Линейная алгебра (Часть 1)

Российский университет дружбы народов Сочинский институт ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.1. Матрицы. Основные понятия и действия над ними Матрицей называется упорядоченная таблица чисел (или массив чисел), содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Материалы для изучения курса Часть I Лекции 1−4 1. Матрицы и определители 2. Системы линейных уравнений (условия совместности, матричный способ решения, формулы Крамера) 3. Системы линейных уравнений (метод Гаусса, однородные системы) 4. Приложения к экономическим задачам  a11 a12 a a22 A =  21  ... ...   am1 am 2 a1n  ... a2n  = ai , j , i = 1, 2,..., m, j = 1,2,..., n, ... ...   ... amn  ... ( ) где индекс i обозначает номер строки, индекс j − номер столбца матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m×n. Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов. Если число строк матрицы равно числу столбцов, m = n, то матрица называется квадратной порядка n. Матрица размера m×1 называется m-мерным (или m-компонентным) столбцом, матрица размера 1×n называется n-мерной (или n-компонентной) строкой (так называемые матрица-столбец и матрица-строка соответственно). Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами (i ≠ j) равны нулю  a11 0  0 a 22  D= 0   ... ...  0  ... ... a33 ... ... ... ... 0  0  0 .  ...  ann  Будем говорить, что элементы а11, а22, …, аnn расположены на главной диагонали. Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов, имеют специальные названия и обозначения. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. 2 3  1 0 ... 0   0 1 ... 0  . E=  ... ... ... ...     0 0 ... 1  Правило сложения двух матриц обобщается на случай любого конечного числа слагаемых матриц. Произведением матрицы Аm×n = (аij) на число k называется матрица Вm×n = (bij) такая, что bij = kаij, i = 1, m , j = 1, n . П р и м е р 2 . Найти произведение матрицы А на число k Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О 0 0 O =  ...  0 0 ... 0  0 ... 0  . ... ... ...   0 ... 0  В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике. Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (3)1×1 есть 3. Квадратные матрицы, где все элементы расположены по одну сторону от главной диагонали, соответственно называются нижней и верхней треугольными матрицами. Действия над матрицами Две матрицы А и В одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны, т. е. aij = bij для всех i = 1, m и j = 1, n . Суммой двух матриц одного и того же размера Аm×n = (аij) и Вm×n = (bij) называется матрица Сm×n = (сij) такая, что сij = aij + bij, i = 1, m , j = 1, n . Операция вычисления матрицы С называется сложением матриц А и В. П р и м е р 1 . Найти сумму матриц А и В  1 1 −3   3 −1 2  A= , B= .  2 0 6  0 2 4  1 −2 3   5 −10 15  , k = 5  kA =  A=  . 3 1 2 15 5 10  Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера. З а м е ч а н и е . В качестве всех или некоторых элементов матрицы возможно использование других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения, сложения и умножения на число, например, векторы, функции или те же матрицы. Определенные выше линейные операции обладают следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. A + ( B + C ) = ( A + B) + C; A + B = B + A; A + O = A; (α + β) A = αA + βA; 5. α( A + B ) = αA + αB; 6. 1 ⋅ A = A; 7. α(βA) = αβA, где А, В и С − матрицы, α и β − числа. Разность двух матриц А и В одного и того же размера определяется равенством: А − В = А + (−1)В. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ. П р и м е р 3 . Транспонировать матрицы  3 + 1 −1 + 1 2 + (−3)   4 0 −1 C = A+ B = = . 4 + 6   2 2 10  0 + 2 2 + 0 1 2 1 3 A=  AT =   ; 3 4  2 4 1 A = (1 0 −2 )  AT =  0  .  −2    4 5 Решение. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Умножить матрицу А = (аij) размера m×n на матрицу В = (bjk) размера n×q означает найти третью матрицу С = (сik) размера m×q, такую, что n cik =  aij bik , i = 1,2, …, m, k = 1,2, …, q. j =1 Матрица С называется произведением матрицы А на матрицу В  3 7   1 4   3 + 14 12 + 35  17 47   2 4  ⋅  2 5  =  2 + 8 8 + 20  =  10 28  .         В частном случае равенство АВ = ВА возможно. Матрицы А и В, для которых выполняется равенство АВ = ВА, называются перестановочными или коммутативными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера А⋅Е = Е⋅А = А. С = АВ. В общем случае, как следует из определения, элемент сik есть сумма произведений элементов i-ой строки на элементы k-го столбца. П р и м е р 4 . Перемножить матрицы Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство A⋅O = O⋅A = O, где О – нулевая матрица. a a 1)  11 12  a21 a22 b  b a13   11 12  ⋅ b b = a23   21 22   b31 b32  a11b12 + a12b22 + a13b32  a b +a b +a b =  11 11 12 21 13 31 ; + + a b a b a b a  21 11 22 21 23 31 21b12 + a22b22 + a23b32   1 0 2   2   1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 + 2 ⋅1   4  2)  −2 3 1  ⋅  3  =  −2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1  =  6  .  −1 2 4   1   −1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅1  8          Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, оно не коммутативно AB ≠ BA . П р и м е р 5 . Перемножить матрицы  1 4   3 7   3 + 8 7 + 16   11 23   2 5  ⋅  2 4  =  6 + 10 14 + 20  = 16 34  ;         6 П р и м е р 6 . Матрицы  1 −2   −3 −2  , B= A=   2 0   2 −4  перестановочные, так как легко проверить, что для них АВ = ВА. Если матрицы А и В квадратные одного и того же порядка, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Произведение матриц обладает следующими свойствами: 1. α( AB ) = (αA) B = A(αB ); 2. ( AB)C = A( BC ); 3. ( A + B )C = AC + BC; 4. C ( A + B) = CA + CB. Для операции транспонирования верны свойства: 1. ( A + B )T = AT + BT ; 2. ( AB )T = BT AT . О п р е д е л е н и е . Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 7 2) прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк; 5) транспонирование; Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ∼ В. Следует отметить, что равные и эквивалентные матрицы − понятия совершенно различные. Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Найти сумму матриц  1 2 2 1    A =  3 5  , B =  3 −3  ; 4 1 0 4      2. Найти разность матриц  1 2 3  3 2 −3  A= , B=  ;  −2 3 6  4 1 2  3. Доказать равенство 3 1  2 4 3  в)   4 2  ; 1 6 5   2 5     2 г)  3  ( 2 3) ; 7   6 д) ( 3 2 5 )  −1 ; 3   5. Найти A(B + C), если  1 4  2 6 2 1 3     A=  , B =  −1 3  , C =  −1 2  ; 5 4 2  5 2  5 3     1 4 6. Найти А3, A =  ; 3 2 7. Найти значение матричного многочлена 2А2 + 4А + 3Е, если  1 −1 1  A =  2 3 1  .  1 −1 2    1.2. Определители  1 −1 2   1 −1 2   1 −1 2  5 = 2   + 3 ; 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4. Перемножить следующие матрицы 1 3  4 1 а)  ,  ;  2 −2   5 2   1 2 −4   4 3 1  б)  3 −1 5  ,  −1 2 3  ;  2 3 2   −2 4 5      8 Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом). Эта характеристика обозначается как det A (|A| или ∆) и определяется следующим образом. 1. Определитель квадратной матрицы 1-го порядка А = (а1), det A = a1; 2. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка a  a a a A =  11 12  , det A = 11 12 = a11a22 − a12 a21 . a a a a  21 22  21 22 9 Вычисление определителя 2-го порядка можно проиллюстрировать схемой • • • • = • • • • − • • • • , где произведение элементов главной диагонали берется со знаком «+», а произведение элементов побочной (или второй) диагонали − со знаком «−»; Вычисление определителей квадратных матриц более высокого порядка связано с понятиями минора и алгебраического дополнения. Минором Mij некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n−1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j − четное число, и со знаком «−», если эта сумма нечетная: 3. Определитель квадратной матрицы 3-го порядка  a11 a12 A =  a21 a22 a  31 a32 a11 a12 a13   a23  , det A = a21 a22 a31 a32 a33  a13 a23 = a33 = a11a22a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a32a23a11. При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так правило Саррюса (Пьер Фредерик Саррюс (1798-1861) − французский математик) Aij = (−1)i+jMij. Т е о р е м а 1 . 1 (теорема Лапласа; Пьер Симон Лаплас (1749-1827) − французский математик). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого столбца (строки) на соответствующие им алгебраические дополнения det A = n n k =1 k =1  aik Aik = (−1)k +i aik M ik , i = 1, 2, …, n. Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка a11 a12 det A = a21 a22 a31 a32 П р и м е р 7 . Вычислить определитель матрицы А  1 0 3 À =  −2 1 4  ,  1 −3 2    1 3 det A = −2 1 4= 1 −3 2 = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 ⋅ 1 + (−2) ⋅ ( −3) ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 ⋅ 3 − (−2) ⋅ 0 ⋅ 2 − (−3) ⋅ 4 ⋅ 1 = 19. 10 a13 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 . a33 В самом деле, имеем a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = = a11 a22 a32 a23 a a a a + a12 ⋅ (−1) 21 23 + a13 21 22 = a33 a31 a33 a31 a32 = a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) = det A. Теорема Лапласа содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков. При этом вычисление определителей n-го порядка сводится к вычислению определителей (n − 1)-го порядка. 11 П р и м е р 9 . Вычислите определитель матрицы Свойства определителей Сформулируем основные свойства определителей n-го порядка. 1°. Определитель не изменится, если его столбцы заменить строками, и наоборот. Сформулированное свойство устанавливает равноправие столбцов и строк определителя. 2°. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак. 3°. Определитель, элементы столбца (строки) которого равны соответствующим элементам другого столбца (строки), равен нулю. 4°. Общий множитель элементов столбца (строки) определителя можно вынести за знак определителя. Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы столбца (строки) пропорциональны соответствующим элементам другого столбца (строки), то такой определитель равен нулю. 5°. Если элементы какого-либо столбца (строки) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например, a11 a12 a13 + b a11 a12 a13 a11 a12 a23 + c = a21 a22 a23 + a21 a22 c. a31 a33 + d a33 d a31 a32 a31 a32 det A = a21 a22 a31 a32 a13 a11 a12 a13 + k ⋅ a12 a23 = a21 a22 a23 + k ⋅ a22 . a33 a33 + k ⋅ a32 a31 a32 a12 a13 + k ⋅ a12 a11 a12 a13 a11 a12 a12 a21 a22 a23 + k ⋅ a22 = a21 a22 a23 + k a21 a22 a22 = a31 a33 + k ⋅ a32 a33 a32 a32 a31 a32 = det A + k ⋅ 0 = det A . 12 a31 a32 1 1 −3 1 2 −2 3 1 2 3 + 2 ⋅ ( −1) 2 +3 3 3 3 = 1 −3 1 3 + 0 + 1 ⋅ ( −1) 2 −2 3 4 +3 2 3 1 1 1= −3 1 3 − (6 + 0 + (−9) − (−3) − 0 − 2) = −151. a11A21 + a12A22 + a13A23 = 0. Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим a11 −3 1 2 −2 −1 1 2 1 7°. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного столбца (строки) равна нулю. Так, например, П р и м е р 8 . Доказать, что a12 3 1 = −1(0 + 6 + 6 − 2 − (−9) −0) − 2(6 + 18 + 6 − 2 − (−27) − (−12)) − 6°. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любое число. a11 2 = −1 ⋅ ( −1) b 1 1  . 3  3 Р е ш е н и е . Для разложения определителя выберем третий столбец, поскольку он содержит нулевой элемент. 1+3 a21 a22 a32  2 3 −1 0 1 2   −3 1 0   2 −2 1 Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Вычислите определители второго порядка: а) 1 −3 cos α sin α , б) . 2 4 sin α cos α 13 2. Пользуясь определением, вычислить определитель третьего порядка Пусть А − квадратная матрица n-го порядка 6 1 1 3 2 0.  a11 a12 a a22 A =  21  ... ...   an1 an 2 3 −1 3 3. Вычислить определитель матрицы А:  1 3 −1 A =  0 2 1  .  −3 −1 0    3 5 2 1 3 4 4 2 −2 −1 6 −2 3 1  A11 A A* =  12  ...   A1n . 5. Найти х из уравнения 3 x2 1 x 2 1 = 0. −1 6. Используя только свойства определителей, показать, что следующие определители равны нулю а) 2 5 3 6 4 7 2x + 3y + 4 5x + 6 y + 7 8 9 10 8 x + 9 y + 10 11 12 13 11x + 12 y + 13 б) 1+ x 1− x 2 1+ x 1− x 3 4 9 1 + x 1 − x 4 16 1 + x 1 − x 5 25 14 ... a1n  ... a2n  . ... ...   ... ann  Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель det A не равен нулю. В противном случае (det A = 0) матрица А называется вырожденной. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица 4. Упростить и вычислить определитель: 4 −8 1.3. Понятие обратной матрицы . ; A21 ... A22 ... A2 n An1  ... An 2  , ... ...   ... Ann  где Aij − алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А (определяется так же, как и алгебраическое дополнение определителя). Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию XA = AX = E, где Е − единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А−1. Т е о р е м а 1 . 2 . Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка  a11 a12 A =  a21 a22 a  31 a32 a13  a23  , det A ≠ 0. a33  15 Найдем произведение матрицы А и союзной матрицы А*, используя теорему 1.1 свойство 7 определителя  a11 a12 A ⋅ A =  a21 a22 a  31 a32 * a13   A11 a23  ⋅  A21 a33   A31 A12 A22 A32 A13  A23  = A33  Свойства обратной матрицы 1. det( A−1 ) = 1 ; det A 2. (A⋅B)−1 = B−1⋅A−1; 3. (A−1)T = (AT)−1.  a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ... a11 A31 + a12 A32 + a13 A33  =  a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 ... a21 A31 + a22 A32 + a23 A33  =  a A + a A + a A ... a A + a A + a A  33 13 31 31 32 32 33 33   31 11 32 12 П р и м е р 1 0 . 1) Найти A−1, если  −1 2  A= .  3 1 0   det A 1 0 0   = 0 det A 0  = det A ⋅  0 1 0  = det A ⋅ E ,  0 0 0 1 det A     Р е ш е н и е . Находим det A: det A = т. е. А⋅А* = det A⋅E. (1.1) −1 2 = −1 − 6 = −7 ≠ 0 , 3 1 значит обратная матрица существует. Находим союзную матрицу А*: Аналогично можно проверить, что А*⋅А = det A⋅E. А11 = 1, А21 = −2, А12 = −3, А22 = −1, (1.2)  1 −2  A* =  .  −3 −1  Равенства (1.1) и (1.2) запишем в виде A* A* A⋅ =E и ⋅ A = E. det A det A Находим А−1: 1  1 −2   − 17 A−1 = −  = 7  −3 −1   73 Сравнивая полученные результаты с определением обратной матрицы, получаем  A11 A 1  −1 A = = ⋅ A21 det A det A   A31 * A12 A22 A32 A13  A23  . A33  З а м е ч а н и е . Если определитель матрицы А равен нулю (det A = 0), то обратная матрица не существует. 16 2 7 1 7  .  Выполним проверку  −1 2   − 17 A ⋅ A−1 =  ⋅ 3  3 1  7 2 7 1 7  1+6 =  73 7 3 − 7 + 7 − 72 + 72   1 0  = E. = 6 + 17   0 1  7 2) Проверить являются ли матрицы А и В обратными 17  −1 0 3   −1/15 1/ 5 −4 /15    A =  2 4 1  , B =  −2 / 45 2 /15 7 / 45  .  −2 3 0   14 / 45 1/15 −4 / 45      Р е ш е н и е . Проверим условие А⋅В = Е  −1 0 3   −1/15 1/ 5 −4 /15  A ⋅ B =  2 4 1  ⋅  −2 / 45 2 /15 7 / 45  =  −2 3 0   14 / 45 1/15 −4 / 45     1.4. Ранг матрицы О п р е д е л е н и е . В матрице порядка m×n вычеркиванием каких либо строк или столбцов можно вычленить различные квадратные подматрицы порядка r (0 ≤ r ≤ min(m; n)). Определители таких подматриц называются минорами r-го порядка матрицы A. Минор r-го порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существуют. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. О п р е д е л е н и е . Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается r, r(A) или rang A. 4 /15 + 0 − 12 / 45  −1/ 5 + 0 + 3 /15  1/15 + 0 + 42 / 45 =  −2 /15 − 8 / 45 + 14 / 45 2 / 5 + 8 /15 + 1/15 −8 /15 + 28 / 45 − 4 / 45  =  2 /15 − 6 / 45 + 0 −2 / 5 + 6 /15 + 0 8 /15 + 21/ 45 + 0   Из определения следует: а) ранг матрицы Am×n не превосходит наименьшего из ее размеров, т. е. r(A) ≤ min(m; n); б) r(A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т. е. А = 0; в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная. 1 0 0 =  0 1 0  = E. 0 0 1   Общим свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы. Поскольку элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы. П р и м е р 1 1 . Определить ранг матрицы Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Найти обратную матрицу А−1, если  1 4 −3  б) A =  5 2 5  . 3 1 2     4 −5  а) A =  , 2 1  Выполнить проверку. 2. Найти обратную матрицу (BA)−1, если  4 −5   3 −3  A=  , B =  0 2 . − 2 2     Выполнить проверку. 18 1 0 0 0 5  0 0 0 0 0  ∼ 1 0 0 0 5  ∼1 5  ,  2 0 0 0 11  2 11        2 0 0 0 11   1 5 = 11 −10 = 1 ≠ 0  r(A) = 2. 2 11 П р и м е р 1 2 . Определить ранг матрицы  3 5 7   4 8 12  1 2 3   1 2 3  ∼  1 2 3  ∼ 1 2 3  ∼ 1 2 3  ,          1 3 5   1 3 5  1 3 5  1 3 5        19 1 2 = 3 − 2 = 1 ≠ 0  r(A) = 2. 1 3 П р и м е р 1 3 . Определить ранг матрицы 1 2 1 3 4 3 4 2 6 8 ∼ 1 2 1 3 4 ,     1 2 1 3 4 3 4 2 6 8   1 2 = 4 − 6 = −2 ≠ 0  r(A) = 2. 3 4 Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора. Т е о р е м а 1 . 3 . В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А − квадратная матрица и det A = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зави-симости строк, когда определитель равен нулю. Тестовые задания 1. Если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель: а) не изменится; б) умножится на любое число; в) умножится на это число; г) все предложенные ответы верны; д) все предложенные ответы неверны. 20 2. Как изменится определитель 3-го порядка, если у всех его элементов изменить знак на противоположный? а) не изменится; б) изменит знак; в) примет новое числовое значение; г) все предложенные ответы неверны. 3. Как изменится определитель 3-го порядка, если все его элементы увеличить в два раза? а) не изменится; б) увеличится в два раза; в) увеличится в четыре раза; г) увеличится в восемь раз. 4. При замене всех строк определителя соответствующими по номеру строками, определитель: а) меняет знак; б) принимает новое числовое значение; в) не изменяет своего числового значения. 5. Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны либо равны друг другу, то определитель равен: а) удвоенному значению определителя, получаемому при вычеркивании соответствующих столбцов (строк); б) нулю; в) сумме произведений элементов этих столбцов (строк) на их алгебраические дополнения. 6. Найти корень уравнения 3 x+5 1 2 − x2 а) –1; 7. Вычислите определитель а) –2; 8. Вычислите определитель б) 8; = −3 : в) 4; 138 139 140 141 б) 2; : в) – 4; 2065 2015 1985 1935 21 г) 2. . г) 4. а) –2000; б) 2000; в) – 4000; г) 4000. 9. Формула вычисления определителя третьего порядка a b c d g e h f k а) 1; б) –4; б) bfg; 5 1 −4 2 г) adf. 10. В определителе третьего порядка числа a11a22a33 образуют: а) главную диагональ; б) диагональ; в) побочную диагональ; г) строку. а) главную диагональ; б) диагональ; в) побочную диагональ; г) строку. 12. Определитель, равный нулю, может иметь вид: а) − 6 ⋅ 1 б) 6 ⋅ 1 в) 6 ⋅ 1 −5⋅ 2 −1 2 −1 2 −1 г) − 6 ⋅ 1 б) 3 −1 0 ; 0 −9 0 а) 3 5 0 ; 3 0 9 1 3 1 − 5⋅ + 5⋅ 2 −1 г) 0 5 0 . 7 0 0 13. Алгебраическое дополнение A23 к элементу a23 матрицы  1 2 3   A =  0 1 3 :  − 1 2 3   22 7 −2 2 −1 7 −2 −1 2 7 −2 −1 2 − 5⋅ − 4⋅ −4⋅ 7 −2 2 − 4⋅ −1 7 −2 1 7 −2 1 7 −2 1 + 4⋅ 1 a1 a2 2 0 b3 −1 5 по элементам второй строки: а) a1 a2 2 −1 в) b3 б) − b3 ; a1 a2 2 −1 ; г) − 23 a1 a2 2 −1 a1 a2 2 −1 ; . ; ; ; 7 −2 15. Разложение определителя 0 0 3 в) 0 10 0 ; 0 0 2 −1 по первому столбцу имеет вид: 11. В определителе третьего порядка числа a13a22a31 образуют: 2 7 −2 6 в) cdh; 2 0 6 г) 2. 14. Разложение определителя не содержит следующие произведения: а) aek; в) –1; . 1 −2 ЛЕКЦИЯ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4 (условия совместности, матричный способ решения, формулы Крамера) 17. Вычислите определитель 0 3 − 1 : 0 −4 1 а) –1; б) 2; в) –2; 3 : а) –20; в) 20; б) 25; а) –2; г) 4. 2 −1 1 5 −4 3 2 0 : −2 б) 2; в) 0; б) 80; в) 40; A⋅X = B, г) –5. в) x ≤ 4 ; где  a11 a12 a a22 A =  21  ... ...   am1 am 2 a1n  ... a2 n  − матрица коэффициентов системы; ... ...   ... amn  ... г) 25 .  x1  x  X =  2  − вектор-столбец из неизвестных xj;  ...     xn  −5 2 + 6 x 4 5 ≥ 4: 1 б) x ≥ 0 ; г) x ≥ 4 .  b1  b  B =  2  − вектор-столбец из свободных членов bi.  ...     bm  24 (2.1) где числа aij, i = 1, m , j = 1, n называются коэффициентами системы, числа bi − свободными членами, числа xn − неизвестные, подлежащие определению. Систему уравнений можно записать в компактной матричной форме 21. Решите неравенство 2 а) x ≤ 0 ; a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,  21 1 22 2 2n n 2  ............................................  am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm , г) –25.  5 0 − 5   20. Определитель матрицы  − 4 0 5  равен:  4 5 4   а) –25; Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида 2 −1 18. Вычислите определитель − 3 4 1 5 19. Вычислите определитель 2.1. Основные понятия 25 (2.2) Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов  a11 a12  a a22 A =  21  ... ...   am1 am 2 ... a1n b1   ... a2n b2  . ... ... ...   ... amn bm  Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца  c1  c  C = 2 .  ...     cn  Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Каждое решение неопределенной системы называется ее частным решением. Совокупность всех частных решений неопределенной системы называется общим решением. Решить систему − означает выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. 2.2. Условия совместности системы линейных уравнений Теорема о базисном миноре позволяет дать простое и эффективное условие совместности системы линейных уравнений вида (1.3), носящее название теоремы Кронекера – Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) − немецкий математик, Альфредо Капелли (1855-1910) − итальянский математик). Теорема 2.1 (условие совместности системы). Система линейных алгебраических уравнений (2.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: r(A) = r ( A) . 26 Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т. е. переход А → A не изменяют ранга. 2) Если r(A) = r ( A) , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов при этом есть линейная комбинация столбцов базисного минора. Для совместных систем уравнений имеют место следующие теоремы. Теорема 2.2 . Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т. е. r = n, то система (2.1) имеет единственное решение. Теорема 2.3 . Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, т. е. r < n, то система (2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений. В случае r < n, r переменных x1, x2, …, xr называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n − r переменных называются неосновными (или свободными). В случае r < n решения совместной системы, в которых все n − r неосновных переменных равны нулю, называются базисными решениями. Совместная линейная система m уравнений с n неизвестными (m < n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превышающее Cnr. П р и м е р 1 . Исследовать на совместность систему  x − y = 1,  4 x − 4 y = −3. Решение.  1 −1  A=  , r(A) = 1,  4 −4   1 −1 1  A=  , r ( A) = 2 .  4 −4 −3  Таким образом r ( A) ≠ r ( A) и, следовательно, система несовместна. 