Линейные уравнения. Теория матриц.

Введение В различных экономических задачах, задачах техники и естествознания приходится рассматривать системы линейных уравнений и неравенств. Основы линейной алгебры изучают произвольные системы уравнений первой степени или, как говорят, линейные уравнения. Возникают вопросы: 1) Имеет ли система решение? 2) Сколько решений имеет система? 3) Как найти решения системы? Для исследования и решения таких систем в том случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, разработан специальный аппарат – теория определителей. Этого аппарата, однако, уже недостаточно для изучения систем, в которых число уравнений не равно числу неизвестных. Оказалось необходимым разработать теорию матриц. Эта теория оказалась очень глубокой и нашла приложения далеко за пределами теории систем линейных уравнений. Тема 1 Матрицы их свойства 1.1 Матрицы. Действия над матрицами Запишем систему т линейных уравнений с п неизвестными: Таблицу из коэффициентов при неизвестных назовем прямоугольной матрицей порядка т х п и обозначим буквой А: Матрица А состоит из т·п элементов, расположенных в т строках и п столбцах. Если аij – произвольный элемент матрицы, то индекс i (номер строки) принимает значения от 1 до т, индекс j (номер столбца) принимает значения от 1 до п. Записывают: i=1,2,3,…,т; j=1,2,3,..,п. Например, - матрица порядка 2х4. - матрица – строка порядка 1х5. - матрица – столбец порядка 4х1. При т=п получим квадратную матрицу. Квадратная матрица называется единичной, если ее главная диагональ состоит из единиц, а все другие ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е. Так, - единичная матрица второго порядка. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О. - нулевая матрица порядка 2х3; - нулевая матрица порядка 2х2. 1.2 Основные действия над матрицами 1. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одного и того же порядка называется матрица С того же порядка, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Обозначают А+В=С Если аij и - элементы матриц А и В соответственно, то элемент матрицы С . 2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на это число. 3. Транспонирование матрицы. Если матрица А порядка т х п, то транспонированная матрица имеет порядок п х т и получается заменой строк столбцами. Обозначается Ат. № 11. Примеры. Если , то сумма С=А+В – матрица, равная . Произведение матрицы А на число k Найдем разность матриц Транспонированные для матриц А и В матрицы Ат= и Вт=. Заметим, что единичная матрица Е при транспонировании не меняется. 4. Умножение матрицы на матрицу. Операция умножения матриц является исходным пунктом обширной теории – алгебры матриц, играющей важную роль в различных разделах математики и ее приложениях. Пусть даны матрица А порядка т х р и матрица В порядка р х п. Обозначим аik – элемент матрицы А, i=1,2,…,т; k=1,2,…,р; - элемент матрицы В, k=1,2,…,р; j=1,2,…,п. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С порядка т х п, каждый элемент которой , т.е. элемент сij, стоящий в строке с номером i и столбце с номером j, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Из этого определения вытекает, что матрицу А можно умножать не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. В качестве примера рассмотрим . Записана формула умножения матрицы порядка 3х2 на матрицу порядка 2х2. Очевидно, если возможно умножение АВ, то умножение ВА не всегда возможно. Если обе матрицы квадратные одного порядка, то возможны умножения в любом порядке, но и тогда, как правило, Например, если , то , т.е. . В случае, если одна из матриц – сомножителей является единичной, то АЕ=ЕА=А. Заметим, что в этом случае А – квадратная матрица. Пример. № 12. , . Найти произведения АВ и ВА. = 5. Обратная матрица Действия над матрицами во многом аналогичны действиям над обычными числами. Среди чисел существует число 1 (единица) такое, что а1=1а=а для любого числа а. Среди квадратных матриц роль такой «единицы» выполняет единичная матрица Е: АЕ=ЕА=А для любой квадратной матрицы А. Для каждого числа а, отличного от нуля (а0), существует обратное число а-1 такое, что аа-1=а-1а=1. Оказывается, что аналогичное свойство справедливо и для матриц, причем роль условия а0 играет условие , где через А мы обозначаем определитель матрицы А. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю, называется вырожденной. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если. Итак, для всякой невырожденной матрицы существует обратная. Правило отыскания обратной матрицы. Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка п и аij – элемент ее (i,j=1,2,…,п). По условию определитель матрицы А . Найдем для всех элементов аij матрицы их алгебраические дополнения Аij. Составим матрицу, заменив каждый элемент аij алгебраическим дополнением Аij. Естественно, это будет тоже квадратная матрица порядка п. Затем протранспонируем ее и умножим на число . Полученная матрица и будет обратной для матрицы А. Итак, если то обратная матрица . Для отыскания обратной матрицы необходимо: 1. Вычислить определитель данной матрицы (должно быть ). 