Логистическое уравнение ( уравнение Ферхюльста). Дискретный аналог уравнения Ферхюльста

Логистическое уравнение ( уравнение Ферхюльста) Verhulst – бельгийский математик. Logistics – искусство вычислений. Логистическое уравнение появилось при рассмотрении модели роста численности населения. Пусть
=
() – численность популяции в момент времени ,  – емкость среды ( то есть максимально возможная численность популяции) Исходные предположения для вывода уравнения: 1. скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности
; 2. скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов которое, в свою очередь, пропорционально  −
=  1 − . Заметим,что конкуренция за ресурсы ограничивает рост популяции. Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать в виде

= 
1 − ,   где  – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость роста популяции,  > 0. Первоначальная численность популяции задается начальным условием:
(0) =
 . Решение уравнения. Заметим, что функции
= 0 и
=  при всех  являются решениями данного уравнения, поэтому решаем уравнение для
∈ (0; ). В уравнении сделаем замену = ,
= ,
=  ;
∈ (0; ),  ∈ (0; 1),  =  . Получаем: Интегрируем:  = (1 − );  !   = (1 − ) (ln|| − ln |1 − !  |)|!  = (1 − ) ; !  ;  =  ; 1 1 " − #  = ;  −1 "ln '   ' − ln ' '# = . −1  − 1 Так как  ∈ (0; 1), то ()*+( = +*) . Учитывая это, получаем: ,- ) )  =  . (1 − ) (1 −  ) (1 −  ) 1 −  1 −  = , = . /! , = , (1 − ) (1 − )   . /! 1 1 −  1 1 −  −1 = , = + 1,   . /!   . /! 1 1 −  +  . /!  . /! = ,  = .   . /! 1 −  +  . /! Поведение решения на бесконечности:  . /!   lim () = lim = lim = = 1. /! 1 1 !→45 !→5 1 +  (. − 1) !→45  +  1 −  . /! . /! Подставляя  = и  =  в решение  = следовательно, точным решением уравнения ; ;! ) 6 78 , +*) 4) 6 78 = 
1 − получаем = 9 78 6 : 9 9 +*  4  6 78 : : является функция , и, 
 . /! +
 (. /! − 1) получившая название логистической функции, где
 – начальная численность популяции. Так как lim!→45 () = 1,
() = (), то lim!→45
() = , здесь  – емкость среды, то есть максимально возможная численность популяции. Это решение не дает периодических решений или каких бы то ни было отклонений. 1
() = Дискретный аналог уравнения Ферхюльста Рассмотрим уравнение Ферхюльста  = (1 − ).  Пусть время изменяется дискретно:  = 0, 1, 2, … . Обозначим (0) =  , (1) = + , (2) = > , … , () = ! , где ! - численность популяции в году .  ∆ ≈ , ∆ = ( + 1) −  = 1, ∆ = !4+ − ! .  ∆ Получаем: !4+ − ! = ! (1 − ! ), 1 !4+ = (1 + )! −  ! > . Это уравнение рассматривал Фейгенбаум (дерево Фейгенбаума). Преобразуем уравнение к виду  !4+ = (1 + )! 1 −  1+ ! / +4/ и сделаем замену +4/ ! =
! , при которой ! = /
! . В результате получаем уравнение отсюда следует уравнение
!4+ = (1 + )
! (1 −
! ). Используя  вместо 1 + , получаем дискретный аналог уравнения Ферхюльста: AB4C = DAB (C − AB ). Будем изучать это уравнение при разных значениях параметра . 2 Аттракторы. Виды аттракторов. Условия устойчивости аттракторов. Пусть переход системы от одного состояния к другому описывается уравнением