27 П р и м е р 2 . Исследовать на совместность систему  x1 + 3 x2 + 5 x3 + 7 x4 + 9 x5 = 1,   x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 + 5 x5 = 2, 2 x + 11x + 12 x + 25 x + 22 x = 4. 2 3 4 5  1 Решение. комбинацией первых двух строк, поэтому берем первые два уравнения 1 2  x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −1, ∆= = −5 ≠ 0,  1 −3  x1 − 3 x2 + 2 x3 − 4 x4 = 2. значит неизвестные x1, x2 являются базисными, остальные переменные х3, х4 − свободные. Выразим базисные переменные через свободные 1 3 5 7 9  1 3 5 7 9  1 3 5 7 9  A =  1 −2 3 −4 5  ~  3 9 15 21 27  ~  1 3 5 7 9  ~  2 11 12 25 22   2 11 12 25 22   2 11 12 25 22        1 3 1 3 5 7 9  ~ . Поскольку = 1 − 6 = 5 ≠ 0 , то r(A) = 2.  2 11  2 11 12 25 22   x1 + 2 x2 = −1 + x3 − 2 x4 ,   x1 − 3 x2 = 2 − 2 x3 + 4 x4 . Следовательно, общее решение имеет вид х1 = 1 5 (1 − х3 + 2х4), х2 = 1 5 (−3 + 3х3 − 6х4). Положив, например, х3 = 0, х4 = 0, получаем одно из базисных решений 1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1 A =  1 −2 3 −4 5 2  ~  0 0 0 0 0 1  , r ( A) = 3.  2 11 12 25 22 4   2 11 12 25 22 4      Таким образом r ( A) ≠ r ( A) и, следовательно, система несовместна. П р и м е р 3 . Решить систему  x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = −1,   x1 − 3 x2 + 2 x3 − 4 x4 = 2, 2 x − x + x − 2 x = 1. 4  1 2 3 Решение.  1 2 −1 2 −1   A =  1 −3 2 −4 2  .  2 −1 1 −2 1    Можно заметить, что третья строка матрицы A является линейной 28 х1 = 1 5, х2 = − 3 5 . 2.3. Решение невырожденных систем. Матричный способ. Формулы Крамера. Данные методы применимы только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы: необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т. е. чтобы определитель матрицы системы не равнялся нулю det A ≠ 0. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,  21 1 22 2 2n n 2  ............................................ an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn Систему уравнений можно записать в матричной форме (2.1). Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель такой матрицы 29 a11 ... a1n ∆ = det A = ... ... M12 = ... an1 ... ann называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы в случае ∆ ≠ 0 . M13 = 3 3 = −9; 2 −1 3 −5 = 31; 2 7 (2.3) Отыскание решения системы по формуле (1.5) называется матричным способом решения. Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка. П р и м е р 4 . Решить систему уравнений матричным способом  x + 2 y + z = 4,  3 x − 5 y + 3z = 1, 2 x + 7 y − z = 8.  Р е ш е н и е . В данном случае 1 2 1   3 −5 3  .    2 7 −1   Поскольку ∆ = det A = 33 ≠ 0 , то данная система имеет единственное решение. Найдем обратную матрицу А−1: −5 3 2 1 M11 = = −16; M21 = = −9; 7 −1 7 −1 30 2 1 M31 = = 11; −5 3 M33 = 1 1 = 0; 3 3 1 2 = −11; 3 −5 Сделаем проверку: 1 2 1   −16 9 11   33 0 0  1 1    A ⋅ A =  3 −5 3  ⋅  9 −3 0  =  0 33 0  = E .  2 7 −1 33  31 −3 −11 33  0 0 33        −1 Находим вектор-столбец Х:  x  −16 9 11   4  1    Х =  y  = А−1В =  9 −3 0  ⋅  1  = 33 z  31 −3 −11  8        =  4 1, A =   8   1 2 = 3; 2 7 M32 = −1 Сделаем следующее преобразование: A−1⋅A⋅X = A−1⋅B, т. к. А−1⋅А = Е, то Е⋅Х = А−1⋅В или  x Х =  y  , B = z   M23 = 1 1 = −3; 2 −1  −16 9 11  1 A = 9 −3 0  . 33    31 −3 −11 Матричный способ Х = А−1⋅В. M22 =  −16 9 11   4   33  1 1  ⋅  1  = 1  33  = 1 . 9 − 3    33     33      33  1  31 −3 −11  8      Значит, решения системы: x = 1; y = 1; z = 1. Формулы Крамера Матричное равенство (2.3) запишем в виде  x1   A11 x    2  = 1  A21  ...  ∆  ...     xn   A1n A12 A22 ... A2n An1   b1  ... An 2   b2  ⋅ ... ...   ...    ... Ann   bn  ... 31 или бодных членов  A11b1 + A21b2 + ... + An1bn    ∆  x1     x   A12b1 + A22b2 + ... + An 2bn   2 = . ∆  ...       ................................   xn   A b + A b + ... + A b  1n 1 2n 2 nn n    ∆  Но выражение A11b1 + A21b2 + ... + An1bn есть разложение определителя ∆1 = b1 a12 ... a1n b2 ... a22 ... a2 n ... ... ... bn an 2 ... ann по элементам первого столбца. Определитель ∆1 получается из определителя ∆ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных ∆ членов. Итак, x1 = 1 . ∆ ∆ Аналогично: x2 = 2 , где ∆ 2 получен из ∆ путем замены второго ∆ ∆ ∆ столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; x3 = 3 , …, xn = n . ∆ ∆ Формулы ∆ xi = i , i = 1, n (2.4) ∆ называются формулами Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) − швейцарский математик). П р и м е р 5 . По формулам Крамера решить систему 3 x1 − 2 x2 = 7,  4 x1 + x2 = 2. Р е ш е н и е . Выписываем A – матрицу системы и B – столбец сво32  3 −2  A= , 4 1  7 B =  .  2 Проведем вычисление определителей ∆= 3 −2 7 −2 = 11 ≠ 0 , ∆1 = = 11 ≠ 0 , 4 1 2 1 ∆2 = 3 7 = −22 ≠ 0 . 4 2 По формулам Крамера получаем x1 = 11/11 = 1, x2 = −22/11 = −2. П р и м е р 6 . По формулам Крамера решить систему  x1 + 4 x2 + 3x3 = 18,  2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15,  4 x + 4 x + x = 15. 2 3  1 Р е ш е н и е . В данном случае  1 4 3 18      A =  2 2 3  , B = 15  .  4 4 1 15      Проведем вычисление определителей 1 4 3 2 3 2 3 2 2 ∆ = 2 2 3 = -4 +3 = 4 1 4 1 4 4 4 4 1 −10 + 40 + 0 = 30 ≠ 0, 33 18 4 3 2 3 15 3 15 2 –4 +3 = 30; ∆1 = 15 2 3 =18 4 1 15 1 15 4 15 4 1 1 18 3 15 3 2 3 2 15 – 18 +3 = 60; ∆ 2 = 2 15 3 = 15 1 4 1 4 15 4 15 1 1 4 18 2 15 2 15 2 2 –4 + 18 = 90. ∆3 = 2 2 15 = 4 15 4 15 4 4 4 4 15 По формулам Крамера получаем x1 = ∆ ∆1 30 ∆ 60 90 = = 1 ; x2 = 2 = = 2 ; x3 = 3 = = 3. ∆ 30 ∆ 30 ∆ 30 Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: 1 + 8 + 9 = 18 , 2 + 4 + 9 = 15 , 4 + 8 + 3 = 15 . Все уравнения обратились в тождества, следовательно, решение найдено верно. Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Исследовать систему AX = B на совместность 3 4 2 0  2  1 −2 −4 0    , B =  8 ; а) A =   3 1 6 −2   −3       4 −1 2 −2  5  8 −2 4 −4  2  1 −2 −4 0    , B =  0 ; б) A =   3 1 6 −2   −3       4 −1 2 −2  3 34  2 −5 7 0 в) A =  3 1   4 −1 3 4 8 −3  . 6 −5   2 2 2. Матричным методом решить систему AX = B, где  1 4 −2   −10    а) A = 2 2 −3 , B =  −14  ;      −6 4 3   6  1 4 1  12  б) A =  2 −1 5  , B =  10  .      1 −5 3   −2  3. По формулам Крамера решить систему AX = B, где  1 2 −4   −6    а) A = 4 3 −3 , B =  2  ;      −4 1 2   −4  1 0 6  19    б) A = 2 −4 5 , B =  9  .      7 −3 2  7 Тестовые задания 1. При каких значениях λ система 2 x − 3 y = 2,   4 x − λy = 3 имеет единственное решение? а) λ = 6 ; б) λ ≠ 6 ; 2. При каких значениях λ система 35 в) λ = 3 ; г) λ ≠ 3 . λx + 2 y = 1,  2 x + λ y = 1 7 x + 3 y − 4 = 0, б)  2 x − 5 y − 7 = 0; имеет бесконечное множество решений? а) 1; б) 2; в) 3; 3x + y − 1 = 0, в)  7 x − y + 1 = 0; г) 4. 3x + 4 y − 1 = 0, г)  −5 x + y − 6 = 0. 3. При каких значениях λ несовместна система 6 x − 2 y = 1,  λx + 3 y = −4. а) 8; б) 2; в) 4; 8. Решение системы линейных уравнений г) 9. 5 x − 2 y = 1,  2 x + y = 4 5. Если ( х0 ; y 0 ) решение системы линейных уравнений методом Крамера имеет вид:  x + 2 y = −3,  3 x + 2 y = 5, 1 −2 тогда x0 + y0 равно: а) –0,5; а) x = б) 3,5; в) 0,5; г) –3,5. 6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если: а) один из столбцов матрицы А является линейной комбинацией остальных; б) столбцы матрицы А линейно независимы; в) определитель матрицы А равен нулю; г) строки матрицы А линейно зависимы. 36 y= 5 −2 2 1 , б) x = 1 −2 4 1 7. Методом Крамера не может быть решена система линейных уравнений:  x + 2 y − 1 = 0, а)  2 x + 4 y − 1 = 0; 4 1 , 5 −2 2 1 5 1 5 −2 y= 1 2 в) x = 4 1 , 5 2 −2 1 2 4 ; 5 −2 2 1 2 1 ; 5 1 2 4 5 y= 37 1 −2 4 ; 5 2 −2 1 5 2 5 −2 1 , г) x = 1 2 2 −2 1 y= . 