Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

ЛЕКЦИЯ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1.Комплексное сопротивление Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме - Z. Хорошо известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то: . ZR  . U mR (t ) .  U mR  e jt . I mR  e jt I mR (t )  U m  e ju I m  e ji Но в предыдущей лекции было установлено, что  u   i . Поэтому: ZR  Um  R. Im (3.1) Таким образом, видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между током и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным. Комплексное сопротивление емкости определяется отношением: . ZC  U mC (t ) .  1 . I mC e jt jC . I mC  e jt I m C (t ) j 1 . C (3.2) Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее математическим значением:   2  j e . Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90 о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение. Коэффициент 1/  C определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается ХС, т.е.: Z C   jX C Ом  . (3.3) 1 Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением: . ZL  U mL (t ) . .  jL  I mL e jt . I mL e jt I mL (t )  jL . (3.4) И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90о. Коэффициент L определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.: (3.5) Z L  jX L Ом . Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность - реактивными элементами цепи. Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивные элементы, например последовательно включенные R, L и С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый L R контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа: e(t )  u R (t )  u L (t )  u C (t ) . e(t) (3.6) В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, Рис. 3.1 определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток, протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду: . . . E ( t )  R  I m (t )  jL  I m (t )  j 1 . I m (t ). C Преобразуем это выражение к виду: . 1    R  j L  .  C   I m (t ) E( t ) . По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.: 2 1   Z  R  j L    R  jX , C   (3.7) где R - действительная часть или активное сопротивление цепи. 1 X  (L  ) - мнимая часть или реактивное сопротивление цепи. C Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2). В треугольнике - гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем: Z  R2  X 2 . Z (3.8) X Прилежащий к острому углу  Z катет – активным сопротивлением цепи R, причем: Z R R  Z  cos Z . (3.9) Рис. 3.2 Противолежащий катет - реактивным сопротивлением Х, причем: X  Z  sin . (3.10) Угол  Z определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем:  Z  arctg X . R (3.11) Учитывая выражения (3.8)  (3.11), легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления: Z =Z (cos Z  j sin  Z ), (3.12) a применив формулу Эйлера получить показательную форму: Z =Z  e j Z . (3.13) Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении: . U U m  e j E U m j ( E  Z ) Im    e Z Z Z  e j Z . 3 (3.14) Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение: Z Um U U0 .   Im I I0 (3.15) 2.Комплексная проводимость В цепях постоянного тока отношением тока к напряжению: проводимость G резистора определяется I 1  . U R Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению. В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части: Y  G  jB. Как и в цепях постоянного тока, комплексная проводимость участка цепи обратна комплексному сопротивлению, т.е. Y 1 1 R  jX R  jX R X    2  2 j 2 . 2 2 Z R  jX ( R  jX )( R  jX ) R  X R X R X2 Отсюда G R , R X2 2 B X , R X2 2 У 1 , Z где У - модуль комплексной проводимости. Соотношение между составляющими комплексной аналогичны соотношениям между составляющими сопротивления. Комплексная проводимость резистора: YR  1 1   G. ZR R 4 (3.16) проводимости комплексного (3.17) Комплексная проводимость конденсатора: . I mC YC   jC  jBC . (3.18) U mC Комплексная проводимость индуктивности: . YL  I mL .  U mL 1 1 j   jBL jL L (3.19) В заключение отметим, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость - для участков с параллельным включением элементов. 5