Квантовая механика. Полный набор наблюдаемых. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Лекция 8 Совместимые наблюдаемые. неопределенностей Гайзенберга. Полный набор наблюдаемых. Соотношение Определение 1 Две наблюдаемые  и B̂ одновременно измеримы в состоянии  , если процесс измерения каждой из них даёт однозначный результат. Пусть для наблюдаемой  результат равен a , а для наблюдаемой B̂ результата равен b : Aˆ   a  , (1) Bˆ   b  . Из (1) следует, что ˆ ˆ   Ab ˆ   bAˆ   ba  ,  AB  ˆ ˆ  BA ˆˆ  0 .   AB ˆ ˆ   Ba ˆ   aBˆ   ab  .  BA    (2) Из полученных выкладок следует, что состояние  , в котором одновременно измеримы наблюдаемые  и B̂ , является собственным вектором коммутатора  Aˆ , Bˆ  с собственным значением 0. Для произвольных наблюдаемых это утверждение, вообще говоря, справедливо только для некоторых состояний  . Однако есть такие наблюдаемые  и B̂ , для которых коммутатор равен нулю  Aˆ , Bˆ   0ˆ . Определение 2 Наблюдаемые  и B̂ , для которых коммутатор равен нулю  Aˆ , Bˆ   0ˆ , называются совместимыми. Теорема. У наблюдаемых  и B̂ существует общий базис собственных векторов тогда и только тогда, когда их коммутатор равен нулю  Aˆ , Bˆ   0ˆ . В этих чистых состояниях они принимают определённые значения: Aˆ   an  ,       nm  общий набор собственных векторов. Bˆ   bm  .  (3) Доказательство Необходимость. Пусть существует такой базис nm . Разложим произвольный вектор состояния  по этому базису: 1 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8    nm nm  . nm Тогда Aˆ  nm nm    Aˆ nm nm    an nm nm   nm nm nm ˆ ˆ  nm nm    a Bˆ nm nm   a b nm nm  . BA n n m nm nm nm Т.е. для произвольного  ˆ ˆ    a b nm nm  . BA n m (4) nm Аналогично можно показать, что ˆ ˆ   a b nm nm  . AB  nm (5) nm Из (4) и (5) следует, что  Aˆ , Bˆ    0 . В силу произвольности вектора  что  Aˆ , Bˆ   0ˆ . это означает, Достаточность. Пусть  Aˆ , Bˆ   0ˆ . Пусть спектр оператора  невырожденный, т.е. каждому собственному значению an соответствует единственный собственный вектор n Aˆ n  an n . (6) С одной стороны, из равенства нулю коммутатора следует, что ˆˆ n . ˆ ˆ n  AB BA (7) ˆ ˆ n  a Bˆ n . BA n (8) ˆ ˆ n  a Bˆ n . AB n (9) С другой стороны, из (6) следует, что Сравнивая (7) и (8), видим Т.е. вектор B̂ n является собственным вектором для наблюдаемой  с собственным значением an . Но этому же собственному значению отвечает также вектор n . Так как спектр наблюдаемой  невырожден, то векторы B̂ n и n должны быть линейно зависимыми, т.е. должно иметь место выражение Bˆ n  bn n . Следовательно, кет-вектор n является собственным и для наблюдаемой B̂ . В этом состоянии n наблюдаемая 2 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 принимает определенное значение bn . Значит, у наблюдаемых  и B̂ существует общая система векторов nm . Если же спектр наблюдаемой  вырожденный, то собственному значению an соответствует несколько собственных векторов n  :  an  n   gn  1 . Здесь g n – кратность вырождения. Из векторов n   можно образовать базис в подпространстве размерности g n . Для любого из этих векторов наблюдаемая  принимает одно и то же собственное значение. С помощью подходящего унитарного  преобразования Û из векторов n  можно построить такой базис n    U  n   , в  котором матрица наблюдаемой B̂ станет диагональной: m  Bˆ n   b n mn .  Это означает, что новые базисные векторы n  (10) в рассматриваемом подпространстве являются собственными векторами наблюдаемой B̂ : Bˆ n   b n n  . (11)  Таким образом, векторы n  – искомые собственные векторы как для  , так и для B̂ . Ч.Т.