2. Вычислить алгебраические дополнения Аij для всех элементов аij матрицы А по формуле Аij=(–1)i+jМij, где Мij – минор элемента аij. 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений Аij. 4. Протранспонировать матрицу из алгебраических дополнений. 5. Полученную после транспонирования матрицу умножить на число . Пример. № 13. Найти обратную для матрицы 1) 2) 3) Составим матрицу из алгебраических дополнений 4) и протранспонируем ее: . 5) Умножив последнюю матрицу на число , получим обратную матрицу: Убедимся в том, что обратная матрица найдена правильно: Так как , то обратная матрица найдена верно. Тема 2 Определители матриц 2.1 Определители второго и третьего порядков Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: (1) Умножая обе части первого уравнения на , а второго на и затем, складывая уравнения, получим Умножая первое уравнение на –а2, а второе на а1 и после этого складывая уравнения, получим Из этих уравнений при условии получим решение системы (1). (2) Заметим, что знаменатели в формулах (2) составлены из коэффициентов , , , при неизвестных системы (1). Условились записывать число в виде таблицы и назвали его определителем второго порядка, т.е. =. Аналогично, = и =. Формулы (2) теперь можно записать с помощью трех определителей второго порядка, составленных из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1): , где = - определитель системы, = - определитель неизвестного х, = - определитель неизвестного у. Формулы (2) позволяют сформулировать правило Крамера для решения системы (1). Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам: , . (3) Вернемся к определителю второго порядка =. Определитель второго порядка – это число, вычисленное по таблице, составленной из четырех чисел (элементов) , , , . Элементы определителя расположены в двух строках ( и в первой строке, и во второй строке) и в двух столбцах ( и в первом столбце, и во втором столбце). Диагональ, на которой расположены элементы , называется главной, диагональ из элементов , называется побочной. Таким образом, определитель равен разности произведений элементов, стоящих соответственно на главной и побочной диагоналях. Если для системы (1) определитель системы =, то = получается из заменой первого столбца (т.е. коэффициентов при х) столбцом свободных членов, = получается из заменой второго столбца (из коэффициентов при у) столбцом свободных членов. Примеры. №1. Решить систему ; № 2 Решить систему № 3 Решить систему Запишем систему в определенном порядке: . Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Удобнее все неизвестные обозначить буквой х с индексом (х1, х2, х3), все коэффициенты при неизвестных – одной буквой а с двумя индексами, из которых первый – номер уравнения, второй – номер неизвестного. (4) Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных (он содержит девять элементов, записанных в три строки и в три столбца), назовем определителем системы (4). - определитель третьего порядка. Укажем правило Сарруса для вычисления определителя третьего порядка: Для удобства покажем схему, по которой вычисляют определитель третьего порядка.    +    +    –    –                      -                      Рисунок - 1 Итак, произведения элементов, соединенные пунктиром, входят в сумму со знаком плюс или со знаком минус. Примеры. № 4. Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными правило Крамера формулируется аналогично уже доказанному. Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: (5) Здесь - определители при неизвестных соответственно, полученные из определителя системы заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом из свободных членов. № 5. Проверкой убедимся, что решение системы найдено правильно: 22-5+3=2 верно 52-5+33=14 верно 22-5+23=5 верно Ответ: х=2, у= –5, z=3. 2.2 Определители n-го порядка Определитель n–го порядка состоит из n2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов , и имеет вид: . Элемент определителя аij стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав аi3(i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а13, а23, а33,…,аn3. Элементы аij (при i=j) составляют главную диагональ определителя. Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств. Свойства определителей: 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов. 2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак. 3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю. 4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя. 5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю. 6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Примеры. № 6. Вычислить определители: а) Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца. б) К элементам первой строки прибавили элементы третьей. в) Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю. Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения. Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент аij, то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента аij и обозначается Мij. Например, в определителе третьего порядка найдем минор М21 элемента а21. Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец: В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка. Запишем миноры элементов а32 и а44, например, определителя четвертого порядка: Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком (–1)i+j, и обозначается Аij. Таким образом, Аij=(–1)i+jМij. Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя . . Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя по строке или столбцу. 7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка: - разложение по элементам первой строки. Следствие. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение. Поэтому, например, №.7 В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2. Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка. Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный. Диагональным определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю. Треугольным определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. № 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка Раскладывая определитель по элементам 1го столбца, мы получили произведение Но определитель (n–1)-го порядка А11 таким же образом представим в виде произведения и т.д. Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали. Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали: № 9 Вычислить определители: 1) 2) т.к. в треугольном определителе один из элементов главной диагонали равен нулю. Два рассмотренных в примере № 9 определителя мы свели к треугольной форме, получая в столбцах нули с помощью 6го свойства определителей. Покажем, как еще можно вычислить определитель, применяя изложенные свойства. 3) Опишем наши действия. В данном определителе привлекательна вторая строка, т.к. она уже содержит два нуля. Умножив все элементы 3-го столбца на 5, прибавим их к соответствующим элементам 1-го столбца. Полученный определитель равен произведению отличного от нуля элемента –1 на его алгебраическое дополнение А23. Из первого столбца определителя 3-го порядка вынесем общий множитель 2 и получим нули во 2-м столбце, сложив 1-ю строку со второй, затем, сложив 3-ю строку со второй, умноженной на 5. Полученный определитель второго порядка можно упростить, сложив 2-ю строку с первой, умноженной на (-3). Затем из первой строки вынесем общий множитель 3. Тема 3 Системы линейных алгебраических уравнений 3.1 Система n линейных уравнений с n неизвестными Для исследования и решения системы n линейных уравнений с n неизвестными воспользуемся сведениями об определителях n-го порядка. Дана система Решением системы называется любой набор n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных х1, х2, х3, …, хn подставить эти числа, то все уравнения обратятся в верные равенства (тождества). Определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. . Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Это решение вычисляется по формулам . (6) Здесь - определитель при неизвестном хi, который получается из определителя системы заменой столбца из коэффициентов при хi (с номером i) столбцом свободных членов. Указанные формулы носят название правила Крамера, а систему в этом случае называют крамеровской. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной. Запишем такую систему: Понятно, что х1=х2=….=хn=0 – одно из решений однородной системы. Назовем его нулевым решением. Видимо, нулевое решение будет единственным, если определитель системы отличен от нуля. А для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, должно быть =0. Примеры. № 10. Является ли крамеровской система а) б) В примере № 6 (б) определитель первой системы был вычислен: Поэтому первая система не является крамеровской, т.е. не может иметь единственное решение. В примере № 7 был вычислен определитель второй системы. Поскольку он отличен от нуля, система имеет единственное решение. Предлагается найти это решение по формулам Крамера. Для этого придется вычислить еще четыре определителя четвертого порядка. Поэтому практическое значение правила Крамера для достаточно большого n весьма невелико. С практической точки зрения гораздо более удобным является метод Гаусса, который будет рассмотрен далее. 3.2 Матричный способ решения системы линейных уравнений Обратимся вновь к системе п линейных уравнений с п неизвестными. (7) Покажем, что эту систему можно записать в виде одного матричного уравнения. Для этого введем в рассмотрение матрицы: . Назовем А – матрицей системы, Х – столбцом неизвестных, В – столбцом свободных членов. Рассмотрим уравнение АХ=В. Умножая первую строку матрицы А на столбец Х, получим первый элемент матрицы В, т.