Линейные цепи синусоидального тока

Лекция 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 1. Получение синусоидальной ЭДС 2. Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения 3. Действующее значение синусоидального тока 4. Резистор, индуктивность и конденсатор в цепи синусоидального тока 5. Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора 6. Параллельное соединение резистора, катушки и конденсатора 7. Мощности цепи синусоидального тока 8. Повышение коэффициента мощности в цепях переменного тока 9. Векторное представление синусоидальных токов и напряжений (СРС) 10. Электрические цепи с взаимной индуктивностью (СРС) В электроэнергетике используют в основном переменный ток. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным током заключается в возможности просто и с минимальными потерями преобразовывать напряжение при передаче энергии. Генераторы и двигатели переменного тока имеют более простое устройство, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока. 2.1 Получение синусоидальной ЭДС Синусоидальные ЭДС в современной технике получают различными методами в электромашинных или электронных генераторах и других устройствах. Наглядным примером является наведение ЭДС за счет электромагнитной индукции в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 2.1). Допустим, что рамка площадью s содержит w витков и вращается с постоянной угловой скоростью  в магнитном поле с индукцией B . Тогда потокосцепление рамки Рис. 2.1   wФ  wBs cos a  wBs cos  t . По закону электромагнитной индукции в рамке наводится ЭДС e d  wBs sin  t = Em sin  t . dt Следовательно, ЭДС изменяется по синусоидальному закону. В промышленности для получения синусоидальных ЭДС применяют электрические машины – синхронные генераторы, приводимые во вращение тепловыми, газовыми, гидравлическими и др. двигателями. 2.2. Амплитуда, частота и фаза синусоидального тока и напряжения В современной технике широко используются переменные токи: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. (рис. 2.2). Значение тока в любой момент времени называется мгновенным значением. Мгновенные значения тока, напряжения, ЭДС обозначаются буквами i , u, e . Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, называют периодом Т (рис. 2.2). Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, ток называется синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды – ток несинусоидальный. Все синусоидальные функции времени (например, ток) записывают в одинаковой форме: (2.1) i  I m sin( t   ), где i – мгновенное значение тока; I m – максимальное (амплитудное) значение тока (рис. 2.2);  – угловая частота;  – начальная фаза. Аргумент синуса ( t   ) называется фазой. Угол  равен фазе в начальный момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой. Отношение 2 / T определяет скорость изменения фазы и называется угловой частотой   2 / T  2 f ;    где f  рад  с 1, (2.2) с 1 – частота, равная числу периоT дов в секунду, Гц. При стандартной частоте f = 50 Гц угловая частота   2  50  314, c1. Рис. 2.2 2.3. Действующее значение синусоидального тока Мгновенное значение переменного тока все время изменяется от нуля до максимального значения. Однако переменный ток, как и постоянный, измеряется в амперах. Какой же смысл мы вкладываем в термин «переменный ток»? Можно было бы характеризовать переменный ток его амплитудой. Принципиально это вполне возможно, но практически очень неудобно, потому что трудно построить приборы, непосредственно измеряющие амплитуду переменного тока. Удобнее использовать для характеристики переменного тока какое-нибудь его свойство, не зависящее от направления тока. Таким свойством является, например, способность тока нагревать проводник, по которому он проходит. Представим переменный ток, проходящий по некоторому проводнику сопротивлением R . В течение периода ток выделяет в проводнике определенное количество тепловой энергии T W   i 2 Rdt . (2.3) Пропустим через тот же проводник постоянный ток, подобрав его таким, чтобы он выделил за то же время такое же количество тепловой энергии W  I 2 RT . (2.4) По своему действию оба тока равны, поэтому постоянный ток, выделяющий в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток, называют действующим значением переменного тока. Приравняв (2.3) и (2.4), найдем действующее значение синусоидального тока T T 1 2 I RT   i Rdt ; I =  i dt . T 2 2 (2.5) Следовательно I Im  0,707 I m . 