Магнитный момент орбитального движения электрического заряда. Спин и магнитный момент электрона

Лекция 17 марта 2020 25. Магнитный момент орбитального движения электрического заряда. Спин и магнитный момент электрона Нильс Бор, придумав свою «планетарную» модель атома водорода, вообще говоря, ошибся, потому что существуют состояния, в которых электрон может не падать на ядро, не вращаясь вокруг него и, стало быть, имея нулевой момент импульса: L ≡ h l (l + 1) = 0 , если l = 0 . Но в состояниях с l ≠ 0 электрон имеет орбитальное вращение и, если ввести скорость вращения v и радиус вращения r , то будем иметь ev импульс p = mv , момент импульса L = mvr , кольцевой электрический ток, i = , 2πr evr магнитный момент Pm = iS = iπr 2 = , ибо этот ток охватывает площадь S = πr 2 . 2 L 2m = Видно, что гиромагнитное отношение не зависит от использованных v, r , если Pm e масса и заряд вращаются по орбите одного и того же радиуса. Квантование момента импульса, L = h l (l + 1) , вызывает квантование магнитного eL eh момента Pm = = l (l + 1) = µ B l (l + 1) , 2m 2m  Кл ⋅ м 2  eh где магнетон Бора = µ B = 0,9 ⋅ 10 − 23  . сек 2m   Квантуются также проекции на выделенное направление (обычно направление вдоль оси z выделяют с помощью магнитного поля или просто мысленно) L z = hm, Pm z = µ B m, m = 0, 1,..., l , m - «магнитное» (третье) квантовое число для атома. Оказалось, однако, что электрон, кроме момента импульса L , который он может иметь за счет орбитального движения, всегда имеет внутренний момент импульса. Этот внутренний момент импульса называется спин s . Можно представлять себе спин как вращение электрона вокруг собственной оси, однако есть серьезные возражения против такого представления (например: “The current density in Dirac’s theory can be split into a convective part and a polarization part. The polarization part is determined by the spin distribution of the electron field. It should lead to no energy flux in the rest system of the electron because the genuine spin ‘motion’ take place only within a region of the order of the Compton wavelength of the electron”). Тем не менее, в пользу концепции вращения электрона как электрического заряда говорит то, что он имеет магнитный момент. Величина s спинового момента импульса s определяется той же формулой, которой определяется квантовое значение величины любого момента импульса, например 1 орбитального момента импульса, L = h l (l + 1) , но с заменой l → : 2 1 1 h s = h ( + 1) = 3. 2 2 2 Проекция спина на выделенное направление не может быть рана нулю. Она равна h h s z = , либо s z = − . 2 2 Спиновый магнитный момент Pm s и, соответственно, проекция его на выделенное направление оказались вдвое больше того, что диктуется гиромагнитным отношением для орбитального движения. Гиромагнитное отношение для спина не содержит двойки: s m es eh = . Поэтому Pm s = = 3 = µ B 3 . Pm s z = µ B Pm s e m 2m Этот двойной магнитный момент спина можно объяснить, игнорируя возражения против движения внутри электрона, тем, что радиус вращения заряда больше, чем средний радиус вращения массы электрона. Это правдоподобно, потому что заряд всегда вылезает на поверхность. Фотоны также обладают спином, хотя трудно представить, что там вращается внутри фотона! Спиновый момент импульса фотона проявляется через проекцию на выделенное направление, причем таким направлением служит не какое-то магнитное поле, а направление полета фотона, то есть направление его импульса. Величина проекции равна h , то есть вдвое больше, чем у электрона. Если спины всех фотонов направлены в одну сторону, то свет имеет круговую поляризацию. [Фейнмановские лекции, Гл. 15, §4] Подробнее см. Мартыненко et al., стр. 65, 70. https://mai.ru/upload/iblock/de4/de4c11956ba70b3d33bd92c4a2f049c9.pdf 26. Эффект Зеемана Очевидно, что магнитная стрелка компаса поворачивается вдоль магнитного поля. Это происходит, потому что это энергетически выгодно: энергия магнитного момента Pm в магнитном поле B определяется формулой U = −(Pm B) (тут скалярное произведение). Поэтому энергия атомов или молекул, помещенных в магнитное, поле зависит от направления вращения электронов и направления спинов. Это означает, их уровни энергии расщепляются при появлении магнитного поля. Соответственно, расщепляются спектральные линии излучения. Это расщепление и называется эффектом Зеемана. Рассмотрим детали на примере атома с двумя валентными электронами, спины которых направлены противоположно и поэтому выпадают из рассмотрения. Пусть возбужден только один электрон до состояния с l = 1 и энергией E , так что момент импульса атома и магнитный момент атома равны, соответственно, L = h 3 , Pm = µ B 3 . Пусть при снятии возбуждения атом излучает фотон hω = E . Однако при наличии магнитного поля B вдоль оси z оказываются существенными проекции этих моментов на ось z. А они могут принимать по три значения: L z = h, 0, − h, Pm z = µ B , 0, − µ B . Соответственно, энергия возбужденного атома может принимать три значения: E + Bµ B , E , E − Bµ B , и при снятии возбуждения атом излучает три спектральные линии: ω + Bµ B / h, ω, ω − Bµ B / h . Этот простейший вариант эффекта Зеемана называется нормальный эффект. Аномальный эффект, который может заинтересовать отличников, хорошо описан в Курсе И.