Колебания систем с распределенными параметрами

Лекция 7 Тема № 3 «КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ» 6.1. Продольные колебания стержней В качестве основной расчетной схемы рассмотрим стержень с массой единицы длины 𝜇𝜇 (𝜇𝜇 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐), находящийся под воздействием распределенной нагрузки q(x,t) (рис. 6.1). Рис. 6.1 Из условия динамического равновесия бесконечно малого элемента dx стержня и закона Гука следует равенства: �𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝑊𝑊 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 − 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝑑𝑑𝑑𝑑, (6.1) где 𝑊𝑊 = 𝑊𝑊(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) – продольное (по оси X) перемещение поперечного сечения стержня с координатой x в момент времени t; N – нормальная сила; 𝜕𝜕𝑊𝑊 𝜕𝜕𝜕𝜕 – продольная деформация; A – площадь поперечного сечения; E – модуль упругости материала стержня. Из (6.1) получаем следующее дифференциальное вынужденных продольных колебаний стержня 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝑊𝑊 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 − 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡). уравнение (6.2) Если ввести в рассмотрение дифференциальный оператор растяжения 𝑐𝑐 = − 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �, то уравнение (6.2) примет вид 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝑊𝑊 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 (6.3) + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡). Ниже будет показано, что к уравнению (6.3) сводятся также уравнения крутильных и изгибных колебаний валов и балок (см. п. 6.2 и п. 6.3). При этом дифференциальный оператор кручения для круглого вала будет определяться как 𝑐𝑐 = − 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �, А дифференциальный оператор изгиба балки как 𝑐𝑐 = 𝜕𝜕2 𝜕𝜕𝑥𝑥 �𝐸𝐸𝐸𝐸 2 𝜕𝜕2 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 �, где 𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 – жесткость при кручении; EJ – жесткость при изгибе. Рассмотрим особенности решения однородного уравнения 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝑊𝑊 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 (6.4) + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0, где с – один из указанных выше дифференциальных операторов. Решение уравнения (6.4) можно найти в виде 𝑊𝑊 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) cos 𝜔𝜔𝜔𝜔, (6.5) где функция форм колебаний 𝜑𝜑(𝑥𝑥) и частота 𝜔𝜔 подлежат определению. Подставив (6.5) в (6.4) получим уравнение (𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝜔𝜔2 )𝜑𝜑 = 0. (6.6) Имеем однородное дифференциальное уравнение для определения собственных форм колебаний 𝜑𝜑(𝑥𝑥), которое решается с учетом соответствующих граничных условий. Имеем бесконечно много собственных форм колебаний, которые обозначим через 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥), где k=1,2,… . Для дальнейшего воспользуемся понятием о скалярном произведении двух функций 𝜑𝜑(𝑥𝑥) и 𝜓𝜓(𝑥𝑥), которое на интервале (0,l) определяется как 𝑙𝑙 �𝜑𝜑(𝑥𝑥), 𝜓𝜓(𝑥𝑥)� = ∫0 𝜑𝜑(𝑥𝑥)𝜓𝜓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 , (6.7) где запятая между функциями в скобках указывает на операцию скалярного произведения. Если �𝜑𝜑(𝑥𝑥), 𝜓𝜓(𝑥𝑥)� = 0, ортогональными. то функции 𝜑𝜑(𝑥𝑥) и 𝜓𝜓(𝑥𝑥) называется Запишем соотношение (6.6) применительно к k-ой и j-ой формам колебаний: (𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝜔𝜔𝑘𝑘2 )𝜑𝜑𝑘𝑘 = 0;�𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝜔𝜔𝑗𝑗2 �𝜑𝜑𝑗𝑗 = 0. (6.8) Скалярно умножим первое уравнение на 𝜑𝜑𝑗𝑗 , а второе на 𝜑𝜑𝑘𝑘 и вычтем из первого уравнения второе. Получим равенство 𝜇𝜇�𝜔𝜔𝑗𝑗2 − 𝜔𝜔𝑘𝑘2 ��𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑗𝑗 � = 0. При 𝑘𝑘 = 𝑗𝑗 имеем �𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑗𝑗 � = 0. (6.9) Отсюда следует, что две разные формы колебаний ортогональны. Скалярно умножив первое уравнение в (6.8) на 𝜑𝜑𝑘𝑘 , получим формулу Релея для определения спектра частот собственных колебаний 𝜔𝜔𝑘𝑘2 = 𝜆𝜆𝑘𝑘 ɱ𝑘𝑘 , (6.10) где обобщенная жесткость 𝜆𝜆𝑘𝑘 и обобщенная масса ɱ 𝑘𝑘 , соответствующие kой форме колебаний, определяются по формулам: 𝜆𝜆𝑘𝑘 = (с𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ); ɱ𝑘𝑘 = (𝜇𝜇𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ), (6.11) (6.12) Применительно к рассматриваемому здесь случаю продольных колебаний стержня (см. рис. 6.1) уравнение (6.6) для определения собственных форм колебаний принимает вид где 𝜑𝜑"(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎2 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 0, 𝑎𝑎2 = 𝜇𝜇𝜔𝜔2 𝐸𝐸𝐸𝐸 . (6.13) (6.14) Уравнение (6.13) с граничными условиями для функции 𝜑𝜑(𝑥𝑥) ∶ 𝜑𝜑(0) = 0; 𝜑𝜑 ′ (𝑙𝑙 ) = 0 и с учетом того, что 𝜑𝜑(𝑙𝑙 ) = 1 имеет решение 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = sin 𝑎𝑎𝑎𝑎, (6.15) где 𝑎𝑎 = 𝜋𝜋 2𝑙𝑙 (6.16) (2𝑘𝑘 − 1). Из (6.14) и (6.16) получаем спектр частот собственных продольных колебаний стержня 𝜔𝜔𝑘𝑘 = 𝜋𝜋 2𝑙𝑙 𝐸𝐸 (2𝑘𝑘 − 1)� , 𝜌𝜌 𝜇𝜇 где плотность 𝜌𝜌 = . 𝐴𝐴 Этот же результат получаем по формуле (6.10). При этом обобщенная масса 𝑎𝑎𝑘𝑘 и жесткость 𝜆𝜆𝑘𝑘 определяются по формулам: 𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑚𝑚/2; 𝜆𝜆𝑘𝑘 = 𝜋𝜋2 (2𝑘𝑘−1)2 8𝑙𝑙 𝐸𝐸𝐸𝐸. Рассмотрим теперь вынужденные колебания. Решение уравнения (6.2) ищем в виде разложения по собственным формам колебаний 𝑊𝑊 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥). (6.17) Подставив выражение (6.17) в (6.2), получим равенство: ∞ ̈ 𝜇𝜇 ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡 )𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥 ) − 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∑𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡 )𝜑𝜑"𝑘𝑘 (𝑥𝑥 ) = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡). (6.18) Скалярно умножив равенство (6.18) на 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) и учитывая свойство ортогональности собственных форм колебаний, получаем систему независимых дифференциальных уравнений для определения функции 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘̈ (𝑡𝑡) + 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡), (6.19) где обобщенная возмущающая сила 𝑄𝑄𝑘𝑘 , соответствующая k-ой форме колебаний, определяется по формуле 𝑙𝑙 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫0 𝑞𝑞 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑. 6.2. Крутильные колебания валов Для составления дифференциального уравнения крутильных колебаний круглых валов рассмотрим динамическое равновесие бесконечно малого элемента длиной dx, находящегося под воздействием внешнего распределенного момента q(x,t) (рис. 6.2). Рис. 6.2 Момент инерции массы единицы длины вала относительно его оси обозначим через μ, а через Ɵ(x,t) - угол закручивания поперечного сечения с координатой x в момент времени t. Упругий момент кручения определяется как 𝑀𝑀 = 𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 Ɵ′ , где 𝐽𝐽𝑝𝑝 – полярный момент инерции поперечного сечения вала; G – модуль сдвига материала вала. Из условия динамического равновесия элемента dx и принятых обозначений следует равенства: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 𝜕𝜕Ɵ 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 Ɵ 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑. Отсюда