Математическая модель и ее основные элементы. Экзогенные и эндогенные переменные ,параметры. Виды зависимостей экономических переменных и их описание. Уравнения, тождества,неравенства и их системы

Лекция 2. Математическая модель и ее основные элементы. Экзогенные и эндогенные переменные, параметры. Виды зависимостей экономических переменных и их описание. Уравнения, тождества, неравенства и их системы Построение проблемных моделей экономической среды непосредственно связано с «обработкой» экономически ориентированных методов управления. Наиболее распространенными методами моделирования в экономической сфере являются разработка, анализ и исследование модели проблемной ситуации, модели нововведений, эвристической модели, специальной математической модели, программно-целевое управление и др. Содержание моделей – это спецификация приемов и способов воздействия. Прежде чем использовать модель в процессе исследований, необходимо проверить, отвечает ли она предъявляемым требованиям. К модели предъявляются следующие требования. 1. Она должна удовлетворять требованиям полноты, адаптивности, обеспечивать возможность достаточно широких изменений. Это нужно для последовательного приближения к моделям, удовлетворяющим требованиям точности воспроизведения объекта. Полнота модели должна рассматриваться с различных точек зрения. Функциональная полнота модели должна позволять реализовывать те функции, которые присущи объекту. Кроме того, модель должна быть достаточно полной для обеспечения рассмотрения достаточно большого числа вариантов и требуемой точности исследования. 2. Модель должна быть достаточно абстрактной, чтобы допускать варьирование большим числом переменных. Но в стремлении к абстрактности важно, чтобы не был утерян физический смысл и возможность оценки полученных результатов. 3. Модель должна удовлетворять требованиям и условиям, ограничивающим время решения задачи. При исследовании в реальном масштабе времени допустимое время решения определяется ритмом функционирования объекта при нештатных ситуациях. Для достижения опережения или синхронности с процессами внутри объекта решают задачу снижения затрат машинного времени. 4. Модель должна ориентироваться на реализацию с помощью существующих технических средств, т. е. должна быть физически осуществима на данном уровне развития техники с учетом ограничения конкретного предприятия, выполняющего прогнозирование. 5. Модель должна обеспечивать получение полезной информации об объекте в плане поставленной задачи исследования. В связи с тем что в большинстве случаев экономико-математические модели строятся с целью оптимизации моделируемых процессов, это требование можно понимать как требование оптимизации модели. Информация, полученная с помощью модели, должна обеспечить расчет значений и позволить определить шаги поиска ее экстремального значения. В качестве непременных требований к исследовательским моделям могут выступать требования обеспечить заданные достоверность, точность результата при минимальных затратах на его разработку. 6. Модель (по возможности) должна строиться с использованием общепринятой терминологии. 7. Модель должна предусматривать реальность проверки истинности соответствия ее оригиналу, т. е. обеспечивать проверку адекватности или верификацию. 8. Модель должна обладать свойством робастности – устойчивости по отношению к ошибкам в исходных данных. В противном случае может иметь место использование результатов исследования при относительно небольших изменениях исходных данных. Это требование особенно важно в условиях относительно низкой точности исходных данных. 2 При использовании метода моделирования свойства и поведение объекта изучают путем применения вспомогательной системы – модели, находящейся в определенном соответствии с исследуемым объектом. Под объектом исследования понимается либо некоторая система, элементы которой в процессе достижения конечной цели реализуют один или несколько процессов, либо некоторый процесс, реализуемый элементами одной или нескольких систем. В связи с этим в дальнейшем тексте термины «модель объекта», «модель системы», «модель процесса» следует воспринимать как эквивалентные. Уточним и детализируем классификацию моделей. Форма (язык) представления модели. По форме представления модели делят на физические, символические и смешанные. Физические модели подразделяются на модели подобия и аналоговые. Модели подобия характеризуются некоторыми масштабными изменениями, выбираемыми в соответствии с критериями подобия (например, глобус – модель земного шара). Природа процесса, его физическая сущность одинаковы как для модели, так и для исследуемого оригинала. Аналоговые модели основаны на известных аналогиях. Символические