В. Савельева. Проследим за сохранением момента импульса при этом излучении. Начальные моменты импульса атомов, которые имеют в качестве проекций на z значения Lz = h, 0, − h , уносятся фотонами по всяким направления. При этом с направлением, параллельным магнитному полю, проблем не возникает. Момент импульса Lz = h уносят фотоны света правой круговой поляризации с частотой ω + Bµ B / h , момент импульса L z = −h уносят фотоны света левой круговой поляризации с частотой ω − Bµ B / h . Атомы с нулевой проекцией момента импульса на z, L z = 0 , и энергией E не могут излучить фотон, потому что фотон, летящий в z-направлении, обязательно должен нести спиновый момент импульса h вдоль оси z, а такого момента импульса нет у исходного атома. И, действительно, излучение частоты ω отсутствует вдоль магнитного поля. Однако в направлении поперек магнитного поля фотоны умудряются переносить момент импульса, имеющий все три проекции, Lz = h, 0, − h . Хотя каждый такой фотон несет спин, точно направленный вдоль направления излучения, свойственные им круговые поляризации интерферируют так, что получается линейная поляризация излучения. Но как выполняется закон сохранения момента импульса в отношении отдельного фотона, остается неясно. Лекция 24 марта 2020 27. Тонкая структура спектров излучения атомов как следствие спин-орбитальному взаимодействия Без внешнего магнитного поля, приводившего к эффекту Зеемана в предыдущей лекции, спиновый магнитный момент электрона в атоме Pm s реагирует на магнитное поле, которое он сам и другие электроны создают в атоме, когда они вращается вокруг ядра. Обозначим через B приблизительное значение этого поля, и рассмотрим простейший случай: возбужденный атом водорода при n = 2, l = 1 . Тогда, при направлении спинового магнитного момента вдоль B , энергия состояния атома будет E 2 + Bµ B , поскольку в этом случае усиливается суммарное магнитное поле и увеличивается его энергия, а при направлении спинового магнитного момента против B , она будет E 2 − Bµ B , где E2 = −13,6 / 4 [eV] есть энергия второго квантового состояния атома, µ B есть спиновый магнитный момент электрона, равный магнетону Бора. Надо заметить, эта ситуация отличается от случая когда магнитный момент находится во внешнем поле. Тогда энергия магнитного поля уменьшается при согласованном направлении B и Pm . Если орбитальный L и спиновый S моменты импульса электрона направлены согласованно, возникает состояние, в котором величина J суммарного момента импульса J определяется по формуле стандартного вида J = h j ( j + 1) при j = 3 / 2 . Это состояние при n = 2, l = 1 обозначается 2 2 P3 / 2 . При встречном направлении L и S мы имеем j = 1 / 2 , и состояние обозначается 2 2 P1 / 2 . Как видно, разница энергий этих состояний равна ∆E = 2 Bµ B . Такова же разница между энергиями квантов, излучаемых при переходе в нормальное состояние 1 1 S1 / 2 из состояний 2 2 P3 / 2 и 2 2 P1 / 2 . Я нашел в интернете значение: ∆E = 4,5 ⋅ 10 −5 [eV] . Сравнивая с энергией кванта головной линии Лаймана E 2→1 = 13,6 ⋅ 3 / 4 [eV] , видим, что относительное расщепление спектральной линии излучения атома водорода благодаря спин-орбитальному взаимодействию имеет порядок 4 ⋅ 10 −6 . Это расщепление называется «тонкая структура спектральной линии» Мы проверим теперь формулу ∆E = 2 Bµ B . Для оценки внутриатомного магнитного поля B найдем связь между этой величиной В и магнитным моментом Pm орбитального движения электрона, который квантуется известной величиной 3µ B . Вспомним, что ток, протекающий по кольцу радиуса r , создает в центре B = iµ 0 / 2r . Тот же ток обладает магнитным моментом Pm = iπr 2 , потому что πr 2 есть охваченная током площадь. Исключая ток из двух последних формул, получим B = µ 0 Pm /(2πr 3 ) и далее ∆E = 2 Bµ B = µ 0 Pm µ B /(πr 3 ) . Подставляя в качестве r радиус второй боровской орбиты, который вчетверо больше боровского радиуса, r = 4rB = 4 ⋅ 0,53 ⋅ 10 −10 [м] , а также Pm = 3µ B , получим ∆E = 6,2 ⋅ 10 −24 [Дж ] = 4,1 ⋅ 10 −5 [eV] , что совсем неплохо, учитывая приблизительность наших оценок. 28. Опыт Штерна и Герлаха Ограничиваясь простейшим случаем, вообразим, что поток атомов водорода в нормальном состоянии пролетает через неоднородное магнитное поле В, направленное вдоль z, причем ∂B / ∂z > 0 . Опыт Штерна и Герлаха доказывает пространственное квантование момента импульса. Дело в том, что спиновый момент импульса, который только и есть у атома водорода в нормальном состоянии, проявляет себя только в виде проекции на выделенное в пространстве направление, в данном случае, на направление вдоль магнитного поля, вдоль z, и эта проекция может принимать только два значения: ± h / 2 . Соответственно, магнитный момент может принимать только два значения: ± µ B , а потому сила, действующая всегда на магнитный момент в неоднородном магнитном поле, в данном случае принимает два значения ± µ B ∂B / ∂z . Это приводит к расщеплению пучка на две части; в промежуточных направлениях атомы не летят. Направление спинов в каждой из частей определено. Замечательно, что если на пути, допустим, верхнего пучка, в котором спины всех атомов направлены в сторону z, поставить вторую установку Штерна и Герлаха, в которой магнитное поле направлено вдоль x, то атомы забудут, что их спин направлен по z, и проявят спин, направленный вдоль x или вдоль –x. Исходя из закона сохранения момента импульса, мы должны заключить, что вторая установка получает момент импульса L z = h / 2 и L x = mh / 2 при пролете каждого атома. 