Д. Задание 1. Пусть две наблюдаемые  и B̂ коммутируют. Пусть также векторы 1 и 2 – собственные векторы наблюдаемой  , отвечающие разным собственным значениям. Показать, что в этом случае матричный элемент 1 B̂ 2 равен нулю.   n Заметим, что все собственные значения b  gn  1 из подпространства, отвечающего одному и тому же собственному значению an , разные. Значит, собственными значениями наблюдаемой B̂ можно пронумеровать собственные векторы  n  , отвечающие вырожденному значению наблюдаемой  , коммутирующей с B̂ . Т.е. собственные значения b   n  gn  1 играют роль дополнительных квантовых чисел, необходимых для классификации вырожденных состояний. 3 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Пример 1: Вспомним из атомной физики задачу на определение состояний атома водорода. Спектр оператора Гамильтона En  вырожденный. Оператор Гамильтона  Hˆ , Lˆ 2   0 . Каждому   собственному значению En оператора Гамильтона отвечает n различных собственных коммутирует с квадратом оператора момента импульса: значений оператора L̂2 . Собственные значения оператора L̂2 равны l  l  1 , где l – орбитальное квантовое число. При заданном значении n орбитальное квантовое число принимает следующие значения: l  0,1, 2,..., n  1 . Таким образом, с помощью чисел l можно нумеровать вырожденные состояния атома водорода. Но спектр оператора L̂2 также вырожденный. Кратность вырождения равна 2l  1 . Как же пронумеровать эти ˆ 2 , Lˆ   0 . значения? Вспомним, что на семинарских занятиях мы показали L z Собственные значения оператора Lˆ равны m , где m – магнитное квантовое число. Оно z при заданном l как раз принимает ровно 2l  1 значений: m  l , l  1,...,0,..., l  1, l . Т.е. магнитное квантовое число нумерует вырожденные состояния, отвечающие заданному орбитальному моменту. Таким образом, кратность вырождения каждого энергетического n 1 уровня без учета спиновых состояний равна gn    2l  1  n2 . l 0 Определение 3 Система  Aˆ , Bˆ ,... попарно совместимых наблюдаемых называется полным набором наблюдаемых. Aˆ  n  an  n , Bˆ  n  bn  n , ... Для всякого n набор an , bn ,... соответствует единственному вектору n . Использование такого набора – это способ фиксации чистого состояния. Смотри приведенный пример 1 для чистого состояния атома водорода. В нем полный набор был ˆ 2 , Lˆ . порожден наблюдаемыми Hˆ , L  z  Задание 2. Пусть n – собственное состояние для оператора  . Пусть в этом состоянии  Bˆ , Cˆ  n  0ˆ , но при этом  Aˆ , Bˆ  n  0ˆ и  Aˆ , Сˆ  n  0ˆ . Показать, что тогда спектр       оператора  вырожден. Пример 2. В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим частицу в центрально-симметричном поле. Оператор Гамильтона имеет вид pˆ 2 Hˆ  V r  . 2m 4 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Для некоторого состояния частицы коммутационные соотношения: в этом поле выполняются следующие ˆ  Hˆ , Lˆ   0,    Lˆ , Lˆ   i    Lˆ .    Значит, в частности ˆ  Hˆ , Lˆz   0, вырождение по магнитному     но  Lˆz , Lˆx   i Lˆ y  0ˆ  ˆ квантовому числу m  Hˆ , Lˆx   0,    Т.е. утверждение из задания 2 позволяет сразу сделать вывод о наличии вырождения по магнитному квантовому числу в любом центрально-симметричном поле. Мы к этому ещё непременно вернемся при рассмотрении движения в центрально-симметричном поле. Пример 3. Рассмотрим свободное движение частицы. Найдем общие функции для pˆ x2 ˆ операторов кинетической энергии T  и импульса pˆ x . 2m  pˆ 2  Так как эти операторы коммутируют  x , pˆ x   0ˆ , то такие функции определенно есть.  2m  Для их нахождения найдем сначала собственные функции оператора кинетической энергии: pˆ x2   E 2m   2   x   E  x  . 2m x 2 2 Собственные значения я обозначил как E . Задание 3. Решите получившееся дифференциальное уравнение, собственные функции равны  i  и покажите, что     x   C exp   x 2mE  . (12) Собственные значения могут быть любыми действительными неотрицательными числами E  0 (почему?). pˆ x2 ˆ Видим, таким образом, что спектр оператора T  непрерывный. Для всех E  0 спектр 2m двукратно вырожденный, так как в этом случае есть две линейно независимые функции: i     i     1  x   C exp  x 2mE  ,  2  x   C exp   x 2mE  . (13) 5 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Собственные функции оператора импульса вы уже находили:  px  .     