê 1, òåì âûøå êà÷åñòâî ìîäåëè.
àâåíñòâî êîý èöèåíòà íóëþ îçíà÷àåò, ÷òî âûáðàííûå àêòîðû íå óëó÷øàþò êà÷åñòâî ïðåäñêàçàíèÿ yi ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäñêàçàíèåì ïî ìîäåëè.
Äîñòàòî÷íî êà÷åñòâåííîé ìîæíî ïðèçíàòü ìîäåëü ñ ÊÄ âûøå 0,8.
Íåäîñòàòêîì ÊÄ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè äîáàâëåíèè íîâûõ îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ, ÷òî íåîáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò óëó÷øåíèå
êà÷åñòâà ðåãðåññèîííîé ìîäåëè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, äëÿ óñòðàíåíèÿ ýòîãî
íåäîñòàòêà, íà ïðàêòèêå ÷àùå èñïîëüçóåòñÿ ñêîððåêòèðîâàííûé ÊÄ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
253 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Êîý èöèåíò ìíîæåñòâåííîé êîððåëÿöèè (ÊÌÊ, ïðîäîëæåíèå)
1
2
3
4
5
6
ÊÌÊ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êîý èöèåíòà ïàðíîé êîððåëÿöèè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî íåçàâèñèìûõ àêòîðîâ, âêëþ÷åííûõ â óðàâíåíèå, áîëüøå
îäíîãî.
ÊÌÊ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé áåçðàçìåðíîé.
Ïî àíàëîãèè ñ ïàðíîé ðåãðåññèåé ÊÌÊ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê äîëþ äèñïåðñèè ðåçóëüòàòà, îáúÿñíåííóþ âàðèàöèåé âêëþ÷åííûõ â ìîäåëü àêòîðîâ, â åãî îáùåé äèñïåðñèè.
Çíà÷åíèÿ êîý èöèåíòà ìíîæåñòâåííîé äåòåðìèíàöèè (ÊÌÄ) èçìåíÿþòñÿ îò íóëÿ äî åäèíèöû. ×åì áëèæå ýòîò êîý èöèåíò ê åäèíèöå, òåì
áîëüøå óðàâíåíèå ðåãðåññèè îáúÿñíÿåò ïîâåäåíèå ðåçóëüòàòà.
ÊÌÊ õàðàêòåðèçóåò òåñíîòó ñâÿçè ðàññìàòðèâàåìîãî íàáîðà àêòîðîâ ñ
èññëåäóåìûì ïðèçíàêîì èëè, èíûìè ñëîâàìè, îöåíèâàåò òåñíîòó ñâÿçè
ñîâìåñòíîãî âëèÿíèÿ àêòîðîâ íà ðåçóëüòàò.
ÊÌÊ ìîæåò áûòü íàéäåí êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç ÊÌÄ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
254 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Çíà÷èìîñòü ðåãðåññèîííîé ìîäåëè
1
2
3
4
5
Åñëè êîý èöèåíò ìíîæåñòâåííîé êîððåëÿöèè âû÷èñëåí íà îñíîâå âûáîðî÷íûõ äàííûõ, òî âîçìîæíî, ÷òî åãî çíà÷åíèå íå îòðàæàåò ðåàëüíîé
ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè, à ïîëó÷åíî â äàííîé âûáîðêå ñëó÷àéíî (ïðè
ýòîì â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïðèçíàêè íåçàâèñèìû).
 îñíîâå ïðîâåðêè çíà÷èìîñòè ðåãðåññèè ëåæèò èäåÿ ðàçëîæåíèÿ äèñïåðñèè (ðàçáðîñà) ðåçóëüòàòèâíîãî ïðèçíàêà íà àêòîðíóþ è îñòàòî÷íóþ
äèñïåðñèè, ò.å. îáúÿñíåííóþ (çà ñ÷åò íåçàâèñèìûõ àêòîðîâ) ÷àñòü äèñïåðñèè è ÷àñòü, îñòàâøóþñÿ íåîáúÿñíåííîé â ðàìêàõ äàííîé ìîäåëè.
Ìåðîé çíà÷èìîñòè ðåãðåññèè ñëóæèò çíà÷åíèå F -êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ
àêòîðíîé äèñïåðñèè ê îñòàòî÷íîé.
×åì ëó÷øå ðåãðåññèîííàÿ ìîäåëü, òåì âûøå äîëÿ àêòîðíîé è íèæå äîëÿ
îñòàòî÷íîé äèñïåðñèè.
Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ F ìîæíî âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü. Åñëè çíà÷åíèå ýòîé âåðîÿòíîñòè ìåíüøå ïðèíÿòîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α (âåðîÿòíîñòè îøèáêè), ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè ëèíåéíîé ñâÿçè
ìåæäó ðåçóëüòàòèâíûì è àêòîðíûìè ïðèçíàêàìè îòêëîíÿåòñÿ è ðåãðåññèÿ ïðèçíàåòñÿ çíà÷èìîé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
255 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè êîý èöèåíòîâ ðåãðåññèè
1
2
3
4
5
Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè êîý èöèåíòîâ ðåãðåññèè îçíà÷àåò ïðîâåðêó ãèïîòåçû îá îòñóòñòâèè ñâÿçè ìåæäó ðåçóëüòàòèâíûì è êàæäûì èç àêòîðíûõ
ïðèçíàêîâ. Òàêàÿ ãèïîòåçà îçíà÷àåò, ÷òî íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ðåãðåññèîííûõ êîý èöèåíòîâ îáóñëîâëåíû ëèøü ñëó÷àéíîñòÿìè âûáîðêè, à â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âñå êîý èöèåíòû ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíû íóëþ.
Äëÿ ïðîâåðêè çíà÷èìîñòè êàæäîãî êîý èöèåíòà ðåãðåññèè âû÷èñëÿåòñÿ t-ñòàòèñòèêà, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç ýòîò êîý èöèåíò
ïðåâûøàåò ñâîþ ñðåäíþþ îøèáêó â âûáîðêå.
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåëè÷èíà α (óðîâåíü çíà÷èìîñòè) èçìåðÿåò âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ïîÿâëåíèÿ â âûáîðêå çíà÷åíèé t, ðàâíûõ èëè áîëüøèõ,
÷åì äàííîå çíà÷åíèå.
Åñëè âåðîÿòíîñòü p ìåíüøå âûáðàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèé êîý èöèåíò ðåãðåññèè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èìûì.
Åñëè âåðîÿòíîñòü p áîëüøå âûáðàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèé êîý èöèåíò ðåãðåññèè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåçíà÷èìûì.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
256 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè êîý èöèåíòîâ ðåãðåññèè (ïðîäîëæåíèå)
1
2
3
×åì áîëüøå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå çíà÷åíèå t, òåì ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðîÿòíîñòü p.
Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè êîý èöèåíòîâ ðåãðåññèè âàæíà ïîòîìó, ÷òî êîý èöèåíòû ðåãðåññèè, â îòëè÷èå îò êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè, íå èìåþò
ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ çíà÷åíèé è èõ âåëè÷èíû çàâèñÿò îò åäèíèö
èçìåðåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèçíàêîâ.