29. Спин протона и излучение водородной линии 21 см Обратимся снова к атому водорода в нормальном состоянии, который имеет спин s = h 3 / 2 и магнитный момент Pm s = µ B 3 за счет своего электрона. Но вспомним, что таким же спином обладает и протон, являющийся ядром атома. Поскольку протон имеет электрический заряд +е, он тоже обладает магнитным моментом Pm p , причем этот магнитный момент удовлетворяет спиновому гиромагнитному отношению, но с использованием массы протона .m p вместо массы электрона. Поэтому es eh eh = 3 = µ Я 3 , где µ Я = = 5 ⋅ 10 − 27 [Кл ⋅ м 2 / сек] есть ядерный магнетон, m p 2m p 2m p который меньше магнетона Бора во столько же раз, во сколько масса протона больше массы электрона. Взаимное расположение спинов ядра и электрона подвержено пространственному квантованию. Состояние с параллельными спинами дает j = 1 , при антипараллельных спинах имеем j = 0 . Магнитные моменты ядра и электрона взаимодействуют между собой. Энергия такого взаимодействия, то есть энергия созданного магнитного поля, зависит от взаимной ориентации магнитных моментов. При j = 1 магнитное поле более интенсивное и его энергия больше, чем при j = 0 . Разницу энергий можно попытаться оценить по формуле для спин-орбитального взаимодействия с заменой Pm → Pm p и с использованием боровского радиуса, вместо учетверенного боровского радиуса. Это дает заниженную величину энергии: ∆E = µ 0 Pm p µ B /(πrB3 ) = µ 0 3µ Я µ B /(πrB3 ) = 2,2 ⋅ 10 −25 [Дж ] . По квантовой механике получается Pm p = ∆E = 9,2 ⋅ 10 −25 [Дж ] , см. Фейнмановские лекции, т. 8, гл. 10 . Некорректность нашей формулы объясняется тем, что нет орбитального электронного тока в атоме в основном состоянии, и для связи магнитного поля с магнитным моментом следует использовать размеры электрона и ядра, а не атома. Так или иначе, это (сверхтонкое) расщепление основного состояния атома водорода создает возможность для излучения водородом квантов с энергией ∆E = 9,2 ⋅ 10 −25 [Дж ] , которым соответствует длина волны λ = 21 см. Наблюдая это излучение, приходящее из космоса, можно определять расположение сгущений атомарного водорода и их плотность, а измеряя сдвиг в частоте, вызываемый эффектом Доплера, можно выяснить скорость движение газа в Галактике. Лекция 31 марта 2020 30. Многоэлектронные атомы. Периодическая система элементов До сих пор мы имели дело с атомом водорода. Возможные состояния единственного электрона атома описываются квантовыми числами: n (энергия), l (момент импульса), m (проекция момента импульса на выделенное направление). Кроме того, состояние электрона еще зависит от спинового квантового числа s = ±1 / 2 (проекция спинового момента импульса на выделенное направление). Однако при нормальном состоянии атома электрон находится в низшем энергетическом состоянии. Теперь мы переходим к многоэлектронным атомам. И тут оказывается, что требование электрона предоставить ему индивидуальную ячейку фазового пространства размером h касается не только границ, которые воздвигает потенциальная энергия, но и присутствия других электронов. Результатом является принцип Паули: некоторое состояние может занимать только один электрон. В атоме гелия два электрона занимают низшее энергетическое состояние n = 1, l = 0, m = 0 , потому что они различаются направлением спина. Однако в атоме лития Li 3 даже в нормальном состоянии третий электрон вынужден занять второй энергетический уровень, соответствующий n = 2 . Как мы подсчитали, квантовое число n допускает n 2 комбинаций чисел l и m и, значит, допускает 2 n 2 комбинаций квантовых чисел l , m и s. Поэтому вторая строчка таблицы Менделеева от лития до неона содержит восемь элементов. Одиннадцатый электрон в атоме натрия Na 11 вынужден занять третий энергетический уровень n = 3 . Два верхних электрона магния Mg 12 занимают так называемые 3S состояния ( n = 3, l = 0, m = 0, s = ±1 / 2 ). При добавлении ещё шести электронов мы получаем аргон Ar18 . Эти шесть электронов занимают 3P состояния: n = 3, l = 1, m = ±1;0, s = ±1 / 2 . Но девятнадцатый электрон, приводящий к калию K 19 , оказывается не в одном из состояний 3D c n = 3, l = 2 , а в состоянии 4S, где n = 4, l = 0 . Дело здесь в следующем. Кулоновское поле ядра, заряд которого равен Ze , для внешнего электрона несколько экранировано внутренними электронами. Внешний электрон чувствует поле заряда ( Z − σ)e , где σ есть постоянная экранирования. Поэтому энергия 13,6( Z − σ) 2 eV. Однако, n2 будучи размазан в пространстве, внешний электрон проникает на внутреннюю территорию, где притяжение ядра менее экранировано. Это понижает его энергию. И такое проникновение и понижение энергии особенно значительно для невращающегося электрона, то есть при l = 0 . Понижение энергии принято учитывать поправкой α < 0 в знаменателе 13,6( Z − σ) 2 формулы: E n = − eV. α зависит от l . Например, для