Линейные уравнения первого порядка

1.2. Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Линейное имеет вид dy  p ( x) y  f ( x) dx где p(x) и f(x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями x в той которой требуется проинтегрировать данное уравнение. Если f(x) ≡ 0, то уравнение называется линейным однородным. В однородном уравнении переменные разделяются: dy dy  p( x) y  0 , откуда   p( x)dx , dx y и, интегрируя, получаем уравнение уравнение области, в линейном ln | y |  p( x)dx  ln c1 , c1  0 .  p ( x ) dx , c0 y  ce  При делении на y мы потеряли решение y ≡ 0, однако оно может быть включено в найденное семейство решений, если считать что c может принимать и значение 0. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения dy  p ( x) y  f ( x) dx может быть применен так называемый метод вариации постоянной. При применении этого метода сначала интегрируется соответствующее (т.е. имеющее ту же левую часть) однородное уравнение dy  p ( x) y  0 dx Общее решение которого, как указано выше, имеет вид  p ( x ) dx y  ce   p ( x ) dx При постоянном c функция ce  является решением однородного уравнения. Попробуем теперь удовлетворить неоднородному уравнению, считая c функцией x, т.е. по существу совершая замену переменных  p ( x ) dx y  c( x)e  где c(x) – новая неизвестная функция x. Вычисляя производную  p ( x ) dx dy dc   p ( x ) dx  e  c( x) p( x)e  dx dx и подставляя в исходное уравнение получим  p ( x ) dx  p ( x ) dx dc   p ( x ) dx e  c( x) p( x)e   p( x)c( x)e   f ( x) dx или p ( x ) dx dc  f ( x )e  dx откуда, интегрируя, находим c( x)   f ( x)e  p ( x ) dx dx  c1 а следовательно,  p ( x ) dx  p ( x ) dx  p ( x ) dx  p ( x ) dx y  c( x)e   c1e  e   f ( x)e dx Итак, общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения  p ( x ) dx c1e  и частного решения неоднородного уравнения  p ( x ) dx  p ( x ) dx e  f ( x)e dx получающегося при c1 = 0. dy y Пример 1.   x2 dx x Интегрируем соответствующее однородное уравнение dy y dy dx , ln | y | ln | x |  ln c , y  cx  0,  dx x y x Считаем c функцией x, тогда y  c( x) x , dy dc  x  c( x) и подставляя в исходное dx dx уравнение, после упрощения получаем x2 dc x  x 2 или dc  xdx , c( x)   c1 dx 2 Следовательно, общее решение x3 y  c1 x  2 dy  y ctg x  2 x sin x dx Интегрируем соответствующее однородное уравнение dy dy cos x  y ctg x  0 ,  dx dx y sin x ln | y | ln | sin x |  ln c , y  c sin x Варьируем постоянную y  c( x)sin x , y '  c '( x)sin x  c( x) cos x Подставляя в исходное уравнение, получим c '( x)sin x  c( x)cos x  c( x)cos x  x sin x Пример 2. c '( x)  2 x , c( x)  x 2  c1 y  x 2 sin x  c1 sin x