5 1 −2 4 4 1 Контрольные вопросы 1. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений ? 2. Какая система называется совместной, а какая – несовместной ? 3. Какая система всегда имеет решение ? 4. Какие системы являются эквивалентными ? 5. В чем заключается метод решения по правилу Крамера ? Перечислите этапы решения. Какие системы уравнений решаются по правилу Крамера ? ЛЕКЦИЯ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (метод Гаусса, однородные системы) 3.1. Метод Гаусса В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) − немецкий математик) может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 , a x + a x + ... + a x = b ,  21 1 22 2 2n n 2  ............................................  am1x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm . Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система сводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду d11x1 + d12 x2 + ... + d1k xk + ... + d1n xn = d1,  d 22 x2 + ... + d 2 k xk + ... + d 2 n xn = d 2 ,   ............................................   d kk xk + ... + d kn xn = d k , где k ≤ n, dii ≠ 0, i = 1, k . Коэффициенты dii называются главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы. К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся следующие преобразования: 1) перестановка уравнений местами; 2) перестановка слагаемых местами; 3) умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля; 38 39 4) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. Ступенчатая система получена с помощью элементарных преобразований системы следующим образом. Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ≠ 0 (если a11 = 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля), затем: 1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т. д. Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т. д. П р и м е р 1 . Методом Гаусса решить систему  x1 + 4 x2 + 3 x3 = 18,  2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15,  4 x + 4 x + x = 15 2 3  1 Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a21 = 0 и a31 = 0. Для этого произведем преобразования  S2 → S 2 − 2S1   S → S − 4S  3 1  3 (S1, S2 – первая и вторая строка). Тогда система приобретает вид      x1 + 4 x2 + 3 x3 = 18, − 6 x2 − 3 x3 = −21, − 12 x2 − 11x3 = −57. 2 шаг. Упростим второе уравнение системы [S 2 → − S 2 / 3].      x1 + 4 x2 + 3 x3 = 18, 2 x2 + x3 = 7, − 12 x2 − 11x3 = −57. 3 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a32 = 0. Для этого произведем преобразование [S 3 → S 3 + 6 S 2 ]. 40 Тогда система приобретает вид  x1 + 4 x2 + 3 x3 = 18,  2 x2 + x3 = 7,   − 5 x3 = −15.  4 шаг. Упростим третье уравнение системы, используя преобразование [ S3 → − S3 / 5] . В результате получаем ступенчатую систему вида  x1 + 4 x2 + 3x3 = 18,  2 x2 + x3 = 7,   x3 = 3.  Из третьего уравнения системы x3 = 3. Тогда из второго уравнения системы x2 = 2, а из первого – x1 = 1. Ответ: (1, 2, 3) – решение единственное. П р и м е р 2 . Методом Гаусса решить систему  2 x1 − x2 − x3 = 4,  3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 11,  3x − 2 x + 4 x = 11 2 3  1 Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a11 = 1. Для этого произведем преобразование [S1 → − S1 + S 2 ]. Тогда система приобретает вид  x1 + 5 x2 − x3 = 7,  3x1 + 4 x2 − 2 x3 = 11, 3 x − 2 x + 4 x = 11. 2 3  1 2 шаг. Обнуляем элементы a12 и a13 , для чего осуществляем преобразования S 2 → S 2 − 3S1  S → S − 3S  . 3 1  3 41 Система приобретает следующий вид:      x1 + 5 x2 − x3 = 7, − 11x2 + x3 = −10, − 17 x2 + 7 x3 = −10. 3 шаг. Обнуляем элемент a32 , для чего осуществляем преобразования 17    S3 → S3 − 11 S1  . Система приобретает следующий вид:  x1 + 5 x2 − x3 = 7,  − 11x2 + x3 = −10,   ( 7 − 17 / 11) x3 = −10 + 170 / 11.  Из третьего уравнения системы (60 / 11) x3 = 60 / 11, откуда x3 = 1. Тогда из второго уравнения системы x2 = 1, а из первого – x1 = 3. Ответ: (3, 1, 1) – решение единственное. Метод Гаусса можно трактовать и как приведение системы линейных уравнений с помощью эквивалентных преобразований к ступенчатому виду, т. е. к такому виду, что одно уравнение будет содержать лишь одно неизвестное (не важно какое), другое – два неизвестных, а третье – три неизвестных. Продемонстрируем это на предыдущем примере. Преобразуем расширенную матрицу системы: 2 −1 −1 4   2 −1 −1 4     S 2 → S 2 + 4 S1    (A B ) =  3 4 − 2 11 =  =  11 0 − 6 27  =   3 − 2 4 11  S3 → S 3 − 2 S1   − 1 0 6 3      2 −1 −1 4   2 −1 −1 4      = [S3 → S3 + S 2 ] =  11 0 − 6 27  = [S 3 → S 3 / 10] = 11 0 − 6 27 . 10 0 1 0 0 30  0 3    Последняя матрица – ступенчатая. 42 Из третьего уравнения системы x1 = 3. Тогда из второго уравнения системы x2 = 1, а из первого – x3 = 1. Ответ: (3, 1, 1) – решение единственное. П р и м е р 3 . Методом Гаусса решить систему  x1 + x2 + x3 = 6,  2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15,  x + x + 2 x = 9. 3  1 2 Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a21 = 0 и a31 = 0. Для этого произведем преобразование S 2 → S 2 − 2 S1  S → S − S . 3 1   3 Тогда система приобретает вид  x1 + x2 + x3 = 6,  x3 = 3,   x3 = 3.  2 шаг. Так как два уравнения в последней системе совпали, то исходная система эквивалентна следующей:  x1 + x2 + x3 = 6,  x3 = 3.  Система имеет бесчисленное множество решений. Пусть x2 = t , тогда x1 = 3 − t , где t ∈ R . Ответ: (3 – t, t, 3) – множество решений. П р и м е р 4 . Методом Гаусса решить систему  x1 + x2 + x3 = 6,  2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 9,  3 x + 3 x + x = 12. 2 3  1 43 Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a21 = 0 и a31 = 0. Для этого произведем преобразования  S 2 → S 2 − 2 S1   S → S − 3S .  3 3 1 Тогда система приобретает вид  x1 + x2 + x3 = 6,  0 = −3,   2 x3 = 6.  Второму уравнению полученной системы соответствует противоречивое выражение 0 = −3 , которое не выполняется ни при каких значениях неизвестных переменных. Ответ: система несовместна (решений нет). П р и м е р 5 . Методом Гаусса решить систему 2 x1 + 2 x2 − x3 = 4,   3x1 − x2 − 3 x3 = 7,  x + 3 x − 2 x = 3. 2 3  1 Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a11 = 1. Для этого переставим местами уравнения системы:  x1 + 3 x2 − 2 x3 = 3,  2 x1 + 2 x2 − x3 = 4,  3x − x − 3 x = 7. 3  1 2 2 шаг. Обнуляем элементы a12 и a13 , для чего осуществляем преобразования  S 2 → S 2 − 2S1   S → S − 3S  . 3 1  3 Система приобретает следующий вид: 44  x1 + 3 x2 − 2 x3 = 3,   − 4 x2 + 3 x3 = −2,  − 10 x + 3 x = −2. 2 3  3 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a22 = 1 , для чего осуществляем преобразование [ S 2 → − S 2 / 4]      x1 + 3 x2 − 2 x3 = 3, 3 1 x2 − x3 = , 4 2 − 10 x2 + 3 x3 = −2. 4 шаг. Обнуляем элемент a32 , для чего осуществляем преобразования [S3 → S3 + 10S 2 ] . Система приобретает следующий вид:  x1 + 3 x2 − 2 x3 = 3,  3 1  x2 − x3 = ,  4 2  − (18 / 4) x3 = 3.  Из третьего уравнения системы x3 = –2/3. Тогда из второго уравнения системы x2 = 0, а из первого x1 = 5/3. Ответ: (5/3, 0, –2/3) – решение единственное. П р и м е р 6 . Методом Гаусса решить систему, заданную своей расширенной матрицей 2 1 − 5 1 8    1 − 3 0 − 6 9 .  0 2 − 1 2 − 5   1 4 − 7 6 0    Решение. 1 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a11 = 1. Для этого переставим местами уравнения системы 45 1 − 3 0 − 6 9    2 1 − 5 1 8   0 2 − 1 2 − 5 .   1 4 − 7 6 0    2 шаг. Обнуляем элементы a12 и a14 , для чего осуществляем преобразования S 2 → S 2 − 2S1  S → S − S  .  4 4 1  Система приобретает следующий вид: 1 − 3 0 − 6 9     0 7 − 5 13 − 10  0 2 −1 2 − 5 .    