Классификация сообщений, сигналов и помех

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СООБЩЕНИЙ, СИГНАЛОВ И ПОМЕХ 4.1. Классификация сообщений, сигналов и помех Для отображения основных свойств сообщений, сигналов и помех с точки зрения организации электрической связи широко используется математические модели. В электрической связи сообщения, сигналы и помехи представляют собой электрические колебания. Простейшая математическая модель – представление сигналов в виде функции от времени . По своим физическим и математическим свойствам сигналы могут быть детерминированными и случайными. Детерминированные сигналы – это такие процессы , для которых для любого наперед заданного момента времени t может быть однозначно определено значение функции . Примером детерминированных сигналов являются - гармонические сигналы, представленные в форме косинуса, синуса или экспоненты: (4.1) (4.2) (4.3) где -амплитуда сигнала, - круговая и f - циклическая частоты, Т- период сигнала, - начальная, -текущая и - полная фазы сигнала. Задавая время и зная параметры гармонического сигнала, мы можем по приведенным формулам определить значение сигнала в любой момент времени. - импульсные сигналы (рис.4.1), которые могут быть представлены в Рис.4.1. Импульсные сигналы прямоугольной (а) и треугольной (б) формы. виде последовательности прямоугольных, треугольных, пилообразных и т.д. импульсов. Такие сигналы характеризуются (см. рис.4.1.) амплитудой , периодом колебанийТ, частотой , длительностью импульса и временным положением импульсов . Гармонические и импульсные сигналы не могут быть непосредственно использованы для передачи сообщения, так как они не несут полезную информацию. В системах связи они применяются: - для определения параметров и тестирования электрических схем систем связи (проверка работоспособности); - как переносчик сообщения в модуляторах систем связи. В электрической связи для изучения электрических цепей находят широкое применение испытательные сигналы: - функция включения (рис.4.2а), математическая модель которого задается равенством: . Эта функция описывает процесс перехода некоторого объекта из 0-вого состояния в единичное. Если , то переход происходит мгновенно и мы получаем единичную функцию (рис.4.2 б) или функцию Хевисайда:. (4.4) Рис.4.2. Формы сигналов функции включения (а) и единичной функции (б). В реальных случаях эта функция может быть смещена относительно начала отсчета на величину , тогда имеем: - функция Дирака (рис.4.3), математическая модель которого задается равенством: , при этом площадь под этой функцией равна единице. Предел последовательности таких функций при называется дельта-функцией, которая имеет бесконечную амплитуду и бесконечно малую длительность: , (4.5) Рис.4.3. Формы сигналов функции Дирака (а) и дельта-функции (б). при этом площадь под функцией должна оставаться равной единице: . В реальных случаях эта функция также может быть смещена относительно начала отсчета на величину , тогда имеем: при выполнении условия . Единичная функция и -функция связаны друг с другом через производную: . Интерес к испытательным сигналам обусловлен тем, что через них могут быть представлены любые произвольные сигналы посредством формул: (4.6) и , (4.7) где х0 – значение сигнала в момент времени t=0. Такие представления сигналов называются динамическими представлениями. Испытательные сигналы позволяют формально решить задачу о прохождение детерминированного сигнала через линейные цепи. Для этого необходимо знать отклики линейной цепи при воздействии на них испытательных сигналов: переходную характеристику - отклик при воздействии единичной функции и импульсную характеристику - отклик при воздействии дельта-функции. Но основе этих характеристик и пользуясь динамическими представлениями для входного сигнала , можно получить выражения для расчета сигналов на выходе линейных цепей: , (4.8) . (4.9) Эти формулы называются интегралами Дюамеля и имеют фундаментальные значения в теории линейных цепей. Из второго интеграла Дюамеля (4.9) вытекает, что выходной сигнал линейной системы представляет собой свертку двух функций – входного сигнала и импульсной характеристики. Дельта-функция обладает важным свойством - свойством выборки, т.