Линейная алгебра

Лекции по линейной алгебре 1 курс БПМИ 2017/2018 Левина Александра Содержание 1 Лекция 7.09.2017 1.1 Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Элементарные преобразования СЛУ и ее расширенная матрица. . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 2 Лекция 21.09.2017 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Метод Гаусса решения СЛУ (метод исключения неизвестных). . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 3 Лекция 28.09.2017 3.1 Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Операции над матрицами . . . . . . 3.3 Декартово произведение множеств 3.4 Транспонирование . . . . . . . . . . 3.5 Умножение матриц . . . . . . . . . 3.6 Отступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 10 11 12 12 4 Лекция 30.09.2017 13 4.1 Свойства умножения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Приложение к СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 Лекция 5.10.2017 17 5.1 След матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2 Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 Лекция 12.10.2017 20 6.1 Продолжение про подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6.2 Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 Лекция 19.10.2017 23 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.2 Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований . . . . . . . . . 25 8 Лекция 2.11.2017 26 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 8.2 Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 9 Лекция 9.11.2017 29 9.1 Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9.2 Формальная конструкция поля C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10 Лекция 16.11.2017 31 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10.2 Отступление про многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 11 Лекция 23.11.2017 33 11.1 Векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 12 Лекция 30.11.2017 36 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 13 Лекция 7.12.2017 38 13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 14 Лекция 14.12.2017 41 15 Лекция 11.01.2018 43 16 Лекция 18.01.2018 45 16.1 Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 17 Лекция 25.01.2017 48 18 Лекция 1.02.2018 51 19 Лекция 8.02.2018 53 20 Лекция 15.02.2018 56 21 Лекция 16.02.2018 59 22 Лекция 22.02.2017 61 22.1 Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 23 Лекция 1.03.2018 64 24 Лекция 15.03.2018 67 24.1 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 25 Лекция 22.03.2018 69 25.1 Элементы аналитической геометрии в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 26 Лекция 5.04.2017 26.1 Взаимное расположение двух линейных многообразий в R𝑛 26.2 Линейные многообразия в R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Линейные многообразия в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.4 Взаимное расположение двух линейных многообразий в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 72 72 73 73 27 Лекция 12.04.2018 74 27.1 Метрические задачи в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 27.2 Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 27.3 Наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 28 Лекция 19.04.2018 76 28.1 Наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 29 Лекция 26.04.2018 79 29.1 Линейные отображения и линейные операторы в евклидовых пространствах . . . . . . 81 30 Лекция 10.05.2018 82 31 ЛЕКЦИЯ 17.05.2018 84 31.1 Сингулярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 32 Лекция 24.05.2018 87 33 Лекция 31.05.2018 90 𝑛 33.1 Метрическая классификация гиперповерхностей второго порядка в R . . . . . . . . . 91 33.2 Канонические виды кривых второго порядка в R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 33.3 Канонические виды поверхностей второго порядка в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 34 Лекция 7.06.2018 34.1 Эллипс . . . . . . . . . 34.2 Гипербола . . . . . . . . 34.3 Парабола . . . . . . . . 34.4 Жорданова нормальная . . . . . . . . . . . . . . . форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 94 95 95 35 Лекция 14.06.2018 97 35.1 Метод построения жорданова базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 35.2 Полуторалинейные формы и эрмитовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3 1 Лекция 7.09.2017 1.1 Системы линейных уравнений. Линейное уравнение: 𝑎1 𝑥1 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏. 𝑎1 , 𝑎2 , · · · , 𝑎𝑛 , 𝑏 ∈ R – заданные числа. 𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 – неизвестные. Система линейных уравнений (СЛУ): ⎧ 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥 = 𝑏1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ··· + 𝑎 𝑥 = 𝑏 21 1 22 2 2𝑛 2 ⎪ .............................. ⎪ ⎪ ⎩ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑥 = 𝑏𝑚 m уравнений, n неизвестных Определение. 1) Решение одного уравнения – это такой набор значений неизвестных 𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 , при подстановке которого в уравнение получаем тождество. 2) Решение СЛУ – такой набор значений неизвестных, который является решением каждого уравнения СЛУ. Основная задача: решить СЛУ, т.е. найти все решения. Пример. 𝑛 = 𝑚 = 1 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ R, x - неизвестная 1) 𝑎 ̸= 0 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑏 – единственное 2) 𝑎 = 0 ⇒ 0𝑥 = 𝑏 𝑏 ̸= 0 ⇒ решений нет. 𝑏 = 0 ⇒ x - любое ⇒ бесконечно много решений. Определение. СЛУ называется совместной, если у нее есть решение. СЛУ называется несовместной, если у нее решений нет. Определение. Две СЛУ от одних и тех же неизвестных называются эквивалетными, когда у них совпадают множества решений. Примеры. 1) Любые две несовместные СЛУ эквивалентны, т.к. множество решений пусто. 2) {︃ 𝑥1 + 𝑥2 = 1 𝑥1 − 𝑥2 = 0 {︃ 2𝑥1 = 1 2𝑥2 = 1 {︀(︀ 1 1 )︀}︀ Эквивалентные множества решений: 2 ; 2 . Как решить СЛУ? Идея: выполнить преобразования СЛУ, не меняющие множество решениq, и привести ее в итоге к виду, в котором она легко решается. 4 ⎛ ··· ··· .. . 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 .. . 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · ⎞ 𝑏1 𝑏2 ⎟ ⎟ (︀ .. ⎟ = 𝐴 . ⎠ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 𝑎11 ⎜ 𝑎21 ⎜ ⎜ .. ⎝ . 𝑎12 𝑎22 .. . 𝑏 )︀ – расширенная матрица СЛУ (*), она содержит в себе всю информацию о СЛУ(*), где ⎛ ⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ = 𝐴 ⎝ . . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛 – матрица коэффициентов, ⎛ ⎞ 𝑏1 ⎜ 𝑏2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ = 𝑏 ⎝ . ⎠ 𝑏𝑚 – столбец правых частей. В примерах выше: 1) (︂ 1 1 (︂ 2 1 −1 2 )︂ 1 )︂ 1 1 2) Пример простого вида: ⎛ 1 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝· · · 1 ··· 1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 1 ⎞ 𝑏1 𝑏2 ⎟ ⎟ 𝑏3 ⎟ ⎟ · · ·⎠ 𝑏𝑚 соответсвующая СЛУ: ⎧ 𝑥 1 = 𝑏1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 𝑥 2 = 𝑏2 .. ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 𝑚 = 𝑏𝑚 1.2 Элементарные преобразования СЛУ и ее расширенная матрица. тип 1. тип 2. тип 3. тип СЛУ расширенная матрица К i-му уравнению прибавить j-ое, умноженное на 𝜆 ∈ R(𝑖 ̸= 𝑗) Э1 (i, j, 𝜆) Переставить i-е и j-е уравнения (𝑖 ̸= 𝑗) Э2 (i, j) Умножить i-ое уравнение на 𝜆 ̸= 0 Э3 (i, 𝜆) 5 1) Э1 (i, j, 𝜆): к i-ой строке прибавить j-ую, умноженную на 𝜆 (покомпонентно), 𝑎𝑖𝑘 → 𝑎𝑖 𝑘 + 𝜆𝑎𝑗𝑘 ∀𝑘 = 1, · · · , 𝑛, 𝑏𝑖 → 𝑏𝑖 + 𝜆𝑏𝑗 . 2) Э2 (i, j): переставить i-ю и j-ю строки. 3) Э3 (i, 𝜆): умножить i-ю строку на 𝜆 (покомпоненто). Э1 , Э2 , Э3 называются элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы. Лемма. Элементарные преобразования СЛУ не меняют множество решений. Доказательство. Пусть мы получили СЛУ(**) из СЛУ(*) путем элементарных преобразований. B 1) всякое решение СЛУ(*) является решением СЛУ(**); 2) СЛУ(*) тоже получается из СЛУ(**) путем элементарных преобразований (*) → (**) (**) → (*) Э1 (i, j, 𝜆) Э1 (i, j, −𝜆) Э2 (i, j) Э2 (i, j) Э3 (i, 𝜆) Э3 (i, 𝜆1 ) 1) ⇒ всякое решение СЛУ(**) является решением СЛУ(*) ⇒ (*) и (**) имеют одно и то же множество решений. C 2 Лекция 21.09.2017 2.1 M - матрица. Определение. Строка (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) называется нулевой, если 𝑎1 = 𝑎2 = · · · = 𝑎𝑛 = 0 , и ненулевой иначе (т.е. ∃𝑖 : 𝑎𝑖 ̸= 0). Определение. Ведущий элемент ненулевой строки – это первый ненулевой элемент этой строки. Определение. Матрица М называется ступенчатой (имеет ступенчатый вид ), если: 1) номера ведущих элементов ненулевых строк строго возратают; 2) все нулевые строки в конце (= внизу). ⎛ ⎞ 0 ··· 0 ♦ * * * * * * ⎜0 · · · 0 0 · · · ♦ * * * *⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 · · · 0 0 · · · 0 0 ♦ * *⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ⎟ ⎜. . . . . . . . . .⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 · · · · · · · · · · · · 0 ♦ *⎠ 0 0 0 ··· 0 0 0 0 0 ♦ ̸= 0 * – что угодно Определение. Матрица М имеет улучшенный ступенчатый вид, если: 1) М имеет ступенчатый вид; 6 2) все ведущие элементы = 1; 3) в одном столбце с каждым ведущим элементом стоят ⎛ 0 ··· 0 1 * * ⎜0 · · · 0 0 · · · 1 * ⎜ ⎜0 · · · 0 0 · · · 0 ⎜ ⎜ .. .. .. .. .. .. .. ⎜. . . . . . . ⎜ ⎝0 0 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 0 ··· 0 только нули. ⎞ 0 0 * 0 0 *⎟ ⎟ 1 0 *⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ . . .⎟ ⎟ 0 1 *⎠ 0 0 0 Теорема 2.1. 1) Всякую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатому виду. 2) Всякую ступенчатую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному ступенчатому виду. Следствие 2.1.1. Всякую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к ступенчатому виду. Замечание 2.1.1. Улучшенный ступенчатый вид матрицы определен однозначно. Доказательство теоремы. B Обозначения: m - число строк, n - число столбцов, 𝑎𝑖𝑗 - элемент, стоящий на пересечении i-ой стhоки и j-ого столбца. 1) Алгоритм. Если М – нулевая, то конец. Иначе: Шаг 1. Ищем первый ненулевой столбец, пусть j – его номер. Шаг 2. Переставляя строки, если нужно, добиваемся того, что 𝑎1𝑗 ̸= 0 𝑎 𝑎2𝑗 Шаг 3. Выполняем Э1 (2,1,− 𝑎1𝑗 ), . . . , Э1 (m,1,− 𝑎𝑚𝑗 ). В результате 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 = 2,3, . . . , 𝑚. 1𝑗 Дальше все повторяем для меньшей матрицы М’. 2) Алгоритм. Пусть 𝑎1𝑗1 , 𝑎2𝑗2 , . . . , 𝑎𝑟𝑗𝑟 – ведущие элементы ступенчатой матрицы. Шаг 1. Выполняем Э3 (1, 𝑎1𝑗1 ), . . . , Э3 (r, 𝑎𝑟𝑗1 ), в результате все ведущие элементы равны 1. 𝑟 1 Шаг 2. Выполнив Э1 (r-1, r, −𝑎𝑟−1 𝑗𝑟 ), Э1 (r-2, r, −𝑎𝑟−2 𝑗𝑟 ), . . . , Э1 (1, r, −𝑎1 𝑗𝑟 ). В результате все элементы над 𝑎𝑟𝑗𝑟 равны 0. Аналогично обнуляем элементы над всеми остальными ведущими. Итог: матрица имеет улучшеный ступенчатый вид. C 2.2 Метод Гаусса решения СЛУ (метод исключения неизвестных). Пусть есть СЛУ с расширенной матрицей (A|b): m уравнений, n неизвестных. Помним: элементарные преобразования строк расширенной матрицы не меняют множество решений. Алгоритм. Приводим (A|b) к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). Получаем: ⎞ ⎛ 0 · · · 0 𝑎1𝑗1 · · · · · · · · · 𝑏1 ⎜0 · · · 0 0 𝑎2𝑗 · · · · · · 𝑏2 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. ⎟ .. .. .. .. .. ⎜. . . ⎟ . . . . . ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 · · · 0 𝑎𝑟𝑗𝑟 𝑏𝑟 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 · · · 𝑏𝑟+1 ⎠ 0 0 0 ··· Случай 1. 𝑏𝑟+1 ̸= 0. Тогда новая СЛУ содержит уравнение 0 * 𝑥1 + · · · + 0 * 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟+1 (⇔ 0 = 𝑏𝑟+1 ) ⇒ СЛУ несовместна. 7 Случай 2. Либо 𝑟 = 𝑚, либо 𝑏𝑟+1 = 0. Приводим матрицу к улучшенному ступенчатому виду (обратный ход метода Гаусса). 0 ··· ⎜0 ··· ⎜. .. ⎜ .. . ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 ⎛ .. . 𝑗1 1 .. . ··· ··· ··· 𝑗2 ··· 1 .. . ··· ··· .. . 𝑗𝑟 ··· ··· .. . 1 𝑏1 𝑏2 .. . 𝑏𝑟 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Неизвестные 𝑥𝑗1 , 𝑥𝑗2 , . . . , 𝑥𝑗𝑟 называются главными, а остальные – свободными. Подслучай 2.1. 𝑟 = 𝑛, т. е. все неизвестные – главные. ⎛ ⎞ 1 ··· 0 𝑏1 ⎜ ⎟ ⎜· · · . . . · · · · · ·⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ··· 1 ⎟ 𝑏 𝑟 ⎜ ⎟ ⎝ 0 ··· 0 0⎠ 0 ··· 0 Тогда СЛУ имеет вид: ⎧ 𝑥 1 = 𝑏1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑥 =𝑏 2 2 ⎪ ··· ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 𝑛 = 𝑏𝑛 – единственное решение. Подслучай 2.2. 𝑟 < 𝑛, т.е. хотя бы одна свободная неизвестная. Перенося в каждом уравнении члены со свободными неизвестными в правую часть, получаем выражения всех главных неизвестных через свободные, эти выражения называются общим решением исходной СЛУ. Каждое решение исходной СЛУ получается подстановкой произвольных значений в свободные неизвестные и вычислением соответсвующих значений главных неизвестных. Замечание 2.1.2. И тогда СЛУ имеет бесконечно много решений. Пример. Улучшенный ступенчатый вид: (︂ 1 3 0 1 0 0 1 −2 )︂ −1 4 Главные неизвестные: 𝑥1 , 𝑥3 Свободные неизвестные: 𝑥2 , 𝑥4 . 𝑥2 = 𝑡1 , 𝑥4 = 𝑡2 – параметры. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −1 𝑥1 −1 − 3𝑡1 − 𝑡2 −1 −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 𝑡1 ⎜ ⎟=⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + 𝑡1 ⎜ 1 ⎟ + 𝑡2 ⎜ 0 ⎟ ⎝0⎠ ⎝2⎠ ⎝𝑥3 ⎠ ⎝ 4 + 2𝑡2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 𝑥4 𝑡2 Общее решение: {︃ 𝑥1 = −1 − 3𝑥2 − 𝑥4 𝑥3 = 4 + 2𝑥4 8 Следствие 2.1.2. Всякая СЛУ с коэффициентами из R либо несовместна, либо имеет ровно 1 решение, либо имеет бесконечно много решений. Определение. СЛУ называется однородной (ОСЛУ), если все ее правые части равны 0. Расширенная: (A|0). Очевидный факт: всякая ОСЛУ имеет нулевое решение (𝑥1 = 𝑥2 = · · · = 𝑥𝑛 = 0). Следствие 2.1.3. Всякая ОСЛУ либо имеет ровно 1 решение (нулевое), либо бесконечно много решений. Следствие 2.1.4. Всякая ОСЛУ, у которой число неизвестных больше числа уравнений, имеет ненулевое решение. Доказательство: B В ступенчатом виде расширенной матрице ступенек будет ≤ 𝑚 (m – количество уравнений). Число ступенек = числу главных неизвестных ⇒ главных неизвестных ≤ 𝑚 ⇒ будет хотя бы одна свободная неизвестная. Подставляя в свободную неизвестную ненулевое значение, получим ненулевое решение. C 3 Лекция 28.09.2017 3.1 Матрицы Определение. Матрица размера 𝑚 × 𝑛 (или (𝑚 × 𝑛)-матрица) – это прямоугольная таблица высоты m и ширины n, заполненная числами (m строк, n столбцов). ⎛ ⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ = 𝐴 ⎝ . . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛 𝑎𝑖𝑗 – элемент на пересечении i-ой строки и j-ого столбца. Краткая запись: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ). Множество всех матриц размера 𝑚 × 𝑛 (с коэффициентами из R) обозначается 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R). Определение. Матрицы 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 и 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑘×𝑙 называются равными, если: 1) 𝑚 = 𝑘, 𝑛 = 𝑙 (размер один и тот же) 2) 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀𝑖, 𝑗 3.2 Операции над матрицами Сложение. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ⎛ 𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 · · · ⎜ 𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 · · · ⎜ 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) = ⎜ .. .. .. ⎝ . . . 𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 · · · 9 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 .. . 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 ⎠ Умножение на скаляр. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝜆 ∈ R ⇒ ⎛ 𝜆𝑎11 𝜆𝑎12 · · · ⎜ 𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 · · · ⎜ 𝜆𝐴 = (𝜆𝑎𝑖𝑗 ) = ⎜ .. .. .. ⎝ . . . 𝜆𝑎𝑚1 𝜆𝑎𝑚2 · · · ⎞ 𝜆𝑎1𝑛 𝜆𝑎2𝑛 ⎟ ⎟ .. ⎟ ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 . ⎠ 𝜆𝑎𝑚𝑛 Свойства сложения и умножения на скаляр ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 и ∀𝜆, 𝜇 ∈ R 1) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (коммутативность) 2) (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (ассоциативность) 3)𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴, где ⎛ ⎞ 0 ··· 0 0 = ⎝· · · · · · · · · · · · ⎠ 0 ··· 0 - нулевая матрица 4)𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 0, где −𝐴 = (−𝑎𝑖𝑗 ) – противоположная А матрица 5) (𝜆 + 𝜇)𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝜇𝐴 6) 𝜆(𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 7) (𝜆𝜇)𝐴 = 𝜆(𝜇𝐴) 8) 1 × 𝐴 = 𝐴 Упражнение на дом: Доказательство свойств. Замечание 3.0.1. Свойства (1)-(8) означают, что 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 является векторным пространством. 3.3 Декартово произведение множеств Стандартный способ задания множества. 𝑀 = { какие элементы | условие, которому удовлетворяют элементы }. 𝑋, 𝑌 – множества ⇒ их декартово произедение есть множество 𝑋 × 𝑌 := {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 } (упорядоченные пары). 𝑋1 , 𝑋2 , . . . , 𝑋𝑛 – множества. 𝑋1 × 𝑋2 × · · · × 𝑋𝑛 := {(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) | 𝑥𝑖 ∈ 𝑋𝑖 } Пространство R𝑛 – это R × R × · · · × R (n штук). R𝑛 = {(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) | 𝑥𝑖 ∈ R ∀𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛} Договоримся элементы из R𝑛 записывать в виде столбцов (не строк): ⎧⎛ ⎞ ⎫ 𝑥1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎨⎜ 𝑥2 ⎟ ⎬ 𝑛 ⎜ ⎟ R = ⎜ 𝑥3 ⎟ | 𝑥𝑖 ∈ R ∀𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 = 𝑀 𝑎𝑡𝑛×1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝· · · ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 𝑥𝑛 10 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ∈ R𝑛 , 𝑦 = ⎜ 𝑦2 ⎟ ∈ R𝑛 𝑥=⎜ ⎝· · · ⎠ ⎝· · · ⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 ⎛ ⎞ 𝑥1 + 𝑦 1 ⎜ 𝑥2 + 𝑦 2 ⎟ ⎟ 𝑥 + 𝑦 := ⎜ ⎝ ··· ⎠ 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 ⎛ ⎞ 𝜆𝑥1 ⎜ 𝜆𝑥2 ⎟ ⎟ 𝜆 ∈ R ⇒ 𝜆𝑥 := ⎜ ⎝ ··· ⎠ 𝜆𝑥𝑛 Выполняются свойства (1)–(8). 3.4 Транспонирование 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ⎛ 𝑎11 ⎜ 𝑎21 ⎜ 𝐴 = ⎜ .. ⎝ . 𝑎12 𝑎22 .. . ··· ··· .. . 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · ⎛ 𝑎11 𝑎21 · · · ⎜ 𝑎12 𝑎22 · · · ⎜ 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 ) = ⎜ .. .. .. ⎝ . . . 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 · · · – транспонированная к А матрица. Примеры: ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎟ 1) (𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 )𝑇 = ⎜ ⎝. . . ⎠ 𝑥𝑛 ⎛ ⎞𝑇 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎟ 2) ⎜ ⎝. . .⎠ = (𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛 ⎛ ⎞𝑇 (︂ )︂ 1 2 1 3 5 ⎝ ⎠ 3) 3 4 = 2 4 6 5 6 Свойства транспонирования. 1) (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇 2) (𝜆𝐴)𝑇 = 𝜆𝐴𝑇 3) (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 11 ⎞ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠ 𝑎𝑚𝑛 ⎞ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⎟ ⎟ .. ⎟ ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 . ⎠ 𝑎𝑚𝑛 𝐴(𝑖) = (𝑎 𝑖2 . . . 𝑎𝑖𝑛 ) – 𝑖-ая строка матрицы A ⎛𝑖1 𝑎⎞ 𝑎1𝑗 ⎜ 𝑎2𝑗 ⎟ ⎟ 𝐴(𝑗) = ⎜ ⎝ · · · ⎠ – 𝑗-ый столбец матрицы А 𝑎𝑛𝑗 3.5 Умножение матриц 1) Частный случай: умножение строки на столбец той же длины ⎛ ⎞ 𝑦1 ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎟ (𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 ) ⎜ ⎝ . . . ⎠ = 𝑥1 𝑦 1 + 𝑥 2 𝑦 2 + · · · + 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑦𝑛 2) Общий случай: 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (размер 𝑚 × 𝑛) 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑝 (размер 𝑛 × 𝑝) – соответствие размеров Тогда AB – такая матрица 𝐶 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑝 , что 𝑐𝑖𝑗 := 𝐴(𝑖) 𝐵 (𝑗) = 𝑛 ∑︀ 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 . 𝑘=1 Примеры: 1) ⎛ ⎞ ⎛ 𝑥1 ]𝑥1 𝑦1 𝑥1 𝑦2 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑥2 𝑦 1 𝑥2 𝑦 2 ⎜ ⎟ (𝑦1 𝑦2 . . . 𝑦𝑛 ) = ⎜ ⎝. . . ⎠ ⎝ ... ... 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑦 1 𝑥𝑛 𝑦 2 ⎞ . . . 𝑥 1 𝑦𝑛 . . . 𝑥 2 𝑦𝑛 ⎟ ⎟ = (𝑥𝑖 𝑦𝑗 ) ... ... ⎠ . . . 𝑥 𝑛 𝑦𝑛 2) (︂ ⎞ (︂ )︂ (︂ )︂ 2 −1 1 0 2 ⎝ 1·2+0·0+2·1 1 · (−1) + 0 · 5 + 2 · 1 4 1 ⎠ 0 5 = = 0 −1 3 0 · 2 + (−1) · 0 + 3 · 1 0 · (−1) + (−1) · 5 + 3 · 1 3 −2 1 1 )︂ ⎛ 3) Линейное уравнение 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎟ (𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛 ) ⎜ ⎝· · · ⎠ = 𝑏 𝑥𝑛 СЛУ с расширенной матрицей (A | b), 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 ⇒ матричная форма записи: Ax = b, где А – матрица коэфициентов, 𝑥 ∈ R𝑛 – столбец неизвестных, 𝑏 ∈ R𝑚 – столбец правых частей. 3.6 Отступление 𝑠𝑝 , 𝑠𝑝+1 , . . . , 𝑠𝑞 – последовательность чисел 𝑞 ∑︀ 𝑠𝑖 := 𝑠𝑝 + 𝑠𝑝+1 + · · · + 𝑠𝑞 𝑖=𝑝 Свойства суммирования: 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ 1) 𝜆 𝑠𝑖 = 𝜆𝑠𝑖 𝑖=1 𝑖=1 12 2) 𝑛 ∑︀ 𝑠𝑖 + 𝑖=1 3) 𝑛 ∑︀ 𝑖=1 𝑡𝑖 = 𝑛 ∑︀ (𝑠𝑖 + 𝑡𝑖 ) 𝑖=1 𝑚 ∑︀ 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑚 ∑︀ ∑︀ ( 𝑠𝑖𝑗 ) = ( 𝑠𝑖𝑗 ) 𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 Обе части равенства представляют ⎛ ⎞ собой сумму всех элементов матрицы 𝑠11 𝑠12 . . . 𝑠1𝑛 ⎜ 𝑠21 𝑠22 . . . 𝑠2𝑛 ⎟ ⎟ 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗 ) = ⎜ ⎝. . . . . . . . . . . . ⎠ 𝑠𝑛1 𝑠𝑛2 . . . 𝑠𝑛𝑛 В левой части мы сначала суммируем элементы в каждой строке, а потом складываем полученные суммы в столбце. В правой части мы сначала суммируем элементы в каждом столбце, а после – полученные суммы в строке. 4 Лекция 30.09.2017 4.1 Свойства умножения матриц 1) 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (левая дистрибутивность) Доказательство. B размеры: 𝑚 × 𝑛 (𝑛 × 𝑝 + 𝑛 × 𝑝) = 𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑝 + 𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑝 = 𝑚 × 𝑝 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑥𝑖𝑗 = 𝐴(𝑖) (𝐵+𝐶)(𝑗) = 𝑎𝑖𝑘 (𝑏𝑘𝑗 +𝑐𝑘𝑗 ) = (𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 +𝑎𝑖𝑘 𝑐𝑘𝑗 ) = 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 + 𝑎𝑖𝑘 𝑐𝑘𝑗 = (𝐴𝐵)𝑖𝑗 +(𝐴𝐶)𝑖𝑗 = 𝑘=1 𝑦𝑖𝑗 ⇒ 𝑋 = 𝑌 . C 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 1’) (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 (правая дистрибутивность) 2) 𝜆 ∈ R ⇒ 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵) 3) A(BC) = (AB)C (ассоциативность) Доказательство. BA(BC) = AU = X, (AB)C = VC = Y. 𝑝 ∑︀ 𝑝 𝑝 ∑︀ 𝑝 𝑝 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑣𝑖𝑙 𝑐𝑙𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 ( 𝑏𝑘𝑙 𝑐𝑙𝑗 ) = ( 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑙 𝑐𝑙𝑗 ) = ( 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑙 𝑐𝑙𝑗 ) = ( (𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑙 )𝑐𝑙𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝑢𝑘𝑗 = 𝑥𝑖𝑗 = 𝑘=1 𝑦𝑖𝑗 ⇒ 𝑋 = 𝑌.C 𝑘=1 𝑙=1 𝑘=1 𝑙=1 𝑙=1 𝑘=1 𝑙=1 𝑘=1 4) (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 Доказательство. B(𝐴𝐵)𝑇 = 𝑋, 𝐵 𝑇 = 𝐶, 𝐴𝑇 = 𝐷, 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 = 𝑌 размеры: 𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑝 = 𝑝 × 𝑛 𝑛 × 𝑚 = 𝑝 × 𝑚 𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑥𝑖𝑗 = (𝐴𝐵)𝑗𝑖 = 𝑎𝑗𝑘 𝑏𝑘𝑖 = 𝑑𝑘𝑗 𝑐𝑖𝑘 = 𝑐𝑖𝑘 𝑑𝑘𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 ⇒ 𝑋 = 𝑌 C. 𝑘=1 𝑘=1 𝑘=1 Замечание 4.0.1. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. (︂ )︂ (︂ )︂ 0 1 0 0 Пример. 𝐴 = ,𝐵 = 1 0 (︂ )︂ 0 0 1 0 𝐴𝐵 = 0 0 13 𝑙=1 (︂ 𝐵𝐴 = 4.2 0 0 0 1 )︂ ⇒ 𝐴𝐵 ̸= 𝐵𝐴 Приложение к СЛУ СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑏(*), 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝑥 ∈ R𝑛 – столбец неизвестных, 𝑏 ∈ R𝑚 Если СЛУ (*) совместна, то ее частное решение – какое-либо одно ее решение. ⎛ ⎞ ⎜0⎟ ⎟ Утверждение. Пусть 𝐴𝑥 = 𝑏 (*) – совместная СЛУ, 𝐴𝑥 = ⎜ ⎝. . .⎠ (**) – соответствующая ОСЛУ. 𝑛 𝑛 Пусть 𝐿 ⊆ R – множество решений СЛУ(*), 𝑆 ⊆ R – частное решение ОСЛУ(**), 𝑥0 ∈ 𝐿 – частное решение СЛУ(*). Тогда 𝐿 = 𝑥0 + 𝑆, где 𝑥0 + 𝑆 = {𝑥0 + 𝑣 | 𝑣 ∈ 𝑆}. Пример. (︂ 1 2 0 −3 0 0 1 5 )︂ 4 6 𝑥1 = 4 − 2𝑥2 + 3𝑥4 𝑥3 = 6 − 5𝑥4 𝑥2 = 𝑡1 , 𝑥4 = 𝑡2 – параметры ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 − 2𝑡1 + 3𝑡2 4 𝑥1 −2 3 ⎟ ⎜ ⎜𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑡1 ⎟ = ⎜0⎟ + 𝑡1 ⎜ 1 ⎟ + 𝑡2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎝𝑥3 ⎠ ⎝ 6 − 5𝑡2 ⎠ ⎝6⎠ ⎝0⎠ ⎝−5⎠ 𝑡2 𝑥4 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 −2 3 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ , где ⎜ ⎝6⎠ – частное решение, а 𝑡1 ⎝ 0 ⎠ + 𝑡2 ⎝−5⎠ – решение ОСЛУ. 1 Доказательство. B𝑥0 – частное решение ⇒ 𝐴𝑥0 = 𝑏. 1) Пусть 𝑢 ∈ 𝐿, тогда Au = b. Положим = 𝑢 − 𝑥0 . Тогда 𝑢 = 𝑥0 + 𝑣. ⎛ 𝑣⎞ ⎝ 𝐴𝑣 = 𝐴(𝑢 − 𝑥0 ) = 𝐴𝑢 − 𝐴𝑥0 = 𝑏 − 𝑏 = . . .⎠ ⇒ 𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝐿 ⊆ 𝑥0 + 𝑆. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 2) 𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 𝐴𝑣 = . . . ⇒ 𝐴(𝑥0 + 𝑣) = 𝐴(𝑥0 + 𝑣) = 𝐴𝑥0 + 𝐴𝑣 = 𝑏 + . . .⎠ = 𝑏 ⇒ 𝑥0 + 𝑣 ∈ 𝐿 ⇒ 𝑥0 + 𝑆 ⊆ 𝐿. 1)&2) ⇒ 𝐿 = 𝑥0 + 𝑆. 4.3 Определение. Матрица 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 называется квадратной, если m = n. При этом число n называется порядком этой матрицы. 14 Обозначение: 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 =: 𝑀𝑛 𝐴 ⎛ ∈ 𝑀𝑛 ♦ ⎜ ♦ ⎜ ⎝ ♦ ⎞ ⎟ ⎟ – главная диагональ ⎠ ♦ ⎞ ♦ ♦ ⎟ ⎟ – побочная диагональ ⎠ ♦ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ♦ Определение. Матрица 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны 0 (т.е. 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖 ̸= 𝑗). ⎛ ⎞ 𝑎1 0 . . . 0 ⎜ 0 𝑎2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) . . . 𝐴=⎜ ⎜ ⎟ ⎝. . . . . . . . . . . .⎠ 0 . . . 𝑎𝑛 Замечание 4.0.2. В дальнейшем понятие диагональной матрицы“ будет использоваться также и ” для неквадратных матриц, условие то же: 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖 ̸= 𝑗 ⎛ ⎞ 0 ... ... 0 𝑎2 . . . . . . 0 ⎟ ⎟ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) . . . . . . . . . . . .⎠ 0 . . . 𝑎𝑛 0 ⎞ 𝑎1 0 . . . 0 ⎜ 0 𝑎2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 𝐴=⎜ ⎜. . . . . . . . . . . .⎟ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) ⎝ 0 0 . . . 𝑎𝑛 ⎠ 𝑎1 ⎜ 0 𝐴=⎜ ⎝. . . ⎛ Лемма. Пусть 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) ∈ 𝑀𝑛 . ⎛ ⎞ 𝑎1 𝐵(1) ⎜ 𝑎2 𝐵(2) ⎟ ⎟ (1) Если 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑝 , то AB = ⎜ ⎝ . . . ⎠(т.е. i-я строка унмножается на 𝑎𝑖 ). 𝑎𝑛 𝐵(𝑛) (2) Если 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , то 𝐵𝐴 = (𝑎1 𝐵 (1) 𝑎2 𝐵 (2) . . . 𝑎𝑛 𝐵 (𝑛) ) (т.е. i-ый столбец умножается на 𝑎𝑖 ). Доказательство. B (1) ⎛ 𝑎1 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝. . . 𝑎2 ... 𝑎3 ... ... ... ... ... ... ⎞ 0 ⎛ 𝑏11 0⎟ ⎟ ⎜ 𝑏21 ⎜ 0⎟ ⎟ ⎝. . . . . .⎠ 𝑏𝑛1 𝑎𝑛 𝑏12 𝑏22 ... 𝑏𝑛2 𝑏13 𝑏23 ... 𝑏𝑛3 ⎞ ⎛ . . . 𝑏1𝑝 𝑎1 𝑏11 𝑎1 𝑏12 𝑎1 𝑏13 ⎟ ⎜ . . . 𝑏2𝑝 ⎟ ⎜ 𝑎2 𝑏21 𝑎2 𝑏22 𝑎2 𝑏23 = . . . . . .⎠ ⎝ . . . ... ... . . . 𝑏𝑛𝑝 𝑎𝑛 𝑏𝑛1 𝑎𝑛 𝑏𝑛2 𝑎𝑛 𝑏𝑛3 15 ⎞ . . . 𝑎1 𝑏1𝑝 . . . 𝑎2 𝑏2𝑝 ⎟ ⎟= ... ... ⎠ . . . 𝑎𝑛 𝑏𝑛𝑝 ⎛ ⎞ 𝑎1 𝐵(1) ⎜ 𝑎2 𝐵(2) ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ ... ⎠ 𝑎𝑛 𝐵(𝑛) (2) Аналогично. C Определение. Матрица 𝐸 = 𝐸𝑛 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1, 1, . . . , 1) называется единичной матрицей порядка n. ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 ⎜ 0 1 ... 0 ⎟ ⎟ 𝐸=⎜ ⎝. . . . . . . . . . . . ⎠ 0 ... 1 Следствия из леммы 1) 𝐸𝐴 = 𝐴 ∀ 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑝 2) 𝐴𝐸 = 𝐴 ∀ 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 3) 𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴 ∀ 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛 Утверждение. Всякое элементарное преобразование строк матрицы 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 представимо при помощи умножения слева на подходящую матрицу. А именно: Э1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) : 𝐴 → 𝑈1 (𝑖, 𝑗, 𝜆)𝐴, где ⎛ 1 ··· ⎜0 1 ⎜ 𝑖⎜ ⎜0 ··· 𝑈1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) = ⎜ ⎜0 ··· ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 𝑗 ··· ··· 𝜆 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, на 𝑖–ом 𝑗–ом месте стоит 𝜆, остальные элементы нули) Э2 (𝑖, 𝑗) : 𝐴 → 𝑈2 (𝑖, 𝑗)𝐴, где ⎛ 1 ··· ⎜0 1 ⎜ 𝑖⎜ ⎜0 ··· 𝑈2 (𝑖, 𝑗) = ⎜ ⎜0 ··· ⎜0 0 ⎜ 𝑗⎝ 0 0 0 0 𝑖 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ··· 1 ··· 0 ··· ··· ··· 1 𝑗 ··· ··· 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, кроме 𝑖–ого и 𝑗-ого столбца (там нули), на 𝑖–ом 𝑗–ом и 𝑗–ом 𝑖–ом местах стоят 1, остальные элементы нули) 16 Э1 (𝑖, 𝜆) : 𝐴 → 𝑈3 (𝑖, 𝜆)𝐴, где ⎛ 1 ··· ⎜0 1 ⎜ 𝑖⎜ ⎜0 ··· 𝑈3 (𝑖,𝜆) = ⎜ ⎜0 ··· ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 𝑖 0 0 0 0 𝜆 0 0 1 0 ··· 0 ··· 0 ··· ··· ··· 1 ··· ··· 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 𝑖 ⎟ (︀ )︀ ⎟ = 𝑑𝑖𝑎𝑔 1, . . . , 1, 𝜆, 1, . . . , 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (на диагонали стоят единицы, кроме 𝑖-ого столбца – там 𝜆, остальные элементы нули) Упражнение на дом: Доказательство. Упражнение на дом: Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов. 5 Лекция 5.10.2017 5.1 След матрицы Определение. Следом квадратной матрицы A называется сумма всех элементов на ее главной диагонали. Обозначение: 𝑡𝑟𝐴. Свойства: 1) 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟𝐴 + 𝑡𝑟𝐵 ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 2) 𝑡𝑟(𝜆𝐴) = 𝜆𝑡𝑟𝐴 ∀𝜆 ∈ R 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 3) 𝑡𝑟(𝐴𝑇 ) = 𝑡𝑟𝐴 4) 𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴) ∀ 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 Доказательство. B (1) - (3) из определения. (4) 𝐴𝐵 = 𝑋, 𝐵𝐴 = 𝑌 𝑚 𝑚 ∑︀ 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑚 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑡𝑟𝑋 = 𝑥𝑖𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑗𝑖 = 𝑏𝑗𝑖 𝑎𝑖𝑗 = 𝑦𝑗𝑗 = 𝑡𝑟𝑌 C 𝑖=1 𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 Пример. ⎛ ⎞ 4 (︀ )︀ ⎝ 𝐴 = 1 2 3 , 𝐵 = 5⎠ 6 𝑡𝑟𝐴𝐵 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32 𝑡𝑟𝐵𝐴 = 4 + 10 + 18 = 32 5.2 Перестановки и подстановки Определение. Перестановкой множества {1, 2, . . . , 𝑛} называется упорядоченный набор (𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑛 ), в котором каждое число от 1 до n встречается ровно один раз. Обозначение: 𝑃𝑛 – множество всех перестановок множества {1, 2, . . . , 𝑛}. 