0 7 − 7 12 − 9    3 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a22 = 1 , для чего осуществляем преобразования [ S 2 → S 2 − 3S3 ] 1 − 3 0 − 6 9    0 1 − 2 7 5   0 2 − 1 2 − 5 .    0 7 − 7 12 − 9    4 шаг. Обнуляем элементы a32 и a42 , для чего осуществляем преобразования  S3 → S 3 − 2 S 2  S → S − 7S  .  4 4 2 Система приобретает следующий вид: −6 9  1 − 3 0   1 − 2 7 5   . 0 0 3 − 12 − 15    0 0 7 − 37 − 44   46 5 шаг. Преобразуем данную систему так, чтобы a33 = 1 , для чего осуществляем преобразования [ S3 → S3 / 3] −6 9  1 − 3 0   1 − 2 7 5   . 0 0 1 −4 −5    0 0 7 − 37 − 44   6 шаг. Обнуляем элемент a43 , для чего осуществляем преобразования [S 4 → S 4 − 7 S3 ] . Система приобретает следующий вид: 1 − 3 0 − 6 9    0 1 − 2 7 5  . 0 0 1 − 4 − 5   0 0 0 − 9 − 9   Из четвертого уравнения системы x4 = 1, из третьего x3 = −1. Тогда из второго уравнения системы x2 = −4, а из первого – x1 = 3. Ответ: (1; − 1; − 4; 3) – решение единственное. 3.2. Системы линейных однородных уравнений Система (2.1) называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0, a x + a x + ... + a x = 0,  21 1 22 2 2n n (3.1)  ....................................... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0. Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r( A )) и имеет нулевое (тривиальное) решение х1 = х2 = … = хn = 0. Теорема 3.1 . Для того чтобы система однородных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r < n. Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. Поскольку ранг не может превосходить размера матрицы, то r ≤ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров 47 Mn×n ≠ 0. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет ∆ единственное решение: xi = i = 0 , ∆i = 0, ∆ ≠ 0. Значит, других, кроме ∆ тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n. Достаточность. Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,  ....................................... a x + a x + ... + a x = 0. nn n  n1 1 n 2 2 Теорема 3.2 . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель ∆ был равен нулю, т. е. ∆ = 0. П р и м е р 7 . Решить однородную систему  x1 − x2 + 3x3 = 0,  2 x1 + 3 x2 − x3 = 0. Решение.  1 −1 3  A= ,  2 3 −1 r(A) = 2, 1 −1 = 5≠ 0. 2 3 Поскольку r < n, то система имеет бесконечное множество решений. Переменные х1 и х2 являются базисными, переменная х3 − свободная.  x1 − x2 = −3 x3 ,  2 x1 + 3 x2 = x3.  1 −1 −3 x3   1 −1 −3x3  A= ∼ .  2 3 x3   0 5 7 x3  В результате 48 7 7 8 x2 = x3 , x1 = −3 x3 + x2 = −3 x3 + x3 = − x3. 5 5 5 Полагая х3 = с (с − const), получим {–(8/5)c, (7/5)c, c} − общее решение системы. Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Методом Гаусса решить систему AX = B, где  1 4 −2   −6  а) A =  3 1 −3  , B =  −6  ;      −5 4 7   18  4 5 1  −5    б) A = 2 −4 5 , B =  0  ;      1 −5 2   −4   1 4 −2   3    в) A = 2 0 −3 , B =  7  ;      −5 −2 5   −20   1 −5 1   −1    г) A = 2 −4 3 , B =  7  .      −3 −5 4   −24  2. Методом Гаусса решить систему AX = B, где 3 4 2 0  2  1 −2 −4 0    , B =  8 ; а) A =   3 1 6 −2   −3       4 −1 2 −2  5  8 −2 4 −4  2  1 −2 −4 0    , B =  0 , б) A =   3 1 6 −2   −3       4 −1 2 −2  3 49  2 −5 7 0 в) A =  3 1   4 −1 3 4 0 2 8 −3  , B =  ;  −3  6 −5     2 2 5 2 0 1 1 г) A =  3 1   4 −1 3 4 2  4 3 −6  , .B =   .  −3  6 −2     2 −2  0 ЛЕКЦИЯ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ Матричная алгебра относится к числу наиболее важных для экономистов областей математики. В матричной форме записываются математические модели, отражающие взаимосвязи экономических структур, динамику их развития, многообразие действующих факторов. Это в свою очередь позволяет использовать современные методы матричной алгебры в экономических исследованиях и расчетах. Пусть некоторое предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием трех видов сырья. 3. Методом Гаусса решить однородную систему AX = 0, где  8 −2 4 −4   1 −2 −4 0  ; а) A =   3 1 6 −2     4 −1 2 −2   8 −2 4 −4   1 −2 −4 0  ; б) A =   3 1 6 −2     2 3 10 −2   2 −5 7 0 в) A =  3 1   5 −4 3 4 8 −3  ; 6 −5   9 −1  2 0 1 1 г) A =  3 1   1 −1 3 4 3 −6  . 6 −2   0 10  Виды сырья Виды изделий C1 C2 C3 S1 23 20 12 S2 26 14 11 S3 16 22 15 S4 9 16 4 Тогда матрица  23   26 A= 16  9 20 12   14 11  22 15   16 4  будет характеризовать нормы расхода сырья. Так, элемент второй строки третьего столбца представляет собой норму расхода третьего вида сырья при производстве второго вида изделий. Если известно, что за день предприятие выпустило 5 изделий первого типа, 10 изделий второго, 2 изделия третьего и 6 изделий 4 типа, то столбецматрица 50 51 5   10  B=  2   6 Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие произведения строк-матриц и строк-столбцов: 5    2 T S = qs = (20 50 30 40) ⋅   = 570 кг; 7    4 будет характеризовать ежедневный выпуск продукции, а произведение  23   26 AB =  16  9 20 12   5    14 11  10  22 15   2    16 4   6  10    5 T = qt T = (20 50 30 40 ) ⋅   = 1220 ч; 15   8 – ежедневный расход сырья на предприятии.  30     15  P = qpT = (20 50 30 40) ⋅   = 3550 у. е. 45    20  Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие матриц и их свойств. 4.1. Расчет затрат производства и стоимости выпускаемой продукции П р и м е р 1 . Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице. Вид изделия Количество изделий, шт 20 50 30 40 Расход сырья, кг 5 2 7 4 Норма времени изготовления, ч/шт 10 5 15 8 Цена изделия, у.е./шт 30 15 45 20 П р и м е р 2 . Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием четырех видов сырья. Виды сырья Виды изделий C1 C2 C3 C4 S1 2 3 4 5 S2 1 2 5 6 Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции. S3 7 2 3 2 Р е ш е н и е . По данным таблицы составим четыре строки-матрицы, характеризующие весь производственный цикл: S4 4 5 6 8 1 2 3 4 q = (20 50 30 40 ) − вектор ассортимента выпускаемой продукции; s = (5 2 7 4 ) − вектор расхода сырья; t = (10 5 15 8) − вектор затрат рабочего времени; p = (30 15 45 20 ) − ценовой вектор. 52 Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане выпуска каждого вида изделия 60, 50, 35 и 40 ед. соответственно. Р е ш е н и е . Составим матрицу А – матрицу расхода сырья: 53 2  1 A= 7  4 3 2 2 5 4 5 3 6 5  6 . 2  8 Тогда общие затраты на сырье и его перевозку для каждого вида продукции составят: (4.1) Составим строку-матрицу, определяющую план выпуска продукции: q = (60 50 35 40 ). 3 4 5 2 5 6  = 2 3 2  5 6 8  120 + 50 + 245 + 160   575   180 + 100 + 70 + 200   550  = . =  240 + 250 + 105 + 240   835       300 + 300 + 70 + 320   990  П р и м е р 3 . Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием четырех видов сырья. Матрица А расхода сырья имеет вид (4.1). Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его перевозку при условии заданной строки-матрицы (4.2) плана, если известны себестоимости каждого вида сырья (4; 6; 5 и 8, соответственно) и себестоимость доставки каждого вида сырья (2; 1; 3 и 2, соответственно). Р е ш е н и е . Составим матрицу себестоимости сырья и его доставки: 4 6 5 8 . C =   2 1 3 2 54 3 2 2 5 4 5 3 6 5  86   6   4 6 5 8   89  = 2   2 1 3 2   71   8 140 29   31  . 29   47  (4.2) Тогда решение задачи дается матрицей затрат C, элементы которой и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: эта матрица затрат вычисляется как произведение строки-матрицы q на матрицу А: 2 1 C = qA = ( 60 50 35 40 )  7  4 2  1 T AC =  7  4 Суммарные затраты на сырье и его доставку при матрице – плане q определяются следующим образом:  86   89 T qAC = (60 50 35 40 )  71  140  29   31  = (17695 6185 ). 