е. эта функция позволяет выделить из любого сигнала его значение в заданный момент времени. Действительно, пусть имеем дельта-функцию в момент времени : . Умножим ее на сигнал и проинтегрируем по: . При интегрировании учтено, что значение сигнала в момент времени величина постоянная. Полученное соотношение называют стробирующим(фильтрующим) свойством дельта-функции, что позволяет ее широко использовать для дискретизации непрерывных сигналов по времени. Это обуславливает широкое ее применение в теории и технике связи. Случайными называются такие процессы , значения которых в любой момент времени точно предсказать невозможно. Можно лишь говорить о некоторой вероятности того, что в данный момент времени значение окажется в интервале между двумя его значениями х и . Случайные процессы играют существенную роль в теории связи, так как любые сообщения, несущие полезную информацию, носят случайный характер. Случайные сигналы более подробно будут рассмотрены в 5 разделе. ​ 4.2. Функциональные пространства и их базисы 4.2.1. Векторное представление сигналов При математическом описании сигнал удобно рассматривать в виде вектора или точки в некотором функциональном пространстве (пространстве сигналов), что позволяет из математического представления сигналов переходит к его геометрическому представлению. Такое представление во многих случаях помогает уяснить физическую сущность процессов формирования, передачи и разделения сигналов, а также принципы синтеза оптимальных систем связи. На основе геометрического представления можно показать, что любой сигнал произвольной сложной формы представляется в виде суммы простых элементарных функций. Задачу разложения сигнала сложной формы на элементарные можно показать на примере разложения вектора х в трехмерном пространстве на его составляющие единичным ортам координатi,j и k (рис.4.4): , (4.10) где ,, - проекции вектора х на оси в трехмерной системе координат,- единичные орты. Рис.4.4. Представление вектора х в трёхмерной ортогональной системе координат. Обобщая понятие вектора трехмерного пространства для п-мерного пространства, можно получить: , (4.11) где - единичные орты по координатным осям и они называются элементарными базисными функциями. Таким образом, вектор х, соответствующий функции x(t), в n-мерном пространстве единичных ортов , будет полностью определяться его координатами , т.е. сигнал x(t) произвольной формы представляется суммой ппростейших элементарных сигналов посредством базисных функции. Слово пространствоиспользуется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым наглядность. Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства. Пространство сигналов называется линейным, если для его элементов выполняются правила сложения и умножения на любое число из некоторого скалярного множества . Пусть имеется два вектора х сигнала х(t) и yсигнала y(t), которые принадлежат данному пространству. Тогда: а) сумма этих двух векторов: х + y также принадлежит данному пространству; б) при умножении вектора х на мы получаем вектор х, который принадлежит данному пространству;. в) х + 0 = х и х + (-х) = 0. Если эти условия выполняются, то вектор х можно представить в виде выражения (4.11) через элементарные базисные функции. В линейном пространстве базисные функции являются линейно независимыми только тогда, когда условие выполняется лишь тогда, когда все . Иначе говоря, линейно независимым называется множество {i}, для которого ни одна из его компонент не может быть образована линейной комбинацией других. Линейно независимые векторы {i} можно рассматривать как координатные оси пространства. Линейные пространства называются метрическими, если определяются расстояние между любыми двумя векторами этого пространства. Например, между сигналами х и y расстояние может быть представлено в виде некоторого неотрицательного числа d(x,y). Для расстояния выполняются следующие условия: а) d(x,y)= 0, если х = y; б) d(x,y)= d(y,x); в) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) - условие неравенства треугольников, где вектор z также принадлежит этому пространству. В линейном метрическом пространстве можно ввести условие нормировки, определяемое нормой вектора, удовлетворяющее следующим аксиомам: а) ≥0; б) ; в)+. Первая аксиома устанавливает, что норма есть положительное вещественное число, равное нулю только для нулевого вектора, во второй аксиоме— любое число (скаляр), третья аксиома — аксиома треугольника. Для описания сигналов в теории электрической связи в векторной форме применяются три типа функциональных пространств: пространства Евклида, Гильберта и Хэмминга. Рассмотрим термины и определения в этих пространствах. 