Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ) I СЕМЕСТР ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. §1. Вектор. Основные понятия. Очень часто для построения экономических моделей требуется простая и i = 1, 2, . . . n. компактная форма записи сложных экономических процессов. С этой целью будущим экономистам необходимо знать основные понятия и положения такого раздела математики как матричная алгебра. При изложении материала мы будем опираться на понятия и теоремы школьного курса элементарной математики. Например, определения вещественных (действительных) чисел, декартовой системы координат, отображения, точки, прямой, длины отрезка. Понятие вектора известно из школьного курса математики, но вспомним основные факты, связанные с ним. Если про две точки известно, какая из них первая, а какая – вторая, то эту пару точек назовем упорядоченной. Определение. Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, а второй – концом вектора. В А Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор обозначается. Длина его равна нулю, а направление – любое. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Определение. Для каждого ненулевого вектора вводится понятие противоположного вектора -, который коллинеарен данному, имеет такую же длину, но направлен в противоположную сторону. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Если компланарные векторы привести к одному началу, то они будут лежать в одной плоскости. В любой системе координат вектор полностью определяется своими координатами: . Например, пусть в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ координаты начала и конца вектора соответственно A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2). Тогда координатами этого вектора будут являться его проекции на соответствующие координатные оси и определяются они формулами: Очевидно, что длина вектора определяется по формуле: . §2. Линейные операции над векторами. Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Пусть даны два вектора = (a1, a2, a3) и =(b1, b2, b3). Суммой векторов и является вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов и : с1=а1+b1, c2=a2+b2, c3=a3+b3. Геометрически можно показать, что для получения суммы векторов нужно совместить конец вектора с началом вектора , тогда вектор будет направлен от начала первого вектора к концу второго. + Замечание. Вычитание векторов, как и в арифметике, есть действие обратное сложению, т.е. вычесть из вектора вектор- это значит, что к вектору нужно прибавить вектор, противоположный вектору : - = + (- )= = (а1-b1, a2-b2, a3-b3). Определение. Произведением вектора 0 на число 0 называется вектор , координаты которого соответственно равны (а1,а2,а3). Геометрический смысл умножения вектора на число состоит в том, что его длина изменяется в  раз : уменьшается, если  < 1 и увеличивается, если  > 1. При этом коллинеарен , причем вектор сонаправлен с вектором ( ), если  > 0 и вектор противоположно направлен с вектором (), если  < 0. Основные свойства линейных операций векторов. Пусть , и - любые векторы, а  и  - любые числа. 1) + = + - коммутативность сложения векторов (переместительное свойство). 2) + (+ ) = ( + )+ - ассоциативность сложения векторов (сочетательное свойство). 3) + = 4) +(-1) = 5) () = () – ассоциативность относительно числовых множителей (сочетательное свойство умножения). 6) (+) =  +  - дистрибутивность относительно суммы чисел (распределительное свойство). 7) ( + ) =  + - дистрибутивность относительно суммы векторов (распределительное свойство). 8) 1 = Пусть даны два вектора = (a1, a2, a3) и = (b1, b2, b3). Из определения коллинеарности векторов и определения произведения вектора на число вытекает, что (теорема): векторы и коллинеарны т. и т.т., если их координаты пропорциональны:  (2.1) Условие коллинеарности двух векторов. Доказательство: I) Пусть  = , т.е. (a1, a2, a3) = (b1, b2, b3)  a1=b1 a2=b2  (2.1) a3=b3 II) Пусть =, тогда a1=b1 a2=b2  = , т.е. . a3=b3 §3. Линейная комбинация векторов. Определение. Линейной комбинацией векторов , , . . . с действительными коэффициентами  , , . . ., , называется вектор . Утверждения: 1) Если векторы и коллинеарны, то их линейная комбинация с некоторыми действительными числами  и  (≠0 и ≠0) равна нулю: Действительно, и, наоборот, если || (самостоятельно). 2) Если векторы , и - компланарны, то найдутся такие числа  , ,  (≠0), что их линейная комбинация будет равна нулю ( и наоборот), т.е. , и - компланарны  Определение. Линейно независимыми векторами на плоскости называются два вектора, если они не коллинеары; а в 3-ех мерном пространстве – три вектора, если они не компланарны. Определение. Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку линейно независимых векторов. Определение. Если три единичных вектора (длина которого равна единице) взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов, то они являются базой прямоугольной декартовой системы координат. Обозначается - орты координат. Система координат называется правой, потому что векторы имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Для определения правого направления системы координат может быть использовано правило правого винта: если винт вкручивается в ось OZ со стороны 0, то отвертка вращается от X кY. Вектор в прямоугольной декартовой системе координат записывается в виде:, где ax, ay, az – прямоугольные декартовы координаты вектора или проекции этого вектора на соответствующие оси. В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке М однозначно соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки М. Декартовы координаты вектора отнесенные к , называются декартовыми координатами точки М. §4. Скалярное произведение векторов. Пусть и - произвольные векторы, а  - угол между ними:  Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:  = cos (3.1) Свойства скалярного произведения: 1)  =  - переместительный закон; 2) () = () = (), =const – сочетательный закон относительно умножения на число; 3) (+) = +  - распределительный закон относительно суммы векторов; 4)  = 2= 2 (3.2) – формула скалярного квадрата.  = cos(,) = 2 cos0 = 2. Из (3.2)   = - длина вектора равна корню квадратному из его скалярного квадрата. 5)  = 0, если  и наоборот, если  = 0, то при  0 и  0 векторы и взаимно перпендикулярны – это условие перпендикулярности двух векторов:    = 0 (3.3) Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то  = xa xb + ya yb + za zb (3.4) - скалярное произведение векторов в координатной форме Используя полученные равенства (3.1) и (3.4), получаем формулу для вычисления угла между векторами: (3.5) Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если Пример. Найти угол между векторами и , если . Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)(5 - 6), если Пример. При каком m векторы и перпендикулярны. Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если §5.Векторное произведение векторов. Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) , где  - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и 3) , и образуют правую тройку векторов. Обозначается: или .  Свойства векторного произведения векторов: 1) ; 2) , если  или = 0 или = 0; 3) (m)= (m) = m(); 4) (+ ) = +  ; 5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то = (4.1) 6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Пример. Найти векторное произведение векторов и . . §6. n-мерные векторы и векторные пространства. Понятие множества является одним из основных в математике. Определение. Семейство объектов, объединенных по определенному признаку, называется множеством. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками. Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент x из множества Х - записывается: х Х (х принадлежит Х); если же элемент х не входит в множество Х, то это соответствует записи х Ï Х (х не принадлежит Х). Если все элементы множества Х содержатся в другом множестве Y, то X  Y и говорят, что Х является подмножеством множества Y. Множества всех плоских (2-мерных) или пространственных (3-мерных) векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим понятие вектора для случая n-мерного пространства и дадим определение векторного пространства. Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х = (x1, x2, . . . xn ), где xi – i-ая компонента (координата) вектора Х. Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором Х = (x1, x2, . . . xn ), где xi – количество i-го товара, а соответствующие цены можно записать в виде Р = (р1, р2, . . . рn). Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: X = Y  xi = yi, i = 1, 2, . . . n. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z = X + Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов: zi = xi + yi, i = 1, 2, . . . n. Произведением вектора Х на действительное число  называется вектор U = X, компоненты ui которого равны произведению  на соответствующие компоненты вектора Х : ui = xi, i = 1, 2, . . . n. Пусть X, Y, Z – любые векторы одинаковой размерности, , - любые числа. Линейные операции над векторами (сумма векторов и умножение вектора на число) удовлетворяют следующим свойствам (аксиомам): 1. X + Y = Y + X; 2. (X + Y) + Z = X + (Y + Z); 3. (X) = ()X; 4. (X + Y) = X + Y; 5. ( + )X = aX + bX; 6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0, . . . , 0) такой, что X + 0 = X для любого вектора X (особая роль нулевого вектора); 7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = 0; 8. 1Х = Х для любого вектора Х (особая роль числового множителя 1). Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше свойствам 1 – 8, называется векторным пространством Rn. Заметим, что под X, Y, Z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством L. §7. Линейная зависимость векторов Определение. Вектор В называется линейной комбинацией векторов А1, А2, . . ., Аn векторного пространства Rn, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: В = 1А1 + a2А2 + . . .+ anАn, где 1, a2, . . . an – любые действительные числа. Определение. Векторы А1, А2, . . ., Аn называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация 1А1 + a2А2 + . . .+ anАn = 0, при не равных нулю одновременно i (i = 1, 2, . . . n), т.е. . Если же 1А1 + a2А2 + . . .+ anАn = 0 выполняется только при всех i = 0 (i = 1, 2, . . . n), то векторы называются линейно независимыми. Свойства линейно зависимой системы векторов. Свойство 1. Если среди векторов Аi (i = 1, 2, . . . n) есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве: В случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой: , т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, они находятся на параллельных прямых. Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны: В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны. Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Т.е., достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других (выражался через них). Утверждение. В пространстве Rn любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n. §8. Размерность и базис векторного пространства. Определение. Линейным подпространством линейного пространства L называется подмножество K векторов пространства L, замкнутое относительно операций сложения и умножения на число, т.е. из того, что векторы X,Y  K, следует, что X + Y и X принадлежат K. Определение. Множество всех линейных комбинаций векторов А1, А2, . . ., Аn  L 1А1 + a2А2 + . . .+ anАn, ai R, называется пространством, порожденным векторами А1, А2, . . ., Аn.(Проверьте, что оно является линейным подпространством векторного пространства L). Если линейное подпространство К векторного пространства L не совпадает с ним, то его часто называют гиперплоскостью. Определение. Набор векторов А1, А2, . . ., Аn  L называется базисом пространства L, если выполняются два условия: 1. векторы А1, А2, . . ., Аn  L линейно независимы; 2. пространство, порожденное векторами А1, А2, . . ., Аn  L, совпадает с L, или всякий вектор пространства L линейно выражается через эти векторы. Например, набор векторов E1, E2, . . ,En, у которых все координаты, кроме i-ой, равны нулю, а i-ая координата равна 1, является базисом в пространстве Rn. Сами векторы Ei, i= 1, . . . n называют базисными. Утверждение. Все базисы векторного пространства L, содержат одно и то же число векторов, которое называется размерностью dim(L) векторного пространства L. Например, размерность Rn равна dim(Rn) = n. Утверждение. Любой вектор A линейного пространства можно единственным способом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: A = 1А1 + a2А2 + . . .+ anАn (7.1), где А1, А2, . . ., Аn - базисные векторы, а числа i ( i = 1, 2, . . . n) – компоненты (координаты) вектора A в базисе А1, А2, . . ., Аn. Замечание: 1) Базисом в 3-х мерном пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. 2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. 3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. В связи с этим можно записать следующие свойства: • равные векторы имеют одинаковые координаты, • при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, = . • при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. ; ; + = . §9. Евклидово пространство. Ранее мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на число, ввели понятие размерности и базиса, теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно сделать, если ввести понятие скалярного произведения. Определение. Скалярным произведением двух векторов X = (x1, x2, . . ., xn) и Y = (y1, y2, . . ., yn) называется число (Х,У) = x1y1 + y2x2 + . . . + ynxn (8.1) Скалярное произведение имеет экономический смысл: если X = (x1, x2, . . ., xn) – это вектор объемов различных товаров, а Y = (y1, y2, . . ., yn) – вектор их цен, то скалярное произведение (Х,У) = x1y1 + y2x2 + . . . + ynxn выражает суммарную стоимость этих товаров. Скалярное произведение имеет следующие свойства: 1. (X,Y) = (Y,X) – коммутативное свойство; 2. (X,Y + Z)= (X,Y) + (X,Z) – дистрибутивное свойство; 3. (X,Y) = (X,Y) – для любого действительного числа ; 4. (X,X) > 0, если Х – ненулевой вектор; (X,X) = 0, если X – нулевой вектор. Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам с 1 по 4 (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством. Длиной (нормой) вектора Х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата: (8,2). Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен /2 (т.к. cos/2 = 0)/ Векторы e1,e2, . . . en n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. (ei,ej) = 0 при i  j и ei= 1 при i = 1,2, . . .n. Теорема (без доказательства). Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов ei, у которых i – ая компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю : e1 = (1, 0, . . . 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1). §9. Линейные операторы. Рассмотрим два линейных пространства: Rn размерности n и Rm размерности m. Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору Х пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор Y пространства Rm , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(Х) и записывают Y = A(X). Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов X иY пространства Rn и любого числа  выполняются соотношения: 1.A(X+Y) = A(X)+A(Y) – свойство аддитивности оператора; 2. A(X) = A(X) – свойство однородности оператора. Вектор Y = A(X) называется образом вектора Х, а сам вектор Х – прообразом вектора Y. Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор А отображает пространство Rn в себя. Именно такие операторы мы и будем рассматривать в дальнейшем. Линейный оператор полностью определяется своими значениями на базисных векторах. В самом деле. пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом e1,e2, . . . en задано линейное преобразование А. Тогда векторы А(e1), А(e2), . . . , А(en)- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса: А(e1)= a11e1+ a21 e2+…+ an1 en А(e2)= a12 e1+ a22 e2+…+ an2 en ………………………………. А(en)= an1 e1+ an2 e2+…+ ann en Тогда таблица (матрица) nn А = называется матрицей линейного преобразования А. Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. И наоборот, каждой матрице размерности nn соответствует линейный оператор n- мерного пространства. ГЛАВА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. §1. Основные сведения о матрицах. Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: A,B,C, … Например, матрица А = Или, в сокращенной записи, А = (aij); i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. ( Пример). Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [ ],  . Определение. Две матрицы А и В одинаковых размеров называются равными Аmn=Bmn, если все элементы с одинаковыми индексами обеих матриц совпадают, т.е. aij=bij для любых i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. Определение. Матрица размера 1n, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, матрица размера m1, состоящая из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом, а матрица размера 11 – скалярной матрицей. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. (Пример). Определение. Если матрица квадратная, то совокупность тех ее элементов aii . у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы. Таким образом, главную диагональ квадратной матрицы образуют элементы a11, a22, . . . , ann. Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю, т.е. это матрица вида . Определение. Если у диагональной матрицы n-ого порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-ого порядка; она обозначается буквой Е: Е = Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример. - симметрическая матрица Определение. Если все элементы матрицы любых размеров равны нулю, то она называется нулевой или нуль-матрицей. §2. Операции над матрицами. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что, они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, можно определить операции сложения и вычитания матриц: Определение. Суммой (разностью) матриц A и B одинаковых размеров mn является матрица С = А + В того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц, т.е.: cij = aij  bij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. Определение. Произведением матрицы А на число  называется матрица В = А, элементы которой bij =  aij, i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В. Определение: Произведением матриц АmkBkn называется такая матрица Сmn, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: , i = 1,2, … , m; j = 1,2,…,n. Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Пример. Вычислить произведение АВ, где А= ; В =. Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (это следует из определения этих операций) Свойства операции над матрицами. 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = А + (В + С); 3) (А + В) = А + В; 4) А(В + С) = АВ + АС; 5) (А + В)С = АС + ВС; I. (А В) = (А)В = А(В); 7) (АВ)С = А(ВС). Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел: I. Если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере, приведенном выше, получили произведение матриц А23B33 = С23, а произведение В33А23 не существует. II. Если даже произведения АВ и ВА существует, то они могу быть матрицами разных размеров. Например, А23B32= С22 , а В32А23= D33. III. Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения и обе матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц А и В одинакового порядка). Пример. Найти произведения АВ и ВА, где А = , В = . Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (коммутирующими между собой). Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой квадратной матрицей того же порядка: АЕ = ЕА = А Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: AO = O; OA = O, где О – нулевая матрица. IV. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что АВ = 0, не следует, что А=0 или В=0. Например, А= , B= , но АВ = = 0. V. Важным частным случаем произведения матриц является произведение квадратной матрицы Аnn на вектор-столбец Х = : АХ = = = x1+ x2 + . . . + xn, т.е. вектор АХ является линейной комбинацией столбцов матрицы А с коэффициентами xi. Аналогично при умножении матрицы А на вектор-строку(слева) ХА мы получаем вектор-строку, являющийся линейной комбинацией строк матрицы А с коэффициентами xi. Рассмотрим еще одну операцию – транспонирование матрицы Определение. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А: А = ; АТ=; Из определения следует, что если матрица А имеет размер mn, то транспонированная матрица АТ имеет размер nm. Свойства операции транспонирования: 1) (АТ)Т = А; 2) (kA)T = kAT; 3) (A + B)T = AT + BT; 4) (АВ)Т = ВТАТ. Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти АТВ+С. §3. Определители квадратных матриц. Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А= называется число, которое записано в виде таблицы, состоящей из элементов матрицы, и может быть вычислено по формуле: A = =, где М1j – определитель, полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и j – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: A = Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: A = , i = 1,2,…,n. (11.1) Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число Мij называется дополнительным минором элемента матрицы aij. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах. Определение. Дополнительный минор Мij произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Определение. Алгебраическим дополнением Aij минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частности, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если - нечетное. Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения. Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: A = AT; Свойство 2. ( A  B) = A  B. Свойство 3.  (AB) = AB Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине. Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число. Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения. Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю. Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.) Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбцов) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю. Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1  d2 , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно: Свойство 10. Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю. Пример. Вычислить определитель матрицы А = Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти (AB). Элементарные преобразования матрицы. Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5)транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ). Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы. Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s. Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором. §4.Обратная матрица. Для каждого числа а0 существует обратное число а-1 такое, что произведение аа-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие. Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию: XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если условие а0 является необходимым и достаточным для существования числа а-1, то для существования матрицы А-1 таким условием является требование A0. Определение. Квадратная матрица n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель A0. Если же A=0, то матрица А называется вырожденной (особенной). Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Если квадратная матрица неособенная (т.е. ее определитель не равен нулю), то для нее существует единственная обратная матрица. Доказательство. I. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную А-1, т.е. АА-1= А-1А=Е. По свойству 3 определителей (§11) имеем (АА-1)= (А-1) (А)= (Е)=1, т.е. A0 и A-10. I I. Достаточность. Пусть квадратная матрица А неособенная, т.е. A0. Напишем транспонированную матрицу АТ: АТ = . В этой матрице каждый элемент заменим его алгебраическим дополнением, получим матрицу: А* = . Матрица А* называется присоединенной матрицей к матрице А. Найдем произведение АА* (и А*А): АА* = , Где диагональные элементы = A, =A, : : =A.(формуле 11.1 §11) А все остальные недиагональные элементы матрицы АА* равны нулю по свойству 10 §11, например: , и т.д. Следовательно, АА* = или АА* = A = AЕ. Аналогично доказывается, что А*А = AЕ. Разделив оба полученных равенства на A, получим: . Отсюда, по определению обратной матрицы, следует существование обратной матрицы , т.к. АА-1=А-1А=Е. Существование обратной матрицы доказано. Докажем единственность. Предположим, что существует еще другая обратная матрица F для матрицы А, тогда AF = E и FA = E. Умножив обе части первого равенства на А-1 слева, а второго на А-1 справа, получим: А-1AF = А-1E и FA А-1 = E А-1, откуда EF = А-1E и FE = E А-1. Следовательно, F = А-1. Единственность доказана. Пример. Дана матрица А = , найти А-1. Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1. Находим определитель исходной матрицы. Если A =0, то матрица А-вырожденная и обратная матрица А-1 не существует. Если A 0, то матрица А-невырожденная и обратная матрица А-1 существует. 2. Находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы Аij и составляем из них присоединенную матрицу А*, записывая алгебраические дополнения элементов строки в столбец. 3. Вычисляем обратную матрицу по формуле: . 4. Проверить правильность вычисления обратной матрицы Свойства обратных матриц. 1) (A-1)-1 = A; 2) (AB)-1 = B-1A-1 3) (AT)-1 = (A-1)T. §5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу Amn= (13.1) Выделим в ней s произвольных строк и s произвольных столбцов. Определение. Минором s–го порядка матрицы (13.1) называется определитель s-го порядка, составленный из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов. Обозначение: Ms. Очевидно, что миноров s-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен min(m,n): max s=min(m,n). Из всех возможных миноров матрицы Amn выделим те, которые не равны 0. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: r(А) Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы. Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными. Замечание: равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные. Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк. Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы. Примеры. Определить ранг матрицы. 1) А=, r(A) = 0. M1=0, M2=. 2) А=. Очевидно, что a12 = 30 = M1, все миноры М2=0, следовательно, r(A) = 1. 3) А=  , r(A) = 2. 4) A=, Следовательно, r(A) = 2. Определение. Всякий ненулевой минор матрицы А, порядок которого равен рангу матрицы называется базисным минором. В последнем 4-м примере - базисные, т.к. 0 и s= r(A)=2. Минор =0 не является базисным. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. В курсе алгебры важную роль играет теорема о базисном миноре, которую мы приведем без доказательства: Теорема о базисном миноре. Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк). Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и (A) = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю. ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. §1. Основные понятия и определения. Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: (1.1), где aij, bi – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами и свободными членами уравнений. В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде: (1.2). Решением системы являются n чисел (х1=1,х2=2… хn=n), при подстановке которых в систему каждое ее уравнение обращается в тождество. Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. Определение. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы, а матрица А*= называется расширенной матрицей системы. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений, рассмотренных в гл.2 применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система, равносильная данной. Систему (1.1) можно записать в матричной форме: А=, Х = , В=, где А – матрица коэффициентов при переменных (матрица системы); Х – матрица-столбец переменных; В- матрица-столбец свободных членов. Тогда систему (1.1) можно записать в виде: АХ = В. §2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть число уравнений системы (1.1) равно числу переменных, т.е. n=m. Тогда матрица системы является квадратной. Рассмотрим методы решения таких систем. 2.1. Матричный метод (метод обратной матрицы). Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений: Составим матрицы: A = ; B = ; X = . Систему уравнений можно записать: AX = B. Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B, т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В Х = А-1В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка. Пример. Решить систему уравнений: Х = , B = , A = Найдем обратную матрицу А-1. Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3. Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ. 2.2. Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик). Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. (A)  0; Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. Теорема. (Правило Крамера): Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = i/, где  = (A), а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов bi. i = Пример. A = ; 1= ; 2= ; 3= ; x1 = 1/ (A); x2 = 2/(A); x3 = 3/(A); Пример. Найти решение системы уравнений:  = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; 1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x1 = 1/ = 1; 2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. x2 = 2/ = 2; 3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90. x3 = 3/ = 3. Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом. Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0. При  = 0 система имеет бесконечное множество решений. Для самостоятельного решения: ; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2. §3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных - заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. К элементарным преобразованиям систем относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х. Рассмотрим систему линейных уравнений: (3.1) Предположим, что в системе (3.1) коэффициент при переменной х1 в первом уравнении a11  0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что a11  0). Шаг 1. Разделим обе части 1–го уравнения на a11  0, затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим: , где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1, dij = aij – ai1d1j ( i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1). Шаг 2. Предположим, что d220 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что d22  0). Разделим обе части 2-го уравнения на d220, затем: 1) умножим на d32 и вычтем из третьего уравнения 2) умножим на d42 и вычтем из четвертого уравнения и т.д. Продолжая процесс последовательного исключения переменных х3, х4, …, хr-1, после (r-1)-го шага получаем систему: (3.2) Число 0 в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0х1+0х2+ . . . +0xn. Если хотя бы одно из чисел tr+1, . . ., tm не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (3.1) несовместна. Таким образом, для любой совместной системы числа tr+1, . . ., tm в системе (3.2) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (3.2) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (3.1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (3.2) равно числу неизвестных, т.е. r=n (в этом случае система (3.2.) имеет треугольный вид); б) r < n (в этом случае система (3.2) имеет ступенчатый вид). Переход системы (3.1) к равносильной ей системе (3.2) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (3.2) – обратным ходом. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Пример. Решить систему методом Гаусса. Таким образом, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна. Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4) Метод Жордана-Гаусса. Суть метода Жордана-Гаусса заключается в построении такой ступенчатой матрицы, вдоль главной диагонали которой будут стоять лишь одни единицы. Затем, не производя обратного хода, как это было в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над гловной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица. Тогда справа получим решение системы уравнений. Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений. Пример. Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса: §4. Система m линейных уравнений с n переменными. Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (Гл.2 §5). Поэтому, если строки расширенной матрицы А*, т.е. уравнения системы (1.1), линейно независимы, то ранг матрицы А* равен числу ее уравнений, т.е. r=m; если линейно зависимы - то r < m. Вопрос о разрешимости системы (1.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме: Теорема Кронекера – Капелли. (условие совместности системы) (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик) Теорема: Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. r(A) = r(A*). Очевидно, что система (1.1) может быть записана в виде: x1 + x2 + … + xn Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга. 2) Если r(A) = r(A*), то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись, приведенная выше. Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы: 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1.1) имеет единственное решение. 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r  n, то система (1.1) неопределенная и имеет бесчисленное множество решений. Результаты исследования системы (1.1) приведем в виде схемы: Пример1. Определить совместность системы линейных уравнений: Пример2. Определить совместность системы линейных уравнений. Пример3. Определить совместность системы и в случае совместности, решить: §5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Система m линейных уравнений с n переменными называется системой однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: (5.1) Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0; . . . 0). Если в системе (5.1) m=n и 0, то она имеет только одно нулевое решении (это следует из теоремы и формул Крамера). Теорема. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при r(А) n. Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю. Обозначим решение системы (5.1) x1=k1, x2=k2, . . . , xn=kn в виде вектора I=(k1, k2, . . . , kn). Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами: 1. Если вектор I=(k1, k2, . . . , kn) – решение системы (5.1), то и вектор I=(k1, k2, . . . , kn) – также решение этой системы. 2. Если векторы I1=(k1, k2, . . . , kn) и I2=(l1, l2, . . . , ln) – решения системы (5.1), то при любых с1 и с2 их линейная комбинация c1I1+c2I2=(c1k1+c2l1; c1k2+c2l2; . . . ; c1kn+c2ln) – также решение данной системы. Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (5.1) (F1, F2, . . .Fk), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения. Определение. Система линейно независимых решений F1, F2, . . .Fk называется фундаментальной, если каждое решение системы (5.1) является линейной комбинацией решений F1, F2, . . .Fk. Теорема. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений (5.1) меньше числа неизвестных n, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из k = n – r решений. Поэтому общее решение системы (5.1) линейных однородных уравнений имеет вид: I = c1F1+c2F2+ . . . + ckFk, где F1, F2, . . .Fk – любая фундаментальная система решений; c1, c2, . . . ck – произвольные числа и k = n – r. Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг системы равен r n. Тогда базисные неизвестные этой системы (пусть, для определенности, это переменные x1, x2, . . .xr) линейно выражаются через свободные переменные xr+1, xr+2, . . .xn. Тогда вектор F1 фундаментальной системы решений получим, если придадим значения свободным переменным xr+1 = 1, xr+2= . . .=xn=0. Затем находим второе решение F2, принимая xr+2 = 1, xr+1= . . .=xn=0. Продолжаем аналогично находить все векторы фундаментальной системы, последовательно присваивая каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями. Пример. Найти решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений: ГЛАВА 4. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. §1.Уравнение линии на плоскости. Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Пусть на плоскости задана декартова система координат (основные сведения о прямоугольной системе координат считаются известными). Линия на плоскости рассматривается как множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R – множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центр окружности). Положение точки на плоскости определяется заданием пары чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определяется с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии). Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy называется уравнение y = f(x), которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Уравнение линии позволяет заменить изучение геометрических свойств линии исследованием ее уравнения. Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t: x = (t); y = (t). Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время. §2. Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Простейшей из линий является прямая, она относится к линиям 1-го порядка, поскольку ее уравнение содержит переменные x и y только в первой степени. Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, (2.1) причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Уравнение прямой по точке и вектору нормали. Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 и называется нормальным вектором этой прямой. Пусть имеем следующие начальные условия относительно некоторой прямой: известна точка M0(x0, y0) принадлежащая этой прямой и ее нормальный вектор =(А, В). Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей прямой, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен прямой, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение = 0 Таким образом, получаем уравнение плоскости (2.2) Из уравнения (2.2) легко получить общее уравнение прямой (2.1), раскрыв скобки и обозначив D = -Ax0 – By0. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи: • C = 0, А  0, В  0: Ах + Ву = 0 – уравнение прямой, проходящей через начало координат; • А = 0, В  0, С  0: By + C = 0- уравнение прямой, параллельной оси Ох; • В = 0, А  0, С  0: Ax + C = 0 – уравнение прямой , параллельной оси Оу; • В = С = 0, А  0: Ах = 0 (х = 0) – уравнение координатной оси Оу; • А = С = 0, В  0: By = 0 (y = 0) – уравнение координатной оси Ох. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1). Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С, подставим в полученное выражение координаты заданной точки M: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого, искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду (в случае, если В0): и обозначить , то полученное уравнение y = kx + b (2.3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. k = tq , где  - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Если k=0, то прямая параллельна оси Ох; если k>0, угол  - острый; если k< 0, угол  - тупой. B – начальная ордината (ордината точки пересечения прямой с осью 0y). Из уравнения (2.3) можно получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через заданную точку M0(x0, y0): y0 = kx0 + b  b = y0 - kx0 - подставим в (2.3): y = kx + y0 - kx0 или y - y0 = k(x- x0) (2.4) Уравнение (2.4), в котором коэффициент k рассматривается как величина, способная принимать любые числовые значения, называется уравнением пучка с центром M0(x0, y0). Этим уравнением нельзя представить только прямую, параллельную оси Oy. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: (2.5.) Это уравнение можно получить, если в уравнение (2.4.) подставить координаты точек M1(x1, y1) и M2(x2, y2): y2 – y1 = k(x2 – x1) . Выразим из этого равенства угловой коэффициент k: (2.6) В уравнение (2.4) вместо координат точки М0 подставим координаты точки М1 (х1, у1), а вместо k – выражение (2.6): Из последнего равенства после несложных преобразований получается уравнение (2.5). Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4). Применяя записанную выше формулу, получаем: Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. Определение. Каждый ненулевой вектор (1, 2), компоненты которого удовлетворяют условию А1 + В2 = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2). Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (-1)B = 0, т.е. А = В. Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0 Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим: или , где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу. Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. С = 1, , а = -1, b = 1. Нормальное уравнение прямой. Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcos + ysin - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак  нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а  - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой. уравнение этой прямой в отрезках: уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) нормальное уравнение прямой: ; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5. Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2. Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Уравнение прямой имеет вид: , где х1 = у1 = 0; x2 = -2; y2 = -3. Угол между прямыми на плоскости. Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2. Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = А, В1 = В. Если еще и С1 = С, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых. Расстояние от точки до прямой. Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как . Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1: (1) Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана. Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1. Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны. . Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. §3.Кривые второго порядка. Уравнение вида Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0, где хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю, называется уравнение второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением – линией второго порядка. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. 1) - уравнение эллипса. 2) - уравнение “мнимого” эллипса. 3) - уравнение гиперболы. 4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5) y2 = 2px – уравнение параболы. 6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых. 7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых. 8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых. 9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности. Окружность. Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности. Выведем уравнение окружности ради­уса R с центром в точке С(х0, у0). Для любой точки М(х, у) окружности имеем СМ = R или СМ2 = R2. Отсюда и получаем уравнение окружности: (х — х0)2 + (у — у0)2 = = R2. (3.1) Если центр окружности расположен в начале координат, т.е. х0 – 0, у0= 0, то уравнение окружности имеет простейший вид и называется каноническим: x2 + y2 = R2. (3.2) Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты: Эллипс. Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. у М r1 r2 F1 O F2 х F1, F2 – фокусы. F1 = (-c; 0); F2(c; 0) Для любой точки М(х, у) эллипса расстояния до фокусов есть По определению эллипса r1 + r2 = 2a После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых: Если а = с, то последнее уравнение дает у = 0 — уравнение отрезка [F1, F2]. Если же а > с, то, обозначив а2 - с2 = b2 (а < с < b) и разделив на а2b2, получим каноническое уравнение эллипса , (3.3) при этом а2 - с2 = b2. с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа a, b называются большой и малой полуосями эллипса. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/a. (3.4) Т.к. с < a, то е < 1. При е = 0 имеем: а = b, с = 0 и эллипс превращается в окружность радиуса а. При е = 1 имеем: а = с, b = 0 и эллипс вырождается в отрезок [F1, F2]. Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса. Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения: r1 = a – ex, r2 = a + ex. Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: 1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4. 2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки: Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2. Гипербола. Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. y M(x, y) b r1 r2 x F1 a F2 c По определению r1 – r2= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c. Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) (3.5) Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Ось 2а называется действительной осью гиперболы. Ось 2b называется мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых (3.6) Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось. С учетом того, что с2 – а2 = b2: Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней). Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса . Для эллипса: c2 = a2 – b2. Для гиперболы: c2 = a2 + b2. Уравнение гиперболы: . Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Парабола. Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус. Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой. у А М(х, у) О F x p/2 p/2 Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы. Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2; MF2 = y2 + (x – p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px (3.7) Уравнение директрисы: x = -p/2, координаты фокуса F(p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Ох (вправо). Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На этом принципе построены параболические зеркальные антены. В зависимости от выбора положения точки начала отсчета и осей координат относительно фокуса и директрисы можно получить еще три канонических уравнения параболы: y2 = -2px: координаты фокуса F(-p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох (влево). х2 = 2pу: координаты фокуса F(0;p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Оу (вверх). х2 = -2pу: координаты фокуса F(0;-p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Оу (вниз). Однако чаще приходится иметь дело с обычным уравнением параболы, известным из школы: y = ax2+ bx + c (3.8), где a, b,c – параметры параболы. Графики при различных значениях этих параметров: Y a < 0 O X Y O X a > 0 Обычно для построения графика параболы используют несколько ключевых моментов: корни, ось симметрии, вершина параболы, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и т.п. Предполагается, что нахождение этих ключевых моментов из уравнения параболы Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно: x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4). §4. Системы координат. Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной практической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Рассмотрим так называемую полярную систему координат; она весьма удобна и используется довольно часто. Полярная система координат. Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из точки луча l, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Обычно считают положительными повороты против часовой стрелки. Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью. Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол  называется полярным углом. М r r =  l Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох. Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями: x = rcos; y = rsin; x2 + y2 = r2 Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую. Воспользуемся связью декартовой прямоугольной и полярной системы координат: ; Получили каноническое уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна , половина расстояния между фокусами равно с = = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3. Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0). y F1 F2 -1 0 ½ 1 2 x - Пример. Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид: . Найти уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат, определит тип кривой, найти фокусы и эксцентриситет. Схематично построить кривую. Подставим в заданное уравнение формулы, связывающие полярную и декартову прямоугольную системы координат. Получили каноническое уравнение гиперболы. Из уравнения видно, что гипербола сдвинута вдоль оси Ох на 5 влево, большая полуось а равна 4, меньшая полуось b равна 3, откуда получаем c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4. Фокусы F1(-10; 0), F2(0; 0). Построим график этой гиперболы. y 3 F1 -9 -5 -1 0 F2 x -3 §5. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Определение. Пусть в прямоугольной системе координат OXYZ координаты x, y, z связаны уравнением F(x,y,z) = 0 (1.1). Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z (1.1.), является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки M(x,y,z), принадлежащей S и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Линию в пространстве L можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением. Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L. Тогда систему двух уравнений назовем уравнением линии L в пространстве. 5.1. Плоскость в пространстве. Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М0(x0, y0, z0)  Р. Вектор = (A,B,C) –ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (нормальный вектор плоскости) Необходимо получить уравнение плоскости. Решение. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение = 0 Таким образом, получаем уравнение плоскости (5.1) Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду: Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z (D = -Ax0 – By0 – Cz0). Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, (5.2) где А, В, С – координаты вектора - вектор нормали к плоскости. Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль. Частные случаи общего уравнения плоскости: 1. D = 0: Ax + By + Cz = 0– уравнение плоскости, проходящей через начало координат 2. А = 0: By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной оси ОХ, т.к. нормальный вектор = (0,B,C) – перпендикулярен оси ОХ (его проекция на ось ОХ равна нулю). Аналогично при ◦ В = 0: Ax + Cz + D = 0 – плоскость параллельна оси Оу ◦ С = 0: Ax + By + D = 0– плоскость параллельна оси Оz 3. А = D = 0: By + Cz = 0 – уравнение плоскости, проходящей через ось Ох, поскольку она параллельна оси Ох (А=0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при ◦ В = D = 0: Ax + Cz = 0 – плоскость проходит через ось Оу ◦ С = D = 0: Ax + By = 0 – плоскость проходит через ось Oz 4. А = В = 0: Cz + D = 0– уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОу, поскольку она параллельна осям Ох (А=0) и Оy (В=0). Аналогично: ◦ А = С = 0: By + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости хОz ◦ В = С = 0: Ax + D = 0 – уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости yOz. 5. А = В = D = 0 : Cz = 0 (z = 0 ) – уравнение координатной плоскости хОу, т.к. она параллельна плоскости хОу (А = В = 0) и проходит через начало координат (D=0). Аналогично при ◦ А = С = D = 0: By = 0 (y = 0) – плоскость совпадает с плоскостью xOz ◦ В = С = D = 0: Ax = 0 (x = 0)– плоскость совпадает с плоскостью yOz Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны. Уравнение плоскости, проходящей через три точки: (5.3) Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости. Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор . Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору . Уравнение плоскости: (5.4) Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Уравнение плоскости: (5.5) Уравнение плоскости в отрезках. Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: (5.6) Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями 0х, 0у, 0z. Уравнение плоскости в векторной форме. где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. ,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0. (5.7) Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно: (5.8) Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0. Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0. Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5). 1) Найти длину ребра А1А2. 2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4. 3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3. 4) Найти площадь грани А1А2А3. 5) Найти уравнение плоскости А1А2А3. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. V.2. Угол между плоскостями. 1  0 Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1, т.е. cos = cos1. Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: , где (A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: . Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле: (5.9) Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Условие перпендикулярности плоскостей: Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если: . (5.10) Условие параллельности плоскостей: Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарный: . Это условие выполняется, если: (5.11) V.3. Уравнение линии в пространстве. Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению: F(x, y, z) = 0. Это уравнение называется уравнением линии в пространстве. Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением. Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L. Тогда пару уравнений назовем уравнением линии в пространстве. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z). z M1 M0 0 y x Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что - = . Т.к. векторы и коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр. Итого, можно записать: = + t. (5.12) Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение (5.12) – параметрическое уравнение прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: (5.13) Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве: . (5.14) Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам: ; . (5.15) Отсюда получим: m : n : p = cos : cos : cos. Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: . Кроме того, для точки М1 можно записать: . Решая совместно эти уравнения, получим: . (5.16) Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве. Общие уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением: + D = 0, где - нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости. Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D1 = 0 и + D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z). Тогда общие уравнения прямой в векторной форме: (5.17) Общие уравнения прямой в координатной форме: (5.18) Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p. При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям. Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде: Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений. Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде: Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда: 5.4. Поверхности второго порядка. Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка. 5. 4.1. Цилиндрические поверхности. Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой. Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих: 1) - эллиптический цилиндр. 2) - гиперболический цилиндр. 2) x2 = 2py – параболический цилиндр. 5.4.2 Поверхности вращения. Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz. Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу, F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох. Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев: 1) - эллипсоид вращения 2) - однополостный гиперболоид вращения 3) - двуполостный гиперболоид вращения 4) - параболоид вращения Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу. Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже: Сфера: Трехосный эллипсоид: В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями. Однополостный гиперболоид: Двуполостный гиперболоид: Эллиптический параболоид: Гиперболический параболоид: Конус второго порядка: 5. 4.3. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат, которая была подробно рассмотрена ранее. Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали . Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещают с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z. Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими. Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления, что будет показано далее. z М   h 0  x r M1 y ОМ1 = r; MM1 = h; Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ). Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве. Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где  - угол между  и нормалью. Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат. Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид: h = z; x = rcos; y = rsin; cos = ; sin = . Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной. В случае сферической системы координат соотношения имеют вид: §6. Линейные преобразования. Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу  L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А L. Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов  L и  L и любого  верно: A(+) = A+A A() = A Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя. Е = Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+;  0. Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = + Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное. Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов . Определение: Если только при  =  = … =  = 0, то векторы называются линейно независимыми. Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов и любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L. Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса: A= a11+ a21+…+ an1 A= a12+ a22+…+ an2 ………………………………. A= an1+ an2+…+ ann Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А. Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то A L. , где …………………………….. Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,. В матричном виде: , А, Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде: x = x + y y = y + z z = z + x x = 1x + 1y + 0z y = 0x + 1y + 1z z = 1x + 0y + 1z A = На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами. Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований). С = ВА Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор . С = ВА Т.е. Примечание: Если А= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую. §7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство: A (7.1) При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору . Перенеся правую часть (7.1) в левую и принимая во внимание соотношение , перепишем (7.1) в виде (7.2) Уравнение (7.2) эквивалентно системе линейных однородных уравнений: (7.3) Для существования ненулевого решения системы линейных однородных уравнений (7.3) необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е. |A-λE|= (7.4) Этот определитель является многочленом n-ой степени относительно λ и называется характеристическим многочленом линейного преобразования А, а уравнение (7.4) - характеристическим уравнением матрицы А. Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни 1, 2, … ,n характеристического уравнения: Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами: ; в некотором базисе . Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением , то А. или Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно. Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А. Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением , где  - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения . Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов. Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением . Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую. Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня 1 и 2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые. Если характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 = 2 = , то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия. Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = . Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = . Запишем линейное преобразование в виде: Составим характеристическое уравнение: 2 - 4 + 4 = 0; Корни характеристического уравнения: 1 = 2 = 2; Получаем: Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр. Собственный вектор можно записать: . Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе , то , где  - собственное значение (характеристическое число) преобразования А. Если матрица линейного преобразования А имеет вид: , то Характеристическое уравнение: Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно . Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня. Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы. Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = . Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = . Составим характеристическое уравнение: -(3 + )((1 - )(2 - ) – 2) + 2(4 - 2 - 2) - 4(2 - 1 + ) = 0 -(3 + )(2 -  - 2 + 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 + ) = 0 -(3 + )(2 - 3) + 4 - 4 - 4 - 4 = 0 -32 + 9 - 3 + 32 - 8 = 0 -3 +  = 0 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1; Для 1 = 0: Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2 Собственные векторы t, где t – параметр. Аналогично можно найти и для 2 и 3. §7. Квадратичные формы. Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 Ф(х1, х2) = а11 , не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2. Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3 не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3. Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы. Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2. Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11, то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 где у1 и у2 – координаты вектора в базисе . Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2. Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение . Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид: . При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда: Тогда . Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных. Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка. Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27. Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: 17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0. Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. Решение: Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при Решив это уравнение, получим 1 = 1, 2 = 11. Найдем координаты собственных векторов: полагая m1 = 1, получим n1 = полагая m2 = 1, получим n2 = Собственные векторы: Находим координаты единичных векторов нового базиса. Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат: Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид: Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. 4ху + 3у2 + 16 = 0 Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3. Характеристическое уравнение: Корни: 1 = -1, 2 = 4. Для 1 = -1 Для 2 = 4 m1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2; = (1; -0,5) = (1; 2) Получаем: -каноническое уравнение гиперболы. ГЛАВА 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. §1. Определение комплексного числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. §2. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. Вся плоскость называется комплексной плоскостью. у A(a, b) r b  0 a x Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые. С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. §3. Тригонометрическая форма числа. Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа. . Из геометрических соображений видно: Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. §4. Действия с комплексными числами. Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание. 2) Умножение. В тригонометрической форме: , С случае комплексно – сопряженных чисел: 3) Деление. В тригонометрической форме: 4) Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что В общем случае получим: , где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик) Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. Пример. Найти формулы sin2 и cos2. Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны . По формуле Муавра: Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то Получили известные формулы двойного угла. 5) Извлечение корня из комплексного числа. Возводя в степень, получим: Отсюда: Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. §5. Показательная форма комплексного числа. Рассмотрим показательную функцию Можно показать, что функция w может быть записана в виде: Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения мы рассматривать не будем. Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства: 1) 2) 3) где m – целое число. Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем: Для комплексно – сопряженного числа получаем: Из этих двух уравнений получаем: Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов. Если представить комплексное число в тригонометрической форме: и воспользуемся формулой Эйлера: Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа. §6. Разложение многочлена на множители. Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х. Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик) При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a). Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R. Переходя к пределу при х  a, получаем f(a) = R. Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка. Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n. Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный. Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn. Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого. Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид: ki - кратность соответствующего корня. Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций. Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами. Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения a) Очевидно, справедливо следующее преобразование: Далее производим деление двух комплексных чисел: Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16. б) Число представим в виде , где Тогда . Для нахождения воспользуемся формулой Муавра. Если , то