натрия Na 11 при l = 0; 1; 2 (n + α) 2 α = −1,35; − 0,87; − 0,01 . Вследствие этой поправки, энергия состояния n = 3, l = 2 оказывается выше, чем энергия состояния .n = 4, l = 0 , которое и занимает девятнадцатый электрон, создающий атом калия. внешнего электрона должна была бы выражаться формулой E n = − 31. Спектр рентгеновского излучения Рентгеновская трубка очень похожа на фотоэлемент. Электроны вылетают из катода и ускоряются притяжением к аноду. Разница в том, что электроны вылетают из-за нагрева катода, а не из-за облучения его. А также в том, что электроны, достигающие анод, вызывают не электрический ток, а коротковолновое электромагнитное излучение, вследствие (отрицательного) ускорения электронов, тормозящихся в аноде. Спектр этого излучения сплошной, потому что преобразование части энергии электронов в кванты излучения является случайным процессом. Однако максимальная энергия квантов равна энергии электронов, hν m = eu , где u есть напряжение на аноде. Это означает, что у рентгеновского излучения есть «фиолетовая» граница (в отличие от красной границы фотоэффекта). Однако некоторые электроны могут возбуждать не кванты излучения, а атомы материала катода, которые потом излучают характеризующие их спектральные линии. Решим задачу. Определить напряжение на рентгеновской трубке с никелевым анодом Ni 28 , если разность длин волн между границей спектра и спектральной линией перехода между состояниями n = 2, l = 1 и n = 1, l = 0 равна ∆λ = 84 пм. Считать, что можно пренебречь α -поправками, так как рассматриваются внутренние электроны, а постоянные экранирования на первом и втором уровне равны, соответственно, σ1 = 1 , σ 2 = 7,4 . hc Решаем. Энергия граничного кванта = eϕ . Разность энергий состояний по формуле λm  hc (28 − 7,4) 2  13,6( Z − σ) 2 2   . λ − λ m = 84 ⋅ 10 −12 м. En = − равна E 2→1 = = 13,6 (28 − 1) − 2 λ 4 n   Итак, рентгеновское излучение имеет непрерывный спектр тормозной части излучения, на который накладываются спектральные линии характеристической части излучения. 32 Волновая функция частицы в потенциальном ящике со стенками конечной высоты Если частица находится в ящике, значит, высота стенок U больше энергии частицы, U > E . Уравнение Шредингера для волновой функции частицы ψ(x) и его решение выглядят так: ∂ 2 ψ 2m + 2 Eψ = 0 и ψ = A1e ix 2 mE / h 2 ∂x h 2 ∂ ψ 2m Вне ящика (где x < − a или a < x ) + 2 ( E − U )ψ = 0 и ψ = A2 e m ix 2 m ( E −U ) / h 2 ∂x h Комплексный вид решения означает, что реальным решением является как вещественная, так и мнимая часть. Вспомнив удивительную формулу Эйлера e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , получим решение внутри ящика: ψ 1 ( x) = A1 cos( x 2mE / h ) . (Мы использовали вещественную часть комплексного решения, потому что наш ящик симметричный). Вне ящика, поскольку E − U < 0 , сразу получается реальное решение. Внутри ящика (где − a < x < a ) Рисунку 1 соответствует ψ 2 ( x) = A2 e x 2 m (U − E ) / h слева от ящика, и ψ 3 ( x) = A2 e − x 2 m (U − E ) / h справа от ящика. Однако при произвольной энергии E не удается подобрать амплитуды этих решений так, чтобы получилась общая гладкая волновая функция ψ( x) , представленная на рисунке 2. Чтобы найти правильное значение энергии E и правильное соотношение амплитуд A1 , A2 , требуют равенства функций ψ 1 , ψ 3 и их производных на границе x = a . Это называется «гладкая сшивка»: A1 cos(a 2mE / h) = A2 e − a 2 m (U − E ) / h − A1 ( 2mE / h ) sin(a 2mE / h ) = −( 2mU − E ) / h ) A2 e , − a 2 m (U − E ) / h Решение этой системы ур-ний дает отношение A1 / A2 и квантованное значение энергии E . Лекция 31 марта 2020 33. Молекулы. Квантование энергии и спектры В отличие от атомов, молекулы, поскольку они состоят из нескольких атомов, могут испытывать колебательное возбуждение и могут вращаться вокруг своей оси. Естественно, энергии колебательного и вращательного возбуждения квантованы. Колебательная (vibrational) энергия равна E vib = hω(v + 1 / 2) . Здесь ω частота колебаний, свойственная данной молекуле, а v = 0, 1, 2,... есть квантовое число, используемое здесь вместо обычного n . Вращательная (rotational) энергия квантуется, потому что квантуется момент импульса той же формулой, что и для атома L = h j ( j + 1) , где j = 0, 1, 2, K есть вращательное квантовое число. Поэтому E rot ≡ IL2 / 2 = Ih 2 j ( j + 1) / 2 , где I есть момент инерции молекулы. Как видно, в отличие от других видов энергии, вращательная энергия может равняться нулю. Молекула может не вращаться (но нулевая колебательная энергия hω / 2 у молекулы обязательно есть в силу соотношения неопределенностей) Колебательная энергия значительно меньше энергии возбуждения электронов молекулы E e . Поэтому изменение колебательной энергии связано с небольшими (инфракрасными) квантами. Изменение колебательной энергии, сопровождающее изменение состояния электрона, вызывает расщепление соответствующей спектральной линии; вместо линии возникает серия линий. Однако каждая линия такой серии ещё расщепляется из-за возможного изменения вращательной энергии, которая значительно меньше колебательной энергии. Говорят, что это последнее расщепление создает «полосу» вместо линии. В результате, вместо одной спектральной линии, соответствующей изменению состояния электрона, получается «серия полос» Возможны, конечно, переходы только между вращательными уровнями. В этом участвуют далекие инфракрасные кванты. При рассмотрении возможных переходов между электронно-колебательновращательными состояниями нужно учитывать, что участвующие в этом переходе электромагнитные кванты несут спиновый момент импульса h . Соответственно, должен изменяться момент импульса молекулы. Это порождает определенные правила отбора. 