Математическая модель многокритериальной оптимизации

ЛЕКЦИЯ 7. Многокритериальные задачи Математическая модель многокритериальной оптимизации В теории многокритериальной оптимизации (МКО) решаются задачи принятия решений одновременно по нескольким критериям. Задача МКО ставится следующим образом: требуется найти числа x1 , x 2 ,..., x n , удовлетворяющие системе ограничений g i  x1 , x 2 ,..., xn   bi , i  1,2,..., m , (1) для которых функции z k  f k  x1 , x2 ,..., xn  , k  1,2,..., K , (2) достигают максимального значения. Множество точек X   x1 , x 2 ,..., x n  , удовлетворяющих системе (1), образует допустимую область D  R n . Элементы множества D называются допустимыми решениями или альтернативами, а числовые функции f k , k  1,2,..., K – целевыми функциями, или критериями, заданными на множестве D. В формулировке задачи (1) – (2) присутствует K целевых функций. Эти функции отображают множество D  R n в множество F  R K , которое называется множеством достижимости. В векторной форме математическую модель МКО (1) – (2) можно записать следующим образом:  f ( X )  ( f1 ( X ),..., f K ( X ))  max при X  D .  Здесь f ( X ) – вектор-функция аргумента X  D . (3) Впервые проблема МКО возникла у итальянского экономиста В. Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена. В 1 дальнейшем интерес к проблеме МКО усилился в связи с разработкой и использованием вычислительной техники, и уже позднее стало ясно, что многокритериальные задачи возникают также и в технике, например, при проектировании сложных технических систем. В отличие от задач оптимизации с одним критерием в МКО имеется неопределенность целей. Действительно, существование решения, максимизирующего несколько целевых функций, является редким исключением, поэтому с математической точки зрения задачи МКО являются неопределенными и решением может быть только компромиссное решение. Например, при поиске плана предприятия, макимизирующего прибыль и минимизирующего затраты очевидна невозможность достижения обеих целей одновременно, так как чем больше затраты, тем больше должно быть продукции и тем больше прибыль. Ввиду этого в теории МКО понятие оптимальности получает различные толкования, и поэтому сама теория содержит три основных направления:  разработка концепции оптимальности;  доказательство существования решения, оптимального в соот- ветствующем смысле;  разработка методов нахождения оптимального решения. Оптимальность по Парето Если функции f1 , f 2 ,..., f K достигают максимум в одной и той же точке X *  D , то говорят, что задача (3) имеет идеальное решение. Случаи существования идеального решения в многокритериальной задаче крайне редки. Поэтому основная проблема при рассмотрении задачи (3) – формализация принципа оптимальности, т.е. определение того, в 2 каком смысле «оптимальное» решение лучше других. В случае отсутствия «идеального решения» в задаче (3) ищется компромиссное решение. Для всякой альтернативы X  D вектор из значений целевых функций  f1  X , f 2  X ,..., f K  X  является векторной оценкой альтернативы X . Векторная оценка альтернативы содержит полную информацию о ценности (полезности) этой альтернативы для главного конструктора системы, или, как принято говорить в системном анализе, лица, принимающего решение (ЛПР). Сравнение любых двух исходов заменяется сравнением их векторных оценок. Пусть X 1 , X 2  D . Если для всех критериев f1 , f 2 ,..., f K имеют место неравенства f k  X 2   f k  X 1  , k  1,2,..., K , причем хотя бы одно неравенство строгое, то говорят, что решение X 2 предпочтительнее решения X 1 . Условие предпочтительности принято обозначать в виде X 2  X 1 . Определение (оптимальность по Парето). В задаче МКО точка X 0  D называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки X  D , которая была бы предпочтительнее, чем X 0 . Точки, оптимальные по Парето, образуют множество точек, оптимальных по Парето (множество неулучшаемых или эффективных точек) Dp  D . Оптимальные решения многокритериальной задачи следует искать только среди элементов множества альтернатив D p . В этой области ни один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из других. Важным свойством множества Парето D p является возможность «выбраковывать» из множества альтернатив D заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям. Обычно решение многокритериальной задачи должно начинаться с выделения множества D p . При отсутствии 3 дополнительной информации о системе предпочтений ЛПР должно принимать решение именно из множества Парето D