Линейный регрессионный анализ
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
1
3. ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Целью любого эксперимента является получение информации об
исследуемом
объекте.
Для
этого
нужно
предварительно
четко
сформулировать цель исследований, изучить и проанализировать известную
априорную информацию об объекте исследования, выбрать методы
исследования.
Часто при решении инженерных и научных задач необходимо не
только исследовать распределение изучаемых показателей и оценить
основные статистические характеристики, но и определить степень и форму
влияния одной случайной величины Х (входного параметра или фактора) на
другую Y(выходной параметр).
Изучение
статистических
зависимостей
между
случайными
величинами производится с помощью корреляционного и регрессионного
анализа. Основные его положения были заложены английским математиком
Френсисом Гальтоном.
Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном
анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины
пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических
гипотез». Регрессионная модель есть, прежде всего гипотеза, которая должна
быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или
отвергается.
Линейный регрессионный анализ– это самый распространенный
инструмент для описания связи между факторами и какой-то зависимой
величиной. Как ВВП страны зависит от средней заработной платы, мировых
цен на нефть и курса рубля? Такой пример из макроэкономики можно
попробовать решить с помощью линейного регрессионного анализа. Как
определить зависимость между погодой и количеством посетителей? Как
спрогнозировать приток клиентов в зависимости от размера рекламного
бюджета?
2
Все эти задачи первоначально пытаются решить с помощью линейного
регрессионного анализа. Покажем на конкретном примере возможности
линейного оценивания.
Допустим, Вы задаетесь вопросом: как влияет рекламный бюджет на
привлечение новых клиентов. Покажем на примере этой задачи возможности
линейного оценивания. Пусть мы собрали статистические данные по нашей
фирме за пять последних лет. Обозначим за X– величину рекламного
бюджета в месяц (тыс.руб.), а за Y– количество новых клиентов в месяц
(тыс.чел.). Последние к нам приходят иногда вне зависимости от нашей
рекламы, поэтому попробуем оценить также долю таких покупателей. Итак,
наша модель имеет вид:
где а – характеризует влияние на приток покупателей рекламного
бюджета;
b – характеризует независимый от рекламы поток клиентов.
– данная величина включает в себя отклонения, которые не
объясняются моделью, а вызваны другими факторами (сезонность, курс
доллара и пр.).
Для
оценки
коэффициентов
регрессионного
уравнения,
при
определенных предпосылках, мы можем использовать метод наименьших
квадратов.
В таблице 1 приведены исходные значения для нашей задачи, данная
таблица
называется
матрицей
планирования
эксперимента.
Матрица
планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны
значения уровней факторов в различных сериях опытов. Обычно применяют
число уровней фактора, т.е. число опытов в матрице планирования
эксперимента, N=5…6. (u – номер опыта.) Для повышения точности
определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется
несколько раз m2 (v – номер повтора каждого опыта). В табл.1 приведен
выходной параметр Yuv, который измерялся при разных значениях Xu5 раз (за
3
5 последних лет), в данной таблице число опытов N=6 и число повторов
каждого опыта m=5.
Таблица 1
Хu
10
20
30
40
50
60
u
1
2
3
4
5
6
Исходные данные
v
Yuv
1
2
3
2,1
2,5
2,2
4,2
4,8
4,4
6,2
6,6
6,3
8
8,2
8,4
10,5
9,8
10,7
12,7
12,6
12,7
4
1,9
3,7
6,1
7,7
10,2
12,2
5
1,6
4,3
5,7
8,5
9,5
12,1
3.1. Исключение резко выделяющихся данных
Рассмотрим эту операцию при анализе первого опыта матрицы u=1,
когда X=10, для этого опыта определяем минимальное и максимальное
значения для выходного параметра Yuv:Yuvmax=2,5, Yuvmin=1,6.