Çíà÷èò ñàìà ïî ñåáå âåëè÷èíà êîý èöèåíòà ðåãðåññèè íèêàê íå îïðåäåëÿåò ñèëó âëèÿíèÿ àêòîðà íà ðåçóëüòàò.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
257 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà
1
2
 ëèíåéíîé ìîäåëè âîçìóùåíèå ǫi (èëè çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ Yi ) åñòü
âåëè÷èíà ñëó÷àéíàÿ, à îáúÿñíÿþùàÿ ïåðåìåííàÿ xi âåëè÷èíà íåñëó÷àéíàÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âîçìóùåíèÿ ǫi ðàâíî íóëþ: [ǫi ] = 0 (èëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Yi ðàâíî ëèíåéíîé óíêöèè ðåãðåññèè: [Yi ] = α xi + β ).
Äèñïåðñèÿ âîçìóùåíèÿ ǫi (èëè çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Yi ) ïîñòîÿííà äëÿ
ëþáîãî i: [Yi ] = σ 2 ( [Yi ] = σ 2 óñëîâèå ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè èëè
ðàâíîèçìåí÷èâîñòè âîçìóùåíèÿ/çàâèñèìîé ïåðåìåííîé).
Âîçìóùåíèÿ ǫi è ǫj (èëè ïåðåìåííûå yi è yj ) íå êîððåëèðîâàíû: [ǫi ǫi ] =
0 (i 6= j ).
Âîçìóùåíèå ǫi (èëè çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ yi ) åñòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.  ýòîì ñëó÷àå ìîäåëü Yi = α xi + b + ǫi
íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé íîðìàëüíîé ëèíåéíîé ðåãðåññèîííîé ìîäåëüþ.
E
E
3
4
5
D
D
E
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
258 / 297
7.1. åãðåññèîííûé àíàëèç. 7.1.3. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè äîñòàòî÷íî óñëîâèé 14. Òðåáîâàíèå
âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 5 (ò.å. ðàññìîòðåíèå "íîðìàëüíîé ðåãðåññèè") íåîáõîäèìî äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè è åãî ïàðàìåòðîâ.
Îöåíêîé ìîäåëè Yi = α xi +b+ǫi ïî âûáîðêå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ðåãðåññèè
y X = a x+b. Ïàðàìåòðû ýòîãî óðàâíåíèÿ a è b îïðåäåëÿþòñÿ íà îñíîâå ìåòîäà
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Âîçäåéñòâèå íåó÷òåííûõ ñëó÷àéíûõ àêòîðîâ è îøèáîê íàáëþäåíèé â ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ äèñïåðñèè âîçìóùåíèé (îøèáîê) èëè îñòàòî÷íîé äèñïåðñèè. Íåñìåùåííîé îöåíêîé ýòîé äèñïåðñèè ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íàÿ
îñòàòî÷íàÿ äèñïåðñèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
259 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç
Îïðåäåëåíèå 7.6.
Êîððåëÿöèîííûì àíàëèçîì íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, èññëåäóþùèé çàâèñèìîñòü ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ âûáîðî÷íûõ îöåíîê ãåíåðàëüíûõ êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè.
Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç (ÊÀ) ÿâëÿåòñÿ óãëóáëåíèåì ÌÍÊ è ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà. Â ïîñòðîåííîì ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ óðàâíåíèè ðåãðåññèè îòñóòñòâóåò
óêàçàíèå íà ñòåïåíü âçàèìîñâÿçàííîñòè ðåçóëüòàòèâíîãî ïðèçíàêà ñ àêòîðíûìè. ÊÀ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü òåñíîòó ñâÿçè ìåæäó èññëåäóåìûìè ïðèçíàêàìè, îöåíèòü ðàçáðîñ èñõîäíûõ äàííûõ îêîëî ëèíèè ðåãðåññèè, "êà÷åñòâî"
óðàâíåíèÿ ðåãðåññèè, ïðàâèëüíîñòü âûáîðà òèïà óðàâíåíèÿ è äð. Îöåíêè ìåðû çàâèñèìîñòè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êàê
äëÿ âåðè èêàöèè óæå èçâåñòíûõ ñâÿçåé, òàê è äëÿ îáíàðóæåíèÿ åùå íåèçâåñòíûõ ñâÿçåé ìåæäó ÿâëåíèÿìè. Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà
â çàäà÷àõ ðåãðåññèè ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè îòáîð ñðåäè àêòîðîâ è âûÿâèòü
ñðåäè íèõ íàèáîëåå èí îðìàòèâíûå, îêàçûâàþùèå ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà
îòêëèê.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
260 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
!!!
Ïîä ÊÀ ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ìåòîäîâ, êîòîðûå ìîæíî ðàçäåëèòü íà
äâå áîëüøèå ãðóïïû:
1
Ïàðàìåòðè÷åñêèå (èëè ñîáñòâåííî-êîððåëÿöèîííûå) ìåòîäû èçìåðåíèÿ
òåñíîòû ñâÿçåé; îíè ïîäðàçóìåâàþò âû÷èñëåíèå ëèíåéíîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè, ìíîæåñòâåííîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè, ÷àñòíîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè, êîððåëÿöèîííîãî îòíîøåíèÿ. Ïðèìåíåíèå ýòèõ
ïîêàçàòåëåé òðåáóåò ñîáëþäåíèÿ íåêîòîðûõ óñëîâèé: 1) èññëåäóåìûå ÿâëåíèÿ (ïîêàçàòåëè) äîëæíû áûòü ðàñïðåäåëåíû ïî íîðìàëüíîìó èëè áëèçêîìó ê íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ; 2) îòäåëüíûå íàáëþäåíèÿ
äîëæíû áûòü íåçàâèñèìû.
2
Íåïàðàìåòðè÷åñêèå, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ â èññëåäîâàíèè íå òðåáóåò ñîáëþäåíèÿ êàêèõ-ëèáî óñëîâèé. Ýòè ìåòîäû âêëþ÷àþò ðàñ÷åòû ðàçëè÷íûõ
êîý èöèåíòîâ, ïîêàçûâàþùèõ òåñíîòó ñâÿçè. Èõ ïðèìåíåíèå îïðàâäûâàåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îáû÷íûå êîððåëÿöèîííûå ìåòîäû èçìåíåíèÿ
ñâÿçåé ÿâëÿþòñÿ íåäîñòàòî÷íûìè, íàïðèìåð, ïðè îïðåäåëåíèè ýêñïåðòíûõ îöåíîê è ò.ä.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
261 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Íåïàðàìåòðè÷åñêèå ìåòîäû îöåíêè ñâÿçè ïðîùå. Îíè òðåáóþò äëÿ ðàñ÷åòîâ íåñðàâíåííî ìåíüøå âðåìåíè, ÷åì îáû÷íûå êîððåëÿöèîííûå. Êðîìå òîãî,
îíè íå òðåáóþò íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé î çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíûõ
ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ, ò.ê. ïðè èõ èñïîëüçîâàíèè èññëåäîâàòåëü îïåðèðóåò
íå ñàìèìè çíà÷åíèÿìè ïðèçíàêîâ, à èõ ÷àñòîòàìè, çíàêàìè, ðàíãàìè è ò.ä.