29   47  П р и м е р 4 . Предположим, что два различных предприятия одной отрасли производят одинаковые типы продукции П1, П2, П3, на которую расходуется 3 вида сырья S1, S2, S3. В силу различной технологии нормы материальных затрат на предприятиях неодинаковы и описываются соответственно матрицами  2 3 5  1 1 2     A =  3 4 1  и B =  4 10 1  . 7 2 1 5 7 6     Пусть матрицы-столбцы q1 и q2 и объемов производства соответственно первого и второго предприятий имеют вид  10   25  q1 =  15  и q2 =  26  .  20   37      Определить матрицу полных материальных затрат в данной отрасли на производство продукции. Р е ш е н и е . Полные затраты первого предприятия по каждому виду сырья определяются следующим образом: 55  1 1 2   10   65      C = Aq1 =  3 4 1   15  = 110 .  7 2 1   20  120       Аналогично определяются полные затраты второго предприятия по каждому виду сырья:  2 3 5   25   313     D = Bq2 =  4 10 1   26   397 .  5 7 6   37   529      определяющая план выпуска продукции, находится из решения системы m с n неизвестными: AX = B. П р и м е р 5 . Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены в нижеприведенной таблице. Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд. Вид сырья Полные затраты сырья каждого вида по двум предприятиям получаются суммированием матриц С и D:  65   313   378        P = C + D = 110  +  397  =  507 . 120   529   649        4.2. Прогноз выпуска продукции Пусть A = (сij ); i = 1, 2, ...., m, j = 1, 2, ...., n, − матрица расходов сырья m видов при выпуске продукции n видов. Пусть известны объемы запасов каждого вида сырья, величины которых образуют соответствующую столбец-матрицу запасов  q1  q  B= 2 .  ...     qm  Тогда столбец-матрица  x1  x  X = 2 ,  ...     xn  56 (4.3) Запас сырья (вес. ед.) 1 2 3 1 6 4 5 2400 2 4 3 1 1450 3 5 2 3 1550 Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Р е ш е н и е . Составим матрицу А – матрицу расхода сырья, а также столбец-матрицу B, определяющую запасы сырья:  6 4 5 А =  4 3 1  ,  5 2 3    2400  B = 1450  . 1550    Пусть столбец-строка  x1    X =  x2  x   3 определяет неизвестные объемы х1, х2 и х3 выпуска продукции.. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно 57 записать балансовое соотношение (4.3), которое приводит к системе трех уравнений с тремя неизвестными: 6 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 2400,  4 x1 + 3 x2 + x3 = 1450, 5 x + 2 x + 3 x = 1550. 2 3  1 Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): x1 = 150, x 2 = 250, x3 = 100. 4.3. Анализ моделей торговли Будем полагать, что бюджеты трех стран, которые мы обозначим, соответственно, х1, х2, х3 расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли. Пусть аij − доля бюджета хj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов аij:  a11  A =  a 21 a  31 a12 a 22 a32 a13   a 23  . a33  Если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), то справедливы равенства: a11 + a21 + a31 = 1,   a12 + a22 + a32 = 1, a + a + a = 1.  13 23 33 Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Общая выручка от внутренней и внешней торговли для каждой страны выражается формулами 58 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = P1 ,  a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = P2 , a x + a x + a x = P .  31 1 32 2 33 3 3 Таким образом, столбцы структурной матрицы характеризуют торговый бюджет соответствующей страны, а строки – выручку от торговли. Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть равен выручке от торговли, т. е. Pi = xi . Таким образом, условия принимают вид равенств: a11x1 + a12 x2 + a13 x3 = x1,   a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = x2 , a x + a x + a x = x . 33 3 3  31 1 32 2 Введем матрицу (вектор-столбец) бюджетов  x1    X =  x2  , x   3 каждый компонент которой характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме: AX = X . Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить X: ( A − E) X = 0 . (4.4) Из этого уравнения и находятся искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле. С помощью линейной модели международной торговли можно, зная структурную матрицу международной торговли А найти такие величины на59 циональных доходов торгующих стран (вектор X), чтобы международная торговля была сбалансированной. З а м е ч а н и е . Аналогичные формулы справедливы и для сбалансированной торговли между n странами. П р и м е р 6 . Структурная матрица торговли трех стран имеет вид 1 / 3 1 / 4 1 / 2    А = 1 / 3 1 / 2 1 / 2 . 1 / 3 1 / 4 0    Поскольку ранг этой системы равен двум, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора x: 3 х1 = с, х2 = 2с, х3 = с. 2 Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов 3  x =  с; 2c; c , 2  Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле. т. е. при соотношении национальных доходов стран 3/2: 2: 1 или 3 : 4 : 2. Р е ш е н и е . Необходимо решить уравнение (4.4), которое в рассматриваемом случае имеет вид вид  1 / 3 1 / 4 1 / 2   1 0 0    x1        0    1 / 3 1 / 2 1 / 2  −  0 1 0   ⋅  x2  =  .  1 / 3 1 / 4 0   0 0 1    x   0    3         Получаем систему уравнений 1 1  2 − 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0,  1 1 1  x1 − x2 + x3 = 0, 3 2 2  1 1  3 x1 + 4 x2 − x3 = 0.   −2 / 3 1 / 4 1 / 2 0   −2 / 3 1 / 4 1 / 2 0   1 / 3 −1 / 2 1 / 2 0  ∼  0 1 / 4 −1 / 2 0  ∼     1/ 3 1/ 4 −1 0   0 −1 / 6 1 / 6 0    −2 / 3 1 / 4 1 / 2 0   − 2 / 3 1/ 4 1/ 2 0  . ∼  0 1 / 12 −1 / 3 0  ∼  1 / 4 − 1 / 2 0   0  0  0  60 Пример 7 . Структурная матрица торговли четырех стран имеет  0,2   0,4 А= 0,3   0,1 0,3 0,2 0,2   0,3 0,1 0,2  . 0,3 0,5 0,2   0,1 0,2 0,4  Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана: x1 + x 2 + x3 + x4 = 6270. Р е ш е н и е . Необходимо решить уравнение (4.4), которое в рассматриваемом случае имеет вид 0,2 0,2  x1   0   − 0,8 0,3      0,2  x 2   0   0,4 − 0,7 0,1 = .  0,3 0,3 − 0,5 0,2  x3   0       0,1 0,2 − 0,6  x 4   0   0,1 Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты вектора X: 61 х1 = 140 146 20 с, х 2 = с, х3 = с, х4 = с. 121 121 11 Введем коэффициент прямых затрат aij = Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов  140 146 20  X = с; c; c; c  ,  121 121 11  x1 = 1400, x 2 = 1460, x3 = 2200, x 4 = 1210. 4.4. Модель межотраслевого балансового анализа (линейная модель Леонтьева) Цель балансового анализа − ответить на вопрос, рассматриваемый в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли ? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой − как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Математическая модель, позволяющая проводить межотраслевой балансовый анализ, предложена американским экономистом Василием Леонтьевым (1906-1999), лауреатом Нобелевской премии. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Справедливо следующее соотношение межотраслевого баланса: n ( i = 1,...,n ), (4.5) ( i, j = 1,...,n ), показывающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Тогда соотношения (4.5) принимают вид: xi =  aij x j + yi Будем рассматривать стоимостной межотраслевой баланс, когда все величины в соотношениях (4.5) имеют стоимостное выражение. ( i = 1,...,n ). (4.6) j =1 Вводя обозначения  x1  x  X =  2 ,  ...     xn   a11 a12 a a22 A =  21  ... ...   an1 an 2 ... a1n  ... a2n  , ... ...   ... ann   y1  y  Y =  2 ,  ...     