9 Квантованная энергия в потенциальном ящике с бесконечными стенками, в параболической яме и в атоме водорода Так называемое фазовое пространство не имеет отношения к каким-то фазам. Это шестимерное пространство состояний частицы является объединением обычного трехмерного пространства и трехмерного пространства импульсов. Основная идея квантовой механики заключается в том, что фазовое пространство не является континуумом, а состоит из ячеек размером примерно h 3 или h 3 : ∆x∆y∆z∆p x ∆p y ∆p z = h 3 . Изменение состояния частицы заключается в захвате новой ячейки или в переходе из одной ячейки в другую. Этот факт иллюстрируется сравнением расположения уровней энергии в трёх рассматриваемых здесь потенциальных полях: U ( x) = ∞ при − ∞ < x < 0, a < x < ∞ U ( x) = 0 при 0 < x < a . U ( x) = kx 2 2 U (r ) = − e2 4πε 0 r E v = hω(v + 1 / 2) h2n2 − me 4 E = n 8ma 2 8h 2 ε 02 n 2 Размер ячейки определяется произведением xp . Изменение размера дает дифференциал d ( xp ) = dxp + xdp . En = h2n2 В первом случае dx = 0 , так как x = a . Поэтому, используя E n = , получаем 8ma 2 d ( xp ) = xdp = ad 2mE n = a m / 2 E n dE n = h / 2 . Из-за того, что стенки ящика вертикальные, импульс должен расти пропорционально номеру n , p n = hn / 2a , а потому энергия, E = p 2 / 2m , растет пропорционально n 2 Во втором случае захват новой ячейки происходит не только за счет роста импульса, но и за счет роста освоенного пространства. Поэтому импульс может расти медленнее, пропорционально корню из квантового числа, p ∝ v , а энергия, соответственно, пропорционально v : E ∝ p 2 ∝ v , то есть равномерно. Поэтому все кванты одинаковы по величине, hω . В случае атома водорода, из-за значительного расширения пространства, занимаемого электроном по мере увеличения его энергии, кванты энергии делаются все меньше и меньше. Проверка того, что при переходе на новый уровень энергии в случае атома происходит захват ячейки размером h , хотя импульс, очевидно, уменьшается, может представить предмет студенческой научной работы. 5. Распределение обобществленных электронов в металле по пространству состояний при небольших абсолютных температурах h-ячейки фазового пространства упорядочены по энергии. Каждая ячейка имеет определенную энергию. Правда, несколько ячеек могут иметь одинаковую энергию. В этом случае говорят, что энергетическое состояние вырождено. В невозбужденном состоянии, то есть в темноте и при температуре T = 0 0 K, электроны в атоме или молекуле занимают подвое (имея разные спины) состояния с наименьшей возможной энергией. Говорят, что коэффициент заполнения ячейки равен 2. Так же поступают электроны в куске твердого тела, поскольку квантовомеханические состояния их упорядочены по энергии. (В этом случае мы рассматриваем только валентные электроны атомов или молекул тела, которые обобществляются в рамках всего куска). Так что функция распределения электронов по фазовому пространству выглядит просто. В инфинитезимальном объеме фазового dxdydzdp x dp y dp z 2dxdydzdp x dp y dp z пространства dxdydzdpx dp y dp z находится h-ячеек и h h электронов. То есть функция распределения f ( xyz p x p y p z ) , определяемая равенством dN = f ( xyz p x p y p z ) dxdydzdp x dp y dp z , равна: 2 , если энергия .E ячейки с координатами xyz p x p y p z меньше h максимальной энергии заполненных ячеек, E ( xyz p x p y p z ) < E max ≡ F и f ( xyz p x p y p z ) = f ( xyz p x p y p z ) = 0 , если энергия ячейки больше максимальной энергии заполненных ячеек E ( xyz p x p y p z ) > E max ≡ F ; эта максимальная энергия называется энергией Ферми. При нагреве часть электронов из верхних (по энергии) ячеек поднимается в пустовавшие 2 ранее ячейки, и функция распределения делается: f ( xyz p x p y p z ) = [ E ( x , p ) − F ] / kT he +1 Лекции 7 & 14 апреля 2020 34 Возникновение энергетических зон в проводниках, полупроводниках, изоляторах Когда одинаковые атомы сближаются, чтобы образовать твердое (или жидкое) вещество, их электроны вспоминают принцип Паули, запрещающий им иметь одинаковые состояния. Поэтому их энергетические уровни расщепляются на подуровни, чтобы предоставить каждому электрону свое состояние. В результате получаются энергетические зоны, между которыми остаются запрещенные зоны как показано на рисунках 1 и 2.. См. подробно: И.