x   C exp  i (14) Спектр также непрерывный. Собственные значения – любые действительные числа p . Это значит, что при p   2mE оператор кинетической энергии и оператор импульса имеют общую систему собственных функций:  1  x    p  x,  x. 2 mE 2 mE  2  x    p  (15) Т.е. оператор кинетической энергии и оператор импульса одновременно измеримы. Пример 4. Рассмотрим свободное движение частицы. Рассмотрим оператор инверсии (он же – оператор четности). Напомню, что оператор инверсии определяется как ˆ   x  x.  x (16) Задание 4. Найдите собственные значения оператора инверсии. Задание 5. Проверьте, коммутируют ли друг с другом оператор импульса pˆ x и оператор ˆ . четности  x Задание 6. Проверьте, коммутируют ли друг с другом оператор кинетической энергии pˆ 2 ˆ . Tˆ  x и оператора четности  x 2m pˆ 2 Найдем общие функции для операторов кинетической энергии Tˆ  x и оператора 2m ˆ . Казалось бы, что таких функций нет. В самом деле, собственные функции инверсии  x оператора Tˆ (13) не являются собственными функциями оператора четности. Но из этих функций мы можем посторожить, например, такие функции i  f1  x    1  x   2  x   2C cos  x 2mE  ,   i  f 2  x    1  x   2  x   2iC sin  x 2mE  .   Они уже являются собственными функциями оператора четности: (17) 6 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 ˆ f  x  f x  f  x  x 1 1 1  собственное значение +1, (18) ˆ f  x   f   x    f  x   собственное значение  1.  x 2 2 2 Таким образом, оператор кинетической энергии и оператор четности имеют общую систему собственных функций (17). И, следовательно, оператор кинетической энергии и оператор четности одновременно измеримы. Задание 7. Проверьте, измеримы ли одновременно оператор импульса и оператор инверсии. Соотношение неопределённостей Гайзенберга Пусть даны две наблюдаемые – эрмитовы операторы  и B̂ . На семинарских занятиях мы показали, что коммутатор любых двух эрмитовых операторов  и B̂ может быть представлен в виде  Aˆ , Bˆ   iCˆ , где Ĉ – некоторый эрмитов оператор, т.е. наблюдаемая. Задание 8. Вспомните, как это доказать. Рассмотрим какое-либо состояние, описываемое матрицей плотности справедливо неравенство Cˆ     D Aˆ D Bˆ  ̂ . Тогда 2 (19) 4 или Cˆ      Aˆ  Bˆ    Здесь D Aˆ 2 .   (20)   – дисперсия наблюдаемой  , а  Aˆ  D Aˆ – ее неопределенность. Соотношения (19) и (20) называют соотношениями неопределенностей Гайзенберга. Докажем их. Если задано состояние ̂ , то существуют средние значения наблюдаемых  и B̂ равны     соответственно Aˆ  Tr ˆ Aˆ и Bˆ  Tr ˆ Bˆ . Дисперсия наблюдаемой  равна    D Aˆ  Aˆ  Aˆ Eˆ  2 ˆ  A2 , (21) ˆ где мы ввели оператор A  Aˆ  Aˆ Eˆ . Аналогично можно записать для наблюдаемой B̂ : 7 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8    Bˆ  D Bˆ  Bˆ Eˆ  2  Bˆ 2 . (22) Задание 9. Покажите, что  Aˆ , Bˆ    Aˆ , Bˆ   iCˆ .     (23) ˆ ˆ F̂  A  i B . (24) Введем оператор F̂ Здесь   ˆ . Тогда F̂   A  i Bˆ . Построим оператор Gˆ  Fˆ  Fˆ . (25) Задание 10. Покажите, что Ĝ – наблюдаемая. Из лекции 3 мы уже знаем, что наблюдаемая (25) положительно определена. Задание 11. Вспомните это, а также покажите непосредственным вычислением, что Ĝ обладает неотрицательным спектром, т.е. все ее собственные значения неотрицательные. Из условия положительной определенности наблюдаемой (25) следует, что Gˆ  0 Fˆ  Fˆ    Aˆ  i Bˆ  Aˆ  i Bˆ   (26) ˆ ˆ  A2   2 Bˆ 2  i  A, Bˆ   0.       