Линейные дифференциальные уравнения

1 Лекция 3.3 Линейные уравнения Лекция 3.3 §4. Линейные дифференциальные уравнения Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥), где p( x) и q( x) - заданные непрерывные функции от x, в частности - постоянные. Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное (y и y/ в первой степени). Рассмотрим два метода интегрирования таких ДУ - метод И. Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Определение. Если 𝑞(𝑥) ≡ 0, то уравнение называется однородным линейным. И, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑝(𝑥)𝑑𝑥. Его общее решение имеет вид 𝑦 = 𝑐 ⋅ 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 , где ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 - некоторая первообразная для функции p(x). Метод И. Бернулли Решение уравнения 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥), ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю - действительно любую функцию y(х) можно записать как где v(x) ≠ 0). Тогда 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ . Подставим искомую функцию y и полученное значение производной y  в исходное уравнение: uv + u(v + p( x)v) = q( x) . Подберем функцию v( x) так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в скобках. Тогда решение уравнения сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: 𝑣 ′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 0; 2 Лекция 3.3 Линейные уравнения 𝑢′ 𝑣 = 𝑞(𝑥). Решим первое ДУ v'+р(х)•v=0. Итак, т.е. Интегрируя, получаем: Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с=1. Отсюда Подставляя найденную функцию v в уравнение 𝑢′ 𝑣 = 𝑞(𝑥), получаем Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: Возвращаясь к переменной υ, получаем решение Таким образом, общее решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка: − P ( x ) dx   p ( x ) dx dx + C  . y ( x) = e  q ( x ) e    Пример. Проинтегрировать уравнение y'+2xy=2х. Решение: Полагаем у=u•v. Тогда при подстановке в исходное уравнение получаем u'v+u v'+2х uv=2х, т. е. u'v+u•(v'+2xv)=2х. Сначала решаем уравнение v'+2х•v=0: 3 Лекция 3.3 Линейные уравнения Подставляем в u'v+u•(v'+2xv)=2х, и решаем уравнение Итак, общее решение данного уравнения есть т. е. Пример. Решить задачу Коши: . Решение. Ищем общее решение уравнения в виде ; имеем . Подставляя выражение для и в исходное уравнение, будем иметь или Функцию находим из условия . Беря любое частное решение последнего уравнения, например уравнение , и подставляя его, получаем , из которого находим функцию Следовательно, общее решение уравнения . будет или Используя начальное условие , откуда будет функция , получаем для нахождения ; так что решением поставленной задачи Коши (частное решение). Пример. Решить уравнение y/+2y=sinx. Решение. Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0. Из него получаем уравнение dv dy = −2dx . = −2 y или v dx 4 Лекция 3.3 Линейные уравнения Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида ln y = −2x + c . Полагая в нем c=0 и потенцируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение v = e −2 x . Далее решаем уравнение вида u e −2x = sin x или du = e 2 x sin x . dx Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения u =  e 2 x sin xdx + c . Вычислим интеграл:  u = e 2 x , du = 2e 2 xdx  2x 2x 2x e sin xdx =   = −e cos x + 2 e cos xdx =  dv = sin xdx , v = − cos x   u = e 2 x , du = 2e 2 x dx  2x 2x 2x =  = −e cos x + 2e sin x − 4 e sin xdx . dx = cos xdx , v = sin x  Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид e 2x sin xdx = 15 e 2 x (2 sin x − cos x) . Следовательно: u(x, c) = 15 e 2x (2 sin x − cos x) + c . Тогда общее решение исходного уравнения будет y= e 1 5 2x  (2 sin x − cos x) + c e −2 x = 52 sin x − 15 cos x + ce −2 x . Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c: 0 = 52 sin 0 − 15 cos 0 + ce 0 , отсюда c = 15 . Искомым частным решением является y = 52 sin x − 15 cos x + 15 e −2 x . Пример. Решить уравнение дифференциальным уравнением. 1 y sin x y + = e cos x , 2 2 x x являющееся линейным 5 Лекция 3.3 Линейные уравнения Решение. На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения v v sin x dv v sin x + = 0 , или 2 + =0. 2 2 x x x dx x2 Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем dv = − sin xdx . v Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение v = e cos x . На втором этапе решаем уравнение вида Делая замену u  = 1 u e cos x = e cos x . 2 x du , сокращая обе части уравнения на e cos x ( 0) и разделяя dx переменные, имеем du=x2dx. Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение u= x3 +c. 3 Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид  x3  y = uv =  + c e cos x .  3  Алгоритм метода Бернулли 1. Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x), v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения. 2. По правилу производная произведения равна y=u*v, то y'=u'v+uv'. 3. Подставим запись функции y=u*v и производной y'=u'v+uv' в уравнение y'+p(x)*y=g(x) и получим u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u'v+u(v'+p(x)*v)=g(x). 4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v'+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). 6 Лекция 3.3 Линейные уравнения Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. 5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u'v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u'v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С. 6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x). 7. Если задана задача Коши, то используя дополнительное условие на решение y(x0)=y0 определяем константу С, подставляем найденное значение в общее решение и получаем частное решение . Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) Рассмотрим сначала уравнение, которое получается из уравнения 𝑦 ′ + 𝑃(𝑡)𝑦 = 𝑄(𝑡) заменой в нём функции Q(t) нулём, то есть уравнение dy + P(t)y = 0 dt . Такое линейное однородное уравнение называется уравнением, соответствующим данному неоднородному. В этом уравнении переменные легко разделяются (при y0): dy = −P(t)dt y . и после интегрирования мы получаем общее решение однородного уравнения dy + P(t)y = 0 dt : − P(t)dt y = Ce  . dy + P(t)y = Q(t) dt Для отыскания общего решения неоднородного уравнения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной (или метод Лагранжа). Его суть заключается в следующем. Будем в равенстве 7 Лекция 3.3 Линейные уравнения − P(t)dt y = Ce  считать С не постоянным числом, а некоторой функцией С=С(t), обладающей непрерывной производной, и постараемся определить её так, чтобы функция − P(t)dt y = C(t )e  dy + P(t)y = Q(t) dt удовлетворяла уравнению . (Таким образом, постоянная величина С заменяется переменной, то есть варьируется; этим и объясняется название  метода.) Подставляя y = C(t )e − P(t)dt dy + P(t)y = Q(t) dt в , получим: dC(t ) −  P(t)dt e = Q(t) dt . Отсюда P(t)dt C(t ) =  Q(t)e dt + C1 , где С1 – произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для С(t) в − P(t)dt y = C(t )e  , переобозначая при этом постоянную С1→С, получим общее dy + P(t)y = Q(t) dt решение линейного неоднородного уравнения в виде: − P(t)dt   P(t)dt dt  y=e   C +  Q(t)e   . Естественно, та же формула была получена и методом Бернулли. Пример. Решить уравнение . Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид . Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде неизвестная функция от . Подставляя, получаем , где — , откуда 8 Лекция 3.3 Линейные уравнения . Итак, , где общее решение неоднородного уравнения будет — постоянная интегрирования. §5. Уравнение Я. Бернулли Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ⋅ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ⋅ 𝑦 𝑛 , где p( x) и q( x) - заданные непрерывные функции от x (или постоянные), а n  0 и n  1. Замечания. 1. При n = 0 уравнение 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ⋅ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ⋅ 𝑦 𝑛 преобразуется в линейное дифференциальное уравнение, а при n = 1 – в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 2. При n  0 функция y  0 , очевидно, есть решение уравнения Бернулли. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, решение уравнения Бернулли можно искать методом Бернулли, то есть в виде произведения двух функций 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), где 𝑣(𝑥) - какая-либо отличная от нуля функция, удовлетворяющая уравнению 𝑣 ′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 0. Другим подходом к решению уравнения Бернулли является его сведение к линейному. Для этого разделим все члены уравнения на 𝑦 𝑛 . Получим 𝑦 −𝑛 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 −𝑛+1 = 𝑞(𝑥). Сделаем замену 𝑧 = 𝑦 −𝑛+1 . Тогда 𝑧 ′ = (−𝑛 + 1)𝑦 −𝑛 𝑦 ′ . Подставляя 𝑧 и 𝑧 ′ , получим линейное уравнение относительно функции 𝑧(𝑥): 𝑧 ′ + (−𝑛 + 1)𝑝(𝑥)𝑧 = (−𝑛 + 1)𝑞(𝑥). Находя его общий интеграл и подставляя вместо 𝑧 𝑦 −𝑛+1 , будем иметь общий интеграл уравнения Бернулли. Пример. Решить дифференциальное уравнение y + 1 y + y2 = 0 . x +1 9 Лекция 3.3 Линейные уравнения Решение. Перепишем исходное уравнение в виде y + это уравнение Бернулли, где P( x) = 1 y =− y 2 . Очевидно, что x +1 1 ; Q( x) =−1; n = 2 . x +1 Положим y( x) =U ( x)V ( x) . Отсюда y =U V +UV  . Тогда U V +U (V + 1 V ) =−U 2V 2 . x +1 1 dV dx . V = 0 или =− x +1 V x +1 Функцию V ( x) ищем из уравнения V + Отсюда V ( x) = 1 . x +1 Подставим U V =−U 2V 2 . Так как V ( X ) = полученное выражение в уравнение 1  0 , то U  =−U 2 1 . Разделяя переменные и x +1 x +1 интегрируя, будем иметь dU dx dU dx 1 =−  =− + C − =− ln x +1 − ln C . 1 2 2   U x +1 U x +1 U Тогда U ( x) = 1 ln C ( x +1) и общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид y ( x) = 1 1 .  ln C ( x +1) x +1 Ответ. Общее решение y ( x) = 1 1 .  ln C ( x +1) x +1 Пример. Решить уравнение Бернулли Решение. Делим обе части уравнения на . : 10 Лекция 3.3 Линейные уравнения Делаем замену переменной , откуда . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение или , общее решение которого Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения или Пример. Решить дифференциальное уравнение Бернулли . Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами. 1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³: . Введём обозначение или , тогда , и приходим к уравнению . Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z' = u'v + uv': , . Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение: Полученную функцию v подставим в уравнение: Тогда 11 Лекция 3.3 Линейные уравнения 2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u⋅v. Подставив его и y' = u'v + uv' в данное дифференциальное уравнение, получим Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v: Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u: И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения: Пример. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения при условии . Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую - нелинейные: . 12 Лекция 3.3 Линейные уравнения Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y' = u'v + uv': Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение: Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый: . Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения: Решаем: Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u: 13 Лекция 3.3 Линейные уравнения Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения: . Используем начальное условие, чтобы определить значение константы: Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения: .