Рассчитанные
по
формулам
(1)
и
(2)
значения
среднего
арифметического Y uи дисперсии S2u{Y}для каждого опыта приведены в
таблице 2:
m
Yuv
Y1 Y2 ... Ym
v 1
Yu
,
m
m
S 2 Y
1 m
(Yuv Y u ) 2 .
m 1 v1
(1)
(2)
Для исключения резко выделяющихся данных необходимо определить
расчетные значения критерия Смирнова-Грабса по формулам:
при подозрении резко выделяющегося максимального значения Yimax:
VR max
(Yi max Y ) m
S Y
m 1
(3)
при подозрении резко выделяющегося минимального значения Yimin:
VR min
(Y Yi min ) m
S Y
m 1
(4)
4
где Y – среднее значение выходного параметра для u–го опыта матрицы;
Su{Y} – среднее квадратическое отклонение для u–го опыта матрицы.
Используя формулы (3) и (4) определяем для первого опыта матрицы:
VR max 1
2,5 2,06
5
1,636
0,3
5 1
VR min 1
2,06 1,6
5
1,711
0,3
5 1
По приложению 1 находим, что VT[pD=0,95; m=5]=1,869. Так как
VRmaxGТ, то дисперсии в N рядах измерений неоднородны. После
отбрасывания S2umax{Y} описанную выше процедуру следует повторить для
N-1 рядов измерений.
Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях
факторов, то для проверки однородности дисперсий используется критерий
Бартлера, расчетное значение которого равно:
7
2,303
BR
f lg S 2 Y
(1)
C
где
1
C 1
3(N-1 )
N
u 1
N
f lg S 2
u
u
Y ,
(8)
1 1
f
f
(9)
u 1 u
2
S(1) - средняя дисперсия выходного параметра в опытах матрицы,
определяемая по формуле :
.
S(21) Y
1
f
N
fu Su Y
2
(10)
u 1
Число степеней свободыэтой дисперсии равно :
N
f fu
(11)
u 1
f u mu 1
Если fu>2, следовательно, величина BR распределена как 2-критерий с
числом степеней свободы N-1, который определяют по приложению 7. Если
ВR< ВТ= 2[pD; f=N-1], то это свидетельствует об отсутствии значимого
различия между дисперсиямиS2u{Y}, т.е. об их однородности.
3.4. Определение средней дисперсии выходного параметра
в опытах матрицы
Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных
опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле:
S(21)
1
N
N
Su2 Y
(12)
u 1
Число степеней свободы этой дисперсии равно:
f S(21) N (m 1)
Средняя
(13)
дисперсия
характеризует
средний
разброс
значений
выходного параметра относительно его средних значений при каждом
уровне факторов, т.е. ошибку опытов в эксперименте. В рассматриваемом
примере эта дисперсия, или, как ее называют дисперсия воспроизводимости,
равна:
8
S(21)
0,6448
0,107
6
f S 2 6(5 1) 24.
(1)
3.5. Определение подходящего вида регрессионной модели
Для определения подходящего вида регрессионной модели используют
следующую информацию:
1) графическую взаимосвязь Y =f(X) между средними значениями
выходного параметра для каждого уровня факторов и значением
фактора по данным эксперимента. При сопоставлении этого
графика с графиками известных функций устанавливают вид
уравнения;
2) характер изменения разделенных и неразделенных разностей
первого порядка, определяемых по данным эксперимента.
Если в результате эксперимента получены следующие пары
значений
X Y ,..., X u Y ,...X Y
, то разделенными разностями
N N
11
u
первого порядка называются величины:
R1
Y 2 Y1
Yu 1 Yu
Y N Y N 1
, ..., Ru
, ..., R( N 1)
X X
X
Xu
X X
N
N 1
2
1
u 1
(14)
и неразделенными разностями первого порядка величины:
Н1 Y 2 Y1, ... , Нu Y u 1 Y u , ..., Н ( N 1) Y N Y N 1
(15)
Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал
варьирования факторов постоянный, т.е. IX=X2-X1=Xu+1-Xu=XN-XN-1=const.
В рассматриваемом примере графическая взаимосвязь Y =f(X) между
средними значениями выходного параметра Y для каждого уровня факторов
и значением фактора X приведена на рис.1. При сопоставлении этого графика
с графиками известных функций можно сделать вывод, что для описания
экспериментальных данных наиболее подходит линейная модель.