17 Пример. (4 3 2 1) ∈ 𝑃4 Факт. |𝑃𝑛 | = 𝑛! Определение. Подстановка из n элементов – это биективное (=взаимнооднозначное) отображение множества {1, 2, . . . , 𝑛} в себя. Запись: (︂ )︂ 1 2 3 ... 𝑛 𝑖1 𝑖2 𝑖3 . . . 𝑖𝑛 𝜎 : {1, 2, . . . , 𝑛} → {1, 2, . . . , 𝑛} 𝑖𝑗 = 𝜎(𝑗) 𝜎(1) = 𝑖1 ... 𝜎(𝑛) = 𝑖𝑛 𝜎 – подстановка (𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑛 ) – перестановка Можно записывать еще и так: (︂ 𝑖 𝑖 ... 𝜎: 1 2 𝑗1 𝑗2 . . . )︂ 𝑖𝑛 , где (𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑛 ) ∈ R 𝑗𝑛 𝑗1 = 𝜎(𝑖1 ), 𝑗2 = 𝜎(𝑖2 ), . . . , 𝑗𝑛 = 𝜎(𝑖𝑛 ) Обозначение: 𝑆𝑛 – множество всех подстановок из n элементов. Пример. (︂ 𝜎: )︂ 1 2 3 4 = (4 3 2 1) 4 3 2 1 Пусть 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 , 𝑖, 𝑗 ∈ 1, 2, . . . , 𝑛, 𝑖 ̸= 𝑗 Определение. Пара {𝑖, 𝑗} (неупорядоченная) образует инверсию в 𝜎, если числа 𝑖−𝑗 и 𝜎(𝑖)−𝜎(𝑗) имеют разный знак, т.е. либо 𝑖 < 𝑗 и 𝜎(𝑖) > 𝜎(𝑗), либо 𝑖 > 𝑗 и 𝜎(𝑖) < 𝜎(𝑗). Определение. Знак подстановки 𝜎 – это число sgn(𝜎) = (−1)<число инверсий в 𝜎> . Определение. Если sgn(𝜎) = 1, то 𝜎 называется четной (число инверсий четное), если sgn(𝜎) = −1, то 𝜎 называется нечетной (число инверсий нечетное). Примеры. (︂ n=2 число инверсий sgn(𝜎) четность )︂ 1 2 1 2 1 четная (︂ )︂ 1 2 2 1 1 -1 нечетная 18 (︂ n=3 число инверсий sgn(𝜎) четность )︂ (︂ )︂ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 -1 четная нечетная Замечание. 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 : число инверсий ≤ (︂ )︂ 1 2 3 2 3 1 2 1 четная 𝐶𝑛2 = 𝑛(𝑛−1) , 2 (︂ )︂ 1 2 3 3 2 1 3 -1 нечетная (︂ )︂ (︂ )︂ 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 1 -1 четная нечетная (︂ равенство достигается при 𝜎 = 1 2 ... 𝑛 𝑛 − 1 ... 𝑛 1 Определение. Произведением (или композицией) двух подстановок 𝜎, 𝜌 ∈ 𝑆𝑛 называется постановка 𝜎𝜌, такая что (𝜎𝜌)(𝑖) = 𝜎(𝜌(𝑖)) ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑛. Пример. (︂ )︂ (︂ )︂ 1 2 3 4 1 2 3 4 𝜎= ,𝜌= 4 3 2 1 3 4 1 2 (︂ )︂ 1 2 3 4 𝜎𝜌 = (︂2 1 4 3)︂ 1 2 3 4 𝜌𝜎 = 2 1 3 4 ⇒ 𝜎𝜌 ̸= 𝜌𝜎 ⇒ умножение подстановок не обладает свойством коммутативности. Утверждение. Умножение подстановок ассоциативно, т.е. 𝜎(𝜏 𝜋) = (𝜎𝜏 )𝜋 ∀ 𝜎, 𝜏, 𝜋 ∈ 𝑆𝑛 . Доказательство. B∀ 𝑖 ∈ 1, 2, . . . , 𝑛 имеем [𝜎(𝜏 𝜋)](𝑖) = 𝜎((𝜏 𝜋)(𝑖)) = 𝜎(𝜏 (𝜋(𝑖))) [(𝜎𝜏 )𝜋](𝑖) = (𝜎𝜏 )(𝜋(𝑖)) = 𝜎(𝜏 (𝜋(𝑖)))C (︂ 1 2 ... Определение. Подстановка 𝑖𝑑 = 1 2 ... 𝑖𝑑(𝑖) = 𝑖 ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 Свойства: 𝑖𝑑 · 𝜎 = 𝜎 · 𝑖𝑑 = 𝜎. (︂ 1 2 ... Определение. 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 , 𝜎 = 𝜎(1) 𝜎(2) . . . называется обратной к 𝜎. 𝑛 𝑛 )︂ ∈ 𝑆𝑛 называется тождественной. )︂ (︂ 𝑛 𝜎(1) 𝜎(2) . . . −1 ⇒ подстановка 𝜎 := 𝜎(𝑛) 1 2 ... Свойства: 𝜎 · 𝜎 −1 = 𝑖𝑑 = 𝜎 −1 · 𝜎 Теорема. 𝜎, 𝜌 ∈ 𝑆𝑛 ⇒ sgn(𝜎𝜌) = 𝑚𝑎𝑡ℎ𝑟𝑚𝑠𝑔𝑛𝜎 · 𝑚𝑎𝑡ℎ𝑟𝑚𝑠𝑔𝑛𝜌. Доказательство. B Для каждой пары 𝑖 < 𝑗 введем следующие числа: {︃ 1, если {𝑖, 𝑗}образует инверсию в 𝜌 𝑎(𝑖,𝑗) = 0, иначе {︃ 1, если {𝑖, 𝑗} образует инверсию в 𝜎 𝑏(𝑖,𝑗) = 0, иначе 19 𝜎(𝑛) 𝑛 )︂ )︂ {︃ 1, если {𝑖, 𝑗} образует инверсию в 𝜎𝜌 𝑐(𝑖,𝑗) = 0, иначе 1 → 𝜌(1) → 𝜎𝜌(1) 2 → 𝜌(2) → 𝜎𝜌(2) ... 𝑛 → 𝜌(𝑛) → 𝜎𝜌(𝑛) ∑︀ <число инверсий в 𝜌> = 𝑎(𝑖, 𝑗) 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 ∑︀ <число инверсий в 𝜎> = 𝑏(𝑖, 𝑗) 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 <число инверсий в 𝜎𝜌> = ∑︀ 𝑐(𝑖, 𝑗) 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 Зависимость 𝑐(𝑖,𝑗) от 𝑎(𝑖,𝑗) и 𝑏(𝑖,𝑗): a(i,j) b(i,j) c(i,j) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Вывод: 𝑐(𝑖,𝑗) = (𝑎(𝑖,𝑗)∑︀+ 𝑏(𝑖,𝑗)) 𝑚𝑜𝑑∑︀2 ∑︀ ∑︀ ∑︀ Тогда sgn(𝜎𝜌) = (−1) 𝑐(𝑖,𝑗) = (−1) 𝑏(𝑖,𝑗)+ 𝑎(𝑖,𝑗) = (−1) 𝑏(𝑖,𝑗) · (−1) 𝑎(𝑖,𝑗) = sgn𝜎 · sgn𝜌.C Следствие. 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 ⇒ sgn(𝜎 −1 ) = sgn(𝜎). Доказательство. B1 = sgn(𝑖𝑑) = sgn(𝜎 · 𝜎 −1 ) = sgn𝜎 · sgn𝜎 −1 ⇒ sgn𝜎 −1 = sgn𝜎.C Упражнение на дом: ∀𝜎 ∈ 𝑆𝑛 : <число инверсий в 𝜎> = <число инверсий в 𝜎 −1 >. 6 Лекция 12.10.2017 6.1 Продолжение про подстановки 𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} 𝑖 ̸= 𝑗. Пусть 𝜏𝑖𝑗 ∈ 𝑆𝑛 – подстановка, такая что 𝜏𝑖𝑗 (𝑖) = 𝑗, 𝜏𝑖𝑗 (𝑗) = 𝑖, 𝜏𝑖𝑗 (𝑘) = 𝑘 ∀𝑘 ̸= 𝑖,𝑗. Определение. Подстановки вида 𝜏𝑖𝑗 называются транспозициями. Определение. Подстановки вида 𝜏𝑖,𝑖+1 называются элементарными траспозициями. Замечание. 𝜏 – траспозиция ⇒ 𝜏 2 = 𝑖𝑑, 𝜏 −1 = 𝜏 . Лемма. 𝜏 ∈ 𝑆𝑛 – транспозиция ⇒ sgn(𝜏 ) = −1. Доказательство. B Пусть 𝜏 = 𝜏𝑖𝑗 , можем считать, что 𝑖 < 𝑗. Посчитаем инверсии (︂ )︂ 1 ... 𝑖 − 1 𝑖 𝑖 + 1 ... 𝑗 − 1 𝑗 𝑗 + 1 ... 𝑛 𝜏 := 1 ... 𝑖 − 1 𝑗 𝑖 + 1 ... 𝑗 − 1 𝑖 𝑗 + 1 ... 𝑛 20 Инверсии: {𝑖, 𝑗} {𝑖, 𝑘} при 𝑖 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑗 − 1, всего = 𝑗 − 𝑖 − 1 {𝑘, 𝑗} при 𝑖 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑗 − 1, всего = 𝑗 − 𝑖 − 1 ⇒ всего инверсий 2(𝑗 − 𝑖 − 1) + 1 = 1 𝑚𝑜𝑑 2 ⇒ sgn(𝜏 ) = −1C. Следствие. При 𝑛 ≥ 2 отображение 𝜎 → 𝜎𝜏12 является биекцией между множеством четных подстановок в 𝑆𝑛 и множеством нечетных подстановок в 𝑆𝑛 . Следствие. При 𝑛 ≥ 2 количество нечетных подстановок в 𝑆𝑛 равно количеству четных подстановок в 𝑆𝑛 и равно 𝑛!/2. Теорема. Всякая подстановка 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 может быть разложена в произведение конечного числа элементарных транспозиций. Доказательство. B 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 (︂ )︂ 𝑛 𝜎 := 𝜎(𝑛) (︂ )︂ 1 2 ... 𝑖 𝑖 + 1 ... 𝑛 Тогда 𝜎𝜏𝑖,𝑖+1 = ⇒ при умножении справа на 𝜏𝑖,𝑖+1 в 𝜎(1) 𝜎(2) . . . 𝜎(𝑖 + 1) 𝜎(𝑖) . . . 𝜎(𝑛) нижней строке меняются местами 𝑖-ый и (𝑖 + 1)-ый элементы. Тогда, домножив 𝜎 на подходящее произведение 𝜏1 · 𝜏2 · · · · · 𝜏𝑘 элентарных траспозиций, можем добиться, что нижняя строка есть (1, 2, . . . , 𝑛) ⇒ 𝜎𝜏1 𝜏2 . . . 𝜏𝑘 = 𝑖𝑑. Теперь, домножая справа на 𝜏𝑘 𝜏𝑘−1 . . . 𝜏1 , получим 𝜎 = 𝜏𝑘 𝜏𝑘−1 . . . 𝜏1 C. 1 2 ... 𝜎(1) 𝜎(2) . . . 6.2 Определители 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 Определение. Определителем (квадратной) матрицы 𝐴 называется число ∑︁ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = (sgn𝜎)𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) (*) 𝜎∈𝑆𝑛 ( ∑︀ – сумма по всем подстановкам) 𝜎∈𝑆𝑛 ⃒ ⃒ 𝑎11 𝑎12 . . . ⃒ Другие обозначения: |𝐴|, ⃒⃒. . . . . . . . . ⃒𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . Примеры: 1) 𝑛 = 2 {︂(︂ 1 𝑆2 = (︂ 1 𝑎11 𝐴= 𝑎21 2)𝑛 ={︂(︂ 3 𝑆3 = ⃒ 𝑎1𝑛 ⃒⃒ . . . ⃒⃒ 𝑎𝑛𝑛 ⃒ )︂ (︂ )︂}︂ 2 1 2 , 2 )︂ 2 1 𝑎12 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = (+1)𝑎11 𝑎22 + (−1)𝑎12 𝑎21 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 𝑎22 )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂}︂ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 21 ⃒ ⃒ ⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⃒ ⃒ ⃒ |𝐴| = ⃒⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒⃒ = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 ⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒ Замечание. Каждое слагаемое в (*) содержит ровно 1 элемент из каждой строки и ровно 1 элемент из каждого столбца. Свойства определителей: T) Свойство Т. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 . Доказательство. B Пусть 𝐵 = 𝐴𝑇 , тогда 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 . 𝑑𝑒𝑡𝐵 = ∑︁ (sgn𝜎)𝑏1,𝜎(1) 𝑏2,𝜎(2) . . . 𝑏𝑛,𝜎(𝑛) = 𝜎∈𝑆𝑛 ∑︁ (sgn𝜎)𝑎𝜎(1),1 𝑎𝜎(2),2 . . . 𝑎𝜎(𝑛),𝑛 = 𝜎∈𝑆𝑛 = |заметим : 𝑎𝜎(1),1 𝑎𝜎(2),2 . . . 𝑎𝜎(𝑛),𝑛 = 𝑎1,𝜎−1 (1) 𝑎2,𝜎−1 (2) . . . 𝑎𝑛,𝜎−1 (𝑛) ; sgn(𝜎) = sgn(𝜎 −1 )| = ∑︁ ∑︁ = (sgn𝜎 −1 )𝑎1,𝜎−1 (1) 𝑎2,𝜎−1 (2) . . . 𝑎𝑛,𝜎−1 (𝑛) = |замена : 𝜌 = 𝜎 −1 | = (sgn𝜌)𝑎1,𝜌(1) 𝑎2,𝜌(2) . . . 𝑎𝑛,𝜌(𝑛) 𝜎∈𝑆𝑛 𝜌∈𝑆𝑛 0) Свойство 0. Если в А есть нулевая строка или нулевой стобец, то det A = 0. Доказательство. B В силу свойства Т достаточно доказать для строк. Т.к. в каждом слагаемом (*) присутствует элемент из каждой строки, то все слагаемые в (*) равны 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 C. 1) Свойство 1. Если в А все элементы одной строки или одного же число 𝜆, то detA тоже умножается на 𝜆 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ * ⃒ * ⃒ * . . . * * ... ⃒ ⃒ ⃒ ⃒. . . . . . . . . . . . ⃒ ⃒. . . . . . . . . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜆* 𝜆* 𝜆* 𝜆* ⃒ = 𝜆 ⃒ * * * ⃒ ⃒ ⃒ ⃒. . . . . . . . . . . . ⃒ ⃒. . . . . . . . . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ * ⃒ * * ... * ⃒ * ... столбца домножить на одно и то ⃒ * ⃒⃒ . . .⃒⃒ * ⃒⃒ . . .⃒⃒ *⃒ Доказательство. B В силу Т достаточно доказать для строк. 𝐴(𝑖) → 𝜆𝐴(𝑖) ⇒ 𝑎𝑖𝑗 → 𝜆𝑎𝑖𝑗 ∀𝑗 ⇒ в (*) каждое слагаемое умножается на 𝜆 ⇒ detA умножается на 𝜆.C ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝐴(1) 𝐴(1) ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ 2) Свойство 2. Если 𝐴(𝑖) = 𝐴(𝑖) + 𝐴(𝑖) , то 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 ⎜ 𝐴(𝑖) ⎟ + 𝑑𝑒𝑡 ⎜ ⎜ 𝐴(𝑖) ⎟. ⎝ ... ⎠ ⎝ ... ⎠ 𝐴(𝑛) 𝐴(𝑛) Пример: ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎1 ⃒ ⃒ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⃒ ⃒ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⃒ 𝑎 𝑎 2 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑏1 + 𝑐 1 𝑏2 + 𝑐 2 𝑏3 + 𝑐 3 ⃒ = ⃒ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ⃒ + ⃒ 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑1 𝑑2 𝑑3 ⃒ ⃒ 𝑑1 𝑑2 𝑑3 ⃒ ⃒ 𝑑1 𝑑2 𝑑3 ⃒ (𝑗) (𝑗) (𝑗) (𝑗) Аналогично, если 𝐴(𝑗) = 𝐴1 + 𝐴2 , то 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) . . . 𝐴1 . . . 𝐴(𝑛) ) + 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) . . . 𝐴2 . . . 𝐴(𝑛) ). 22 Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно доказать для строк. Пусть 𝐴1(𝑖) = (𝑎′𝑖1 𝑎′𝑖2 . . . 𝑎′𝑖𝑛 ), 𝐴2(𝑖) = (𝑎′′𝑖1 𝑎′′𝑖2 . . . 𝑎′′𝑖𝑛 ) ⇒ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎′𝑖𝑗 + 𝑎′′𝑖𝑗 𝑑𝑒𝑡𝐴 = ∑︁ (sgn𝜎)𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) = 𝜎∈𝑆𝑛 ∑︁ = ∑︁ (sgn𝜎)𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . (𝑎′𝑖,𝜎(𝑖) + 𝑎′′𝑖,𝜎(𝑖) ) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) = 𝜎∈𝑆𝑛 (sgn𝜎)𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . 𝑎′𝑖,𝜎(𝑖) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) + 𝜎∈𝑆𝑛 ∑︁ (sgn𝜎)𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . 𝑎′′𝑖,𝜎(𝑖) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) = 𝑑𝑒𝑡𝐴1 + 𝑑𝑒𝑡𝐴2 𝜎∈𝑆𝑛 .C Свойство 3. Если в А поменять местами две строки или два столбца, то 𝑑𝑒𝑡𝐴 поменяет знак. Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно доказать для строк. Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀𝑛 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀𝑛 – матрица, полученная из А перестановкой 𝑝-ой и 𝑞-ой строк. Пусть 𝜏 = 𝜏𝑝𝑞 . ⎧ ⎪ ⎨𝑎𝑖𝑗 , если 𝑖 ̸= 𝑝, 𝑞 𝑏(𝑖,𝑗) = 𝑎𝑞𝑗 , если 𝑖 = 𝑝 ⎪ ⎩ 𝑎𝑝𝑗 , если 𝑖 = 𝑞 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝜏 (𝑖),𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ⇒ 𝑎𝜏 (𝑖),𝜎(𝑖) = 𝑎𝜏 (𝑖),(𝜎𝜏 )(𝜏 (𝑖)) ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = ∑︁ (sgn𝜎)𝑏1,𝜎(1) 𝑏2,𝜎(2) . . . 𝑏𝑛,𝜎(𝑛) = 𝜎∈𝑆𝑛 = ∑︁ (sgn𝜎)𝑎𝜏 (1),𝜎(1) 𝑎𝜏 (2),𝜎(2) . . . 𝑎𝜏 (𝑛),𝜎(𝑛) = 𝜎∈𝑆𝑛 = ∑︁ (sgn𝜎)𝑎𝜏 (1),(𝜎𝜏 )(𝜏 (1)) 𝑎𝜏 (2),(𝜎𝜏 )(𝜏 (2)) . . . 𝑎𝜏 (𝑛),(𝜎𝜏 )(𝜏 (𝑛)) = 𝜎∈𝑆𝑛 ∑︁ (sgn𝜎)𝑎1,(𝜎𝜏 (1)) 𝑎2,(𝜎𝜏 (2)) . . . 𝑎𝑛,(𝜎𝜏 (𝑛)) = − 𝜎∈𝑆𝑛 ∑︁ (sgn𝜎𝜏 )𝑎1,(𝜎𝜏 (1)) 𝑎2,(𝜎𝜏 (2)) . . . 𝑎𝑛,(𝜎𝜏 (𝑛)) = 𝜎∈𝑆𝑛 = |замена : 𝜌 = 𝜎𝜏 | = − ∑︁ (sgn𝜌)𝑎1,𝜌(1) 𝑎2,𝜌(2) . . . 𝑎𝑛,𝜌(𝑛) = −𝑑𝑒𝑡𝐴C 𝜌∈𝑆𝑛 . 7 Лекция 19.10.2017 7.1 Свойство 4. Если в А есть две одинаковые строки (столбца), то 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. Доказательство. B При перестановке двух одинаковых строк (столбцов): – А не изменится ⇒ detA не изменится – по свойству 3: 𝑑𝑒𝑡𝐴 меняет знак ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −𝑑𝑒𝑡𝐴 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 C. Свойство 5. Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженный на скаляр, то 𝑑𝑒𝑡𝐴 не изменится. Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно доказать для строк. 23 ⎛ ⎞ ... ⎜𝐴(𝑖) + 𝜆𝐴(𝑗) ⎟ ⎜ ⎟ ′ ⎟ . . . 𝐴→𝐴 =⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 𝐴(𝑗) ... ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ... ... ... ⎜ 𝐴(𝑖) ⎟ ⎜𝜆𝐴(𝑗) ⎟ ⎜𝐴(𝑗) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ + 𝑑𝑒𝑡 ⎜ . . . ⎟ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 + 𝜆𝑑𝑒𝑡 ⎜ . . . ⎟ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 + 𝜆0 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 C . . . 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 𝑑𝑒𝑡 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝𝐴(𝑗) ⎠ ⎝ 𝐴(𝑗) ⎠ ⎝𝐴(𝑗) ⎠ ... ... ... . Определение. Матрица называется верхнетреугольной, если 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 > 𝑗, нижнетреугольной, если 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 < 𝑗. ⎛ ⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 0 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ · · · 𝑎 3𝑛 ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎝ . . . . ⎠ 0 · · · 𝑎𝑚𝑛 – верхнетреугольная ⎛ ⎞ 𝑎11 0 ··· ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 𝑎31 𝑎32 · · · 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎝ . . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛 – нижнетреугольная Предложение. Если А – верхнетреугольная (или нижнетреугольная) матрица, то 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 𝑎22 . . . 𝑎𝑛𝑛 . Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно доказать для верхнетреугольной. Выясним, какие слагаемые в (*) могут быть отличны от нуля. 𝑎1,𝜎(1) 𝑎2,𝜎(2) . . . 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) ̸= 0 : 𝑎𝑛,𝜎(𝑛) ̸= 0 ⇒ 𝜎(𝑛) = 𝑛 𝑎𝑛−1,𝜎(𝑛−1) ̸= 0 ⇒ 𝜎(𝑛 − 1) ∈ {𝑛, 𝑛 − 1} но 𝑛 уже занято ⇒ 𝜎(𝑛 − 1) = 𝑛 − 1. Рассуждаем аналогично, получаем: 𝜎(𝑘) = 𝑘 ∀ 𝑘 = 𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, . . . , 1 ⇒ 𝜎 = 𝑖𝑑. Вывод: в (*) может быть не равно нулю ровно 1 слагаемое 𝑎11 𝑎22 . . . 𝑎𝑛𝑛 , оно входит со знаком + ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11 𝑎22 . . . 𝑎𝑛𝑛 C. Следствие. 1) 𝑑𝑒𝑡(𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 )) = 𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛 . 2) 𝑑𝑒𝑡𝐸 = +1. Замечание. Всякая (квадратная) ступенчатая матрица верхнетреугольна. 24 7.2 Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований Э1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) : 𝑑𝑒𝑡𝐴 не меняется. Э2 (𝑖, 𝑗) : 𝑑𝑒𝑡𝐴 меняет знак. Э3 (𝑖, 𝜆) : 𝑑𝑒𝑡𝐴 умножается на 𝜆. Алгоритм. Элементарными преобразованиями строк А приводится к ступенчатому (⇒ верхнетреугольному) виду, в котором 𝑑𝑒𝑡 легко считается. Предложение. (Определитель с углом нулей) (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑃 𝑄 𝑃 0 𝐴= или 𝐴 = , 𝑃 ∈ 𝑀𝑘 , 𝑅 ∈ 𝑀𝑛−𝑘 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝑃 𝑑𝑒𝑡𝑅 0 𝑅 𝑄 𝑅 Матрица с углом нулей: ⎛ * ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 * * * * * * * * ⎞ * * ⎟ ⎟ * ⎠ * ⎛ * * * * * * * * ⎞ * * ⎟ ⎟ * ⎠ * НЕ матрица с углом нулей: * ⎜ * ⎜ ⎝ 0 Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно доказать для первого типа. 1) Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу (𝑃 |𝑄) к виду (𝑃 ′ |𝑄′ ), в котором P ступечатая (⇒ верхнетреугольная) ⇒ detP и detA умножатся на одно и то же число 𝛼 ̸= 0. 2) Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу (0|𝑅) к виду (0|𝑅′ ), в котором R ступечатая (⇒ верхнетреугольная) ⇒ detA и detR умножатся на одно и то же число 𝛽 ̸= 0. A’ – верхнетреугольная ⇒ det A’ = det P’ det R’ 𝛼𝛽𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 𝑑𝑒𝑡𝑃 ′ 𝑑𝑒𝑡𝑅′ = (𝛼𝑑𝑒𝑡𝑃 )(𝛽𝑑𝑒𝑡𝑅) = 𝛼𝛽𝑑𝑒𝑡𝑃 𝑑𝑒𝑡𝑅 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝑃 𝑑𝑒𝑡𝑅 C. Теорема. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵. Доказательство. B 1) A, B верхнетреугольная ⇒ AB – верхнетреугольная. 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 . . . 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = (𝑎1 𝑎2 . . . 𝑎𝑛 )(𝑏1 𝑏2 . . . 𝑏𝑛 ) = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵. 2) Элементраное преобразование строк А → то же элементарное преобразование в AB. 𝐴 → 𝑈 𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 → 𝑈 𝐴(𝐵) = 𝑈 (𝐴𝐵) Элементарное преобразовнаие столбцов матрицы 𝐵 → то же элементарное преобразование в AB. 𝐵 → 𝐵𝑉 ⇒ 𝐴𝐵 → 𝐴(𝐵𝑉 ) = (𝐴𝐵)𝑉 Элементарным преобразованием строк приведем А к верхнетреугольному виду. При этом detA и det(AB) умножатся на одно и то же число 𝛼 ̸= 0. Элементарным преобразованием столбцов приведем B к верхнетрегольному виду. При этом detB и det(AB) умножатся на одно и то же число 𝛽 ̸= 0. 𝐴′ , 𝐵 ′ – верхнетреугольные ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴′ 𝐵 ′ ) = 𝑑𝑒𝑡𝐴′ 𝑑𝑒𝑡𝐵 ′ = 𝛼𝛽𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴′ 𝐵 ′ = 𝑑𝑒𝑡𝐴′ 𝑑𝑒𝑡𝐵 ′ = (𝛼𝑑𝑒𝑡𝐴)(𝛽𝑏𝑒𝑡𝐵) = 𝛼𝛽𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵 C. 25 Пусть 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 . Определение. Дополнительным минором к элементу 𝑎𝑖𝑗 называется определитель (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) – матрицы, получающейся из А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Обозначение: 𝑀𝑖𝑗 . Определение. Алгебраическим дополнением к элементу 𝑎𝑖𝑗 называется число 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 . Лемма. Пусть 𝑎𝑖𝑘 = 0 при всех 𝑘 ̸= 𝑗. Тогда 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 . Доказательство. ⎞ ⎛ 𝑈 𝑄 𝑃 B𝐴 = ⎝ 0 . . . 0 𝑎𝑖𝑗 0 . . . 0 ⎠ 𝑅 𝑉 𝑆 Переставляя соседние строки, вытолкнем i-ю строку наверх. ⎛ ⎞ 0 . . . 0 𝑎𝑖𝑗 0 . . . 0 ⎝ ⎠ 𝑃 𝑈 𝑄 𝑅 𝑉 𝑆 Переставляя соседние столбцы, переместим j-й столбец на первое место. ⎛ ⎞ 𝑎𝑖𝑗 0 0 ... 0 ⎠ 𝑃 𝑄 𝐴′ = ⎝ 𝑈 𝑉 𝑅 𝑆 ′ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑑𝑒𝑡 (︂ 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 )︂ = 𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 . 𝑑𝑒𝑡𝐴 = (−1)𝑖−1+𝑗−1 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = (−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 C. 8 Лекция 2.11.2017 8.1 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀𝑛 Теорема (разложение определителя по строке/столбцу). При ∀ фиксированном 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}𝑑 𝑛 ∑︀ 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 (разложение по 𝑖-ой строке) = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 . 𝑗=1 Аналогично, для ∀ фиксированного 𝑗 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + · · · + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 (разло𝑛 ∑︀ жение по 𝑗-ому столбцу) = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 . 𝑖=1 Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно для строк. 𝐴(𝑖) = (𝑎𝑖1 00 . . . 0) + (0𝑎𝑖2 0 . . . 0) + · · · + (0 . . . 0𝑎𝑖𝑛 ). Требуемое следует из свойства 2 определителей и леммы C. Лемма о фальшивом разложении определителя. При ∀ 𝑖, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑖 ̸= 𝑘 : 𝑛 ∑︀ 𝑗=1 0. При ∀ 𝑗, 𝑘 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}, 𝑗 ̸= 𝑘 𝑛 ∑︀ 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑘 = 0. 𝑖=1 26 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑗 = Доказательство. B Свойство Т ⇒ достаточно для строк. Пусть 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 – матрица, полученная из А заменой 𝑘-ой строки на 𝑖-ую. ⎛ ⎞ 𝐴(1) ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 𝐴(𝑖) ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 𝐵=⎜ ⎜ ... ⎟ ⎜ 𝐴(𝑖) ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ... ⎠ 𝐴(𝑛) 𝑛 ∑︀ В 𝐵 есть две одинаковые строки ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 0. Разлагая 𝑑𝑒𝑡𝐵 по 𝑘-ой строке, получаем 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑛 ∑︀ 𝑏𝑘𝑗 𝐵𝑘𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑗 C. 𝑗=1 𝑗=1 8.2 Обратная матрица 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 Определение. Матрица 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 называется обратной к A, если 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸. Обозначение: 𝐴−1 . Лемма 1. Если 𝐴−1 ∃, то она единственна. Доказательство. B Пусть 𝐵, 𝐵 ′ – две матрицы, обратные к A. Тогда 𝐵 = 𝐵𝐸 = 𝐵(𝐴𝐵 ′ ) = (𝐵𝐴)𝐵 ′ = 𝐸𝐵 ′ = 𝐵 ′ ⇒ 𝐵 = 𝐵 ′ C. Определение. Матрица 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 называется невырожденной, если 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, и вырожденной, если 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. Лемма 2. Если ∃𝐴−1 , то 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0. Доказательство. B 𝐴𝐴−1 = 𝐸 ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴−1 ) = 𝑑𝑒𝑡𝐸 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡(𝐴−1 ) = 1C. ̂︀ = (𝐴𝑖𝑗 )𝑇 . Определение. Присоединенной к А матрицей называется матрица 𝐴 ⎛ 𝐴11 ⎜ 𝐴12 ̂︀ = ⎜ 𝐴 ⎝. . . 𝐴1𝑛 𝐴21 𝐴22 ... 𝐴2𝑛 ... ... ... ... ⎞ 𝐴𝑛1 𝐴𝑛2 ⎟ ⎟ ... ⎠ 𝐴𝑛𝑛 Теорема. A обратима (∃𝐴−1 ) ⇔ A невырождена (𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0), при этом 𝐴−1 = 1 ̂︀ 𝐴. 𝑑𝑒𝑡𝐴 Доказательство. ⇒ Из леммы 2. 1 ̂︀ ̂︀ = 𝐴𝐴 ̂︀ = ⇐ Пусть 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0. Покажем, что 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝐴 = 𝐴−1 . Для этого достаточно доказать, что 𝐴𝐴 ̂︀ имеем (𝑑𝑒𝑡𝐴)𝐸. Для 𝑋 = 𝐴𝐴 {︃ 𝑛 ∑︁ 𝑑𝑒𝑡𝐴, при 𝑖 = 𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 𝐴𝑗𝑘 = 0, при 𝑖 ̸= 𝑗 𝑘=1 27 ̂︀ имеем Для 𝑌 = 𝐴𝐴 𝑦𝑖𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝐴𝑘𝑖 𝑎𝑘𝑗 𝑘=1 {︃ 𝑑𝑒𝑡𝐴, при 𝑖 = 𝑗 = C 0, при 𝑖 ̸= 𝑗 Следствие 1. Если 𝐴𝐵 = 𝐸, то 𝐵𝐴 = 𝐸 (и тогда 𝐴 = 𝐵 −1 , 𝐵 = 𝐴−1 ). Доказательство. B 𝐴𝐵 = 𝐸 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 ⇒ ∃𝐴−1 ⇒ 𝐴−1 (𝐴𝐵) = 𝐴−1 ⇒ 𝐵 = 𝐴−1 ⇒ 𝐵𝐴 = 𝐸C. Следствие 2. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 ⇒ 𝐴𝐵 обратима ⇔ обе A, B обратимы. При этом (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 . Доказательство. B ⇔ следует из 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐵. (𝐵 −1 𝐴−1 )𝐴𝐵 = 𝐵 −1 (𝐴−1 𝐴)𝐵 = 𝐵 −1 𝐵 = 𝐸 ⇒ (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 C. 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 , 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 , 𝐶 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 Рассмотрим матричные уравнения: 𝐴𝑋 = 𝐵 (1) 𝑋 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 𝑌 𝐴 = 𝐶 (2) 𝑌 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 Замечание. При 𝑚 = 1 : (1) есть СЛУ (2) ⇔ 𝐴𝑇 𝑌 𝑇 = 𝐶 𝑇 ← тип 1. 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 ⇒ ∃𝐴−1 ⇒ 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝐴−1 (𝐴𝑋) = 𝐴−1 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 ← единственное решение Решить (1) ⇔ решить 𝑚 СЛУ 𝐴𝑋 (1) = 𝐵 (1) , . . . , 𝐴𝑋 (𝑚) = 𝐵 (𝑚) . Метод Гаусса: (𝐴|𝐵) → (𝐴′ |𝐵 ′ ) (улучшенный ступенчатый вид). 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴′ ̸= 0 ⇒ 𝐴′ = 𝐸. Предложение. 𝐵 ′ = 𝐴−1 𝐵 – искомое решение (1). Доказательство. B 𝐴′ = 𝑈𝑠 . . . 𝑈2 𝑈1 𝐴, 𝐵 ′ = 𝑈𝑠 . . . 𝑈2 𝑈1 𝐵, где 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑠 – матрицы элементарных преобразований. 𝐴′ = 𝐸 ⇒ 𝑈𝑠 · · · · · 𝑈2 · 𝑈1 = 𝐴−1 ⇒ 𝐵 ′ = 𝐴−1 𝐵C. Следствие (метод поиска обратной матрицы). 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 , 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0. (𝐴|𝐸) → (𝐸|𝐵) ⇒ 𝐵 = 𝐴−1 . Доказательство. 𝐴−1 – решение уравнения 𝐴𝑋 = 𝐸. Пусть есть СЛУ 𝐴𝑋 = 𝑏, где 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 . ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑥 = ⎝. . . ⎠ ∈ 𝑅 𝑛 𝑥𝑛 – столбец неизвестных. ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 пусть 𝐴𝑖 – матрица, полученная из A заменой 𝑖-ого столбца на 𝑏. Теорема (формулы Крамера). Если 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, то единственное решение СЛУ можно найти 𝑖 . по формулам 𝑥𝑖 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 28 B Пусть (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) – то самое единственное решение СЛУ. Тогда 𝑏 = ⎛Доказательство. ⎞ 𝑥1 𝐴 ⎝. . .⎠ = 𝐴(1) 𝑥1 + 𝐴(2) 𝑥2 + · · · + 𝐴(𝑛) 𝑥𝑛 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑖 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) , . . . , 𝑏, . . . , 𝐴(𝑛) ) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) , . . . , 𝐴(1) 𝑥1 + 𝑥𝑛 (2) 𝐴 𝑥2 + · · · + 𝐴(𝑛) 𝑥𝑛 , . . . , 𝐴(𝑛) ) = 𝑥1 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) , . . . , 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) ) (равно 0 при 𝑖 ̸= 1) + 𝑥2 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) , . . . , 𝐴(2) , . . . , 𝐴(𝑛) ) (равно 0 при 𝑖 ̸= 2) 𝑖 C. + · · · + 𝑥𝑛 𝑑𝑒𝑡(𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) , . . . , 𝐴(𝑛) ) (равно 0 при 𝑖 ̸= 𝑛) = 𝑥𝑖 𝑑𝑒𝑡𝐴 ⇒ 𝑥𝑖 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 9 Лекция 9.11.2017 9.1 Поля Определение. Полем называется множество F, на котором заданы две операции "сложение"( (𝑎,𝑏) → 𝑎 + 𝑏) и "умножение"((𝑎,𝑏) → 𝑎𝑏), причем ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐹 и выполнены следующие условия: (1) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (коммутативность сложения) (2) (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (ассициативность сложения) (3) ∃0 ∈ 𝐹 : 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ 𝐹 (нулевой элемент) (4) ∃ − 𝑎 ∈ 𝐹 : 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 (противоположный элемент) ↑ абелева группа ↑ (5) 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (дистрибутивность) (6) 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (коммутативность умножения) (7) (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) (ассоциативность умножения) (8) ∃1 ∈ 𝐹 ∖{0} : 1𝑎 = 𝑎1 = 𝑎 (единица) (9) если 𝑎 ̸= 0, ∃𝑎−1 ∈ 𝐹 : 𝑎𝑎−1 = 𝑎−1 𝑎 = 1 (обратный элемент) Примеры. R, Q. {0, 1} сложение 𝑚𝑜𝑑 2, умножение 𝑚𝑜𝑑 2 Неформально: C – это наименьшее поле со следующими свойствами: (c1) C ⊃ R (c2) уравнение 𝑥2 + 1 = 0 имеет решение в C, т.е. ∃𝑖 ∈ C : 𝑖2 = −1. 9.2 Формальная конструкция поля C C := {(𝑎,𝑏)|𝑎, 𝑏 ∈ R} (𝑎1 , 𝑏1 ) + (𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 + 𝑎2 , 𝑏1 + 𝑏2 ) (𝑎1 , 𝑏1 )(𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 , 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑎2 ) (𝑎, 𝑏) ↔ 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎1 , 𝑏1 ) + (𝑎2 , 𝑏2 ) ↔ (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖 (𝑎1 , 𝑏1 )(𝑎2 , 𝑏2 ) ↔ (𝑎1 + 𝑏1 𝑖)(𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = 𝑎1 𝑎2 + 𝑎1 𝑏2 𝑖 + 𝑎2 𝑏1 𝑖 + 𝑏1 𝑏2 𝑖2 = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 ) + (𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 )𝑖 Проверка свойств (1)-(9): (1)-(4) выполнены в R2 . 0 = (0,0), −(𝑎, 𝑏) = (−𝑎, −𝑏) (5) Упражнение на дом. (6) Из явного вида формулы для умножения (7) ((𝑎1 , 𝑏1 )(𝑎2 , 𝑏2 ))(𝑎3 , 𝑏3 ) = (𝑎1 𝑎2 −𝑏1 𝑏2 , 𝑎1 𝑏2 +𝑏1 𝑎2 )(𝑎3 , 𝑏3 ) = (𝑎1 𝑎2 𝑎3 −𝑏1 𝑏2 𝑎3 −𝑎1 𝑏2 𝑏3 −𝑏1 𝑎2 𝑏3 , 𝑎1 𝑎2 𝑏3 − 𝑏1 𝑏2 𝑏3 + 𝑎1 𝑏2 𝑎3 + 𝑏1 𝑎2 𝑎3 ) = (𝑎1 , 𝑏1 )(𝑎2 𝑎3 − 𝑏2 𝑏3 , 𝑎2 𝑏3 + 𝑏2 𝑎3 ) = (𝑎1 , 𝑏1 )((𝑎2 , 𝑏2 )(𝑎3 , 𝑏3 )). 29 (8) 1 = (1, 0) (1,0)(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏)(1, 0) 𝑎 −𝑏 (9) (𝑎, 𝑏) ̸= (0,0) ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 ̸= 0. Тогда (𝑎, 𝑏)−1 = ( 𝑎2 +𝑏 2 , 𝑎2 +𝑏2 ) 2 2 𝑎 −𝑏 𝑎 𝑏 −𝑎𝑏 𝑏𝑎 (𝑎, 𝑏)( 𝑎2 +𝑏 2 , 𝑎2 +𝑏2 ) = ( 𝑎2 +𝑏2 + 𝑎2 +𝑏2 , 𝑎2 +𝑏2 + 𝑎2 +𝑏2 ) = (1, 0). Итак, C - поле. Проверка (c1): 𝑎 ∈ 𝑅 ↔ (𝑎, 0) 𝑎𝑏 ↔ (𝑎, 0)(𝑏, 0) = (𝑎𝑏, 0) 𝑎 + 𝑏 ↔ (𝑎, 0) + (𝑏, 0) = (𝑎 + 𝑏, 0) ⇒ R отождествляется C {(𝑎, 0)|𝑎 ∈ 𝑅} ⊆ 𝐶. Проверка (c2): 𝑖 = (0, 1) ⇒ 𝑖2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐶 (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = (𝑎, 0) + (𝑏, 0)(0, 1)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ R Определение. Представление числа 𝑧 ∈ C в виде 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, где 𝑎, 𝑏 ∈ R, называется его алгебраической формой. Число 𝑖 называется мнимой единицей. 𝑎 =: 𝑅𝑒(𝑧) – действительная часть числа 𝑧 𝑏 =: 𝐼𝑚(𝑧) – мнимая часть числа 𝑧 Числа вида 𝑏𝑖 , где 𝑏 ∈ 𝑅, называются чисто мнимыми. Определение. Число 𝑧 := 𝑎 − 𝑏𝑖 называется комплексно сопряженным к числу 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C. Операция 𝑧 → 𝑧 называется комплексным сопряжением. Свойства: 1) 𝑧 = 𝑧 2) 𝑧 + 𝑤 = 𝑧 + 𝑤 ∀𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶 3) 𝑧 · 𝑤 = 𝑧 · 𝑤 ∀𝑧, 𝑤 ∈ 𝐶 Доказательство – прямая проверка (упражнение на дом). Геометрическая модель комплексных чисел 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ↔ точка (или вектор) на плоскости R2 с координатами (𝑎, 𝑏). Сумма 𝑧+𝑤 ↔ сумма соответствующих векторов. 𝑧 ↔ отражение 𝑧 относительно действительной оси. Определение. Число |𝑧| = соответствующего вектора). √ 𝑎2 + 𝑏2 называется модулем числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C (|𝑧| - длина Свойства. 1) |𝑧| ≥ 0, причем |𝑧| = 0 ⇔ 𝑧 = 0. 2) |𝑧 + 𝑤| ≤ |𝑧| + |𝑤| (неравенство треугольника) 3) 𝑧𝑧 = |𝑧|2 4) |𝑧𝑤| = |𝑧||𝑤| |𝑧𝑤|2 = 𝑧𝑤(𝑧𝑤) = 𝑧𝑤𝑧𝑤 = |𝑧|2 |𝑤|2 Замечание. Из 3) следует, что для 𝑧 ̸= 0 𝑧 −1 = |𝑧|𝑧 2 , т.е. (𝑎 + 𝑏𝑖)−1 = 𝑎𝑎−𝑏𝑖 2 +𝑏2 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C, 𝑧 ̸= 0 𝑎 𝑏 𝑧 = |𝑧|( |𝑧| + |𝑧| 𝑖) 𝑎 2 𝑏 ( |𝑧| ) + ( |𝑧| 𝑖)2 = 1 30 Определение. Аргументом числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C∖{0} называется число 𝜙 ∈ R, такое что 𝑎 𝑏 cos 𝜙 = |𝑧| = √𝑎2𝑎+𝑏2 , sin 𝜙 = |𝑧| = √𝑎2𝑏+𝑏2 . В геометрических терминах, 𝜙 есть угол между осью ОХ и соответсвующим вектором. Замечание. 1) Если 𝑧 = 0, то аргумент не определен. 2) Если 𝑧 ̸= 0, то аргумент определен с точностью до 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z. 𝐴𝑟𝑔(𝑧) := множество всех аргументов числа 𝑧. 𝑎𝑟𝑔(𝑧) - это единственное значение из 𝐴𝑟𝑔(𝑧), лежащее в [0; 2𝜋]. 𝑎 , 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = {𝜙 ∈ R | cos 𝜙 = |𝑧| 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜙 = |𝑧| } 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) + 2𝜋Z 𝑎 𝑏 𝑧 = |𝑧|( |𝑧| + |𝑧| 𝑖) = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜙), где 𝜙 ∈ 𝐴𝑟𝑔(𝑧). Определение. Представление числа 𝑧 ∈ C∖{0} в виде 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) называется его тригонометрической формой. Предложение. 