Корреляционный анализ. Многомерный корреляционный анализ

Корреляционный анализ Выборочный коэффициент корреляции Задача двумерного анализа признаков (Х, Y) состоит, во-первых, в оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность M X a X , M Y aY ,  X ,  Y ,  XY  . В качестве точечных оценок начальных и центральных моментов первого и второго порядка генеральной совокупности берут соответствующие выборочные оценки (см. гл. 1). Таким образом, будем иметь: X - оценка для a X , Y - оценка для aY , X 2 - оценка для M ( X 2 ) , Y 2 - оценка для M (Y 2 ) , XY - оценка для M ( XY ) . Откуда: S X2  X 2  ( X ) 2 - оценка для  X2 , n 2 Sˆ X2  S X - исправленная оценка для  X2 , n 1 SY2 Y 2  (Y ) 2 - оценка для  Y2 , n 2 SˆY2  SY - исправленная оценка для  Y2 , n 1 XY  X Y - оценка для парного r rXY  S X SY корреляции. коэффициента Многомерный корреляционный анализ Если число исследуемых признаков больше двух, то оценку частных коэффициентов корреляции, множественного коэффициента детерминации, коэффициентов уравнения регрессии и др. целесообразно осуществлять с помощью выборочных аналогов формул (4.11 – 4.15). Для этого на основе выборочных данных представленных в виде матрицы типа объект – свойство - выборочной матрицы Х "наблюденных" значений признаков X1…Xn для объектов O1…ON отобранных из генеральной совокупности  x11 x12 ... x1n    x 22 ... x 2 N  x (1) X  21  . . ... .    x N 1 x n 2 ... x Nn  находим оценки X j , j 1, n компонент a X j вектора генеральных средних (a X1 ...a X n )T 1 Xj  N N  X ij . i 1 (2) Многомерный корреляционный анализ Для оценки ̂ ковариационной матрицы  строим матрицу центрированных значений Y  yij  i 1, N , где yij  X ij  X j , i 1, N , j 1, n и затем оценку ̂ коj 1,n вариационной матрицы 1 (3) ˆ  Y T Y N или неисправленную оценку ̂ u для  1 (3а) ˆ u  Y TY N1 Оценку R̂ для корреляционной матрицы R можно построить либо, разделив элементы i-ой строки и i-го столбца на элемент S ii этой же матрица, либо (если оценка для  не строилась) строим матрицу центрированонормированных наблюденных значений признаков: X ij  X j Z  Z ij i 1, N , где Z ij  , i 1, N , j 1, n j 1,n S ii   и затем оценку R̂ для R 1 Rˆ  Z T Z N (4) Многомерный корреляционный анализ оценка rij /(...) для частных коэффициентов корреляции  ij /(...) Rˆ ij rij /(...)  Rˆ ii Rˆ jj (5) оценка S 2j /(...) остаточной дисперсии  2j /(...) S 2j /(...) S 2j Rˆ (6) Rˆ jj оценка R 2j /(...) множественного коэффициента детерминации R 2j /(...) R 2j /(...) 1  S 2j /(...) S 2j 1  Rˆ n Rˆ jj (7) Проверки значимости множественного коэффициента детерминации Пусть рассматривается оценка R 2j /(..l ..) коэффициента детерминации  2j /(..l ..) , где "l" – указывает количество факторных признаков, связь Xj с которыми мы желаем исследовать. Выдвигаем ненулевую гипотезу Н0:  2j /(..l ..) 0 , (факторные признаки (..l..) не оказывают значимого влияния на Xj), при альтернативной гипотезе Н1:  2j /(..l ..) 0 . Для проверки гипотезы рассмотрим статистику F R 2j / l (1  R 2j ) /(n  l  1) распределенную, в случае справедливости Н0 по закону ФишераСнедекора с числом степеней свободы  1 l и  2 n  l  1 . Если гипотеза Н0 отвергнута, то будем говорить о том, что множественный коэффициент детерминации (множественный коэффициент корреляции) значимо отличен от нуля. Проверка значимости частных (парных) коэффициентов корреляции Выдвигаем нулевую гипотезу Н0:  ji /(..l ..) 0 , при альтернативной гипотезе Н1:  ji /(..l ..) 0 . Используем статистику r t  ij /(...l2...)  n  l  2 , 1  rij /(...l ...) которая, в случае справедливости Н 0, распределена по закону Стьюдента с  n  l  2 степенями свободы. Для проверки значимости парного коэффициента используется статистика t , с  n  2 степенями свободы: t rij 2 ij 1 r корреляции  n 2. Если гипотеза Н0 отвергнута, то будем говорить о том, что частный (парный) коэффициент корреляции значимо отличен от нуля. Доверительные интервалы для значимо отличных от нуля характеристик линейной зависимости Если частный коэффициент корреляции  ij /(...) значимо отличен от нуля и имеет выборочную оценку rij /(...) , то для построения доверительного интервала осуществим над rij /(...) Z – преобразование Фишера 1 1  rij /(...) Z r  ln 2 1  rij /(...) 1 1  1 Статистика Z r  N ( ln , ). 2 1  n  l  3 Следовательно, статистика t  Из уравнения интервал для Z  Zr  Z  1/(n  l  3)  N (0,1) .  P ( t   )  , находим   Ф  1 ( ) 2 Zr   n l 3 Z  Z r  и доверительный  n l 3 zmin  z   zmax Осуществив преобразование обратное Z – преобразованию Фишера получим доверительный интервал для ij /(...) rmin  rmax .