9
14
Y
12
10
8
6
4
2
X
10
20
30
40
50
60
70
Рис.1. Регрессионная зависимость
В
рассматриваемом
постоянный
и
равен
примере интервал
варьирования
факторов
IX=20-10=30-20=40-30=50-40=60-50=10.
Поэтому
определяем неразделенные разности первого порядка по формуле (15):
Н 1 4,28 2,06 2,22
Н 2 6,18 4,28 1,90
Н 3 8,16 6,18 1,98
Н 4 10,14 8,16 1,98
Н 5 12,46 10,14 2,32
Ввиду малого различия неразделенных разностей первого порядка
Н max Н min 2,32 1,9 0,42 , не превышающего удвоенной величины
среднеквадратической ошибки эксперимента 2S(1){Y}=0,656, можно считать
что они тождественны и поэтому для описания экспериментальных данных
можно принять уравнение прямой линии:
YR a0 a1 X
(16)
или
YR d0 d1(X - X),
(17)
где
1
X
N
N
Xu
u 1
(18)
10
Использование уравнения (17) позволяет упростить статистические
расчеты при обработке экспериментальных данных, так как коэффициенты
регрессии d0 и d1 не коррелированны.
3.6. Определение коэффициентов регрессии
Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора
однородны, то для определения коэффициентов регрессии в уравнении (17)
можно применять метод наименьших квадратов. Используя условие
N
(Yu YRu )2 min , устанавливают следующие нормальные уравнения:
u 1
d0 N d1 ( X X ) Y u
u
u 1
u 1
N
N
N
d0 ( X X ) d ( X X ) 2 ( X X )Y u
u
1
u
u
u 1
u 1
u 1
N
N
(19)
N
( X u X ) 0 , то решая эти уравнения, получаем :
Так как
u 1
d0
1
N
N
Y u Y
(20)
u 1
N
( X u X )Y u
d u 1
1
N
(21)
( X u X )2
u 1
Определим по формулам (20) и (21) коэффициенты регрессии для
рассматриваемого примера. Расчеты необходимых сумм сводим в табл.3.
По формуле (18) находим:
X
210
35.
6
По формулам (20) и (21) определяем:
d0 Y
d1
43,28
7,21
6
357,8
0,2.
1750
11
Таблица 3
Расчет сумм для определения коэффициентов регрессии
( X u X )2
Yu
( X u X )Y u
-25
-15
-5
5
15
25
625
225
25
25
225
625
2,06
4,28
6,18
8,16
10,14
12,46
-51,5
-64,2
-30,9
40,8
152,1
311,5
1750
43,28
357,8
u
Xu
Xu X
1
2
3
4
5
6
10
20
30
40
50
60
210
N
u 1
Поэтому искомое уравнение имеет вид:
YR 7,21 0,2( X 35)
или
YR 0,21 0,2 X .
График этой функции изображен на рис.2.
3.7. Определение адекватности полученного уравнения
Для определения адекватности полученного уравнения используют
критерий Фишера, расчетное значение которого определяют по формуле:
FR
где
S(22){Y }
(22)
S(21){Y }
S(21){Y } - средняя дисперсия,или дисперсиявоспроизводимости,
определяемая по формуле (12);
S(22){Y } - дисперсия,ххарактер зующая рассеивание средних
экспериментальных значений Yu относительно прямой ллинии
определяемой уравнением регрессииYR.
Дисперсия
S2(2){Y}
характеризует
точность
аппроксимации
зависимости Y f (X ) прямой линией и определяется по формуле:
m N
(Y u YRu ) 2
N 2
u 1
Число степеней свободы этой дисперсии равно:
S(22){Y }
f {S(22)} N 2
(23)
(24)
12
Расчетное значение FR сравнивают с табличным значением критерия
Фишера FT, которое определяют по приложению 3 в зависимости от
доверительной вероятности pD=0,95 и числа степеней свободы дисперсий
f {S(21)} и f {S(22)}. Если FR>tT=2,048 и tR{d1}=56,5>>tT=2,048, полученные
коэффициенты значимы и, следовательно, связь между Y и X значима.