В. Савельев, Курс физики, том 3. Квантовая оптика, Атомная физика, Физика твердого тела, Физика атомного ядра и элементарных частиц В проводниках электроны могут двигаться под действием внешнего электрического поля, потому что существуют свободные энергетические уровни в зоне их существования. В полупроводниках и изоляторах таких уровней нет; там электрический ток не возможен при температуре 0оК. Однако в полупроводниках, где запрещенная зона невелика, при невысокой температуре некоторое количество электронов может подниматься в свободную разрешенную зону (зону проводимости), оставляя за собой дырки (Рис.3). Эти электроны и дырки могут осуществлять небольшой электрический ток. Электропроводимость определяется формулой σ = σ ∞ e − ∆E / 2 kT , σ = ne eu e + n д eu д , где u = v / E - подвижность. В фотосопротивлениях переход электронов в зону проводимости происходит дополнительно за счет энергии квантов света. При наличии магнитного поля B , перпендикулярного электрическому полю E , для компенсации силы Лоренца, возникает электрическое поле Холла, E x = vB = uEB = σEB / ne = jB / ne . 35. Примесные полупроводники. Диод и транзисторы Пятивалентный фосфор чувствует себя неудобно среди четырехвалентного германия, куда его добавляют в качестве примеси. Поэтому его пятые электроны имеет повышенную энергию, то есть, приближены к зоне проводимости (Рис. 4а). Они легко преодолевают это оставшееся расстояние, называемое энергией активации ε , оставляя за собой положительные ионы фосфора. А к трехвалентному бору легко поднимаются электроны германия, оставляя за собой положительные дырки, которые могут осуществлять электропроводность (Рис. 4б). Поэтому к проводимости чистого полупроводника σ из предыдущей лекции добавляется примесная ~=σ ~ e − ε / 2 kT , σ ~ = n~eu , где n~ - концентрация примеси. Благодаря донорным проводимость σ ∞ примесям возникает электронная проводимость, благодаря акцепторным примесям возникают положительные носители тока. Контакт дырочного и электронного проводников обладает вентильным свойством. Если положительный потенциал подается на р-область, дырки бросаются навстречу с электронами, взаимно нейтрализуются и этим осуществляется ток. Если, наоборот, на р-область подается отрицательный потенциал, зона контакта лишается носителей и ток практически отсутствует (Рис. 5) Если присоединяется справа еще одна р-область, то получается p-n-p-транзистор. При подаче положительного потенциала на левую р-область (эмиттер), дырки бросаются навстречу электронам nобласти (база), но промахиваются, поскольку базу делают очень тонкой, и попадают в правую р-область (коллектор), куда их, к тому же, тянет высокий отрицательный потенциал коллектора. Лишь малая доля дырок соединяется с электронами базы и осуществляет ток базы i Б . Однако этот ток обеспечивает протекание тока коллектора iК , который превосходит ток базы а десятки раз. Режим транзистора, как трехполюсника, определяется двумя величинами, например, напряжением коллектор – база U КБ и током эмиттера iЭ или напряжением коллектор – эмиттер U КЭ и током базы iБ . После этого все остальные величины (всего величин – шесть) определяются свойствами транзистора. Таким образом, характеристика транзистора – это соотношение, связывающее три величины. В схеме «с общей базой» (Рис. 7) снимается характеристика iК = f (u КБ , iЭ ) . В схеме «с общим эмиттером» (Рис. 8) снимается характеристика iК = f (u КЭ , iБ ) . См. В.М. Анисимов et al. Лабораторные работы по физике. Часть 2. 7. Распределение классических осцилляторов произвольных частот по энергии колебания при фиксированной температуре и вычисление их средней энергии. Это распределение есть распределение Максвелла-Больцмана: dN = Ae − E / kT dE , A = N / kT . Распределение суммарной энергии E по энергии отдельного осциллятора выглядит так: dE = AEe − E / kT dE . Поэтому средняя энергия осциллятора не зависимо от частоты равна ∞ ∞ ∞ ∞ − E / kT − E / kT − kT  Ee − E / kT 0 − ∫ e − E / kT dE  E e dE − kT Ed ( e ) E ∫0 ∫0   = kT < E >= = ∞ = = ∞ ∞ − E / kT − E / kT − E / kT N e dE e dE e dE [ ∫ ∫ ] ∫ Лекции 21 & 28 апреля 2020 8 Распределение квантовых осцилляторов определенной частоты по энергии колебания при фиксированной температуре и вычисление средней энергии колебания. Квантовые осцилляторы тоже распределены согласно распределению Максвелла-Больцмана, hν однако, поскольку для них разрешены только энергии E n = + hvn , приходится заменить 2 дифференциал dN на заполнение n-го уровня энергии dN → N n . Заполнение выглядит n =∞ N n = Ae − ( hν / 2+ hνn ) / kT . Нормировка, Σ N n = N , дает A = Ne hν / 2 kT (1 − e − hv / kT ) и нормированное n =0 − hν / kT N n = N (1 − e )e − hνn / kT . Суммарная энергия колебаний равна n =∞ n = ∞ hν n =∞ hν n =∞ − hvn / kT E = Σ E n N n = Σ ( + hvn) N (1 − e − hν / kT )e − hνn / kT = N (1 − e − hv / kT )( Σe + hνn Σ e − hvn / kT ) . n =0 n =0 2 n =0 2 n =0 распределение: n =∞ n =∞ n =0 n =0 Далее используем формулы Σ x n = 1 /(1 − x), Σ nx n = x /(1 − x) 2 для x = e − hv / kT и получаем hν hν hν hν + N hv / kT и среднюю энергию < E >= + hv / kT . 2 2 e −1 e −1 Рисунок 1 поясняет, что такое «колебательная степень свободы замораживается при низкой температуре T », когда энергия kT , приходящаяся на одну степень свободы по Закону равного распределения тепловой энергии по степеням свободы, оказывается меньше кванта энергии hν , T << hν / k . суммарную энергию E = N На рисунке видно, что при низкой температуре T1 , ( kT1 ≈ 0,3hν , то есть, примерно втрое меньше кванта hν ) почти все осцилляторы находятся на нулевом уровне энергии. Населенность его N 01 . Поэтому осцилляторы имеют энергию E = hν / 2 , а не < E >= kT1 ≈ 0,3hν , как было бы при отсутствии квантования. Важно, что при повышении температуры до величины T2 , для которой kT2 ≈ 0,5hν , то есть до по-прежнему весьма низкой температуры, населенность нулевого уровня энергии лишь незначительно уменьшается, до N 02 . Соответственно незначителен прирост населенности N1 первого уровня, и, соответственно, незначителен прирост тепловой энергии осциллятора. 