!4+ = E(
! ), и начальные условия системы выбираются произвольно ( случайным образом), тогда конечное поведение системы описывается точкой или множеством точек. Точка или множество точек, которые притягивают к себе все ближайшие точки, называется аттрактором. Есть три вида аттракторов: 1. аттрактор фиксированной ( неподвижной) точки, 2. предельный цикл или периодический аттрактор, 3. хаотический или странный аттрактор. Классификация поведения нелинейной системы: • устойчивое и сходящееся к положению равновесия, • колеблющееся в устойчивом предельном цикле, • хаотичное, но ограниченное, • неустойчивое и неограниченное. В логистическом уравнении
!4+ = 
! (1 −
! ),
! ∈ F0; 1G,  − параметр. Будем рассматривать 0 ≤  ≤ 4, так как при  > 4, решения {
! } стремятся к −∞ . Это неустойчивое и неограниченное поведение системы. Аттрактор фиксированной точки. Рассмотрим уравнение A = M(A) Пусть отображение (функция ) M удовлетворяет следующим условиям: 1. E: O → O, где O – замкнутый интервал, т.е. если
∈ O, то E(
) ∈ O; 2. на этом интервале E является сжатием, т.е.существует такое P ∈ (0; 1), что |E(
) − E(
Q )| ≤ P ∙ |
−
Q | для любых
,
Q ∈ O. Тогда, в силу принципа сжатых отображений, уравнение A = M(A) имеет единственное решение
∗ ∈ O, и для любого начального условия
 ∈ O последовательность {
! },  = 0,1,2, … , определяемая условием
!4+ = E(
! ), сходится к значению
∗ . Переходя к пределу в уравнении
!4+ = 
! (1 −
! ), получаем
∗ = 
∗ (1 −
∗ ), ∗ поэтому неподвижную точку
разностного уравнения
!4+ = 
! (1 −
! ) находим, решая уравнение
= 
(1 −
), то есть
= E(
), где E(
) = 
(1 −
). Получаем: −1
= 0 или 1 = (1 −
), отсюда 
=  − 1,
= .  Таким образом −1
+∗ = 0,
>∗ = .  /*+ Если  ∈ (0; 1), то  − 1 < 0 и / < 0, то есть
>∗ не принадлежит отрезку F0; 1G. 3 Для того, чтобы точка
∗ была единственным пределом последовательности {
! }, т.е. для того, чтобы этот предел существовал, надо, чтобы E удовлетворяла условию 2). Условие 1) для E(
) выполнено на F0; 1G, т.е. если
∈ F0; 1G, то E(
) ∈ F0; 1G. Условие 2) будет выполнено, если |E Q (
∗ )| < 1. Если траектория начинается недалеко от положения равновесия, то сойдется или нет эта ;_ траектория к
∗ , зависит от ^ ( . ; ` ∗ Неподвижная (фиксированная) точка является локально устойчивой (притягивающей), если |E Q (
∗ )| < 1; нейтрально устойчивой, если |E Q (
∗ )| = 1; неустойчивой (отталкивающей), если |E Q (
∗ )| > 1. Найдем E Q (
): E(
) = 
− 
> , E Q (
) =  − 2
. Вычислим E Q (
) в точках
+∗ и
>∗ : E Q (0) = , E Q  /*+ / =  − 2 ∙ /*+ / =  − 2 + 2 = 2 − . Заметим, что || =  для  ≥ 0 и |2 − | = | − 2|, | − 2| < 1 => −1 <  − 2 < 1 => 1 <  < 3. | − 2| = 1 =>  − 2 = 1 или  − 2 = −1 =>  = 1 или  = 3. | − 2| > 1 =>  − 2 < −1 или  − 2 > 1 =>  < 1 или  > 3. Полученные результаты запишем в виде таблицы: Локально Вид устойчивости Нейтрально Неустойчивая устойчивая устойчивая (отталкивающая) фиксированной точки (притягивающая) |E Q (
∗ )| < 1 |E Q (
∗ )| = 1 |E Q (
∗ )| > 1
+∗ = 0