Òåðìèí "êîððåëÿöèÿ" âïåðâûå ïðèìåíèë ðàíöóçñêèé ïàëåîíòîëîã
Æ. Êþâüå, êîòîðûé âûâåë "çàêîí êîððåëÿöèè ÷àñòåé è îðãàíîâ æèâîòíûõ"
(ýòîò çàêîí ïîçâîëÿåò âîññòàíàâëèâàòü ïî íàéäåííûì ÷àñòÿì òåëà îáëèê âñåãî
æèâîòíîãî). Â ñòàòèñòèêó óêàçàííûé òåðìèí ââåë àíãëèéñêèé áèîëîã è ñòàòèñòèê Ô. àëüòîí (íå ïðîñòî "ñâÿçü" relation, à "êàê áû ñâÿçü" orrelation).
Îïðåäåëåíèå 7.7.
Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç ýòî ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñâÿçÿõ ìåæäó ïåðåìåííûìè ñ èñïîëüçîâàíèåì êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè, äâóìåðíîé îïèñàòåëüíîé ñòàòèñòèêè, êîëè÷åñòâåííîé ìåðû âçàèìîñâÿçè (ñîâìåñòíîé èçìåí÷èâîñòè) äâóõ ïåðåìåííûõ, ò.å. ýòî ñîâîêóïíîñòü ìåòîäîâ îáíàðóæåíèÿ êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ïðèçíàêàìè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
262 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç äëÿ äâóõ Ñ çàêëþ÷àåò â ñåáå
1
2
3
ïîñòðîåíèå êîððåëÿöèîííîãî ïîëÿ è ñîñòàâëåíèå êîððåëÿöèîííîé òàáëèöû;
âû÷èñëåíèå âûáîðî÷íûõ êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè è êîððåëÿöèîííûõ
îòíîøåíèé;
ïðîâåðêó ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû çíà÷èìîñòè ñâÿçè.
Îñíîâíîå íàçíà÷åíèå êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà âûÿâëåíèå ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ èëè áîëåå èçó÷àåìûìè ïåðåìåííûìè, êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê
ñîâìåñòíîå ñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå äâóõ èññëåäóåìûõ õàðàêòåðèñòèê. Äàííàÿ
èçìåí÷èâîñòü îáëàäàåò òðåìÿ îñíîâíûìè õàðàêòåðè òèêàìè: îðìîé, íàïðàâëåíèåì è ñèëîé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
263 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ïî îðìå êîððåëÿöèîííàÿ ñâÿçü ìîæåò áûòü ëèíåéíîé èëè íåëèíåéíîé.
Áîëåå óäîáíîé äëÿ âûÿâëåíèÿ è èíòåðïðåòàöèè êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ îðìà. Äëÿ ëèíåéíîé êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè ìîæíî âûäåëèòü
äâà îñíîâíûõ íàïðàâëåíèÿ: ïîëîæèòåëüíîå ("ïðÿìàÿ ñâÿçü") è îòðèöàòåëüíîå
("îáðàòíàÿ ñâÿçü").
Ñèëà ñâÿçè íàïðÿìóþ óêàçûâàåò, íàñêîëüêî ÿðêî ïðîÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíàÿ
èçìåí÷èâîñòü èçó÷àåìûõ ïåðåìåííûõ.  ïñèõîëîãèè óíêöèîíàëüíàÿ âçàèìîñâÿçü ÿâëåíèé ýìïèðè÷åñêè ìîæåò áûòü âûÿâëåíà òîëüêî êàê âåðîÿòíîñòíàÿ
ñâÿçü ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèçíàêîâ. Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå âåðîÿòíîñòíîé ñâÿçè äàåò äèàãðàììà ðàññåèâàíèÿ ãðà èê, îñè êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì äâóõ ïåðåìåííûõ, à êàæäûé îáúåêò ïðåäñòàâëÿåòñÿ
òî÷êîé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
264 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
 êà÷åñòâå ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè âåðîÿòíîñòíîé ñâÿçè èñïîëüçóþò êîý èöèåíòû êîððåëÿöèè (ÊÊ), çíà÷åíèÿ êîòîðûõ èçìåíÿþòñÿ â äèàïàçîíå îò
−1 äî +1. Ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ èññëåäîâàòåëü, êàê ïðàâèëî, îòáèðàåò
òîëüêî íàèáîëåå ñèëüíûå êîððåëÿöèè, êîòîðûå â äàëüíåéøåì èíòåðïðåòèðóþòñÿ (ñì. òàáë.).
Çíà÷åíèå
îò 0 äî 0,3
îò 0,3 äî 0,5
îò 0,5 äî 0,7
Èíòåðïðåòàöèÿ Çíà÷åíèå
Èíòåðïðåòàöèÿ
î÷åíü ñëàáàÿ îò 0,7 äî 0,9 âûñîêàÿ
ñëàáàÿ
îò 0,9 äî 1 î÷åíü âûñîêàÿ
ñðåäíÿÿ
Êðèòåðèåì äëÿ îòáîðà "äîñòàòî÷íî ñèëüíûõ" êîððåëÿöèé ìîæåò áûòü êàê
àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñàìîãî ÊÊ (îò 0,7 äî 1), òàê è îòíîñèòåëüíàÿ âåëè÷èíà
ýòîãî êîý èöèåíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ïî óðîâíþ ñòàòèñòè÷åñêîé çíà÷èìîñòè (îò
0,01 äî 0,1), çàâèñÿùåìó îò ðàçìåðà âûáîðêè. Â ìàëûõ âûáîðêàõ äëÿ äàëüíåéøåé èíòåðïðåòàöèè êîððåêòíåå îòáèðàòü ñèëüíûå êîððåëÿöèè íà îñíîâàíèè
óðîâíÿ ñòàòèñòè÷åñêîé çíà÷èìîñòè. Äëÿ èññëåäîâàíèé, êîòîðûå ïðîâåäåíû íà
áîëüøèõ âûáîðêàõ, ëó÷øå èñïîëüçîâàòü àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ ÊÊ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
265 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Èòàê, çàäà÷à êîððåëÿöèîííîãî àíàëèçà ñâîäèòñÿ ê óñòàíîâëåíèþ íàïðàâëåíèÿ (ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå) è îðìû (ëèíåéíàÿ, íåëèíåéíàÿ)
ñâÿçè ìåæäó âàðüèðóþùèìè ïðèçíàêàìè, èçìåðåíèþ åå òåñíîòû, è, íàêîíåö,
ê ïðîâåðêå óðîâíÿ çíà÷èìîñòè ïîëó÷åííûõ êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíî ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ÊÊ. Íàèáîëåå ïðèìåíÿåìûìè ÿâëÿþòñÿ Ïèðñîíà, Ñïèðìåíà è Êåíäàëëà.