p . В векторной оптимизации кроме множества Парето в общем случае нет общих правил, по которому варианту X 2 отдается предпочтение по сравнению с другим вариантом X 1 . Часто решение многокритериальной задачи состоит в построении множества Парето-оптимальных точек и дальнейшем выборе одной из них на основе «здравого смысла» или с помощью какого-либо другого критерия. Во всех случаях задача многокритериальной оптимизации каким-то способом сводится к задаче с одним критерием. Существует много способов построения такого окончательного критерия, однако ни одному из них нельзя заранее отдать наибольшее предпочтение. Для каждой задачи этот выбор должен делаться ЛПР. Заметим, что целевые функции отображают множество точек, оптимальных по Парето D p  D  R n в множество F p  F  R K , которое называется множеством Парето. Построение эффективной области для двух критериев Пример 1. Пусть математическая модель задачи МКО с двумя критериями имеет вид: z1  2 x1  x 2  max , z 2  2 x1  3x 2  max при ограничениях:  x12  x 22  100 .  x  , x   1 2 4 Требуется определить множество точек, оптимальных по Парето. Допустимая область D представляет собой четверть круга радиуса 10 с центром в начале координат, расположенную в 1-ом квадранте (рисунок 1). Рисунок 1 – Множество Парето-оптимальных точек Найдем точки, оптимальные по критериям z1 и z 2 в отдельности. Для этого построим векторы, имеющие направления векторов p1 2;1 и p 2 2; 3, и перпендикулярно им – линии уровня. По линиям уровня определяются оптимальные точки A и B , расположенные на окружности. Проверим произвольную точку C  D на Парето-оптимальность. Через неё проведём линии уровня целевых функций и рассмотрим конус, образованный пересечением полуплоскостей, ограниченных этими линиями и лежащих в направлении увеличения соответствующих целевых функций (конус доминирования для альтернативы C ). На рисунке 1 этот конус закрашен. Очевидно, что точку C можно улучшить по обоим критериям, и поэтому она не является эффективной. Множество эффективных точек D p (точек, оптимальных по Парето) расположено на дуге окружности AB . Таким образом, эффективные точки 5 лежат только между точками оптимума, полученными при решении многокритериальной задачи отдельно по каждому из критериев. Найдем координаты точки A . Нормальный вектор к окружности имеет координаты n1  2 x1 ; 2 x2  , а к линии уровня 1-ой целевой функции – n2  2;1 . Из условия коллинеарности векторов следует, что их координаты пропорциональны, то есть 2 x1 2 x2 . Значит, координаты точки A  2 1 удовлетворяют системе уравнений  x1  2 x 2 .  2 2 x  x  100  1 2 Из решения системы следует, что точка A имеет координаты   A 4 5; 2 5 . Аналогично найдем, что точка B имеет координаты  20 30  B ; .  13 13  Пример 2. Для задачи, сформулированной в примере 1, определить множество достижимости и множество Парето. Рассмотрим, что происходит в пространстве критериев для отображения с помощью вектора целевых функций. Таблица 1 Точка в области D x1 x2 O M N A 10 4 5  8,9 20  5,5 13 10 B 2 5  4,5 30  8,3 13 Образ точки в z1  2 x1  x 2 множестве F O 10 M 20 N A 10 5  22,4 70 B  19,4 13 6 z 2  2 x1  3 x 2 30 20 14 5  31,3 130  36,1 13 Рисунок 2 – Множество достижимости и множество Парето Составим таблицу 1, в которой поместим характерные точки допустимой области и соответствующие им образы в пространстве критериев. Для двух заданных критериев на рисунке 2 представлено множество достижимости F  R 2 и множество Парето Fp  F , являющееся образом множества D p , оптимальных по Парето точек. Эти множества получены на основе данных таблицы 1. Множество Fp на рисунке 2 представляет собой дугу AB  . Для двух критериев это множество образует «северо-восточную» границу множества достижимости. Таким образом, решением задачи МКО является множество точек, оптимальных по Парето D p . Окончательный выбор всегда остается за ЛПР. 7 Проблемы и классификация методов решения задач многокритериальной оптимизации При решении задач МКО приходится решать специфические вопросы, связанные с неопределенностью целей и несоизмеримостью критериев. Перечислим основные проблемы, возникающие при разработке методов МКО. 1. Проблема нормировки критериев, то есть приведение критериев к единому (безразмерному) масштабу измерения. 2. Проблема выбора принципа оптимальности, то есть установление, в каком смысле оптимальное решение лучше всех остальных решений. 3. Проблема учета приоритетов критериев, возникающая в тех случаях, когда из физического смысла ясно, что некоторые критерии имеют приоритет над другими. 