Кручением как вид нагружения

ЛЕКЦИЯ №6 Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальные и поперечные силы) равны нулю. Стержень при кручении принято называть брусом. Для крутящего момента, независимо от формы сечения принимается следующее правило знаков (рис. 6.1): Рис. 6.1 Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали (с точки С) и видит момент Тк направленным против движения часовой стрелки, то величина момента считается положительной. При противоположном направлении моменту придается отрицательное значение (в случае, изображенном на рис. 6.1 величина крутящего момента Тк имеет отрицательное значение). При расчетах и в схемах на кручение вводятся следующие обозначения: Т – внешний момент (внешний силовой фактор); Тк – крутящий момент (внутренний силовой фактор). При плоской модели расчета для моментов применяется условное обозначение в виде кружочков (рис. 6.2). Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, кружок с крестиком обозначает силу, направленную от наблюдателя. Положительные величины крутящих моментов откладываются вверх. Рис. 6.2 При расчете стержня на кручение необходимо решить две основные задачи. Требуется определить напряжение и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решают по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового поперечного сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней. Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет разным. Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечений – предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений. Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами. В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Тк=Т. Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной dz, а из него, в свою очередь, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами ρ и ρ+dρ – элементарное кольцо, показанное на рис. 6.3. Рис. 6.3 Правое торцевое сечение кольцо поворачивается при кручении относительно левого на угол dφ. Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол γ и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны ρdφ, а с другой – γdz. Следовательно  =  d dz . Угол γ представляет собой угол сдвига цилиндрической поверхности. Величину = d обозначают обычно через θ: dz d dz (6.1) и называют относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина θ аналогична относительному удлинению при растяжении  = получим выражение для угла сдвига: По закону Гука для сдвига: l . Вводя значение θ l  =  .  = G = G . (6.2) Элементарные силы τdA (рис 6.4) можно привести к крутящему моменту Tk = dA . Выполним интегрирование для всей площади поперечного A сечения А. Подставив в подынтегральную функцию значение касательного напряжения (6.2), получим: Tk = G   2 dA . (6.3) A Рис. 5.4 Интеграл  2 dA представляет собой чисто геометрическую характеристику A сечения, которая измеряется в [м4] и носит название полярного момента инерции сечения.   dA = I 2 p . (6.4) A Таким образом, получаем: T Tk = GI p или  = k . GI p Произведение GI p называется жесткостью стержня при кручении. Если стержень имеет переменное сечение, то полярный момент инерции Ip зависит от текущей координаты z. Через относительный угол закручивания θ легко определить и взаимный угол поворота сечений φ: d T = k ; dz GI p d = Tk dz GI p , откуда: l Tk dz GI p , = (6.5) где l – расстояние между сечениями, для которых определяют взаимный угол поворота. Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, Тк=Т, а жесткость остается постоянной, то взаимный угол поворота можно определить из выражения: = Tk l GI p . (6.6) Вернемся теперь к касательным напряжениям:  = G = G Tk T = k . GI p Ip Максимальное касательное напряжение:  max = Tk  max Ip . Величина Ip  max = Wp называется полярным моментом сопротивления сечения при кручении и измеряется в [м3]. Окончательно для максимального касательного напряжения имеем:  max = Tk Wp . (6.7) Tl k Формулы  = GI p и  max = Tk Wp являются основными расчетными формулами при кручении стержня с круговым поперечным сечением. Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения. Определим теперь Ip и Wp. Для этого в выражение (6.4) подставим величину элементарной площади dA=2πρdρ с заменой пределов интегрирования. Если стержень имеет сплошное круговое сечение: D 2 D 2 I p =   2d = 2   d = 2 2 3 4 D 2 4 = D 4 32  0,1D 4 ; D 4 Wp = Ip  max D 3 32 = =  0,2 D 3 . D 16 2 Если в стержне имеется внутренняя центральная часть: D 2 D 2 I p =   2d = 2   d = 2 2 3 d 2 d 2 4 4 D 2 d 2 D 4 d 4 D 4 d4 = − = (1 − 4 ) ; 32 32 32 D D 4 d4 (1 − 4 ) Ip D 3 d4 d4 3 32 D Wp = = = (1 − 4 )  0,2 D (1 − 4 ) . D  max 16 D D 2 Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу ρ (рис. 6.5). Из условия парности касательных напряжений следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях. Рис. 5.5 Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение деревянных образцов. Дерево обладает анизотропными свойствами и плохо сопротивляется нагрузкам вдоль волокон. Поэтому разрушение деревянных образцов начинается с возникновения продольных трещин. Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент ABCD (рис. 5.6), то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Если изменить ориентацию сечений, повернув их плоскости на 45° (элемент A1B1C1D1), то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения σ, имеющие одинаковое с касательными напряжениями τ значение. Рис. 6.6 Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения. Рассмотрим участок закрученного стержня длиной dz. (рис. 6.7). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов Тк, приложенных по торцам: 1 dU = Tk d , 2 (6.8) где dφ – взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент Тк меняется пропорционально dφ от своего нулевого до максимального значения. Рис. 6.7 В полученное выражение подставляем выражение для взаимного угла поворота сечений dφ (6.5). Тогда dU = Tk dz 2GI p . Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием полученного выражения по длине: l Tk2 dz U = 2GI p . (6.9) Если момент Тк по длине не меняется и жесткость остается постоянной, то Тк=Т и потенциальную энергию можно определить по формуле: Tk2l U= 2GI p .