Âûáîð ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ ÊÊ çàâèñèò îò òèïà øêàëû, ê êîòîðîé îòíîñÿòñÿ
ïåðåìåííûå.
Îñíîâíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà, êîòîðàÿ ïðîâåðÿåòñÿ êîððåëÿöèîííûì
àíàëèçîì, ÿâëÿåòñÿ íåíàïðàâëåííîé è ñîäåðæèò óòâåðæäåíèå î ðàâåíñòâå êîððåëÿöèè íóëþ â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè H0 : ρXY = 0. Ïðè åå îòêëîíåíèè
ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà H1 : ρXY 6= 0 î íàëè÷èè ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé êîððåëÿöèè â çàâèñèìîñòè îò çíàêà âû÷èñëåííîãî
êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
266 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Äëÿ èçó÷åíèÿ âçàèìîñâÿçè äâóõ ÷èñëîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèìåíÿåòñÿ êîý èöèåíò êîððåëÿöèè Ïèðñîíà. Ñàì êîý èöèåíò õàðàêòåðèçóåò íàëè÷èå òîëüêî ëèíåéíîé ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè, îáîçíà÷àåìûìè, êàê ïðàâèëî, ñèìâîëàìè X è Y . Êîý èöèåíò êîððåëÿöèè Ïèðñîíà ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì
ìåòîäîì è åãî êîððåêòíîå ïðèìåíåíèå âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ïðåäñòàâëåíû â øêàëå èíòåðâàëîâ, à ñàìî ðàñïðåäåëåíèå
çíà÷åíèé â àíàëèçèðóåìûõ ïåðåìåííûõ îòëè÷àåòñÿ îò íîðìàëüíîãî â íåçíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñèòóàöèé, â êîòîðûõ åãî ïðèìåíåíèå
öåëåñîîáðàçíî.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
267 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.2. Êîðð. ìåòîäû èçìåðåíèÿ
Êàê èçâåñòíî, ïðè íàëè÷èè ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ïðèçíàêàìè ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
D[X + Y ] 6= D[X] + D[Y ] ,
ò.å. äèñïåðñèÿ ñóììû ïðèçíàêîâ îòëè÷àåòñÿ îò ñóììû äèñïåðñèé ýòèõ ïðèçíàêîâ íà âåëè÷èíó, õàðàêòåðèçóþùóþ êîððåëÿöèîííóþ ñâÿçü ìåæäó ïðèçíàêàìè
X, Y .
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
X − mX Y − mY 6= 0.
E
Êàê èçâåñòíî èç ÒÂ, âåëè÷èíà â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà íîñèò íàçâàíèå êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
268 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.2. Êîðð. ìåòîäû èçìåðåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 7.8.
Êîâàðèàöèîííûé ìîìåíò èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ÑÂ X , Y . Íà
ïðàêòèêå îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà
X − mX Y − mY
,
ρXY =
σX σY
E
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì êîý èöèåíòîì êîððåëÿöèè (ËÊÊ). ËÊÊ èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò −1 äî 1.
ËÊÊ èìååò î÷åíü áîëüøîå çíà÷åíèå, êîãäà ðå÷ü èäåò î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè. Äëÿ ýòîãî çàêîíà óñëîâèå ρXY = 0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû Ñ X è Y áûëè íåçàâèñèìû. Ïðè ýòîì óñëîâèè è
êîý èöèåíòû kY X , kXY òàêæå îáðàùàþòñÿ â íóëü, à ïðÿìûå ðåãðåññèè Y íà
X è X íà Y îêàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (ïàðàëëåëüíûìè îäíà
îñè àáñöèññ, à âòîðàÿ îñè îðäèíàò).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
269 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.2. Êîðð. ìåòîäû èçìåðåíèÿ
Åñëè æå ρXY = 1, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè (x, y) íàõîäÿòñÿ íà ïðÿìîé
è çàâèñèìîñòü ìåæäó X è Y ÿâëÿåòñÿ óíêöèîíàëüíîé. Ïðÿìûå ðåãðåññèè Y
íà X è X íà Y â ýòîì ñëó÷àå ñîâïàäàþò. Ýòî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàêæå íà
ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òðåõ è áîëåå ïðèçíàêîâ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
270 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
Ïóñòü ïî âûáîðêå çíà÷åíèé {(xi , yi ), i = 1, n } äâóìåðíîé Ñ (X, Y ) òðåáóåòñÿ îöåíèòü êîý èöèåíò êîððåëÿöèè ρXY . Åñòåñòâåííîé îöåíêîé äëÿ ρXY
ñëóæèò åãî ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëîã â âèäå âûáîðî÷íîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè (âûáîðî÷íîãî ËÊÊ), ïðåäëîæåííîãî Ê. Ïèðñîíîì,
rXY =
kXY
,
sXn sY n
n
s2Xn =
kXY =
2
1X
xi − x ,
n i=1
n
1X
xi − x yi − y ,
n i=1
n
s2Y n =
2
1X
yi − y ,
n i=1
ãäå n îáúåì âûáîðêè. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðÿìîì âû÷èñëåíèè rXY äåëåíèå
íà n ÿâëÿåòñÿ ëèøíåé îïåðàöèåé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
271 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ n (n < 15) ëó÷øåé îöåíêîé ËÊÊ ÿâëÿåòñÿ
h
i
2
1 − rXY
∗
rXY
= rXY 1 +
.
2 (n − 2)
Ïðè n > 200 ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî ËÊÊ óäîâëåòâîðèòåëüíî àïïðîêñèìèðóåòñÿ íîðìàëüíûì çàêîíîì ñî ñðåäíèì mR è äèñïåðñèåé
DR :
mR = ρXY ,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
DR =
1 − ρ2XY
.
n−1
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
272 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
 ñëó÷àå äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ñ (X, Y ) îöåíêàìè ÌÏ
2
ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé mX , mY , äèñïåðñèé σX
, σY2 è êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè ρXY ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè: x, y , s2Xn ,
s2Y n è kXY . Ñëåäîâàòåëüíî, âûáîðî÷íûé ËÊÊ àñèìïòîòè÷åñêè ý åêòèâíàÿ îöåíêà êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà.
Èç ÒÂ èçâåñòíî, ÷òî êîý èöèåíò êîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ëèíåéíîé
ñòîõàñòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ÑÂ. Ñîîòâåòñòâåííî, âûáîðî÷íûé ËÊÊ êàê
åãî ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëîã íàñëåäóåò ýòî è äðóãèå ñâîéñòâà ãåíåðàëüíîãî ËÊÊ:
1) −1 6 rXY 6 1;
2) åñëè yi = a xi + b, i = 1, n, a 6= 0, òî
(
+1, åñëè a > 0,
rXY =
−1, åñëè a < 0.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
273 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
y
aL
y
r XY >0
bL
r XY < 0
x
y
cL
x
y
r XY ~0
dL
r XY ~0
x
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
x
274 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
×åì ñèëüíåå ëèíåéíàÿ ñâÿçü ìåæäó ïåðåìåííûìè X è Y , òåì áëèæå rXY
ê 1; ÷åì áëèæå rXY ê íóëþ, òåì ñëàáåå èññëåäóåìàÿ ñâÿçü (ñì. ðèñ., a, b, ).