ˆ ˆ С учетом того, что A2  D Aˆ , B 2  D Bˆ и формулы (23) перепишем (26) в виде:     (27)     (28) D Aˆ   2 D Bˆ   Cˆ  0 . Это неравенство имеет место быть, если Cˆ 2  4D Aˆ D Bˆ  0 . Задание 12. Покажите это. Из (28) следуют соотношения неопределенностей (19) и (20). Пример 5. Рассмотрим свободное движение частицы. Коль скоро  xˆ, pˆ x   i Eˆ , то соотношение неопределенностей «координата-импульс» имеет вид: xpx  2 . (29) 8 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Полученное соотношение означает, что в данном состоянии ̂ импульс и координата не могут быть совместно измерены точно. Чем меньше дисперсия координаты, тем больше дисперсия импульса. Можно выделить две интерпретации соотношения неопределенностей. Согласно первой, ограничены лишь наши знания о системе. Мы не можем узнать одновременно точные значения двух величин в состоянии ̂ . Согласно же второй интерпретации предполагается, что эти величины в принципе не существуют одновременно в состоянии ̂ . С формальной математической стороны соотношение неопределенностей является следствием того, что события разворачиваются в гильбертовом пространстве, в котором справедливо неравенство Коши-Шварца. Соотношение неопределенностей – это просто следствие неравенства Коши-Шварца. Замечание: соотношение (29) не имеет прямого отношения к возможной точности измерения! Например, в работе (https://doi.org/10.3367/UFNr.2017.02.038069) предложен мысленный эксперимент, показывающий возможность одновременного измерения импульса и координаты фотона с погрешностями, произведение которых меньше предела правой части соотношения неопределённостей Гайзенберга. Есть также реальные эксперименты, в которых используются так называемые «слабые измерения», позволяющие получить точность, большую, чем (29). Подробнее прочитайте в книге Белинский А.В. Квантовые измерения М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 182 с. С принципом неопределенностей тесно связан принцип дополнительности Нильса Бора. Согласно этому принципу, для описания квантовых явлений необходимо использовать два взаимно исключающих понятия, которые, в отличие от случая классической физики, невозможно объединить в единое представление: точное измерение координаты исключает возможность точного измерения импульса. Координата является величиной, дополнительной к импульсу. Вот что писал Н. Бор: ... [квант действия] вынуждает нас использовать новый способ описания, определяемый как дополнительность в том смысле, что любое применение некоторых классических понятий исключает одновременное использование других классических понятий, которые, с другой стороны, являются одинаково необходимыми для полного описания явлений. ...Дополнительность отражает логическую связь совершенно нового типа между представлениями, которые являются взаимно исключающими и которые поэтому нельзя 9 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 рассматривать одновременно, не впадая в логическое противоречие, но без использования которых, однако, невозможно полное описание состояния. Еще в мысленном опыте Р. Фейнмана мы видели проявление дополнительности между нашим знанием о пути движения фотона и возможностью наблюдения интерференционной картины. Интересны и поучительны предложенные А. Эйнштейном мысленные эксперименты, якобы опровергающие принцип дополнительности. Прочитайте о них в книге Гринштейна и Зайонца, глава 4. Возникает вопрос, связан ли принцип дополнительности с неизбежным возмущением при измерении и, вообще, с соотношением неопределенностей? Ответ, как поначалу казалось, дал эксперимент, проведенный в 1998 г. Ремпе с сотрудниками. Прочитайте об этом эксперименте в книге Гринштейна и Зайонца, глава 4. Здесь же я отмечу, что как только в эксперименте стало возможным получение информации о пути движения атомов, интерференционная картина исчезала, как и требовал принцип дополнительности. Ремпе был уверен, что исчезновение