е. . А это и есть первое уравнение системы (7). Аналогично, получим и все остальные уравнения системы (7). Итак, система (7) может быть представлена одним уравнением АХ=В, (8) которое и является матричной формой системы (8). Если матрица А системы (8) невырожденная, то существует матрица А-1, обратная для матрицы А. Умножим слева обе части уравнения (9) на А-1. Получим А-1АХ=А-1В. Так как А-1А=Е и ЕХ=Х, то имеем Х=А-1В (9) Формула (9) дает матричную запись решения системы (8). Рассмотрим пример № 14. Решить систему матричным способом Запишем систему в определенном порядке , т.е. матрица А – невырожденная. Найдем обратную матрицу А-1. - обратная матрица. Решение системы найдем по формуле (9): Решение системы: х=2; у= –5; z=3. Подстановкой в систему легко проверить правильность решения. Таким образом, крамеровскую систему можно решить по формулам Крамера или матричным способом. 3.3 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Мы рассматривали системы п линейных уравнений с п неизвестными. Рассмотрим произвольные системы линейных уравнений, в которых число уравнений т и число неизвестных п могут быть разными. Для таких систем решение не обязано быть единственным, если оно вообще существует. Возможны только три случая: 1) система не имеет ни одного решения (несовместна), 2) система имеет единственное решение, 3) система имеет бесчисленное множество решений. Одним из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательных исключений неизвестных, или метод Гаусса. Решим систему методом последовательного исключения неизвестных: Умножив первое уравнение на (-3), сложим со вторым, а умножив первое же уравнение на (-5), сложим с третьим. Получим систему, равносильную данной: Умножив второе уравнение системы (12) на (-1), сложим его с третьим: Система равносильна данной, но решается очень просто снизу вверх: из третьего уравнения получим z=0, из второго у= –, из первого . Решение системы (11): Сравним матрицы из коэффициентов при неизвестных систем (11), (2), (13). . Матрица системы (11) приведена к «треугольному» виду – матрице системы (13), определитель которой отличен от нуля как треугольный определитель. Значит, система имеет единственное решение, которое, кстати, очень просто теперь найти. Понятно, что удобнее проводить преобразования не с самими уравнениями системы, а только с матрицей из коэффициентов при неизвестных. Перечислим так называемые элементарные преобразования матрицы: 1) умножение всех элементов на одно и то же число; 2) перестановка двух строк; 3) вычеркивание одной из двух пропорциональных или одинаковых строк; 4) вычеркивание строки, состоящей из одних нулей; 5) прибавление ко всем элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число. Матрица, полученная элементарными преобразованиями из данной матрицы, называется ей эквивалентный. Обозначается . Запишем систему т линейных уравнений с п неизвестными: Матрица А порядка т х п, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы. Матрица В порядка т х (п+1), составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы. В ней столбец свободных членов принято отделять вертикальной чертой. . Для решения системы по методу Гаусса выписывают расширенную матрицу В системы и преобразовывают ее, чтобы получить в ней треугольник из нулей в нижнем левом ее углу. Рассмотрим несколько примеров. № 15. Выпишем расширенную матрицу В и при помощи первой ее строки получим нули в первом столбце.  Здесь мы вычли первую строку из каждой из последующих. Чтобы получить нули во втором столбце, используем вторую строку. Сложим ее с третьей; сложим ее и с четвертой, но предварительно умножим на 2. В. Полученная матрица свидетельствует о несовместности системы, т.к. последней ее строке соответствует уравнение 0х1+0х2+0х3+0х4=14, которое не может быть верным ни при каких х1, х2, х3, х4. Итак, система несовместна (не имеет ни одного решения). № 16.  Мы переставили строки вторую и третью, чтобы иметь во втором столбце единицу и при помощи ее получить нули. В последней матрице две одинаковые строки, оставим одну из них. Окончательно имеем . Записав систему «снизу вверх», имеем Система имеет единственное решение: х1= –1;    х2=0;    х3=1. № 17. Преобразуем расширенную матрицу:  Мы переставили местами первую и третью строки. Получим нули в 1м столбце.  Последняя матрица получена после вычеркивания третьей строки (она пропорциональна второй) и деления на общие множители второй и последней строк. Сложив в последней матрице две последние строки, получим: . Из последней матрицы видно, что система не может иметь единственного решения, но она совместна. Значит, система имеет бесчисленное множество решений. Найдем их. Так как полученная матрица содержит три строки, выделим столбцы, которые могут составить треугольный определитель, отличный от нуля. Например, первый, второй и пятый столбцы: Эти столбцы соответствуют неизвестным х1, х2, х5. Назовем их основными неизвестными. Остальные неизвестные назовем свободными неизвестными – это х3 и х4. Запишем систему «снизу вверх» так, чтобы свободные неизвестные были перенесены в правую часть соответствующего уравнения: Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому система может быть решена относительно основных неизвестных х1, х2, х5 по формулам Крамера или непосредственно. Сначала х5= –4+6х4. Затем из второго уравнения х2=12–х3–х4, а из первого уравнения х1=14–, где х3 и х4 – свободные неизвестные, которые могут принимать любые значения. Например, при х3=х4=0, получим х1=14, х2=12, х5= – 4. Решением будут числа х1=14, х2=12, х3=0, х4=0, х5= –4. Обычно свободные неизвестные обозначают буквами с, ,  и т.