𝑧1 = |𝑧1 |(cos 𝜙1 + 𝑖 sin 𝜙1 ), 𝑧2 = |𝑧2 |(cos 𝜙2 + 𝑖 sin 𝜙2 ) ⇒ 𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |(cos(𝜙1 + 𝜙2 ) + 𝑖 sin(𝜙1 + 𝜙2 ). Доказательство. B 𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 ||𝑧2 |(cos 𝜙1 + 𝑖 sin 𝜙1 )(cos 𝜙2 + 𝑖 sin 𝜙2 ) = |𝑧1 ||𝑧2 |((cos 𝜙1 cos 𝜙2 − sin 𝜙1 sin 𝜙2 ) + 𝑖(cos 𝜙1 sin 𝜙2 + sin 𝜙1 cos 𝜙2 )) = |𝑧1 ||𝑧2 |(cos(𝜙1 + 𝜙2 ) + 𝑖 sin(𝜙1 + 𝜙2 ) C. 10 Лекция 16.11.2017 10.1 Следствие. В условиях предложения, если 𝑧2 ̸= 0, то В частности, 1 (cos(−𝜙2 ) |𝑧2 | + 𝑖 sin(−𝜙2 )) = 1 (cos 𝜙2 |𝑧2 | 𝑧1 𝑧2 = |𝑧1 | (cos(𝜙1 |𝑧2 | − 𝑖 sin 𝜙2 ) = − 𝜙2 ) + 𝑖 sin(𝜙1 − 𝜙2 )). 𝑧2 . |𝑧2 |2 Следствие 2. Пусть 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙). Тогда ∀𝑛 ∈ Z 𝑧 𝑛 = |𝑧|𝑛 (cos(𝑛𝜙) + 𝑖 sin(𝑛𝜙)) – формула Муавра Замечание. В комплексном анализе функция exp : R → R, 𝑥 → 𝑒𝑥 , доопределяется до функции exp : C → C, 𝑧 → 𝑒𝑧 с сохранением всех привычных свойств. Доказывается 𝑒𝑖𝜙 = cos 𝜙+𝑖 sin 𝜙 ∀ 𝜙 ∈ C – формула Эйлера. Тогда ∀ 𝑧 ∈ C представляется в виде 𝑧 = |𝑧|𝑒𝑖𝜙 , где 𝜙 ∈ 𝐴𝑟𝑔(𝑧) – показательная форма. Пусть 𝑧 ∈ C, 𝑛 ≥ 2. Определение. Корнем степени n (или корнем n-й степени) из числа 𝑧 называется всякое число 𝑤 ∈ C, что 𝑤𝑛√= 𝑧. Положим 𝑛 𝑧 := {𝑤 ∈ C | 𝑤𝑛 = 𝑧}. √ Опишем множество 𝑛 𝑧. 𝑤𝑛 ⇒ |𝑤|𝑛 = |𝑧|. √ Если 𝑧 = 0, то |𝑧| = 0 ⇒ |𝑤| = 0 ⇒ 𝑤 = 0 ⇒ 𝑛 0 = {0}. Далее считаем, что 𝑧 ̸= 0. 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) 31 𝑤 = |𝑤|(cos 𝜓 + 𝑖 sin 𝜓) 𝑧 = 𝑤𝑛 = |𝑤|𝑛 (cos(𝑛𝜓) + 𝑖 sin(𝑛𝜓)) Отсюда 𝑧 = 𝑤𝑛 ⇔ {︃ ⎧ ⎨ √︀ 𝑛 |𝑤| = |𝑧| |𝑧| = |𝑤| ⇔ ⎩ 𝜓 = 𝜙 + 2𝜋𝑘 , 𝑘 ∈ Z 𝑛𝜓 = 𝜙 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z 𝑛 𝑛 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 = 𝜙𝑛 + 2𝜋 𝑘 𝑛 С точностью до 2𝜋𝑙, 𝑙 ∈ Z, получается ровно 𝑛 различных значений для 𝜓, при 𝑘 = 0,1, . . . , 𝑛 − 1. √ 𝑛 В результате 𝑧 = {𝑤0 , 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛−1 }, где при 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛 − 1 √︀ 𝑛 |𝑤𝑘 | = |𝑧| 𝜓𝑘 = 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 √ 𝑛 𝑧 := }︁ {︁ √︀ (︀ )︀ 𝜙+2𝜋𝑘 𝑛 |𝑧| cos 𝜙+2𝜋𝑘 | 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛 − 1 . + 𝑖 sin 𝑛 𝑛 Замечание. Числа 𝑤0 , 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛−1 лежат в вершинах правильного n-угольника. Примеры. √ √1 = {±1} −1 = {±𝑖} √ √ 3 1 = {1, − 12 ± 𝑖 23 } √ 4 1 = {±1, ±𝑖} √ 𝑛 𝑧 = { корни многочлена 𝑥𝑛 − 𝑧}. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен степени ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень. Замечание. Свойство поля C, сформулированное в теореме, называется алгебраической замкнутостью. 10.2 Отступление про многочлены 𝐹 – поле 𝐹 [𝑥] := множество всех многочленов от переменной x с коэффициентами в 𝐹 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥] ⇒ 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , 𝑎𝑖 ∈ 𝐹, 𝑎𝑛 ̸= 0 𝑑𝑒𝑔𝑓 := 𝑛 – степень многочлена 𝑓 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹 [𝑥] ⇒ 𝑑𝑒𝑔(𝑓 · 𝑔) = 𝑑𝑒𝑔𝑓 + 𝑑𝑒𝑔𝑔 Определение. Многочлен 𝑓 (𝑥) делится на 𝑔(𝑥), если ∃ℎ(𝑥), такой что 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥). . Обознаение: 𝑓 (𝑥)..𝑔(𝑥). Если 𝑓 (𝑥) не делится на 𝑔(𝑥), то можно поделить с остатком. Предложение (деление с остатком). Если 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], 𝑔(𝑥) ̸= 0, то ∃!𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐹 [𝑥], такие что {︃ 𝑓 (𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) либо 𝑟(𝑥) = 0, либо 𝑑𝑒𝑔𝑟(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔𝑔(𝑥) Пример. 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 32 𝑓 (𝑥) = (𝑥2 − 𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 1, (𝑥2 − 𝑥 − 1) = 𝑞(𝑥), 1 = 𝑟(𝑥) Частный случай предложения: 𝑑𝑒𝑔𝑔(𝑥) = 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑐. 𝑓 (𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟(𝑥) 𝑑𝑒𝑔𝑟(𝑥) < 𝑑𝑒𝑔(𝑥 − 𝑐) = 1 ⇒ 𝑟(𝑥) = 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∈ 𝐹 Теорема Безу. 𝑟 = 𝑓 (𝑐). Доказательство. B Имеем 𝑓 (𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑐) + 𝑟(𝑥). Подставляя 𝑥 = 𝑐, получаем 𝑓 (𝑐) = 𝑟 C. . Следствие. Если 𝑐 – корень многочлена 𝑓 (𝑥), то 𝑓 (𝑥)..𝑥 − 𝑐. Определение. Кратностью корня 𝑐 многочлена 𝑓 (𝑥) называется наибольшее 𝑘 ∈ Z, такое что . 𝑓 (𝑥)..(𝑥 − 𝑐)𝑘 . 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑘 ℎ(𝑥), ℎ(𝑐) ̸= 0. Следствие основной теоремы алгебры комплексных чисел. ∀𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + · · · + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ∈ C[𝑥], 𝑑𝑒𝑔𝑓 (𝑥) = 𝑛, имеется разложение 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐1 )𝑘1 . . . (𝑥 − 𝑐𝑠 )𝑘𝑠 , (𝑐1 , . . . , 𝑐𝑠 – корни, 𝑘1 , . . . , 𝑘𝑠 – их кратности, 𝑘1 + · · · + 𝑘𝑛 = 𝑛). Иными словами, 𝑓 (𝑥) имеет ровно 𝑛 корней с учетом кратностей. Доказательство. B Индукция по 𝑛. База индукции. 𝑛 = 1, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎(𝑥 + 𝑎𝑏 ). Шаг. Пусть верно для < 𝑛, докажем для 𝑛. Основная теорема алгебры комплексных чисел ⇒ ∃𝑐 ∈ C, такое что 𝑓 (𝑐) = 0. . Следствие из теоремы Безу ⇒ 𝑓 (𝑥)..𝑥 − 𝑐 ⇒ ∃ℎ(𝑥) ∈ C[𝑥], такой что 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑐)ℎ(𝑥). 𝑑𝑒𝑔ℎ(𝑥) = 𝑛 − 1 < 𝑛. Остается применить предположение индукции к ℎ(𝑥) C. 11 11.1 Лекция 23.11.2017 Векторное пространство Пусть 𝐹 – поле (например, 𝐹 = R или 𝐹 = C). Определение. Множество 𝑉 называется векторным (линейным) пространством над полем 𝐹 , если на 𝑉 заданы две операции: "сложение"(𝑉 × 𝑉 → 𝑉 , (𝑎,𝑏) → 𝑎 + 𝑏) и "умножение на скаляр"(𝐹 × 𝑉 → 𝑉 , (𝛼, 𝑋) → 𝛼𝑥), причем ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 и 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹 выполнены следующие свойства (называемые аксиомами векторного пространства): (1) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (коммутативность сложения) (2) (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (ассициативность сложения) → − → − → − (3) ∃ 0 ∈ 𝑉 : 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0 = 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ 𝑣 (нулевой элемент) (4) ∃ − 𝑥 ∈ 𝑣 : 𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0 (противоположный элемент) ↑ абелева группа ↑ (5) (𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥 (6) 𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 (7) (𝛼𝛽)𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥) (8) 1 · 𝑥 = 𝑥 (единица) 33 Определение. Элементы векторного пространства называются (абстрактными) вЕкторами. Примеры. 1) R над R (или 𝐹 над 𝐹 ) 2) R𝑛 над R (или F𝑛 над F), реализованное как пространство столбцов (или иногда пространство строк) 3) 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) над 𝐹 4) Пространство функций 𝑓 : 𝑀 → R (где 𝑀 – некоторое множество): сложение (𝑓1 + 𝑓2 )(𝑥) := 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥), умножение на скаляр (𝛼𝑓 )(𝑥) := 𝛼𝑓 (𝑥). Это векторное пространство над R 5) 𝐹 [𝑥], 𝐹 [𝑥]≤𝑛 – векторное пространство над 𝐹 Простейшие следствия из аксиом: → − → − 1) элемент 0 единственный: если 0′ – другой такой, что 0′ = 0′ + 0 = 0. 2) элемент −𝑥 единственный: если (-x)’ другой, такой что (−𝑥)′ = (−𝑥)′ + 0 = (−𝑥)′ + (𝑥 + (−𝑥)) = ((−𝑥)′ + 𝑥) + (−𝑥) = 0 + (−𝑥) = −𝑥 3) 𝛼0 = 0 ∀𝛼 ∈ 𝐹 4) 𝛼(−𝑥) = −(𝛼𝑥) 5) 0 · 𝑥 = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑉 6) (−1)𝑥 = −𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑉 Определение. Подмножество 𝑈 векторного пространства 𝑉 называется подпространством, если 1) 0 ∈ 𝑈 2) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑈 3) 𝑥 ∈ 𝑈, 𝛼 ∈ 𝐹 ⇒ 𝛼𝑥 ∈ 𝑈 Замечание. Подпространство само является векторным пространством. Примеры. 1) {0} и 𝑉 - всегда подпространства, они называются несобственными подпространствами. 2) Множество всех диагональных (верхнетреугольных, нижнетреугольных) матриц в 𝑀𝑛 (𝐹 ) – подпространство Предложение. Множество решений однородной системы линейных уравнений 𝐴𝑥 = 0 является подпространством в 𝐹 𝑛 . Доказательство. B Пусть 𝑆 ⊆ 𝐹 𝑛 – множество решений ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0 ⎛ ⎞ ⎜0⎟ ⎟ 1) 0 = ⎜ ⎝. . .⎠ , 𝐴0 = 0 ⇒ 0 ∈ 𝑆 2) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ⇒ 𝐴𝑥 = 0 и 𝐴𝑦 = 0. 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 = 0 + 0 = 0 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆 3) 𝑥 ∈ 𝑆, 𝛼 ∈ 𝐹 ⇒ 𝐴(𝛼𝑥) = 𝛼(𝐴𝑥) = 𝛼0 = 0 ⇒ 𝛼𝑥 ∈ 𝑆 C. Пусть 𝑉 – векторное пространство над полем 𝐹 , 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑛 – набор векторов Определение. Всякий вектор 𝑣 ∈ 𝑉 вида 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑥𝑚 (𝛼𝑖 ∈ 𝐹 ) называется линейной комбинацией векторов 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑛 . Пусть 𝑆 ⊆ 𝑉 – произвольное подмножество Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций (конечных) векторов из 𝑆 называется линейной оболочкой множества 𝑆. 34 Обозначение: < 𝑆 > Если 𝑆 = {𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 }, то пишут просто < 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 > и говорят "линейная оболочка векторов 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 ". Соглашение. < ∅ >= {0} Примеры. 0) < ∅ >= {0} 1) 𝑉 ∈ R2 , 𝑣 ̸= 0 ⇒< 𝑣 > – прямая, натянутая на 𝑣 2) 𝑉 = R3 , 𝑣1 , 𝑣2 ⎛ не коллинеарны ⇒< 𝑣1 , 𝑣2 > ⎛ – плоскость, натянутая на 𝑣1 , 𝑣2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ , 𝑒1 = ⎜ 1 ⎟ , . . . , 𝑒𝑛 = ⎜ 0 ⎟, < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 >= R𝑛 3) 𝑉 = R𝑛 , 𝑒1 = ⎜ ⎝. . . ⎠ ⎝. . . ⎠ ⎝. . . ⎠ 1 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ 𝑛 ⎟ 𝑥=⎜ ⎝. . .⎠ ∈ R ⇒ 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 𝑥𝑛 Предложение. 𝑆 ⊆ 𝑉 – подмножество ⇒< 𝑆 > – подпространство в 𝑉 1) Если 𝑆 = ∅, то < 𝑆 >= {0} ⇒ 0 ∈< 𝑆 > Если 𝑆 ̸= ∅, то ∃𝑣 ∈ 𝑆 ⇒ 0 = 0𝑣 ∈< 𝑆 > 2) 𝑥, 𝑦 ∈< 𝑆 >⇒ 𝑥 = 𝛼1 𝑣1 +· · ·+𝛼𝑚 𝑣𝑚 и 𝑦 = 𝛽1 𝑤1 +· · ·+𝛽𝑛 𝑤𝑛 , где 𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ∈ 𝐹 , 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥+𝑦 = 𝛼1 𝑣1 +· · ·+𝛼𝑚 𝑣𝑚 +𝛽1 𝑤1 +· · ·+𝛽𝑛 𝑤𝑛 – линейная комбинация векторов 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛 ∈ 𝑆 3) 𝑥 ∈< 𝑆 >, 𝛼 ∈ 𝐹 𝑥 = 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 , 𝛼𝑖 ∈ 𝐹, 𝑣𝑖 ∈ 𝑆 𝛼𝑥 = (𝛼𝛼1 )𝑣1 + · · · + (𝛼𝛼𝑚 )𝑣𝑚 ∈< 𝑆 > Замечание. Еще говорят, что < 𝑆 > – подпространство, натянутое на 𝑆, или подпространство, порожденное множеством < 𝑆 >. Определение. Линейная комбинация 𝛼1 𝑣1 +· · ·+𝛼𝑚 𝑣𝑚 называется тривиальной, если 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑚 = 0, и нетривиальной иначе (т.е. ∃𝑖 : 𝛼𝑖 ̸= 0). Определение. Векторы 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 ∈ 𝑉 называются линейно зависимыми, если ∃ их нетривиальная линейная комбинация, равная 0 (т.е. ∃(𝛼1 , . . . , 𝛼𝑚 ) ̸= (0, . . . , 0), такая что 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0), и линейно независимыми иначе (т.е. из условия 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0 следует 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑚 = 0). Примеры. → − → − → − 0) 0 линейно зависим, 1 · 0 = 0 1) 𝑣 ̸= 0 ⇒ 𝑣 линейно зависим Пусть 𝜆𝑣 = 0 при 𝜆 ̸= 0 0 = 𝜆−1 0 = 𝜆−1 (𝜆𝑣) = (𝜆−1 𝜆)𝑣 = 1 · 𝑣 = 𝑣 – противоречие 2) 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑣1 , 𝑣2 линейно зависимы ⇒ 𝑣1 , 𝑣2 пропорциональны, т.е. либо 𝑣1 = 𝜆𝑣2 , либо 𝑣2 = 𝜇𝑣1 , 𝜆, 𝜇 ∈ 𝐹 → − Доказательство. B 𝑣1 = 𝜆𝑣2 ⇒ 1 · 𝑣1 − 𝜆 · 𝑣2 = 0 (нетривиальная линейная комбинация), аналогично при 𝑣2 = 𝜇𝑣1 . → − 𝜆1 𝑣1 + 𝜆2 𝑣2 = 0 (нетривиальная линейная комбинация). Если 𝜆1 ̸= 0, то 𝑣1 = − 𝜆𝜆12 𝑣2 , аналогично при 𝜆2 ̸= 0 C. 35 → − 3) {𝑣, . . . , −𝑣} – линейно зависимы, т.к. 1 · 𝑣 + 1 · (−𝑣) = 0 . 4) 𝑆 ′ ⊆ 𝑆, 𝑆 ′ линейно зависимо ⇒ 𝑆 тоже линейно зависимо. Если 𝑆 линйно независимо, то 𝑆 ′ тоже линейно независимо. 12 Лекция 30.11.2017 12.1 Лемма. 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉, 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛} ⇒ следующие условия эквивалентны: (1) ∃(𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝐹 𝑛 , такой что 𝛼𝑖 ̸= 0 и 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0 (2) 𝑣𝑖 ∈< 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖−1 , 𝑣𝑖+1 , . . . , 𝑣𝑚 > 𝑖+1 𝑖−1 𝑣𝑖−1 − 𝛼𝛼𝑖 𝑣𝑖+1 − · · · − 𝛼𝛼𝑖𝑚 𝑣𝑚 . Доказательство. B (1) ⇒ (2) 𝛼𝑖 ̸= 0 ⇒ 𝑣𝑖 = 𝛼𝛼1𝑖 𝑣1 − · · · − 𝛼𝛼𝑖 (2) ⇒ (1) 𝑣𝑖 = 𝛽1 𝑣1 + · · · + 𝛽𝑖−1 𝑣𝑖−1 + 𝛽𝑖+1 𝑣𝑖+1 + · · · + 𝛽𝑖−1 𝑣𝑖−1 ⇒ 𝛽𝑖 𝑣𝑖 + · · · + 𝛽𝑖−1 𝑣𝑖−1 − 𝑣𝑖 + 𝛽𝑖+1 𝑣𝑖+1 + · · · + 𝛽𝑚 𝑣 𝑚 = 0 C Следствие. 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑚 ∈ 𝑉 линейно зависимы ⇔ ∃𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑚}, такой что 𝑣𝑖 является линейной комбинацией остальных векторов (т.е. 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖−1 , 𝑣𝑖+1 , . . . , 𝑣𝑚 ). Пример. 𝑣1 , 𝑣2 линейно независимы ⇒ 𝑣1 , −𝑣1 , 𝑣2 линейно зависимы Основная лемма о линейной зависимости. Пусть 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 и 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛 – две системы векторов в 𝑉 , причем 𝑚 < 𝑛. Предположим, что 𝑤𝑖 ∈< 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 > ∀𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛}. Тогда 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛 линейно зависимы. Доказательство. B Имеем: 𝑚 ∑︀ 𝑤1 = 𝑎11 𝑣1 + · · · + 𝑎𝑚1 𝑣𝑚 = 𝑎𝑖1 𝑣𝑖 𝑖=1 ... 𝑚 ∑︀ 𝑤𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑣1 + · · · + 𝑎𝑚𝑗 𝑣𝑚 = 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑖 𝑖=1 ... 𝑚 ∑︀ 𝑤𝑛 = 𝑎1𝑛 𝑣1 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑣𝑚 = 𝑎𝑖𝑛 𝑣𝑖 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐹 𝑖=1 Покажем, что ∃(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐹 𝑛 ∖{0, 0, . . . , 0}, такой что 𝑥1 𝑤1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑤𝑛 = 0 Допустим 𝑎𝑖1 𝑥1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑤𝑛 = 0 ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑚. Получаем ОСЛУ 𝐴𝑋 = 0, где 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ). Т. к. 𝑚 < 𝑛, то эта ОСЛУ имеет ненулевое решение. C (проверить на опечатки, какой-то несходанс) Определение. Подмножество (система векторов) 𝑆 ⊆ 𝑉 называется базисом векторного пространства 𝑉 , если (1) 𝑆 линейно независимо (2) < 𝑆 >= 𝑉 Замечание. Всякая линейно независимая система векторов является базисом своей линейной оболочки. Пример. 𝑉 = 𝐹 𝑛 36 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑒1 = ⎜ ⎝. . .⎠ , 𝑒2 = ⎝. . .⎠ , . . . , 𝑒𝑛 = ⎝. . .⎠ 1 Было: < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 >= 𝐹 𝑛 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 𝛼1 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ 𝛼2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 = 0 = 𝛼1 ⎜ ⎝. . .⎠ + 𝛼2 ⎝. . .⎠ + · · · + 𝛼𝑛 ⎝. . .⎠ = ⎝. . .⎠ ⇒ ⎝. . .⎠ = ⎝. . .⎠ ⇒ 𝛼1 = 1 𝛼𝑛 · · · = 𝛼𝑛 = 0 ⇒ 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 линейно независимы ⇒ базис в 𝐹 𝑛 . Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если в нем есть конечный базис, и бесконечномерным иначе. Далее считаем, что 𝑉 конечномерно. Пример. 𝐹 𝑛 конечномерно. Предложение. Любые два базиса конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Доказательство. B 𝑉 конечномерно ⇒ в 𝑉 есть конечный базис 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 . Пусть 𝑆 ⊆ 𝑉 – другой базис, < 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 >= 𝑉 ⊇ 𝑆 ⇒ 𝑆 ⊆< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 >. По основной лемме о линейной зависимости получаем, что 𝑆 конечно и содержит ≤ 𝑛 векторов. Пусть 𝑆 = {𝑒′1 . . . , 𝑒′𝑚 }, 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑚 – тоже базис ⇒ 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ∈< 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑚 > По основной лемме о линейной зависимости 𝑛 ≤ 𝑚 ⇒ 𝑛 = 𝑚 C. Определение. Размерностью конечномерного векторного пространства называется число векторов в (любом) базисе. Обозначение: 𝑑𝑖𝑚𝑉 . Примеры: 1) 𝑑𝑖𝑚𝐹 𝑛 = 𝑛 2) Если 𝑉 = {0}, то 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 0, базис - ∅ Предложение. 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 – базис пространства 𝑉 ⇒ ∀𝑣 ∈ 𝑉 единственным образом представим в виде 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , где 𝑥𝑖 ∈ 𝐹 . Доказательство. B Пусть есть два различных представления 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 𝑣 = 𝑥′1 𝑒1 + · · · + 𝑥′𝑛 𝑒𝑛 Тогда 0 = (𝑥1 − 𝑥′1 )𝑒1 + · · · + (𝑥𝑛 − 𝑥′𝑛 )𝑒𝑛 , т.к. 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 линейно независимы, то 𝑥1 − 𝑥′1 = · · · = 𝑥𝑛 − 𝑥′𝑛 = 0 ⇒ 𝑥𝑖 = 𝑥′𝑖 ∀ 𝑖 C. Предложение. Из всякой конечной системы векторов 𝑆 ⊆ 𝑉 можно выделить конечную подсистему, являющуюся базисом линейной оболочки. Доказательство. B Пусть 𝑆 = {𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 }. Докажем индукцией по 𝑚. 𝑚 = 1 𝑆 = {𝑣1 }. Если 𝑣1 = 0, то < 𝑆 >= {0} ⇒ можно выделить ∅ в качестве базиса. Если 𝑣1 ̸= 0, то 𝑣1 линейно независим ⇒ {𝑣1 } – базис в < 𝑆 >=< 𝑣1 >. Теперь пусть 𝑚 > 1 и для < 𝑚 утверждение доказано. Если 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 линейно независимы, то они уже образуют базис в < 𝑆 >. Если 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 линейно зависимы, то сущетсвует 𝑖 : 𝑣𝑖 ∈< 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖−1 , 𝑣𝑖+1 , . . . , 𝑣𝑚 >, 𝑆 ′ = 𝑆 ∖ {𝑣𝑖 }. Тогда < 𝑆 >=< 𝑆 ′ >. По предположению индукции в 𝑆 ′ можно выбрать базис в < 𝑆 ′ >=< 𝑆 > C. 37 Предложение. Всякую конечную линейно независимую систему векторов в 𝑉 можно дополнить до базиса пространства 𝑉 . Доказательство. B Пусть 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 – линейно независимая система в 𝑉 . Т.к. 𝑉 конечномерно, то в нем есть базис 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 . Рассмотрим систему векторов 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 . Пройдемся по этой системе слева направо и на каждом шаге сделаем следущее: если очередной вектор является линейной комбинацией предыдущих, то выкинем его. При этом: (1) Линейная оболочка системы не меняется и равна < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 >= 𝑉 . (2) векторы 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 останутся в системе, т.к. они линейно независимы ⇒ в итоге останется система вида 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑒𝑖1 , . . . , 𝑒𝑖𝑡 . Покажем, что эта система есть базис в 𝑉 . 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑒𝑖1 , . . . , 𝑒𝑖𝑡 >= 𝑉 – уже знаем. Осталось показать, что 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑒𝑖1 , . . . , 𝑒𝑖𝑡 линейно независимы. Пусть есть ненулевой набор (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑚 , 𝛽1 , . . . , 𝛽𝑡 ), такой что 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 + 𝛽1 𝑒𝑖1 + · · · + 𝛽𝑡 𝑒𝑖𝑡 = 0. Т. к. 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 линейно независимы, то ∃𝑘 : 𝛽𝑘 ̸= 0. Среди всех 𝑘 выберем максимальное. Но тогда 𝑒𝑖𝑘 выражается через предыдущие ⇒ его должны были выкинуть – противоречие. C 13 Лекция 7.12.2017 13.1 Лемма. 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 ∈ 𝑉 – линейно независимая система и 𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ либо 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑣 линейно независимы, либо 𝑣 ∈< 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚 > Доказательство. B Пусть 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 , 𝑣 линейно зависимы. Тогда ∃(𝛼1 , . . . , 𝛼𝑚 , 𝛼) ̸= (0, . . . , 0, 0), такой что 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 + 𝛼𝑣 = 0. Т.к. 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 линейно независимы, то 𝛼 ̸= 0. Значит, 𝑣 ∈< 𝑣1, . . . , 𝑣𝑚 > C. 𝑑𝑖𝑚𝑉 < ∞ Предложение. 𝑈 ⊆ 𝑉 – подпространство ⇒ 𝑈 конечномерно, причем 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉 , кроме того, 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 ⇔ 𝑈 = 𝑉 . Доказательство. C Пусть 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. Если 𝑈 = {0}, то верно. Далее считаем, что 𝑈 ̸= {0}. Построим в 𝑈 конечный базис. Возьмем 𝑣1 ∈ 𝑈 ∖{0}. Если < 𝑣1 >= 𝑈 , то конец. Если нет, то выберем 𝑣2 ∈ 𝑈 ∖ < 𝑣1 >. 𝑣1 , 𝑣2 линейно независимые по лемме. Если < 𝑣1 , 𝑣2 >= 𝑈 , то конец. Иначе выберем 𝑣3 ∈ 𝑈 ∖ < 𝑣1 , 𝑣2 >, 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 линейно независимы и т.д. По основной лемме о линейной зависимости процесс закончится не позднее шага 𝑛 ⇒ 𝑈 конечномерно и 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉 . Если 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑛, то 𝑈 = 𝑉 по следствию C. Рассмотрим ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0(*), 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ), 𝑥 ∈ 𝐹 𝑛 Пусть 𝑆 ⊆ 𝐹 𝑛 – множество ее решений. Уже знаем, что 𝑆 – подпространство в 𝐹 𝑛 . Определение. Фундаментальной системой решений для ОСЛУ(*) называется всякий базис в пространстве 𝑆. Замечание. У ОСЛУ (*) может быть много разных ФСР. Метод построения одной конкретной. ФСР для (*) 38 (𝐴|0) → (𝐵|0) (элементарными преобразованиями строк к улучшенному ступенчатому виду). Пусть 𝑟 – число ненулевых строк в 𝐵. Тогда будет 𝑟 главных неизвестных и 𝑛 − 𝑟 свободных. Выполнив перенумерацию, будем считать, что 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑟 – главные неизвестные, 𝑥𝑟+1 , . . . , 𝑥𝑛 – свободные неизвестные. Тогда общее решение ОСЛУ (*) имеет вид ⎧ 𝑥1 = 𝑐11 𝑥𝑟+1 + 𝑐12 𝑥𝑟+2 + · · · + 𝑐1,𝑛−𝑟 𝑥𝑛 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑥 = 𝑐 𝑥 2 21 𝑟+1 + 𝑐22 𝑥𝑟+2 + · · · + 𝑐2,𝑛−𝑟 𝑥𝑛 ⎪ ··· ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥𝑟 = 𝑐𝑟1 𝑥𝑟+1 + 𝑐𝑟2 𝑥𝑟+2 + · · · + 𝑐𝑟,𝑛−𝑟 𝑥𝑛 Пусть ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑐12 𝑐1𝑘 𝑐1,𝑛−𝑟 𝑐11 ⎜𝑐22 ⎟ ⎜𝑐2𝑘 ⎟ ⎜𝑐2,𝑛−𝑟 ⎟ ⎜𝑐21 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜. . .⎟ ⎜. . .⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜. . .⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜𝑐𝑟2 ⎟ ⎜𝑐𝑟𝑘 ⎟ ⎜𝑐𝑟,𝑛−𝑟 ⎟ ⎜𝑐𝑟1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ , 𝑢2 = ⎜ ⎟ , . . . , 𝑢𝑘 = ⎜ ⎟ , . . . , 𝑢𝑛−𝑟 = ⎜ ⎟ 𝑢1 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜. . .⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝. . .⎠ ⎝. . .⎠ ⎝ ... ⎠ ⎝. . .⎠ 1 ⎛ По построению, 𝑢1 , . . . , 𝑢𝑛−𝑟 ∈ 𝑆. Предложение. 𝑢1 , . . . , 𝑢𝑛−𝑟 – это ФСР для ОСЛУ (*). Доказательство. 1) линейная независимость. Пусть набор (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛−𝑟 ) ̸= (0, 0, . . . , 0) таков, что 𝛼1 𝑢1 + · · · + 𝛼𝑛−𝑟 𝑢𝑛−𝑟 = 0 При любом 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 − 𝑟, (𝑟 + 𝑘)-ая координата ⎞ левой части равна 𝛼𝑘 ⇒ 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑛−𝑟 = 0. ⎛ * ⎜ * ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ * ⎟ ⎟ ⎜ ⎟. Тогда рассмотрим 𝑣 = 𝑢−𝛼1 𝑢1 −· · ·−𝛼𝑛−𝑟 𝑢𝑛−𝑟 , 2) < 𝑢1 , . . . , 𝑢𝑛−𝑟 >= 𝑆. Пусть 𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 𝛼1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 𝛼2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ... ⎠ 𝛼 ⎛ ⎞ 𝑛−𝑟 * ⎜*⎟ ⎜ ⎟ ⎜. . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜*⎟ ⎜ ⎟ ⎟ имеем 𝑣 ∈ 𝑆. С другой стороны, 𝑣 = ⎜ ⎜ ⎟, т.е. в 𝑣 𝑥𝑟+1 = · · · = 𝑥𝑛 = 0. Но тогда из формул для ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝. . . ⎠ общего решения следует, что 𝑥1 = · · · = 𝑥𝑟 = 0 ⇒ 𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = 𝛼1 𝑢1 +· · ·+𝛼𝑛−𝑟 𝑢𝑛−𝑟 ∈< 𝑢1 , . . . , 𝑢𝑛−𝑟 C. 𝑉 – векторное пространство, 𝑑𝑖𝑚𝑉 < ∞ 𝑆 = {𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 } ⊆ 𝑉 – конечная система векторов 39 Определение. Рангом конечной системы векторов 𝑆 ⊆ 𝑉 называется число 𝑟𝑘𝑆, равное наибольшему числу векторов в линейно независимой подсистеме системы 𝑆. 𝑟𝑘𝑆 = 𝑚𝑎𝑥{|𝑆 ′ | | 𝑆 ′ ⊆ 𝑆 - линейно независимая подсистема }. Предложение. 𝑟𝑘𝑆 = 𝑑𝑖𝑚 < 𝑆 >. Доказательство. B Пусть 𝑟𝑘𝑆 = 𝑟 ⇒ ∃ линейено независимый набор 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑟 ∈ 𝑆. Тогда 𝑆 ⊆< 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑟 >⇒< 𝑆 >=< 𝑣𝑞 , . . . , 𝑣𝑟 >⇒ 𝑟𝑘𝑆 = 𝑟 = 𝑑𝑖𝑚 < 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑟 >= 𝑑𝑖𝑚 < 𝑆 > C. Пусть 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ). Определение. Столбцовым рангом (или просто рангом) матрицы 𝐴 называется число 𝑟𝑘𝐴, равное рангу системы ее столбцов {𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) } ⊆ 𝐹 𝑛 . Строковым рангом матрицы 𝐴 называется число 𝑟𝑘𝐴𝑇 , равное рангу системы ее строк {𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) } ⊆ 𝐹 𝑛 . ⎛ ⎞ 1 2 3 Пример. 𝐴 = ⎝4 5 6⎠ 7 8 9 (1) (3) 𝐴 + 𝐴 − 2𝐴(2) = 0 ⇒ 𝑟𝑘𝐴 ≤ 2. 𝐴(1) , 𝐴(2) не пропорциональны ⇒ линейно независимы ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 2. Лемма. При элементарных преобразованиях строк матрицы сохраняется линейная независимость между столбцами. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) 𝐴 → 𝐵 (элементарными преобразованиями строк) 1 ≤ 𝑖1 ≤ · · · ≤ 𝑖𝑘 ≤ 𝑛 𝛼1 𝐴(𝑖1 ) + · · · + 𝛼𝑘 𝐴(𝑖𝑘 ) = 0 ⇒ 𝛼1 𝐵 (𝑖1 ) + · · · + 𝛼𝑘 𝐵 (𝑖𝑘 ) = 0. В частности, 𝐴(𝑖1 ) , . . . , 𝐴(𝑖𝑘 ) линейной независимы ⇔ 𝐵 (𝑖1 ) , . . . , 𝐵 (𝑖𝑘 ) линейно независимы. ′ (𝑖1 ) (𝑖𝑘 ) Доказательство. B Пусть 𝐴⎛ = (𝐴 𝐴(𝑖𝑘 ) )⎞∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑘 (𝐹 ), 𝐵 ′ = (𝐵 (𝑖1 ) , . . . , 𝐵 ⎞ , . . . ,⎛ ⎛ )⎞∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑘 (𝐹 ). 𝛼1 𝛼1 𝛼1 (𝑖1 ) (𝑖𝑘 ) ′⎝ ′ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 𝛼1 𝐴 + · · · + 𝛼𝑘 𝐴 = 0 ⇔ 𝐴 . . . = 0 ⇔ . . . – решение ОСЛУ 𝐴 𝑥 = 0 ⇔ . . .⎠ – решение 𝛼𝑘 𝛼𝑘 𝛼𝑘 ⎛ ⎞ 𝛼1 ′ ′⎝ ОСЛУ 𝐵 𝑥 = 0 ⇔ 𝐵 . . .⎠ = 0 ⇔ 𝛼1 𝐵 (𝑖1 ) + · · · + 𝛼𝑘 𝐵 (𝑖𝑘 ) = 0 C . 𝛼𝑘 Следствие. Столбцовый ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк. Предложение. Столбцовый ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях столбцов. Доказательство. B 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) 𝐴 → 𝐵 (одно элементарное преобразование столбцов) 𝐵 (1) , . . . , 𝐵 (𝑛) ⊆< 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) >⇒< 𝐵 (1) , . . . , 𝐵 (𝑛) >⊆< 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) >⇒ 𝑟𝑘𝐵 ≤ 𝑟𝑘𝐴. Т.к. элементарные преобразования обратимы, то 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐵 ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐵 C. Следствие. Строковый ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов. 40 14 Лекция 14.12.2017 𝐹 – поле 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) столбцовый ранг: 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘{𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) } строковый ранг: 𝑟𝑘𝐴𝑇 = 𝑟𝑘{𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) } Было: (#) 𝑟𝑘𝐴 и 𝑟𝑘𝐴𝑇 не меняются при элеметарных преобразованиях строк и столбцов. Предложение. Если 𝐴 имеет улучшенный ступенчатый вид, то оба числа 𝑟𝑘𝐴 и 𝑟𝑘𝐴𝑇 равны между собой и равны числу ненулевых строк в 𝐴. Доказательство. B Пусть 𝑟 – число ненулевых строк в 𝐴. Тогда {𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) } ⊇ {𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑟 }, кроме того, 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) ∈< 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑟 >⇒< 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) >=< 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑟 >⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟. Докажем, что 𝑟𝑘𝐴𝑇 = 𝑟. Покажем, что 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑟) линейно независимы. 𝜆1 𝐴(1) + · · · + 𝜆𝑟 𝐴(𝑟) = 0, 𝜆𝑖 ∈ 𝐹 . Пусть 1 ≤ 𝑖1 ≤ · · · ≤ 𝑖𝑟 ≤ 𝑛 – номера столбцов, содержащих ведущие элементы. Тогда ∀𝑘 = 1, . . . , 𝑟 𝑖𝑘 -я компонента левой части (*) равна 𝜆𝑘 ⇒ 𝜆𝑘 = 0 ⇒ 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑟) линейно независимы ⇒ 𝑟𝑘𝐴𝑇 = 𝑟 C. Предложение. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐴𝑇 , причем оба числа равны числу ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы 𝐴. Доказательство. B 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐴𝑇 следует из (#), предыдущего предложения и теоремы о приведении к улучшенному ступенчатому виду. Последнее утверждение следует из того, что при переходе от ступенчатого вида к улучшенному ступенчатому виду число ненулевых строк не меняется. Следствие. 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) ⇒ (1) 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 (2) 𝑟𝑘𝐴 < 𝑛 ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 Доказательство. B При элементарных преобразованиях строк ранг не меняется, условия 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 и 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 сохраняются ⇒ доказательство сводится к случаю, когда 𝐴 имеет ступенчатый вид. В этом случае 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 ⇔ нет нулевых строк ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0; 𝑟𝑘𝐴 < 𝑛 ⇔ есть нулевые строки ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 C. Определение. Подматрицей матрицы 𝐴 называется всякая матрица, полученная из 𝐴 вычеркиванием каких-то строк и/или столбцов. Лемма. 𝑆 – подматрица в 𝐴 ⇒ 𝑟𝑘𝑆 ≤ 𝑟𝑘𝐴. Доказательтво. B Если какие-то столбцы в 𝑆 линейно независимы, то соответствующие столбцы в 𝐴 и подавно линейно независимы C. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) Определение. Минором матрицы 𝐴 называется определитель всякой квадратной подматрицы в 𝐴. (︂ )︂ 1 2 3 Примеры. 𝐴 = 4 5 6 Миноров порядка 1: 6 штук Миноров 2: ⃒ ⃒ ⃒ порядка ⃒ ⃒ ⃒ 3 штуки ⃒2 3 ⃒ ⃒1 3 ⃒ ⃒1 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒5 6 ⃒ , ⃒4 6 ⃒ , ⃒4 5 ⃒ 41 Теорема о ранге матрицы. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ) ⇒ следующие три числа равны: (1) 𝑟𝑘𝐴 (2) 𝑟𝑘𝐴𝑇 (3) Наибольший порядок ненулевого минора в А Доказательство. B (1) = (2) уже знаем. Пусть 𝑆 – квадратная подматрица в 𝐴, причем ее 𝑑𝑒𝑡𝑆 ̸= 0. Теперь пусть 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟. Найдем в 𝐴 ненулевой минор порядка 𝑟. По определению 𝑟𝑘𝐴, в 𝐴 есть 𝑟 линейно независимых столбцов 𝐴(𝑖1 ) , . . . , 𝐴(𝑖𝑟 ) . Пусть 𝐵 - подматрица в 𝐴, составленная из этих столбцов. Тогда 𝑟𝑘𝐵 = 𝑟. Тогда в 𝐵 есть 𝑟 линейно незавсимых строк. Пусть 𝑆 – подматрица в 𝐵, составленная из этих строк. 