>∗ = −1  Решая неравенство 0≤<1 /*+ / =1 1<<3  = 1 или  = 3 < 0, получаем 0 <  < 1 >1  < 1 или  > 3 Получим следующую зависимость вида устойчивости неподвижной точки от значения параметра :  ∈ (0; 1)  ∈ (1; 3)  ∈ (3; 4G =1 =3
+∗ =0
>∗ = −1  Локально устойчивая
>∗ < 0 Нейтрально устойчивая
>∗ = 0 =
+∗ Неустойчивая Неустойчивая Неустойчивая Локально устойчивая Нейтрально устойчивая Если E Q (
∗ ) = 0, точка
∗ является суперустойчивой. 4 Неустойчивая Условие |E Q (
∗ )| < 1 означает, что пока тангенс угла наклона касательный к графику функции в точке
∗ лежит между −1 и 1, эта фиксированная точка локально устойчива. Если E Q (
∗ ) = 1, касательная к графику функции совпадает с прямой  =
. E Q (
∗ ) = 1 => точка
∗ нейтрально устойчивая, т.е. она перестает быть устойчивой (притягивать последовательность
! ), но еще не отталкивающая, т.е. не является неустойчивой. Пример1. При  = 2,81 получаем две точки
+∗(>) = 0 и
>∗(>) = Пример 2. При  = 3,9
>∗ = /*+ / = g,h*+ g,h >h /*+ / = gh ≈ 0,74. При = 4
>∗ = = /*+ / >.d+*+ >.d+ = = j*+ j +d+ >d+ ≈ 0,64. g = j = 0,75. В случаеях, когда  = 3,9 или  = 4 , решения остаются ограниченным, но меняются хаотично и не остаются на каком-то уровне даже после большого числа итераций. При других начальных условиях поведение остается таким же, но хаотическое поведение в случаях различных начальных условий, вообще говоря, различно. Периодический аттрактор Точка
>∗ = /*+ / становится неустойчивой, когда  > 3, то есть в точке
>∗ при  = 3 меняется поведение (от притягивания к отталкиванию). 5 Вместо одной устойчивой точки появляются две новых, образуя устойчивый периодический цикл периода 2. Это означает (для большинства начальных условий), что после какого-то числа итераций система начинает колебаться от одной из этих точек к другой. Все периодические точки периода 2 могут быть найдены из уравнения
= E > (
), к которому приводит соотношение
!4> = E(
!4+ ) = ElE(
! )m = E > (
! ), где E(
! ) = 
! (1 −
! ), > (
) E ! = ElE(
! )m = El
! (1 −
! )m = l
! (1 −
! )ml1 − 
! (1 −
! )m = =  >
! (1 −
! )(1 − 
! + 
! > ) =  >
! (1 − 
! −
! + 2
! > − 
! g ). Пусть
∗(>) – неподвижные (фиксированные) точки уравнения
∗(>) = E > l
∗(>) m. Чтобы их найти, решаем уравнение
=  >
(1 − 
−
+ 2
> − 
g ). Очевидно, что
+ корни, решая уравнение ∗(>) = 0. Делим обе части уравнения на
≠ 0 и находим остальные 1 =  > (1 − 
−
+ 2
> − 
g ), которое преобразуем к виду  g
g − 2 g
> +  > ( + 1)
+ 1 −  > = 0. Проверим, является ли
= /*+ / корнем этого уравнения. Используем схему Горнера: −1  g ↓ g Отсюда следует, что
>∗(>) = −2 g + g  − > − g −  > /*+ / g + > + −( − 1)l2 + m > +  1 − > + >  −1 корень уравнения. Остальные корни ищем, решая  g
> −  > (1 + )
+ ( + 1) = 0. Так как  ≠ 0, делим уравнение на  > : уравнение 
> − (1 + )
+ /4+ / = 0, вычисляем дискриминант q = (1 + )> − 4( + 1) = 1 + 2 +  > − 4 − 4 =  > − 2 − 3, 6 1 +  ± √  > − 2 − 3 2 q > 0, если  < −1 или  > 3 . В этом случае получаем 2 дополнительных решения ∗(>)
g,j = 1 +  ± √  > − 2 − 3 . 2 +4/ , При  = 3 решение получаем q = 0, если  = −1 или  = 3.