Доверительные
абсолютные
ошибки
коэффициентов
регрессии
вычисляем по формуле:
di S di t T [ pD ; f {S 2}]
(30)
Для данного примера эти ошибки равны:
{d0} 0,3 2,048 0,61
{d1} 0,0035 2,048 0,007
Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов
регрессии d0, d1 в линейном уравнении (17) определяются неравенством:
di {di } di di {di }
Для
рассматриваемого
примера
(31)
доверительные
коэффициентов регрессии при pD=0,95следующие:
7,21 0,61 d0 7,21 0,61
6,6 d0 7,82
0,2 0,007 d1 0,2 0,007
0,193 d1 0,0207
интервалы
15
3.9. Определение доверительных интервалов средних значений
выходного параметра при фиксированном значении фактора
Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного
параметраYRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Xu,
определяем доверительные ошибки {YRu} расчетного значения выходного
параметра и доверительные интервалы среднего значения выходного
параметра.
Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для
каждого уровня фактора рассчитываются по формуле:
{YRu } S m{YRu } tT [ pd ; f {S 2}],
(32)
где S m{YRu } - оценка среднего квадратического отклонения расчетного
значения выходного параметра YRu для каждого значения X u , определяемая
по формуле :
S m 2{YRu } S 2{d 0 } S 2{d1} ( X u X ) 2
(33)
S m{YRu } S 2{d 0 } S 2{d1} ( X u X ) 2
(34)
Для данного примера:
Sm{YRu } 0,09 0,000013 ( X u X )2 .
Расчеты значений Sm{YRu}для каждого u–го уровня фактора сведены в
табл.5.
В рассматриваемом примере табличное значение критерия Стьюдента
(см. пункт 2.8) равно tT[pD=0,95;f=28]=2,048. Подставляя это значение в
формулу (32), получаем:
m{YRu } 2,048 Sm{YRu }.
В таблице 5 приведены полученные значения S2m{YRu}, Sm{YRu}
и
{YRu} для каждого уровня фактора. Зная доверительные ошибки расчетных
значений, можно найти доверительные интервалы для истинных средних
значений выходного параметра, используя следующее неравенство:
(u )
( 0)
YmR
( X ) YRu {YRu } YRu YRu {YRu } YmR
(X )
(35)
16
Таблица 5
Расчет доверительных интервалов средних значений
выходного параметра
u
Xu
1
2
3
4
5
6
10
20
30
40
50
60
2
( X u X )2 S m{YRu} Sm{YRu} m{YRu}
625
225
25
25
225
625
0,099
0,094
0,092
0,092
0,094
0,099
0,315
0,307
0,303
0,303
0,307
0,315
0,65
0,63
0,62
0,62
0,63
0,65
YRu
2,21
4,21
6,21
8,21
10,21
12,21
(u)
(0)
1,56
3,58
5,59
7,59
9,58
11,56
2,86
4,84
6,83
8,83
10,84
12,86
YmR (X) YmR (X)
На основе приведенных в табл.5 значений границ доверительного
(u)
(0)
интервала строим график функций YmR (X) иYmR (X) (см. рис.2). Графики
этих двух функций образуют своеобразный “коридор”. Любое сечение его
прямой, параллельной вертикальной оси, соответствует доверительному
интервалу, в котором с заданной вероятностью будет находиться истинное
среднее значение выходного параметра. Легко заметить, что в этот коридор
попадают средние экспериментальные значения Yu . Однако некоторые
индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него
не попадают, так как интервалы построены для средних значений.
2.10. Определение доверительных интервалов для индивидуальных
значений выходного параметра при каждом уровне фактора
Границы доверительного интервала для индивидуальных значений
выходного параметра Yuv при каждом уровне фактора Xu определяются по
формулам:
(u )
YeR
( X ) YR ( X ) e{YR }
(36)
( 0)
YeR
( X ) YR ( X ) e{YR }
(37)
e{YR } Se{YRu } tT [ pD ; f {S 2}]
(38)
Se2{YRu } Sm2 {YRu } S 2{Y }
(39)
Se{YRu } Sm2 {YRu } S 2{Y }
(40)
17
Используя значения S2m{YRu} из табл.5 и ранее определенные по
формуле (28) S2{Y}=0,11 и tT[pD=0,95;f=28]=2,048, все расчеты верхней
границы и нижней границы доверительного интервала по формулам (36) и
(37) сводим в табл.6. Используя
(u)
данные табл.6, строим графики
(0)
функцийYeR (X) иYeR (X), которые являются доверительными границами
зоны индивидуальных значений Yuv выходного параметра (см. рис.2).