yn  систему уравнений (4.6) можно записать в матричной форме X = A⋅X + Y. (4.7) Матрицу A называют матрицей прямых затрат. Основная задача межотраслевого баланса: найти вектор X валового выпуска, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Для решения этой задачи перепишем матричное уравнение (4.7) в виде: (E − A) ⋅X = Y. (4.8) Если det(E − A) ≠ 0, то из уравнения (4.7) находим: X = ( E − A ) −1 Y = SY . j =1 в котором: xi − общий (валовый) объем продукции i-ой отрасли; xij − объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства; yi − объем конечного продукта i-ой отрасли. 62 xj n т. е. при соотношении национальных доходов стран 140 : 146 : 220 : 121. Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с = 1210. Искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле определяются следующим образом: xi =  xij + yi xij −1 (4.9) Матрица S = ( E − A ) называется матрицей полных затрат. Элемент sij этой матрицы показывает величину валового выпуска продукции i-ой отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи xi ≥ 0, yi ≥ 0, aij ≥ 0. Матрица A прямых затрат называется продуктивной, если для любого вектора Y ≥ 0 существует решение X ≥ 0 уравнения (4.8). 63 Критерий продуктивности матрицы A: если максимум сумм элементов столбцов не больше 1, причем хотя бы для одного столбца сумма элементов строго меньше 1. П р и м е р 8 . Пусть имеются следующие данные об исполнении стоимостного баланса за отчетный период: Производящие Потребляющие отрасли отрасли Энергетика Машиностроение Конечный продукт Валовый продукт Энергетика 7 21 72 100 Машиностроение 12 15 123 150 Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохранится на прежнем уровне. Р е ш е н и е . Используя данные об исполнении баланса, найдем матрицу прямых затрат. Поскольку x1 = 100, x2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, x22 = 15, то коэффициенты матрицы A прямых затрат определяются следующим образом: a11 = x11 7 x 21 = = 0,07, a12 = 12 = = 0,14, x1 100 x2 150 a21 = x21 12 x 15 = = 0,12, a22 = 22 = = 0,1, x1 100 x2 150  0,07 0,14  A= .  0,12 0,1  Поэтому матрица S = ( E − A )−1 полных затрат определятся следующим образом:  0,93 −0,14  1  0,9 0,14  −1 E− A =  , ( E− A) =  0,12 0,93  . − 0,12 0,9 , 8202     По условию вектор конечного продукта 64  144  Y = ,  123  поэтому по формуле (4.9) получаем вектор валового выпуска X= 1  0,9 0,14  144  179,0    = . 0 ,8202  0,12 0,93 123  160,5  Значит, валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 ден. ед., а в машиностроительной отрасли до 160,5 ден. ед. Задачи и примеры для самостоятельного решения 1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице. Вид изделия 1 2 3 4 Количество изделий, шт 20 50 30 40 Расход сырья, кг 5 2 7 4 Норма времени изготовления, ч/шт 10 5 15 8 Цена изделия, у.е./шт 30 15 45 20 Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции. 2 . Предположим, что два различных предприятия одной отрасли производят одинаковые типы продукции П1, П2, П3, на которую расходуется 3 вида сырья S1, S2, S3. В силу различной технологии нормы материальных затрат на предприятиях неодинаковы и описываются соответственно матрицами  2 3 5  1 1 2     A =  3 4 1  и B =  4 10 1  . 7 2 1 5 7 6     Пусть матрицы-столбцы q1 и q2 объемов производства соответственно первого и второго предприятий имеют вид  10   25  q1 =  15  и q2 =  26  .  20   37      65 Определить матрицу полных материальных затрат в данной отрасли на производство продукции. дефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана: 3. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены в нижеприведенной таблице. 6. В городе имеются ателье индивидуального пошива женского легкого платья первого, второго и третьего разрядов. Каждое ателье изготавливает 4 вида изделий: юбки, платья, блузки, брюки. Матрица расценок равна Расход сырья по видам продукции, Запас сырья вес. ед./изд. (вес. ед.) 1 2 3 Вид сырья 1 6 4 5 2400 2 4 3 1 1450 3 5 2 3 1550 Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. 4. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид 1 / 3 1 / 2 1 / 2  А = 1 / 3 1 / 4 1 / 2  . 1 / 3 1 / 4 0    Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле. 5 . Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид  0,2 0,3 0,1 0,3   0,4 0, 2 0,1 0,1  . А=  0,3 0, 4 0,5 0, 2     0,1 0,1 0, 2 0, 4  Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной без66 x1 + x2 + x3 + x4 = 5300.  15 45 20 20    D =  20 50 25 25  ,  25 60 30 40    где d si рублей – сумма выручки ателье s разряда за изготовление изделия i вида. Единый поквартальный план пошива для ателье всех разрядов задается матрицей  35   30 P = 30   20 30 40 30   25 20 20  , 35 40 30   18 15 20  где pij – количество изделий i вида, которое каждое ателье должно изготовить в j –ом квартале. Определить матрицу Т поквартальной выручки ателье каждого разряда. Ответ.  2875 2635 2600 2350  T =  3450 3175 3175 2850  .  4375 4020 4000 3650    Экономический смысл каждого элемента tij матрицы T – поквартальная выручка i-го ателье в j квартале. 7 . Предприятие выпускает 3 типа игрушек в количестве, характеризуемом ежедневным планом, определяемым строкой-матрицей X = (10 7 4). Для изготовления используется 5 видов сырья. Матрица, характеризующая расход i-го сырья на единицу j-го вида продукции имеет вид 67 Тестовые задания  5 10 3 9 2    A =  4 8 5 6 8 .  6 12 4 3 5    1. Предприятие производит изделия двух типов S1 и S2 и использует для этого сырье двух видов – C1 и C2. Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы таблицей. Стоимость единицы каждого вида сырья задается столбцом-матрицей Требуется определить: а) необходимое количество каждого вида сырья для обеспечения плана; б) стоимость сырья для единицы каждого вида продукции; в) общую стоимость всего сырья для всей продукции. Ответ: а) необходимое количество каждого вида сырья для обеспечения плана: (102 204 81 144 96); б) стоимость сырья для единицы каждого вида продукции равна: (136 121 103); в) общая стоимость всего сырья для всей продукции: 2619 ден.ед. 8 . Пусть имеются следующие данные об исполнении стоимостного баланса за отчетный период: Производящие Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовый продукт 1 2 1 100 160 240 500 2 275 40 85 400 отрасли Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление отрасли 1 увеличится вдвое, а отрасли 2 на 20%. Ответ: 945,6 (отрасль 1); 691,2 (отрасль 2). 68 Вид сырья Норма расхода сырья на единицу продукции 1    4 C =  3 .   9  2   C1 C2 Изделие S1 4 3 Изделие S 2 2 5 1000 1800 Расход сырья на 1 день Пусть ежедневный выпуск изделий S1 и S2 составляет x1 и x2 соответственно, тогда математическая модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида изделий может иметь следующий вид: 2 x1 + x2 = 900, а)  3x1 + 5 x2 = 1000;  4 x + 3 x2 = 1800, б)  1  2 x1 + 5 x2 = 1000; 4 x1 + 3x2 = 1000, в)  2 x1 + 5 x2 = 1800;  2 x + x = 500, г)  1 2 3 x1 + 5 x2 = 1800. 2. Предприятие производит изделия двух типов S1 и S 2 и использует для этого сырье двух видов – C1 и C2 . Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы таблицей. Вид сырья Норма расхода сырья на единицу продукции C1 C2 Изделие S1 4 3 Изделие S 2 2 5 1000 1800 Расход сырья на 1 день 69 Ежедневный выпуск изделия S1 составляет: а) 100; б) 200; в) 150; г) 300; д) 250. 3. Предприятие производит изделия двух типов S1 и S 2 и использует для этого сырье двух видов – C1 и C2 . Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы таблицей. Вид сырья Норма расхода сырья на единицу продукции C1 C2 Изделие S1 4 3 Изделие S 2 2 5 1000 1800 Расход сырья на 1 день Стоимость сырья каждого типа задана матрицей C = (10 10). Тогда стоимость сырья, затраченного на производство всех изделий S1 составит: а) 7000; б) 4000; в) 1500; 70 г) 8000; д) 2500.