Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения

ЛЕКЦИЯ №7 Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения. Депланация сечения. Статически неопределимые задачи на кручение. Определение напряжений в стержне с некруглым поперечным сечением представляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, введенная ранее, оказывается неприемлемой. При кручении таких стержней поперечные сечения не остаются плоскими, а заметно искривляются, коробятся, в результате чего существенно меняется картина распределения по ним напряжений. В этом случае говорят, что сечения подвергаются депланации. На рис. 7.1, в качестве примера, показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечного сечения. Рис. 7.1 Таким образом, при определении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с их искривлением. Задача, кроме того, будет усложняться тем, что для некруглого сечения напряжения будут определяться в функции уже не одного независимого переменного (ρ), а двух (x и y). На рис. 7.2 показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам сторон в точках А и В. τ A = τ max = Tk αhb 2 ; (7.1) τ B = ητ max , (7.2) где h – большая сторона, b – меньшая сторона прямоугольного сечения. Рис. 7.2 Момент инерции сечения в этом случае вычисляется по формуле I k = βhb3 , (7.3) а момент сопротивления сечения кручению Wk = αhb 2 . (7.4) Угловое перемещение будет определяться зависимостью: ϕ= Tk l Tk l = GI k Gβhb3 . (7.5) Коэффициенты α, β и η зависят от отношения h b и определяются по табл. 7.1. Таблица 7.1 h/b α β η h/b α β η 1 0,208 0,141 1 4 0,282 0,281 0,745 1,5 0,231 0,196 0,859 6 0,299 0,299 0,743 1,75 0,239 0,214 0,82 8 0,307 0,307 0,742 2 0,246 0,229 0,795 10 0,313 0,313 0,742 2,5 0,258 0,249 0,766 ∞ 0,333 0,333 0,742 3 0,267 0,263 0,753 В результате того, что аналитическое решение задачи о кручении стержня с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метод аналогий. В задачах механики часто встречаются случаи, когда решение различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными x1 и y1 из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными x2 и y2 из другой задачи. Тогда говорят, что переменная x2 является аналогом переменной x1, а y2 – аналогом переменной y1. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить связь между переменными x1 и y1, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости x2 от y2. В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента – объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. Характер деформации пленки под действием давления можно всегда себе представить себе, если не точно, то, во всяком случае, ориентировочно. Следовательно, всегда имеется возможность представить закон распределения напряжений при кручении стержня с заданной формой сечения. Пленочная аналогия не является единственной. Для задачи о кручении стержня могут быть предложены и другие аналогии, связанные, например, с законами гидродинамики. В теории упругости при решении некоторых задач используют также электростатические аналогии, где законы распределения напряжений в упругом теле устанавливаются путем замера напряженности электростатического поля в различных точках исследуемой области модели. Современная техника вообще широко использует различные аналогии. В тех случаях, когда в качестве аналога используют искусственно созданную схему, метод аналогии называют моделированием. Этим методом исследуют многие сложные и недоступные непосредственному наблюдению процессы. При этом моделирование осуществляют как в реальности, так и при помощи компьютерных программ. В практике машиностроения часто возникает необходимость расчета на кручение так называемых тонкостенных стержней. Типичные формы прокатанных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показаны на рис. 7.3. Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров. Рис. 7.3 Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые. Так, первые четыре профиля (см. рис. 7.3) являются открытыми, а последние три – замкнутыми. Характер распределения напряжений в поперечном сечении тонкостенного стержня проще всего установить при помощи пленочной аналогии. Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие по форме профиля и натянутую на нем пленку. Если приложить к пленке равномерно распределенную нагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависимости от того, замкнутым или открытым является профиль. Это различие иллюстрирует рис. 6.16. В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней областью и под действием давления смещается (рис. 5.16,б). Это и предопределяет качественное различие между формами пленки для случаев замкнутого и открытого профилей. Рис. 7.4 Для открытого профиля пленка имеет наибольшие углы наклона по концам нормального отрезка (рис. 7.4,а), причем примерно в середине толщины происходит смена знака угла наклона. С большей степенью точности можно принять, что напряжения по толщине незамкнутого профиля распределены линейно. В случае замкнутого контура деформированная пленка образует поверхность примерно постоянного угла подъема (см. рис. 7.4,б), откуда следует, что распределение напряжений по толщине профиля близко к равномерному. Перейдем к составлению расчетных формул. Начнем с открытого профиля. Достаточно очевидно, что форма пленки (см. рис. 7.4,а), а, следовательно, и напряжения в стержне сильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Но в этом случае могут быть использованы расчетные формулы, выведенные для прямоугольного сечения с большим отношением сторон. При h/b=∞ коэффициенты равны: α=0,333; β=0,333; η=0,742. Тогда получаем выражения для максимальных касательных напряжений и взаимного угла закручивания: 3Tk δ 2s ; 3T l ϕ = k3 , Gδ s τ max = (7.6) (7.7) где δ – толщина профиля (меньшая сторона прямоугольника); s – половинная длина контура поперечного сечения (большая сторона прямоугольника). Полученные таким образом расчетные формулы являются общими, т.е. не зависят от формы, если только последний может быть развернут в прямоугольник. В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник (см. рис. 7.4,б), поступают следующим образом: Момент Тк рассматривают как сумму моментов, возникающих на отдельных участках. Тогда: Tk = и ϕ= ϕG 3l (δ13 s1 + δ 23 s2 + ... + δ n3 sn ) 3Tk l G (δ13 s1 + δ 23 s2 + ... + δ n3 sn ) . (7.8) (7.9) При помощи пленочной аналогии легко установить, что наибольшие напряжения возникают на участке с наибольшей толщиной δmax. Для этого отдельно взятого участка, которому мы припишем номер i: τ i = τ max = 3Tki 3Tki ϕ = δ i2 si ; Gδ i3 si , где Tki – доля крутящего момента, соответствующего i-му участку; φ – угловое перемещение, единое для всех участков. Исключая из этих выражений Tki, находим: τ i = τ max = ϕ G или δ max l τ max = 3Tkδ max (δ13 s1 + δ 23 s2 + ... + δ n3 sn ) . (7.10) Изложенный метод определения напряжений в незамкнутом профиле является приближенным, поскольку не учитываются повышенные местные напряжения во внутренних углах ломаного профиля. Чем меньше радиус закругления во внутренних углах, тем больше местные напряжения. Во избежание местных перенапряжений внутренние углы в профилях выполняют скругленными. Рассмотрим теперь кручение стержня, имеющего поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 7.5). Рис. 7.5 Здесь, в отличие от открытого профиля, напряжения распределены равномерно по толщине сечения. Выделим из стержня элементарную призму длиной dz. Размер призмы в направлении дуги контура, т.е. расстояние между точками 1 и 2, является произвольным. Пусть толщина контура в точке 1 будет δ1, а точке 2 – δ2. Соответственно через τ1 и τ2 обозначим напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях возникают, по закону парности касательных напряжений, напряжения τ 1 = τ 1 и τ 2 = τ 2 . Составим для выделенного элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси бруса: / τ 1δ1dz = τ 2δ 2 dz . / Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то τδ = const. Таким образом, произведение τδ по длине замкнутого контура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщину, напряжения будут соответственно большими. Рис. 7.6 Выразим крутящий момент через напряжения τ. Для этого возьмем на контуре элементарный участок длиной ds (рис. 5.18). Момент силы τδds относительно произвольно взятой точки О равен τδds OA . Тогда: Tk = ∫ OAτδds . (7.11) Но произведение τδ по длине дуги контура не изменяется, следовательно: Tk = τδ ∫ OA ds . (7.12) Произведение OA ds представляет собой удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через А*. Таким образом: Tk = τδ 2 A∗ . (7.13) Наибольшее напряжение: τ max = Tk 2 A∗δ min . (7.14) Остается определить угловое перемещение φ для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения. Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение τ, с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент Т. Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами ds, dz, δ, при сдвиге равна: dU = τ2 2G δdzds . (7.15) Выражение (7.15) должно быть проинтегрировано по длине стержня l и по дуге замкнутого контура. Если стержень является однородным по длине, то l lτ 2δ 2 ds 2 τ δds = U= 2G ∫s 2G ∫s δ . (7.16) Последний интеграл (7.16) зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что T 2l Tk T τδ = * = * , получим U = 8GA*2 2A 2A ds ∫δ s . Однако энергию U можно выразить как работу внешнего момента Т на угловом перемещении φ: 1 U = Tϕ . 2 (7.17) Приравнивая оба выражения для потенциальной энергии U, находим ϕ= Tl ds 4GA*2 ∫s δ . (7.18) Если толщина δ по дуге контура не меняется, то ϕ= Tls , 4GA*2δ где s – длина замкнутого стержня. (7.19)