Вероятность попадания точек, соответствующих индивидуальным значениям
выходного параметра, равна 0,95, т.е. из ста измерений выходного параметра
при любом уровне варьирования фактора 95 измерений попадают в эту зону
и только 5 не попадают.
Таблица 6
Расчет доверительных интервалов для индивидуальных
значений выходного параметра
u
Xu
1
2
3
4
5
6
10
20
30
40
50
60
S2m{YRu} S2e{YRu} Se{YRu} e{YRu}
0,099
0,094
0,092
0,092
0,094
0,099
0,209
0,204
0,201
0,201
0,204
0,209
0,457
0,452
0,449
0,449
0,452
0,457
0,936
0,925
0,919
0,919
0,925
0,936
YRu
2,21
4,21
6,21
8,21
10,21
12,21
(u)
(0)
1,274
3,285
5,291
7,291
9,285
11,274
3,146
5,135
7,129
9,129
11,135
13,146
YeR (X) YeR (X)
Рассматривая индивидуальные значения Yuv (см. табл.1) и границы
зоны для каждогоXu (табл.6) замечаем, что все индивидуальные измерения
(u)
(0)
попали в доверительную зону, т.е. располагаются междуYeR (X) иYeR (X).
На этом заканчивается статистическая обработка данных рассматриваемого
однофакторного эксперимента.
18
Y
14
12
10
8
6
4
2
10
Y
YRu
20
YmR(u)(X)
30
40
YmR(0)(X)
50
60
YeR(u)(X)
Рис.2. Линейная регрессионная однофакторная модель и ее
доверительные интервалы
70
X
YeR(0)(X)
19
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Критические значения VT критерия исключения
резко выделяющихся данных выборки
Повторности
m
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,99
1,414
1,723
1,955
2,130
2,265
2,374
2,464
2,540
2,606
2,663
2,714
2,759
2,800
2,837
2,871
2,903
2,932
2,959
2,984
3,008
3,030
3,051
3,071
РД
0,95
1,412
1,689
1,869
1,996
2,093
2,172
2,237
2,294
2,343
2,387
2,426
2,461
2,493
2,523
2,551
2,577
2,600
2,623
2,644
2,664
2,683
2,701
2,717
0,90
1,406J
1,645
1.791
1,894
1,974
2,041
2,097
2,146
2,190
2,229
2,264
2,297
2,326
2,354
2,380
2,404
2,426
2,447
2,467
2.486
2,504
2,502
2,537
20
Приложение 2
Значения tT критерия Стьюдента tT[РД; f]
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
РД
0,8
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,313
1,311
1,310
1,303
1,296
1,289
1,282
0,90
РД
Двустopoнний критерий
0,9
0,95
0,99
6,314
12,706
63,657
2,920
4,303
9,925
2,353
3,182
5,841
2,132
2,776
4,604
2,015
2,571
4,032
1,943
2,447
3,707
1,895
2,365
3,499
1,860
2,306
3,355
1,833
2,262
3,250
1,812
2,228
3,169
1,796
2,201
3,106
1,782
2,179
3,055
1,771
2,160
3,012
1,761
2,145
2,977
1,753
2,131
2,947
1,746
2,120
2,921
1,740
2,110
2,898
1,734
2,101
2,878
1,729
2,093
2,861
1,725
2,086
2,845
1,721
2,080
2,831
1,717
2,074
2,819
1,714
2,069
2,807
1,711
2,064
2,797
1,708
2,060
2,787
1,706
2,056
2,779
1,703
2,052
2,771
1,701
2,048
2,763
1,699
2,045
2,756
1,697
2,042
2,750
1,684
2,021
2,704
1,671
2,000
2,660
1,658
1,980
2,617
1,645
1,960
2,576
0,95
0,975
0,995
Односторонний критерий
0,999
636,62
31,598
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,767
3,745
3,725
3,707
3,690
3,674
3,659
3,646
3,551
3,460
3,373
3,291
0,9995
21
Приложение 3
Таблица значений FT критерия Фишера FT[РД=0,95, f2; f1]
(f2 — степень свободы для большей дисперсии,
f1 - степень свободы для меньшей дисперсии)
f1\f2
1
2
3
4
5
В
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5
18,51 19.00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19.37 19,38