36. Теплоемкость твердых тел по Дебаю N атомов куска твердого тела имеют 3 N степеней свободы, но, согласно Дебаю, эти степени свободы являются модами колебаний куска в целом, которые, в свою очередь, рассматриваются как стоячие волны разных длин волн λ и частот ν , которые связаны со скоростью распространения звука: c = λν . Мы будем использовать букву c для обозначения скорости звука, ввиду недопустимой схожести букв v и ν . Моды колебаний тела в форме куба со стороной l , объемом l 3 , имеют частоты, кратные ν1 = c / 2l . Таким образом, в трехмерном пространстве частот возникает ячейка объемом ν13 . При этом, в каждую ячейку помещается три возможных типа колебаний: продольное и два поперечных. Так что, для реализации 3 N мод колебаний нужно как раз N ячеек. Они занимают в пространстве частот один октант шара с радиусом, равным 14 3 максимальной частоте ν m : πν m = Nν13 . Отсюда ν m = ν1 3 6 N / π = с 3 3n / 4π , n = N / l 3 . 83 При высокой температуре, когда тепловая энергия kT значительно превосходит даже максимальный квант энергии hν m , то есть при T >> hν m / k ≡ θ ( θ дебаевская температура), все 3 N колебаний одинаково нагружены энергией < E >= kT , и суммарная энергия твердого m тела равна E = 3 NkT = 3 RT (закон Дюлонга-Пти). µ Однако при произвольной температуре для определения суммарной энергии надо hν hν использовать < E >= + hv / kT , учесть, что в интервале частот dν вблизи 2 e −1 4πν 2 dν 1 (положительной) частоты ν находится dz = ячеек с тремя колебаниями каждая и ν13 8 hν  12πν 2 dν  hν + hv / kT проинтегрировать по частоте от 0 до ν m : E = ∫ < E > 3dz = ∫  .  − 1  8ν13  2 e Интеграл от первого слагаемого дает энергию нулевых колебаний: E0 = 9kθN / 8 . Интеграл от второго слагаемого, то есть тепловая энергия ET , существенно зависит от температуры. Для наших целей достаточно знать его приближенное значение для низкой температуры. При T << hν m / k ≡ θ будет ET ≈ 3π 4 kT 4 N / 5θ 3 . При вычислении теплоемкости твердого тела, то есть при дифференцировании C = dE / dT , энергия нулевых колебаний выпадает. Так что остается теплоемкость при низкой m температуре C = dET / dT ≈ 12π 4 kT 3 N / 5θ 3 , Nk = R . µ 3. Распределение энергии теплового излучения по спектру А теперь мы рассмотрим кубический объемный резонатор со стороной длинной l , который содержит электромагнитные колебания, рассматриваемые как стоячие волны разных длин волн λ и частот ν , связанных со скоростью света: c = λν . Моды электромагнитных колебаний имеют частоты, кратные ν1 = c / 2l . Таким образом, в трехмерном пространстве частот возникают ячейки объемом ν13 , в которые помещается два типа колебаний двух возможных поляризаций. Энергия, содержащаяся в интервале частот dν , равна произведению энергии колебания < E > на число ячеек dz из раздела 36 при учете двух возможных поляризаций и использовании ν1 = c / 2l и l 3 = V . Получается распределение энергии теплового излучения hν  πν 2 dν  hν по спектру: d E =< E > 2dz =  + hv / kT . Первое слагаемое при интегрировании  − 1  ν13  2 e дает известную бесконечность, связанную с энергией нулевых колебаний. Его следует dE 8πhν 3 dν игнорировать. Второе слагаемое является распределением Планка. = u = 3 hv / kT . V c e −1 Интегрирование дает закон Стефана-Больцмана для плотности потока энергии I = cu / 4 : 3 ∞ x dx ∞ π 4 2π 5 k 4 2πhν 3 dν 2πk 4T 4 ∞ x 3 dx 2πk 4T 4 π 4 4 I = ∫ 2 hv / kT = = = σ T , где = ∫ ∫0 e x − 1 15 , 15h 3c 2 = σ 0 c e −1 h 3c 2 0 e x − 1 h 3 c 2 15 ( ( ) σ = 5,67 ⋅ 10 −8 Вт/(м2*оК4). ) Фрагменты лекций 12 & 19 мая 37 Закон радиоактивного распада Пусть W (t ) есть вероятность объекту, родившись, дожить до возраста .t , и W (0) = 1 . Тогда N (t ) = N 0W (t ) есть количество сверстников в возрасте t , а распределение сверстников dN по времени жизни выглядит так: dN = − dt , потому что такое dN есть количество dt сверстников, ушедших из жизни за время dt , то есть количество проживших время t с dN . разбросом dt . Функция распределения по времени жизни есть f (t ) = − dt ∞ ∞ ∫ t f (t )dt = ∫0 t dW Среднее время жизни: < t >= 0 ∞ ∞ f ( t ) dt ∫0 ∫0 dW ∞ = [tW ]∞0 − ∫ W (t )dt − W ( 0) ∞ = ∫ W (t )dt . В случае случайных смертей число погибших за время dt пропорционально числу живущих: dN = −αNdt , где α можно рассматривать как вероятность гибели. В результате, интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем закон радиоактивного распада ∞ 1 ln 2 N = N 0 e − αt , среднее время жизни τ = ∫ e −αt dt = , время полураспада T = , α α 1 поскольку = e −αT . Так что закон можно записать в виде N = N 0 2 −t / T . 