модели характерны тем, что параметры реального объекта и отношения между ними представлены символами семантическими (словами), математическими, логическими. Класс символических моделей весьма широк. Наряду со словесными описаниями функционирования объектов – сценариями – сюда также относятся схематические модели чертежи, графики и блок-схемы, логические блок-схемы (например, алгоритмы программ) и таблицы решений, кривые, таблицы и номограммы, а также математические описания – математические модели. Среди смешанных моделей особое значение в экономической практике имеют человекомашинные модели (программа, реализующая на ЭВМ 3 некоторую математическую модель, плюс человек, принимающий решение за счет обмена информацией с моделью). Форма модели определяет и метод работы с ней. При исследовании различного рода объектов применяются три вида моделирования: – физическое, когда модель воспроизводит изучаемый процесс (оригинал) с сохранением его физической природы (продувка модели самолета в аэродинамической трубе); – аналоговое, основанное на известных аналогиях между протеканием механических, тепловых, электрических, ядерных и других динамических процессов (изучение свойств колебаний пружинного маятника на модели электрического колебательного контура представляет собой аналоговое моделирование с использованием принципов прямой аналогии); – математическое, в основе которого лежит исследование математического описания (математической модели) изучаемого объекта. Целевое назначение модели. По целевому назначению модели подразделяются на модели структуры, функционирования и стоимостные (модели расхода ресурсов). Модели структуры отображают связи между компонентами объекта и внешней средой и подразделяются: – на каноническую, характеризующую взаимодействие объекта с окружением через входы и выходы; – модель внутренней структуры, характеризующую состав компонентов объекта и связи между ними; – модель иерархической структуры (дерево системы), в которой объект (целое) расчленяется на элементы более низкого уровня, действия которых подчинены интересам целого. Модели структуры обычно представлены в виде блок-схемы, реже графов и матриц связей. 4 Модели функционирования включают широкий спектр символических моделей, например: – модель существования жизненного системы цикла от системы, зарождения описывающая замысла ее процессы создания до прекращения функционирования; – модели операций, выполняемых объектом и представляющих описание взаимосвязанной совокупности процессов функционирования отдельных элементов объекта при реализации тех или иных функций объекта. Так, в состав моделей операций могут входить модели надежности, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием эксплуатационных факторов, и модели живучести, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием целенаправленного воздействия внешней среды; – информационные модели, отображающие во взаимосвязи источники и потребителей информации, виды информации, характер ее преобразования, а также временные и количественные характеристики данных; – процедурные модели, описывающие порядок взаимодействия элементов исследуемого объекта при выполнении различных операций, например, обработки материалов, деятельности персонала, использования информации, в том числе и реализации процедур принятия управленческих решений; – временные модели, описывающие процедуру функционирования объекта во времени и распределение ресурса «время» по отдельным компонентам объекта. Стоимостные модели, как правило, сопровождают модели функционирования объекта и по отношению к ним вторичны, «питаются» от них информацией и совместно с ними позволяют проводить комплексную технико-экономическую оценку объекта или его оптимизацию по экономическим критериям. При анализе и оптимизации производственно-экономических объектов проводится объединение построенных математических функциональных 5 моделей с математическими стоимостными моделями в единую экономикоматематическую модель. Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулы, уравнения, неравенства, логические условия) величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл. По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис. 1). При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называются переменными, которые, в свою очередь, подразделяются на переменные состояния и переменные управления. Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды. Характеристиками (выходными характеристиками) называются интересующие исследователя непосредственные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирования объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называются начальными условиями. 