2 Действующее значение синусоидального тока меньше его амплитуды в логично определяется действующее значение синусоидального напряжения U 1T 2  u dt ; T0 U (2.6) 2 раз. Ана- Um . 2 Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяют, как правило, по их действующим значениям. Приборы электромагнитной, электродинамической и других систем показывают именно действующие значения токов и напряжений. 2.4. Резистор, индуктивность и конденсатор в цепи синусоидального тока Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор. Для упрощения исследования процессов в реальной электрической цепи переменного тока эту цепь, как и цепь постоянного тока, представляют схемой замещения, составленной из этих элементов. Элементы цепи переменного тока, в которых энергия выделяется в виде теплоты, называются активными. Элементы цепи, в которых периодически запасается энергия в электрическом или магнитном поле, называются реактивными, а сопротивления, оказываемые ими переменному току – реактивными сопротивлениями. Реактивные сопротивления имеют катушки и конденсаторы. 2.4.1. Резистор в цепи синусоидального тока Если синусоидальное напряжение u  U m sin( t   ) (рис. 2.6 а) подключить к резистору с сопротивлением R , то через него будет протекать синусоидальный ток i u Um  sin( t   )  I m sin( t   ) R R (2.7) Следовательно, напряжение на зажимах и ток, проходящий через резистор, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе – они одновременно достигают своих амплитудных значений и соответственно одновременно проходят через нуль (рис. 2.6 б, в). Разность начальных фаз двух синусоид называют углом сдвига фаз. В данном случае угол сдвига фаз между напряжением и током равен нулю    u i  0. Амплитуды и действующие значения тока и напряжения связаны законом Ома Im  Um U ; I  . R R (2.8) Рис. 2.6 Протекание тока через резистор сопровождается потреблением энергии от источников. Мгновенная мощность, потребляемая резистором p  ui  U m I m sin 2 ( t   )  UI 1  cos(2 t  2 ) , (2.9) изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока. Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую UI и составляющую UI cos(2 t  2 ) , изменяющуюся с частотой 2 (рис. 2.6 г). Так как u и i совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак, то их произведение всегда положительно, следовательно, p > 0. Среднее значение мгновенной мощности за период P 1T  pdt T0 (2.10) называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В данном случае активная мощность P  UI  I 2 R . (2.11) Отсюда активное сопротивление R P I2 . (2.12) Известно, что сопротивление проводника переменному току больше, чем постоянному, вследствие явления поверхностного эффекта. 2.4.2. Индуктивность в цепи синусоидального тока Индуктивная катушка как элемент схемы замещения реальной цепи синусоидального тока дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в ее магнитном поле. Пусть в цепь переменного тока (рис 2.7 а) включена катушка с бесконечно малым сопротивлением провода R = 0. Непрерывное во времени изменение тока вызывает появление в витках катушки ЭДС самоиндукции. В соответствии с правилом Ленца эта ЭДС противодействует изменению тока. Допустим, ток через катушку изменяется по закону i  I m sin  t . (2.13) В этом случае ЭДС самоиндукции eL   L di  LI m sin( t  90o ) . dt (2.14) Поэтому напряжение на катушке u L  e L  LI m sin( t  90o )  U m sin( t  90o ) . (2.15) Сравнивая формулы (2.13) и (2.15), можно сделать вывод о том, что напряжение на катушке опережает ток на угол  / 2 или ток отстает от напряжения по фазе на угол  / 2 (рис 2.7 б). Угол сдвига фаз в этом случае положительный (рис. 2.7 в)    u   i  90o   / 2 . Параметр цепи X L   L – индуктивное сопротивление, имеющее размерность Ом. Оно зависит от частоты и представляет собой величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции. Из анализа (2.14) видно, что амплитуды напряжения и тока связаны законом Ома: U m   LI m  X L I m . Аналогично для действующих значений U   LI  X L I . Мгновенная мощность цепи с катушкой p  ui  U m I m sin( t ) sin( t  90o )  2UI sin  t cos  t  UI sin 2 t . (2.16) Из графика (рис 2.7 г), построенного по уравнению (2.16), видно, что за первую четверть периода, когда u > 0 и i > 0, площадь, ограниченная кривой p и осью абсцисс, пропорциональна энергии, потребляемой катушкой на создание магнитного поля. Во вторую четверть периода (ток убывает от максимума до нуля) энергия магнитного поля катушки пе- редается источнику питания. При этом мгновенная мощность отрицательна, а процесс повторяется. Таким образом, происходит колебание энергии между источником и катушкой, причем активная мощность, поступающая в катушку, равна нулю. Амплитуду колебания мгновенной мощности в цепи с катушкой называют реактивной мощностью QL  UI  I 2 X L . Реактивную мощность в отличие от активной мощности измеряют в вар (вольт-ампер реактивный). 2.4.3. Конденсатор в цепи синусоидального тока Включение конденсатора в цепь переменного тока не вызывает разрыва цепи, так как ток в цепи все время поддерживается за счет заряда и разряда конденсатора. Пусть напряжение (рис. 2.8 а) u  U m sin  t . Тогда i U   dq du   C   CU m cos t  m sin   t    I m sin   t   . (2.17) 1 2 2 dt dt   C Формула (2.17) показывает, что ток опережает приложенное напряжение на угол  2 (рис. 2.8 б, в). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные значения напряжения. Физически это объясняется тем, что при достижении электрическим зарядом и соответственно напряжением максимального значения ток становится равным нулю. Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, как и раньше, подразумевается разность начальных фаз напряжения и тока, т.е.    u   i   / 2 . Таким образом, в отличие от цепи с катушкой, где    / 2 , угол сдвига фаз в цепи с конденсатором отрицателен. Из (2.17) видно, что амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома I m   CU m  Um 1 ; XC  ., XC C где X C – емкостное сопротивление, имеющее размерность Ом. Мгновенная мощность, поступающая в конденсатор p  ui  U m I m sin  t sin( t   / 2)  UI sin 2 t , колеблется синусоидально с угловой частотой 2  , имея амплитуду, равную UI (рис. 2.8 г). Посту- пая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле конденсатора, затем возвращается источнику при исчезновении электрического поля. Таким образом, здесь, как и в цепи с катушкой, происходит колебание энергии между источником и конденсатором, причем активная мощность P = 0. Амплитуду колебания мощности в цепи с конденсатором называют реактивной (емкостной) мощностью QC  UI  X C I 2 . 2.5. Последовательное соединение резистора, катушки и конденсатора При протекании синусоидального тока i  I m sin  t по цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L , C (рис. 2.11 а), на ее зажимах создается синусоидальное напряжение, равное алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа): u  uR  u L  uC . Для действующих значений это уравнение имеет вид U U R UC U L . Построим векторную диаграмму с учетом известных фазовых соотношений (рис. 2.11 б). Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с вектором тока, на конденсаторе он отстает от вектора тока на 90°, а на катушке опережает вектор тока на 90°. Сумма этих векторов напряжения на элементах цепи, даст вектор напряжения источника. а) б) Рис. 2.11 Из векторной диаграммы определяем входное напряжение в) U  U R2  (U L  U C ) 2  I 2 R 2  ( IX L  IX C ) 2 , откуда ток и полное сопротивление I U R 2  ( X L  X C )2  U ; z  R 2  ( X L  X C )2  R 2  X 2 , z (2.26) где X  X L  X C – разность индуктивного и емкостного сопротивлений, называемая реактивным сопротивлением. Сдвиг фаз определим из треугольника напряжений или сопротивлений: U L  UC X  XC X  arctg L  arctg . UR R R Если X L  X C , т.е. X > 0, то цепь имеет индуктивный характер. В этом случае U L  U C (рис. 2.11 б), а сдвиг фаз  > 0. Если X L  X C , т.е. X < 0, то цепь имеет емкостный характер и сдвиг фаз  < 0 (рис. 2.11 в). Таким образом, реактивное сопротивление X может быть положительным (  > 0) и отрицательным (  < 0). Особый случай цепи, когда X L  X C , т.