Îòìåòèì, ÷òî áëèçîñòü ê íóëþ âûáîðî÷íîãî êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè
óêàçûâàåòñÿ òîëüêî íà îòñóòñòâèå ëèíåéíîé ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè; âïîëíå
âîçìîæíî, ÷òî ïðè ýòîì ìåæäó íèìè èìååòñÿ íåëèíåéíàÿ ñâÿçü (ñì. ðèñ., d).
Êàê âèäíî èç îðìóëû, âûáîðî÷íûé ËÊÊ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé óíêöèåé çíà÷åíèé ïðèçíàêîâ X è Y è òîëüêî êîëè÷åñòâåííî âûðàæàåò âçàèìîçàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè.
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íîãî ËÊÊ, âû÷èñëÿåìîãî ïî ðåçóëüòàòàì âûáîðêè îáúåìà n èç äâóìåðíîé íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ
ËÊÊ ρXY (ïàðàìåòðîì), â îáùåì ñëó÷àå èìååò äîâîëüíî ñëîæíûé âèä (îñîáåííî äëÿ ρXY 6= 0). àñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ËÊÊ ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî ïðèâåäåíî ê íîðìàëüíîìó ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôèøåðà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
275 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.3. Âûáîðî÷íûé ËÊÊ
Ïîñòðîèì äâóñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ÊÊ ρXY äâóìåðíîé
íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ γ ïî
ðåçóëüòàòàì âûáîðêè {(xi , yi )}, i = 1, 2, ..., n.
ðàíèöû èíòåðâàëà J = (r1 , r2 ) îïðåäåëÿþò ïðèáëèæåííî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôèøåðà:
r1 = r0 − ∆,
r2 = r0 + ∆,
zq
∆= √
,
n−3
ãäå zq q -êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (0, 1),
q=
1+γ
,
2
r0 =
1 1 + rXY
rXY
ln
+
.
2 1 − rXY
2(n − 1)
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíèìè ñîîòíîøåíèÿìè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îòëè÷åí îò íîðìàëüíîãî. Íî â ýòèõ ñëó÷àÿõ óõóäøàåòñÿ òî÷íîñòü îöåíèâàíèÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
276 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.4. Çíà÷èìîñòü ËÊÊ
Âàæíåéøåé çàäà÷åé, âîçíèêàþùåé â ïðàêòèêå ðàáîòû ñ êîý èöèåíòîì
êîððåëÿöèè, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ çàâèñèìîñòè ìåæäó êîìïîíåíòàìè äâóìåðíîé íîðìàëüíîé Ñ (X, Y ).
Ïóñòü îïÿòü äâóìåðíàÿ ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü (X, Y ) ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà n è ïî íåé íàéäåí
âûáîðî÷íûé ÊÊ rXY , êîòîðûé îêàçàëñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Òàê êàê âûáîðêà îòîáðàíà ñëó÷àéíî, òî åùå íåëüçÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî ÊÊ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ρXY òàêæå îòëè÷åí îò íóëÿ. Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî íàñ èíòåðåñóåò
èìåííî ýòîò êîý èöèåíò, òî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðè çàäàííîì óðîâíå
çíà÷èìîñòè α ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 : ρXY = 0 î ðàâåíñòâå íóëþ
ãåíåðàëüíîãî ÊÊ ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå H1 : ρXY 6= 0.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
277 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.4. Çíà÷èìîñòü ËÊÊ
!!!
Åñëè íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûáîðî÷íûé ÊÊ
çíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ (èëè çíà÷èì), à X è Y êîððåëèðîâàíû, ò.å. ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ.
Åñëè íóëåâàÿ ãèïîòåçà áóäåò ïðèíÿòà, òî âûáîðî÷íûé ÊÊ íåçíà÷èì, à X è
Y íåêîððåëèðîâàíû, ò.å. íå ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ.
!!!
 êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîâåðêè íóëåâîé ãèïîòåçû ïðèìåíÿåòñÿ ñòàòèñòèêà
√
n−2
T (X) = RXY p
.
2
1 − RXY
Âåëè÷èíà T ïðè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ ν = n − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ïîñêîëüêó àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà èìååò âèä ρXY 6= 0, òî êðèòè÷åñêàÿ
îáëàñòü äâóñòîðîííÿÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
278 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.4. Çíà÷èìîñòü ËÊÊ
Ïóñòü týêñï çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè, âû÷èñëåííîå ïî äàííûì íàáëþäåíèé.
Òîãäà íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α:
åñëè |týêñï | < tν;1−α/2 , òî íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü íóëåâóþ ãèïîòåçó;
åñëè |týêñï | > tν;1−α/2 , òî íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ.
Çäåñü t1−α/2;ν êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà.  òåðìèíàõ ÊÊ
êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòè ìîæåò áûòü îïèñàíà ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì:
Ïðèìåð 7.2.
tν;1−α/2
.
|rXY | > q
ν + t2ν;1−α/2
Ïóñòü n = 42, α = 0,05. Ïî òàáëèöå íàõîäèì êâàíòèëü tν;1−α/2 = t40;0,975 =
2,021 ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ïîðÿäêà 0,975
q è ñ 40 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Âû÷èñëèì ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà: t40;0,975 / 40 + t240;0,975 = 0,304 ≈ 0,3. Ïðè
âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà |rXY | > 0,3 ñâÿçü ìåæäó X è Y èêñèðóåòñÿ ïà
óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà îòâåðãàåòñÿ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
279 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.4. Çíà÷èìîñòü ËÊÊ
Åñëè íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü íóëåâóþ ãèïîòåçó H0 : ρXY = ρ0 ïðè àëüòåðíàòèâíîé H1 : ρXY 6= ρ0 , òî èñïîëüçóåòñÿ ñòàòèñòèêà
ãäå
Z − m0
,
T (X) = √
n−3
m0 =
Z=
1 1 + RXY
ln
,
2 1 − RXY
1 1 + ρ0
ρ0
ln
+
.
2 1 − ρ0
2(n − 1)
Åñëè ãèïîòåçà H0 âåðíà, òî ñòàòèñòèêà T ðàñïðåäåëåíà àñèìïòîòè÷åñêè
íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè (0, 1).
Ïðè ïðèìåíåíèè äâóñòîðîííåãî êðèòåðèÿ íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α ãèïîòåçà
H0 îòâåðãàåòñÿ, åñëè
|týêñï | > zq ,
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
q=
1+γ
.