д. Для нашей системы запишем ответ: где  и  - любые числа. Решая эту систему, мы выбрали в качестве основных неизвестных х1, х2, х5. Можно было выбрать х1, х2, х4, так как столбцы, им соответствующие, тоже составят определитель Суммируя изложенное, подведем некоторые итоги, касающиеся метода Гаусса. Метод Гаусса можно применить к любой системе линейных уравнений. Преобразуя расширенную матрицу системы, можем получить строку, содержащую слева от вертикальной черты только нули, а справа – отличное от нуля число. В этом случае система несовместна. Если такой строки в расширенной матрице мы не получим, то система совместна. А именно: если слева от вертикальной черты получим матрицу с треугольным определителем, отличным от нуля, то система имеет единственное решение, которое легко получить, записывая уравнения «снизу вверх». Если слева от вертикальной черты основная матрица системы содержит в каждой строке более одного отличного от нуля элемента, то система имеет бесчисленное множество решений. В этом случае из всех неизвестных выбирают основные неизвестные – те неизвестные, коэффициенты при которых составят треугольный определитель, отличный от нуля. Оставшиеся неизвестные называют свободными. Полученную систему (она теперь крамеровская) решают, выражая основные неизвестные через свободные. Свободные неизвестные могут принимать любые постоянные значения. Тема 4 Векторы и линейные пространства Часть 1 Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650). Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки, действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение. Дается обзор кривых второго порядка и примеры использования определителей в аналитической геометрии и векторной алгебре. 4.1 Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки. Рисунок - 2 Здесь числа х2х10, х30. х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают: Q (х3), F (x1), N(x2), M (x). Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина  FN  = х2- х1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу. Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у. x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у). Рисунок - 3 В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают: М (х, у, z). Рисунок - 4 4.2 Вектор. Основные понятия. Действия над векторами Вектором называется направленный отрезок. Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В – начало и конец направленного отрезка, либо символом (малая латинская буква с чертой). Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:  – длина вектора ,  – длина вектора . Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают:  = 0. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарны, то записывают: . Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =. Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях. Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба. Рисунок - 5 Векторы и коллинеарны, но не равны. Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях. Векторы , , равны: ==. В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =. Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD. Здесь =, но , , хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:  =  =  = . Рисунок - 6 Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число. Суммой + двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают: =+. Это правило называется "правилом треугольника". Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма»: если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и . Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего. На рисунке 7 построена сумма четырех векторов +++. Рисунок - 7 Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (Рисунок 8): =++. Рисунок - 8 Произведением  вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , одинаково с вектором направленный в случае 0 и противоположно с ним направленный в случае 0. Записывают: =. (10) Когда =0, для любого вектора произведение  равно нуль-вектору: 0 =. Когда =1, 1=. Когда = 1, (-1)=- - вектор, противоположный вектору . Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =, где - число, имеем два коллинеарных вектора и. Иначе говоря, равенство = является условием коллинеарности векторов и. Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =. Требуется выразить через векторы и вектор , где О – точка пересечения медиан треугольника. Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3, где точка D – середина стороны СВ. Рисунок - 9 Но вектор =1/2=1/2; =-1/2. В треугольнике САD вектор =+= -1/2+. Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3-2/3. Итак, =1/3-2/3. Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору : –=+(–1) =+(–). В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =–=1/2–. Если вектор умножить на число 1/, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора 0=1/=/; 0=1. (11) Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , , соответственно. Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них: 1) +=+ – перестановочный закон сложения; 2) +(+)=(+)+ – сочетательный закон сложения; 3) () = () – сочетательный закон умножения на число; 4) (+)=+; 5) (+)=+ – распределительные законы. Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора – точка М. Координатами вектора назовем координаты его конечной точки. Рисунок - 10 Рисунок - 11 Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами. Записывают: =(х, у) (Рисунок 10). В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z. Записывают: =(х, у, z) (Рисунок - 11). Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Если даны координаты векторов и =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2) и =+; =-; =, то координаты векторов , , легко находятся: =(х1+х2; у1+у2; z1+z2), =(x1-x2; y1–y2; z1–z2), =(х1; у1; z1). На рисунке 10 и рисунке 11 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: ==. В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю. Если вектор ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко найти координаты самого вектора . Рисунок - 12 На рисунке 12 видно, что вектор можно получить как разность векторов и , где т. О – начало координат:=–, =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2). Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:=(х2–х1; у2–у1; z2–z1). Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора : АВ==. Углом между векторами и назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим. Рисунок - 13 Записывают ()=. Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть =. Рисунок - 14 Очевидно, что cos==. Обозначим через , , углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда cos=, cos=, cos=. Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию: cos2+cos2+cos2=1. (12) Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора =. (13) В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами – скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначают скалярное произведение векторов и символами  или (,). Таким образом, по определению =cos, (14) где – угол между векторами и . Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1. = 2. 3. (+)=+ 4. Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. =0. Условие =0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов. 5. =. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора: = Если известны координаты векторов и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х1, у1, z1) и =(х2, у2, z2), то =х1х2+у1у2+z1z2 Условие перпендикулярности тогда примет вид: x1x2+y1y2+z1z2=0 Пусть, например, даны векторы = (2, –1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, –1). Найдем скалярные произведения = 2  1 + (–1)  0 + 2  4 = 10, =2  3 + (–1)  4 + 2  (–1) = 0, = 1  3 + 0  4 + 4  (–1) = –1. Мы обнаружили, что векторы и образуют прямой угол. Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле . (15) 4.3 Понятия и основные свойства n-мерных векторов. Векторное пространство. Евклидово пространство Рассмотрим обобщение понятия вектора на n-мерный случай. Любой упорядоченный набор из n действительных чисел называется n-мерным вектором ; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами (компонентами) вектора . Число координат называется размерностью вектора. Координаты n-мерного вектора можно расположить либо в строку , либо в столбец . Первая запись называется вектором-строкой, а вторая – вектором-столбцом. Два вектора с одним и тем же числом координат (одинаковой размерности) , называются равными, если их соответствующие координаты равны, т. е. . Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором . Совокупность всех n-мерных векторов называется векторным пространством R. Пусть векторы и принадлежат векторному пространству R: ; , тогда их сумма равна . (16) Если – любое действительное число, то . (17) Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть – произвольные векторы векторного пространства R, тогда: 1) – переместительное (коммутативное) свойство суммы; 2) – сочетательное (ассоциативное) свойство суммы; 3) – распределительное (дистрибутивное) относительно суммы векторов свойство; 4) – распределительное (дистрибутивное) относительно суммы числовых множителей свойство; 5) – сочетательные (ассоциативное) относительно числового множителя свойство; 6) ; 7) ; ; 8) . Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Скалярным произведением векторов и называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов: . (18) Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если, например, есть вектор объемов различных товаров, а – вектор их цен, то выражает суммарную стоимость этих товаров. Формально определение согласуется с аналогичным определением, рассмотренным нами для двух- и трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения: 1) – коммутативное свойство; 2) ; 3) – дистрибутивное свойство; 4) , если , если . Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством. Введем понятие модуля вектора (его длины или нормы) и угла между векторами в виде обобщения на случай . Длиной (нормой, модулем) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата: . (19) Имеют место следующие свойства длины вектора: 1) тогда и только тогда, когда ; 2) , где – действительное число; 3) – неравенство Коши-Буняковского; 4) – неравенство треугольника. Угол между двумя векторами и определяется равенством , (20) где 0 <π. Такое определение вполне корректно, так как согласно неравенству Коши-Буняковского , т.е. cos 1. Укажем одно важное свойство векторов. Векторы и будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: . Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен (т.к. ). Условие ортогональности векторов является аналогом условия перпендикулярности векторов в двух– и трехмерном случаях, когда в (16) . Отметим также (что очевидно), что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. 4.4 Линейная зависимость векторов при решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают одной буквой и порядковым номером: Линейной комбинацией векторов называют вектор вида , где – любые действительные числа. Например, пусть даны три вектора: и . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор . В случае равенства говорят также, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам. Пример. Даны векторы и . Найти их линейную комбинацию . Решение. Координаты искомого вектора будут равны: Имеем . Пример. Найти линейную комбинацию , где – векторы предыдущего примера. Решение. Пусть , где – коэффициенты линейной комбинации, равные: Таким образом, . Система ненулевых векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору: . (21) Если же равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой. Например, система двух векторов и является линейно независимой; система двух векторов и является линейно зависимой, так как . Пусть система векторов является линейно зависимой. Выберем в сумме слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые: . Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам). Таким образом, если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства: 1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима. 2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима. В самом деле, если, например, , то равенство справедливо при . 3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство , в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и будет справедливо равенство. 4. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные. Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве. В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, находятся на параллельных прямых. В пространственном случае три линейно зависимых вектора параллельны одной плоскости, т.е. компланарны (Рисунок 15); достаточно «подправить» а б Рисунок -15 соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них. Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т.е. непараллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например , то и векторы и коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости, как было показано, линейно зависимы. Пример. Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимыми. Решение. Составим векторное равенство или . Задача свелась, таким образом, к решению системы Решая систему методом Гаусса, приводим ее к виду В процессе решения были переставлены строки вторая и третья. В полученной системе две одинаковые строки, оставим одну из них. Получим откуда . Следовательно, заданная система векторов является линейно независимой. Пример. Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимыми. Решение. Составим векторное равенство или . Задача свелась, таким образом, к решению системы Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду откуда найдем бесконечное множество ее решений: , где с – произвольное действительное число. Итак, для данных векторов условие (19) выполняется не только при , а, например, при ; при и т.д., следовательно, эти векторы – линейно зависимые. 4.5 Разложение вектора по базису в n-мерном пространстве Линейное пространство называется n-мерным (), если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в ней линейно независимых векторов. Очевидно, что в пространстве любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при . Число n называется размерностью пространства и обозначается dim (). Рассмотрим систему векторов Максимально независимой подсистемой этой системы векторов называется частичный набор векторов системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы линейно выражается через векторы этого набора. Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько базисов. Понятие базиса распространяется и на пространство , которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность n-мерных векторов. Система n векторов называется базисом пространства , если: 1) векторы этой системы линейно независимы; 2) всякий вектор из линейно выражается через векторы данной системы. Пусть система векторов является базисом, а вектор – их линейной комбинацией. Имеет место следующая теорема. Теорема. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным. доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации заданной системы (базиса) двумя способами: и , где наборы чисел и , среди которых обязательно есть ненулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем. Мы получили, что линейная комбинация векторов базиса, в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения и ), равна нулю, т.е. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему. Следовательно, в произвольном базисе пространства любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам: , причем это разложение является единственным для данного базиса. Коэффициенты разложения называются координатами вектора в заданном базисе, и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора из в данном базисе. Задача нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса является, вообще говоря, непростой. нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора в. Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме: Выполнение процедуры, описанной выше, приводит к системе n линейных уравнений относительно n неизвестных координат разложения вектора в заданном базисе: В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты. Важное значение имеет следующая теорема. Теорема. Если – система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является n-мерным, а векторы – его базисом. Доказательство. Возьмем произвольные m векторов пространства , где m > n. По условию каждый из них можно линейно выразить через : Рассмотрим матрицу , . Ранг этой матрицы не превосходит , следовательно, среди ее строк не более n линейно независимых. Так как m > n, то m строк этой матрицы, а значит, и m векторов линейно зависимы. Таким образом, пространство n-мерно и – его базис. Пример. В базисе заданы векторы и . Показать, что векторы образуют базис. Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Решая его аналогично последнему примеру в п. 12, можно убедиться в единственном его нулевом решении: , т.е. векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. 4.6 Переход к новому базису Пусть в пространстве имеется два базиса: старый и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса: полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода . Эта матрица неособенная, так как в противном случае ее строки (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы . Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. . (22) Подставив значения из системы (32) в левую часть равенства (23), получим после преобразований т.е. в матричной форме , где и – матрицы, транспортированные к матрице и обратной матрице . Пример. В базисе задан вектор . Выразить его в новом базисе, который в базисе задан как совокупность векторов . Решение. Выразим связь между базисами: Матрица перехода от базиса к базису имеет вид Вычисляем и находим транспортированную матрицу . Теперь по определяем , т.е. новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2 и -0,5 и вектор может быть представлен в виде . 4.7 Ортогональный и ортонормированный базисы Рассмотрим базис пространства , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса: Ортогональные базисы хорошо известны и широко используются на плоскости и в пространстве (Рисунок - 16). Рисунок - 16 Для установления корректности приведенного определения ортогонального базиса необходимо убедиться в том, что входящие в него векторы образуют один из базисов рассматриваемого n-мерного пространства . Для этого достаточно показать, что векторы линейно независимы, т.е. равенство справедливо лишь при . Действительно, умножая это равенство скалярно на любой вектор , получим , откуда, учитывая, что при и при всех вытекает, что при всех . Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, не требующей трудоемких вычислений. Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора в ортогональном базисе. Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе: Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем . Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (25) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле (23) Умножая поочередно равенство (26) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора : (24) Нетрудно видеть, что соотношения (24) имеют смысл, поскольку. Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы имеют единичную длину , или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным и координаты разложения (24) имеют наиболее простой вид Сформулируем теперь (без доказательства) основную теорему. Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.