g∗(>) =
j∗(>) = ∗(>)
g,j = решение
g∗(>) =
j∗(>) = +4/ >/ = +4g >∙g = > , g >/ которое совпадает с решением
> ∗(>) = /*+ / > g = ; q < 0, если  < −1 или  > 3, дополнительных решений нет. Получаем следующую зависимость количества предельных точек от параметра :  ∈ F3; 4G  ∈ (0; 3) =3 2 точки: 2 точки: 4 точки :
+ ∗(>)
> ∗(>) = 0,
>
+ ∗(>) −1 = .  ∗(>) = 0, =
g ∗(>)
+ = 0, −1 ∗(>)
> = ,  1 +  ± √ > − 2 − 3 = . 2 ∗(>) 2 = . 3
g,j ∗(>) ∗(>) Вычислим производную от функции E > (
) в точке
> : > (
) ^ E t = ^ > (1 − 2
− 2
+ 6
> − 4
g )| /*+ = `
/*+ / ` / ( − 1)> ( − 1)g −1 ∙ (1 + ) + 6 − 4 v=  > g =  > − 2( > − 1) + 6( − 1)> − 4( − 1)g =  > − 2 g + 2 + 6( > − 2 + 1) − =  > u1 − 2 ∙ −4( g − 3 > + 3 − 1) =  > − 2 g + 2 + 6 g − 12 > + 6 − 4 g + 12 > − 12 + 4 = =  > − 4 + 4 = ( − 2)> . E > (
) t w^
` /*+ / w < 1 <=> | − 2| < 1 <=> −1 <  − 2 < 1 <=> 1<<3 получили |E >Q ^(
∗(>) ^)| = xE Q l
∗(+) mx Это тот же интервал, что для периода 1. Для фиксированных точек
∗(>) = /*+ / > При  = 3,4 получаем 4 фиксированные точки:
+∗(>) = 0; 3,4 − 1 24 12
>∗(>) = = = ≈ 0,706; 3,4 34 17 3,4 + 1 − y3,4> − 2 ∙ 3,4 − 3 4,4 − √1,76 ∗(>)
g = = ≈ 0,452; 2 ∙ 3,4 6,8 4,4 + √1,76 ∗(>)
j = ≈ 0,842; 6,8 E > (
) =  > (
− 
> −
> + 2
g − 
j ); E >Q (
) =  > (1 − 2
− 2
+ 6
> − 4
g ); E >Q (0) =  > = 3, 4> > 1 =>
+ ∗(>) = 0 является неустойчивой фиксированной точкой; E 
>∗(>) ≈ 3, 4> (1 − 2 ∙ 0,706 − 2 ∙ 3,4 ∙ 0,706 + 6 ∙ 3,4 ∙ 0,706> − 4 ∙ 3,4 ∙ 0,706g ) ≈ >z 7 ≈ 1,96 > 1 =>
> E >z ∗(>) 
g ≈ −0,759 => точка, E > 
j z ∗(>) ∗(>) ≈ 0,706 – неустойчивая фиксированная точка; ≈ 3, 4> (1 − 2 ∙ 0,452 − 2 ∙ 3,4 ∙ 0,452 + 6 ∙ 3,4 ∙ 0,452> − 4 ∙ 3,4 ∙ 0,452g ) ≈ (E >Q (
g ∗(>) )( < 1 =>
g∗(>) ≈ 0,452 – локально устойчивая фиксированная ≈ 3, 4> (1 − 2 ∙ 0,842 − 2 ∙ 3,4 ∙ 0,842 + 6 ∙ 3,4 ∙ 0,842> − 4 ∙ 3,4 ∙ 0,842g ) ≈ ≈ −0,754 => (E >Q 
j∗(>) ( < 1 =>
j ∗(>) точка. Фиксированная точка
>∗ = /*+ , / ≈ 0,842 – локально устойчивая фиксированная локально устойчивая при  ∈ (1; 3), перестает быть устойчивой при  > 3 ( = 3,4 на рисунке ), но появляются 2 локально устойчивые точки
g ∗(>) и
j ∗(>) периода 2. Аналогично решение
+∗ = 0 породило решение
>∗ = /*+ / в случае, когда рассматривали фиксированные точки периода 1. Когда значение параметра растет от 3,4 до 3,5, устойчивый цикл периода 2, существующий в точках
g и
j перестает быть устойчивым и обе точки порождают две новых точки (каждая). Эти 4 новые точки формируют новый устойчивый цикл периода 4. ∗(>) ∗(>) E > (
) при  = 3.51 Это явление называется удвоением периода. 8 E j (
) при  = 3.51 Когда  увеличивается дальше, 4 устойчивые точки периода 4 перестают быть устойчивыми и порождают 8 новых точек устойчивый цикл периода 8. Точки, в которых решение удваивается, являются точками бифуркации. Бифуркационный процесс продолжается, порождая устойчивые циклы 16 , 32, 64, … . Цикл периода 2 формирует цикл периода 2 4+ . Эти точки могут быть найдены, и их устойчивость определяется так же, как в случае периода 2. Когда устойчивая точка (или устойчивый цикл) перестает быть устойчивым, она больше не притягивает точки. Однако, если значение неустойчивой фиксированной точки (или значение в точках неустойчивого цикла) дано как начальное условие системы, тогда устойчивые фиксированные точки (или устойчивый цикл) не притягивают эти точки, система остается в этих точках. Аттрактор, состоящий из двух точек периода 2, не может притягивать неустойчивые фиксированные точки периода 1
+∗ = 0,
>∗ = /*+ / и точку
= 1.. Точка
= 1 не является фиксированной, так как F (1) = 0 , то начальное условие
 = 1 порождает последовательность
+ = 0,
> = 0,
g = 0, … ,