6 Рис. 1. Классификация факторов по их роли в ЭММ При рассмотрении ЭММ оперируют следующими понятиями: «критерий оптимальности», «целевая функция», «система ограничений», «уравнения связи», «решение модели». Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции. В ряде случаев в качестве критерия оптимальности может выступать одна из выходных характеристик объекта. Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, и ее значение определяется значениями этих величин. Содержательный смысл целевой функции придает только критерий оптимальности. Общие принципы системного экономико-математического моделирования вытекают из общих принципов системного анализа, т. е. они должны являться ответами на следующие вопросы: 1) что должно быть сделано; 2) когда должно быть сделано. 3) при помощи кого должно быть сделано; 7 4) на основе какой информации осуществляется действие; 5) какой результат должен быть получен в результате действий? Поэтому в качестве общих принципов системного экономико-математического моделирования целесообразно принять принципы: 1) достаточности используемой информации; 2) инвариантности используемой информации; 3) преемственности моделей; 4) эффективной реализуемости комплекса экономико-математических моделей. Принцип достаточности используемой информации означает, что в каждой частной модели должна использоваться только та информация, которая известна с требуемой для результатов моделирования точностью. Под известной информацией понимаются нормативные, справочные и прочие данные о реальной производственной системе, имеющиеся к моменту моделирования, точность которых можно оценить. В связи с последовательной разработкой комплекса моделей, характеризующей сложный объект, к моменту решения некоторой задачи, формализуемой частной моделью, вся информация о моделируемой системе может быть еще не известна. Однако это не мешает использованию частной модели, если она построена с соблюдением принципа достаточности. Кроме того, выполнение принципа достаточности дает возможность переходить от общих моделей к более подробным, постепенно уточняя и конкретизируя результаты. Принцип инвариантности информации требует, чтобы используемая в модели входная информация была независима от параметров моделируемой системы, которые еще не известны на данной стадии исследования. Использование этого принципа позволяет избежать при построении экономикоматематических моделей нередко встречающегося замкнутого круга, когда в модели используется информация, которая может быть известна лишь по результатам моделирования. 8 Применение принципов достаточности и инвариантности приводит к формированию иерархии экономико-математических моделей для сложного объекта, позволяет строго определить входные параметры уравнения связи и целевые функции, формализующие критерии оптимальности и ограничения для каждой частной модели. Суть принципа приемлемости сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях комплекса. Следовательно, выбор критериев и модели должен в первую очередь базироваться на принципе преемственности при условии, что обеспечивается выполнение принципов достаточности и инвариантности используемой информации. Если же последующая модель не является преемственной предыдущим (а это часто бывает из-за использования при ее построении новой, дополнительной информации), то ранее построенные модели должны быть скорректированы для обеспечения принципа преемственности. Весьма предлагаемого важным с комплекса точки зрения практического экономико-математических использования моделей является принцип эффективной реализуемости. Выполнение этого принципа требует обеспечения соответствия точности исходных данных, точности решения задачи и той точности результирующей информации, которая достаточна для практических целей. Цель исследования определяет цель построения модели. Модели могут строиться для следующих целей. 1. Выявление функциональных соотношений – определение количественных зависимостей между входными факторами модели выходными характеристиками исследуемого объекта по своему характеру являются , и . Подобного рода модели описательными, задача выявления функциональных соотношений присутствует при построении математических моделей любых типов. Разновидностью данного типа исследования является 9 задача измерения неявных свойств объекта (выделения латентных переменных), при решении которой (например, с помощью математического аппарата факторного анализа) выражают большое число исходных косвенных факторов через меньшее число более емких внутренних характеристик явления, не имеющих непосредственного количественного выражения. 