Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

1.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид a0 ( x) y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  ...  an1 ( x) y ' an ( x) y   ( x) Если правая часть  ( x)  0 , то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции y и ее производных. Если коэффициент a0(x) не равен нулю ни в одной точке некоторого отрезка a ≤ x ≤ b, то, разделив на a0(x), приведем линейное однородное уравнение при x, изменяющемся на этом отрезке, к виду y ( n)  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn1 ( x) y ' pn ( x) y  0 или n y ( n )   pi ( x) y ( n i ) i 1 Если коэффициенты pi(x) непрерывны на отрезке a ≤ x ≤ b, то в окрестности любых начальных знаний y( x0 )  y0 , y '0 ( x0 )  y '0 , ..., y ( n1) ( x0 )  y0n1 . где x0 – любая точка интервала a ≤ x ≤ b, удовлетворяются условия теоремы существования и единственности. Действительно, правая часть уравнения n y ( n )   pi ( x) y ( n i ) непрерывна по i 1 совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю частные f  pn  k ( x) (k = 0,1, …, (n – 1)), так как функции pn-k(x) непрерывны на производные y ( k ) отрезке a ≤ x ≤ b и, следовательно, ограничены по модулю. Заметим, что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного x = ϕ(t), где ϕ(t) – произвольная n раз дифференцируемая функция, производная которой ϕ’(t) ≠ 0 на рассматриваемом отрезке изменения t/ dy dy 1  dx dt  '(t ) d2y d2y 1 dy  ''(t )  2  2 2 dx dt [ '(t )] dt [ '(t )]3 ... Производная любого порядка dk y является линейной однородной функцией dx k dy d 2 y dk y , 2 ,..., k , и следовательно, при подстановке в уравнение dx dx dx ( n) ( n 1) y  p1 ( x) y  ...  pn1 ( x) y ' pn ( x) y  0 его линейность и однородность сохраняются. производных Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции y(x) = a(x)z(x). Действительно, по формуле дифференцирования произведения k (k  1) y ( k )   ( x) z ( k )  k '( x) z ( k 1)   ''( x) z ( k 2)  ...   ( k ) ( x) z , 2! (k) т.е. производная y является линейной однородной функцией z, z’, z’’, …, z(k). Следовательно, левая часть линейного однородного уравнения a0 ( x) y ( n)  a1 ( x) y ( n1)  ...  an ( x) y  0 после замены переменных будет линейной однородной функцией z, z’, …, z(n. Запишем линейное однородное уравнение y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  0 кратко в виде L|y| = 0 где L | y | y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y Будем называть L|y| линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный оператор обладает следующими двумя основными свойствами: 1) Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора: L|cy| ≡ cL|y| 2) Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций y1 и y2, равен сумме результатов применения того же оператора к каждой функции в отдельности: L|y1 + y2| ≡ L|y1| + L|y2| Теорема 1. Если y1 является решением линейного однородного уравнения L|y| = 0, то и cy1, где c – произвольная постоянная, является решением того же уравнения. Теорема 2. Сумма y1 + y2 решений y1 и y2 линейного однородного уравнения L|y| = 0 является решением того же уравнения. Следствие. Линейная комбинация с производными постоянными коэффициентами m c y i 1 i i решений y1, y2, …,ym линейного однородного уравнения L|y| = 0 является решением того же уравнения. Теорема 3. Если линейное однородное уравнение L|y| = 0 с действительными коэффициентами pi(x) имеет комплексное решение y(x) = u(x) + iv(x), то действительная часть этого решения u(x) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения. Пример 1. Функция 1, x, x2, …,xn линейно независимы на любом отрезке a ≤ x ≤ b, так как тождество 1   2 x  3 x2  ...   n1 xn  0 возможно лишь, если все ai ≠ 0, то в левой части тождества стояло бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем в n точках рассматриваемого отрезка. Пример 2. Функция ek1x , ek2 x , ..., ekn x , где ki ≠ kj при i ≠ j, линейно независимы на любом отрезке a ≤ x ≤ b. Допустим, что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда 1ek1x   2ek2 x  ...   nekn x  0 где хотя бы одно ai ≠ 0, например, для определенности an ≠ 0. Разделив тождество 1ek x   2ek x  ...   nek x  0 на ek x и продифференцировав, получим: 1 n 2 1  2 (k2  k1 )e( k k ) x  ...   n (kn  k1 )e( k k ) x  0 2 n 1 1 px – линейную зависимость между n – 1 показательными функциями вида e с различными ( k2  k1 ) x показателями. Деля указанное выше тождество на e и дифференцируя, получим линейную зависимость между n – 2 показательными функциями с различными показателями. Продолжая этот процесс n – 1 раз. Получим  n (k2  k1 )(k3  k2 )  ...  (kn  kn1 )e( kn kn1 ) x  0 что невозможно, так как an, по предположению, отлично от нуля, а ki ≠ kj при i ≠ j. Доказательство остается справедливым при комплексных ki. Теорема 3. Если функции y1, y2, …, yn линейно зависимы на отрезке a ≤ x ≤ b, то на том же отрезке определитель y1 y2 ... yn y '1 y '2 ... y 'n W ( x)  W [ y1 , y2 ,..., yn ]  y ''1 y ''2 ... y ''n .. .. .. .. ( n 1) ( n 1) ( n 1) y1 y2 ... yn называемой определителем Вронского, тождественно равен нулю Теорема 4. Если линейно независимые функции y1, y2, …, yn являются решениями линейного однородного уравнения y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  0 с непрерывными на отрезке a ≤ x ≤ b коэффициентами pi(x), то определитель Вронского y1 y '1 W ( x)  y ''1 .. ( n 1) y1 y2 y '2 ... ... yn y 'n y ''2 ... y ''n .. .. .. ( n 1) ( n 1) y2 ... yn не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка a ≤ x ≤ b. Теорема 5. Общим решением при a ≤ x ≤ b линейного однородного уравнения y ( n )  p1 ( x) y ( n1)  ...  pn ( x) y  0 в непрерывными на отрезке a ≤ x ≤ b коэффициентами pi(x) (i = 1, 2, …, n) является n линейная комбинация y   ci yi n линейно зависимых на том же отрезке частных i 1 решений yi (i = 1, 2, …, n) с произвольными постоянными коэффициентами. Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.