! = 0, … . Это нелинейное отображение описывает два эффекта: • Размножение популяций со скоростью, пропорциональной ее численности, когда численность мала. • Конкуренцию( смертность при плотности) за жизненные ресурсы , при которой скорость размножения падает из-за ограничения на максимальную емкость среды, в которой обитает популяция. 9 Зависимость поведения популяции от параметра . • • значение • Если  ∈ (0; 1), популяция вымрет, независимо от начальных условий; если  ∈ (1; 2), численность популяции быстро выйдет на стационарное /*+ , / независимо от начальных условий; если  ∈ (2; 3), численность популяции точно также придет к тому же стационарному значению /*+ / , но вначале будет колебаться вокруг него; • если  ∈ (3; 1 + √6), 1 + √6 ≈ 3,45, численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от ; • если  ∈ (1 + √6; 3,54), то численность популяции будет колебаться между четырьмя значениями, • если  > 3,54, то численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и т.д. Длина интервала изменения параметра, при котором начинаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения . Отношение между двумя длинами системных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной б = 4,669 … . Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода. • При значении  ≈ 3,57 начинается хаотичное поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебаний больше не наблюдается. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения. • Большинство значений, превышающих 3,57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений , при которых система ведет себя регулярно (« окна периодичности»). Например, начиная с значения 1 + √8 ≈ 3,83 , существует интервал параметров , при котором наблюдаются колебания между 3 значениями, а для больших  – между 6 , потом 12 и т.д. Фактически в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского. • При  > 4 значения отображения покидают интервал F0; 1G и расходятся при любых начальных условиях. Литература 1. Капица С., Курдюмов С., Малинецкий Г. Синергетика и прогнозы будущего.2-е изд. – М.:Эдиториал УРСС, 2001.– 288 с. 2. Tuula Kinnunen. On the way to the chaos. – Publications of the Turku school of Economics and Bisiness Administration,Sarija/Series D-6, 1993, 134 p. 10 Ферхюльст, Пьер Франсуа Пьер Франсуа́ Ферхю́льст (фр. Pierre François Verhulst; 28 октября 1804, Брюссель, — 15 февраля 1849, там же) — бельгийский математик, известен работами в области моделирования численности населения. Начальное образование получил в Брюсселе, в 1822 году поступил в университет Гента, где в 1825 году получил докторскую степень за работы по теории чисел. На протяжении учебы получил несколько наград за работы по вариационному исчислению. Бельгийская революция 1830 года и ввод голландских войск в 1831 году частично отвлекли Ферхюльста от исследований, но все его политические начинания закончились неудачей, что однако не мешало ему в дальнейшем исследовать социальные проблемы с математической точки зрения. Занимался переводом книг по физике, с 1835 года стал профессором Брюссельского университета, где он преподавал астрономию, небесную механику, дифференциальное и интегральное исчисления, теорию вероятности, геометрию и тригонометрию. Интерес к изучению теории вероятности возник у него при наблюдении лотереи, но позже он выразил его применительно к политической экономии и демографическим вопросам. В то время эти области активно развивались благодаря работам Мальтуса и накоплению статистических данных в науках о человечестве. Наиболее известной работой является формулирование логистического уравнения для численности населения, также называемое уравнением Ферхюльста. Введенный им в уравнение Мальтуса дополнительный отрицательный член, пропорциональный квадрату скорости роста отражает уменьшение численности за счет ограниченности ареала обитания или же количества ресурсов. В 1840 году он становится профессором бельгийского военного университета. За работу по эллиптическим функциям в 1841 году был выбран членом бельгийской Академии Наук. В 1848 году был избран ее президентом. Но, так как на протяжении жизни обладал слабым здоровьем, беспокоившим его многие годы, пробыл в должности всего год, после чего скончался в возрасте 45 лет. Основываясь на своих расчетах, Ферхюльст предсказал верхнюю границу численности населения Бельгии, равную 9 400 000 человек. Фактически, в 1994 году население Бельгии составляло 10 118 000 человек, что при учете фактора миграции, позволяет говорить о сравнительно хорошей точности оценки. 11