4.2.2. Пространство Евклида В пространстве Евклида рассматриваются дискретизированные функции, поэтому в этом пространстве любой вектор х представляет собой совокупность конечного числа п его координат: . Совокупность плинейно независимых векторов образует п-мерное евклидово пространство, обозначаемое Rn. Пространство Rnможно определить как множество точек, представленных концами векторов, для которых норма , где - координаты векторов. Как видим, норма определяет длину вектора в п-мерном евклидовом пространстве. Расстояние между двумя векторами х и уопределяется как норма разности векторов: . Для пространств определенную роль играет понятие скалярного произведения двух векторов х и у, которое для пространства Евклида имеет вид: . Из скалярного произведения вытекает очевидные соотношения: а) ; б) . Последнее выражение характеризует норму скалярного произведения и называется неравенством Буляковского и Шварца. Знак равенства имеет место лишь тогда, когда векторы х и уколлинеарны, что для соответствующих сигналов х(t) и y(t) означает их совпадение по направлению , где k – некоторый скаляр. 4.2.3. Гильбертовое пространство При п→пространство Rnпереходит в бесконечномерное пространство Гильберта, обозначаемое L2. Гильбертовым пространством является, в частности, пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента t, заданных на интервале . Для такого пространства характерны следующие параметры: а) скалярное произведение: , (4,12) где - сопряженная кфункция. б) квадрат нормы: . (4.13) Квадрат нормы имеет не только геометрический, но и четкий физический смысл. Действительно, пусть , т.е. представляет собой электрический ток, который течет через сопротивление нагрузки с R=1 Ом, тогда , (4.14) т.е. квадрат нормы характеризует энергию сигнала. Для этого должен быть вещественным, так как только при выполнении этого условия энергия будет конечной. Гильбертовое пространство для вещественных обозначаются L2(T). в) расстояние между двумя векторами для L2(T): . (4.15) Гильбертовое пространство, в котором , называются пространством Гильберта или энергетическими пространством. Однако для некоторых сигналов при E(T) также стремится к бесконечности и условие (4.14) не выполняется. В таком случае вводят понятие Гильбертовое пространство мощности L2(). Вместо выражения (4.14) рассматривают а) квадрат нормы в пространстве мощности: , (4.16) которая для любых сигналов является конечной величиной. Аналогично б) скалярное произведение ; (4.17) в) расстояние между двумя векторами . (4.18) Пространство Гильберта L2представляет собой естественное обобщение пространства Rn, получаемое путём перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента. В курсе ТЭС пространство L2имеет особое значение, ибо оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определённые как функции непрерывного аргумента. Устремляя в (4.11) получаем представление непрерывной функции x(t) в пространстве Гильберта: . (4.19) в виде бесконечной суммы произведения координат хi на элементарные базисные функции . 4.2.4. Пространство Хэмминга Это пространство описывает цифровые (кодированные) сигналы. Пусть функция x(t) принимает на каждом интервале it, где - интервал дискретизации, только одно из mвозможных значений, которое обозначим , где . Тогда на отрезке длительностьюТэта функция будет полностью определена набором его значений , (j,k,n интервалу ), называемой п - набором. Например, для двоичного представления m=2 и принимает только два значения 0 или 1, п-набор представляет собой просто кодовую комбинацию п-значного двоичного (m = 2) кода, отображающую символ (букву, цифру) передаваемого сообщения. Пространство, в котором функция представлена векторами посредством двоичных n наборов, называется пространством Хэмминга. Его параметры: а) скалярное произведение: ; (4.20) б) норма: , (4.21) так как хк принимает только два значения 0 или 1. Из (4.21) следует, что норма определяется количеством содержащихся единиц в рассматриваемой двоичной функции и она определяет вес кодовой комбинации двоичного числа; б) расстояние: , где знак означает сумма по mod 2 (модулю 2) и является логической функцией: 00= 0, 01=1, 10=1, 11=0. Приведём пример суммирования по mod 2 двух семиразрядных (п= 7) векторов: х = 1001101 у = 0101111 ---------------------- ху = 1100010 В пространстве Хэмминга расстояние между двоичными векторами определяется по числу позиций в кодовой комбинации, в которых векторы х и у имеют различающиеся символы. В рассмотренном примере d(x,у) = 3 единицам. В более общем случае, если число различимых значений равно m, используется разность по модулю т. 5. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 5.1. Представление сигналов в виде обобщенного ряда Фурье Важным понятием для векторных пространств является ортогональность векторов. Два вектора х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение (х,у), а значит и их взаимная энергия, равны 0. Тогда для гильбертова пространства L2(T) имеем: . (5.1) Понятие ортогональности применимо и к базисным векторам. Если два базисных вектора и ортогональны, то они также линейно независимы. Если мы выберем систему базисных функций таким образом, что в пространствеL2(T) выполняется равенство: , (5.2) то эти базисные функции являются ортонормированными. Тогда функцию х(t)непрерывнуюво времени и по уровню можно разложить в ряд по этим базисным функциям: , (5.3) где Ci - коэффициенты разложения. Разложение (5.3) называется обобщенным рядом Фурье . РасчетCi дает : . (5.4) Коэффициенты разложения обобщенного ряда Фурье Ci являются проекциями векторов х на базисные орты . Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является очень важным. Вместо того, чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек векторного пространства, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье. Действительно, например, для энергии сигнала в пространстве Гильберта L2(T) имеем: . Как видно, энергия сигнала полностью определяется коэффициентами разложения Ci. 5.2. Спектральное представление периодических сигналов. Ряд Фурье При формировании и обработке сигналов часто приходится иметь дело с периодическими колебаниями сложной формы, например, последовательностью прямоугольных импульсов (Т-период колебаний, к - целые числа) (рис.5.1). Такие периодические колебания можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базисным ортонормированным тригонометрическим функциям вида и , где . Обобщенный ряд Фурье по этим базисным функциям на основе (5.3) можно записать в виде: , (5.5) Рис.5.1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов. где (5.6) определяет среднее значение колебания х(t) или его постоянную составляющую; - определяет амплитуды косинусоидальных составляющих и - амплитуды синусоидальных составляющих сигнала. Выражение (5.5) называют рядом Фурье. Из (5.7) вытекает, что любой периодический сигнал сложной формы можно представить в виде суммы бесконечного числа простых гармонических составляющих (гармоники) с частотами кратными основной частоте . Каждую гармонику можно описать ее амплитудой Ак и начальной фазой . Для этого коэффициенты ряда Фурье запишем в виде: и , так что . Подставив эти выражения в (5.5) получим другую, эквивалентную форму ряда Фурье: . (5.7) Запись ряда Фурье в виде (5.7) обычно и применяют на практике. Набор амплитуд как функция от частоты называются соответственно спектром амплитуд и спектром фаз периодического сигнала. На рисунке 5.2 приведены амплитудная и фазовая спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала, построенные в соответствие с (5.7). В них по горизонтальной оси отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси их амплитуды и начальные фазы. Как видно, спектры периодического сигнала являются линейчатыми и дискретными. При этом Рис. 5.2. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) периодического сигнала. гармонику с частотой называют основной, а колебания с частотами при k>1 - высшими гармониками. Спектр периодического сигнала можно выразить и через систему базисных функций, состоящих из экспонент с мнимыми показателями вида , которые периодичны с периодомТ и ортонормированы в отрезке[-T/2, T/2]. Формально, к экспоненте можно перейти и из (5.9), используя формулу Эйлера для функции косинус. Ряд Фурье в комплексной форме принимает вид: , (5.8) где (5.9) называются комплексными коэффициентами. Ряд (5.8) содержит колебания с отрицательными частотами, что не имеет физического смысла. Они вытекают из формального математического представления комплексных чисел и, поэтому, имеют чисто математическое понятие. Комплексные амплитуды связаны с амплитудами ак и bkсоотношениями: Нетрудно убедиться, что амплитуды являются четными функциями относительно k и, значит, относительно , а - нечетными функциями. Спектр сигнала в соответствие с (5.8) является также линейчатым и дискретным, однако содержит гармоники и при отрицательных частотах, причем с половинными амплитудами на всех частотах и отрицательными начальными фазами на отрицательных частотах (рис.5.3). Рис. 5.3. Спектры комплексных амплитуд и фаз. Из выражений (5.7) и (5.8) следует, что спектр периодических колебаний содержит гармонические колебания с частотами до бесконечности, т.