𝑆 ∈ 𝑀𝑟 (𝐹 ), 𝑟𝑘𝑆 = 𝑟 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝑆 ̸= 0 ⇒ (3) ≥ (1) C. Замечание. Ненулевые миноры максимального порядка называют базисными минорами. Приложения ранга матрицы к СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑏 (*) 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ), 𝑥 ∈ 𝐹 𝑛 , 𝑏 ∈ 𝐹 𝑚 (A|b) – расширенная матрица Теорема Кронекера-Капелли СЛУ (*) совместна ⇔ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘(𝐴|𝑏) Доказательство. B При элементарных преобразованиях строк: - ранг матрицы не меняется - множество решений СЛУ (*) не меняется ⇒ вопрос сводится к ситуации, когда (𝐴|𝑏) имеет улучшенный ступенчатый вид. В этом случае СЛУ(*) совместна ⇔ в (𝐴|𝑏) имеет ступенчатый вид. В этом случае СЛУ(*) совместна ⇔ в (𝐴|𝑏) нет строки вида (0...0|*) ⇔ в 𝐴 и (𝐴|𝑏) одно и то же число ненулевых строк ⇔ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘(𝐴|𝑏). Теорема. Пусть СЛУ(*) совместна. Тогда она имеет единственное решение ⇔ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 (𝑛 – число неизвестных). Доказательство. Все снова сводится к ситуации, когда (𝐴|𝑏) имеет ступенчатой вид. В этом случае СЛУ (*) имеет единственное решение ⇔ нет свободных неизвестных ⇔ в 𝐴 ровно 𝑛 ненулевых строк ⇔ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 C. Пусть теперь 𝐴– квадратная матрица порядка 𝑛. Теорема. СЛУ(*) имеет единственное решение ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0. Доказательство. B(⇐) уже было. (⇒) единственное решение ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 по предыдущей теореме ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 C. Пусть теперь СЛУ(*) однородна. 𝐴𝑥 = 0, 𝑆 ⊆ 𝐹 𝑛 – множество ее решений Предложение. 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 𝑛 − 𝑟𝑘𝐴 Доказательство. B (𝐴|0) → (𝐵|0) (элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду) 42 𝑟 – число ненулевых строк в 𝐵. Тогда 𝑟 = 𝑟𝑘𝐴. В прошлый раз строили базис (ФСР) из 𝑛 − 𝑟 векторов C. 𝑏1 , . . . , 𝑏 𝑝 ∈ 𝐹 𝑛 Пусть 𝐵 = (𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑝 . Пусть 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑞 – ФСР для ОСЛУ 𝐵 𝑇 𝑥 = 0. Пусть 𝐴 = (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑞 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑞 . Предложение. < 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 >= множество решений ОСЛУ 𝐴𝑇 𝑥 = 0. Доказательство. B Пусть 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝐹 𝑛 |𝐴𝑇 𝑥 = 0} – множество решений для 𝐴𝑇 𝑥 = 0. Из условия следует, что 𝐵 𝑇 𝑎𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑞 ⇒ 𝐵 𝑇 𝐴 = 0 ⇒ 𝐴𝑇 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴𝑇 𝑏𝑗 = 0 ∀𝑗 = 1, . . . , 𝑝 ⇒ 𝑏𝑗 ∈ 𝑆 ⇒< 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 >⊆ 𝑆. Пусть 𝑟 = 𝑟𝑘{𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 } = 𝑑𝑖𝑚 < 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 >= 𝑟𝑘𝐵. Тогда 𝑞 = 𝑛 − 𝑟. Но тогда 𝑞 = 𝑟𝑘𝐴. Тогда 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 𝑛 − 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 − 𝑞 = 𝑟. Итог: 𝑑𝑖𝑚 < 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 >= 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⇒< 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 >= 𝑆 C. Следствие. Всякое подпространство в 𝐹 𝑛 является множеством решений некоторой ОСЛУ. Доказательство. B Если 𝑆 – подпространство в 𝐹 𝑛 , то ∃𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 ∈ 𝐹 𝑛 , такой что 𝑆 =< 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 > (в качестве 𝑏1 , . . . , 𝑏𝑝 можно взять базис 𝑆). Осталось применить предложение C. 15 Лекция 11.01.2018 𝑉 – векторное пространство над полем 𝐹 , 𝑑𝑖𝑚𝑉 < ∞ 𝑈, 𝑊 – подпространства 𝑈 ∩ 𝑊 – тоже подпространство Определение. Суммой подпространств 𝑈, 𝑊 называется множество 𝑈 + 𝑊 := {𝑢 + 𝑤 | 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑤 ∈ 𝑊 }. Упражнение. 𝑈 + 𝑊 – подпространство в 𝑉 . Замечание. 𝑈 ∩ 𝑊 ⊆ 𝑈 = 𝑈 + 0 ⊆ 𝑈 + 𝑊 , 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ). Теорема. 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) + 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ) = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 Доказательство. B𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) = 𝑝, 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑞, 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑟. Пусть 𝑎 = {𝑎1 , . . . , 𝑎𝑝 } – базис в 𝑈 ∩ 𝑊 . Т.к. 𝑈 ∩ 𝑊 ⊆ 𝑈 и 𝑈 ∩ 𝑊 ⊆ 𝑊 , то 𝑎 можно дополнить до базиса 𝑈 и до базиса 𝑊 . ⇒ ∃𝑏 = {𝑏1 , . . . , 𝑏𝑞−𝑝 }, такой что 𝑎 ∪ 𝑏 – базис 𝑈 , ∃𝑐 = {𝑐1 , . . . , 𝑐𝑟−𝑝 }, такой что 𝑎 ∪ 𝑐 – базис 𝑊 . Докажем, что 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 – базис в 𝑈 + 𝑊 . 1) < 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 >= 𝑈 + 𝑊 𝑣 ∈ 𝑈 + 𝑊 ⇒ ∃𝑢 ∈ 𝑈, 𝑤 ∈ 𝑊 , такой что 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 𝑢 ∈ 𝑈 =< 𝑎 ∪ 𝑏 >⊆< 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 > 𝑤 ∈ 𝑊 =< 𝑎 ∪ 𝑐 >⊆< 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 > ⇒ 𝑣 = 𝑢 + 𝑤 ∈< 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 > Доказано, что 𝑈 + 𝑊 ⊆< 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 >, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ⊆ 𝑈 + 𝑊 ⇒< 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 >⊆ 𝑈 + 𝑊 . 2) система 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 линейно независима. Пусть ∃𝛼𝑖 , 𝛽𝑗 , 𝛾𝑘 ∈ 𝐹 , такие что (*) 𝛼1 𝑎1 + · · · + 𝛼𝑝 𝑎𝑝 (= 𝑥) + 𝛽1 𝑏1 + · · · + 𝛽𝑞−𝑝 𝑏𝑞−𝑝 (= 𝑦) + 𝛾1 𝑐1 + · · · + 𝛾𝑟−𝑝 𝑐𝑟−𝑝 (= 𝑧) = 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = −𝑥(∈ 𝑈 ) − 𝑦(∈ 𝑈 ) ∈ 𝑈 43 Но мы знаем, что 𝑧 ∈ 𝑊 ⇒ 𝑧 ∈ 𝑈 ∩ 𝑊 ⇒ ∃𝜆1 , . . . , 𝜆𝑝 ∈ 𝐹 , такие что 𝑧 = 𝜆1 𝑎1 + · · · + 𝜆𝑝 𝑎𝑝 ⇒ 𝜆1 𝑎1 + · · · + 𝜆𝑝 𝑎𝑝 − 𝛾1 𝑐1 − · · · − 𝛾𝑟−𝑝 𝑐𝑟−𝑝 = 0. Это есть линейная комбинация векторов базиса 𝑎∪𝑐 пространства 𝑊 ⇒ все коэффициенты равны 0, т.е. 𝜆𝑖 = 𝛾𝑗 = 0 (и 𝑧 = 0). Значит, 𝑥 + 𝑦 = 0 ⇒ 𝛼1 𝑎1 + 𝛼𝑝 𝑎𝑝 + 𝛽1 𝑏1 + · · · + 𝛽𝑞−𝑝 𝑏𝑞−𝑝 = 0. А это линейная комбинация векторов базиса 𝑎 ∪ 𝑏 пространства 𝑈 ⇒ 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 = 0 ⇒ все коэффициенты в (*) равны 0. ⇒ 𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐 линейно независимы ⇒ 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ) = |𝑎 ∪ 𝑏 ∪ 𝑐| = |𝑎| + |𝑏| + |𝑐| = 𝑝 + (𝑞 − 𝑝) + (𝑟 − 𝑝) = 𝑞 + 𝑟 − 𝑝 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) C . Пример. Любые две плоскости (содержащие 0) в R3 имеют общую прямую 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 2 𝑈 + 𝑊 ⊆ R3 ⇒ 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊 ) ≤ 3 ⇒ 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊 ) ≥ 2 + 2 − 3 = 1. 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 ⊆ 𝑉 – подпространства Определение. Суммой подпространств 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 называется множество 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 := {𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 | 𝑢𝑖 ∈ 𝑈𝑖 }. Упражнение. 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 – подпространство в 𝑉 Замечание. 𝑑𝑖𝑚(𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 ) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑈1 + . . . 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑘 . Определение. Подпространства 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 называются линейно независимыми, если ∀𝑢1 ∈ 𝑈1 , . . . , 𝑢𝑘 ∈ 𝑈𝑘 из условия 𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 = 0 следует, что 𝑢1 = · · · = 𝑢𝑘 = 0. Пример. 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑖 = 1 и 𝑈𝑖 =< 𝑢𝑖 >⇒ 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 линейно независимы ⇔ 𝑢1 , . . . , 𝑢𝑘 линейно независимы Теорема. Следующие условия эквивалентны: (1) 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 линейно независимы (2) ∀𝑣 ∈ 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 ∃! 𝑢1 ∈ 𝑈1 , . . . , 𝑢𝑘 ∈ 𝑈𝑘 , такие что 𝑣 = 𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 (3) Если 𝑒𝑖 – базис 𝑈𝑖 , то 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 – базис 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 (4) 𝑑𝑖𝑚(𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 ) = 𝑑𝑖𝑚𝑈1 + · · · + 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑘 (5) ∀ 𝑖 𝑈𝑖 ∩ (𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 ) = 0 Доказательство. B (1) ⇒ (2) Пусть 𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 = 𝑢′1 + · · · + 𝑢′𝑘 , где 𝑢𝑖 , 𝑢′𝑖 ∈ 𝑈𝑖 ⇒ (𝑢1 − 𝑢′1 )(∈ 𝑈1 ) + · · · + (𝑢𝑘 − 𝑢′𝑘 )(∈ 𝑈𝑘 ) = 0 из (1) следует, что (𝑢1 − 𝑢′1 ) = · · · = (𝑢𝑘 − 𝑢′𝑘 ) = 0 ⇒ 𝑢1 = 𝑢′1 , . . . , 𝑢𝑘 = 𝑢′𝑘 . (2) ⇒ (3) 𝑣 ∈ 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 ⇒ из (2) ∃! 𝑢1 ∈ 𝑈1 , . . . , 𝑢𝑘 ∈ 𝑈𝑘 , такой что 𝑣 = 𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 . Но ∀𝑖 𝑢𝑖 однозначно выражается через базис 𝑒𝑖 ⇒ 𝑣 однозначно выражается через 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 ⇒< 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 >= 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 . 0 однозначно выражается через 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 ⇒ 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 линейно независимы ⇒ 𝑒1 ∪ · · · ∪ 𝑒𝑘 – базис в 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 . (3) ⇒ (4) Очевидно (4) ⇒ (5) 𝑑𝑖𝑚(𝑈𝑖 ∩ (𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 )) = 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑖 + 𝑑𝑖𝑚(𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 ) − 𝑑𝑖𝑚(𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 ) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑖 + 𝑑𝑖𝑚𝑈1 + · · · + 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑖−1 + 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑘 − (𝑑𝑖𝑚𝑈1 + · · · + 𝑑𝑖𝑚𝑈𝑘 ) = 44 0 ⇒ 𝑑𝑖𝑚(𝑈𝑖 ∩ (𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 )) = 0 ⇒ 𝑈𝑖 ∩ (𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 ) = 0. (5) ⇒ (1) 𝑢1 + · · · + 𝑢𝑘 = 0, 𝑢𝑖 ∈ 𝑈𝑖 ⇒ 𝑢𝑖 (∈ 𝑈𝑖 ) = −𝑢1 − · · · − 𝑢𝑖−1 − 𝑢𝑖+1 − · · · − 𝑢𝑘 (∈ 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 ) ⇒ 𝑢𝑖 ∈ 𝑈𝑖 ∩ (𝑈1 + · · · + 𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖+1 + · · · + 𝑈𝑘 )C. Следствие. Два подпространства 𝑈, 𝑊 ⊆ 𝑉 линейно независимы ⇔ 𝑈 ∩ 𝑊 = 0. Определение. Говорят, что 𝑉 разлагается в прямую сумму подпространств 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 , если 1) 𝑉 = 𝑈1 + · · · + 𝑈𝑘 2) 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑘 линейно независимы Примеры. 1) 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 – базис 𝑉 ⇒ 𝑉 =< 𝑒1 ⊕ 𝑒2 ⊕ · · · ⊕ 𝑒𝑛 > 2) 𝑈, 𝑊 ⊆ 𝑉 – подпространства {︃ 𝑉 =𝑈 +𝑊 𝑉 =𝑈 ⊕𝑊 ⇔ 𝑈 ∩𝑊 =0 𝑉 – векторное пространство, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 – базис 𝑉 𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ ∃! 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝐹 , такой что 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 . Определение. Коэффициенты 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 называются координатами вектора 𝑣 в базисе (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ). 16 Лекция 18.01.2018 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 , 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 (𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ) – фиксированный базис (𝑒′1 , 𝑒′2 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – какой-то набор из 𝑛 векторов 𝑒′1 = 𝑐11 𝑒1 + 𝑐21 𝑒2 + · · · + 𝑐𝑛1 𝑒𝑛 𝑒′2 = 𝑐12 𝑒1 + 𝑐22 𝑒2 + · · · + 𝑐𝑛2 𝑒𝑛 .. . 𝑒′𝑛 = 𝑐1𝑛 𝑒1 + 𝑐2𝑛 𝑒2 + · · · + 𝑐𝑛𝑛 𝑒𝑛 (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶, где ⎛ 𝑐11 ⎜ 𝑐21 𝐶=⎜ ⎝. . . 𝑐𝑛1 𝑐12 𝑐22 ... 𝑐𝑛2 ⎞ . . . 𝑐1𝑛 . . . 𝑐2𝑛 ⎟ ⎟ . . . . . .⎠ . . . 𝑐𝑛𝑛 𝐶 (𝑖) – столбец координат вектора 𝑒′𝑖 в базисе (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ). Предложение. (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – базис в 𝑉 ⇔ 𝐶 невырожденна (𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0). Доказательство. Пусть (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – базис ⇒ ∃𝐶 ′ ∈ 𝑀𝑛 , такие что (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) · 𝐶 ′ = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶 · 𝐶 ′ . Т.к. 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 линейно независимы, то отсюда следует 𝐶 · 𝐶 ′ = 𝐸 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0. Пусть 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0. Покажем, что (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – базис. Достаточно доказать, что 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ⎛ линейно ⎞ 𝜆1 ⎜ ⎟ независимы. Пусть 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ∈ 𝐹 таковы, что 𝜆1 𝑒′1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑒′𝑛 = 0. Тогда 0 = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) ⎝ ... ⎠ = 𝜆𝑛 45 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝜆1 𝜆1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐶 ⎝ . ⎠. Т.к. 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 линейно независимы, то 𝐶 · ⎝ . ⎠ = 0. Домножая слева на 𝐶 −1 , 𝜆 𝜆𝑛 ⎛ ⎞𝑛 𝜆1 ⎜ .. ⎟ получаем ⎝ . ⎠ = 0. 𝜆𝑛 Пусть 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) и 𝑒′ = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – два базиса в 𝑉 . (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶 Определение. Матрица 𝐶 называется матрицей перехода от базиса 𝑒 к базису 𝑒′ . Замечание. Матрицей перехода от 𝑒′ к 𝑒 – это 𝐶 −1 . ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ ⎟ 𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ ... ⎠ 𝑥 ⎛ ⎞ 𝑛 ′ 𝑥1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎜ .. ⎟ → 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ . ⎠ 𝑥′𝑛 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 𝑥′1 𝑥1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Предложение (формула замены координат вектора при смене базиса. ⎝ ... ⎠ = 𝐶·⎝ ... ⎠. 𝑥𝑛 ⎛ ⎛ ⎞ 𝑥′𝑛 ⎞ 𝑥′1 𝑥′1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ Доказательство. B 𝑣 = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) ⎝ ... ⎠ = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶 · ⎝ ... ⎠ 𝑥′𝑛 𝑥′𝑛 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ 𝑣 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑥′1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Отсюда ⎝ ... ⎠ = 𝐶 · ⎝ ... ⎠ C. 𝑥𝑛 𝑥′𝑛 16.1 Линейные отображения 𝑉, 𝑊 – векторные пространства Определение. Отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется линейным, если (1) 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) ∀ 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 (2) 𝜙(𝜆𝑣) = 𝜆𝜙(𝑣) ∀ 𝑣 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈ 𝐹 Упражнение. 1) & 2) эквивалентно тому, что 𝜙(𝜆1 𝑣1 + 𝜆2 𝑣2 ) = 𝜆1 𝜙(𝑣1 ) + 𝜆2 𝜙(𝑣2 ) ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉, 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝐹 Примеры. 0) Нулевое отображение 𝜙(𝑣) = 0 ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 1) Тождественное отображение 𝐼𝑑 : 𝑉 → 𝑉, 𝑣 → 𝑣 2) 𝜙 : R2 → R2 – поворот на угол 𝛼 вокруг 0 46 3) 𝜙 : R3 → R2 – ортогональная проекция на 𝑂𝑥𝑦 4) 𝑃𝑛 := 𝑅[𝑥]≤𝑛 – многочлены от 𝑥 с коэффициентами из R степени ≤ 𝑛 △ – отображение дифференцирования △ : 𝑓 → 𝑓′ (𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓 ′ + 𝑔 ′ (𝜆𝑓 )′ = 𝜆𝑓 ′ линейное отображение: 𝑃𝑛 → 𝑃𝑛−1 5) 𝑉 – векторное пространство, (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝜙 : 𝑉 → 𝐹𝑛 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 → ⎝ . ⎠ 𝑥 ⎛ 𝑛⎞ 𝑦1 ⎜ .. ⎟ 𝑤 = 𝑦1 𝑒1 + · · · + 𝑦𝑛 𝑒𝑛 → ⎝ . ⎠ 𝑦𝑛 𝑣 + 𝑤 = (𝑥1 ⎛ + 𝑦1 )𝑒1 +⎞· · · +⎛(𝑥𝑛⎞ + 𝑦𝑛⎛ )𝑒𝑛 ⎞ 𝑥1 + 𝑦 1 𝑥1 𝑦1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ 𝜙(𝑣 + 𝑤) = ⎝ . ⎠ = ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠ = 𝜙(𝑣) + 𝜙(𝑤) 𝑥𝑛 + 𝑦 𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 Аналогично, 𝜙(𝜆𝑣) = 𝜆𝜙(𝑣) ⇒ 𝜙 – линейное отображение, биективно! Простейшие свойства линейного отображения 1) 𝜙(0𝑣 ) = 0𝑤 𝜙(0𝑣 ) = 𝜙(0 · 0𝑣 ) = 0 · 𝜙(0𝑣 ) = 0𝑤 2) 𝜙(−𝑣) = −𝜙(𝑣) 𝜙(𝑣) + 𝜙(−𝑣) = 𝜙(𝑣 − 𝑣) = 𝜙(0𝑣 ) = 0𝑤 ⇒ 𝜙(−𝑣) = −𝜙(𝑣) Определение. Отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется изоморфизмом, если оно линейно и биективно. Обозначение: 𝜙 : 𝑉 −∼ →𝑊 Примеры 0) Изоморфизм ⇔ Оба 𝑉, 𝑊 есть {0} 1) да 2) да 3) нет 4) нет 5) да Предложение 1. 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – изоморфизм ⇒ обратное отображение 𝜙−1 : 𝑊 → 𝑉 – тоже изоморфизм Доказательство. B 𝜙−1 биективно, остается проверить линейность. 𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝑊 ⇒ ∃!𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 , такой что 𝑤1 = 𝜙(𝑣1 ), 𝑤2 = 𝜙(𝑣2 ) ⇒ 𝑣1 = 𝜙−1 (𝑤1 ), 𝑣2 = 𝜙−1 (𝑤2 ). 1) 𝜙−1 (𝑤1 + 𝑤2 ) = 𝜙−1 (𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 )) = 𝜙−1 (𝜙(𝑣1 + 𝑣2 )) = 𝑣1 + 𝑣2 = 𝜙−1 (𝑣1 ) + 𝜙−1 (𝑣2 ). 2) 𝜆 ∈ 𝐹 𝜙−1 (𝜆𝑤1 ) = 𝜙−1 (𝜆𝜙(𝑣1 )) = 𝜙−1 (𝜙(𝜆𝑣)) = 𝜆𝑣1 = 𝜆𝜙−1 (𝑤1 )C. 𝜙 𝜓 𝑈 →𝑉 →𝑊 𝜓 ∘ 𝜙(𝑢) = 𝜓(𝜙(𝑢)) 47 Предложение 2. 1) Если 𝜙, 𝜓 линейны, то 𝜓 ∘ 𝜙 тоже линейна 2) Если 𝜙, 𝜓 – изоморфизмы, то 𝜓 ∘ 𝜙 тоже изоморфизм Доказательство. 1) B(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑢1 + 𝑢2 ) = 𝜓(𝜙(𝑢1 + 𝑢2 ) = 𝜓(𝜙(𝑢1 ) + 𝜙(𝑢2 )) = 𝜓(𝜙(𝑢1 ) + 𝜓(𝜙(𝑢2 )) = (𝜓 ∘ 𝜙)(𝑢1 ) + (𝜓 ∘ 𝜙)(𝑢2 ) 2) (𝜓 ∘ 𝜙)(𝜆𝑢) = 𝜓(𝜙(𝜆𝑢) = 𝜓(𝜆𝜙(𝑢)) = 𝜆𝜓(𝜙(𝑢)) = 𝜆(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑢)) 2) следует из 1) и того факта, что композиция биективных отображений биективна C Определение. Два векторных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм 𝜙 : 𝑉 −∼ → 𝑊. Теорема. Изоморфность – это отношение эквивалентности на множестве всех векторных пространств. Доказательство. B 1) Рефлексивность: 𝐼𝑑 : 𝑉 −∼ →𝑉 2) Симметричность: 𝑉 ≃ 𝑊 ⇒ 𝑊 ≃ 𝑉 (предложение 1) 3) Транзитивность: 𝑈 ≃ 𝑉, 𝑉 ≃ 𝑊 ⇒ 𝑈 ≃ 𝑊 (предложение 2) C Определение. Классы эквивалентности называются классами изоморфизма векторных пространств. Пример. 𝑛 𝐹 ⎛ ≃⎞𝑃𝑛−1 𝑎1 ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ → 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 + · · · + 𝑎𝑛 𝑥𝑛−1 изоморфизм 𝑎𝑛 17 Лекция 25.01.2017 Теорема. Пусть 𝑉, 𝑊 – два конечномерных векторных пространства. Тогда 𝑉 ≃ 𝑊 ⇔ 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 . Лемма 1. Пусть 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. Тогда 𝑉 ≃ 𝐹 𝑛 . 𝑛 Доказательство. B Фиксируем ⎛ базис ⎞ (𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ) и рассмотрим отображение 𝜙 : 𝑉 ⇒ 𝐹 из 𝑥1 ⎜ .. ⎟ примера 5, т.е. 𝜙(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ) = ⎝ . ⎠. Знаем, что 𝜙 – изоморфизм C. 𝑥𝑛 Лемма 2. Пусть 𝜙 : 𝑉 −∼ → 𝑊 – изоморфизм, (𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 . Тогда (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) – базис 𝑊 . Доказательство. B 𝑤 ∈ 𝑊 , пусть 𝑣 := 𝜙−1 (𝑤). 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , где 𝑥𝑖 ∈ 𝐹 ⇒ 𝑤 = 𝜙(𝑣) = 𝑥1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) ⇒ 𝑤 =< 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) >. Докажем, что 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) линейно независимы. Пусть 𝛼1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = 0. Тогда 𝜙(𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 ) = 0. Применим 𝜙−1 , получим 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 = 𝜙−1 (0) = 0. Т.к. (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 , то 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑛 = 0 C. Доказательство теоремы. B 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛 ⇒ 𝑉 ≃ 𝐹 𝑛 и 𝑊 ≃ 𝐹 𝑛 ⇒ 𝑉 ≃ 𝑊 (лемма 1). 48 𝑉 −∼ → 𝑊 . Фиксируем изоморфизм 𝜙 : 𝑉 −∼ → 𝑊 и базис (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) в 𝑉 . Тогда (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) – базис 𝑊 (лемма 2) ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 C. 𝑉 – векторное пространство (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис Предложение. 1) Всякое линейное отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 однозначно определяется векторами 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ). 2) ∀ набора векторов 𝑤1 , . . . , 𝑤𝑛 ∈ 𝑊 ∃! линейное отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 , т. что 𝜙(𝑒1 ) = 𝑤1 , . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) = 𝑤𝑛 . Доказательство. 1) 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ⇒ 𝜙(𝑣) = 𝑥1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ). 2) 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 . Положим 𝜙(𝑣) = 𝑥1 𝑤1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑤𝑛 . 𝜙 линейно (упражнение), единственно по 1). Следствие 1. Если 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛, то ∀ базиса (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑛 ) в 𝑊 ∃! изоморфизм 𝜙 : 𝑉 −∼ → 𝑊, такой что 𝜙(𝑒𝑖 ) = 𝑓𝑖 ∀𝑖. Следствие 2. ∃ биекция между базисами 𝑉 и изоморфизмами 𝐹 𝑛 −∼ → 𝑉 (а тогда и изоморфизмами 𝑉 −∼ → 𝐹 𝑛 ) стандартный базис в 𝐹 𝑛 → данный базис в 𝑉 . 𝑉, 𝑊 – векторные пространства 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, фиксированный базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ). 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑚, фиксированный базис 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ). 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение ⎛ ⎞ 𝑎1𝑗 ⎜ ⎟ 𝜙(𝑒𝑗 ) = 𝑎1𝑗 𝑓1 + · · · + 𝑎𝑚𝑗 𝑓𝑚 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) ⎝ ... ⎠ 𝑎𝑚𝑗 Определение. Матрица 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 называется матрицей линейного отображения в базисах 𝑒 и 𝑓 (или по отношению к базисам). Обозначение: 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ). Обозначение: 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) – множество всех линейных отображений из 𝑉 в 𝑊 Следствие 3. При фиксированном 𝑒 и 𝑓 отображение 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) → 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 (𝐹 ) 𝜙 → 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) является биекцией. (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) · 𝐴, где 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ). В 𝑗– столбце этой матрице стоят координаты вектора 𝜙(𝑒𝑗 ) в базисе 𝑓 . Примеры. 0) Нулевое отображение → нулевая матрица в любой паре базисов. 1) 𝜙 : R3 → R2 – проекция на 𝑂𝑥𝑦 𝑒 = (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3(︂ ), 𝑓 = (𝑒1)︂, 𝑒2 ) 1 0 0 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = 0 1 0 2) △ : 𝑅[𝑥]≤𝑛 → 𝑅[𝑥]≤𝑛−1 𝑓 → 𝑓′ 𝑒 = (1, 𝑥, 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ), 𝑓 = (1, 𝑥, 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛−1 ) 49 ⎛ ⎜0 ⎜ ⎜ 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = ⎜0 ⎜ .. ⎝. 1 .. . 2 .. . 0 ... 0 ... 3 ... .. .. . . 0 0 0 0 ... ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×(𝑛−1) .. ⎟ .⎠ 𝑛 3) 𝜙 : 𝐹 𝑛 → 𝐹 𝑚 𝑥 → 𝐴𝑥, 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑛𝑚×𝑛 (𝐹 ) 𝑒 – стандартный базис 𝐹 𝑛 𝑓 – стандартный базис 𝐹 𝑚 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = 𝐴 Предложение. 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение. 𝑒 – базис 𝑉 , 𝑓 – базис 𝑊 , 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ). 𝑣 ∈⎛𝑉, 𝑣⎞ = 𝑥1 𝑒1 +⎛· · · ⎞ + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝜙(𝑣) = 𝑦1 𝑓1 + · · · + 𝑦𝑚 𝑓𝑚 𝑥1 𝑦1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⇒ ⎝ . ⎠ = 𝐴 · ⎝ . ⎠. 𝑦𝑚 𝑥𝑛 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ Доказательство. B 𝑣 = (𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎜ .. ⎟ ⎝.⎠ 𝑥𝑛 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑥1 𝑦1 𝑦1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝜙(𝑣) = (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) ⎜ .. ⎟ = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑛 ) · 𝐴 · ⎜ .. ⎟ = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑛 ) ⎜ .. ⎟ ⇒ ⎜ .. ⎟ = 𝐴 · ⎝.⎠ ⎝.⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑚 𝑦𝑚 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ C ⎝.⎠ 𝑥𝑛 ⎞ Пусть 𝑒′ – другой базис в 𝑉 , 𝑒′ = 𝑒 · 𝐶 𝑓 ′ – другой базис в 𝑊 , 𝑓 ′ = 𝑓 · 𝐷 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) 𝐴′ = 𝐴(𝜙, 𝑒′ , 𝑓 ′ ) Предложение. 𝐴′ = 𝐷−1 · 𝐴 · 𝐶 Доказательство. B (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶 ⇒ (𝜙(𝑒′1 ), . . . , 𝜙(𝑒′𝑛 )) = (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) · 𝐶 = ′ (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) · 𝐴 · 𝐶 и (𝜙(𝑒′1 ), . . . , 𝜙(𝑒′𝑛 )) = (𝑓1′ , . . . , 𝑓𝑚 ) · 𝐴′ = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) · 𝐷 · 𝐴′ ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐷𝐴′ ⇒ 𝐴′ = 𝐷−1 · 𝐴 · 𝐶 C 𝜙, 𝜓 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) Определение. Суммой линейных отображений 𝜙 и 𝜓 называется отображение 𝜙 + 𝜓, такое что ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 (𝜙 + 𝜓)(𝑣) := 𝜙(𝑣) + 𝜓(𝑣) Определение. 𝜆 ∈ 𝐹 ⇒ Произведение 𝜙 на 𝜆 – это отображение 𝜆·𝜙, такое что (𝜆·𝜙)(𝑣) := 𝜆·𝜙(𝑣) Упражнение. 𝜙 + 𝜓, 𝜆𝜙 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) 50 Упражнение. 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) – это векторное пространство с такими операциями. 𝜙, 𝜓 ∈ 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) Предложение. 𝑒 – базис 𝑉 , 𝑓 – базис 𝑊 𝐴𝜙 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) 𝐴𝜓 = 𝐴(𝜓, 𝑒, 𝑓 ) 𝐴𝜙+𝜓 = 𝐴(𝜙 + 𝜓, 𝑒, 𝑓 ) 𝐴𝜆𝜙 = 𝐴(𝜆𝜙, 𝑒, 𝑓 ) ⇒ 𝐴𝜙+𝜓 = 𝐴𝜙 + 𝐴𝜓 , 𝐴𝜆𝜙 = 𝜆𝐴𝜙 Доказательство. B ((𝜙 + 𝜓)𝑒1 , . . . , (𝜙 + 𝜓)𝑒𝑛 ) = (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) + + (𝜓(𝑒1 ), . . . , 𝜓(𝑒𝑛 )) = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 )𝐴𝜙 + (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 )𝐴𝜓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 )(𝐴𝜙 + 𝐴𝜓 ) ((𝜙 + 𝜓)𝑒1 , . . . , (𝜙 + 𝜓)𝑒𝑛 ) = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 )𝐴𝜙+𝜓 ⇒ 𝐴𝜙+𝜓 = 𝐴𝜙 + 𝐴𝜓 𝐴𝜆𝜙 = 𝜆𝐴𝜙 аналогично C Следствие 1. При фиксированном 𝑒 и 𝑓 отображение 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) → 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ), 𝜙 → 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) является изоморфизмом векторных пространств. Доказательство. Это отображение биективно (уже знаем), линейно по предложению. Следствие 2. 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑚 ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) = 𝑛𝑚. 18 Лекция 1.02.2018 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑊 ) −∼ → 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 𝑉, 𝑊, 𝑈 – векторные пространства над 𝐹 𝜙 𝜓 𝑈 →𝑉 →𝑊 – цепочка линейных отображений 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 𝐴𝜙 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) – базис 𝑊 𝐴𝜓 = 𝐴(𝜓, 𝑓, 𝑔) 𝑔 = (𝑔1 , . . . , 𝑔𝑘 ) – базис 𝑈 𝐴𝜓·𝜙 = 𝐴(𝜓 · 𝜙, 𝑒, 𝑔) Предложение. 𝐴𝜓·𝜙 = 𝐴𝜓 · 𝐴𝜙 Доказательство. B (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) · 𝐴𝜙 ((𝜓𝜙)(𝑒1 ), . . . , (𝜓𝜙)(𝑒𝑛 )) = (𝜓(𝑓1 ), . . . , 𝜓(𝑓𝑚 ))𝐴𝜙 = (𝑔1 , . . . , 𝑔𝑘 ) · 𝐴𝜓 · 𝐴𝜙 ((𝜓𝜙)(𝑒1 ), . . . , (𝜓𝜙)(𝑒𝑛 )) = (𝑔1 , . . . , 𝑔𝑘 )𝐴𝜓𝜙 Т.к. 𝑔1 , . . . , 𝑔𝑘 линейно независимы, то 𝐴𝜓·𝜙 = 𝐴𝜓 · 𝐴𝜙 C. 𝑉, 𝑊 – векторные пространства 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение Определение. Ядро линейного отображения 𝜙 – это множество 𝐾𝑒𝑟𝜙 := {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝜙(𝑣) = 0} ⊆ 𝑉 Определение. Образ линейного отображения 𝜙 – это множество 𝐼𝑚𝜙 := 𝜙(𝑉 ) = {𝜙(𝑣) | 𝑣 ∈ 𝑉}⊆𝑊 Пример. △ : 𝑃𝑛 → 𝑃𝑛 , 𝑓 → 𝑓 ′ ⇒ 𝐾𝑒𝑟△ = {𝑓 | 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡}, 𝐼𝑚△ = 𝑃𝑛−1 Предложение. (а) 𝐾𝑒𝑟𝜙 – это подпространство в 𝑉 (б) 𝐼𝑚𝜙 – это подпространство в 𝑊 51 Доказательство. B (а) 1) 𝜙(0𝑉 ) = 0𝑊 ⇒ 0𝑉 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 2) 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 ⇒ 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) = 0 + 0 = 0 ⇒ 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 3) 𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙, 𝛼 ∈ 𝐹 ⇒ 𝜙(𝛼𝑣) = 𝛼𝜙(𝑣) = 𝛼0 = 0 ⇒ 𝛼𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 (б) 1) 0𝑊 = 𝜙(0𝑣 ) ⇒ 0𝑊 ∈ 𝐼𝑚𝜙 2) 𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝐼𝑚𝜙 ⇒ ∃𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 , такие что 𝑤1 = 𝜙(𝑣1 ), 𝑤2 = 𝜙(𝑣2 ) ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝐼𝑚𝜙 3) 𝑤 ∈ 𝐼𝑚𝜙, 𝛼 ∈ 𝐹 ⇒ ∃𝑣 ∈ 𝑉 : 𝜙(𝑣) = 𝑤 ⇒ 𝛼𝑤 = 𝛼𝜙(𝑣) = 𝜙(𝛼𝑣) ⇒ 𝛼𝑥 ∈ 𝐼𝑚𝜙 C Предложение. (а) 𝜙 инъективно ⇔ 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} (б) 𝜙 сюръективно ⇔ 𝐼𝑚𝜙 = 𝑊 Доказательство. B (б) Просто по определению (а) 𝜙 инъективно ⇒ 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} очевидно 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} ⇒ 𝜙 инъективно Пусть 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 , пусть 𝜙(𝑣1 ) = 𝜙(𝑣2 ). Тогда 0 = 𝜙(𝑣1 ) − 𝜙(𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 − 𝑣2 ) ⇒ 𝑣1 − 𝑣2 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 ⇒ 𝑣1 − 𝑣2 = 0 ⇒ 𝑣1 = 𝑣2 C Следствие. {︃ 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} 𝜙 − изоморфизм ⇔ 𝐼𝑚𝜙 = 𝑊 Предложение. 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение, 𝑈 ⊆ 𝑉 – подпространство, (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – базис 𝑈 ⇒ 𝜙(𝑈 ) =< 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑘 ) >. В частности, 𝑑𝑖𝑚𝜙(𝑈 ) ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑈, 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉 Доказательство. Упражнение. 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 , 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) – базис 𝑊 , 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) Теорема 1. 