2
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
280 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Äî ñèõ ïîð àíàëèçèðîâàëèñü çàâèñèìîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâåííûìè ïåðåìåííûìè, èçìåðåííûìè â òàê íàçûâàåìûõ êîëè÷åñòâåííûõ øêàëàõ, ò.å. â øêàëàõ ñ íåïðåðûâíûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé, ïîçâîëÿþùèõ âûÿâèòü, íà ñêîëüêî
(èëè âî ñêîëüêî ðàç) ïðîÿâëåíèå ïðèçíàêà ó îäíîãî îáúåêòà áîëüøå (ìåíüøå),
÷åì ó äðóãîãî (íàïðèìåð, ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, ñåáåñòîèìîñòü ïðîäóêöèè
è ò.ï.).
Íî íå âñåãäà, êîãäà íàñ èíòåðåñóåò èçìåíåíèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó äâóìÿ
ïðèçíàêàìè, ýòè ïðèçíàêè ìîãóò áûòü îöåíåíû êîëè÷åñòâåííî. Äîñòàòî÷íî ÷àñòî òàêóþ îöåíêó ïîëó÷àþò êà÷åñòâåííî. À ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ èçó÷åíèÿ ñâÿçè ìåæäó îðäèíàëüíûìè (ïîðÿäêîâûìè) ïåðåìåííûìè, èçìåðåííûìè â òàê íàçûâàåìîé ïîðÿäêîâîé øêàëå.  ýòîé
øêàëå ìîæíî óñòàíîâèòü ëèøü ïîðÿäîê, â êîòîðîì îáúåêòû âûñòðàèâàþòñÿ
ïî ñòåïåíè ïðîÿâëåíèÿ ïðèçíàêà (íàïðèìåð, êà÷åñòâî æèëèùíûõ óñëîâèé, òåñòîâûå áàëëû, ýêçàìåíàöèîííûå îöåíêè è ò.ï.). Åñëè, ñêàæåì, ïî íåêîòîðîé
äèñöèïëèíå äâà ñòóäåíòà èìåþò îöåíêè "îòëè÷íî" è "óäîâëåòâîðèòåëüíî", òî
ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî óðîâåíü ïîäãîòîâêè ïî ýòîé äèñöèïëèíå ïåðâîãî
ñòóäåíòà âûøå (áîëüøå), ÷åì âòîðîãî, íî íåëüçÿ ñêàçàòü, íà ñêîëüêî èëè âî
ñêîëüêî ðàç áîëüøå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
281 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.3.
Íàïðèìåð, íåñêîëüêî ãîðîäîâ ñ ðàçíîé ñòåïåíüþ óðáàíèçàöèè îöåíèâàþòñÿ
ïî óðîâíþ çàãðÿçíåííîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû. ðóïïà ýêñïåðòîâ óïîðÿäî÷èâàåò âñå ãîðîäà ïî îáîèì ïîêàçàòåëÿì, à çàòåì èíòåðåñ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü
âîïðîñ î ñîãëàñîâàííîñòè óðîâíÿ óðáàíèçàöèè è ñòåïåíè çàãðÿçíåííîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðîáëåìà îöåíêè òåñíîòû ñâÿçè ðàçðåøèìà, åñëè óïîðÿäî÷èòü, èëè ðàíæèðîâàòü, îáúåêòû àíàëèçà ïî ñòåïåíè âûðàæåííîñòè èçìåðÿåìûõ ïðèçíàêîâ. Ïðè ýòîì êàæäîìó îáúåêòó ïðèñâàèâàåòñÿ
îïðåäåëåííûé íîìåð, íàçûâàåìûé ðàíãîì. Íàïðèìåð, îáúåêòó ñ íàèìåíüøèì
ïðîÿâëåíèåì (çíà÷åíèåì) ïðèçíàêà ïðèñâàèâàåòñÿ ðàíã 1, ñëåäóþùåìó çà íèì
ðàíã 2 è ò.ä. Îáúåêòû ìîæíî ðàñïîëàãàòü è â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ïðîÿâëåíèÿ
(çíà÷åíèé) ïðèçíàêà. Åñëè îáúåêòû ðàíæèðîâàíû ïî äâóì ïðèçíàêàì, òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü îöåíèòü òåñíîòó ñâÿçè ìåæäó ïðèçíàêàìè, îñíîâûâàÿñü íà
ðàíãàõ, ò.å. ïîëó÷èòü ðàíãîâóþ êîððåëÿöèþ. Íàïðèìåð, êàæäîìó ãîðîäó ìîæíî
ïðèïèñàòü ðàíã â îáùåé èåðàðõèè (âîñõîäÿùåé èëè íèñõîäÿùåé). Óðîâíè âçàèìîñâÿçåé â ýòîé è ïîäîáíûõ çàäà÷àõ îöåíèâàþòñÿ êîý èöèåíòàìè ðàíãîâîé
êîððåëÿöèè (Ê Ê Ñïèðìåíà RS , Êåíäàëëà RK è äð.).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
282 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
 òàêîì ñëó÷àå îáû÷íûé êîý èöèåíò ëèíåéíîé êîððåëÿöèè (ÊËÊ Ïèðñîíà RP ) íå âû÷èñëÿåòñÿ.
Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå êëàññè èêàöèè êîððåëÿöèîííûõ ñâÿçåé ïî èõ ñèëå,
îäíà èç êîòîðûõ ïðèâåäåíà ðàíåå. Íî ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè, òåì ìåíüøåé âåëè÷èíû êîý èöèåíòà è ëèíåéíîé, è ðàíãîâîé êîððåëÿöèè îêàçûâàåòñÿ
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êîððåëÿöèÿ áûëà ïðèçíàíà äîñòîâåðíîé (çíà÷èìîé).
àíãîâûå êîððåëÿöèè äîñòèãàþò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ, åñëè áîëüøåìó çíà÷åíèþ îäíîé ïåðåìåííîé âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò á
îëüøåå
îëüøåìó çíà÷åíèþ îäíîé ïåðåìåííîé
çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé (+1), èëè á
âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå çíà÷åíèå äðóãîé ïåðåìåííîé è íàîáîðîò (−1).
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
283 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Îñîáåííîñòüþ ðàíãîâûõ êîý èöèåíòîâ êîððåëÿöèè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ ðàíãîâûì êîððåëÿöèÿì (±1) íå îáÿçàòåëüíî ñîîòâåòñòâóþò ñòðîãèå ïðÿìî èëè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûå ñâÿçè ìåæäó èñõîäíûìè ïåðåìåííûìè X è Y : äîñòàòî÷íà ëèøü ìîíîòîííàÿ óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü
ìåæäó íèìè.
Ïðîâåðÿåìàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà, ïîðÿäîê ïðèíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ è îðìóëèðîâêà ñîäåðæàòåëüíîãî âûâîäà ñõîäíû ñ ñ ïðîöåäóðîé äëÿ
êîý èöèåíòà êîððåëÿöèè Ïèðñîíà.