е говорят, что ширина их спектра бесконечна. Однако для практических сигналов амплитуды высших гармоник обычно быстро уменьшаются и основная доля энергии сигнала, например, 90…99% всей энергии, определяется несколькими первыми гармониками. Таким образом, на практике ширину спектра частот можно ограничивать некоторой эффективной полосой частот в пределах этих гармоник. Значение рядов Фурье в современной радиоэлектронике и связи очень велико. Основанный на формулах (5.7) и (5.8) гармонический анализ сложных периодических сигналов представляет собой эффективное средство для изучения влияния различных линейных систем на прохождение сигналов. Действительно, если мы имеем некоторый линейный четырехполюсник, параметры которого известны, то для нахождения выходного сигнала при заданном входном достаточно умножить амплитуду каждой гармоники входного сигнала на комплексный коэффициент передачи четырехполюсника. Затем, используя принцип суперпозиции, суммировать эти произведения по всем гармоникам. 5.3. Спектральные представления непериодических сигналов. Преобразования Фурье В качестве примера непериодического сигнала можно рассмотреть одиночный импульс конечной длительности (рис.5.4). Если мысленно повторим этот импульс через интервал времени Т (штриховые линии на рисунке), то получим периодическую последовательность, которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (5.8) с комплексными коэффициентами (5.9). Рис. 5.4. Пример непериодического сигнала. Для того, чтобы вернуться теперь к одиночному импульсу, необходимо устремить к бесконечности период повторения Т. При этом частоты соседних гармоник окажутся сколь угодно близкими, так как при , поэтому в выражениях (5.8) и (5.9) дискретную переменную можно заменить непрерывной переменной - текущей частотой, а операция суммирования в (5.8) переходит в интегрирование. Таким образом, подставив (5.9) в (5.8) с учетом вышеприведенных переходов для непериодического сигнала имеем: (5.10) Внутренний интеграл в (5.12), являющийся комплексной функцией текущей частоты . (5.11) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции. Подставив (5.13) в (5.12) получаем . (5.12) Пара выражений (5.11) и (5.12) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Прямое преобразование Фурье (5.11) переводит представление функции из временной области в частотную, что во многих случаях значительно облегчает анализ прохождения широкого класса сигналов через радиотехнические устройства и системы. Обратное же преобразование Фурье (5.12) позволяет восстанавливать сигнал во временной области. Из (5.11) вытекает, что спектр непериодического сигнала является сплошным, т.е. непериодический сигнал представляется как сумма непрерывного числа гармонических колебаний со всевозможными частотами. Можно показать, что модуль спектральной плотности является огибающей сплошного спектра. При этом огибающая непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции, полученной из непериодической путем продолжения ее с периодомТ, совпадают по форме и отличаются друг от друга только масштабом. Отметим также, что спектральная плотность обладает всеми свойствами комплексной амплитуды . Важно, что спектральная плотность, как комплексная функция частоты, несет одновременно информацию как об амплитуде, так и фазе гармонических составляющих. Можем написать: где-- соответственно действительные и мнимые части спектральной плотности; и - амплитудная и фазовая характеристики спектральной плотности. Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности определяются выражениями Непосредственно из (5.13) вытекает, что В заключение отметим, что модуль спектральной плотности есть четная функция частоты, а фаза – нечетная функция. 