𝑟𝑘𝐴 = 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 Доказательство. 𝐼𝑚𝜙 =< 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) > – по предложению Координаты вектора 𝜙(𝑒𝑗 ) в базисе 𝑓 записаны в 𝐴(𝑗) ⇒ 𝛼1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = 0 ⇔ 𝛼1 𝐴(1) + · · · + 𝛼𝑛 𝐴(𝑛) = 0 ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘{𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )} = 𝑑𝑖𝑚 < 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) >= 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 C Определение. Число 𝑟𝑘𝐴 = 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 называется рангом линейного отображения 𝜙. Обозначение: 𝑟𝑘𝜙. Следствие. Число 𝑟𝑘𝐴 не зависит от выбора базисов 𝑒 и 𝑓 . Следствие. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 ⇒ 𝑟𝑘𝐴 не меняется при умножении 𝐴 на невырожденную матрицу слева или справа. Доказательство. B Пусть 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 , 𝐷 ∈ 𝑀𝑛 , 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0, 𝑑𝑒𝑡𝐷 ̸= 0. Тогда 𝐴 и 𝐷−1 𝐴𝐶 – это матрицы одного и того же линейного отображения в разных парах базисов ⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘(𝐷−1 𝐴𝐶) C Упражнение. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑝 ⇒ 𝑟𝑘(𝐴𝐵) ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑟𝑘𝐴, 𝑟𝑘𝐵}. Предложение. 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение и (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 такой, что (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – базис 𝐾𝑒𝑟𝜙 ⇒ 𝜙(𝑒𝑘+1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) – базис 𝐼𝑚𝜙 52 Доказательство. B 𝐼𝑚𝜙 =< 𝜙(𝑒1 ) = 0, . . . , 𝜙(𝑒𝑘 ) = 0, 𝜙(𝑒𝑘+1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) >=< 𝜙(𝑒𝑘+1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) >. Покажем, что 𝜙(𝑒𝑘+1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) линейно независимы. Пусть 𝛼𝑘+1 , . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝐹 таковы, что 𝛼𝑘+1 𝜙(𝑒𝑘+1 )+ · · ·+𝛼𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = 0. Тогда 𝜙(𝛼𝑘+1 𝑒𝑘+1 +· · ·+𝛼𝑛 𝑒𝑛 ) = 0 ⇒ 𝛼𝑘+1 𝑒𝑘+1 +· · ·+𝛼𝑛 𝑒𝑛 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 ⇒ ∃ 𝛽1 , . . . , 𝛽𝑘 ∈ 𝐹 , такие что 𝛼𝑘+1 𝑒𝑘+1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 = 𝛽1 𝑒1 + · · · + 𝛽𝑘 𝑒𝑘 . Т.к. (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 , то 𝛽1 = · · · = 𝛽𝑘 = 𝛼𝑘+1 = · · · = 𝛼𝑛 = 0 C. Теорема 2. 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜙 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 Доказательство. B Пусть (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – базис 𝐾𝑒𝑟𝜙. Дополним его векторами 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 до базиса 𝑉 . Тогда 𝜙(𝑒𝑘+1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) – базис 𝐼𝑚𝜙 по предложению ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 = 𝑛 − 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 − 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜙 C. Предложение. 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑚, 𝑟𝑘𝜙 = 𝑟 ⇒ ∃ базис 𝑒 в 𝑉 и базис 𝑓 в 𝑊 такие, что 1 ··· ⎜ 0 ... ⎜ 𝑟 ⎜ ⎜ 0. · ·. · ⎜ .. .. 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 𝑚 0 0 ⎛ 𝑟 1 .. . ... ... ... .. . ... ... ... ··· ··· .. . ··· ··· .. . 𝑛 ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ .. ⎟ .⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ Доказательство. B 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜙 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 − 𝑟𝑘𝜙 = 𝑛 − 𝑟. Пусть (𝑒𝑟+1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝐾𝑒𝑟𝜙, дополним его векторами 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑟 до базиса всего 𝑉 , положим 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ). Положим 𝑓1 = 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝑓𝑟 = 𝜙(𝑒𝑟 ). Тогда (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑟 ) – базис 𝐼𝑚𝜙. Дополним его до базиса 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) всего пространства 𝑊 . Тогда 𝑒 и 𝑓 искомые базисы C. Предложение. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟 ⇒ ∃𝐶 𝐷 𝐴𝐶 = 𝐵, где 𝑟 ⎛ 1 ··· 0 ⎜ 0 ... 0 ⎜ 𝑟 ⎜ ⎜ 0. · ·. · 1. ⎜ .. .. .. 𝐵= ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 𝑚 0 0 0 ∈ 𝑀𝑛 , 𝐷 ∈ 𝑀𝑚 , 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0, 𝑑𝑒𝑡𝐷 ̸= 0, такие что (−1) ... ... ... .. . ... ... ... ··· ··· .. . ··· ··· .. . 𝑛 ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ .. ⎟ .⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ Доказательство. Реализуем 𝐴 как матрицу линейного отображения 𝜙 : 𝐹 𝑛 → 𝐹 𝑚 в какойнибудь паре базисов. Тогда ∃ другая пара базисов, в которой матрица будет 𝐵 (см. предложение), по формуле изменения матрицы линейного отображения при замене базисов имеем 𝐵 = 𝐷(−1) 𝐴𝐶 C. 19 Лекция 8.02.2018 𝑉 – векторное пространство Определение. Линейной функцией (линейной формой, линейным функционалом) на 𝑉 называется всякое линейное отображение 𝛼 : 𝑉 → 𝐹 . Обозначение:𝑉 * := 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝐹 ) – множество всех линейных функций на 𝑉 53 Примеры: ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ ⎟ 1) 𝛼 : 𝐹 𝑛 → 𝐹, ⎝ ... ⎠ → 𝛼1 𝑥1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 , где 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ∈ 𝐹 – фиксированные скаляры 𝑥𝑛 2) 𝐹 (𝑋, R) – векторное пространство всех функций из множества 𝑋 в R, 𝑥0 ∈ 𝑋 ⇒ 𝛼 : 𝐹 (𝑋, R) → R, 𝑓 → 𝑓 (𝑥0 ) ∫︀ 𝑏 3) 𝛼 : 𝐶[𝑎, 𝑏](непрерывные функции на [𝑎, 𝑏]) → R, 𝑓 → 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 4) 𝛼 : 𝑀𝑛 (𝐹 ) → 𝐹, 𝐴 → 𝑡𝑟𝐴 Далее считаем, что 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 < ∞ Из общей теории линейных отображений: 1)𝑉 * – векторное пространство (оно называется пространством, двойственным или сопряженным пространству 𝑉 ) 2) Если 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – фиксированный базис 𝑉 , то имеется изоморфизм 𝑉 * −∼ → 𝑀 𝑎𝑡1×𝑛 (𝐹 ), 𝛼 → (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ), где 𝛼𝑖 = 𝛼(𝑒𝑖 ) – значение 𝛼 на 𝑒𝑖 (коэффициенты линейной функции 𝛼 в базисе 𝑒) ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ Если 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , то 𝛼(𝑥) = (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ) ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 * * Следствие. 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 (⇒ 𝑉 ≃ 𝑉 ) Фиксируем базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) в 𝑉 ∀𝑖{︃ = 1, . . . , 𝑛 рассмотрим линейную функцию 𝜀𝑖 ∈ 𝑉 * , такую что 𝜀𝑖 (𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 (символ Кронекера) 1, 𝑖 = 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 0, 𝑖 ̸= 𝑗 Соответствующая строка в 𝑀 𝑎𝑡1×𝑛 (𝐹 ) есть (︀ 0 ... 𝑖 0 1 0 ... )︀ Линейные функции 𝜀𝑖 , 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 образуют базис в 𝑉 * Определение. ⎛ ⎞ Базис (𝜀1 , . . . , 𝜀𝑛 ) пространства 𝑉 * называется двойственным к базису (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) 𝜀1 ⎜ .. ⎟ Имеем: ⎝ . ⎠ (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) = (𝜀𝑖 (𝑒𝑗 )) = 𝐸 𝜀𝑛 Предложение. Всякий базис 𝑉 * двойствен некоторому базису пространства 𝑉 . Доказательство. B Пусть 𝜀 = (𝜀1 , . . . , 𝜀𝑛 ) – данный базис в 𝑉 * Выберем в 𝑉 произвольный базис 𝑒′ = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) Пусть 𝜀′ = (𝜀′1 , . . . , 𝜀′𝑛 ) – двойственный ему базис в 𝑉 * ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝜀1 𝜀′1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Тогда ⎝ ... ⎠ = 𝐶 · ⎝ ... ⎠ для некоторой 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ), 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0. Положим 𝑒 = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) · 𝐶 −1 . 𝜀 𝜀′𝑛 ⎛ ⎞𝑛 ⎛ ⎞ 𝜀1 𝜀′1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Тогда ⎝ ... ⎠ (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) = 𝐶 · ⎝ ... ⎠ (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) · 𝐶 −1 = 𝐶𝐸𝐶 −1 = 𝐸 C 𝜀𝑛 𝜀′𝑛 Упражнение. Базис 𝑒 на самом деле определен однозначно. 54 Определение. Билинейной формой (или функцией) на 𝑉 называется всякое отображение 𝛽 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐹 , которое билинейно, т.е. линейно по каждому аргументу: 1) 𝛽(𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦) = 𝛽(𝑥1 , 𝑦) + 𝛽(𝑥2 , 𝑦) ∀𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦 ∈ 𝑉 2) 𝛽(𝑥, 𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝛽(𝑥, 𝑦1 ) + 𝛽(𝑥, 𝑦2 ) ∀𝑥, 𝑦1 , 𝑦2 ∈ 𝑉 3) 𝛽(𝜆𝑥, 𝑦) = 𝜆𝛽(𝑥, 𝑦) = 𝛽(𝑥, 𝜆𝑦) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝜆 ∈ 𝐹 По факту: 𝛽( 𝑝 ∑︀ 𝑖=1 𝜆𝑖 𝑣𝑖 , 𝑞 ∑︀ 𝜇𝑗 𝑤 𝑗 ) = 𝑗=1 𝑝 ∑︀ 𝑞 ∑︀ 𝜆𝑖 𝜇𝑗 𝛽(𝑣𝑖 , 𝑤𝑗 ) ∀𝑣𝑖 , 𝑤𝑗 ∈ 𝑉, 𝜆𝑖 , 𝑚𝑗 ∈ 𝐹 𝑖=1 𝑗=1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ 𝑛 Примеры: 1) 𝑉 = 𝐹 , 𝛽(𝑥, 𝑦) := 𝑥1 𝑦1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 , где 𝑥 = ⎝ . ⎠ , 𝑦 = ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 (︂(︂ )︂ (︂ )︂)︂ (︂ )︂ 𝑥1 𝑦 𝑥 𝑦 2) 𝑉 = 𝐹 2 , 𝛽 , 1 = 𝑑𝑒𝑡 1 1 = 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 ∫︀ 𝑏 3) 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝛽(𝑓, 𝑔) := 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 4) 𝑉 = 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (𝐹 ), 𝛽(𝐴, 𝐵) := 𝑡𝑟(𝐴𝑇 · 𝐵) 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 < ∞; 𝛽 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐹 – билинейная форма Фиксируем базис в 𝑉 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) Определение. Матрица 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ), где 𝑏𝑖𝑗 = 𝛽(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) , называется матрицей билинейной формы 𝛽 в базисе 𝑒. Обозначение: 𝐵(𝛽, 𝑒) Пусть 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝑦 = 𝑦1 𝑒1 + · · · + 𝑦𝑛 𝑒𝑛 , 𝐵 = 𝐵(𝛽, 𝑒) ⎛ ⎞ 𝑦1 𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑛 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ⎜ .. ⎟ 𝛽(𝑥, 𝑦) = 𝛽( 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , 𝑦𝑗 𝑒𝑗 ) = 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝛽(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝑥𝑖 𝑏𝑖𝑗 𝑦𝑗 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝ . ⎠ – (*) форму𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 𝑦𝑛 ла вычисления значения билинейной формы на паре векторов Предложение. 1) Всякая билинейная форма однозначно определяется своей матрицей в базисе 𝑒 2) ∀𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 )∃! билинейная форма 𝛽, такая что 𝐵(𝛽, 𝑒) = 𝐵. Доказательство. B 1) следует из (*) 2) единственность из 1) существование: Определим 𝛽 по формуле (*), получится билинейная форма. C Из предыдущих примеров. 1) 𝑒 – стандартный базис ⇒ 𝐵(𝛽, 𝑒) = 𝐸 (︂ 2) 𝑒 – стандартный базис ⇒ 𝐵(𝛽, 𝑒) = 0 1 −1 0 )︂ Пусть 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) и 𝑒′ = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – два базиса 𝑉 , 𝑒′ = 𝑒 · 𝐶 𝛽 : 𝑉 × 𝑉 → 𝐹 – билинейная форма на 𝑉 𝐵 = 𝐵(𝛽, 𝑒), 𝐵 ′ = 𝐵(𝛽, 𝑒′ ). Предложение. 𝐵 ′ = 𝐶 𝑇 𝐵𝐶 55 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑥′1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Доказательство. 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + . . . 𝑥𝑛 𝑒𝑛 = 𝑥′1 𝑒′1 + · · · + 𝑥′𝑛 𝑒′𝑛 , ⎝ ... ⎠ = 𝐶 ⎝ ... ⎠ 𝑥𝑛 𝑥′𝑛 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑦1 𝑦1′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑦 = 𝑦1 𝑒1 + . . . 𝑦𝑛 𝑒𝑛 = 𝑦1′ 𝑒′1 + · · · + 𝑦𝑛′ 𝑒′𝑛 , ⎝ ... ⎠ = 𝐶 ⎝ ... ⎠ 𝑦𝑛 𝑦′ ⎛ ⎞ ⎛𝑛 ⎞ ⎛ ⎞ 𝑦1 𝑦1′ 𝑦1′ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝛽(𝑥,𝑦) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝ ... ⎠ = (𝑥′1 , . . . , 𝑥′𝑛 )𝐶 𝑇 𝐵𝐶 ⎝ ... ⎠, а также 𝛽(𝑥,𝑦) = (𝑥′1 , . . . , 𝑥′𝑛 )𝐵 ′ ⎝ ... ⎠ ⇒ 𝑦𝑛 𝑦𝑛′ 𝑦𝑛′ ⎛ 𝐶 𝑇 𝐵𝐶 = 𝐵 ′ , т.к. ∀𝑃 ∈ 𝑀𝑛 𝑝𝑖𝑗 = (︀ 0 ... 𝑖 0 1 0 ... ⎜... ⎜ ⎜ )︀ ⎜ 0 𝑃 ⎜ ⎜ 1 ⎜ 0 ⎜ ⎝... ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 𝑗⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Следствие. Число 𝑟𝑘𝐵(𝛽, 𝑒) не зависит от выбора базиса. Определение. Число 𝑟𝑘𝐵(𝛽, 𝑒) называется рангом билинейной формы 𝛽. Определение. Билинейная форма называется симметричной, если 𝛽(𝑥, 𝑦) = 𝛽(𝑦, 𝑥) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 . Пусть 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – фиксированный базис 𝑉 𝐵 = 𝐵(𝛽, 𝑒) Предложение. 𝛽 симметрична ⇔ 𝐵 симметрична (т.е. 𝐵 𝑇 = 𝐵). Доказательство. B 𝛽 симметрична ⇒ 𝐵 симметрична: 𝑏𝑖𝑗 = 𝛽(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛽(𝑒𝑗 , 𝑒𝑖 ) = 𝑏𝑗𝑖 ⇒ 𝐵 𝑇 = 𝐵. ⎛ ⎞ 𝑦1 𝛽 симметрична ⇐ 𝐵 симметрична: 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 +· · ·+𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝑦 = 𝑦1 𝑒1 +· · ·+𝑦𝑛 𝑒𝑛 , 𝛽(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝. . .⎠ 𝑦𝑛 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤𝑇 𝑦1 𝑥1 𝑥1 𝑇 ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ . . . = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 )𝐵 . . .⎠ = 𝛽(𝑦, 𝑥) C = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 . . . = (𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 )𝐵 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 20 Лекция 15.02.2018 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 , 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 < ∞ Определение. Пусть 𝛽 : 𝑉 ×𝑉 → 𝐹 – билинейная форма. Квадратичной формой, ассоциируемой с билинейной формой 𝛽, называется отображение 𝑄𝛽 : 𝑉 → 𝐹 , такое что 𝑄𝛽 (𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑥). Пусть 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 𝑥 = 𝑥1 𝑒 1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒 𝑛 ∈ 𝑉 ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑛 ∑︀ 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ⎜ ⎟ 𝑄𝛽 (𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑥) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝ ... ⎠, где 𝐵 = 𝐵(𝛽, 𝑒). Имеем 𝑄𝛽 (𝑥) = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑥𝑛 56 ∑︀ (𝑏𝑖𝑗 + 𝑏𝑗𝑖 )𝑥𝑖 𝑥𝑗 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 Примеры. 1) 𝑉 = 𝐹 𝑛 , 𝑥 = 𝑥1 𝑦1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑄𝛽 (𝑥) = 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑛 2) 𝑉 (︂ = 𝐹 𝑛 ,)︂𝛽(𝑥, 𝑦) = 2𝑥1 𝑦2 0 2 𝐵= 0 0 𝑄𝛽 (𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 3) 𝑉 (︂ = 𝐹 𝑛 ,)︂𝛽(𝑥, 𝑦) = 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 0 1 𝐵= 1 0 𝑄𝛽 (𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 Теорема. Пусть в поле 𝐹 выполнено условие 1 + 1 ̸= 0 (т.е. 2 ̸= 0). Тогда отображение 𝛽 → 𝑄𝛽 является биекцией между множеством симметричных билинейных форм на 𝑉 и множеством квадратичных форм на 𝑉 . Доказательство. B Сюръективность. Пусть 𝑄 : 𝑉 → 𝐹 – квадратичная форма, 𝑄 = 𝑄𝛽 для некоторой билинейной формы 𝛽. Положим 𝜎(𝑥, 𝑦) = 12 (𝛽(𝑥,𝑦) + 𝛽(𝑦,𝑥)). Тогда 𝜎(𝑥,𝑦) – это симметричная билинейная форма, причем 𝑄𝜎 (𝑥) = 𝜎(𝑥, 𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑥) = 𝑄(𝑥). Инъективность. Пусть 𝑄 : 𝑉 → 𝐹 – квадратичная форма, 𝑄 = 𝑄𝛽 для симметричной билинейной формы. 𝑄(𝑥 + 𝑦) = 𝛽(𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) = 𝛽(𝑥,𝑥) + 𝛽(𝑥,𝑦) + 𝛽(𝑦,𝑥) + 𝛽(𝑦,𝑦) = 𝑄(𝑥) + 𝑄(𝑦) + 2𝛽(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝛽(𝑥,𝑦) = 1 [𝑄(𝑥 + 𝑦) − 𝑄(𝑥) − 𝑄(𝑦)] ⇒ 𝛽 однозначно определяется по 𝑄 C. 2 Замечание. 1) Билинейная форма 𝜎(𝑥,𝑦) = 12 (𝛽(𝑥,𝑦) + 𝛽(𝑦,𝑥)) называется симметризацией билинейной формы 𝛽. Если 𝐵 и 𝑆 – матрицы билинейной формы 𝛽 и 𝜎 в каком-либо базисе, то 𝑆 = 21 (𝐵 + 𝐵 𝑇 ). 2) Симметричная билинейная форма 𝛽(𝑥,𝑦) = 21 [𝑄(𝑥 + 𝑦) − 𝑄(𝑥) − 𝑄(𝑦)] называется поляризацией квадратичной формы 𝑄. Далее считаем, что 1 + 1 ̸= 0 в поле 𝐹 . Определение. Матрицей квадратичной формы 𝑄 в базисе 𝑒 называется матрица соответствующей симметричной билинейной формы. Обозначение: 𝐵(𝑄, 𝑒). Пример. 𝑄(𝑥 𝑥21 + 𝑥1 𝑥2 + 𝑥(︂22 (︂ 1 , 𝑥2 ) = )︂ )︂ (︂ )︂ 1 1/2 1 1/2 𝑥1 Матрица: ⇒ (𝑥1 , 𝑥2 ) 1/2 1 1/2 1 𝑥2 Определение. Говорят, что квадратичная форма 𝑄 имеет в базисе 𝑒 канонический вид, если 𝐵(𝑄, 𝑒) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑏1 , . . . , 𝑏𝑛 ), т.е. в координатах 𝑄(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑏1 𝑥21 + · · · + 𝑏𝑛 𝑥2𝑛 . Теорема 1. ∀ квадратичной формы 𝑄 : 𝑉 → 𝐹 ∃ базис, в котором 𝑄 имеет канонический вид. Доказательство (метод Лагранжа). B Индукция по 𝑛: 𝑛 = 1 ⇒ 𝑄(𝑥1 ) = 𝑏𝑥21 – уже канонический вид. Пусть утверждение доказано для < 𝑛, докажем для 𝑛. В исходном базисе: 𝑄(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑛 ∑︀ ∑︀ 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 . 𝑖=1 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 Случай 0: 𝑏𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖,𝑗 – доказывать нечего 57 Случай 1: ∃𝑖 : 𝑏𝑖𝑖 ̸= 0. Перенумеровав переменные, считаем 𝑏11 ̸= 0. 𝑄(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑏11 𝑥21 + 2𝑏12 𝑥1 𝑥2 + · · · + 2𝑏𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 + 𝑄1 (𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑏11 (𝑥21 + 2𝑥1 ( 𝑏𝑏12 𝑥2 + · · · + 𝑏𝑏1𝑛 𝑥𝑛 )) + 11 11 𝑏1𝑛 𝑏12 𝑏12 𝑏1𝑛 𝑏12 2 2 𝑄1 (𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑏11 (𝑥1 + 𝑏11 𝑥2 + · · · + 𝑏11 𝑥𝑛 ) − 𝑏11 ( 𝑏11 𝑥2 + · · · + 𝑏11 + · · · + 𝑏11 𝑥𝑛 ) + 𝑄1 (𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) Делаем замену координат ⎧ ⎧ 𝑏1𝑛 ⎪ ⎪ 𝑥1 = 𝑥′1 − 𝑏𝑏12 𝑥 + · · · + 𝑥 𝑥′ − · · · − 𝑏𝑏1𝑛 𝑥′ 𝑥′1 = 𝑥1 + 𝑏𝑏12 2 𝑛 ⎪ ⎪ 𝑏11 11 11 2 11 𝑛 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑥 ′ = 𝑥 2 ⎨𝑥 2 = 𝑥 ′ 2 2 ⇔ . . . . ⎪. ⎪. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝑥 = 𝑥 ′ ⎩𝑥 ′ = 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 В новых координатах имеем 𝑄(𝑥′1 , . . . , 𝑥′𝑛 ) = 𝑏11 𝑥21 + 𝑄2 (𝑥′2 , . . . , 𝑥′𝑛 ). По предложению индукции 𝑄2 (𝑥′2 , . . . , 𝑥′𝑛 ) можно привести в какноническому виду. Случай 2: 𝑏𝑖𝑖 = 0 ∀ 𝑖, но 𝑖 ̸= 𝑗, такие что ∃𝑖, 𝑗, такие что 𝑏𝑖𝑗 ̸= 0. Перенумеровав переменные, будем считать 𝑏12 ̸= 0. Делаем замену ⎧ 𝑥1 = 𝑥′1 + 𝑥′2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ′ ⎪ ⎪ ⎨𝑥 2 = 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥3 = 𝑥′3 ⎪ ⎪ ⎪... ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ′ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 ⇒ В новых координатах 𝑄(𝑥′1 , . . . , 𝑥′𝑛 ) = 𝑏12 (𝑥′1 )2 − 𝑏12 𝑥′2 2 + 𝑄′1 (𝑥′1 , . . . , 𝑥′𝑛 ), в 𝑄1 нет квадратов ⇒ попадаем в случай 1. C Замечание. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, а также сам этот вид определены неоднозначно. (︂ )︂ (︂ )︂ 4 0 1 0 ′ ′ 2 2 Пример. 𝑒 = (𝑒1 , 𝑒2 ), 𝐵(𝑄, 𝑒) = , т.е. 𝑄(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑒 = (2𝑒1 , 2𝑒2 ), 𝐵(𝑄, 𝑒 ) = 0 4 0 1 ′2 ′2 ′ ′ 𝑄(𝑥1 , 𝑥2 ) = 4𝑥1 + 4𝑥2 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 . Рассмотрим векторы 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 , такие что ⎧ 𝑒′1 = 𝑒1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪𝑒′2 ∈ 𝑒2 + < 𝑒1 > ⎨ (*) 𝑒′3 ∈ 𝑒3 + < 𝑒1 , 𝑒2 > ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪.. ⎪ ⎪ ⎩ ′ 𝑒𝑛 ∈ 𝑒𝑛 + < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛−1 > ⎛ ⎞ 1 * * ... * ⎜0 1 * . . . * ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 . . . * ⎟ ′ ′ ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 имеем (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 )𝐶𝑘 , где 𝐶𝑘 = ⎜ ⎟ ∈ 𝑀𝑘 (𝐹 ) ⎜ .. .. .. .. .. ⎟ ⎝. . . . .⎠ 0 0 0 ... 1 𝑑𝑒𝑡𝐶𝑘 ̸= 0 ⇒ 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑘 – линейно независимые ⇒< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 >=< 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑘 > В частности, (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – базис 𝑉 𝐶𝑘 – это левый верхний 𝑘 × 𝑘 блок в 𝐶𝑛 𝑄 : 𝑉 → 𝐹 – квадратичная форма 𝐵 = 𝐵(𝑄, 𝑒) 58 𝐵𝑘 = 𝐵𝑘 (𝑄, 𝑒) – левый верхний блок 𝑘 × 𝑘 в 𝐵 𝑘-ый угловой минор матрицы 𝐵: 𝛿𝑘 = 𝛿𝑘 (𝑄, 𝑒) := 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘 𝛿0 := 1 21 Лекция 16.02.2018 Лемма. Пусть 𝑒′ = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – базис 𝑉 вида (*). Пусть 𝛿𝑘′ = 𝛿𝑘 (𝑄, 𝑒′ ), 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Тогда 𝛿𝑘 = 𝛿𝑘′ ∀𝑘. Доказательство. B ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 < 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑘 >=< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 >. Имеем 𝐵𝑘′ = 𝐶𝑘𝑇 𝐵𝑘 𝐶𝑘 ⇒ 𝛿𝑘′ = 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘′ = 𝑑𝑒𝑡(𝐶𝑘𝑇 )𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘 𝑑𝑒𝑡𝐶𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘 = 𝛿𝑘 C. Теорема 2 (метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду). Предположим, что 𝛿𝑘 ̸= 0 ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛. Тогда ∃! базис 𝑒′ в 𝑉 , такой что 1) 𝑒′ имеет вид (*) 𝛿𝑛 2) в базисе 𝑒′ квадратичная форма 𝑄 имеет канонический вид 𝑄(𝑥) = 𝛿1 𝑥′1 2 + 𝛿𝛿12 𝑥′2 2 + · · · + 𝛿𝑛−1 𝑥′𝑛 2 𝛿𝑛 (т.е. 𝐵(𝑄, 𝑒′ ) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝛿1 , 𝛿𝛿21 , . . . , 𝛿𝑛−1 )). Доказательство. B Индукция по 𝑛: 𝑛 = 1 – верно Пусть доказано для < 𝑛, докажем для 𝑛. Пусть векторы 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 уже построены (В базисе (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 , 𝑒′𝑛 )) 𝛿1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ .. ⎜. ⎜ ⎝0 ⎛ * 𝛽2 𝛽1 .. . * 𝛽3 𝛽2 .. . * ... ... ... .. . .. . ... ... 𝛽𝑛 𝛽𝑛−1 * ⎞ * *⎟ ⎟ *⎟ ⎟ .. ⎟ .⎟ ⎟ *⎠ * Ищем 𝑒′𝑛 в виде 𝑒′𝑛 ∈ 𝑒𝑛 + < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛−1 >= 𝑒𝑛 + < 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 >, т.е. 𝑒′𝑛 = 𝑒𝑛 + 𝜆1 𝑒′1 + 𝜆2 𝑒′2 + · · · + 𝜆𝑛−1 𝑒′𝑛−1 Пусть 𝛽 – симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной ворме 𝑄 ∀𝑘 = 1, . . . , 𝑛 − 1 имеем 𝑘 𝛽(𝑒′𝑛 , 𝑒′𝑘 ) = 𝛽(𝑒𝑛 , 𝑒′𝑘 ) + 𝜆1 𝛽(𝑒′1 , 𝑒′𝑘 ) + · · · + 𝜆𝑛−1 𝛽(𝑒′𝑛−1 , 𝑒′𝑘 ) = 𝛽(𝑒𝑛 , 𝑒′𝑘 ) + 𝜆𝑘 𝛽(𝑒′𝑘 , 𝑒′𝑘 ) = 𝛽(𝑒𝑛 , 𝑒′𝑘 ) + 𝜆𝑘 𝛽𝛽𝑘−1 Тогда 𝛽(𝑒′𝑛 , 𝑒′𝑘 ) = 0 ⇔ 𝜆𝑘 = −𝛽(𝑒𝑛 , 𝑒′𝑘 ) · 𝛿𝑘−1 . 𝛿𝑘 ⎛ 𝛿1 ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ′ 𝐵(𝑄, 𝑒 ) = ⎜ ⎜ .. ⎜. ⎜ ⎝0 Теперь в базисе 𝑒′ = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ). ⎞ 0 0 ... 0 0 𝛽2 0 ... 0 0⎟ ⎟ 𝛽1 ⎟ 0 𝛽𝛽32 . . . 0 0⎟ .. .. .. .. .. ⎟ ⎟ . . . . .⎟ ⎟ 0⎠ 0 0 . . . 𝛽𝛽𝑛−1 𝑛−2 0 0 ... ? 𝑛−1 По лемме имеем 𝛿𝑛 = 𝛿𝑛′ ⇒ 𝛿𝑛 = 𝛿𝑛′ = 𝛿1 𝛿𝛿21 . . . 𝛿𝛿𝑛−2 ·? = 𝛿𝑛−1 ·? ⇒? = Единственность следует из явных формул для 𝑒′𝑘 , 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 C 𝛿𝑛 . 𝛿𝑛−1 Замечание. При 𝛽𝑘 ̸= 0 ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 метод Лагранжа и метод Якоби дают один и тот же результат. 59 Определение. Говорят, что квадратичная форма 𝑄 имеет в базисе 𝑒 нормальный вид, если 𝑄 имеет в 𝑒 канонический вид 𝑄(𝑥) = 𝑏1 𝑥21 + · · · + 𝑏𝑛 𝑥2𝑛 , где 𝑏𝑖 ∈ {−1, 0, 1}. Следствие из теоремы 1 (метод Лагранжа). Если 𝐹 = R, то ∀ квадратичной формы 𝑄 ∃ базис, в котором 𝑄 имеет нормальный вид. Доказательство. Теорема 1 ⇒ ∃ базис 𝑒, в котором 𝑄(𝑥) = 𝑏1 𝑥21 + · · · + 𝑏𝑛 𝑥2𝑛 . Сделаем замену {︃ 𝑥 √ 𝑖 , если 𝑏𝑖 ̸= 0 |𝑏𝑖 | 𝑥𝑖 = ′ 𝑥𝑖 , если 𝑏𝑖 = 0 ⎧ ⎪ ⎨1, 𝑏𝑖 > 0 2 2 Тогда в новых координатах 𝑄(𝑥) = 𝜀1 𝑥′1 + · · · + 𝜀𝑛 𝑥′𝑛 , где 𝜀𝑖 = 𝑠𝑔𝑛(𝑏𝑖 ) = 0, 𝑏𝑖 = 0 C ⎪ ⎩ −1, 𝑏𝑖 < 0 Замечание. Аналогичные рассуждения показывают, что для 𝐹 = C ∀ квадратичной формы 𝑄∃ базис, в котором 𝑄 имеет вид 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑘 , 𝑘 = 𝑟𝑘𝑄. Пусть квадратичная форма 𝑄 имеет в базисе 𝑒 нормальный вид 𝑄(𝑥) = 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑠 − 𝑥2𝑠+1 − · · · − 𝑥2𝑠+𝑡 , 𝑠 – число "+"в нормальном виде, 𝑡 – число минусов в нормальном виде Теорема (закон инерции). Числа 𝑖+ = 𝑠 и 𝑖− = 𝑡 не зависят от базиса, в котором 𝑄 имеет нормальный вид. Доказательство. B Пусть базисы 𝑒 и 𝑒′ таковы, что в 𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑠 − 𝑥2𝑠+1 − · · · − 𝑥2𝑠+𝑡 в 𝑒′ 𝑄(𝑥) = 𝑥′1 2 + · · · + 𝑥′𝑠′ 2 − 𝑥′𝑠′ +1 2 − · · · − 𝑥′𝑠′ +𝑡′ 2 Имеем 𝑠 + 𝑡 = 𝑟𝑘𝑄 = 𝑠′ + 𝑡′ ⇒ достаточно доказать, что 𝑠 = 𝑠′ . Предположим, 𝑠 ̸= 𝑠′ . Без ограничения общности можно определить, что 𝑠 > 𝑠′ . Рассмотрим подпространства 𝐿1 =< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑠 > и 𝐿2 =< 𝑒′𝑠′ +1 , . . . , 𝑒′𝑛 >, 𝑑𝑖𝑚𝐿1 = 𝑠, 𝑑𝑖𝑚𝐿2 = 𝑛−𝑠′ 𝐿1 + 𝐿2 ⊆ 𝑉 ⇒ 𝑑𝑖𝑚(𝐿1 + 𝐿2 ) ≤ 𝑛. Тогда 𝑑𝑖𝑚(𝐿1 ∩ 𝐿2 ) = 𝑑𝑖𝑚𝐿1 + 𝑑𝑖𝑚𝐿2 − 𝑑𝑖𝑚(𝐿1 + 𝐿2 ) ≥ 𝑠 + 𝑛 − 𝑠′ = 𝑠 − 𝑠′ > 0 ⇒ ∃𝑣 ∈ 𝐿1 ∩ 𝐿2 ∖ {0} Т.к. 𝑣 ∈ 𝐿1 , то 𝑄(𝑣) > 0 т.к. 𝑣 ∈ 𝐿2 , то 𝑄(𝑣) ≤ 0 противоречие C. Определение. 𝑖+ называется положительным индексом инерции квадратичной формы 𝑄, 𝑖− называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы 𝑄. Следствие метода Якоби. Пусть 𝑒 – базис, 𝛿𝑘 ̸= 0 ∀ 𝑘 ⇒ число 𝑖− равно количество перемен знака в последовательности 1, 𝛿1 , 𝛿2 , . . . , 𝛿𝑛 . Доказательство. B Метод Якоби ⇒ канонический вид 𝑄(𝑥) = 𝛿𝑘 < 0 ⇔ 𝛿𝑘 и 𝛿𝑘−1 имеют разные знаки C. 𝛿𝑘−1 Определение. Квадратичная форма называется 60 𝛿1 2 𝛿𝑛 𝑥 + 𝛿𝛿21 𝑥22 + · · · + 𝛿𝑛−1 𝑥2𝑛 𝛿0 1 (𝛿0 = 1) Термин Положительно определенной Отрицательно определенной Неотрицательно определенной Неположительно определенной Неопределенной Обозначение Условие 𝑄>0 𝑄(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ̸= 0 𝑄<0 𝑄(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 ̸= 0 𝑄≥0 𝑄(𝑥) ≥ 0 ∀ 𝑥 𝑄≤0 𝑄(𝑥) ≤ 0 ∀ 𝑥 ∃𝑥 : 𝑄(𝑥) > 0, ∃𝑦 : 𝑄(𝑦) < 0 Нормальный вид 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑛 −𝑥21 − · · · − 𝑥2𝑛 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑛 , 𝑘 ≤ 𝑛 −𝑥21 − · · · − 𝑥2𝑛 , 𝑘 ≤ 𝑛 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑠 − 𝑥2𝑠+1 − · · · − 𝑥2𝑠+𝑡 , 𝑠, 𝑡 ≥ 1 Индексы инерции 𝑖+ = 𝑛, 𝑖− = 0 𝑖+ = 0, 𝑖− = 𝑛 𝑖+ = 𝑘, 𝑖− = 0 𝑖+ = 0, 𝑖− = 𝑘 𝑖+ = 𝑠 ≥ 1, 𝑖− = 𝑡 ≥ 1 Применение. 𝑓 : 𝑅𝑛 → 𝑅, 𝑥0 ∈ 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑥0 + 𝑦, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 – "малое приращение" Предположим, что в окрестности точки 𝑥0 𝑓 представима в виде 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑎1 𝑦1 + · · · + ∑︀ 2𝑏𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑗 + 𝑂(|𝑦|2 ), где 𝑎1 𝑦1 + · · · + 𝑎𝑛 𝑦𝑛 = 𝑙(𝑦) – линейная форма, а 𝑎𝑛 𝑦𝑛 + 𝑏1 𝑦12 + · · · + 𝑏𝑛 𝑦𝑛2 + ∑︀ 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 𝑏1 𝑦12 + · · · + 𝑏𝑛 𝑦𝑛2 + 2𝑏𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑗 = 𝑄(𝑦) – квадратичная форма. 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 Теорема. 1) Если 𝑓 имеет в точке 𝑥0 экстремум, то 𝑙(𝑦) = 0 2) Пусть 𝑙(𝑦) = 0. Тогда если 𝑄(𝑦) > 0, то 𝑓 имеет локальный минимум в точке 𝑥0 если 𝑄(𝑦) < 0, то 𝑓 имеет локальный максимум в точке 𝑥0 если 𝑄(𝑦) неопределенная, то экстремума нет 22 Лекция 22.02.2017 𝑉 – векторное пространство над R, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 < ∞ 𝑄 : 𝑉 → R – квадратичная форма Фиксированный базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) в 𝑉 𝐵 = 𝐵(𝑄, 𝑒) 𝐵𝑘 – левый верхний 𝑘 × 𝑘-блок в 𝐵 𝛿𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘 – 𝑘-ый угловой минор матрицы 𝐵 Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности). 𝑄 > 0 ⇔ 𝛿𝑘 > 0 ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 61 Доказательство. B (⇐) Пусть 𝛿𝑘 > 0 ∀ 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 𝛿𝑛 Метод Якоби ⇒ ∃ базис, в котором 𝑄 записывается в виде 𝛿1 𝑥21 + 𝛿𝛿12 𝑥22 + · · · + 𝛿𝑛−1 𝑥2𝑛 ⇒ 𝑄 > 0. (⇒)𝑄 > 0 ⇒ ∃𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (R), 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0, такая что 𝐶 𝑇 𝐵𝐶 = 𝐸 ⇒ 𝑑𝑒𝑡(𝐶 𝑇 )𝑑𝑒𝑡𝐵𝑑𝑒𝑡𝐶 = 1 ⇒ 𝛿𝑛 = 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 > 0 ⇒ 𝛿𝑛 > 0 ∀𝑘 = 1, . . . , 𝑛 − 1 ограничение квадратичной формы 𝑄 на подпространство (𝑑𝑒𝑡𝐶)2 < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 > тоже положительно определено, матрица этого ограничения в базисе (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) есть 𝐵𝑘 . Тогда по предыдущему рассуждению получаем 𝛿𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑘 > 0 C {︃ 𝛿𝑘 < 0 при 𝑘 𝑚𝑜𝑑 2 = 1 Следствие. 𝑄 < 0 ⇔ 𝛿𝑘 > 0 при 𝑘 𝑚𝑜𝑑 2 = 0 Доказательство. B 𝑄 < 0 ⇔ −𝑄 > 0 дальше критерий Сильвестра C 22.1 Евклидовы пространства Определение. Евклидово пространство – это векторное пространство над R, на котором задана симметричная положительно определенная (⇔ (𝑥, 𝑥) > 0) билинейная форма (·, ·). Билинейная форма (·, ·) называется скалярным произведением. Примеры. 1) 𝑅𝑛 со скалярным произведением (𝑥, 𝑦) = 𝑥1 𝑦1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 (𝑥, 𝑥) = 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑛 > 0 2) 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) со скалярным произведением (𝐴, 𝐵) := 𝑡𝑟(𝐴𝑇 𝐵) 𝑚 ∑︀ 𝑛 ∑︀ (𝐴, 𝐴) = 𝑡𝑟(𝐴𝑇 𝐴) = 𝑎𝑖𝑗 2 > 0 𝑖=1 𝑗=1 3) 𝐶[0, 1]∫︀ со скалярным произведением 1 (𝑓, 𝑔) = 0 𝑓 (𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ∫︀ 1 (𝑓, 𝑓 ) = 0 𝑓 (𝑡)2 𝑑𝑡 > 0 Пусть 𝐸 – евклидово пространство Определение. Длина вектора 𝑣 ∈ 𝐸 это число |𝑣| = |𝑣| = 0 ⇔ 𝑣 = 0. √︀ (𝑣, 𝑣). Заметим, что |𝑣| ≥ 0, причем Замечание. В примере 2) длина матрицы 𝐴 называется ее нормой Фробениуса. Предложение (неравенство Коши-Буняковского). ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 верно |(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑥||𝑦|, причем равенство ⇔ 𝑥, 𝑦 пропорциональны. Доказательство. B 1) Пусть 𝑥, 𝑦 пропорциональны. Без ограничения общности: 𝑦 = 𝜆𝑥. Тогда |(𝑥, 𝜆𝑥)| = |𝜆(𝑥, 𝑥)| = |𝜆||(𝑥, 𝑥)| = |𝜆||𝑥|2 = |𝑥||𝑦| 2) 𝑥, 𝑦 не пропорциональны ⇒ 𝑥, 𝑦 образуют базис⃒ в < 𝑥, 𝑦 >. Тогда, рассмотрев (·, ·)|<𝑥,𝑦> и ⃒ ⃒(𝑥,𝑥) (𝑥,𝑦)⃒ ⃒ > 0 ⇒ (𝑥,𝑥)(𝑦,𝑦) − (𝑥,𝑦)2 > 0 ⇒ |(𝑥, 𝑦)|2 < применив критерий Сильвестра, получим ⃒⃒ (𝑦,𝑥) (𝑦,𝑦)⃒ |𝑥|2 |𝑦|2 C Следствие. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥𝑦 ̸= 0, имеем −1 ≤ (𝑥,𝑦) |𝑥||𝑦| 62 ≤1 Определение. Угол между ненулевыми векторами 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 – это такой 𝛼 ∈ [0; 𝜋], что cos 𝛼 = (𝑥,𝑦) . |𝑥||𝑦| 𝑣1 , . . . , 𝑣 𝑘 ∈ 𝐸 Определение. Матрица ⎞ Грама системы векторов (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) – это матрица 𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) = ⎛ (𝑣1 , 𝑣1 ) (𝑣1 , 𝑣2 ) . . . (𝑣1 , 𝑣𝑘 ) ⎜(𝑣2 , 𝑣1 ) (𝑣2 , 𝑣2 ) . . . (𝑣2 , 𝑣𝑘 )⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟. ⎝ . . . . ⎠ (𝑣𝑘 , 𝑣1 ) (𝑣𝑘 , 𝑣2 ) . . . (𝑣𝑘 , 𝑣𝑘 ) Предложение. 