е. реактивное сопротивление X  X L  X C  0 . В этом случае цепь имеет чисто активный характер, а сдвиг фаз  = 0.   arctg Такой режим называется резонансом напряжений. Условием резонанса напряжений является X  X L  X C  0; X L  X C ;  L  1 . C Эти условия показывает, что резонанс напряжений в цепи можно получить изменением частоты напряжения источника, или индуктивности катушки или емкости конденсатора. Угловая частота, при которой в цепи наступает резонанс напряжений, называется резонансной угловой частотой o  1 . LC Полное сопротивление цепи минимальное и равно активному z  R 2   X L  X C   R. 2 Ток в цепи, очевидно, будет максимальным I U U  . z R Напряжение на резисторе равно напряжению источника: U R  IR  U . При резонансе сила тока в цепи и напряжения на емкости и индуктивности резко возрастают. Причем UL и UC могут во много раз превышать напряжение на входе цепи. Такое превышение будет иметь место, если R  L , а следовательно и R  1 / C . Физическая причина возникновения повышенных частичных напряжений - это колебания значительных количеств энергии между электрическим полем емкости и магнитным полем индуктивности. На рис. изображены векторная диаграмма при резонансе и резонансные кривые. Резонанс напряжений, как правило, нежелателен в электроэнергетике, но широко применяется в радиотехнических устройствах, автоматике, телемеханике, связи, измерительной технике и др. 2.6. Параллельное включение приемников энергии При параллельном соединении R, L, C элементов в цепи возможен резонанс токов. Для показанной на рисунке цепи можно записать следующее уравнение I  U g 2  ( bC  bL ) 2 В комплексной форме оно примет вид   jUb  C  jUb  L  U g 2  ( bC  bL ) 2 ej   Ug I bC  bL ; g g  1 / R - активная проводимость; bC  1/ X C - емкостная проводимость; bL  1/ X L - индуктивная проводимость. Следовательно, мгновенное значение напряжения где   arctg i  g 2  ( bC  bL ) 2 U m sin(t  ). Ниже приведены векторные диаграммы токов (треугольник токов) и треугольник проводимостей, где полная проводимость цепи y  g 2  ( bC  bL ) 2 , а ее комплексный вид   1 / R  j(C  1 / L) . y Резонанс токов имеет место, когда индуктивная и емкостная проводимости цепи равны bC  bL . Общий ток при этом I  Ug , коэффициент мощности cos  1 т.к. y  g . При резонансе сила тока в емкости и индуктивности резко возрастают. Причем I L и IC могут во много раз превышать общий ток цепи. Такое превышение будет иметь место, если g  bL , а следовательно и g  bC . На рис.7.а-в изображены векторная диаграмма при резонансе, резонансные кривые и частотные характеристики соответственно. 2.7. Мощности цепи синусоидального тока. Треугольник мощностей Ввиду того, что потребляемая мощность зависит от угла , формула активной мощности приобретает следующий вид: P  UI cos (Вт), где cos - коэффициент мощности. При проведении расчетов в электротехнике применяются так же полная мощность S  P2  Q2 с единицей измерения вольт-ампер (ВА) и реактивная мощность Q  UI sin  с единицей измерения вольт-ампер реактивная (Вар). Здесь необходимо отметить, что обмотки и сердечники в электротехнических устройствах рассчитывают на полную мощность, а работа выполняемая ими характеризуется активной мощностью. На рис. изображен треугольник мощностей, из которого можно вывести следующие соотношения P  S cos , Q  S sin  , Q  tg , где S  UI . Формулы активной мощности P  UI cos  UI a  U a I  I 2 R  gU 2 , Вт. Полной мощности Реактивной мощности S  UI , ВА Q  UI sin  , вар. Q  U p I  I 2 X  U 2b  I pU . Реактивная мощность цепи может быть положительной и отрицательной в зависимости от знака угла  . При индуктивном характере входного сопротивления (   0 ) реактивная мощность положительна, при емкостном характере (   0 ) – отрицательна. Сравнив формулы (2.34)...