2 dN Активность радиоактивного распада есть A(t ) = − = αN = A0 e −αt = A0 2 −t / T dt 38 Радиоактивность Радиоактивность – это превращение одного атомного ядра в другое из-за выброса электрона, который называется в этом случае β -частицей, или выброса ядра гелия, которое называется в этом случае α -частицей. Такое превращение может сопровождаться электромагнитным излучением в виде γ -кванта. Познакомьтесь с известной цепочкой радиоактивных превращений. Над стрелкой указан тип распада ядра; снизу указан период полураспада 238 U 92 α → 4, 5⋅10 ^ 9 лет β β 234 234 234 Th90 → Pa91 → U 92 24 дня 1,1 мин α → 2,5⋅10 ^ 5 лет 206 ... → Pb82 39 Ядерные реакции Интересная ядерная реакция происходит постоянно а нашей атмосфере. Нейтроны, составляющие часть космических лучей, взаимодействуя с атомом азота из молекулы атмосферного азота, порождают ядро тяжелого углерода и протон. Однако n10 + N 714 → C 614 + p11 , C 614 → N 714 + β 0−1 + ~ ν 5570 лет Тяжелый углерод оказывается радиоактивным и поэтому он не накапливается в атмосфере. Он превращается снова в азот с периодом полураспада 5579 лет, выбрасывая электрон и антинейтрино. Ввиду постоянства потока космических нейтронов, концентрация радиоактивного углерода в атмосфере поддерживается постоянной. Эта реакция интересна тем, что радиоактивный углерод, оказавшийся в атмосфере, усваивается растениями наравне с обычным углеродом, и его концентрация в тканях живых растений совпадает с атмосферной концентрацией. Однако после гибели растения и прекращении метаболизма концентрация радиоактивного азота снижается по экспоненте вдвое за 5570 лет. Это позволяет определять возраст древних предметов с помощью радиоактивного анализа. 40 Энергия связи и дефект массы Электроны притягиваются к протонам электрическим полем. При соединении электрона и протона в атом водорода электрические поля, окружающие электрон и протон в значительной мере взаимно уничтожаются, а заключенная в них энергия 13,6 эВ излучается в виде квантов. Соответственно, масса атома водорода меньше, чем сумма масс электрона и протона, на 13,6 эВ/с2. Однако относительная потеря массы вещества невелика, как легко подсчитать, она равна примерно 1,5*10-9. Правда, при соединении молекул углерода дров с молекулами кислорода воздуха относительная потеря массы вещества еще меньше. Судя по теплотворной способности дров 4370 ккал/кг, она составляет 2*10-10. Аналогично, протоны и нейтроны притягиваются друг к другу ядерными силами, и при образовании атомных ядер связанная с ними энергия излучается. Это называется энергия связи Есв. Так что масса ядер всегда меньше, чем сумма масс составляющих их протонов и нейтронов, на Есв/с2. Это называется дефект массы. Относительная потеря массы различается для разных ядер. Для углерода C 612 она составляет (6m H + 6mn − mC } / mC = 8,3 ⋅ 10 −3 Поэтому синтез элементов начала таблицы Менделеева энергетически выгоден. Получается «термоядерная энергия». Однако крупные ядра обладают меньшей энергией связи. Это, в сущности, и накладывает ограничение на размер атомных ядер. И благодаря этому, при делении крупных ядер типа урана получаются осколки с большей энергией связи. Разница энергий связи выделяется в виде «атомной энергии» К нашему счастью, соединение электрона с протоном до нейтрона, то есть более тесное, чем до атома водорода, энергетически не выгодно и не происходит, mn > m p + me . Больше того, свободный нейтрон сам распадается с периодом полураспада 12 минут. n→ p+e+~ ν 41 Природа ядерных сил. Кварки Оказалось, что ядерные силы притяжения между нуклонами, из-за которых образуются ядра атомов, не являются фундаментальными силами, а сами нуклоны не являются фундаментальными частицами. Фундаментальными сегодня считаются кварки, которых 6 штук, но их подразделяют на три семьи по паре кварков в семье. Первая пара состоит из up-кварка и down-кварка. Вторую и третью пару образуют кварки charm & strange и top & bottom. В каждой семье у первых кварков положительные заряды +2e/3, у вторых кварков заряды отрицательные –e/3. Кварки притягиваются друг к другу удивительными силами. Для их понимания полезно интерпретировать электромагнитное притяжение положительных и отрицательных зарядов друг к другу как стремление создать нейтральную конструкцию. Кварки притягиваются друг к другу потрое и, в результате, создают нуклоны: n = udd, p = uud. Придумали, что кварки имеют цвета: желтый, синий, красный. Соединяясь, они создают нейтральную (белую) конструкцию. Электрические заряды антикварков противоположны по знакам зарядам соответствующих кварков, и антикваркам приписали дополнительные цвета: фиолетовый, оранжевый, зелёный. Так что нейтральная комбинация цвета может получаться при соединении кварка и антикварка дополнительных цветов. Например, красный u-кварк и ~ ~ зеленый d -антикварк образуют положительный π -мезон π + = ud . Замечательным свойством кварковых сил притяжения является то, что они не ослабевают с увеличением расстояния между кварками. Поэтому кварк невозможно вытащить из нуклона. Свободные кварки не существуют. Однако, находясь на расстояниях порядка размера нуклона, кварки чувствуют себя свободными, когда цвета нейтрализованы. Остающаяся некоторая нескомпенсированность кварковых сил проявляется как сила притяжения к кваркам расположенного поблизости другого нуклона. Так возникают ядерные силы притяжения между нуклонами.