интерференционной картины в его эксперименте не может быть связано с каким-либо изменением импульсов атома. Тем самым, думал Ремпе, его эксперимент показал, что принцип дополнительности не связан с соотношением неопределенности. Однако все не так просто. Многие исследователи предположили, что результат эксперимента Ремпе может быть объяснен при использовании представления о случайных изменениях импульса совершенно новой природы, так называемых «квантовых изменениях импульса». Прочитайте об этом подробнее в книге Гринштейна и Зайонца, глава 4. Здесь же отмечу, что до сих пор в научном сообществе нет согласия ни относительно причины изменения импульса, ни о том, классическим или квантовым является это изменение. Соотношение неопределенностей «время-энергия» Из уравнения Гайзенберга для оператора  dAˆ i  ˆ ˆ    H , A dt и соотношения неопределенностей (20) следует, что      Aˆ  Hˆ  dAˆ . 2 dt (30) 10 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Неопределенность гамильтониана – это неопределённость энергии E . Будем считать, что флуктуации достаточно малы для того, чтобы при изменении средних значений за время  t было справедливо равенство: dAˆ A .  dt t Тогда (30) можно записать в виде t E  2 . (31) Полученное неравенство получило название соотношение неопределенностей «время-энергия». Время считается точно измеримым, поэтому не существует неопределенности времени. Величина  t является промежутком времени, в течение которого среднее значение наблюдаемой  , не коммутирующей с оператором Гамильтона, существенно изменяется. Соотношение неопределенности для времени и энергии можно трактовать следующим образом. Для того, чтобы определить энергию частицы (или системы частиц) с точностью E , необходимо проводить измерения в течение промежутка времени t  E . Следствием этого соотношения является возможность виртуальных (ненаблюдаемых) процессов, лежащих в основе механизма взаимодействия частиц в квантовой теории поля. Две частицы взаимодействуют, обмениваясь с нарушением баланса энергии на величину E виртуальным (ненаблюдаемым) переносчиком взаимодействия, существующим в течение времени t  E . Можно сказать, что согласно квантовой механике никакие явления не могут происходить мгновенно. За время  t виртуальная частица переместится на расстояние r  ct . Эта величина характеризует радиус взаимодействия, осуществляемый переносчиком взаимодействия. Другая трактовка соотношения (31) связана с понятием времени жизни нестабильного объекта (например, возбужденных атомов, нестабильных радиоактивных ядер). Так, если квантовая система в дискретном энергетическом состоянии живёт в среднем время   t , то энергетическая ширина уровня (ширина распада)  даётся соотношением   E   . При этом, как показывает эксперимент, с хорошей точностью распад можно считать экспоненциальным. Это значит, что число нестабильных объектов уменьшается со временем по закону N  t   N0 exp   t   . 11 Зубков В.В. Лекции по квантовой механике. Лекция 8 Подавляющее большинство известных частиц нестабильны и распадаются почти сразу после своего рождения. Вспомним, что энергия покоя частицы определяется формулой Эйнштейна E0  mc2 . Но согласно соотношению неопределенностей (31) у частицы нет какой-то фиксированной, строго определенной массы m . Чем более нестабильна частица, т.е. чем меньше она живет – тем больше у нее разброс массы. Для самых короткоживущих частиц можно измерить экспериментально ширину распада  , а затем по формуле    оценить их время жизни. Можно считать, что при любом виртуальном процессе энергия всё же сохраняется, но при этом виртуальная частица находится вне так называемой «массовой поверхности», определяемой известным соотношением E 2  p2c2  m2c4 . Это также означает, что у частицы нет строго определенной массы. 12