(2.36), нетрудно установить связь между активной, реактивной и полной мощностями S 2  U 2 I 2  (UI cos ) 2  (UI sin  ) 2  P 2  Q 2 ; S  P 2  Q2 . (2.37) Соотношение (2.37) удобно представить в виде прямоугольного треугольника мощностей (рис. 2.16 б), который можно получить из треугольника напряжений умножением сторон на ток. Из треугольника мощностей имеем соотношения, широко используемые при расчетах Q  S 2  P2 ; tg = Q/P; cos = P/S. (2.38) Активная мощность, потребляемая приемником, не может быть отрицательной, поэтому всегда cos > 0, т. е. на выходе цепи  90    90 . Активная мощность отображает совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени.   2.8. Повышение коэффициента мощности в цепях синусоидального тока Большинство современных потребителей электрической энергии имеют индуктивный характер нагрузки, токи которой отстают по фазе от напряжения источника. Активная мощность таких потребителей при заданных значениях тока и напряжения зависит от cos  P  UI cos ; I = P . U cos Следовательно, повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока. Если обозначить сопротивление проводов линии Rл , то потери мощности в ней можно определить так: 2 P  I Rл  P 2 Rл U 2 cos2  . Таким образом, чем выше cos потребителя, тем меньше потери мощности в линии и дешевле передача электроэнергии. Коэффициент мощности показывает, как используется номинальная мощность источника. Так, для питания приемника 1000 кВт при cos = 0,5 мощность генератора должна быть S а при cos = 1 S = 1000 кВА. P 1000   2000 кВА, cos 0,5 Следовательно, повышение cos увеличивает степень использования мощности генераторов. Чтобы повысить экономичность энергетических установок, используют батареи конденсаторов, подключаемые параллельно индуктивной нагрузке. 2.9. Векторное представление синусоидальных токов и напряжений Как известно из математики, синусоидальная функция аргумента  t определяется как проекция радиуса единичной длины на ось ординат, если этот радиус поворачивается против часовой стрелки на  t радиан. Синусоидальному току i соответствует непрерывное вращение радиуса длиной I m с угловой скоростью  = const против часовой стрелки. Синусоида в координатной плоскости ( i,  t ) изображается (рис. 2.4) вращающимся вектором в декартовой системе ( x , y ). Под углом  , отсчитываемым от положительного направления оси абсцисс x , строится вектор I m . Положительные начальные фазы при построении откладывают от оси x против вращения часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. Проекция вектора I m на ось у в момент времени t = 0 равна мгновенному значению тока i (0)  I m sin . Пусть, на- чиная с момента t = 0, вектор I m вращается вокруг начала координат 0 с постоянной угловой скоростью  в положительном направлении (против движения часовой стрелки). К моменту времени t1 вектор повернется относительно оси x на угол ( t1   ) , и его проекция на ось y будет равна мгновенному значению функции i (t1 )  I m sin( t1   ) . Таким образом, проекция вращающегося с угловой скоростью  вектора I m на ось ординат в любой момент времени равна мгновенному значению синусоидальной функции i (t )  I m sin( t   ) в этот момент времени. Рис. 2.4 При представлении синусоидальной функции вращающимся вектором достаточно изобразить его в координатах x , y только в начальный момент времени (рис. 2.5). Этот вектор I m представляет или отображает синусоиду, т.е. дает информацию о двух ее параметрах – амплитуде I m и начальной фазе  . Векторы, изображающие синусоидальные функции, лишены физического содержания и имеют совсем другой смысл, чем векторы, определяющие модуль и направление физических величин в точке. Задача суммирования (вычитания) синусоид упрощается, если изобразить их векторами на плоскости, и сводится к операции сложения (вычитания) векторов, изображающих эти функции. В качестве примера рассмотрим сложение двух токов: i1  I m sin( t1   1 ) и i2  I 2m sin( t 2   2 ) . На рис.2.5 токи i1 и i2 изображены в виде векторов на плоскости. Вектор, модуль которого равен I m , Рис. 2.5 расположенный под углом  к оси x , является суммой этих векторов и изображает суммарную синусоиду i  i1  i2   I m sin( t   ) . При расчетах электрических цепей синусоидального тока обычно оперируют не мгновенными, а действующими значениями токов и ЭДС. Поэтому складывают не векторы амплитуд, а векторы действующих значений. 