получаем дифференциальное уравнение крутильных колебаний вала: 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 Ɵ 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 + 𝑐𝑐Ɵ = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡), (6.20) где дифференциальный оператор кручения с=− 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 �𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �. Уравнение (6.20) по виду совпадает с уравнением (6.2) для описания продольных колебаний стержня. Решение уравнения (6.20) ищем в виде Ɵ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥), (6.21) где собственные формы колебаний 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) определяются из уравнения (6.20) при q=0. При этом учитываются граничные условия и решение ищется в виде (6.22) Ɵ(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) cos 𝜔𝜔𝜔𝜔. Для определения форм 𝜑𝜑(𝑥𝑥) и частот ω свободных колебаний вала получаем уравнение (𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝜔𝜔2 )𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 0 (6.23) 𝜑𝜑"(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎2 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 0, (6.24) или при где 𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐: 𝑎𝑎2 = 𝜇𝜇𝜔𝜔2 𝐺𝐺𝐽𝐽𝑝𝑝 . (6.25) Решение уравнения (6.24) ищем в виде (6.26) 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 cos 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐵𝐵 sin 𝑎𝑎𝑎𝑎, где А и В константы. Рис. 6.3 Применительно к валу, защемленному с одной стороны (рис.6.3, а), имеем: 𝜑𝜑(0) = 0; 𝑎𝑎𝑎𝑎 cos 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0; 𝜑𝜑 ′ (0) = 0; 𝜋𝜋 𝐴𝐴 = 0; 𝑎𝑎𝑎𝑎 = (2𝑘𝑘 − 1); 2 𝜔𝜔𝑘𝑘 = где 𝜌𝜌 = 𝜇𝜇 𝐽𝐽𝑝𝑝 𝜋𝜋 2𝑙𝑙 𝐺𝐺 (6.27) (2𝑘𝑘 − 1)� , 𝜌𝜌 – плотность материала стержня. Для собственных форм колебаний В=1 получаем выражение 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) = sin 𝜋𝜋 2𝑙𝑙 (2𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥. При рассмотрении вала с защемлениями по концам (рис. 6.3, б) имеем: 𝜑𝜑(0) = 𝜑𝜑(𝑙𝑙) = 0; 𝐴𝐴 = 0; 𝐵𝐵 sin 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0; 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜋𝜋𝜋𝜋; 𝜔𝜔𝑘𝑘 = 𝜋𝜋𝜋𝜋/𝑙𝑙 √(𝐺𝐺/𝜌𝜌). Для собственных колебаний при В=1 получаем выражение 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) = sin 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑙𝑙 (6.28) 𝑥𝑥. Подставив (6.21) в (6.20), получим равенство ∞ ̈ 𝜇𝜇 ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡 )𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥 ) + ∑𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥 ) = 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡). (6.29) Скалярно умножив равенство (6.29) на 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥), с учетом ортогональности форм колебаний, получаем систему независимых дифференциальных уравнений для определения функций 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) где 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘̈ (𝑡𝑡) + 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡), 𝑎𝑎𝑘𝑘 = (𝜇𝜇𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ); 6.3. 