2. Анализ чувствительности – установление из большого числа действующих факторов тех, которые в большей степени влияют на интересующие исследователя выходные характеристики. Модели анализа чувствительности должны обязательно предусматривать возможность варьирования интересующими исследователя характеристиками внешней среды, начальными условиями, переменными управления. Помимо основной математической модели – системы функциональных соотношений – они могут включать модели входов, обеспечивающие целенаправленную вариацию входных факторов, и модель выхода, проводящую обработку результатов вычислений и дающую итоговую информацию о степени чувствительности модели к тому или иному фактору. Модели анализа чувствительности могут быть использованы для оценки точности решений, получаемых по моделям любых типов. 3. Прогноз – оценка поведения объекта при некотором предполагаемом сочетании внешних динамическими условий. относительно Обычно входов, задачи и в прогноза качестве являются независимой (неуправляемой) переменной в них выступает время. Модели прогноза также являются описательными. Основная система функциональных соотношений в зависимости от специфики задачи может быть функцией времени (но может и не быть). Функцией времени, как правило, являются характеристики внешней среды, а также в ряде случаев параметры объекта. Для реализации моделей прогноза необходимо построение динамических моделей входов, отражающих характер изменения указанных факторов во времени. 10 4. Оценка – определение, насколько хорошо исследуемый объект будет соответствовать некоторым критериям. В отличие от рассмотренных выше типов моделей модели оценки включают расчеты интересующих исследователя интегральных характеристик – критериев, формализующих цели исследования. Модели оценки занимают промежуточное положение между описательными и оптимизационными моделями – в них заданы критерий и его некоторое «критическое» значение, но проводится не оптимизация, а лишь сравнение расчетного значения с «критическим», после чего принимается решение об удовлетворении характеристик объекта предъявленным требованиям. В практических расчетах точностные требования к моделям данного типа повышенные. 5. Сравнение – сопоставление ограниченного числа альтернативных вариантов систем или же сопоставление нескольких предлагаемых принципов или методов действия. Задача сравнения предусматривает оценку каждого варианта по одному или нескольким критериям и дальнейший выбор наилучшего. Число вариантов предполагается незначительным, в связи с чем оцениваются все варианты (прямой перебор). Хотя модели этого типа близки к оптимизационным, специальный блок оптимизации в них отсутствует. 6. Оптимизация – точное определение такого сочетания переменных управления, при котором обеспечивается экстремальное (максимальное или минимальное в зависимости от смысла критерия оптимальности) значение целевой функции. Главное отличие от вышерассмотренного случая – наличие специального блока оптимизации, позволяющего целенаправленно и наиболее эффективно с вычислительной точки зрения просматривать множество альтернативных вариантов, число которых нередко близко к бесконечности. Назначение модели определяет процесс ее конструирования и экспериментальной проверки. Так, для оценки действительных характеристик объекта в общем требуется большая точность, чем при выборе одного варианта 11 из нескольких. С другой стороны, грубая модель сравнения может быть пригодна, если в пределах расчетной точности она выделит лучший вариант, даже если эта точность и невелика. При анализе факторов целесообразно, кроме классификации по типам, классифицировать их по следующим признакам. 1. По возможности количественного описания – количественные, порядковые, классификационные. 2. По степени определенности: – детерминированными называются факторы, значения которых для исследуемого процесса фиксированы и известны исследователю; – случайными (стохастическими) факторами называются такие, для которых известен вид закона распределения и его характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия и т. д.), хотя каждая конкретная реализация такого фактора в исследуемом процессе не известна; – неопределенными называются факторы, для которых известна только область распределения фактора – диапазон его возможных значений. Если известно, что фактор случаен, но не известен точно закон его распределения, то он также относится к неопределенным. Построение прогнозной модели. Прогнозная модель – это модель явления, которое будет иметь место в будущем. Ее исследование позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта в перспективе или путях достижения этих состояний. Модель прогнозируемого явления (объекта) представляет собой синтез материальных или идеальных (выраженных в знаках) элементов или их комбинацию, находящуюся в отношении подобия к объекту исследования и воспроизводящую структурно-функциональные, причинно-следственные и генетические связи между его элементами (рис. 2). 