Ê Ê Ñïèðìåíà ÿâëÿåòñÿ íåïàðàìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì êëàññè÷åñêîãî ÊËÊ
Ïèðñîíà, íî ïðè åãî ðàñ÷åòå ó÷èòûâàþòñÿ íå ñâÿçàííûå ñ ðàñïðåäåëåíèåì
ïîêàçàòåëè ñðàâíèâàåìûõ ïåðåìåííûõ (ñðåäíåå àðè ìåòè÷åñêîå è äèñïåðñèÿ),
à ðàíãè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
284 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ê Ê Ñïèðìåíà
Ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü òåñíîòó (ñèëó) è íàïðàâëåíèå (ïîëîæèòåëüíàÿ èëè
îòðèöàòåëüíàÿ) êîððåëÿöèîííîé ñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ïðî èëÿìè (èåðàðõèÿìè)
ïðèçíàêîâ. Ñðàâíèâàåìûìè ðÿäàìè çíà÷åíèé ìîãóò áûòü:
1
äâà ïðèçíàêà, èçìåðåííûå â îäíîé è òîé æå ãðóïïå èñïûòóåìûõ;
2
äâå èíäèâèäóàëüíûå èåðàðõèè ïðèçíàêîâ, âûÿâëåííûå ó äâóõ èñïûòóåìûõ
ïî îäíîìó è òîìó æå íàáîðó ïðèçíàêîâ (íàïðèìåð, èåðàðõèè öåííîñòåé
èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðåäïî÷òåíèé â âûáîðå íåñêîëüêèõ àëüòåðíàòèâ);
3
äâå ãðóïïîâûå èåðàðõèè ïðèçíàêîâ;
4
èíäèâèäóàëüíàÿ è ãðóïïîâàÿ èåðàðõèÿ ïðèçíàêîâ.
Ïðåèìóùåñòâî êîý èöèåíòà Ñïèðìåíà ïî ñðàâíåíèþ ñ êîý èöèåíòîì
Ïèðñîíà â áîëüøåé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ê ñâÿçè.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
285 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
ÊÊÊ Ñïèðìåíà èñïîëüçóåòñÿ â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ
1
2
íàëè÷èå ñóùåñòâåííîãî îòêëîíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ õîòÿ áû îäíîé ïåðåìåííîé îò íîðìàëüíîãî âèäà (àñèììåòðèÿ, âûáðîñû);
ïîÿâëåíèå êðèâîëèíåéíîé (ìîíîòîííîé) ñâÿçè.
Îãðàíè÷åíèÿ äëÿ ïðèìåíåíèÿ ÊÊÊ Ñïèðìåíà
1
2
ïî êàæäîé ïåðåìåííîé íå ìåíåå 5 íàáëþäåíèé;
êîý èöèåíò ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå îäèíàêîâûõ ðàíãîâ ïî îäíîé èëè
îáåèì ïåðåìåííûì äàåò îãðóáëåííîå çíà÷åíèå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
286 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Âûáîðî÷íûé Ê Ê Ñïèðìåíà
àññ÷èòûâàåòñÿ ïî îðìóëå:
rS = 1 −
6
n (n2 − 1)
n
X
d2ℓ ,
ℓ=1
ãäå n îáúåì âûáîðêè, dℓ ðàçíîñòü ðàíãîâ.
Ïðè íàëè÷èè îäèíàêîâûõ ðàíãîâ íåîáõîäèìî â îðìóëó ðàñ÷åòà êîý èöèåíòà Ñïèðìåíà âíåñòè ïîïðàâêè:
rS = 1 −
Ta =
1
12
n
X
i=1
6
n (n2
− 1)
(a3i − ai ),
n
X
ℓ=1
d2ℓ + Ta + Tb ,
Ta =
n
1 X 3
(b − bi ),
12 i=1 i
ãäå ai , bi îáúåìû ãðóïï îäèíàêîâûõ ðàíãîâ â ñðàâíèâàåìûõ ðÿäàõ.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
287 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
èïîòåçà î çíà÷èìîñòè Ê Ê Ñïèðìåíà
èïîòåçû: H0 = {êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííûìè (èëè èåðàðõèÿìè) A
è B íå îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ}; H1 = {êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííûìè (èëè
èåðàðõèÿìè) A è B çíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ}.
Àíàëèç: åñëè âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ
s
n−2
Kýêñï = |rS |
(n > 10)
1 − rS2
äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ Kêðèò = tn−2;1−α/2 èëè ïðåâûøàåò åãî, êîððåëÿöèÿ çíà÷èìà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
288 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.4.
Âû÷èñëèòü êîý èöèåíò ðàíãîâîé êîððåëÿöèè â çàäà÷å îá îáñëåäîâàíèè
ãîðîäîâ è ïðîâåðèòü åãî çíà÷èìîñòü íà óðîâíå α = 0,05. ðóïïà ãîðîäîâ ðàíæèðîâàíà ïî âîñõîäÿùåé ñõåìå ïî ñòåïåíè óðáàíèçàöèè è çàãðÿçíåííîñòè. Ìåíüøåìó çíà÷åíèþ ïðèçíàêà, êàê ïðàâèëî, ïðèñâàèâàåòñÿ ìåíüøèé ðàíã. Äàííûå
ñâåäåíû â òàáëèöó (ñì. íèæå), â êîòîðîé ñòðîêà A óðîâåíü óðáàíèçàöèè,
ñòðîêà B óðîâåíü çàãðÿçíåííîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû.
îðîäà 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (xi ) 3 7 5 9 1 8 6 10 4 2
B (yi ) 2 4 3 5 1 9 8 10 7 6
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
289 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.4.(ïðîäîëæåíèå)
◭ ðóïïà ãîðîäîâ ðàíæèðîâàíà ïî âîñõîäÿùåé ñõåìå ïî ñòåïåíè óðáàíèçàöèè è çàãðÿçíåííîñòè. Ìåíüøåìó çíà÷åíèþ ïðèçíàêà ïðèñâîåí ìåíüøèé ðàíã.
Äàííûå ñâåäåíû â òàáëèöó (ñì. íèæå), â êîòîðîé ñòðîêà A óðîâåíü óðáàíèçàöèè, ñòðîêà B óðîâåíü çàãðÿçíåííîñòè îêðóæàþùåé ñðåäû.
îðîäà A (xi ) B (yi ) di d2i
1
3
2 1 1
2
7
4 3 9
3
5
3 2 4
4
9
5 4 16
5
1
1 0 0
6
8
9 -1 1
7
6
8 -2 4
8
10
10 0 0
9
4
7 -3 9
10
2
6 -4 16
Ñóììà
60
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
290 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.4.(ïðîäîëæåíèå)
Êîý èöèåíò ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Ñïèðìåíà:
n
X
6
360
rS = 1 −
d2ℓ = 1 −
≈ 0,636.
2
10 (10 − 1)
990
ℓ=1
Âû÷èñëÿåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ;
r
6
Kýêñï = |0,636|
≈ 2,331.