2.10. Электрические цепи с взаимной индуктивностью 2.10.1. Общие сведения При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось только явление самоиндукции катушек, обусловленное током в цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС между двумя (и более) взаимно связанными катушками, называются индуктивно связанными цепями. Рассмотрим явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении тока в другом. Контуры (рис. 2.19) представляют собой плоские тонкие катушки с числами витков w1 и w2 . Поток самоиндукции Ф1L , созданный током i1 , может быть представлен в виде потока рассеяния Ф1 p , пронизывающего только первый контур, и потока Ф21 , пронизывающего второй контур Ф1L = Ф1 p + Ф12 . Аналогично определяем поток самоиндукции второго контура Ф2 L = Ф2 p + Ф21 . Рис. 2.19 Потоки Ф21 и Ф12 называют потоками взаимной индукции. Их принято обозначать двумя индексами: первый индекс указывает, с каким контуром сцепляется поток, второй – номер тока, вызвавшего данный поток. Например, поток Ф12 вызван током i2 , сцепляется с первым контуром. Если направление потока взаимной индукции совпадает с направлением потока самоиндукции данного контура, то говорят, что магнитные потоки и токи контуров направлены согласно. В случае противоположного направления говорят о встречном направлении потоков. Суммарные потоки, пронизывающие первый и второй контуры Ф1 = Ф1L  Ф12 ; Ф2 = Ф2 L  Ф21 , где «+» соответствует согласному направлению потоков, «–» – встречному направлению. Полные потокосцепления первого и второго контуров (2.48)  1  w1Ф1  w1 Ф1L  Ф12   w1Ф1L  w1Ф12  L1i1  M12i2 ;  2  w2Ф2  w2 Ф2 L  Ф21   w2Ф2 L  w2Ф21  L2 i2  M 21i1 . (2.49) Отношение потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой называется взаимной индуктивностью M 12   12 i2  w1Ф12  w Ф ; M 21  21  2 21 . i2 i1 i1 Для линейных электрических цепей всегда выполняется равенство M12  M 21  M . Взаимная индуктивность двух катушек зависит от числа витков, геометрических размеров магнитопровода и взаимного расположения катушек, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды (материала магнитопровода). Индуктивную связь двух катушек характеризуют коэффициентом связи K M . L1 L2 Этот коэффициент всегда меньше единицы, так как магнитный поток взаимной индукции всегда меньше потока самоиндукции и может быть увеличен за счет уменьшения по- токов рассеяния бифилярной намоткой катушек (двойным проводом) или применением для магнитопровода материала с высокой абсолютной магнитной проницаемостью. 2.10.2. ЭДС взаимной индукции ЭДС, индуктируемые в первом и втором контурах, с учетом (2.48, 2.49) можно записать в виде d 1 di di   L1 1  M 2  e1 L  e1 M ; dt dt dt d 2 di2 di1 e2     L2 M  e2 L  e2 M . dt dt dt e1   Таким образом, ЭДС каждой катушки определяется алгебраической суммой ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Для определения знака ЭДС взаимной индукции размечают зажимы индуктивно связанных элементов цепи. Два зажима называют одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Такие выводы обозначают на схемах одинаковыми условными значками, например, точками или звездочками (рис. 2.20 а, б). Одинаково направленные токи i1 и i2 (рис. 2.20 а) относительно зажимов a и c вызывают совпадающие по направлению потоки самоиндукции Ф1L ( Ф2 L ) и взаимной индукции Ф12 ( Ф21 ). Следовательно, зажимы a и c являются одноименными. Одноименной является и другая пара зажимов b и d , но условными значками обозначают только одну пару одноименных выводов, например, a и c (рис. 2.20 а). Если токи i1 и i2 направлены неодинаково относительно одноименных зажимов (рис. 2.20 б), то имеет место встречное напра вление потоков самоиндукции и взаимоиндукции. На схемах магнитопроводы, как правило, не показывают и ограничиваются только обозначением одноименных зажимов (рис. 2.20 в, г). Одноименные зажимы можно определить опытным путем. Для этого одну из катушек включают в цепь источника постоянного тока, а к другой присоединяют вольтметр постоянного тока. Если в момент подключения источника стрелка измерительного прибора отклоняется, то зажимы индуктивно связанных а) б) в) г) Рис. 2.20 Рис. 2.36 катушек, подключенные к положительному полюсу источника и положительному зажиму измерительного прибора, являются одноименными. Определим знаки ЭДС и напряжения взаимной индукции. Допустим, первая катушка (рис. 2.20 а) разомкнута, а во второй протекает ток i2 . Выберем положительные направления для e1 