Компьютерное моделирование

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВВОДНЫЕ ЛЕКЦИИ ВВЕДЕНИЕ Настоящий курс рассматривает моделирование с двух точек зрения: с теоретико-методологической – как универсальный метод научного познания, и с практической – как технологию решения прикладных научно-технических задач, опирающуюся на использование компьютера. В последнем случае говорят о компьютерном моделировании. В основной части курса, на примерах из различных областей знания, показаны некоторые типичные задачи компьютерного математического моделирования. При этом, как правило, не затрагиваются некомпьютерные модели, такие, например, как математические модели из «чистой» математики. Термин «математическая модель» увязывается здесь, в основном, с некоторой предметной областью, сущностью окружающего мира. МОДЕЛИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», что означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью. Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась отдельными науками независимо друг от друга. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь в ХХ веке постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. В основном, мы будем рассматривать только такие модели, которые являются инструментами получения знаний. В этом контексте понятие «модель» можно определить следующим образом: Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект изучения таким образом, что непосредственное исследование модели дает новые знания об объекте изучения. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом, и с помощью которого изучает интересующий его объект. В общем случае при построении модели исследователь отбрасывает те характеристики, параметры изучаемого объекта, которые несущественны для его изучения. Выбор характеристик изучаемого объекта и взаимосвязей между ними, которые при этом сохраняются и, в итоге, войдут в модель, определяется целями моделирования. Часто такой процесс абстрагирования от несущественных параметров объекта называют формализацией (в узком смысле). В данном курсе мы будем трактовать понятие «формализация» именно так, однако надо иметь в виду, что в более широком смысле слова под формализацией понимают построение теории или какой-либо области знания в таком виде, который допускает использование точных (чаще всего, математических) методов исследования. Упрощенно можно сказать, что формализация в широком смысле – это отображение результатов мышления в точных понятиях. Основное требование, предъявляемое к моделям – это их адекватность реальным процессам или объектам, которые замещает модель. Заметим, что для одного и того же объекта можно построить модели с различной степенью адекватности. Практически во всех науках о природе и обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим (а иногда и единственным) способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какие-то грани реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода. Более конкретно, необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует слишком больших времени и средств. В моделировании различают два основных подхода: натурное и абстрактное моделирование. В первом из них модель имеет материальное воплощение. Это может быть упрощенное подобие объекта, выполненное из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например, это игрушечный кораблик, домик из кубиков, деревянная модель самолета в натуральную величину, используемая в авиаконструировании и др. Модели такого рода называют натурными. При другом подходе модель задается в абстрактной форме: в виде набора математических формул, словесного описания, мысленных представлений, диаграмм, схем и т.п. Такие модели называются абстрактными. Важным видом абстрактных моделей являются знаковые модели, то есть, модели, основанные на формальных языках над конечными алфавитами. Классификация абстрактных моделей: 1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются различные своды законов, правила дорожного движения). 2. Математические модели – это класс знаковых моделей, использующих те или иные математические соотношения и методы. Например, математическая модель звезды будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Примером другой математической модели являются математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия. 3. Информационные модели – это класс знаковых моделей, описывающих информационные структуры (например, данные или знания) и/или информационные процессы (получение, передачу, обработку и хранение информации) в системах самой разнообразной природы. Примерами таких моделей могут служить: модель OSI взаимодействия открытых систем, использующаяся в компьютерных сетях, машина Тьюринга – универсальная алгоритмическая модель, архитектура фон Неймана – информационная модель компьютера. Граница между вербальными, математическими и информационными моделями может быть проведена весьма условно. Так, информационные модели иногда считают подклассом математических моделей. Однако в рамках информатики как самостоятельной науки, выделение информационных моделей в отдельный класс является целесообразным. Отметим, что существуют и иные подходы к классификации абстрактных моделей; общепринятая точка зрения здесь еще не установилась. ЦЕЛИ И ЭТАПЫ ЧИСЛЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Рассмотрим этапы одного из видов компьютерного математического моделирования, называемого численным (рис. 1). Рис.1. Общая схема процесса численного математического моделирования Первый этап – определение целей моделирования. Выделяют следующие виды целей моделирования: 1) Понимание Модель в этой ситуации нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. 2) Управление Модель здесь нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; З) Прогнозирование Модель в этом случае используется для того, чтобы предсказать прямые и косвенные последствия воздействия на объект заданными способами. Поясним перечисленные цели на примерах конкретных моделей. Пусть объект исследования – взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же произошло, обусловив уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком. Пример из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, «вдруг» начинают резко менять численность – и здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину явления, или, по крайней мере, опровергнуть определенную гипотезу о его причинах. Выработка концепции управления объектом – другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом (в несложных физических системах), так и чрезвычайно сложным – на грани выполнимости – в системах биолого-экономических, социальных. Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне в зависимости от изменений в составляющем его сплаве, то несравненно труднее предсказать экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства. Рассмотрим более подробно этапы формализации и поиска математического описания модели. При формализации необходимо определить список параметров модели, то есть величин, позволяющих описать модель на математическом языке. Параметры, которые желательно получить в результате моделирования, называются выходными параметрами модели, и их список определяется целями моделирования. Далее определяется список входных параметров модели, то есть величин, от которых зависит поведение или структура моделируемого объекта. Будем обозначать входные параметры модели через x1, x2,..., хn, а выходные – через y1, y2, ...,yk. Действия на этапе поиска математического описания модели зависят от вида создаваемой модели. В данном случае используется классификация математических моделей, подразделяющая их на аналитические, имитационные и комбинированные. Аналитической моделью называется совокупность математических формул и/или логических условий, описывающих связи между параметрами модели. Таким образом, основа аналитической модели – это комплекс формул, практически полностью описывающий моделируемый объект. Имитационной моделью называется компьютерная программа, основанная на логико-алгоритмическом описании поведения моделируемого объекта. Таким образом, основа имитационной модели – это алгоритм, имитирующий поведение объекта моделирования. Задачей имитационной модели является отображение последовательности событий, возникающих в процессе эволюции моделируемого объекта на заданном отрезке времени. Строго говоря, имитационные модели занимают промежуточное положение между математическими и информационными моделями, однако их обычно относят к математическим. Комбинированные модели сочетают в себе элементы и аналитических, и имитационных моделей. Заметим, что на рис. 1 приведены этапы работы с аналитической моделью, и далее рассматривается процесс построения аналитических моделей. Этапы имитационного моделирования существенно отличаются от приведенных выше, и будут рассмотрены отдельно. Почти всегда при построении аналитической модели в результате получаются соотношения, задающие неявные взаимосвязи между входными и выходными параметрами. В общем случае такие взаимосвязи можно представить в виде , (1) где F1, …, Fm условно обозначают различные математические соотношения, связывающие между собой входные параметры и результаты. Заметим, что F1, …, Fm – не функции. Основная часть зависимостей F1, …, Fm обычно является уравнениями разного рода (алгебраическими, дифференциальными, интегральными и т.п.). Однако, построенная в виде (1) модель, чаще всего, непригодна для применения, поскольку для использования модели нужны явные зависимости результатов моделирования y1, y2,…,yk от данных величин x1, x2,..., хn . Поэтому, если аналитическая модель построена в виде (1), то далее эту модель необходимо решить, то есть найти явные зависимости выходных параметров от входных: (2) Совокупность (2) таких явных зависимостей выходных параметров от входных называется решением модели. Поясним сказанное выше на примере модели процесса радиоактивного распада. Результатом моделирования (выходным параметром модели) в этом случае служит зависимость массы радиоактивного вещества от времени: m(t). Входными параметрами модели служат коэффициент радиоактивного распада k и масса m0 (в начальный момент времени). При построении модели в этом случае как раз и получается модель вида (1), в которой связи между входными и выходными параметрами имеют неявный характер: То есть, какие-то взаимосвязи между входными и выходными параметрами модели получены, но неясно, как m(t) явно выражается через k и m0 . Между тем, именно явная зависимость m(t) от k и m0 дает то, что требуется для дальнейшего применения модели: полное описание моделируемого процесса. Таким образом, построить модель в данном случае недостаточно, нужно еще ее решить (иногда используется термин «исследовать модель»). Основными методами исследования аналитических моделей являются аналитический, численный и качественный. При аналитическом методе решение модели находится цепочкой преобразований формул (или, коротко говорят – «аналитическими преобразованиями»). Решение это является точным, и записывается в виде (2). Например, точное решение модели процесса радиоактивного распада, полученное аналитическим путем, имеет вид . Нахождение решения аналитической модели аналитическим методом обычно называется аналитическим моделированием. При численном исследовании модели ее решение находится с помощью численных методов. Решение это является приближенным. На рис.1 нахождению численного решения модели посвящена часть процесса моделирования, начиная с этапа выбора метода исследования модели, по этап расчетов на ЭВМ. При качественном исследовании модели, не имея возможности получить решение модели в целом, ищут хотя бы некоторые свойства этого решения. Входные параметры модели могут быть известны точно, т.е. поддаваться измерению однозначно и с любой степенью точности — тогда они являются детерминированными величинами. Например, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, ее входные параметры детерминированы и, соответственно, детерминирован процесс эволюции такой системы. Однако чаще встречаются системы иного рода, для которых значения входных параметров известны лишь с какой-то вероятностью, т.е. эти параметры являются случайными (стохастическими), и, соответственно, случайным является процесс эволюции системы. Случайный характер процесса не означает его полной непредсказуемости. В этой ситуации характер исследования и задаваемых вопросов меняется – они приобретают вид «С какой вероятностью...?», «С каким математическим ожиданием...?» и т.п. Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми. Например, на перекрестке улиц можно ожидать зеленого сигнала светофора разное время, но среднее время ожидания есть величина вполне определенная, и именно она может быть объектом моделирования. РАЗЛИЧНЫЕ КЛАССИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация математических моделей может быть основана на различных принципах. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) и по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на использовании обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Если же в качестве основания классификации выбрать цели моделирования, и учесть некоторые особенности построения моделей, то можно прийти к следующей классификации: – дескриптивные (описательные) модели; – оптимизационные модели; – многокритериальные модели; – игровые модели; – имитационные модели. Часто первые четыре класса объединяют под общим названием «аналитические модели», имея в виду, что в этом случае модель представляется как совокупность математических формул и логических условий. Остановимся на этой классификации подробнее и поясним ее на примерах. Для дескриптивных моделей целью является понимание. Например, моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем ситуацию (предсказываем траекторию полета кометы, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т.д.), т.е. ставим чисто описательные цели. Дескриптивные модели строятся на базе содержательного математического описания, часто имеющего сложный характер. Сложность его обусловлена тем, что в основу модели кладутся реальные законы природы, математическое представление которых обычно является сложным. Для многих сложных объектов и явлений бывает вообще невозможно построить дескриптивную модель. В оптимизационных моделях целью является управление. Здесь мы можем воздействовать на процессы, пытаясь добиться оптимального поведения или состояния модели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизируем процесс. Особенностью оптимизационных моделей является то, что они имеют один выходной параметр, однако часто приходится оптимизировать процесс по нескольким выходным параметрам сразу, причем целевые критерии могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.) как можно полезнее и при этом как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс. В этом случае говорят о многокритериальных моделях. Таким образом, их целью также является управление и оптимизация, однако они обычно значительно сложнее оптимизационных моделей. Игровые модели служат для целей управления и прогнозирования. Основным математическим аппаратом для них является теория игр – теория математических моделей и методов принятия оптимальных решений в условиях неопределенности (в частности, в условиях конфликта нескольких сторон, имеющих разные интересы). Например, полководец перед сражением, в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии, должен разработать план, в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.п., учитывая возможную реакцию противника. Действия противостоящих армий можно изучать в этом случае на игровой модели. Целью имитационных моделей является понимание, однако в отличие от дескриптивных моделей, здесь содержательное математическое описание объекта не обязательно. Основная задача имитационного моделирования – обеспечить хотя бы внешнее сходство поведения модели и объекта моделирования, то есть, имитировать объект. Поэтому основой имитационной модели всегда является алгоритм, в котором математическое описание моделируемого объекта обычно сильно упрощается. Поведение дескриптивной модели, безусловно, тоже обеспечивает хорошее сходство с поведением объекта, однако построение или решение такой модели не всегда возможно или не всегда оправдано. В этих случаях обычно прибегают к имитационному моделированию. Рассмотрим теперь классификацию моделей, основанную на одном из важнейших фундаментальных свойств моделируемых объектов. Будем называть модели линейными, если для них справедлив принцип суперпозиции, т.е. любая линейная комбинация решений модели также является решением. Если это свойство не выполняется, модель называется нелинейной. Большинство реальных объектов и систем имеет нелинейный характер. Поэтому линейные модели соответствуют простым объектам и обычно служат лишь первым приближением к реальности. Для более сложных объектов они могут дать только очень упрощенное описание, а для еще более сложных линейные подходы в моделировании оказываются совершенно не применимы. Линейные модели основаны на математических соотношениях, которые также носят название линейных (линейные дифференциальные уравнения, системы линейных уравнений и неравенств и т.п.). Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение линейной модели в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного – различие между двумя решениями носит только количественный характер. Это обстоятельство обуславливает относительную простоту линейных моделей. Для нелинейных явлений знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания о поведении всего объекта, поэтому нелинейные модели существенно сложнее. Кроме того, общее решение линейной модели единственно, в то время как нелинейная модель имеет несколько возможных решений, соответствующих разным устойчивым состояниям моделируемой системы. Нелинейность также означает возможность качественных, скачкообразных изменений решений моделей при непрерывном изменении входных параметров модели. Еще один подход к классификации математических моделей опирается на тип эволюции моделируемых систем и характер их входных параметров. В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Кроме того, процесс эволюции такой модели детерминирован, что приводит к детерминированности и выходных ее параметров. В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими, и, соответственно, процесс эволюции системы является случайным. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как случайными, так и детерминированными величинами. Еще одна классификация моделей является более крупным вариантом классификации по математическому аппарату. В соответствии с ней, модели, основанные на использовании непрерывных функций, называются непрерывными, а модели, использующие дискретный математический аппарат – дискретными.