Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия

5.4. Малые колебания ограниченного стержня при наличии начальных отклонения и скорости, когда на обоих концах заданы усилия Математическая формулировка такой задачи представляет вторую начально-краевую задачу для волнового уравнения с неоднородными начально-краевыми условиями: (5.4.1) (5.4.2) (5.4.3) (5.4.4) (5.4.5) Для решения такой задачи с граничными условиями второго рода на обоих концах стержня используем метод, аналогичный методу для решения подобной задачи для уравнения параболического типа, приведенный в разделе 4.4.2. Для этого продифференцируем по переменной уравнение (5.4.1) и начальные условия (5.4.2), (5.4.3), сделав обозначение (5.4.6) и полагая независимость смешанных производных от порядка дифференцирования, из (5.4.1)–(5.4.5) получим задачу (5.4.7) (5.4.8) (5.4.9) (5.4.10) (5.4.11) Решение первой начально-краевой задачи (5.4.7)–(5.4.11) аналогично решению задачи (5.3.1)–(5.3.5) без возмущающей силы Для решения задачи (5.4.7)–(5.4.11) применим редукцию (5.4.12) подставляя которую в задачу (5.4.7)–(5.4.11), получим систему из которой выделяется задача для (подчеркнута) (5.4.13) (5.4.14) (5.4.15) (5.4.16) (5.4.17) и задача для (остальные члены) (5.4.18) (5.4.19) (5.4.20) Решением задачи (5.4.18)–(5.4.20) будет функция (см. (5.3.71)) (5.4.21) С ее помощью доопределим задачу (5.4.13)–(5.4.17) (5.4.22) (5.4.23) (5.4.24) (5.4.25) (5.4.26) где Задача (5.4.22)–(5.4.26) упрощается редукцией (5.4.27) Подстановка (5.4.27) в (5.4.22)–(5.4.26), приводит к системе откуда формируется задача для функции (подчеркнута) (5.4.28) (5.4.29) (5.4.30) (5.4.31) (5.4.32) и задача для функции (остальные члены) (5.4.33) (5.4.34) (5.4.35) (5.4.36) (5.4.37) Задача (5.4.28)–(5.4.32) для совпадает с задачей (5.3.6)–(5.3.10) и следовательно ее решением будет функция, аналогичная (5.3.27) (5.4.38) Задача (5.4.33)–(5.4.37) для функции совпадает с задачей (5.3.28)–(5.3.32) и следовательно ее решением будет функция, аналогичная (5.3.43) (5.4.39) Таким образом, в соответствии с редукциями (5.4.12), (5.4.27), решением задачи (5.4.7)–(5.4.11) будет сумма функций (5.4.21), (5.4.38) и (5.4.39) (5.4.40) где Решение исходной задачи (5.4.1)–(5.4.5) получим подстановкой (5.4.40) в (5.4.6) с последующим интегрированием по переменной В результате получим Для вычисления в (5.4.41) произвольной функции определяется среднее значение на отрезке функции двумя способами: путем интегрирования функции (5.4.41) по переменной в пределах от до и дальнейшего деления, полученного выражения на с одной стороны, и двойного интегрирования исходного дифференциального уравнения (5.4.1) по переменным и – с другой. Интеграл от (5.4.41) с последующим делением на равен : (5.4.42) Интеграл от (5.4.1) по переменной в пределах от до равен отсюда (5.4.43) Интегрируя (5.4.43) по времени и меняя в левой части порядок интегрирования, получим Интегрируем последнее равенство еще один раз по времени от до находим (5.4.44) Отсюда (5.4.45) Приравнивая (5.4.42) и (5.4.45), находим (5.4.46) Осталось (5.4.46) подставить в (5.4.41) (5.4.47) где