Кручение бруса прямоугольного сечения

Кручение бруса прямоугольного сечения Опыт показывает, что при кручении бруса любого некруглого сечения его поперечные сечения искривляются (депланируют). Это обстоятельство значительно усложняет задачу определения напряжений и деформаций, так как не позволяет принять гипотезу плоских сечений. В то же время нет возможности ввести обоснованные допущения о характере распределения напряжений по сечению, как это удается сделать для тонкостенных брусьев замкнутого контура. Поэтому задачи кручения брусьев некруглых сечений могут бы решены только методами теории упругости. Интересно отметить, что принятие гипотезы плоских сечений для брусьев некруглого сечения привело бы к результатам, прямо противоположным действительным. Согласно этой гипотезе, точки наиболее удаленные от центра сечения, имеют наибольшие перемещения и, следовательно, в них должны действовать наибольшие напряжения. Например, в брусе прямоугольного сечения τmax должны были бы возникнуть в угловых точках. Но легко показал, что на самом деле именно в этих точках касательные напряжения равны нулю. Действительно, если бы на площадке поперечного сечения в угловой точке действовало напряжение (рис. 7.14), то его можно было бы всегда разложить на составляющие, направленные вдоль сторон прямоугольника. Каждая из этих составляющих должна быть равна нулю, так как парные им напряжения на свободной от продольной касательной нагрузки боковой поверхности бруса равны нулю. Следовательно, и напряжение τ=0. Рис. 7.14. Рис. 7.15. Решение задачи о кручении бруса прямоугольного сечения полученное в теории упругости Сен-Венаном, показывает, что касательные напряжения в контурных точках сечения возрастают от нулевых значений в углах к серединам сторон по некоторым кривым (рис. 7.15); в центре сечения напряжение равно нулю, а максимального значения напряжения достигают в серединах длинных сторон, причем . (7.27) Наибольшее напряжение на короткой стороне прямоугольника . (7.28) Угол закручивания определяется по формуле , (7.29) где . В этих формулах b - длина короткой стороны; h - длинной сторону прямоугольника; α, β, γ - числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h и b. Значения этих коэффициентов приведены в таблице 7.1. Характер изменения касательных напряжений по различным направлениям внутри прямоугольного сечения показан на рис. 7.15. Таблица 7.1 h/b 1 1.5 1.75 2 3 4 6 8 10 ∞ α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 γ 1.00 0.859 0.820 0.795 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 Кручение тонкостенного бруса открытого профиля Результаты предыдущего раздела позволяют получить расчетные уравнения дли напряжений и деформаций при свободном кручении тонкостенных брусьев открытого профиля. При кручении бруса в виде узкой прямоугольной полосы с большим отношением высоты сечения h к его толщине δ (h/δ>>10) коэффициенты α, β согласно данным таблицы 7.1 можно принять равными 1/3 и вычислять τ и j для такого профиля по формулам (см. уравнения 7.27 и 7.29) , (7.30) . (7.31) Форма и соотношение размеров сечения скручиваемой полосы предопределяют и характер распределения напряжений в ней. За исключением небольших участков у коротких сторон прямоугольника распределение напряжений вдоль его длинных сторон становится равномерным, а по толщине сечения - линейным (рис. 7.16). Аналогичный характер имеет распределение напряжений и при криволинейной форме сечения (см. рис. 7.16). Для таких сечений в формулах (7.30) и (7.31) надо высоту сечения h заменить на длину его средней линии L. Если имеет место кручение стержня сложного сечения, которое может быть разделено на тонкостенные элементы, то для него , где I=1, n - номера тех простейших частей, на которые разбито сечение. Так как угол закручивания для всего сечения и всех его частей одинаков, то есть , то крутящий момент распределяется между отдельными частями сечения пропорционально их жесткости: . В каждой i–ой части наибольшее касательное напряжение равно: . Наибольшее напряжение будет у того элемента, у которого отношение будет максимальным . (7.32) В случае, когда сложное сечение состоит из узких и длинных прямоугольников (уголковых, тавровых, двутавровых, корытных и т.п.), можно принять , где δi - короткие, а hi - длинные стороны прямоугольников, на которые можно разбить сечение. Коэффициент η равен 1.0 для уголкового сечения, 1.2 для двутаврового, 1.15 для таврового, 1.12 для швеллерного. Угол закручивания определяется по формуле: Наибольшее касательное напряжение обычно бывает в наиболее широком из прямоугольников, на которые мы разбили профиль: , (7.33) где δmax - наибольшая толщина элемента профиля. Рис. 7.16. ЗАДАЧА Определить напряжения и погонный угол закручивания стальной разрезной трубы (рис. 7.18), имеющей диаметр средней линии d=97,5 мм и толщину δ=2.5 мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы G=8·104 МПа. Рис. 7.18 Касательные напряжения в разрезной трубе, представляющей собой тонкостенный стержень, определим по формуле: где h=πd - развернутая длина осевой линии трубы. Угол закручивания на метр длины для разрезной трубы определяется по формуле (7.31) ЗАДАЧА (Для самостоятельного решения) Определить напряжения и погонный угол закручивания медной разрезной трубы (рис. 7.18), имеющей диаметр средней линии d=80 мм и толщину δ=2 мм. Крутящий момент – 30 Нм. Модуль сдвига материала трубы из справочника.