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) ≥ 0, причем 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) = 0 ⇔ 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 линейно зависимы. Доказательство. B 1) 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 линейно независимые. Тогда 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 – базис в < 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 >. Рассмотрим (·, ·)|<𝑣1 ,...,𝑣𝑘 > и, применяя критерий Сильвестра, получаем 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) > 0. 2) 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 линейно зависимы. Пусть 𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 = 0, где 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 ∈ R𝑘 ∖ {0}. ∀ 𝑗 = 1, . . . , 𝑘 имеем (𝛼1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 , 𝑣𝑗 ) = 0 ⇒ 𝛼1 (𝑣1 , 𝑣𝑗 ) + · · · + 𝛼𝑘 (𝑣𝑘 , 𝑣𝑗 ) = 0 ⇒ 𝛼1 𝐺(1) + · · · + 𝛼𝑘 𝐺(𝑘) = 0, где 𝐺 = 𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐺 = 0 C. 𝐸 – евклидово пространство Определение. Векторы 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 называются ортогональными, если (𝑥, 𝑦) = 0. 𝑆 ⊆ 𝐸 – подмножество Определение. Ортогональным дополнением множества 𝑆 называется 𝑆 ⊥ = { 𝑥 ∈ 𝐸 | (𝑥, 𝑦) = 0 ∀ 𝑦 ∈ 𝑆}. Упражнение. 1) 𝑆 ⊥ – подпространство в 𝐸 2) 𝑆 ⊥ =< 𝑆 >⊥ Пусть 𝑆 – подпространство в 𝐸, 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑛 Предложение. a) 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⊥ = 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑆 б) 𝐸 = 𝑆 ⊕ 𝑆 ⊥ в) (𝑆 ⊥ )⊥ = 𝑆 Доказательство. B (а) Пусть < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 > – базис в 𝑆. Дополним его до базиса (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) всего пространства 𝐸. 𝑥 ∈ 𝐸 ⇒ 𝑥 = 𝑥1 𝑒 1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒 𝑛 ⊥ 𝑥 ⎧∈ 𝑆 ⇔ (𝑥, 𝑒𝑖 ) = 0 ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑘 ⇔ (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) – решение ОСЛУ ⎪ (𝑒1 , 𝑒1 )𝑥1 + · · · + (𝑒𝑛 , 𝑒1 )𝑥𝑛 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨(𝑒1 , 𝑒2 )𝑥1 + · · · + (𝑒𝑛 , 𝑒2 )𝑥𝑛 = 0 .. ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(𝑒 , 𝑒 )𝑥 + · · · + (𝑒 , 𝑒 )𝑥 = 0 1 𝑘 1 𝑛 𝑘 𝑛 Матрица этой системы есть 𝐺 = ((𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ))𝑖=1,...,𝑘;𝑗=1,...,𝑛 У этой матрицы левый 𝑘 ×𝑘 блок есть 𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) > 0 ⇒ 𝑟𝑘𝐺 = 𝑘 ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⊥ = 𝑛 − 𝑘 = 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑆. (б) 𝑑𝑖𝑚𝑆 + 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⊥ = 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝐸 𝑣 ∈ 𝑆 ∩ 𝑆 ⊥ ⇒ (𝑣, 𝑣) = 0 ⇒ 𝑣 = 0 ⇒ 𝑆 ∩ 𝑆 ⊥ = {0} ⇒ 𝐸 = 𝑆 ⊕ 𝑆 ⊥ (в) 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊥ )⊥ из определения Но 𝑑𝑖𝑚(𝑆 ⊥ )⊥ = 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⊥ = 𝑑𝑖𝑚𝑆 ⇒ 𝑆 = (𝑆 ⊥ )⊥ C. Из (б) следует, что ∀𝑣 ∈ 𝐸 ∃!𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ⊥ , такие что 𝑣 = 𝑥 + 𝑦. 63 Определение. 𝑥 называется ортогональной проекцией вектора 𝑣 на подпростанство 𝑆. Обозначение: 𝑥 = 𝑝𝑟𝑆 𝑣 𝑦 называется ортогональной составляющей вектора 𝑣 относительно 𝑆. Обозначение: 𝑥 = 𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑣 𝑣 = 𝑝𝑟𝑆 𝑣 + 𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑣 Пусть 𝐸 = R𝑛 , со стандартным скалярным произведением 𝑈 ⊆ R𝑛 – подпространство (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) – базис 𝑈 Образуем матрицу 𝐴 = (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑘 (R) Теорема. 𝑣 ∈ 𝐸 ⇔ 𝑝𝑟𝑈 𝑣 = 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑣 Доказательство. B Корректность: 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) линейно независимые ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 𝐴 ̸= 0 ⇒ ∃(𝐴𝑇 𝐴) Пусть 𝑣 ∈ 𝐸, 𝑣 = 𝑥 + 𝑦, где 𝑥 = 𝑝𝑟𝑈 𝑣, ⎛𝑦 = ⎞𝑜𝑟𝑡𝑈 𝑣 𝛼1 ⎜𝛼2 ⎟ ⎜ ⎟ 𝑥 ∈ 𝑈 ⇒ 𝑥 ∈< 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 >⇒ 𝑥 = 𝐴 ⎜ .. ⎟, где 𝛼𝑖 ∈ R ⎝.⎠ 𝛼𝑘 ⊥ 𝑇 𝑦∈𝑈 ⇒𝐴 𝑦=0 ⎛ ⎞ 𝛼1 ⎜𝛼2 ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑣 = 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 (𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑥 + 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑦 = 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝐴 ⎜ .. ⎟ = ⎝.⎠ 𝛼𝑘 ⎛ ⎞ 𝛼1 ⎜𝛼2 ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴 ⎜ .. ⎟ = 𝑝𝑟𝑈 𝑣 C ⎝.⎠ 𝛼𝑘 23 Лекция 1.03.2018 𝐸 – евклидово пространство Определение. Система ненулевых векторов (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) пространства 𝐸 называется: – ортогональной, если (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) = 0 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗 (т.е. 𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) диагональна) – ортонормированной, если (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) = 0 ∀𝑖 ̸= 𝑗 и (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 ) = 1 ∀ 𝑖 (|𝑣𝑖 | = 1) (т.е. 𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) = 𝐸) Замечание. Всякая ортогональная система векторов линейно независима (т.к. 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 ) = |𝑣1 |2 · · · · · |𝑣𝑘 |2 ̸= 0). В частности, всякая ортонормированная система векторов линейно независима. Определение. Базис (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) пространства 𝐸 называется ортогональным (соответственно ортонормированным), если система векторов (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ортогональна (соответсвенно ортонормированна). Пример.⎛𝐸⎞= R𝑛 со стандартным скалярным произведением. Тогда стандартный базис 𝑒1 = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , 𝑒 = , . . . , 𝑒 = ⎜ .. ⎟ 2 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ является ортонормированным. 𝑛 ⎝.⎠ ⎝.⎠ ⎝.⎠ 1 Теорема. Во всяком (конечномерном) евклидовом пространстве есть ортонормированный базис. 64 Доказательство. B Следует из теоремы о нормальном виде для квадратичной формы (𝑥, 𝑥) C. Следствие. Всякую ортогональную (ортонормированную) систему векторов 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса в 𝐸. Доказательство. B Достаточно взять ортогональный (ортонормированный) базис в подпространстве < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 >⊥ C (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – ортогональный базис (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – другой базис (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶 – матрица перехода Предложение. Базис (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) ортонормированный ⇔ 𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐸 Доказательство. B Имеем 𝐺𝑇 𝐺(𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐶 = 𝐶 𝑇 𝐶 (𝐺(𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) = 𝐸) (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) ортонормированный ⇔ 𝐺(𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = 𝐸 C Определение. Матрица 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (R) называется ортогональной, если 𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐸. Замечание. 𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐸 ⇔ 𝐶 𝑇 = 𝐶 −1 ⇔ 𝐶𝐶 𝑇 = 𝐸 Свойства: 1) (𝐶 (𝑖) , 𝐶 (𝑗) ) = 𝛿𝑖𝑗 (т.е. столбцы 𝐶 – это ортонормированная система в R𝑛 ) 2) (𝐶(𝑖) , 𝐶(𝑗) ) = 𝛿𝑖𝑗 (т.е. строки 𝐶 – это ортонормированная система в R𝑛 ) В частности, |𝑐𝑖𝑗 | ≤ 1 3) (𝑑𝑒𝑡𝐶)2 = 1 ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝐶 = ±1 Пример. 𝑛=2 (︂ )︂ cos 𝜙 − sin 𝜙 , 𝑑𝑒𝑡 = 1 sin 𝜙 cos 𝜙 (︂ )︂ cos 𝜙 sin 𝜙 , 𝑑𝑒𝑡 = −1 sin 𝜙 − cos 𝜙 𝑆 ⊆ 𝐸 – подпространство, (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – ортогональный базис в 𝑆 Предложение. 𝑣 ∈ 𝐸 ⇒ 𝑝𝑟𝑆 𝑣 = 𝑘 ∑︀ 𝑖=1 𝑘 ∑︀ (𝑣,𝑒𝑖 ) 𝑒. (𝑒𝑖 ,𝑒𝑖 ) 𝑖 Если (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) ортонормированный, то 𝑝𝑟𝑆 𝑣 = (𝑣, 𝑒𝑖 )𝑒𝑖 𝑖=1 Доказательство. B 𝑣 = 𝑝𝑟𝑆 𝑣 + 𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑣 ⇒ ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑘 (𝑣, 𝑒𝑖 ) = (𝑝𝑟𝑆 𝑣, 𝑒𝑖 ) 𝑘 𝑛 ∑︀ ∑︀ 𝑖) C. 𝑝𝑟𝑆 𝑣 = 𝜆𝑗 𝑒𝑗 ⇒ (𝑣, 𝑒𝑖 ) = (𝑝𝑟𝑆 𝑣, 𝑒𝑖 ) = 𝜆𝑗 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 ) = 𝜆𝑖 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 ) ⇒ 𝜆𝑖 = (𝑒(𝑣,𝑒 𝑖 ,𝑒𝑖 ) 𝑗=1 𝑗=1 (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – линейно независимая система векторов Метод Якоби ⇒ ∃! ортогональная система (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑘 ), такая что 65 ⎧ 𝑓1 = 𝑒1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑓2 ∈ 𝑒2 + < 𝑒1 > (*) 𝑓3 ∈ 𝑒3 + < 𝑒1 , 𝑒2 > ⎪ ⎪ ⎪... ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑓𝑛 ∈ 𝑒𝑘 + < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘−1 > Предложение. ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑘 1) 𝑓𝑖 = 𝑜𝑟𝑡<𝑒1 ,...,𝑒𝑖−1 > 𝑒𝑖 𝑖−1 ∑︀ (𝑒𝑖 ,𝑓𝑗 ) 2) 𝑓𝑖 = 𝑒𝑖 − 𝑓 (**) (𝑓𝑗 ,𝑓𝑗 ) 𝑗 𝑗=1 3) 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒1 , . . . , 𝑒𝑖 ) = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑓1 , . . . , 𝑓𝑖 ) Доказательство. B Знаем, что < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑖 >=< 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑖 > 𝑓𝑖 ∈ 𝑒𝑖 + < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑖−1 >= 𝑒𝑖 + < 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑖−1 >⇒ 𝑓𝑖 = 𝑒𝑖 + ℎ𝑖 , где ℎ𝑖 ∈< 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑖−1 >⇒ 𝑒𝑖 = 𝑓𝑖 − ℎ𝑖 . Т.к. 𝑓𝑖 ∈< 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑖−1 >⊥ , то 𝑓𝑖 = 𝑜𝑟𝑡<𝑓1 ,...,𝑓𝑖−1 > 𝑒𝑖 = 𝑜𝑟𝑡<𝑒1 ,...,𝑒𝑖−1 > 𝑒𝑖 . 𝑖−1 ∑︀ (𝑒𝑖 ,𝑓𝑗 ) 𝑓. 2) 𝑓𝑖 = 𝑒𝑖 − 𝑝𝑟<𝑒1 ,...,𝑒𝑖−1 > 𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 − 𝑝𝑟<𝑓1 ,...,𝑓𝑖−1 > 𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 − (𝑓𝑗 ,𝑓𝑗 ) 𝑗 𝑗=1 3) Было C Процесс простроения ортогонального базиса 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑘 по формулам (**) называется процессом (или методом) ортогонализации Грама-Шмидта. Упражнение. Модифицировать метод ортогонализации Грама-Шмидта для случая линейно зависимой системы векторов. Предложение (теорема Пифагора). 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, (𝑥, 𝑦) = 0 ⇒ |𝑥 + 𝑦|2 = |𝑥|2 + |𝑦|2 . Доказательство. B |𝑥 + 𝑦|2 = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) = (𝑥,𝑥) + (𝑥,𝑦) + (𝑦,𝑥) + (𝑦,𝑦) = |𝑥|2 + |𝑦|2 C. Определение. Расстоянием между векторами 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 называется число 𝜌(𝑥, 𝑦) := |𝑥 − 𝑦|. Предложение (неравенство треугольника). ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐸𝜌(𝑎, 𝑏) + 𝜌(𝑏, 𝑐) ≥ 𝜌(𝑎, 𝑐). Доказательство. B Положим 𝑥 = 𝑎 − 𝑏, 𝑦 = 𝑏 − 𝑐, тогда 𝑎 − 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ надо доказать |𝑥| + |𝑦| ≥ |𝑥 + 𝑦| |𝑥 + 𝑦|2 = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) = (𝑥,𝑥) + 2(𝑥,𝑦) + (𝑦,𝑦) ≤ |𝑥|2 + 2|𝑥||𝑦| + |𝑦|2 ≤ (|𝑥| + |𝑦|)2 C 𝑃, 𝑄 ⊆ 𝐸 – два непустых подмножества Определение. Расстояние между 𝑃 и 𝑄 – это 𝜌(𝑃, 𝑄) := 𝑖𝑛𝑓 𝜌(𝑥, 𝑦), 𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ 𝑄 Пусть 𝑣 ∈ 𝐸 и 𝑆 ⊆ 𝐸 – подпространство Теорема. 𝜌(𝑣, 𝑆) = |𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑣|, причем 𝑝𝑟𝑆 𝑣 есть единственный ближайший к 𝑣 вектор из 𝑆. Доказательство. B Пусть 𝑧 = 𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑣, 𝑢 = 𝑝𝑟𝑆 𝑣. Тогда 𝑣 = 𝑧 + 𝑦. Пусть 𝑦 ′ ∈ 𝑆, 𝑦 ′ ̸= 0. Тогда 𝜌(𝑣, 𝑦 + 𝑦 ′ )2 = |𝑣 − 𝑦 − 𝑦 ′ |2 = |𝑧 − 𝑦 ′ |2 = (теорема Пифагора) = |𝑧|2 + |𝑦 ′ |2 > |𝑧|2 = |𝑣 − 𝑦|2 = 𝜌(𝑣, 𝑦)2 C. 66 24 Лекция 15.03.2018 𝐸 – евклидово пространство, 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑛 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑆 ⊆ 𝐸 – подпространство 24.1 Метод наименьших квадратов (*)𝐴𝑥 = 𝑏, 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 , 𝑥 ∈ R𝑛 – столбец неизвестных, 𝑏 ∈ R𝑚 – столбец правых частей 𝑥 – решение СЛУ (*) ⇔ 𝐴𝑥 = 𝑏 ⇔ |𝐴𝑥 − 𝑏| = 0 ⇔ 𝜌(𝐴𝑥, 𝑏) = 0 Определение. Если СЛУ(*) несовместна, то 𝑥0 ∈ R𝑛 называется ее псевдорешением, если 𝜌(𝐴𝑥0 , 𝑏) = 𝑚𝑖𝑛(𝜌(𝐴𝑥, 𝑏)) (иначе говоря, 𝑥0 – решение задачи оптимизации 𝜌(𝐴𝑥, 𝑏) → 𝑚𝑖𝑛) Пусть 𝑆 ⊆ R𝑚 – подпространство, натянутое на столбцы матрицы 𝐴, т.е. 𝑆 =< 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) >, 𝑐 := 𝑝𝑟𝑆 𝑏. Предложение. 1) 𝑥0 – псевдорешение для (*) ⇔ 𝐴𝑥0 = 𝑐 2) Если столбцы 𝐴(1) , . . . , 𝐴(𝑛) линейно независимы, то 𝑥0 можно найти по формуле 𝑥0 = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑏 Доказательство. B 1) 𝑥 ∈ R𝑛 ⇒ 𝐴𝑥 = 𝑥1 𝐴(1) + · · · + 𝑥𝑛 𝐴(𝑛) ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ 𝑥 = ⎝ . ⎠ ⇒ 𝐴𝑥 = 𝑆 𝑥𝑛 𝑚𝑖𝑛(𝜌(𝐴𝑥, 𝑏)) = 𝜌(𝑆, 𝑏) По предыдущей теореме получаем, что 𝑥0 – псведорешение ⇔ 𝐴𝑥0 = 𝑐 2) т.к. столбцы 𝐴 линейно независимы, то 𝑥0 единственный. Знаем, что 𝑐 = 𝐴(𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑏. Но тогда 𝑥0 = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑏 является решением СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑐 C Пример. {︃ 𝑥=0 СЛУ 𝑥=1 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 ,𝐴= , 𝑏= 1 1 𝑥0 = (𝐴𝑇 𝐴)−1 𝐴𝑇 𝑏 = 1 2 𝑆 ⊆ 𝐸 - подпространство, 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 – базис 𝑆 Теорема. 𝜌(𝑥, 𝑆)2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒1 ,...,𝑒𝑘 ,𝑥) 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒1 ,...,𝑒𝑘 ) Доказательство. B 1) 𝑥 ∈ 𝑆 ⇒ 𝜌(𝑥, 𝑆) = 0, 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑥) = 0, т.к. 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑥 линейно независимы 2) 𝑥 ∈ / 𝑆. Пусть 𝑧 = 𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑥, тогда 𝜌(𝑥, 𝑠)2 = |𝑧|2 . Применив процесс ортогонализации к системе 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑥, получим ортогональную систему 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑘 , 𝑧. 1 ,...,𝑒𝑘 ,𝑥) 1 ,...,𝑓𝑘 ,𝑧) При ортогонализации определитель матрицы Грама не меняется ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑓 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑒1 ,...,𝑒𝑘 ) 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑓1 ,...,𝑓𝑘 ) |𝑓1 |2 |𝑓2 |2 ...|𝑓𝑘 |2 |𝑧|2 |𝑓1 |2 |𝑓2 |2 ...|𝑓𝑘 |2 = |𝑧|2 C 67 Определение. 𝑘-мерный параллелепипед, натянутый на векторы 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ∈ 𝐸 – это множество 𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) = {𝑥1 𝑎1 + · · · + 𝑥𝑘 𝑎𝑘 | 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 1}. Примеры. 1) 𝑘 = 1 отрезок 2) 𝑘 = 2 параллелограм 3) 𝑘 = 3 параллелепипед 𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) – 𝑘-мерный параллелепипед Основание: 𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 ) Высота: ℎ = 𝑜𝑟𝑡<𝑎1 ,...,𝑎𝑘−1 > 𝑎𝑘 Определение. 𝑘-мерный объем 𝑘-мерного параллелепипеда 𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) – это величина 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )), определяемая индуктивно по 𝑘. 𝑘 = 1 ⇒ 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 )) := |𝑎1 | 𝑘 > 1 ⇒ 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )) := 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 )) · |ℎ| Теорема. (𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )))2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) Доказательство. B Индукция по 𝑘. 1) 𝑘 = 1 : |𝑎1 |2 = (𝑎1 , 𝑎1 ) – верно 2) 𝑘 > 1 (𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )))2 = (𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 )))2 · |ℎ|2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 ) · |ℎ|2 = (*) Если 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 линейно зависимы, то 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 ) = 0 ⇒ (*) = 0. Тогда 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 тоже линейно зависимы ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) = 0. 1 ,...,𝑎𝑘−1 ,𝑎𝑘 ⇒ (*) = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) C Если 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘−1 линейно независимы, то |ℎ|2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 ,...,𝑎𝑘−1 Следствие. Объем 𝑘-мерного параллелепипеда не зависит от выбора его основания. Пример. Прямоугольный параллелепипед: 𝑎𝑖 ⊥𝑎𝑗 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗 (𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )))2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 ) = |𝑎1 |2 |𝑎2 |2 . . . |𝑎𝑘 |2 ⇒ 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑘 )) = |𝑎1 ||𝑎2 | . . . |𝑎𝑘 | (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – ортогональный базис в 𝐸 𝑎1 , . . . , 𝑎 𝑛 ∈ 𝐸 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐴, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (R) Теорема. 𝑣𝑜𝑙𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) = |𝑑𝑒𝑡𝐴| Доказательство. B (𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 )))2 = 𝑑𝑒𝑡𝐺(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇 𝐴) = (𝑑𝑒𝑡𝐴)2 C 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) и 𝑒′ = (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – два базиса в 𝐸 𝑒′ = 𝑒 · 𝐶, 𝑑𝑒𝑡𝑐 ̸= 0 Определение. Базисы 𝑒 и 𝑒′ называются одинаково ориентированными, если 𝑑𝑒𝑡𝐶 > 0. Предложение. 1) Отношение одинаковой ориентированности является отношением эквивалентности на множестве всех базисов в 𝐸 2) Имеется ровно 2 класса эквивалентности для этого отношения Доказательство: упражнение. 68 Определение. Говорят, что в 𝐸 задана ориентация, если все базисы одного класса объявлены положительно ориентированными, а все базисы второго класса объявлены отрицательно ориентированными. Базовый пример ориентации в R3 : – положительно ориентированы "правые тройки векторов" – отрицательно ориентированы "левые тройки векторов" Фиксируем ориентацию в 𝐸 (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – положительно ориентированный базис в 𝐸 𝑎1 , . . . , 𝑎 𝑛 ∈ 𝐸 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐴, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (R) Определение. Ориентированным объемом параллелепипеда 𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) называется величина 𝑉 𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 )) = 𝑑𝑒𝑡𝐴. Информация об объеме + ориентации векторов 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 . Следствие. 1) 𝑉 𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 )) > 0 ⇔ (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) – положительно ориентированный базис 𝐸 𝑉 𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 )) < 0 ⇔ (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) – отрицательно ориентированный базис 𝐸 2) 𝑉 𝑜𝑙(𝑃 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 )) линеен по каждому аргументу (полилинеен) 3) Кососимметричность (при перестановке двух аргументов меняется знак) 25 Лекция 22.03.2018 25.1 Элементы аналитической геометрии в R3 𝐸 = R3 со стандартным скалярным произведением, фиксируем ориентацию Определение. Векторным произведением двух векторов 𝑎, 𝑏 ∈ R3 называется вектор 𝑐 ∈ R3 , удовлетворяющий следующим условиям: 1) 𝑐 ⊥ < 𝑎, 𝑏 > 2) |𝑐| = 𝑣𝑜𝑙(𝑃 (𝑎, 𝑏)) 3) 𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≥ 0 Обозначение: [𝑎, 𝑏] или 𝑎 × 𝑏 Замечание. Определение корректно, т.е. ∀ 𝑎, 𝑏 ∃! 𝑐, удовлетворяющий 1)-3) 𝑎, 𝑏 пропорциональны ⇒ |𝑐| = 0 из 2) ⇒ 𝑐 = 0 𝑎, 𝑏 не пропорциональны ⇒ 1) задает прямую, 2) задает |𝑐|, 3) выбирает один из двух оставшихся вариантов Критерий коллинеарности: 𝑎, 𝑏 коллинеарны (= пропорциональны, = линейно зависимы) ⇔ [𝑎, 𝑏] = 0 Пример. (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ) – положительно ориентированный ортонормированный базис [𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ] 𝑒1 𝑒1 𝑒2 −𝑒3 𝑎3 𝑒2 𝑒2 𝑒3 −𝑒1 𝑒3 −𝑒2 𝑒1 Определение. Смешанным произведением трех векторов 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R3 называется число (𝑎, 𝑏, 𝑐) := (𝑎, [𝑏, 𝑐]). 69 Теорема. (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) Доказательство. B 1) 𝑏, 𝑐 пропорциональны ⇒ обе части равны 0 2) 𝑏, 𝑐 не пропорциональны. Положим 𝑑 = [𝑏, 𝑐].{︃ |𝑜𝑟𝑡<𝑏,𝑐> 𝑎| · |𝑑|, если 𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≥ 0 (𝑎, [𝑏, 𝑐]) = (𝑎, 𝑑) = (𝑝𝑟<𝑑> 𝑎, 𝑑) = (𝑜𝑟𝑡<𝑏,𝑐> 𝑎, 𝑑) = −|𝑜𝑟𝑡<𝑏,𝑐> 𝑎| · |𝑑|, если 𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) ≤ 0 [𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑉 𝑜𝑙(𝑝𝑟<𝑏,𝑐> 𝑎 + 𝑜𝑟𝑡<𝑏,𝑐> 𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑉 𝑜𝑙(𝑜𝑟𝑡<𝑏> 𝑎, 𝑏, 𝑐)] C = 𝑉 𝑜𝑙(𝑎, 𝑏, 𝑐) Следствие (свойства смешанного произведения). 1) (𝑎, 𝑏, 𝑐) > 0 ⇔ 𝑎, 𝑏, 𝑐 образуют положительно ориентированный базис (𝑎, 𝑏, 𝑐) < 0 ⇔ 𝑎, 𝑏, 𝑐 образуют отрицательно ориентированный базис Критерий компланарности: 𝑎, 𝑏, 𝑐 компланарны (=линейно зависимы) ⇔ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0 2) (𝑎, 𝑏, 𝑐) линейно по каждому аргументу 3) (𝑎, 𝑏, 𝑐) кососимметрично 4) Если 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 – положительно ориентированный ортонормированный базис 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 𝑐 = 𝑐1 𝑒1 + 𝑐2 𝑒⃒2 + 𝑐3 𝑒3 ⃒ ⃒ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⃒ ⃒ ⃒ ⇒ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = ⃒⃒ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ⃒⃒ ⃒ 𝑐1 𝑐2 𝑐3 ⃒ Доказательство. Следует из свойств функции 𝑉 𝑜𝑙. Следствие. (𝑎, [𝑏, 𝑐]) = ([𝑎, 𝑏], 𝑐) Доказательство. B (𝑎, [𝑏, 𝑐]) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑐, 𝑎, 𝑏) = (𝑐, [𝑎, 𝑏]) = ([𝑎, 𝑏], 𝑐) C Предложение. 1) [𝑎, 𝑏] = −[𝑏, 𝑎] (антикоммутативность) 2) [·, ·] линейно по каждому аргументу [𝜆1 𝑎1 + 𝜆2 𝑎2 , 𝑏] = 𝜆1 [𝑎1 , 𝑏] + 𝜆2 [𝑎2 , 𝑏] [𝑎, 𝜇1 𝑏1 + 𝜇2 𝑏2 ] = 𝜇1 [𝑎, 𝑏1 ] + 𝜇2 [𝑎, 𝑏2 ] Доказательство. B 1) из определения 2) 𝑢 = [𝜆1 𝑎1 + 𝜆2 𝑎2 , 𝑏] 𝑣 = 𝜆1 [𝑎1 , 𝑏] + 𝜆2 [𝑎2 , 𝑏] ∀𝑥 ∈ R3 : (𝑥, 𝑢) = (𝑥, 𝜆1 𝑎1 +𝜆2 𝑎2 , 𝑏) = 𝜆1 (𝑎, 𝑎1 , 𝑏)+𝜆2 (𝑥, 𝑎2 , 𝑏) = 𝜆1 (𝑥, [𝑎1 , 𝑏])+𝜆2 (𝑥, [𝑎2 , 𝑏]) = (𝑥, 𝑣) ⇒ 𝑢 = 𝑣 (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 – ортонормированный базис ⇒ ∀ 𝑦 ∈ R3 : 𝑦 = (𝑦1 , 𝑒1 )𝑒1 + (𝑦2 , 𝑒2 )𝑒2 + (𝑦3 , 𝑒3 )𝑒3 ) Аналогично линейность по второму аргументу C. Предложение (двойное векторное произведение). [𝑎, [𝑏, 𝑐]] = (𝑎, 𝑐)𝑏 − (𝑎, 𝑏)𝑐 (= (𝑏(𝑎, 𝑐) − 𝑐(𝑎, 𝑏) БАЦ-ЦАБ) Доказательство. B 1) 𝑏, 𝑐 пропорциональны, пусть 𝑐 = 𝜆𝑏 ⇒ [𝑎, [𝑏, 𝑐]] = 0 (𝑎, 𝑐)𝑏 − (𝑎, 𝑏)𝑐 = (𝑎, 𝜆𝑏)𝑏 − (𝑎, 𝑏)𝜆𝑏 = 0 2) 𝑏, 𝑐 не пропорциональны Выберем положительно ориентированный ортонормированный базис в R3 так, что 𝑒1 ∈< 𝑏 > , 𝑒2 ∈< 𝑏, 𝑐 >. Тогда 𝑏 = 𝛽𝑒1 , 𝑐 = 𝛾1 𝑒1 + 𝛾2 𝑒2 , 𝑎 = 𝛼1 𝑒1 + 𝛼2 𝑒2 + 𝛼3 𝑒3 [𝑏, 𝑐] = 𝛽𝛾2 𝑒3 [𝑎, [𝑏, 𝑐]] = [𝛼1 𝑒1 + 𝛼2 𝑒2 + 𝛼3 𝑒3 , 𝛽𝛾2 𝑒3 ] = −𝛼1 𝛽𝛾2 𝑒2 + 𝛼2 𝛽𝛾2 𝑒1 (𝑎, 𝑐)𝑏 − (𝑎, 𝑏)𝑐 = (𝛼1 𝛾1 + 𝛼2 𝛾2 )𝛽𝑒1 − 𝛼1 𝛽(𝛾1 𝑒1 + 𝛾2 𝑒2 ) = 𝛼2 𝛾2 𝛽𝑒1 − 𝛼1 𝛽𝛾2 𝑒2 C 70 Следствие (тождество Якоби). [𝑎, [𝑏, 𝑐]] + [𝑏, [𝑎, 𝑐]] + [𝑐, [𝑎, 𝑏]] = 0 Предложение. Пусть 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 – положительно ориентированный ортонормированный базис в R3 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2⃒ + 𝑏3 𝑒3 ⃒ ⃒ 𝑒1 𝑒2 𝑒3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎2 𝑎3 ⃒ ⃒ 𝑎1 𝑎3 ⃒ ⃒ 𝑒 −⃒ ⃒𝑒 − Тогда [𝑎, 𝑏] = ⃒⃒𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⃒⃒ = (𝑎2 𝑏3 −𝑎3 𝑏2 )𝑒1 +(𝑎3 𝑏1 −𝑎1 𝑏3 )𝑒2 +(𝑎1 𝑏2 −𝑎2 𝑏1 )𝑒3 = ⃒⃒ 𝑏2 𝑏3 ⃒ 1 ⃒ 𝑏1 𝑏3 ⃒ 2 ⃒ 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎1 𝑎2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑏1 𝑏2 ⃒ 𝑒 3 Доказательство. Воспользоваться билинейностью и таблицей значений [𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ]. Определение. Линейным многообразием в R𝑛 называется множество решений совместной СЛУ 𝐴𝑥 = 𝑏, ∅ ̸= 𝐿 ⊆ R𝑛 Было: Лемма. 𝐿 = 𝑥0 + 𝑆, где 𝑥0 – частное решение (= какое-то одно), 𝑆 – пространство решений ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0 Предложение. Множество 𝐿 ⊆ R𝑛 является линейным многообразием ⇔ 𝐿 = 𝑣0 + 𝑆, где 𝑆 ⊆ R𝑛 – подпространство Доказательство. B (⇒) следует из леммы (⇐) Знаем, что 𝑆 – множество решений некоторой ОСЛУ 𝐴𝑥 = 0. Тогда 𝐿 – множество решений СЛУ 𝐴𝑥 = 𝐴𝑣0 – из леммы C {︃ 𝑆1 = 𝑆2 (= 𝑆) Предложение. Пусть 𝐿1 = 𝑣1 + 𝑆1 и 𝐿2 = 𝑣2 + 𝑆2 . Тогда 𝐿1 = 𝐿2 ⇔ 𝑣1 − 𝑣2 ∈ 𝑆 Доказательство. B (⇐) очевидно (⇒)𝑣1 = 𝑣1 + 0 ∈ 𝐿1 и 𝑣1 + 0 ∈ 𝑣2 + 𝑆2 ⇒ 𝑣1 − 𝑣2 ∈ 𝑆2 𝑣 ∈ 𝑆1 ⇒ 𝑣1 + 𝑣 ∈ 𝑣2 + 𝑆2 ⇒ 𝑣 ∈ (𝑣2 − 𝑣1 ) + 𝑆2 ⊆ 𝑆2 ⇒ 𝑆1 ⊆ 𝑆2 Аналогично 𝑆2 ⊆ 𝑆1 ⇒ 𝑆1 = 𝑆2 (= 𝑆) ⇒ 𝑣1 − 𝑣2 ∈ 𝑆 C 𝐿 = 𝑣0 + 𝑆 – линейное многообразие ⇒ 𝑆 однозначно определяет пространство в R𝑛 Определение. 𝑆 называется направляющим подпространством линейного многообразия 𝐿. Определение. Размерностью линейного многообразия называется размерность его направляющего подпространства. Линейные многообразия размерности 0 – это точки Линейные многообразия размерности 1 называются прямые Линейные многообразия размерности 2 называются плоскостями Линейные многообразия размерности k называются k-мерными плоскостями 26 Лекция 5.04.2017 R𝑛 ⊇ 𝐿 ̸= ∅ 𝐿 – линейное многообразие ⇔ 𝐿 = 𝑣0 + 𝑆, где 𝑣0 ∈ 𝐿, 𝑆 ⊆ R𝑛 – подпространство 71 𝐿 – линейное многообразие 𝑆 – направляющее подпространство Фиксируем 𝑣0 ∈ 𝐿 и (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – базис в 𝑆 Определение. Набор (𝑣0 ; 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) назывался репЕром линейного многообразия 𝐿. Всякий репер (𝑣0 ; 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) задает на 𝐿 афинную систему кординат ∀ 𝑣 ∈ 𝐿∃! 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 ∈ R, такие что 𝑣 = 𝑣0 + 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑒𝑘 Числа 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 называются координатами точки 𝑣 в данном репере. Теорема. a) Через любые 𝑘 + 1 точек в R𝑛 проходит плоскость размерности ≤ 𝑘 б) Если эти точки не содержатся в плоскости размерности < 𝑘, то тогда через них проходит единственная плоскость размерности 𝑘 Доказательство. B Пусть 𝑣0 , 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 – заданные точки. a) Пусть 𝑃 = 𝑣0 + < 𝑣1 − 𝑣0 , . . . , 𝑣𝑘 − 𝑣0 >, тогда 𝑃 ∋ 𝑣0 , 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 и 𝑑𝑖𝑚𝑃 ≤ 𝑘 б) Из условия следует, что 𝑑𝑖𝑚𝑃 = 𝑘 ⇒ 𝑣1 − 𝑣0 , . . . , 𝑣𝑘 − 𝑣0 линейно независимы. Пусть 𝑃 ′ = 𝑣0 + 𝑆 – другая плоскость размерности 𝑘, содержащая 𝑣0 , 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑘 Тогда 𝑣1 − 𝑣0 ,′ 𝑑𝑜𝑡𝑠, 𝑣𝑘 − 𝑣0 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑆 =< 𝑣1 − 𝑣0 , . . . , 𝑣𝑘 − 𝑣0 >⇒ 𝑃 ′ = 𝑃 C Следствие. 1) Через любые две различные точки в R𝑛 проходит ровно одна прямая 2) Через любые три точки в R𝑛 , не лежащих на одной прямой, проходит ровно одна плоскость 26.1 Взаимное расположение двух линейных многообразий в R𝑛 𝐿1 , 𝐿2 ∈ R𝑛 – два линейных многообразия 𝑆1 , 𝑆2 – направляющие подпространства 𝐿1 ∩ 𝐿2 ̸= ∅ 1) 𝐿1 , 𝐿2 совпадают 2) 𝐿1 ⊇ 𝐿2 (⇔ 𝑆1 ⊇ 𝑆2 ) или 𝐿1 ⊆ 𝐿2 (⇔ 𝑆1 ⊆ 𝑆2 ) 3) Остальное 𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅ 1) 𝐿1 , 𝐿2 параллельны ⇔ 𝑆1 ⊆ 𝑆2 или 𝑆1 ⊇ 𝑆2 2) 𝐿1 , 𝐿2 скрещиваются ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 = {0} 3) Остальное 26.2 Линейные многообразия в R2 Нетривиальный случай: 𝑑𝑖𝑚 = 1 (прямые) Способы задания: 1) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶, где (𝐴, 𝐵) ̸= (0, 0), (𝐴, 𝐵) – нормаль 2) 𝑣0 ∈ 𝑙, 𝑎 – направляющий вектор 𝑣 ∈ 𝑙 ⇔ [𝑣 − 𝑣0 , 𝑎] = 0 Если 𝑣0 ∈ 𝑙, 𝑛 – нормаль, то 𝑣 ∈ 𝑙 ⇔ (𝑣 − 𝑣0 , 𝑛) = 0 3) Параметрическое уравнение 𝑣0 ∈ 𝑙, 𝑎 – направляющий вектор 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, 𝑡 ∈ R {︃ 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑎1 𝑡 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑎2 𝑡 72 проходящей через 2 различные точки 𝑣0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) и 𝑣1 = (𝑥1 , 𝑦1 ) ⃒Уравнение прямой, ⃒ ⃒ 𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦 0 ⃒ 𝑦−𝑦0 𝑥−𝑥0 ⃒ ⃒ ⃒𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0 ⃒ = 0 ⇔ 𝑥1 −𝑥0 = 𝑦1 −𝑦0 Если 𝑥1 = 𝑥0 , то уравнение есть 𝑥 = 𝑥0 𝑦1 = 𝑦0 ⇒ 𝑦 = 𝑦0 26.3 Линейные многообразия в R3 Плоскости в R3 (𝑑𝑖𝑚 = 2) Способы задания: 1) 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷, (𝐴, 𝐵, 𝐶) ̸= (0, 0, 0), (𝐴, 𝐵, 𝐶) – нормаль 2) Векторное уравнение (𝑣 − 𝑣0 , 𝑛) = 0, 𝑣0 – точка, 𝑛 – нормаль 3) Параметрическое уравнение 𝑣0 – точка, 𝑎, 𝑏 – базис в направляющем подпространстве 𝑣 = 𝑣0 + 𝑡𝑎 + 𝑠𝑏, ⎧𝑡, 𝑠 ∈ R ⎪ ⎨𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑏1 𝑠 В координатах: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎2 𝑡 + 𝑏2 𝑠 ⎪ ⎩ 𝑧 = 𝑧0 + 𝑎3 𝑡 + 𝑏3 𝑠 𝑥−𝑥0 Если 𝑎1 = 0 ⇒ 𝑎1 не пишут, вместо этого 𝑥 = 𝑥0 Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки 𝑣0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), 𝑣1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и 𝑣2 = (𝑥2 ,⃒𝑦2 , 𝑧2 ) ⃒ ⃒ 𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0 ⃒ = 0 ⃒ ⃒ ⃒𝑥2 − 𝑥0 𝑦2 − 𝑦0 𝑧2 − 𝑧0 ⃒ Прямые в R3 (𝑑𝑖𝑚 = 1) Способы задания: {︃ (︂ )︂ 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 𝐷1 𝐴1 𝐵1 𝐶1 1) ⇒ 𝑟𝑘 =2 𝐴2 𝐵2 𝐶2 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 = 𝐷2 2) Векторное уравнение: [𝑣 − 𝑣0 , 𝑎] = 0, 𝑣0 – точка, 𝑎 – направляющий вектор 3) Параметрическое уравнение 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, 𝑡 ∈ R, 𝑣0 – точка, 𝑎 – направляющий вектор ⎧ ⎪ ⎨𝑥 = 𝑥 0 + 𝑎1 𝑡 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑎2 𝑡 ⎪ ⎩ 𝑧 = 𝑧0 + 𝑎3 𝑡 Уравнение прямой, проходящей через 2 различные точки в R3 𝑣0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) и 𝑣1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑥−𝑥0 = 𝑦𝑦−𝑦 = 𝑧𝑧−𝑧 𝑥1 −𝑥0 1 −𝑦0 1 −𝑧0 26.4 Взаимное расположение двух линейных многообразий в R3 1) Две плоскости (𝑛1 , 𝑛2 – нормали плоскостей): (1) совпадают ([𝑛1 , 𝑛2 ] = 0) (2) параллельны ([𝑛1 , 𝑛2 ] = 0) (3) пересекаются по прямой 2) Две прямые(𝑎1 , 𝑎2 – направляющие векторы, 𝑣1 , 𝑣2 – точки): 73 (1) (2) (3) (4) совпадают ([𝑎1 , 𝑎2 ] = 0) + (𝑙1 , 𝑙2 лежат в одной плоскости ⇔ (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑣2 − 𝑣1 )) параллельны ([𝑎1 , 𝑎2 ] = 0) + (𝑙1 , 𝑙2 лежат в одной плоскости ⇔ (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑣2 − 𝑣1 )) пересекаются (𝑙1 , 𝑙2 лежат в одной плоскости ⇔ (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑣2 − 𝑣1 )) скрещиваются 3) Прямая и плоскость 𝑙 – прямая 𝑃 – плоскость (1) 𝑙 ⊆ 𝑃 (2) 𝑙 || 𝑃 (3) 𝑙 ∩ 𝑃 – точка 4) Три попарно различных плоскости в R3 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃𝑖 ̸= 𝑃𝑗 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗 𝑛𝑖 – нормаль к 𝑃𝑖 (1) Все параллельны (2) Две параллельны, третья их пересекает (3) 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 пересекаются по общей прямой (4) Прямые пересечения параллельны (5) Пересекаются в одной точке 27 27.1 Лекция 12.04.2018 Метрические задачи в R3 Расстояние от точки 𝑣 до прямой 𝑙 = {𝑣0 + 𝑎𝑡} 0 ,𝑎]| 𝜌(𝑣, 𝑙) = |𝑜𝑟𝑡<𝑎> (𝑣 − 𝑣0 )| = |[𝑣−𝑣 |𝑎| Расстояние от точки 𝑣 до плоскости 𝑃 c нормалью 𝑛 и точкой 𝑣0 , 𝑆 – направляющее пространство для 𝑃 0 ,𝑛)| 0 ,𝑛) 𝑛| = |(𝑣−𝑣 𝜌(𝑣, 𝑃 ) = |𝑜𝑟𝑡𝑆 (𝑣 − 𝑣0 )| = |𝑝𝑟<𝑛> (𝑣 − 𝑣0 )| = | (𝑣−𝑣 (𝑛,𝑛) |𝑛| Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 𝑙1 = {𝑣1 + 𝑎1 𝑡} и 𝑙2 = {𝑣2 + 𝑎2 𝑡} 𝑃1 = 𝑣1 + < 𝑎1 , 𝑎2 > 𝑃2 = 𝑣2 + < 𝑎1 , 𝑎2 > 𝑃1 ||𝑃2 ,𝑎2 ,𝑣2 −𝑣1 )| 𝜌(𝑙1 , 𝑙2 ) = 𝜌(𝑃1 , 𝑃2 ) = |(𝑎1|[𝑎 1 ,𝑎2 ]| Угол между двумя прямыми 𝑙1 = {𝑣1 + 𝑎1 𝑡} и 𝑙2 = {𝑣2 + 𝑎2 𝑡} ∠(𝑙1 , 𝑙2 ) := 𝑚𝑖𝑛(∠(𝑎1 , 𝑎2 ), ∠(𝑎1 , −𝑎2 )) Угол между прямой 𝑙 = {𝑣1 + 𝑎1 𝑡} и плоскостью 𝑃 с нормалью 𝑛 ∠(𝑙, 𝑃 ) := 𝜋2 − ∠(𝑙, < 𝑛 >) Угол между двумя плоскостями 𝑃1 и 𝑃2 с нормалями 𝑛1 , 𝑛2 ∠(𝑃1 , 𝑃2 ) := ∠(< 𝑛1 >, < 𝑛2 >) 27.2 Линейные операторы 𝑉 – векторное пространство над полем 𝐹 74 Определение. Линейным оператором (или линейным преобразованием) в(на) 𝑉 называется всякое линейное отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑉 (т.е. из 𝑉 в себя). 𝐿(𝐻) := 𝐻𝑜𝑚(𝑉, 𝑉 ) = все линейные операторы 𝑉 → 𝑉 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 ⇒ (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐴 𝐴 называется матрицей линейного оператора 𝜙 в базисе 𝑒 Столбец 𝐴(𝑖) состоит из координат вектора 𝜙(𝑒𝑖 ) в базисе 𝑒. Примеры. 1) 𝜆 ∈ 𝐹, 𝜙 : 𝑉 → 𝑉, 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 (скалярный оператор) В любом базисе имеет матрицу 𝜆𝐸 2) 𝜙 : R2 → R2 – поворот на угол 𝛼 (︂ 𝑒 – положительно ориентированный ортогональный базис ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎛ 0 1 ⎜0 0 ⎜ ⎜ 3) 𝑉 = R[𝑥]≤𝑛 , 𝜙 : 𝑉 → 𝑉, 𝑓 → 𝑓 ′ , 𝑒 = (1, 𝑥, 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ ... ... ⎜ ⎝0 0 0 0 𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⎞ 0 ... 0 2 . . . 0⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ . . .⎟ ⎟ 0 . . . 𝑛⎠ 0 ... 0 )︂ Следствия общих фактов о линейных отображениях 1) 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ), 𝑒 – базис 𝑉 ⇒ отображение 𝐿(𝑉 ) → 𝑀𝑛 (𝐹 ), 𝜙 → 𝐴(𝜙, 𝑒) является изоморфизмом векторных пространств 1а) Всякий линейный оператор 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) однозначно определяется своей матрицей в любом фиксированном базисе 1б) 𝑒 – произвольный базис, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) ⇒!∃ линейный оператор 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ),⎛такой 𝐴(𝜙,⎞𝑒) = 𝐴 ⎞ что ⎛ 𝑦1 𝑥1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ 2) 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис, 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝜙(𝑥) = 𝑦1 𝑒1 + · · · + 𝑦𝑛 𝑒𝑛 ⇒ ⎝ . ⎠ = 𝐴 ⎝ . ⎠ 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ′ ′ ′ 3) 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – другой базис в 𝑉 (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐶 – матрица перехода 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒) 𝐴′ = 𝐴(𝜙, 𝑒′ ) 𝐴′ = 𝐶 −1 𝐴𝐶 Следствия из 3) а) 𝑑𝑒𝑡𝐴 не зависит от выбора базиса б) 𝑡𝑟𝐴 не зависит от выбора базиса Доказательство. B а) 𝑑𝑒𝑡(𝐶 −1 𝐴𝐶) = 𝑑𝑒𝑡𝐶 −1 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑑𝑒𝑡𝐶 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 б) 𝑡𝑟(𝐶 −1 𝐴𝐶) = 𝑡𝑟(𝐴𝐶𝐶 −1 ) = 𝑡𝑟𝐴 C Замечание. 𝑑𝑒𝑡 и 𝑡𝑟 являются инвариантами самого линейного оператора 𝜙, а не его матрицы Обозначение: 𝑑𝑒𝑡𝜙, 𝑡𝑟𝜙 Определение. Две матрицы 𝐴, 𝐴′ ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ) называются подобными, если ∃𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (𝐹 ), 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0, такая что 𝐴′ = 𝐶 −1 𝐴𝐶. Отношение подобия является отношением эквивалентности на 𝑀𝑛 (𝐹 ) ⇒ 𝑀𝑛 (𝐹 ) разбивается на классы подобных матриц Предложение. 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) ⇒ следующие условия эквивалентны 1) 𝐾𝑒𝑟𝜙 = 0 2) 𝐼𝑚𝜙 = 𝑉 75 3) 𝜙 обратим (т.е. 𝜙 – изоморфизм пространства 𝑉 на себя) 4) 𝑑𝑒𝑡𝜙 ̸= 0 Доказательство. B 1) ⇔ 2), т.к. 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜙 + 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 1) & 2) ⇔ 3) было для линейного отображения 2) ⇔ 4) 𝐼𝑚𝜙 = 𝑉 ⇔ 𝑟𝑘𝜙 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 ⇔ 𝑑𝑒𝑡𝜙 ̸= 0 C Определение. Линейный оператор 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) называется невырожденным, если 𝑑𝑒𝑡𝜙 ̸= 0, и вырожденным иначе. 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) Определение. Подпространство 𝑈 ⊆ 𝑉 называется инвариантным относительно 𝜙 (или 𝜙инвариантным), если 𝜙(𝑈 ) ⊆ 𝑈 (т.е. ∀ 𝑢 ∈ 𝑈 : 𝜙(𝑢) ∈ 𝑈 ). В этой ситуации корректно определен оператор 𝜙|𝑢 : 𝑈 → 𝑈, 𝑢 → 𝜙(𝑢), он называется ограничением линейного оператора 𝜙 на подпространство 𝑈 . Примеры. 1) {0} и 𝑉 𝜙-инвариантны ∀ 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) 2) 𝐾𝑒𝑟𝜙 𝜙-инвариантно, т.к. 𝜙(𝐾𝑒𝑟𝜙) = {0} ⊆ 𝐾𝑒𝑟𝜙 3) 𝐼𝑚𝜙 𝜙-инвариантно, т.к. 𝜙(𝐼𝑚𝜙) ⊆ 𝜙(𝑉 ) = 𝐼𝑚𝜙 27.3 Наблюдения 1) 𝑈 ⊆ 𝑉 – 𝜙-инвариантное (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ) – базис 𝑈 , дополним его до базиса (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) )︂ (︂ подпространство, 𝐴 𝐵 , 𝐴 ∈ 𝑀𝑘 , 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑘×(𝑛−𝑘) , 𝐶 ∈ 𝑀𝑛−𝑘 (*) всего 𝑉 , тогда 𝐴(𝜙, 𝑒) = 0 𝐶 При этом: если 𝑈 = 𝐾𝑒𝑟𝜙, то 𝐴 = 0 если 𝑈 = 𝐼𝑚𝜙, то 𝐶 = 0 Обратно, если в некотром базисе (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) 𝐴(𝜙, 𝑒) имеет вид (*), то < 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 > – это 𝜙инвариантное подпространство 𝑘 векторов базиса 𝑒 порождают 𝜙-инвариантное подпространство ⇔ 𝐴(𝜙, 𝑒) = )︂ (︂ 2) Последние 𝐴 0 , 𝐴 ∈ 𝑀𝑛−𝑘 , 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑘×(𝑛−𝑘) , 𝐶 ∈ 𝑀𝑘 𝐵 𝐶 3) 𝑉 = 𝑈1 ⊕ 𝑈2 , 𝑈1 =< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 >, 𝑈 (︂2 =< 𝑒𝑘+1 )︂ , . . . , 𝑒𝑛 > 𝐴 0 𝑈1 , 𝑈2 𝜙-инвариантны ⇔ 𝐴(𝜙, 𝑒) = , 𝐴 ∈ 𝑀𝑘 , 𝐵 ∈ 𝑀𝑛−𝑘 0 𝐵 28 Лекция 19.04.2018 𝑉 – векторное пространство над полем 𝐹 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) 76 28.1 Наблюдения ⎛ ⎞ 0 ... 0 ⎜ 0 ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ * ... 0 ⎟ 4) 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ ⎟ – блочно-диагональный вид (каждая звездочка размера 𝑘𝑖 × 𝑘𝑖 ⎜ .. .. .. ⎟ ⎝ . . . ⎠ 0 0 0 ... * для 𝑖 ∈ 1, . . . , 𝑠) ⇔ все подпространства 𝑈1 , . . . , 𝑈𝑠 𝜙-инвариантны, где 𝑈1 =< 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘1 >, 𝑈2 =< 𝑒𝑘1 +1 , . . . , 𝑒𝑘1 +𝑘2 >, . . . , 𝑈𝑠 =< 𝑒𝑛−𝑘𝑠 +1 , . . . , 𝑒𝑛 >. При этом 𝑉 = 𝑈1 ⊕ · · · ⊕ 𝑈𝑠 . Предел мечтаний: найти такой базис 𝑒, в котором 𝐴(𝜙, 𝑒) диагональна (увы, это не всегда возможно). * .. . * .. . Определение. Вектор 𝑣 ∈ 𝑉 называется собственным вектором линейного оператора 𝜙, если 𝑣 ̸= 0 и 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 для некотрого 𝜆. Определение. Элемент 𝜆 ∈ 𝐹 называется собственным значением линейного оператора 𝜙, если ∃𝑣 ∈ 𝑉 , такой что 𝑣 ̸= 0 и 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣. Определение. Множество собственных значений линейного оператора 𝜙 называется его спектром. Обозначение: 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) Замечание. В ситуации 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣, 𝑣 ̸= 0, говорят: 1) 𝑣 – собственный вектор, отвечающий собственному значению 𝜆 2) 𝜆 – собственное значение, отвечающее собственному вектору 𝑣 Предложение. 0 ̸= 𝑣 ∈ 𝑉 является собственным для линейного оператора 𝜙 ⇔< 𝑣 > – 𝜙инвариантное подпространство. Доказательство. B (⇒)𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 ⇒ 𝑤 ∈< 𝑣 >⇒ 𝑤 = 𝜇𝑣, 𝜇𝑖𝑛𝐹 𝜙(𝑤) = 𝜙(𝜇𝑣) = 𝜇𝜙(𝑣) = 𝜇𝜆𝑣 ∈< 𝑣 > (⇐) Имеем 𝜙(𝑣) ∈< 𝑣 >⇒ 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 для некоторого 𝜆𝑖𝑛𝐹 C Примеры. 1) 𝜙 = 𝜆 · 𝐼𝑑 – скалярный оператор 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 являются собственными с собственным значением 𝜆 2) 𝑉 = R2 , 𝜙 – ортогональная проекция на прямую 𝑙, проходящую через 0 𝑣 ∈ 𝑙 ∖ {0} ⇒ 𝜙(𝑣) = 𝑣 ⇒ 𝑣 – собственный вектор с собственным значением 1 𝑣 ∈ 𝑙⊥ ∖ {0} ⇒ 𝜙(𝑣) = 0 ⇒ 𝑣 – собственный вектор с собственным значением 0 3) 𝜙 : R2 → R2 – поворот на угол 𝛼 ̸= 𝜋𝑘 (𝛼 = 2𝜋𝑘 ⇒ 𝜙 = 𝐼𝑑, 𝛼 = 𝜋 + 2𝜋𝑘 ⇒ 𝜙 = 𝐼𝑑) Собственных векторов нет 4) 𝑉 = 𝐹 [𝑥]≤𝑛 𝜙 : 𝑓 → 𝑓 ′ – дифференцирование 𝑓 – собственный вектор ⇔ 𝑓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 собственное значение 0 Определение. Линейный оператор 𝜙 называется диагонализуемым, если ∃ базис 𝑒 пространства 𝑉 , такой что матрица 𝐴(𝜙, 𝑒) диагональна. Предложение. Линейный оператор 𝜙 диагонализуем ⇔ в 𝑉 ∃ базис, состоящий из собственных векторов для 𝜙. 77 ⎛ 𝜆1 0 . . . ⎜ 0 𝜆2 . . . ⎜ Доказательство. B 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис 𝑉 ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) = ⎜ .. .. .. ⎝. . . 0 0 ... 𝜙(𝑒1 ) = 𝜆1 𝑒1 , . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) = 𝜆𝑛 𝑒𝑛 ⇔ 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 – собственные векторы ⎞ 0⎟ ⎟ .. ⎟ ⇔ .⎠ 𝜆𝑛 Примеры выше. 1) 𝜙 уже диагонализован, т.к. ∀ вектор ̸= 0 является собственным ⊥ 2) 𝑒1 ∈ 𝑙, 𝑒(︂ ⇒ (𝑒1 , 𝑒2 ) – базис из собственных векторов ⇒ 𝜙 диагонализуем 2 ∈ 𝑙 )︂ 1 0 𝐴(𝜙, 𝑒) = 0 0 3) не диагонализуем, т.к. нет собственных векторов 4) 𝜙 диагонализуем ⇒ 𝑛 = 0 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ), 𝜆 ∈ 𝐹 𝑉𝜆 (𝜙) := {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣} Упражнение. 𝑉𝜆 (𝜙) – подпространство в 𝑉 Лемма. 𝑉𝜆 (𝜙) ̸= 0 ⇔ 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) Доказательство. Следует из определения. Определение. 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) ⇒ 𝑉𝜆 (𝜙) называется собственным подпространством, отвечающим собственному значению 𝜆. Замечание. 𝑉𝜆 (𝜙) – 𝜙-инвариантное подпространство 𝜙|𝑉𝜆 (𝜙) = 𝜆 · 𝐼𝑑|𝑉𝜆 (𝜙) Предложение. 𝜆 ∈ 𝐹 ⇒ 𝑉𝜆 (𝜙) = 𝐾𝑒𝑟(𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑) Доказательство. B 𝑣 ∈ 𝑉𝜆 (𝜙) ⇔ 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 ⇔ 𝜙(𝑣) − 𝜆𝑣 = 0 ⇔ (𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑)𝑣 = 0 ⇔ 𝑣 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑) C Следствие. 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) ⇔ 𝑑𝑒𝑡(𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑) = 0 Доказательство. B 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) ⇔ 𝑉𝜆 (𝜙) ̸= {0} ⇔ 𝐾𝑒𝑟(𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑) ̸= 0 ⇔ 𝑑𝑒𝑡(𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑) = 0 C Определение. Многочлен 𝜒𝜙 (𝑡) = (−1)𝑛 𝑑𝑒𝑡(𝜙−𝑡·𝐼𝑑) называется характеристическим многочленом линейного оператора 𝜙. Если 𝑒 – какой-либо базис 𝑉 , 𝐴 = (𝑎 ⃒ 𝑖𝑗 ) = 𝐴(𝜙, 𝑒), то ⃒𝑎11 − 𝑡 𝑎12 𝑎13 ⃒ ⃒ 𝑎21 𝑎 − 𝑡 𝑎 22 23 ⃒ ⃒ 𝑎32 𝑎33 − 𝑡 𝜒𝜙 (𝑡) = (−1)𝑛 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝑡 · 𝐸) = (−1)𝑛 ⃒ 𝑎31 ⃒ .. .. .. ⃒ . . . ⃒ ⃒ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ... ... ... .. . ... 𝜒𝜙 (𝑡) = 𝑡𝑛 + 𝑐𝑛−1 𝑡𝑛−1 + · · · + 𝑐1 𝑡 + 𝑐0 , 𝑐0 = (−1)𝑛 𝑑𝑒𝑡𝜙, 𝑐𝑛−1 = −𝑡𝑟𝜙 Вывод из разобранного выше: 78 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎𝑛𝑛 − 𝑡⃒ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎3𝑛 .. . Утверждение. 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) ⇔ 𝜒𝜙 (𝜆) = 0, т.е. 𝜆 – корень характеристического многочлена Следствие. |𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙)| ≤ 𝑛 Следствие. 𝐹 = C ⇒ ∀ 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) ∃ собственный вектор Доказательство. B 𝜒𝜙 (𝑡) имеет корень по основной теореме алгебры комплексных чисел C 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) 𝑘𝜆 – кратность 𝜆 как корня многочлена 𝜒𝜙 (𝑡), т.е. 𝜒𝜙 (𝑡) делится на (𝑡 − 𝜆)𝑘𝜆 , но не делится на большую степень Определение. Число 𝑘𝜆 называется алгебраической кратностью собственного значения 𝜆. Определение. Число 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆 (𝜙) называется геометрической кратностью собственного значения 𝜆. Предложение. 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) ⇒ (геометрическая кратность 𝜆) ≤ (алгебраическая кратность 𝜆) Доказательство. B Положим 𝑚𝜆 = 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆 (𝜙), т.е. 𝑚𝜆 – геометрическая кратность для 𝜆. Пусть (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑚𝜆 ) – базис 𝑉𝜆 (𝜙). Дополним ⎛ его до базиса ⎞𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) всего 𝑉 . 𝜆 0 ... 0 )︂ (︂ ⎜0 𝜆 . . . 0⎟ 𝐴 𝐵 ⎜ ⎟ , 𝐴 = ⎜ .. .. Тогда 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎟ ∈ 𝑀𝑚𝜆 , 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚𝜆 ×(𝑛−𝑚𝜆 ) , 𝐷 ∈ 𝑀𝑛−𝑚𝜆 ⇒ . . . . 0 𝐷 ⎝. . . .⎠ 0 0 ... 𝜆 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝐴 − 𝑡 · 𝐸 𝐵 ⃒ = (−1)𝑛 (𝜆 − 𝑡)𝑚𝜆 · 𝑑𝑒𝑡(𝐷 − 𝑡 · 𝐸) = (𝑡 − 𝜆)𝑚𝜆 · (−1)𝑛−𝑚𝜆 · 𝑑𝑒𝑡(𝐷 − 𝜒𝜙 (𝑡) = (−1)𝑛 ⃒⃒ 𝐷−𝑡·𝐸 ⃒ . 𝑡 · 𝐸) ⇒ 𝜒𝜙 (𝑡)..(𝑡 − 𝜆)𝑚𝜆 ⇒ (алгебраическая кратность 𝜆) ≥ 𝑚𝜆 C 29 Лекция 26.04.2018 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 , 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) Предложение. Пусть {𝜆1 , . . . , 𝜆𝑠 } ⊆ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙), 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗, тогда подпространства 𝑉𝜆1 (𝜙), . . . , 𝑉𝜆𝑠 (𝜙) линейно независимы. Доказательство. B Индукция по 𝑠. 𝑠 = 1 – нечего доказывать Пусть для < 𝑠 утверждение доказано, докажем для 𝑠. Пусть 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝜆𝑖 (𝜙) ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑠 и пусть 𝑣1 + · · · + 𝑣𝑠 = 0 (*) Применим 𝜙: 𝜙(𝑣1 + · · · + 𝑣𝑠 ) = 𝜙(0) = 0 ⇒ 𝜙(𝑣1 ) + · · · + 𝜙(𝑣𝑠 ) = 0 ⇒ 𝜆1 𝑣1 + · · · + 𝜆𝑠 𝑣𝑠 = 0 Вычтем отсюда (*)·𝜆𝑠 : (𝜆1 −𝜆𝑠 )𝑣1 +· · ·+(𝜆𝑠−1 −𝜆𝑠 )𝑣𝑠−1 = 0, по предположению индукции получаем отсюда 𝑣1 = · · · = 𝑣𝑠 = 0. Тогда 𝑣𝑠 = 0 C Следствие. Если 𝜒𝜙 (𝑡) имеет ровно 𝑛 различных корней, то 𝜙 диагонализуем. Доказательство. B Пусть 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) = {𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 }, 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 ∀ 𝑖 ̸= 𝑗. ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 выберем ненулевой вектор 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝜆𝑖 (𝜙). Тогда 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 линейно независимы по предыдущему предложению ⇒ (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 ) – базис из сосбтвенных векторов ⇒ 𝜙 диагонализуем C 79 Теорема (критерий диагонализуемости). Линейный оператор 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) диагонализуем ⇔ выполнены следующие условия: 1) 𝜒𝜙 (𝑡) разлагается на линейные множители 2) ∀ 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) (геометрическая кратность 𝜆) = (алгебраическая кратность 𝜆) ⎛ ⎞ 𝜇1 0 . . . 0 ⎜ 0 𝜇2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ Доказательство. B (⇒) Пусть (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис, такой что 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎝. . . .⎠ 0 0 . . . 𝜇𝑛 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇1 − 𝑡 ⃒ ... 0 ⃒ ⃒ ⃒ 0 𝜇2 − 𝑡 . . . 0 ⃒⃒ ⃒ 𝑛 Тогда 𝜒𝜙 (𝑡) = (−1)𝑛 ⃒ .. .. .. .. ⃒ = (−1) (𝑡 − 𝜇1 )(𝑡 − 𝜇2 ) . . . (𝑡 − 𝜇𝑛 ) ⇒ 1) выполнено ⃒ . ⃒ . . . ⃒ ⃒ ⃒ 0 . . . 𝜇𝑛 − 𝑡⃒ Перепишем 𝜒𝜙 (𝑡) в виде 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 · · · (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 , где 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗 ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑠 имеем 𝑉𝜆𝑖 (𝜙) ⊇< 𝑒𝑗 | 𝜇𝑗 = 𝜆𝑖 >⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆𝑖 (𝜙) ≥ 𝑘𝑖 (уже знаем 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆𝑖 (𝜙) ≤ 𝑘𝑖 ) ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆𝑖 (𝜙) = 𝑘𝑖 (⇐) Пусть 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 · · · (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 , 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗 Т.к. 𝑉𝜆1 (𝜙), . . . , 𝑉𝜆𝑠 (𝜙) линейно независимы, то 𝑑𝑖𝑚(𝑉𝜆1 (𝜙) + · · · + 𝑉𝜆𝑠 (𝜙)) = 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆1 (𝜙) + · · · + 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆𝑠 (𝜙) = 𝑘1 + · · · + 𝑘𝑠 = 𝑛 ⇒ 𝑉 = 𝑉𝜆1 (𝜙) ⊕ · · · ⊕ 𝑉𝜆𝑠 (𝜙) ∀𝑖 = 1, . . . , 𝑠 выберем в 𝑉𝜆𝑖 (𝜙) базис 𝑒𝑖 и положим 𝑒 = 𝑒1 ∪𝑒2 ∪· · ·∪𝑒𝑠 . Тогда 𝑒 – базис 𝑉 , состоящий из собственных векторов C Замечание. Если выполнено 1), то линейный оператор нор⎞ ⎛ 𝑚1𝜙 можно привести к жордановой 0 ... 𝐽𝑀1 ⎜ 0 𝐽 𝑚2 0 . . . 0 ⎟ 𝑀2 ⎟ ⎜ 𝑚3 ⎜ 0 0 𝐽𝑀3 . . . 0 ⎟ мальной форме, т.е. ∃ базис 𝑒 в 𝑉 , такой что 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ ⎟, ⎜ .. .. .. .. .. ⎟ ⎝ . . . . . ⎠ 𝑚𝑠 0 . . . 𝐽𝑀𝑠 ⎛ ⎞ 𝑀𝑖 1 0 ... 0 ⎜ 0 𝑀𝑖 1 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 𝑚𝑖 0 𝑀𝑖 . . . 0 ⎟ = где 𝐽𝑀 ⎜ ⎟ – Жорданова клетка порядка 𝑚𝑖 с собственным значением 𝑖 ⎜ .. .. .. .. .. ⎟ ⎝ . . . . . ⎠ 0 . . . 𝑀𝑖 𝑀𝑖 Следствие. Если 𝐹 = C, то ∀ 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ) можно привести к жордановой нормальной форме. Доказательство. Условие 1) выполняется по основной теореме алгебры комплексных чисел. Примеры. 1) 𝜙 = 𝜆 · 𝐼𝑑 ⇒ 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆)𝑛 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) = {𝜆}, алгебраическая кратность 𝜆 = геометрической кратности 𝜆 = 𝑛 2) 𝜙 : R2 → R2 – ортогональная проекция на прямую 𝑙)︂→ 0 (︂ 1 𝑒1 ∈ 𝑙 ∖ {0}, 𝑒2 ∈ 𝑙⊥ ∖ {0}, 𝑒 = (𝑒1 , 𝑒2 ) ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = 0 0 𝜒𝜙 (𝑡) = 𝑡(𝑡 − 1) 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) = {0, 1}, 𝜆 ∈ {0, 1} ⇒ алгебраическая кратность = геометрической кратности = 1 3) 𝜙 : R2 → R2 – поворот на угол 𝛼 ̸= 𝜋𝑘 80 (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 𝑒 = (𝑒1 , 𝑒2 ) – положительно ориентированный ортогональный базис ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = sin 𝛼 cos 𝛼 ⃒ ⃒ ⃒cos 𝛼 − 𝑡 − sin 𝛼 ⃒ ⃒ = 𝑡2 − 2 cos 𝛼𝑡 + 1 𝜒𝜙 (𝑡) = ⃒⃒ sin 𝛼 cos 𝛼 − 𝑡⃒ 𝐷/4 = cos2 𝛼 − 1 = − sin2 𝛼 < 0 ⇒ нет корней в R ⇒ 1) не выполняется ⇒ 𝜙 не (над C𝜙 диагонализуем) 4) 𝑉 = 𝐹 [𝑥]≤𝑛 , 𝜙 : 𝑓 → 𝑓 ′ ⎛ ⎞ 0 1 0 ... 0 ⎜0 0 2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ . 2 𝑛 . 𝑒 = (1, 𝑥, 𝑥 , . . . , 𝑥 ), 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ . . . . ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 . . . 𝑛 ⎠ 0 0 0 ... 0 𝑛+1 𝜒𝜙 (𝑡) = 𝑡 ⇒ 1) выполнено 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙) = {0}, алгебраическая кратность = 𝑛 + 1 геометрическая кратность = 1 ⇒⎛𝜙 не диагонализуем, 2) не выполняется ⎞ 0 1 0 ... 0 ⎜0 0 1 . . . 0⎟ ⎜ ⎟ 𝑛 2 ⎜ ⎟ 𝑓 = (1, 𝑥, 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛! ) ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑓 ) = ⎜ ... ... ... ... ... ⎟ = 𝐽0𝑛+1 ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 . . . 1⎠ 0 0 0 ... 0 Предложение. 𝐹 = R ⇒ ∀ 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ), ∃ либо одномерное, либо двумерное 𝜙-инвариантное подпространство Доказательство. B Если 𝜒𝜙 (𝑡) имеет действительный корень, то тогда у 𝜙 есть собственный вектор ⇒ есть 1-мерное инвариантное подпространство. Пусть 𝜒𝜙 (𝑡) не имеет корней в R, возьмем какой-нибудь комплексный корень 𝜆 + 𝑖𝜇, где 𝜆, 𝜇 ∈ R, 𝜇 ̸= 0. Фиксируем базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) в 𝑉 , пусть 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒). Тогда для 𝐴 над 𝐶 ∃ собственный вектор с собстсвенным значением 𝜆 + {︃ 𝑖𝜇. То есть ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢 − 𝜇𝑣 R𝑛 , 𝑢 + 𝑖𝑣 ̸= 0, такой что 𝐴 · (𝑢 + 𝑖𝑣) = (𝜆 + 𝑖𝜇)(𝑢 + 𝑖𝑣) = (𝜆𝑢 − 𝜇𝑣) + 𝑖(𝜆𝑣 + 𝜇𝑢) ⇒ ⇒ 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 + 𝜇𝑢 𝐴 < 𝑢, 𝑣 >⊆< 𝑢, 𝑣 >⇒ векторы с коэффициентами 𝑢, 𝑣 порождают 𝜙-инвариантное подпространство размерности ≤ 2 C 29.1 Линейные отображения и линейные операторы в евклидовых пространствах 𝐸 – евклидово пространство, 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑛, (·, ·) – скалярное произедение 𝐸 ′ – евклидово пространство (другое), 𝑑𝑖𝑚𝐸 ′ = 𝑚, (·, ·)′ – скалярное произведение Пусть 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 ′ – линейное отображение Определение. Линейное отображение 𝜓 : 𝐸 ′ → 𝐸 называется сопряженным к 𝜙, если ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, ∀ 𝑦 ∈ 𝐸 ′ : (𝜙(𝑥), 𝑦)′ = (𝑥, 𝜓(𝑦)) (#) Обозначение: 𝜙* Предложение. 1) 𝜓 существует и единственно 2) Если 𝑒 и 𝑓 – ортонормированные базисы в 𝐸 и 𝐸 ′ соответственно, 𝐴𝜙 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ), 𝐴𝜓 = 𝐴(𝜓, 𝑓, 𝑒) ⇒ 𝐴𝜓 = 𝐴𝑇𝜙 Доказательство. B 1) Фиксируем произвольный базис 𝑒 в 𝐸 и произвольный базис 𝑓 в 𝐸 ′ , 𝐴𝜙 = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ), 𝐴𝜓 = 𝐴(𝜓, 𝑓, 𝑒), 𝐺 = 𝐺(𝑒), 𝐺′ = 𝐺(𝑓 ) 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 81 𝑦 ∈ 𝐸 ′ , 𝑦 = 𝑦 1 𝑓1 + · · · + 𝑦 𝑚 𝑓𝑚 ⎛ ⎛ ⎞⎞𝑇 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 𝑦1 ⎜ ⎜ .. ⎟⎟ ′ ⎜ .. ⎟ ′ 𝑇 ′ ⎜ .. ⎟ (𝜙(𝑥), 𝑦) = ⎝𝐴𝜙 ⎝ . ⎠⎠ 𝐺 ⎝ . ⎠ = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐴𝜙 𝐺 ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑚 𝑦𝑚 ⎛ ⎞ 𝑦1 ⎜ .. ⎟ (𝑥, 𝜓(𝑦)) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐺𝐴𝜓 ⎝ . ⎠ 𝑦𝑚 ∀ 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑛×𝑚 (R) : ⎛ ⎞ ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 𝑏𝑖𝑗 = (0 . . . 01𝑖 0 . . . 0)𝐵 ⎜1𝑗 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜.⎟ ⎝ .. ⎠ ⇒ (#) выполняется ⇔ 𝐴𝑇𝜙 𝐺′ = 𝐺𝐴𝜓 ⇔ 𝐺−1 𝐴𝑇𝜙 𝐺′ ⇒ существование и единственность 2) 𝑒 и 𝑓 – ортонормированные ⇒ 𝐺 = 𝐸 и 𝐺′ = 𝐸 ⇒ 𝐴𝜓 = 𝐴𝑇𝜙 C 30 Лекция 10.05.2018 Пусть теперь 𝐸 ′ = 𝐸, 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 – линейный оператор ⇒ ∃! линейный оператор 𝜙* : 𝐸 → 𝐸, такой что (𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜙* (𝑦)) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 Определение. 𝜙* называется сопряженным к 𝜙 линейным оператором. Определение. Линейный оператор 𝜙 называется самомпряженным (или симметрическим), если 𝜙 = 𝜙* . Замечание. 𝑒 – ортогональный базис в 𝐸, 𝐴𝜙 = 𝐴(𝜙, 𝑒), 𝐴𝜙* = 𝐴(𝜙* , 𝑒) ⇒ 𝐴𝜙* = (𝐴𝜙 )𝑇 𝜙 = 𝜙* ⇔ 𝐴𝜙 = (𝐴𝜙 )𝑇 Предложение. 𝜙 = 𝜙* , 𝑈 ⊆ 𝐸 – 𝜙-инвариантное подпространство ⇒ 𝑈 ⊥ тоже 𝜙-инвариантное Доказательство. B Имеем 𝜙(𝑈 ) ⊆ 𝑈 , хотим 𝜙(𝑈 ⊥ ) ⊆ 𝑈 ⊥ ∈𝑈 ⊥ ⏞∈𝑈 ⏟ ⏞ ⏟ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ⊥ , 𝑦 ∈ 𝑈 : (𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜙* (𝑦)) = ( 𝑥 , 𝜙(𝑦)) = 0 C Предложение. 𝜙 = 𝜙* ⇒ ∃ собственный вектор для 𝜙 Доказательство. B Два случая: 1) ∃ 1-мерное 𝜙-инвариантное подпространство 2) ∃ 2-мерное 𝜙-инвариантное подпространство 1) Очевидно 2) Пусть 𝑈 ⊆ 𝐸 – 2-мерное 𝜙-инвариантное подпространство. Положим 𝜓 := 𝜙|𝑈 Т.к. 𝜙 = 𝜙* , то 𝜓 = 𝜓 * (︂ )︂ 𝑎 𝑏 Пусть (𝑒1 , 𝑒2 ) – ортонормированный базис в 𝑈 ⇒ 𝐴(𝜓, 𝑒) = 𝑏 𝑐 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎−𝑡 𝑏 ⃒ 𝜒𝜓 (𝑡) = (−1)2 ⃒⃒ = 𝑡2 − (𝑎 + 𝑐)𝑡 + 𝑎𝑐 − 𝑏2 𝑏 𝑐 − 𝑡⃒ 82 𝐷 = (𝑎 + 𝑐)2 − 4(𝑎𝑐 − 𝑏2 ) = (𝑎 − 𝑐)2 + 4𝑏2 ≥ 0 ⇒ 𝜒𝜓 (𝑡) имеет корни в R ⇒ 𝜓 имеет собственный вектор ⇒ 𝜙 имеет собственный вектор C Теорема. 𝜙 = 𝜙* ⇒ ∃ ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов для 𝜙. В частности, 𝜙 диагонализуем над R, 𝜒𝜙 (𝑡) разлагается на линейные множители над R. Доказательство. Индукция по 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝐸. 𝑛 = 1 ⇒ очевидно Пусть доказано для < 𝑛, докажем для 𝑛. ∃ собственный вектор 𝑣 для 𝜙. 𝑣 , |𝑒1 | = 1. Положим 𝑒1 = |𝑣| 𝑈 =< 𝑒1 >⇒ 𝑈 𝜙-инвариантно ⇒ 𝑈 ⊥ тоже 𝜙-инвариантно 𝑑𝑖𝑚𝑈 ⊥ = 𝑛 − 1 ⇒ по предположению индукции в 𝑈 ⊥ ∃ ортонормированный базис (𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ) из собственных векторов, 𝑒1 ⊥(𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ). Тогда (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – искомый базис C Следствие. 𝜙 = 𝜙* , 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝜙), 𝜆 ̸= 𝜇 ⇒ 𝐸𝜆 (𝜙)⊥𝐸𝜇 (𝜙) Доказательство. Первый способ. Пусть 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – ортономированный базис из собственных векторов (𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) – соответствующий набор собственных значений (т.е. 𝜙(𝑒𝑖 ) = 𝜆𝑖 𝑒𝑖 ) 𝑣 = 𝑥1 𝑒 1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒 𝑛 ∈ 𝐸 𝜙(𝑣) = 𝑥1 𝜆1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝜆𝑛 𝑒𝑛 . Тогда 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 ⇔ 𝑣 ∈< 𝑒𝑖 | 𝜆𝑖 = 𝜆 >⇒ 𝐸𝜆 (𝜙) =< 𝑒𝑖 | 𝜆𝑖 = 𝜆 >⇒ 𝐸𝜆 (𝜙)⊥𝐸𝜇 (𝜙) при 𝜆 ̸= 𝜇 Второй способ. 𝜆 ̸= 𝜇, 𝑥 ∈ 𝐸𝜆 (𝜙), 𝑦 ∈ 𝐸𝜇 (𝜙) 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝜆𝑥, 𝑦) = (𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜙(𝑦)) = (𝑥, 𝜇𝑦) = 𝜇(𝑥, 𝑦) Т.к. 𝜆 ̸= 𝜇, то (𝑥, 𝑦) = 0 C Теорема (приведение квадратичной формы к главным осям). 𝑄 : 𝐸 → R – квадратичная форма ⇒ ∃ ортономированный базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ), в котором 𝑄 принимает канонический вид 𝑄(𝑥) = 𝜆1 𝑥21 +· · ·+𝜆𝑛 𝑥2𝑛 , причем числа 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 определены однозначно с точностью до перестановки. Главные оси – это R𝑒1 , . . . , R𝑒𝑛 . Доказательство. B Пусть 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑛 ) – какой-то ортонормированный базис, 𝐵 = 𝐵(𝑄, 𝑓 ). Пусть 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 – линейный оператор, такой что 𝐴(𝜙, 𝑓 ) = 𝐵 Т.к. 𝐵 = 𝐵 𝑇 и 𝑓 ортонормированный, то 𝜙 = 𝜙* ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ ∀ 𝑥 = 𝑥1 𝑓1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑓𝑛 ∈ 𝐸 имеем 𝑄(𝑥) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝ . ⎠ = (𝑥, 𝜙(𝑥)) 𝑥𝑛 Итого: 𝑄(𝑥) = (𝑥, 𝜙(𝑥)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 (*) Знаем: ∃ ортонормированный базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ), состоящий из собственных векторов для 𝜙 ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ .. ⎟ Но тогда ∀ 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 𝑄(𝑥) = (𝑥, 𝜙(𝑥)) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐷 ⎝ . ⎠ = 𝜆1 𝑥21 + · · · + 𝜆𝑛 𝑥2𝑛 𝑥𝑛 Единственность: 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 – это в точности собственные значения линейного оператора 𝜙 В свою очередь, 𝜙 однозначно определяется из условия (*) C 83 Следствие. 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (R), 𝐴 = 𝐴𝑇 ⇒ ∃ ортогональная матрица 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 , такая что 𝐶 −1 𝐴𝐶 = 𝐶 𝑇 𝐴𝐶 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ), причем 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 – это в точности собственные значения матрицы 𝐴. Определение. Линейный оператор называется ортогональным, если ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 : (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)) = (𝑥, 𝑦) (т.е. 𝜙 сохраняет скалярное произведение) Предложение. Для 𝜙 ∈ 𝐿(𝐸) следуюущие условия эквивалентны: 1) 𝜙 ортогональный 2) |𝜙(𝑥)| = |𝑥| ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 (т.е. 𝜙 сохраняет длину) 3) ∃ 𝜙−1 и 𝜙−1 = 𝜙* 4) ∀ ортонормированного базиса 𝑒 матрица 𝐴(𝜙, 𝑒) ортогональная 5) ∀ ортонормированного базиса 𝑒 (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) – тоже ортонормированный базис √︀ √︀ Доказательство. B 1) ⇒ 2) |𝜙(𝑥)| = (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑥)) = (𝑥, 𝑥) = |𝑥| 2) ⇒ 1) (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)) = 21 (|𝜙(𝑥) + 𝜙(𝑦)|2 − |𝜙(𝑥)|2 − |𝜙(𝑦)|2 ) = 12 (|𝑥 + 𝑦|2 − |𝑥|2 − |𝑦|2 ) = (𝑥, 𝑦) 1)&2) ⇒ 3) 𝜙(𝑥) = 0 ⇒ |𝜙(𝑥)| = 0 ⇒ |𝑥| = 0 ⇒ 𝑥 = 0 ⇒ 𝐾𝑒𝑟𝜙 = {0} ⇒ 𝜙 невырожден (т.е. ∃ 𝜙−1 ) (𝜙−1 (𝑥), 𝑦) = (𝜙(𝜙−1 (𝑥)), 𝜙(𝑦)) = (𝑥, 𝜙(𝑦)) ⇒ 𝜙−1 = 𝜙* 3) {︃ ⇒ 4) 𝑒 – ортонормированный базис, 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒) 𝐴(𝜙* , 𝑒) = 𝐴𝑇 ⇒ 𝐴𝑇 = 𝐴−1 𝐴(𝜙−1 , 𝑒) = 𝐴−1 4) ⇒ 5) 𝑒 – ортонормированный базис, 𝐴 = 𝐴(𝜙, 𝑒) ⇒ (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐴 (где 𝐴 ортогональная) ⇒ (𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )) – ортонормированный базис 5) ⇒ 1) 𝑒 – ортонормированный базис, 𝑥 = 𝑛 ∑︀ 𝑥𝑖 𝑒 𝑖 , 𝑦 = 𝑖=1 (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)) = (𝜙( 𝑛 ∑︀ 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑒𝑖 ), 𝜙( 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑗 𝑒𝑗 )) = 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑗 𝑒𝑗 𝑗=1 𝛿𝑖𝑗 ⏞ ⏟ 𝑛 ∑︀ 𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑥𝑖 𝑦𝑗 (𝜙(𝑒𝑖 ), 𝜙(𝑒𝑗 )) = 𝑥𝑖 𝑦𝑗 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = ( 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , 𝑦𝑖 𝑒𝑗 ) = 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑗=1 (𝑥, 𝑦) C 31 𝑛 ∑︀ Лекция 17.05.2018 84 𝑖=1 𝑗=1 (𝑒1 , 𝑒2 ) – ортонормированный базис (︂ cos 𝛼 I 𝐴(𝜙, 𝑒) = sin 𝛼 − sin 𝛼 cos 𝛼 )︂ ⇒ 𝜙 – поворот на угол 𝛼 (︂ )︂ cos 𝛼 sin 𝛼 II 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⇒ 𝜙 – поворот на угол 𝛼 + отражение относительно 𝜙(𝑒1 ) sin 𝛼 − cos 𝛼 Пусть 𝑙 – биссектриса угла ∠(𝑒1 , 𝜙(𝑒1 )). Тогда ∀ 𝑣 ∈ 𝑙 : 𝜙(𝑣) = 𝑣, ∀ 𝑣 (︂ ∈ 𝑙⊥ : 𝜙(𝑣) )︂ = −𝑣 1 0 𝑒′ = (𝑒′1 , 𝑒′2 ) – ортонормированный базис, 𝑒′1 ∈ 𝑙, 𝑒′2 ∈ 𝑙⊥ ⇒ 𝐴(𝜙, 𝑒′ ) = 0 −1 ⇒ 𝜙 – отражение относительно 𝑙 Предложение. 𝜙 – ортогональный линейный оператор, 𝑈 ⊆ 𝐸 – 𝜙-инвариантное подпространство ⇒ 𝑈 ⊥ тоже 𝜙-инвариантно Доказательство. B 𝜓 := 𝜙|𝑈 – ортогональный линейный оператор в 𝑈 ⇒ ∃ 𝜓 −1 = 𝜓 * Хотим: ∀ 𝑥 ∈ 𝑈 ⊥ ∀ 𝑦 ∈ 𝑈 : (𝜙(𝑥), 𝑦) = 0 ∈𝑈 ∈𝑈 ⊥ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ (𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜙* (𝑦)) = (𝑥, 𝜙−1 (𝑥)) = ( 𝑥 , 𝜓 −1 (𝑦)) = 0 C Теорема. ∀ ортогонального линейного оператора 𝜙 ∈ 𝐿(𝐸) ∃ ортонормированный базис 𝑒, такой что ⎛ ⎞ П(𝛼1 ) 0 0 0 0 ⎜ 0 П(𝛼2 ) 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . .. ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 П(𝛼𝑘 ) 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ −1 ⎜ ⎟ 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ ⎟ (*) .. ⎜ 0 . 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ −1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ⎝ 0 0 0 0 ⎠ 0 0 0 1 (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 П(𝛼) = sin 𝛼 cos 𝛼 Доказательство. B Индукция по 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝐸, 𝑛 = 1, 2 ⇒ было. Пусть теперь 𝑛 > 3. ∃ 𝜙-инвариантное подпространство 𝑈 , такое что 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 1 или 2 ⇒ в 𝑈 требуемый базис ∃ 𝑈 ⊥ – 𝜙-инвариантно, 𝜙|𝑈 ⊥ – ортогональный оператор 𝑑𝑖𝑚𝑈 ⊥ = 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑈 < 𝑛 ⇒ по предположению индукции в 𝑈 ⊥ ∃ требуемый ортонормированный базис. Объединяя полученные базисы для 𝑈 и 𝑈 ⊥ , получим ортонормированный базис 𝑒, такой что 𝐴(𝜙, 𝑒) имеет вид (*) с точностью до перестановки блоков C Следствие. ∀ ортогонального линейного оператора 𝜙 в 3-мерном евклидовом пространстве ∃ ортонормированный базис 𝑒, такой что 𝐴(𝜙, 𝑒) имеет один из следующих двух видов: (︂ )︂ П(𝛼) 0 I – поворот вокруг < 𝑒3 > на угол 𝛼 1 )︂ (︂ 0 П(𝛼) 0 II – поворот вокруг < 𝑒3 > на угол 𝛼 + отражение относительно < 𝑒1 , 𝑒2 >=< 𝑒3 >⊥ −1 85 = "зеркальный поворот" Доказательство. B По теореме ∃ ортонормированный ⎛ базис 𝑒, такой ⎞ что 𝐴(𝜙, 𝑒) имеет вид (*). ±1 0 Если в (*) есть блок П(𝛼), то ОК. Если нет, то 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎝ 0 ±1 0 ⎠ 0 ±1 (︂ )︂ 1 0 = П(0) (︂0 1 )︂ −1 0 = П(𝜋)C 0 −1 31.1 Сингулярное разложение Напоминание: 𝑉, 𝑊 – векторные пространства над 𝐹 , 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 – линейное отображение, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑚, 𝑟𝑘𝜙 = 𝑟 ⇒ ∃ базис 𝑒 в 𝑉 и базис 𝑓 в 𝑊 такие, что 1 ··· ⎜ 0 ... ⎜ 𝑟 ⎜ ⎜ 0. · ·. · ⎜ .. .. 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 𝑚 0 0 ⎛ 𝑟 1 .. . ... ... ... .. . ... ... ... ··· ··· .. . ··· ··· .. . 𝑛 ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ .. ⎟ .⎟ ⎟, 𝑟 = 𝑟𝑘𝜙 = 𝑑𝑖𝑚𝐼𝑚𝜙 0⎟ ⎟ 0⎠ 𝐸 – евклидово пространство со скалярным произведением (·, ·), 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑛 𝐸 ′ – евклидово пространство со скалярным произведением (·, ·)′ , 𝑑𝑖𝑚𝐸 = 𝑚 Теорема о сингулярных базисах. 𝜙 : 𝐸 → 𝐸 ′ – линейное отображение, 𝑟 = 𝑟𝑘𝜙 ⇒ ∃ ортонормированный базис 𝑒 в 𝐸 и ортонормированный базис 𝑒′ в 𝐸 ′ , такой что ⎞ ⎛ 𝜎1 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎜ . 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 . . . 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 , где 𝜎1 > 𝜎2 > · · · > 𝜎𝑟 > 0 Более того, числа 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 определены однозначно. Доказательство. B Рассмотрим сопряженный линейный оператор 𝜙* : 𝐸 ′ → 𝐸 (𝜙(𝑥), 𝑦)′ = (𝑥, 𝜙* (𝑦)) ∀ 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐸 ′ Положим 𝜓 := 𝜙* 𝜙, 𝜓 ∈ 𝐿(𝐸) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 (𝜓(𝑥), 𝑦) = (𝜙* 𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦))′ ⇒ (𝜓(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜓(𝑦)) ⇒ 𝜓 = 𝜓 * Для 𝜓 ∃ ортонормированный базис 𝑒 = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ), такой что 𝐴(𝜓, 𝑒) = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠1 , . . . , 𝑠𝑛 ) ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 : (𝜓(𝑒𝑖 ), 𝑒𝑖 ) = (𝜙(𝑒𝑖 ), 𝜙(𝑒𝑖 ))′ > 0 и (𝑠𝑖 𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 ) = 𝑠1 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 ) = 𝑠𝑖 ⇒ 𝑠𝑖 > 0 86 Переставив векторы в 𝑒 можем считать, что 𝑠1 > 𝑠2 > · · · > 𝑠𝑛 > 0 Пусть 𝑘 таково, что 𝑠𝑘 ̸= 0, 𝑠𝑘+1 = 0, тогда ∀𝑖 > 𝑘 + 1, 0 = 𝑠𝑖 = (𝜙(𝑒𝑖 ), 𝜙(𝑒𝑖 ))′ ⇒ 𝜙(𝑒𝑖 ) = 0 ⇒ 𝑒𝑖 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜙 √ ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑘 положим 𝜎𝑖 = 𝑠𝑖 и 𝑓𝑖 = 𝜎1𝑖 𝜙(𝑒𝑖 ) ∈ 𝐸 ′ ∀ 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑘 имеем (𝑓𝑖 , 𝑓𝑗 )′ = ( 𝜎1𝑖 𝜙(𝑒𝑖 ), 𝜎1𝑗 𝜙(𝑒𝑗 ))′ = 𝜎 𝜎 1 (𝑒𝑖 , 𝜓(𝑒𝑗 ))′ = 𝜎𝑖1𝜎𝑗 (𝑒𝑖 , 𝜎𝑗2 𝑒𝑗 )′ = 𝜎𝑗𝑖 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝜎𝑗𝑖 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 ⇒ (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑘 ) – ортонормированная система в 𝐸 ′ 1 (𝜙(𝑒𝑖 ), 𝜙(𝑒𝑗 ))′ 𝜎𝑖 𝜎𝑗 = 1 (𝑒𝑖 , 𝜙* 𝜙(𝑒𝑗 ))′ 𝜎𝑖 𝜎𝑗 = Дополним ее до ортонормированного базиса 𝑓 = (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ) в 𝐸 ′ ⎛ ⎞ 𝜎1 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ .. ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Тогда 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 ) = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 0 0 0⎟ ⇒ 𝑘 = 𝑟𝑘𝜙 = 𝑟 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 . . . 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 Числа 𝜎12 , 𝜎22 , . . . , 𝜎𝑟2 суть все ненулевые собственные значения линейного оператора 𝜓 = 𝜙* 𝜙 и потому определены однозначно C Определение. В условиях теоремы 𝑒, 𝑓 называются сингулярными базисами линейного оператора 𝜙, числа 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 называются сингулярными значениями линейного оператора 𝜙. Замечание. 1) Вообще говоря, 𝑒 и 𝑓 определены не однозначно, (𝑒, 𝑓 ) – сингулярные базисы ⇒ (−𝑒, −𝑓 ) – тоже сингулярные базисы 2) Доказательство теоремы дает алгоритм нахождения сингулярных базисов и сингулярных значений для 𝜙 3) 𝑒, 𝑓 – собственные базисы для 𝜙, 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 – сингулярные значения ⇒ 𝐴(𝜙* , 𝑓, 𝑒) = 𝐴(𝜙, 𝑒, 𝑓 )𝑇 ⇒ 𝑓, 𝑒 – сингулярные базисы для 𝜙* , 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 – сингулярные значения для 𝜙* 32 Лекция 24.05.2018 𝑒, 𝑓 – сингулярные базисы для 𝜙 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 – сингулярные значения Свойства: {︃ 𝜎𝑖 𝑓𝑖 , 𝑖 6 𝑟 1) 𝜙(𝑒𝑖 ) = 0, 𝑖 > 𝑟 {︃ 𝜎𝑗 𝑓𝑗 , 𝑗 6 𝑟 𝜙* (𝑓𝑗 ) = 0, 𝑗 > 𝑟 2) ∀ 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 𝑒𝑖 – собственный вектор линейного оператора 𝜙* 𝜙 ∈ 𝐿(𝐸) с собственным значением 𝜎𝑖2 (полагаем 𝜎𝑖 = 0 при 𝑖 > 𝑟) ∀ 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 𝑓𝑗 – собственный вектор линейного оператора 𝜙𝜙* ∈ 𝐿(𝐸 ′ ) с собственным значением 𝜎𝑗2 (полагаем 𝜎𝑗 = 0 при 𝑗 > 𝑟) 3) 𝜎12 , . . . , 𝜎𝑟2 – в точности все ненулевые собственные значения линейного оператора 𝜙* 𝜙, а также линейного оператора 𝜙𝜙* 87 Следствие (SVD). 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R), 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟 ⇒ ∃ ортогональный матрицы 𝑈 ∈ 𝑀𝑚 (R) и 𝑉 ∈ 𝑀𝑛 (R), такие что 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 𝑇 , где ⎛ 𝜎1 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 ⎜ .. ⎜ . 0 ⎜0 0 ⎜ Σ = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ... ⎟ 0⎠ 0 0 𝜎1 > 𝜎2 > · · · > 𝜎𝑟 > 0, 𝜎𝑖 определена однозначно Доказательство. Применить теорему о сингулярных базисах к линейному оператору R𝑛 → R𝑚 , 𝑥 → 𝐴𝑥 (∃ ортогональные 𝑈, 𝑉 , такие что 𝑈 −1 𝐴𝑉 = Σ ⇒ 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 −1 = 𝑈 Σ𝑉 𝑇 ) Замечание. Столбцы матрицы 𝑈 называются левыми сингулярными векторами для 𝐴, столбцы матрицы 𝑉 называются правыми сингулярными векторами. 𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 – сингулярные значения матрицы 𝐴. 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 𝑇 – сингулярное разложение 𝑢𝑖 = 𝑈 (𝑖) , 𝑣𝑗 = 𝑉 (𝑗) 𝑚×𝑚 𝑚×𝑚 𝑚×𝑛 ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ Предложение. а) 𝑚 6 𝑛 ⇒ 𝐴 = 𝐴ˆ Σ̂ 𝑉ˆ 𝑇 , где 𝑈ˆ = 𝑈, Σ̂ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 , 0, . . . , 0) ∈ 𝑀𝑚 (R), 𝑉ˆ = (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚 ) 𝑚×𝑛 𝑛×𝑛 𝑛×𝑛 ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ б) 𝑚 > 𝑛 ⇒ 𝐴 = 𝐴ˆ Σ̂ 𝑉ˆ 𝑇 , где 𝑈ˆ = (𝑢1 , . . . , 𝑢𝑛 ), Σ̂ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 , 0, . . . , 0) ∈ 𝑀𝑛 (R), 𝑉ˆ = 𝑉 Доказательство. а) Σ𝑉 𝑇 = Σ̂𝑉ˆ 𝑇 – прямая проверка б) 𝑈 Σ = 𝑈ˆ Σ̂ – прямая проверка Определение. Разложение 𝐴 = 𝑈ˆ Σ̂𝑉ˆ 𝑇 называется усеченным сингулярным разложением матрицы 𝐴. 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 𝑇 – как выше 𝑟𝑘=1 ⏞ ⏟ Предложение. 𝐴 = 𝑢1 𝜎1 𝑣1𝑇 +𝑢2 𝜎2 𝑣2𝑇 + · · · + 𝑢𝑟 𝜎𝑟 𝑣𝑟𝑇 (*) ⎛ 𝜎1 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 ⎜ .. ⎜ . 0 ⎜0 0 ⎜ 𝑇 ˆ ˆ ˆ Доказательство. B 𝐴 = 𝑈 Σ̂𝑉 = 𝑈 ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 88 ⎞ ⎛ 0⎟ ⎟ 𝜎1 ⎟ 0 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 0⎟ 𝑉ˆ 𝑇 = 𝑈ˆ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0⎟ ⎟ .. . 0⎠ 0 0 ⎞ 0 0 0 0⎟ ⎟ ˆ𝑇 𝑉 + ... ⎟ 0⎠ 0 0 0 ⎛ ⎛ 0 0 ⎜0 𝜎 2 ⎜ 𝑈ˆ ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 . ⎜ 0 0 ⎜0 . . 0 0 ⎜ 0 0⎟ ⎟ ˆ𝑇 ⎜0 0 0 0 ˆ 𝑉 +· · ·+ 𝑈 ⎟ ⎜ ... ⎠ ⎜0 0 0 𝜎𝑟 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ 0 0 ⎜ .. ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑇 ⎟ ⎜ . ⎟ 𝜎 𝑣 1 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜𝜎 2 𝑣 𝑇 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0⎟ ˆ 𝑇 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 𝑉 = 𝑈ˆ ⎜ .. ⎟+𝑈ˆ ⎜ .. ⎟+· · ·+𝑈ˆ ⎜𝜎𝑟 𝑣𝑟𝑇 ⎟ = 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎟ ⎜ 0 ⎟ .. ⎜ . ⎟ . 0⎠ ⎝ .. ⎠ 0 0 𝑢1 𝜎1 𝑣1𝑇 + 𝑢2 𝜎2 𝑣2𝑇 + · · · + 𝑢𝑟 𝜎𝑟 𝑣𝑟𝑇 C Замечание. Если 𝑟 "мало" по сравнению с 𝑚, 𝑛, то матрицу 𝐴 можно хранить в виде (*), на это требуется 𝑟(𝑚 + 𝑛 + 1) << 𝑚𝑛. Напоминание. Пространство 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) является евклидовым пространством относительно скалярного произведения (𝐴, 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴𝑇 𝐵). В этом пространстве длина матрицы 𝐴 называется ее нормой Фробениуса (или фробениусовой нормой). Обозначение: ||𝐴|| √︃ 𝑚 ∑︀ 𝑛 √︀ ∑︀ 𝑎2𝑖𝑗 ||𝐴|| = 𝑡𝑟(𝐴𝑇 𝐴) = 𝑖=1 𝑗=1 Предложение. Пусть 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R). Тогда а) ∀ 𝑈 ∈ 𝑀𝑚 (R) – ортогональная ||𝑈 𝐴|| = ||𝐴|| б) ∀ 𝑉 ∈ 𝑀𝑛 (R) – ортогональная ||𝐴𝑉 || = ||𝐴|| Доказательство. B a) ∀ 𝑥 ∈ R𝑚 : |𝑈 𝑥| = |𝑥|, т.к. умножение на ортогональную матрицу – это ортогональный оператор в R𝑚 ||𝐴||2 = |𝐴(1) |2 + |𝐴(2) |2 + · · · + |𝐴(𝑛) |2 = |𝑈 𝐴(1) |2 + |𝑈 𝐴(2) |2 + · · · + |𝑈 𝐴(𝑛) |2 = |(𝑈 𝐴)(1) |2 + |(𝑈 𝐴)(2) |2 + · · · + |(𝑈 𝐴)(𝑛) |2 = ||𝑈 𝐴||2 б) Аналогично C Теорема о низкоранговом приближении. Пусть 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) и 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 𝑇 – ее сингуляр⎞ ⎛ 𝜎1 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ное разложение, Σ = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 . . . 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 𝜎1 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Пусть 𝑘 < 𝑟 и Σ𝑘 = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑘 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 . . . 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 Тогда минимум величины ||𝐴 − 𝐵|| среди всех матриц 𝐵 достигается при 𝐵 = 𝑈 Σ𝑘 𝑉 𝑇 . Лемма 1. Пусть 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑝 – ортонормированная система в евклидовом пространстве 𝐸, 89 𝑆 =< 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑝 >. Тогда ∀ 𝑏 ∈ 𝐸 : |𝑝𝑟𝑆 𝑏|2 = (𝑎1 , 𝑏)2 + · · · + (𝑎𝑝 , 𝑏)2 Если 𝑏 ∈ 𝑆, то |𝑏|2 = (𝑎1 , 𝑏)2 + · · · + (𝑎𝑝 , 𝑏)2 Доказательство. B |𝑝𝑟𝑆 𝑏|2 = | 𝑝 ∑︀ (𝑎𝑖 , 𝑏)𝑎𝑖 |2 = 𝑖=1 Если 𝑏 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑏 = 𝑝𝑟𝑆 𝑏 C 𝑝 ∑︀ |(𝑎𝑖 , 𝑏)𝑎𝑖 |2 = 𝑖=1 𝑝 ∑︀ (𝑎𝑖 , 𝑏)2 𝑖=1 Лемма 2. 𝑠1 , . . . , 𝑠𝑟 , 𝑡1 , . . . , 𝑡𝑟 ∈ R, 𝑠1 > · · · > 𝑠𝑟 > 0, 0 6 𝑡𝑖 6 1, 𝑡1 + · · · + 𝑡𝑟 > 𝑟 − 𝑘 для некоторого 𝑘 6 𝑟 ⇒ 𝑠1 𝑡1 + · · · + 𝑠𝑟 𝑡𝑟 > 𝑠𝑘+1 + · · · + 𝑠𝑟 Доказательство: упражнение Доказательство теоремы. B В силу предложения достаточно доказать утверждение для 𝐴 = Σ. 2 При 𝐵 = Σ𝑘 : ||𝐴 − 𝐵|| = 𝜎𝑘+1 + · · · + 𝜎𝑟2 Теперь пусть 𝐵 – проивзольная матрица ранга 6 𝑘 Σ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1 , . . . , 𝜎𝑟 ) ∈ 𝑀𝑟 (R) 𝐵 – левый верхний блок 𝑟 × 𝑟 в 𝐵 Тогда ||Σ − 𝐵||2 > ||Σ − 𝐵||2 𝑟𝑘𝐵 6 𝑟𝑘𝐵 6 𝑘 (1) (𝑟) Положим 𝑆 =< 𝐵 , . . . , 𝐵 >, 𝑑 = 𝑑𝑖𝑚𝑆 6 𝑘 Выберем в 𝑆 ортонормированный базис (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑑 ) и дополним его до ортонормированного базиса (𝑓1 , . . . , 𝑓𝑟 ) в R𝑟 (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑟 ) – стандартный базис в R𝑛 ||Σ − 𝐵||2 = 𝑟 ∑︀ |Σ (𝑖) (𝑖) − 𝐵 |2 > 𝑖=1 𝑟 ∑︀ |𝑜𝑟𝑡𝑆 Σ(𝑖) |2 = 𝑖=1 𝑟 ∑︀ |𝑜𝑟𝑡𝑆 𝜎𝑖 𝑒𝑖 |2 = 𝑖=1 𝑟 ∑︀ 𝜎𝑖2 |𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑒𝑖 |2 𝑖=1 𝑡𝑖 = |𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑒𝑖 |2 0 6 𝑡𝑖 6 1 𝑟 ∑︀ 𝑖=1 𝑡𝑖 = 𝑟 ∑︀ 𝑖=1 |𝑜𝑟𝑡𝑆 𝑒𝑖 |2 = =1 𝑟 ∑︀ |𝑝𝑟𝑆 ⊥ 𝑒𝑖 |2 = (лемма 1) = 𝑖=1 𝑟 𝑟 ∑︀ ∑︀ (𝑒𝑖 , 𝑓𝑗 )2 = 𝑖=1 𝑗=𝑑+1 𝑟 𝑟 ∑︀ ∑︀ ⏞ ⏟ 𝑟 ∑︀ |𝑓𝑗 |2 = (𝑒𝑖 , 𝑓𝑗 )2 = 𝑗=𝑑+1 𝑖=1 𝑗=𝑑+1 2 𝑟 − 𝑑 > 𝑟 − 𝑘 ⇒ ||Σ − 𝐵||2 > 𝜎𝑘+1 + · · · + 𝜎𝑟2 C 33 Лекция 31.05.2018 Аффинная систма координат в R𝑛 определяется репЕром (𝑝, 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ), где 𝑝 ∈ R𝑛 – точка, (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) – базис R𝑛 (как векторного пространства). Любая точка 𝑥 определяется однозначно своими координатами (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) в этой аффинной системе координат (= в этом репере). 𝑥 = 𝑝 + 𝑥1 𝑒 1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒 𝑛 Пусть теперь (𝑝′ , 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) – другой репер (𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) · 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 (R) – матрицы перехода 𝑝′ = 𝑝 + 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑝 + 𝑥1 𝑒 1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒 𝑛 𝑥 = 𝑝′ + 𝑥′1 𝑒′1 + · · · + 𝑥′𝑛 𝑒′𝑛 90 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑥′1 𝛼1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ Предложение. ⎝ . ⎠ = 𝐶 ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 𝑥′𝑛 𝛼𝑛 ⎛ ⎞ 𝑥1 ⎜ ⎟ Доказательство. B 𝑥 = 𝑝 + (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ ... ⎠ 𝑥𝑛 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ 𝑥1 𝛼1 𝑥′1 𝑥1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ′ ′ ′ ⎜ .. ⎟ 𝑥 = 𝑝 + (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ . ⎠ = 𝑝 + (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ . ⎠ + (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐶 ⎝ . ⎠ ⇔ (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝ . ⎠ = 𝑥′ 𝛼𝑛 𝑥′𝑛 𝑥𝑛 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 𝑛 ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ ′ 𝑥1 𝛼1 𝑥1 𝑥1 𝛼1 ⎜ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) ⎝𝐶 ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠⎠ ⇒ ⎝ . ⎠ = 𝐶 ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠ C 𝑥′𝑛 𝛼𝑛 𝑥𝑛 𝑥′𝑛 𝛼𝑛 Определение. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК), если в соответствующем репере базис (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) является ортонормированным. Замечание. Если есть ПДСК с репером (𝑝, 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ) и другая аффинная система координат с репером (𝑝′ , 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛 ), то вторая аффинная система координат будет ПДСК ⇔ 𝐶 ортогональная, где (𝑒′1 , . . . , 𝑒𝑛 ) = (𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 )𝐶 33.1 Метрическая классификация гиперповерхностей второго порядка в R𝑛 Определение. Множество 𝑋 ⊆ R𝑛 называется квадрикой (или гиперповерхностью второго порядка), если в какой-либо аффинной системе координат она задается уравнением 𝑄(𝑥) квадратичная форма ⏞ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎𝑖𝑖 𝑥2𝑖 ⏟ ∑︁ + 𝑙(𝑥) линейная форма 2𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + ⏞ ⏟ ∑︁ 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 +𝑐 = 0(*) 𝑖=1 16𝑖<𝑗6𝑛 Замечание. 𝑛 = 2 ⇒ "коники" (от слова конус) или "кривые второго порядка" 𝑛 = 3 ⇒ "поверхности второго порядка" Основная задача: Найти новую ПДСК, в которой уравнение (*) имеет простой вид. Теорема. ∀ гиперповерхности второго порядка в R𝑛 ∃ ПДСК, в которой уравнение (*) имеет один из следующих видов: I (невырожденный случай) 𝐴1 𝑥21 + · · · + 𝐴𝑛 𝑥2𝑛 + 𝑐 = 0, 𝐴𝑖 = 0 II (вырожденный) a) 𝐴1 𝑥21 + · · · + 𝐴𝑘 𝑥2𝑘 + 𝑐 = 0, 𝑘 < 𝑛, 𝐴𝑖 ̸= 0 б) 𝐴1 𝑥21 + · · · + 𝐴𝑘 𝑥2𝑘 + 𝐵𝑥𝑘+1 = 0, 𝑘 < 𝑛, 𝐴𝑖 ̸= 0, 𝐵 ̸= 0 Доказательство. B Шаг 1. Переходя к новым координатам, приводим квадратичную форму 𝑄(𝑥) к главным осям. В новых координатах уравнение (*) будет иметь вид 𝐴′1 𝑥′1 2 + · · · + 𝐴′𝑛 𝑥′𝑛 2 + 𝑏′1 𝑥′1 + · · · + 𝑏′𝑛 𝑥′𝑛 + 𝑐′ = 0 91 Шаг 2. Делаем замену: 𝑥′𝑖 = 𝑥′′𝑖 − 𝑏′𝑖 2𝐴′𝑖 ∀ 𝑖 с условием 𝐴′𝑖 ̸= 0, 𝑥′𝑖 = 𝑥′′𝑖 ∀ 𝑖 с условием 𝐴′𝑖 = 0 В результате после перенумерации переменных получаем 𝐴′′1 𝑥′′1 2 + · · · + 𝐴′′𝑘 𝑥′′𝑘 2 + 𝑏′′𝑘+1 𝑥′′𝑘+1 + · · · + 𝑏′′𝑛 𝑥′′𝑛 + 𝑐′′ = 0, 𝑘 6 𝑛, 𝐴𝑖 ̸= 0 Если 𝑘 = 𝑛, то сразу получаем I Если 𝑘 < 𝑛 и 𝑏𝑖 = 0, то получаем IIа Если 𝑘 < 𝑛 и ∃ 𝑏′′𝑖 ̸= 0, то Шаг ⎧ 3. Делаем замену ⎪ 𝑥′′𝑖 = 𝑥′𝑖 при 𝑖 6 𝑘 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑥′′ = √ ′′ 21 (𝑏′′𝑘+1 𝑥′′𝑘+1 + · · · + 𝑏′′𝑛 𝑥′′𝑛 + 𝑐′′ ) 2 ⎪ 𝑏𝑘+1 +···+𝑏′′ ⎨ 𝑘+1 𝑛 𝑥′′𝑘+2 = любое дополнение ⎪ ⎪ .. ⎪ ⎪ . до ортоногонального ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ′′ 𝑥𝑛 = базиса В результате получаем IIб C Канонические виды кривых второго порядка в R2 33.2 1) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 – эллипс 2) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = −1, 𝑎 > 𝑏 > 0 – мнимый эллипс 3) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 0, 𝑎 > 𝑏 > 0 – пара мнимых непересекающихся прямых 4) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 – гипербола 5) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 0, 𝑎, 𝑏 > 0 – пара пересекающихся прямых 6) 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 𝑝 > 0 – парабола 7) 𝑥2 = 𝑎2 , 𝑎 > 0 – пара параллельных прямых 8) 𝑥2 = −𝑎2 , 𝑎 > 0 – пара мнимых параллельных прямых 9) 𝑥2 = 0 – пара совпадающих прямых Картиночки: Канонические виды поверхностей второго порядка в R3 33.3 1) 𝑥2 𝑎2 2) + 𝑦2 𝑏2 𝑥2 𝑎2 + + 𝑧2 𝑐2 𝑦2 𝑏2 = 1, 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0 – эллипсоид + 𝑧2 𝑐2 = −1 – мнимый эллипсоид 92 3) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 0 – вырожденный эллипсоид 4) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0, 𝑐 > 0 – однополостный гиперболоид 5) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = −1, 𝑎 > 𝑏 > 0, 𝑐 > 0 – двуполостный гиперболоид 6) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 0, 𝑎 > 𝑏 > 0, 𝑐 > 0 – эллиптический конус 7) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 2𝑧 – эллиптический параболоид 8) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 2𝑧 – гиперболический параболоид 9) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 – эллиптический цилиндр 10) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = −1 – мнимый эллиптический цилиндр 11) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 – гиперболический цилиндр 12) 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 𝑝 > 0 – параболический цилиндр 13) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей 14) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 0 – пара мнимых пересекающихся плоскостей 15) 𝑦 2 = 𝑎2 , 𝑎 ̸= 0 – пара параллельных плоскостей 16) 𝑦 2 = −𝑎2 , 𝑎 ̸= 0 – пара мнимых параллельных плоскостей 17) 𝑦 2 = 0 – пара совпадающих плоскостей 34 Лекция 7.06.2018 34.1 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 Эллипс = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑎 – большая полуось, 𝑏 – малая полуось 93 √ 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2 06𝑐<𝑎 Точки 𝐹1 (𝑐, 0), 𝐹2 (−𝑐, 0) называются фокусами эллипса. Теорема. Точка 𝑃 лежит на эллипсе ⇔ 𝜌(𝑃, 𝐹1 ) + 𝜌(𝑃, 𝐹2 ) = 2𝑎 𝜖 = 𝑎𝑐 , 0 6 𝜖 6 1 – эксцентралитет эллипса Прямые 𝑑1 : 𝑥 = 𝑎𝜖 , 𝑑2 : 𝑥 = − 𝑎𝜖 называются директрисами эллипса. Теорема. Точка 𝑃 лежит на эллипсе ⇔ 𝜌(𝑃,𝐹𝑖 ) 𝜌(𝑑𝑖 ) =𝜖 Оптическое свойство эллипса: Лучи света, выпущенные из одного фокуса, после отражения от стенок собираются в другом фокусе. 34.2 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 Гипербола = 1, 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑎 – действительная полуось, 𝑏 – мнимая полуось 𝑦 = 𝑎𝑏 𝑥, 𝑦 = − 𝑎𝑏 𝑥 – асимптоты √ 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑐 > 𝑎 𝐹1 (𝑐, 0), 𝐹2 (−𝑐, 0) – фокусы Теорема. 𝑃 лежит на гиперболе ⇔ |𝜌(𝑃, 𝐹1 ) − 𝜌(𝑃, 𝐹2 )| = 2𝑎 𝜖 = 𝑎𝑐 , 𝜖 > 1 Директрисы: 𝑑1 : 𝑥 = 𝑎𝜖 , 𝑑2 : 𝑥 = − 𝑎𝜖 Теорема. Точка 𝑃 лежит на гиперболе ⇔ 𝜌(𝑃,𝐹𝑖 ) 𝜌(𝑑𝑖 ) =𝜖 Оптическое свойство гиперболы: Лучи света, выпущенные из одного фокуса, после отражения от стенок идут так, как будто они были выпущены из другого фокуса. 94 34.3 Парабола 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 𝑝 > 0 Фокус: 𝐹 ( 𝑝2 , 0) Директриса: 𝑑 : 𝑥 = 𝜖=1 𝑝 2 Теорема. Точка 𝑃 лежит на гиперболе ⇔ 𝜌(𝑃, 𝐹 ) = 𝜌(𝑃, 𝑑) Оптическое свойство параболы: Лучи света, выпущенные из фокуса, после отражения от стенок идут параллеьно оси 𝑂𝑥. Эллипс, гипербола и парабола называются кониками (или коническими сечениями) 34.4 Жорданова нормальная форма 𝑉 – векторное пространство над полем 𝐹 𝜙 : 𝑉 → 𝑉 – линейный оператор Критерий диагонализуемости: 95 𝜙 диагонализуем ⇔ 1) 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 . . . (𝑡 = 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 2) ∀ 𝑖 : 𝑘𝑖 = 𝑑𝑖𝑚𝑉𝜆𝑖 (𝜙) Теорема (о Жордановой нормальной форме). Пусть выполнено условие 1), т.е. 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 . . . (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 . Тогда ∃ базис 𝑒 в 𝑉 , такой что ⎛ 𝑚 ⎞ 𝐽𝜇11 0 0 ... ⎜ 0 𝐽 𝑚2 0 . . . 0 ⎟ 𝜇2 ⎜ ⎟ 𝑚3 ⎜ 0 0 𝐽𝜇3 . . . 0 ⎟ 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ ⎟ (*) ⎜ .. . . . . .. .. .. .. ⎟ ⎝ . ⎠ ... 𝑚 𝐽𝜇𝑝𝑝 ⎛ ⎞ 𝜇𝑖 1 0 . . . 0 ⎜ 0 𝜇𝑖 1 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ где 𝐽𝜇𝑚𝑖 𝑖 = ⎜ 0 0 𝜇𝑖 . . . 0 ⎟ – Жорданова клетка порядка 𝑚𝑖 с собственным значением 𝜇𝑖 ⎜ .. .. .. .. .. ⎟ ⎝. . . . .⎠ 0 0 0 . . . 𝜇𝑖 {𝜇1 , . . . , 𝜇𝑝 } = 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 = {𝜆1 , . . . , 𝜆𝑝 } Более того, вид (*) определен однозначно с точностью до перестановки клеток. 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉 ), 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 . . . (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 Определение. Вектор 𝑣 ∈ 𝑉 называется корневым вектором линейного оператора 𝜙, отвечающим собственному значению 𝜆, если ∃ 𝑚 > 0, такое что (𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑)𝑚 𝑣 = 0. При этом наименьшее такое 𝑚 называется высотой корневого вектора 𝑣. Обозначение: ℎ𝑡(𝑣) ℎ𝑡(𝑣) = 0 ⇔ 𝑣 = 0 ℎ𝑡(𝑣) = 1 ⇔ (𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑)𝑣 = 0 ⇔ 𝜙(𝑣) = 𝜆𝑣 ⇔ 𝑣 – собственный вектор с собственным значением 𝜆 𝑉 𝜆 (𝜙) – множество всех корневых векторов, отвечающих собственному значению 𝜆 Упражнение. 𝑉 𝜆 (𝜙) – подпространство в 𝑉 Определение. 𝑉 𝜆 (𝜙) называется корневым подпространством, отвечающим собственному значению 𝜆 Замечание. 𝑉𝜆 (𝜙) ⊆ 𝑉 𝜆 (𝜙) Пример. 𝑉 = 𝐹 [𝑥]6𝑛 , 𝑐ℎ𝑎𝑟𝐹 = 0 𝜙 : 𝑓 → 𝑓′ 𝜒𝜙 (𝑡) = 𝑡𝑛+1 , 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 = {0} 𝑉 0 (𝜙) = 𝑉 𝐹 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑑𝑒𝑔(𝑓 ) = 𝑘 ⇔ ℎ𝑡(𝑓 ) = 𝑘 + 1 Факты. 1) 𝑉 𝜆 (𝜙) 𝜙-инвариантно 2) 𝑑𝑖𝑚𝑉 𝜆 (𝜙) = алгебраической кратности собственного значения 𝜆 3) Если 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑘 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙, 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗, то 𝑉 𝜆1 (𝜙) . . . 𝑉 𝜆𝑘 (𝜙) линейно независимы 96 Следствие. Если 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 . . . (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 , то 𝑉 = 𝑉 𝜆1 (𝜙) ⊕ · · · ⊕ 𝑉 𝜆𝑠 (𝜙) Если 𝑒𝑖 – базис в 𝑉 𝜆 (𝜙) и 𝑒 = 𝑒1 ⊔ 𝑒1 ⊔ · · · ⊔ 𝑒𝑠 , то ⎛ 𝐴1 0 ⎜ 0 𝐴2 ⎜ ⎜ 𝐴(𝜙, 𝑒) = ⎜ 0 0 ⎜ .. .. ⎝ . . 0 ... 0 ... 𝐴3 . . . .. .. . . 0 ... .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐴𝑠 𝐴𝑖 = 𝐴(𝜙|𝑉 𝜆𝑖 (𝜙) , 𝑒𝑖 ) ⇒ доказательство теоремы о ЖНФ сводится к случаю 𝑉 = 𝑉 𝜆𝑖 (𝜙) Далее считаем, что 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 = {𝜆}, 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆)𝑛 , 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 𝑉 = 𝑉 𝜆 (𝜙) Полагая 𝜓 = 𝜙 − 𝜆 · 𝐼𝑑, получаем 𝜒𝜓 (𝑡) = 𝑡𝑛 , 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜓 = {0}, 𝑉 = 𝑉 0 (𝜓) Далее считаем 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 = {0} Определение. Линейный оператор называется нильпотентным, если ∃𝑚 ∈ N, такой что 𝜙𝑚 = 0 собственное подпространство Фиксируем наименьший 𝑚, такой что 𝜙 𝐾𝑒𝑟𝜙2 ⊆ · · · ⊆ 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚 = 𝑉 35 𝑚 = 0. Имеем 0 = 𝐾𝑒𝑟𝜙 ⊆ ⏞ ⏟ 𝐾𝑒𝑟𝜙1 ⊆ Лекция 14.06.2018 𝑉 – векторное пространство над 𝐹 𝜙 : 𝑉 → 𝑉 – линейный оператор 𝜒𝜙 (𝑡) = (𝑡 − 𝜆1 )𝑘1 . . . (𝑡 − 𝜆𝑠 )𝑘𝑠 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑠} ⇒ 𝑉 𝜆𝑖 (𝜙) – корневое подпространство 𝑑𝑖𝑚𝑉 𝜆𝑖 (𝜙) = 𝑘𝑖 𝑉 = 𝑉 𝜆1 (𝜙) ⊕ · · · ⊕ 𝑉 𝜆𝑠 (𝜙) 𝜙𝑖 = (𝜙 − 𝜆𝑖 · 𝐼𝑑)|𝑉 𝜆𝑖 (𝜙) 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙𝑖 = {0} 𝜙𝑘𝑖 𝑖 = 0 Определение. Линейный оператор 𝜙 называется нильпотентным, если ∃ 𝑚 ∈ N, такой что 𝜙 > 0. 𝑚 Пусть 𝑚 ∈ N наименьшее с таким свойством. {0} = 𝐾𝑒𝑟𝜙 $ 𝐾𝑒𝑟𝜙1 $ 𝐾𝑒𝑟𝜙2 $ · · · $ 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚 = 𝑉 𝑑𝑖 = 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟𝜙𝑖 0 = 𝑑0 < 𝑑1 < 𝑑2 < · · · < 𝑑𝑚 = 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝑉 𝑣 ∈ 𝑉, ℎ𝑡(𝑣) = 𝑘 Лемма. Векторы 𝑣, 𝜙(𝑣), . . . , 𝜙𝑘−1 (𝑣) линейно независимы. 𝐶(𝑣) =< 𝑣, 𝜙(𝑣), . . . , 𝜙𝑘−1 (𝑣) > Определение. 𝐶(𝑣) называется циклическим подпространством, порожденным вектором 𝑣. 𝐶(𝑣) 𝜙-инвариантно 97 𝐵(𝑣) = (𝜙𝑘−1 (𝜙), . . . , 𝜙(𝑣), 𝑣) – базис в 𝐶(𝑣) Матрица линейного оператора 𝜙|𝐶(𝑣) в базисе ⎛ 0 1 0 ⎜0 0 1 ⎜ ⎜0 0 1 ⎜ ⎜ .. .. .. ⎜. . . ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 𝐵(𝑣) равна ⎞ ... 0 0 . . . 0 0⎟ ⎟ . . . 0 0⎟ ⎟ . . .. .. ⎟ . . .⎟ ⎟ . . . 0 1⎠ ... 0 0 Вывод: достаточно разложить 𝑉 в прямую сумму циклических подпространств. 35.1 Метод построения жорданова базиса Шаг 1. Выберем линейно независимый набор 𝑒𝑚 ⊆ 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚 , такой что 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚 =< 𝑒𝑚 > ⊕𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚−1 Положим 𝑓𝑚 = 𝑒𝑚 Шаг 2. Выберем линейно независимый набор 𝑒𝑚−1 ⊆ 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚−1 , такой что 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚−1 =< 𝜙(𝑓𝑚 ) > ⊕ < 𝑒𝑚−1 > ⊕𝐾𝑒𝑟𝜙𝑚−2 Положим 𝑓𝑚−1 = 𝜙(𝑓𝑚 ) ∪ 𝑒𝑚−1 (и так далее) Шаг 𝑚. Выберем линейно независимый набор 𝑒1 ⊆ 𝐾𝑒𝑟𝜙, такой что 𝐾𝑒𝑟𝜙 =< 𝜙(𝑓2 ) > ⊕ < 𝑒1 > На выходе получаем наборы 𝑒𝑚 , . . . , 𝑒1 Положим 𝑒 = 𝑒𝑚 ∪ · · · ∪ 𝑒1 Теорема. 1) 𝑉 = ⊕𝑒′ ∈𝑒 𝐶(𝑒′ ) 2) ∪𝑒′ ∈𝑒 𝐵(𝑒′ ) – жорданов базис для 𝜙 Пусть 𝑐𝑘 число жордановых клеток размера 𝑘 𝑐𝑘 = |𝑒𝑘 | 𝐾𝑒𝑟𝜙𝑘 =< 𝜙(𝑓𝑘+1 ) > ⊕ < 𝑒𝑘 > ⊕𝐾𝑒𝑟𝜙𝑘−1 =𝑑𝑘+1 −𝑑𝑘 ⏞ ⏟ 𝑑𝑘 = |𝜙(𝑓𝑘+1 )| +𝑐𝑘 + 𝑑𝑘−1 𝑑𝑘 = 𝑑𝑘+1 − 𝑑𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑑𝑘−1 𝑐𝑘 = 2𝑑𝑘 − 𝑑𝑘−1 − 𝑑𝑘+1 98 35.2 Полуторалинейные формы и эрмитовы пространства билинейная форма ↓ симметричная билинейная форма ↓ квадратичная форма ↓ положительно определенная квадратичная форма (над R) ↓ евклидово пространство (над R) Определение. Полуторалинейная форма (1,5-линейная) на векторном пространстве 𝑉 над C – это отображение 𝛽 : 𝑉 × 𝑉 → C, такое что 1) Полулинейность по первому аргументу 𝛽(𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 , 𝑦) = 𝛼1 𝛽(𝑥1 , 𝑦) + 𝛼2 𝛽(𝑥2 , 𝑦) 2) Линейность по второму аргументу ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ В координатах 𝑥 = ⎝ . ⎠ , 𝑦 = ⎝ . ⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 ⎛ ⎞ 𝑦1 ⎜ .. ⎟ 𝛽(𝑥, 𝑦) = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 )𝐵 ⎝ . ⎠ 𝑦𝑛 ⎛ Формула изменения матрицы 1,5-линейной формы: 𝐵 ′ = 𝐶 * 𝐵𝐶 𝑇 𝐶 * = 𝐶 = (𝑐𝑗𝑖 ) Определение. 1,5-линейная форма называется эрмитовой, если 𝛽(𝑦, 𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑦) 𝛽(𝑥, 𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑥) ⇒ 𝛽(𝑥, 𝑥) ∈ R 𝑄(𝑥) = 𝛽(𝑥, 𝑥) – эрмитова квадратичная форма 𝑄:𝑉 →𝑅 Теорема о нормальном виде. 𝑄 – эрмитова квадратичная форма ⇒ ∃ базис, такой что 𝑄(𝑥) = |𝑥1 |2 + · · · + |𝑥𝑘 |2 − |𝑥𝑘+1 |2 − · · · − |𝑥𝑘+𝑠 |2 Определение. Эрмитово пространство – это векторное пространство над C, на котором задано скалярное произведение, то есть положительно определенная эрмитова 1,5-линейная форма. 1,5-линейная форма ↓ эрмитова форма ↓ эрмитова квадратичная форма ↓ положительно определенная эрмитова квадратичная форма (над C) ↓ эрмитово пространство (над C) 99 √︀ Длина: |𝑥| = (𝑥, 𝑥) Неравенство Коши-Буняковского Неравенство треугольника Ортогональность Ортогональное дополнение 𝑈 – подпространство в 𝑉 ⇒ 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ⊥ Ортонормированный базис 𝑒, 𝑒′ – два ортогональных базиса, 𝑒′ = 𝑒 · 𝐶 𝐶 – унитарная матрица 𝐶 −1 = 𝐶 * Линейный операторы в эрмитовых пространствах 1) самосопряженный (𝜙(𝑥), 𝑦) = (𝑥, 𝜙(𝑦)) 2) унитарный (𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)) = 𝜙(𝑥, 𝑦) Теорема. 1) 𝜙 – самосопряженный ⇒ ∃ ортонормированный базис из собственных векторов; 𝑆𝑝𝑒𝑐𝜙 ⊆ R 2) 𝜙 – унитарный оператор ⇒ ∃ ортонормированный базис из собственных векторов 𝜆 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐𝑓 ⇒ |𝜆| = 1 Аналогичное сингулярное разложение 𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (C) ⇒ ∃ унитарная матрица 𝑈 ∈ 𝑀𝑚 (C), 𝑉 ∈ 𝑀𝑛 (C), такие что 𝐴 = 𝑈 Σ𝑉 * ⎞ ⎛ 𝜎1 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 𝜎2 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ . 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ Σ = ⎜ 0 0 0 𝜎𝑟 0 0 0⎟ , 𝜎𝑖 ∈ R, 𝜎1 > · · · > 𝜎𝑟 > 0, 𝜎𝑖 определено однозначно ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 . . . 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 100