10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81
7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00
6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77
5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10
5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68
5,32 4,16 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39
5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18
4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02
4,81 4,38 3,59 3,36 3,20 3,09 3.01 2,95 2,90
4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80
4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71
4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65
4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59
4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54
4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49
4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46
4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42
4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39
4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37
4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34
4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32
4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30
4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28
4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27
4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25
4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24
4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22
4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21
4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12
4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04
3,922 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96
3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88
22
Окончание приложения 3
f1\f2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
∞
10
241,9
19,40
8,79
5,96
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
2,67
2,60
2,54
2,49
2,45
2,41
2,38
2,35
2,32
2,30
2,27
2,25
2,24
2,22
2,20
2,19
2,18
2,16
2,08
1,99
1,91
1,83
12
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2.12
2JO
2,09
2,00
1,92
1,83
1,75
15
245,9
19,43
8,70
5,86
4,62
3,94
3,51
3,22
3,01
2,85
2,72
2,62
2,53
2,46
2,40
2,35
2.31
2,27
2,23
2,20
2,18
2,15
2,13
2,11
2,09
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
1,92
1,84
1,75
1,67
20
248,0
19,45
8,66
5,80
4,56
3,87
3,44
3,15
2,94
2,77
2,65
2,54
2,46
2,39
2,33
2,28
2,23
2,19
2,16
2,12
2,10
2,07
2,05
2,03
2,01
1,99
1,97
1,96
1,94
1,93
1,84
1,75
1,66
1,57
24
249,1
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,51
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,01
1,98
1,96
1,95
1.93
1,91
1,90
1,89
1,79
1,70
1,61
1,52
30
250,1
19,46
8,62
5,75
4,50
3,81
3,38
3,08
2,86
2,70
2,57
2,47
2,38
2,31
2,25
2,19
2.15
2,11
2,07
2,04
2,01
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
1,87
1,85
1,84
1,74
1,65
1,55
1,46
40
251,1
19,47
8,59
5,72
4,48
3,77
3,34
3,04
2,83
2,66
2,53
2,43
2,34
2,27
2,20
2,15
2,10
2,06
2,03
1,99
1,96
1,94
1,91
1,89
1,87
1.85
1,84
1,82
1,81
1,79
1,69
1,59
1,50
1,39
60
252,2
19,48
8,57