M , u1 M , i2 одинаковыми относительно одноименных зажимов. ЭДС и напряжение взаимной индукции равны, но противоположны по знаку. Действительно, когда e1 M  0, потенциал зажима b больше потенциала зажима а, следовательно, u1 M  0. По правилу Ленца знаки e1 M и u1 M di2 всегда противоположны, поэтому dt di  e1 M  M 2 . dt В комплексной форме уравннеие имеет вид U 1 M   E 1 M  j M I 2  Z M I 2 . (2.50) При встречном включении катушек (рис. 2.20 б) U 1 M   E 1 M   j M I 2   Z M I 2 . (2.51) Из (2.50) и (2.51) видно, что вектор напряжения на взаимной индуктивности U 1 M сдвинут по фазе относительно вектора тока I 2 на угол 90°. Сопротивление X M  M называется сопротивлением взаимной индуктивности, а Z M  j M – комплексным сопротивлением взаимной индуктивности. Таким образом, при согласном направлении токов падение напряжения на взаимной индуктивности имеет знак «плюс», при встречном – знак «минус». 2.10.3. Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек Рассмотрим две катушки, соединенные последовательно и имеющие активные сопротивления R1 , R2 , индуктивности L1 , L2 и взаимную индуктивность M . Возможны два вида их включения – согласное (рис. 2.21 а) и встречное (рис. 2.21 б). При согласном включении ток в обеих катушках направлен одинаково относительно одноименных зажимов, поэтому падение напряжения на взаимной индуктивности в уравнениях Кирхгофа для мгновенных значений запишем со знаком «плюс» di di di di  M ; u2  iR2  L2  M ; dt dt dt dt di u  u1  u2  i R1  R2    L1  L2  2 M  . dt u1  iR1  L1 Эти же уравнения в комплексной форме U 1  IR1  j L1 I  j M I ; U 2  IR2  j L2 I  j M I ; U  U 1  U 2  I  R1  R2   j I  L1  L2  2 M   I Z cогл . (2.52) а) б) Рис. 2.21 Полное сопротивление цепи при согласном включении Z cогл  U  R1  R2  j  L1  L2  2 M . I При встречном включении (рис. 2.21 б) ток в катушках направлен противоположно относительно одноименных зажимов, поэтому напряжения на взаимной индуктивности записывают со знаком «минус». В этом случае уравнения Кирхгофа в комплексной форме имеют вид U 1  IR1  j L1 I  j M I ; U 2  IR2  j L2 I  j M I ; U  U 1  U 2  I  R1  R2   j I  L1  L2  2 M   I Z встр . (2.53) Полное сопротивление цепи при встречном включении Z встр  R1  R2  j  L1  L2  2 M . Полное сопротивление цепи при согласном включении больше, чем при встречном. Этим можно пользоваться для определения опытным путем одноименных зажимов индуктивно связанных катушек. На рис. 2.22 построены векторные диаграммы для согласного и встречного включения катушек. Начальная фаза вектора тока, являющегося общим для всех элементов цепи, принята равной нулю. По вектору тока сориентированы в порядке записи все слагаемые напряжений U 1 и U 2 (2.52, 2.53). Упрощает выбор направления векторов правило о том, что умножение комплекса на  j соответствует его повороту на  90°. Многоугольники векторов U 1 , U 2 , U , построенные на диаграмме соответственно с законом Кирхгофа, для наглядности заштрихованы. а) Рис. 2.22 б) Векторная диаграмма (рис. 2.22 б) при встречном включении катушек построена в предположении, что L1  M  L2 . При таком соотношении параметров в первой катушке наблюдается емкостный эффект, т.к. напряжение U 1 отстает от тока I 1 . В цепи нет конден- саторов, но индуктивность первой катушки L1  L1  M получается отрицательной, что равноценно включению конденсатора. Однако в целом цепь всегда имеет индуктивный характер, т.к. вектор тока отстает от вектора напряжения на входе в виду того, что  L1  L2  2 M   0 . При согласном включении катушек емкостный эффект невозможен. Таблица 1. Основные свойства элементов цепей переменного тока Резистор (активное Индуктивность (ре- Конденсатор (реактивсопротивление) активное сопрот.) ное сопрот.) R L C Обозначение Сопротивление Мгновенные значения При U  U m sint Действующее значение Сдвиг по фазе XL  L R i i U R uL 1 C dU iC dt XC  di dt Um  sin(t  ) L 2 U I L Um sin t R U I R i 0    u   i  900  i  CU m sin(t  ) 2 I  CU    u   i  900 Зависимость сопротивления от частоты Таблица 2. Комплексные сопротивления Участок электрической цепи Комплексное сопротивление ZR o Z  j L  jX L  X L e j 90 Z j o 1   jX C  X C e  j 90 C Z  R  jX L  R  j L Z  R  jX C  R  j 1 C