1 − 0,6362
Êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ Kêðèò = t8;0,975 = 2,306, ò.å. íà óðîâíå çíà÷èìîñòè
0,05 Ê Ê Ñïèðìåíà çíà÷èì. Íî íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,03 Ê Ê Ñïèðìåíà íå
çíà÷èì, ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå Kêðèò = t8;0,985 = 2,633. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
291 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Êîý èöèåíò ðàíãîâîé êîððåëÿöèè Êåíäàëëà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
òåõ æå çàäà÷, ÷òî è êîý èöèåíò Ñïèðìåíà. Ïðîâåðÿþòñÿ òå æå ãèïîòåçû, è
àëãîðèòì ïðîâåðêè òàêîé æå, êàê è ïðè èñïîëüçîâàíèè êîý èöèåíòà Ñïèðìåíà. àçíèöà ëèøü â òîì, ÷òî èñïîëüçóþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû äëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ êîý èöèåíòà Êåíäàëëà.
Ê Ê Êåíäàëëà ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíûì èíñòðóìåíòîì, îïèðàþùèìñÿ íà
âû÷èñëåíèå ñîîòíîøåíèÿ ïàð çíà÷åíèé äâóõ âûáîðîê, èìåþùèõ îäèíàêîâûå
èëè îòëè÷àþùèåñÿ òåíäåíöèè (âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå çíà÷åíèé). Òàêèì
îáðàçîì, îñíîâíîé èäååé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî î íàïðàâëåíèè ñâÿçè ìîæíî ñóäèòü,
ïîïàðíî ñðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé îáúåêòû: åñëè ó ïàðû èçìåíåíèå ïî X ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ èçìåíåíèåì ïî Y , ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîëîæèòåëüíîé
ñâÿçè, åñëè íå ñîâïàäàåò îá îòðèöàòåëüíîé ñâÿçè.
Ïðèìåíåíèå êîý èöèåíòà Êåíäàëëà ÿâëÿåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì, åñëè â
èñõîäíûõ äàííûõ èìåþòñÿ âûáðîñû.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
292 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðè èñïîëüçîâàíèè Ê Ê Êåíäàëëà îäíà ïåðåìåííàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âåëè÷èí; äðóãîé
ïåðåìåííîé ïðèñâàèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ðàíãîâûå ìåñòà. Êîëè÷åñòâî èíâåðñèé (íàðóøåíèé ìîíîòîííîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ðÿäîì) èñïîëüçóåòñÿ
â îðìóëå äëÿ êîððåëÿöèîííûõ êîý èöèåíòîâ.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàòèñòèêè Êåíäåëëà äîñòàòî÷íî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
èíâåðñèé (ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê ñîñåäíèõ îáúåêòîâ), êîòîðîå íàäî
ñäåëàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíî óïîðÿäî÷åíèå îáúåêòîâ ïðåâðàòèëîñü â äðóãîå.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
293 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïóñòü åñòü ïàðû íàáëþäåíèé êàæäîãî èç ïðèçíàêîâ (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), ...,
(Xn , Yn ). Óïîðÿäî÷èì íàáëþäåíèÿ ïåðâîãî ïðèçíàêà è ïðîðàíæèðóåì èõ ðàíãàìè îò 1 äî n. Çàòåì ðàíæèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáëþäåíèé âòîðîãî
ïðèçíàêà, ïðè ýòîì îáúåêòû ïåðåíóìåðîâàíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàíãàìè ïåðâîé ñîâîêóïíîñòè. Ïóñòü âî âòîðîì íàáîðå ïðèïèñàíû êàæäîìó íàáëþäåíèþ
ðàíãè r1 , r2 , ..., rn , ò.å. òåïåðü âñå îáúåêòû õàðàêòåðèçóþòñÿ ïàðàìè ðàíãîâ:
(1, r1 ), (2, r2 ), ..., (n, rn ). Ïîñëå ïåðåíóìåðîâàíèÿ ðàíãè èçìåðåíèé ïðèçíàêîâ
A ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íîâûå íîìåðà ñàìèõ îáúåêòîâ. Ïóñòü Q ÷èñëî èíâåðñèé â âûáîðêå (r1 , r2 , ..., rn ), ãäå èíâåðñèÿ ýòî íàðóøåíèå ïîðÿäêà.
Âûáîðî÷íûé Ê Ê Êåíäàëëà
àññ÷èòûâàåòñÿ ïî îðìóëå:
rK = 1 −
4Q
,
n (n − 1)
ãäå n îáúåì âûáîðêè, Q ÷èñëî èíâåðñèé.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
294 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
èïîòåçà î çíà÷èìîñòè Ê Ê Êåíäàëëà
èïîòåçû: H0 = {êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííûìè (èëè èåðàðõèÿìè) A
è B íå îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ}; H1 = {êîððåëÿöèÿ ìåæäó ïåðåìåííûìè (èëè
èåðàðõèÿìè) A è B çíà÷èìî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ}.
Àíàëèç: åñëè âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå êðèòåðèÿ
s
9 n (n − 1)
(n > 10)
Kýêñï = |rK |
2 (2 n + 5)
äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ Kêðèò = z1−α/2 èëè ïðåâûøàåò åãî, êîððåëÿöèÿ çíà÷èìà.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
295 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.5.
 ðåçóëüòàòå àíêåòíîãî îáñëåäîâàíèÿ äëÿ 10 âàæíåéøèõ âèäîâ îáîðóäîâàíèÿ, èñïîëüçóåìîãî ñóäîâîäèòåëÿìè âî âðåìÿ âàõòû, ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå
ðàíãè ïî âàæíîñòè îáîðóäîâàíèÿ X è ïî ÷àñòîòå åãî èñïîëüçîâàíèÿ Y (ñì.
òàáë.). Âû÷èñëèòü ðàíãîâûé êîý èöèåíò Êåíäàëëà è îöåíèòü åãî çíà÷èìîñòü
íà óðîâíå α = 0,05.
Òèï îáîðóä.
Âàæíîñòü(xi )
×àñòîòà (yi )
×èñëî èíâåðñèé
1
1
1
2
2
4
2
3
3
2
4
4
6
2
5
5
3
6
6
9
3
7
7
10
3
8
8
8
2
9
9
7
1
10
10
5
Îòñþäà ◭ Q = 13.
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
296 / 297
7.2. Êîððåëÿöèîííûé àíàëèç. 7.2.5. àíãîâûå ÊÊ
Ïðèìåð 7.5.(ïðîäîëæåíèå)
Äàëåå
52
38
4 13
=1−
=
≈ 0,422,
10 (10 − 1)
90
90
s
s
9 · 10 · 9
810
= 0,422
≈ 8,49.
= 0,422
2 (2 9 + 5)
465)
rK = 1 −
Kýêñï
Ïðè ýòîì Kêðèò = z0,975 = 1, 96 < Kýêñï , ò.å. Ê Ê Êåíäàëëà çíà÷èì. ◮
È.Å. Ïîëîñêîâ (Ï ÍÈÓ)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
297 / 297