5,69
4,43
3,74
3,30
3,01
2,79
2,62
2,49
2,38
2,30
2,22
2,16
2,11
2,06
2,02
1,98
1,95
1,92
1,89
1,86
1,84
1,82
1,80
1,79
1,77
1,75
1,74
1,64
1,53
1,43
1,32
120
253,3
19,49
8,55
5,66
4,40
3,70
3,27
2,97
2,75
2,58
2,45
2,34
2,225
2,18
112,
2,06
2,01
1,97
1,93
1,90
1,87
1,84
1,81
1,79
1,77
1,75
1,73
1,71
1,70
1,68
1,58
1,47
1,35
1,22
∞
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2.40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1.76
1,73
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,51
1,39
1,25
1,00
1,71
23
Приложение 4
Табличные значения критерия Кочрена, т. е. отношения наибольшей эмпирической дисперсии к
суммеN эмпирических дисперсий GT[рD=0,95;f =m— 1,N]
N
1
2 0,9985
3 0,9669
4 0,9065
5 0,8412
6 0,7808
7 0,7271
8 0,6798
9 0,6385
10 0,6020
12 0,5410
15 0,4709
20 0,3894
24 0,3434
30 0,2929
40 0,2370
60 0,1737
120 0,0998
∞
2
0,9750
0,8709
0,7679
0,6838
0,6161
0,5612
0,51.57
0,4775
0,4450
0,3924
0,3346
0,2705
0,2354
0,1980
0,1576
0,1131
0,0632
3
0,9392
0,7977
0,6841
0,5981
0,5321
0,4800
0,4377
0,4027
0,3733
0,3264
0,2758
0,2205
0,1907
0,1593
0,1259
0,0895
0,0495
4
0,9057
0,7457
0,6287
0,5441
0,4803
0,4307
0,3910
0,3584
0,3311
0,2880
0,2419
0,1921
0,1656
0,1377
0,1082
0,0765
0,0419
5
0,8772
0,7071
0,5859
0,5065
0,4447
0,3974
0,3595
0,3286
0,3029
0,2624
0,2195
0,1735
0,1493
0,1237
0,0968
0,0682
0,0371
f
Доверительная вероятность0,95
6
7
8
9
0,8534 0.8332 0,8159 0,8010
0,6771 0,6530 0,6333 0,6167
0,5598 0,5365 0,5175 0,5017
0,4783 0,4564 0,4387 0,4241
0,4184 0,3980 0,3817 0,3682
0,3726 0,3535 0,3384 0,3259
0,3362 0,3185 0,3043 0,2926
0,3067 0,2901 0,2768 0,2659
0,2823 0,2666 0,254! 0,2439
0,2439 0,2299 0,2187 0,2098
0,2034 0,1911 0,1815 0,1736
0,1602 0,1501 0,1422 0,1357
0,1374 0,1286 0,1216 0,1160
0,1137 0,1061 0,1002 0,0958
0,0887 0,0827 0,0780 0,0745
0,0623 0,0583 0,0552 0,0520
0,0337 0,0312 0,0292 0,0279
10
0,7880
0,6025
0,4884
0,4118
0,3568
0,3154
0,2829
0,2568
0,2353
0,2020
0,1671
0,1303
0,1113
0,0921
0,0713
0,0497
0,0266
16
0,7341
0,5466
0,4366
0,3645
0,3135
0,2756
0,2462
0,2226
0,2032
0,1737
0,1429
0,1108
0,0094
0,0771
0,0595
0,0411
0,0218
36
0,5602
0,4748
0,3720
0,3066
0,2612
0,2278
0.2022
0,1820
0,1655
0,1403
0,1144
0,0879
0,0743
0,0604
0,0462
0,0316
0,0165
144
0,5813
0,4031
0,3093
0,2513
0,2119
0,1833
0,1616
0,1446
0,1308
0,1100
0,0889
0,0675
0,0567
0,0457
0,0347
0,0234
0,0120
∞
0,5000
0,3333
0,2500
0,2000
0,1667
0,1429
0,1250
0,1111
0,1000
0,0833
0,0667
0,0500
0,0417
0,0333
0,0250
0,0167
0,0083
24
Приложение5
Коэффициенты qm-i+1, используемые при проверке
экспериментальных данных на нормальность с
помощью критерия W, для т=3...50
m
i
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
8
9
0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888
0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244
0,0875 0,1401 0,1743 0,1976
0,0561 0,0947
m
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
0,5601
0,3315
0,2260
0,1429
0,0695
12
0,5475
0,3325
0,2347
0,1586
0,0922
0,0303
13
0,5359
0,3325
0,2412
0,1707
0,1099
0,0539
14
0,5251
0,3318
0,2460
0,1802
0,1240
0,0727
0,0240
15
0,5150
0,3306
0,2495
0,1878
0,1353
0,0880
0,0433
16
0,5056
0,3290
0,2521
0,1939
0,1447
0,1005