12 Рис. 2. Прогнозное моделирование по достижению цели Сложность разработки прогнозной модели, в отличие от модели соответствующей явлению, существующему в настоящее время, заключается в необходимости учета всех возможных изменений, которые могут произойти с объектом прогнозирования в будущем, предусмотреть действия различных 13 факторов (внешних и внутренних), способных кардинально изменить его развитие и функционирование. Классификация прогнозных моделей 1. В зависимости от природы прогнозируемого явления: – предметные (вещественные); – физические (прогноз физического процесса); – экономические; – демографические; – политические; – социологические; – информационные и т. д. 2. В зависимости от степени сложности: – простые (модели простых явлений, характеризующихся одной переменной); – сложные (модели сложных явлений, описываемых с помощью 2–10 переменных. Пример: модели уровня политической культуры, производительности труда); – сверхсложные (модели явлений, описываемых с помощью очень большого числа переменных Пример: модели перспектив развития духовной культуры, города, отрасли, общества в целом и т. д.). 3. В зависимости от используемого языка описания явления: – словесные – применяются чаще на ранних этапах разработки модели, в ходе экспертных оценок, составления сценариев и т. д.; – графические – в виде полигонов распределения, гистограмм, номограмм, в виде графов, используемых в основном в нормативном прогнозировании и т. д. Могут применяться в качестве дополнений, иллюстраций к другим способам задания моделей; – блок-схемы, матрицы решений используются на промежуточном этапе создания модели – между ее словесным и математическим описанием; 14 – математические – в виде формул, математических выражений, в том числе имеющих форму системы уравнений. К этому же виду относится алгоритмическое описание; – программное описание – пригодное для ввода в вычислительную машину. Оно может представляться как в кодах машины, так и в одном из алгоритмических языков; – игровые модели. Например, военные учения, позволяющие делать выводы о развитии военных действий в условиях, совпадающих с моделируемыми. 4. В зависимости от используемого методического аппарата при моделировании: аналоговые, экстраполяционные, экспертные и т. д. Существующие модели взаимосвязаны. При построении модели какоголибо явления возможно использование на разных этапах моделирования сразу нескольких видов: вначале строится описательная модель, затем – графическая, далее – математическая. Разработка прогнозных моделей социальных явлений – дело более сложное, чем разработка моделей явлений природных или технических. В частности, значительные трудности возникают при построении математических моделей социальных объектов в том случае, когда существует необходимость параметры выразить в прогнозируемого количественной социального форме, измерить объекта, которые какие-то не всегда поддаются измерению в силу того, что имеют качественную природу (потребности, мнения, настроения, знания людей), измерить существующие взаимосвязи между явлениями или между элементами одного социального объекта. Трудности социального моделирования порождаются особенностями социальных явлений: не только необходимостью квалификации качественных признаков, но и их многофакторностью, историчностью, действием субъективного фактора. 15 При построении модели прогнозного явления исследователю необходимо учесть массу факторов, влияющих на ход развития прогнозируемого явления, ответить на множество вопросов. Haпример, при проведении маркетингового исследования, в частности, при разработке модели возможного спроса на определенные виды продукции, прогнозист должен дать ответы на следующие вопросы: – какова емкость рынка в физическом и денежном выражении; – какова доля фирмы на рынке; – какова тенденция рынка (рост, спад); – каково среднее потребление на душу населения, семью, клиента; – каков средний срок службы товара; – имеют ли продажи сезонный характер; – каковы товары-заменители, выполняющие ту же функцию; – какие нововведения могут изменить отношение к товару? и т. д. С учетом сложности и значительной изменчивости социальных явлений строится, как правило, не одна перспективная модель, а несколько. В каждой модели учитывается доминирующее воздействие каких-либо факторов на исследуемое явление или процесс. Каждая модель представляет собой один из вариантов будущего развития социального объекта. Прогнозист на основе анализа каждого выбирает из них наиболее оптимальный. Таким образом, прогнозное моделирование выполняет одну из важнейших функций управления: поиск оптимальных средств управления каким-либо явлением. Построение прогнозных моделей социальных явлений – не только дело сложное, но и дорогостоящее (особенно если прогнозируемое явление представляет собой сложную систему, характеризующуюся сотнями, а то и тысячами переменных), требующее иногда значительных временных затрат. По данным американских специалистов, на разработку моделей крупномасштабных социально-экономических и военно-политических 16 процессов требуется порой до 5–6 лет и в стоимостном выражении – от нескольких десятков тысяч до нескольких миллионов долларов. Однако, несмотря на имеющиеся трудности, как в нашей стране, так и за рубежом уже накоплен значительный опыт по разработке моделей социальных процессов. Это модели будущего таких явлений и процессов, как социальная мобильность, изменения социальной структуры общества, воспроизводства, образования населения, рождаемости, смертности, миграционного движения, ряда социально-политических процессов и т. д. В условиях нашей страны интерес представляет разработка прогнозных моделей таких социальных явлений, как уровень жизни пенсионеров в ближайшие годы, положение детей в неблагополучных семьях, положение женщин и молодежи, состояние здоровья населения, моделирование духовнонравственного поведения людей в России в условиях дальнейшего развития рыночных отношений и т. д. Наиболее полно познавательные возможности социального моделирования проявляются при рассмотрении его как метода системного исследования. Системный подход – необходимое условие построения факторных моделей прогнозируемых социальных явлений. Факторные модели применяются при прогнозировании сложных социальных явлений, описываемых с помощью большого числа переменных. В основе построения факторной модели лежит факторный анализ. Факторный анализ – метод многомерной математической статистики, применяемый обычно для измерения взаимосвязей между признаками социальных объектов и классификации признаков с учетом этих взаимосвязей. В факторном анализе на основе парных корреляций между переменными получают набор новых, укрупненных признаков. Их и называют факторами. Появление факторного анализа в начале нынешнего века связывают с именами психологов Т. Спирмана, С. Барту, Л. Терстоуна и др. Первоначально цель факторного анализа состояла в построении математических моделей 17 способностей и поведения человека. В основу закладывались результаты различных тестов, а на выходе формировались некоторые обобщенные показатели – факторы. В настоящее время факторный анализ получил широкое применение при прогнозировании различного рода социальных процессов, используется в социологии, экономике и других науках. Возможности факторного анализа. Факторный анализ позволяет: а) определить признаки (переменные), играющие существенную роль в развитии явления, значимые для моделируемого явления. Их обнаружение основывается на применении методов корреляционного анализа, на расчетах коэффициентов парной корреляции; б) выявить взаимосвязи между самими признаками (переменными), между признаками, играющими роль причины и следствия, между результирующими и оказывающими влияние на результирующие, входными и выходными; в) осуществить на основе выявленных взаимосвязей группировку признаков (переменных) с учетом их родства, общности отнесения в ту или иную группу с учетом единого критерия – группировочного признака; выделить более укрупненные признаки, т. е. факторы. Вне зависимости от вида прогнозной модели ее построение должно отвечать следующим требованиям. 1. Обоснованность, надежность избранного инструментария сбора прогнозной информации, его соответствие целям, задачам и существующим техническим возможностям разработки прогнозной модели. 2. Достаточность, полнота информации о прогнозируемом явлении, позволяющая адекватно отражать его основные параметры, выявить существующие тенденции в его развитии. 18 3. Точность выбора формализованных методов описания и анализа прогнозной информации, их способность учитывать в модели гипотетические изменения исследуемого явления на весь период упреждения. Анализ отечественной и зарубежной практики моделирования позволяет сделать вывод, что оно способствует пониманию любой сложной системы. Но это не означает его универсальности: моделирование не будет успешным без высокого профессионализма исследователя, без опоры на достижения других наук и экспертные оценки. Моделирование как область научного познания может быть распространено на объектно-предметное, функциональное содержание событий реального мира. В науке мир моделей – это наиболее оптимальный способ, метод его познания и вместе с тем постоянного совершенствования. С этой целью предлагаются более совершенные новые модели. 19