Квантиль, основные статистические распределения

1 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. ÐÝÓ èì. Ã.Â. Ïëåõàíîâà 2020-2021 Êâàíò
èëåì (êâàíò
èëüþ) óðîâíÿ p íåïðåðûâíîé ñ.â. ξ íàçûâàåòñÿ òàêîå å¼ çíà÷åíèå ξp, ïðè êîòîðîì P (ξ < ξp ) = p. q100% òî÷êîé íåïðåðûâíîé ñ.â. ξ íàçûâàåòñÿ òàêîå å¼ çíà÷åíèå ξq , ïðè êîòîðîì P (ξ > ξq ) = q. q100% òî÷êè òàêæå íàçûâàþò êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ . 2 3 Îñíîâíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóñòü ξ1, . . . , ξk  íåçàâèñèìûå íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¼ííûå ñòàíäàðòíûå ñ.â. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X= k X ξi2 i=1 íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì õè-êâàäðàò ñ k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è îáîçíà÷àåòñÿ χ2k . 4 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ χ2k èìååò âèä f (x) =   1 x  ãäå ôóíêöèÿ âèäà Γ(x) = k · e− 2 · x 2 −1 2k/2 Γ(k/2) Z +∞ ãàììà-ôóíêöèåé Ýéëåðà. tx−1 e−t dt ïðè x > 0, ïðè x ≤ 0, íàçûâàåòñÿ Ïóñòü Z ∼ N (0, 1), X ∼ χ2k , Z è X íåçàâèñèìû. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y =p Z X/k íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (èëè t-ðàñïðåäåëåíèåì) è îáîçíà÷àåòñÿ Tk (tk , t(k)). 1 Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Tk èìååò âèä  − k+1 2 Γ ((k + 1)/2) x2 f (x) = √ · 1+ . k πk · Γ(k/2) 1 5 William Sealy Gosset: ¾Student. ”The Probable Error of a Mean.” Biometrika, vol. 6, no. 1, 1908, pp. 125.¿ 6 Ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ñëåäñòâèå. Åñëè x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ), òî x ∼ N a, √σn . 7 Òåîðåìà Ôèøåðà. Ïóñòü x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (a, σ). Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì îáúåìå âûáîðêè n èõ ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x−a √ ∼ N (0, 1); 1. σ/ n 2. (n − 1)S 2 ∼ χ2n−1 ; σ2 3. ñ.â. x è S 2 íåçàâèñèìû. Ñëåäñòâèå 1 èç ò. Ôèøåðà. Ïóñòü x1, . . . , xn  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì √ x−a N (a, σ). Òîãäà n · ∼ Tn−1 . S Ïîñòðîåíèå èíòåðâàëüíûõ îöåíîê Èíòåðâàë ñî ñëó÷àéíûìè êîíöàìè θe1, θe2 íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì (èíòåðâàëüíîé îöåíêîé) äëÿ ïàðàìåòðà θ, åñëè

P θe1 < θ < θe2 = γ, ãäå γ > 0  çàäàííîå ÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ èëè íàäåæíîñòüþ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. 8 Ïîñòðîåíèå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ïàðàìåòðîâ ã.ñ., èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ä.è. äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ 2 äèñïåðñèè σ ñ íàä¼æíîñòüþ γ : a ïðè èçâåñòíîé (1)   σ · tγ σ · tγ a∈ x− √ , x+ √ , n n ãäå Φ(tγ ) = γ/2. Ä.è. äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äèñïåðñèè ñ íàä¼æíîñòüþ a∈ γ : a ïðè íåèçâåñòíîé S · t 1+γ ,n−1 S · t 1+γ ,n−1 √2 √2 , x+ x− n n ! , ãäå t 1+γ ,n−1  êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Tn−1 óðîâíÿ 1 +2 γ . 2 9 (2) 10 Ä.è. äëÿ ñ.ê.î. íàä¼æíîñòüþ  σ γ: ïðè íåèçâåñòíîì ìàò. îæèäàíèè ñ 2  2  S · (n − 1) < σ 2 < S · (n − 1)  , χ21+γ χ21−γ 2 ,n−1 (3) 2 ,n−1 ãäå χ21±γ ,n−1  êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2n−1 óðîâíåé 1 ±2 γ . 2 11 Ä.è. äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà p ïðè n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ (ñõåìà Áåðíóëëè) ñ íàä¼æíîñòüþ ãäå p1,2 γ p ∈ (p1 , p2 ), (4)  s  2 t2γ n p e (1 − p e ) tγ  , = 2 · pe + ∓ tγ · + tγ + n 2n n 2n  Φ(tγ ) = γ/2, pe  îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà. Ïðè áîëüøèõ n ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ áîëåå ïðîñòûì âûðàæåíèåì: r p1,2 = pe ∓ pe(1 − pe) · tγ . n (5) 12 Ïóñòü X ∼ χ2n, Y ∼ χ2m, X è Y íåçàâèñèìû. Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z= X/n Y /m íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ôèøåðà (ÔèøåðàÑíåäåêîðà) ñ n è m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è îáîçíà÷àåòñÿ F (n, m) (Fn,m). Ñëåäñòâèå 2 èç ò. Ôèøåðà. Ïóñòü x1, . . . , xnx  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (ax, σ), y1 , . . . , yny  âûáîðêà èç ã.ñ. ñ ðàñïðåäåëåíèåì N (ay , σ), Sx2 è Sy2  èñïðàâëåííûå âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè ýòèõ 2 âûáîðîê. Òîãäà T = SSx2 ∼ F (nx − 1, ny − 1). y