0,0593
0,0196
17
0,4968
0,3273
0,2540
0,1988
0,1524
0,1109
0,0725
0,0359
18
0,4886
0,3253
0,2553
0,2027
0,1587
0,1197
0,0837
0,0496
0,0163
24
0,4493
0,3098
0,2554
0,2145
0,1807
0,1512
0,1245
25
0,4450
0,3069
0,2543
0,2148
0,1822
0,1539
0,1283
26
0,4407
0,3043
0,2533
0,2151
0,1836
0,1563
0,1316
m
i
1
2
3
4
5
6
7
10
0,5739
0,3291
0,2141
0,1224
0,0399
19
0,4808
0,3232
0,2561
0,2059
0,1641
0,1271
0,0932
20
0,4734
0,3211
0,2565
0,2085
0,1686
0,1334
0,1013
21
0,4643
0,3185
0,2578
0,2119
0,1736
0,1399
0,1092
22
0,4590
0,3156
0,2571
0,2131
0,1764
0,1443
0,1150
23
0,4542
0,3126
0,2563
0,2139
0,1787
0,1480
0,1201
25
Приложение 6
Критические значения критерия W, используемого
для проверки экспериментальных данных на нормальность,
для т = 3 ... 50
т
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
PD
0,99
0,753
0,687
0,686
0,713
0,730
0,749
0,764
0,781
0,792
0,805
0,814
0,825
0,835
0,844
0,851
0,858
0,863
0,868
0,873
0,878
0,881
0,884
0,888
0,891
0,894
0,896
0,898
0,900
0,902
0,904
0,906
0,908
0,910
0,912
0,914
0,916
0,98
0,756
0,707
0,715
0,743
0,760
0,778
0,791
0,806
0,817
0,828
0,837
0,846
0,855
0,863
0,869
0,874
0,879
0,884
0,888
0,892
0,895
0,898
0,901
0,904
0,906
0,908
0,910
0,912
0,914
0,915
0,917
0,919
0,920
0,922
0,924
0,925
0,95
0,767
0,748
0,762
0,788
0,803
0,818
0,829
0,842
0,850
0,859
0,866
0,874
0,881
0,887
0,892
0,897
0,901
0,905
0,908
0,911
0,914
0,916
0,918
0,920
0,923
0,924
0,926
0,927
0,929
0,930
0,931
0,933
0,934
0,935
0,936
0,938
0,90
0,789
0,792
0,806
0,826
0,838
0,851
0,859
0,869
0,876
0,883
0,889
0,895
0,901
0,906
0,910
0,914
0,917
0,920
0,923
0,926
0,928
0,930
0,931
0,933
0,935
0,936
0,937
0,939
0,940
0,941
0,942
0,943
0,944
0,945
0,946
0,947
0.50
0,959
0,935
0,927
0,927
0,928
0,932
0,935
0,938
0,940
0,943
0,945
0,947
0,950
0,952
0,954
0,956
0,957
0,959
0,960
0,961
0,962
0,963
0,964
0,965
0,965
0,966
0,966
0,967
0,967
0,968
0,968
0,969
0,969
0,970
0,970
0,971
26
Окончание приложения 6
т
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
PD
0,99
0,917
0,919
0,920
0,922
0,923
0,924
0,926
0,927
0,928
0,929
0,929
0,930
0,98
0,927
0,928
0,929
0,930
0,932
0,933
0,934
0,935
0,936
0,937
0,937
0,938
0,95
0,939
0,940
0,941
0,942
0,943
0,944
0,945
0,945
0,946
0,947
0,947
0,947
0,90
0,948
0,949
0,950
0,951
0,951
0,952
0,953
0,953
0,954
0,954
0,955
0,955
0.50
0,971
0,972
0,972
0,972
0,973
0,973
0,973
0,974
0,974
0,974
0,974
0,974
27
Приложение 7
Таблица критических значений ВT =T2 [РД; f]
РД
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,9
2,705
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,361
14,684
15,587
17,275
18,546
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
29,615
30,813
32,007
33,169
34,382
0,95
3,841
5,991
7,815
9,488
10,070
12,591
14,067
15,507
16,919
18,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,143
31,410
32,670
33,924
35,172
36,415
37,652
0,99
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
31,999
33,409
34,805
36,191
37,566
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
0,999
10,828
13,816
16,266
18,467
20,515
22,458
24,322
26,125
27,877
29,588
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
46,797
48,268
49,728
51,179
52,620