4. Проблема вычисления оптимума задачи МКО. Речь идет о том, как использовать методы линейной, нелинейной, дискретной оптимизации для вычисления оптимума задач с определенной спецификой. При решении многокритериальной задачи часто возникает необходимость нормирования критериев f k ( X ) , то есть приведение всех критериев к единому масштабу и безразмерному виду. В дальнейшем будем считать, что все критерии неотрицательны, то есть f k ( X )  0 для всех X  D . Наиболее часто используется замена критериев их безразмерными относительными величинами: k ( X )  fk (X ) fk * , где f k*  max f k ( X ) . НорX D мированные критерии обладают двумя важными свойствами: во-первых, они являются безразмерными величинами, и, во-вторых, они удовлетворяют неравенству 0  k  X   1 для любого X  D . Эти свойства позволяют сравнивать критерии между собой. 8 Основные методы, применяемые при решении задач МКО, представлены на рисунке 3. Методы решения многокритериальных задач Интерактивные Метод анализа иерархий Метод эффективных множеств Лексикографическая оптимизация Метод уступок Метод главного критерия Аддитивные Мультипликативные Сведение к однокритериальным Метод свертки Метод целевого программирования Максиминные Рисунок 3 – Классификация методов решения многокритериальных задач Методы, основанные на свертывании критериев Вместо K частных критериев f1 , f 2 ,..., f K рассматривается один скалярный критерий, полученный путем комбинации частных критериев. Различают аддитивный и мультипликативный методы свертывания критериев. 9 Метод аддитивной свертки критериев Пусть критерии соизмеримы, например, нормированы и определен вектор весовых коэффициентов критериев    1 ,  2 ,..., K , характеризующих важность соответствующего критерия. Это значит, что  i   j , если критерий f i имеет приоритет над критерием f j . При этом K  k  1 ,  k  0 . k 1 Для аддитивного метода строится новая целевая функция f  X    k f k  X  K k 1 и решается задача оптимизации скалярного критерия z  f  X   max при условии X  D . Можно доказать, что решение задачи со скалярным критерием является эффективным для задачи (3). Пример 3. Рассмотрим задачу МКО с двумя критериями z1  x1  max , z 2  x2  max при ограничениях  x1  2 x 2  2 .  x  , x   1 2 Решим задачу оптимизации по каждому критерию в отдельности. Используя графический метод (рисунок 4, а), получим оптимальное решение по первому критерию X 1  2; 0 и оптимальное решение по второму критерию X 2  0;1 . 10 Рисунок 4 – Решение задачи оптимизации по двум критериям На рисунке 4, б изображено множество достижимости F и указаны значения z1,max  2 и z 2,max  1 . Выполним свертку критериев: z   1 f1  X    2 f 2  X    1 x1   2 x 2  max , где  1   2  1,  1  0,  2  0 . Целевая функция является линейной, поэтому в зависимости от 1 и  2 оптимальными будут угловые точки допустимой области или все точки отрезка X 1 X 2 . Полагая, например,  1   2  X 1 , или X 2 , 1 , получим оп2 тимальное решение X *  X 1*  2; 0 . Метод мультипликативной свертки критериев Для мультипликативного метода подход к решению аналогичен, только целевая функция имеет вид f  X    f k k  X , причем   k  1,  k  0 . K K k 1 k 1 Основной и очень существенный недостаток методов свертывания критериев состоит в субъективности выбора коэффициентов  k . 11 Метод главного критерия Выбирается основной (главный) среди критериев. Пусть это, например, f1  X  . Все остальные целевые функции переводятся в разряд ограничений по приведенному ниже правилу. В соответствии с требованиями ЛПР на все критерии накладываются определенные ограничения, которым они должны удовлетворять. Вводится ~ система контрольных показателей f k , относительно которых по всем критериям должны быть достигнуты значения, не меньше заданных значений ~ fk : ~ f k  X   f k , k  1,2,..., K . После выбора основного критерия и установления нижних границ для остальных критериев решается задача однокритериальной оптимизации: f1  X   max при условиях ~  f k  X   f k , k  1,2,..., K .  X  D  Этот способ наиболее употребителен в инженерной практике. Пример 4. Методом главного критерия решить задачу из примера 3. ~ ~ Назначим значения контрольных показателей: f1  0,4 , f 2  0,4 , и пусть первый критерий выбран в качестве основного. Тогда получим задачу с одним критерием: z1  x1  max при условиях 12  x1  2 x2  2  .  x2  0,4  x  0, x  0 2  1 Из рисунка 4, а ясно, что оптимальным решением является X *  1,2; 0,4 , z max  1,2 . Отметим, что решение, полученное этим методом может не быть эффективным. 13