𝜆𝜆𝑘𝑘 = (𝑐𝑐𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ); (6.30) 𝑙𝑙 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = � 𝑞𝑞 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑. Изгибные колебания балок В качестве основной расчетной схемы рассмотрим балку на двух опорах, нагруженную распределенной силой q(x,t) (рис.6.4). Прогиб балки в текущем поперечном сечении с координатой x в момент времени t обозначим через ν(x,t). Рис. 6.4 Распределенная сила инерции будет определяться как 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 , где μ – масса единицы длины балки. Дифференциальное уравнение изгиба балки будет иметь вид 𝜕𝜕2 𝜕𝜕𝑥𝑥 или где 𝑐𝑐 = 𝜇𝜇 𝜕𝜕2 𝜕𝜕𝑥𝑥 �𝐸𝐸𝐸𝐸 2 𝜕𝜕2 𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 𝜕𝜕2 𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑥𝑥 � = 𝑞𝑞 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝜇𝜇 2 𝜕𝜕2 𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 , + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) , �𝐸𝐸𝐸𝐸 2 𝜕𝜕2 𝜈𝜈 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 (6.31) � – дифференциальный оператор изгиба; EJ – жесткость поперечного сечения балки при изгибе. По виду уравнение (6.31) совпадает с уравнениями (6.7), (6.25) для описания продольных колебаний стержня и крутильных колебаний вала. Решение уравнения (6.31) ищем в виде 𝜈𝜈(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ∑∞ 𝑘𝑘=𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥), (6.32) 𝜈𝜈 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) cos 𝜔𝜔𝜔𝜔. (6.33) (𝑐𝑐 − 𝜇𝜇𝜔𝜔2 )𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 0 (6.34) где собственные формы колебаний 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) определяются из соответствующего уравнению (6.31) однородного уравнения и граничных условий. Решение этого однородного уравнения имеет вид Для определения собственных форм колебаний 𝜑𝜑(𝑥𝑥) получаем уравнение или (при EJ – const) где 𝜑𝜑 𝐼𝐼𝐼𝐼 (𝑥𝑥) − 𝑎𝑎4 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 0, 𝑎𝑎4 = 𝜇𝜇𝜔𝜔2 𝐸𝐸𝐸𝐸 (6.35) . (6.36) Решение уравнения (6.35) можно найти в виде 𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴 sin 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐵𝐵 cos 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐶𝐶1 𝑠𝑠ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝐷𝐷𝐷𝐷ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎, (6.37) где 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶1 , 𝐷𝐷 – константы. Применительно к балке на двух опорах (см. рис. 6.4) с учетом граничных условий имеем равенства: 𝜑𝜑(0) = 𝜑𝜑(0) = φ(l) = φ(𝑙𝑙 ) = 0; 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) = sin 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜋𝜋𝜋𝜋; 𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑙𝑙 𝑥𝑥; 𝜔𝜔𝑘𝑘 = sin 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0; 𝜋𝜋2 𝑘𝑘 2 𝑙𝑙 2 𝐸𝐸𝐸𝐸 � 𝜇𝜇 . (6.38) Подставив (6.32) в (6.31), получим равенство ∞ ̈ 𝜇𝜇 ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥) + ∑𝑘𝑘=1 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡 )𝑐𝑐𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥 ) = 𝑞𝑞(𝑥𝑥, 𝑡𝑡). (6.39) Скалярно умножив (6.39) на 𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥), с учетом ортогональности форм колебаний, получим систему независимых дифференциальных уравнений для определения функций 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑥𝑥): 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘̈ (𝑡𝑡) + 𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡), (6.40) где обобщенная масса 𝑎𝑎𝑘𝑘 , обобщенная жесткость 𝜆𝜆𝑘𝑘 и обобщенная сила 𝑄𝑄𝑘𝑘 , соответствующие k-ой форме колебаний, определяются по формулам: 𝑎𝑎𝑘𝑘 = (𝜇𝜇𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ); 𝜆𝜆𝑘𝑘 = (𝑐𝑐𝜑𝜑𝑘𝑘 , 𝜑𝜑𝑘𝑘 ); 𝑙𝑙 𝑄𝑄𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫0 𝑞𝑞 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)𝜑𝜑𝑘𝑘 (𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 . Применительно к балке на двух опорах имеем: 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑘𝑘 = ; 𝜆𝜆𝑘𝑘 = 2 𝐸𝐸𝐸𝐸𝜋𝜋4 𝑘𝑘 4 2𝑙𝑙 3 . Отметим, что по виду уравнение (6.40) совпадает с уравнениями (6.19) и (6.30).