5.4. Энергетические спектры сигналов. Корреляционная функция Представление сигналов посредством их спектральных плотностей позволяет значительно упростить вычисление энергии сигналов, а также облегчает анализ работы радиоэлектронных цепей и систем. Рассмотрим скалярное произведение в пространстве Гильберта L2(T) двух вещественных сигналов x(t) и у(t). Известно, что скалярное произведение можно выразить через их спектральные плотности: , (5.13) где и - спектральные плотности, а взаимный энергетический спектр сигналов x(t) и у(t). Соотношение (5.13) называется обобщенной формулой Рэлея. Взаимный энергетический спектр =0, если сигналы x(t) и у(t) являются ортогональными. Если в (5.13) у=х, то можно выразить энергию сигналаx(t) в частотной области , (5.14) где = называется спектральной плотностью энергии сигнала x(t), которая показывает распределение энергии сигнала по спектральным составляющим. Аналогично можно ввести понятие спектральной плотности мощности , (5.15) тогда скалярное произведение в пространстве Гильберта Р=(х,х)Р = (5.16) показывает распределение мощности сигнала по спектральным составляющим. Энергия Е и мощность Р являются четными функциями частоты, поэтому справедливо где и спектральные плотности, определенные при положительных значениях частоты. На практике огромный интерес представляет скалярное произведение двух сигналов, один из которых смещен во времени: , (5.17) где - смещенная на время сигнал у(t). Можно показать, что спектральные плотности сигналов, смещенных во времени определяются выражениями: . Тогда (х,уτ) где (5.18) называется взаимокорреляционной функцией (ВКФ), и она характеризует степень перекрытия сигналов х(t) и . Если теперь положим, что , т.е рассмотрим скалярное произведение сигнала на тот же сигнал, но смещенного во времени, то получим: (х,хτ). Таким образом, имеем (5.19) Функция называется автокорреляционной функцией (АКФ) и характеризует степень наложения сигналов друг на друга. Если эти сигналы не перекрываются, то их автокорреляционная функция равна 0. Справедливо и обратное соотношение . (5.20) (5.21) и (5.22) образуют пару преобразований Фурье, как и в случае выражений для спектра амплитуд непериодического сигнала. Выражения (5.19) и (5.20) принципиально важны, так как по ним при известной автокорреляционной функции можно рассчитать энергетический спектр и, наоборот, по известному значению энергетического спектра можно рассчитать автокорреляционную функцию. Укажем на некоторые свойства АКФ: а) АКФ является четной функцией: ; б) важным свойством автокорреляционной функции является равенство , т.е. при любом значении временного сдвига  модуль автокорреляционной функции не превышает энергии сигнала и при = 0 равен энергии сигнала. В общем случае АКФ представляет собой симметричную кривую с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала АКФ имеет вид монотонно убывающий или колеблющийся характер. 5.5. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова. Теорема Котельникова 5.5.1. Дискретизация непрерывных сигналов В современных системах передачи преимущественно используются импульсные системы, работа которых основана на использовании дискретных сигналов. Дискретизация - это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. Преимуществом дискретных сигналов по сравнению саналоговыми является также отсутствие необходимости воспроизводить сигнал во все моменты времени. За счет этого появляется возможность по одной и той же линии связи передавать сигналы от разных источников, организуя многоканальную систему передачи с временным разделением. Непрерывный во времени сигнал на конечном интервале времениТ можно представить как бесконечное множество отсчетов во всех точках интервала. Однако можно иметь некоторое приближенное представление о непрерывном сигнале, если его представить мгновенными отсчетами через некоторый интервал времени Таким образом, дискретизация непрерывных сигналов во времени сводиться к замене этого сигнала последовательностью ее мгновенных значений. Примером дискретного сигнала является (см. рис.4.1,а) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в моменты времени принимает значения или 0 или х0. В качестве простейшей физической модели дискретизации можно рассмотреть коммутирующее устройств (рис.5.5), которое с помощью ключа Рис.5.5. Модель дискретизации непрерывнoго сигнала и дискретизированный (в) сигналы. Кл обеспечивает периодическое с частотой дискретизации подключение к источнику непрерывного сигнала х(t) на малое время . Тогда дискретизированный сигнал на выходе можно трактовать как произведение сигнала на периодическую последовательность импульсов дискретизации, т.е. . Чтобы перейти к мгновенным отсчетам , необходимо от периодической функции перейти к некоторой функции при . Такой переход можно осуществить с помощью периодической последовательности дельта-функции , используя ее фильтрующее свойство (см. раздел 4.1). Временная диаграмма таких дельта-импульсов имеет решетчатый вид (рис.5.6). При таком переходе мы получим решетчатую функцию (t+4t) (t+3t) (t+2t) (t+t) (t) (t-t) (t-2t) (t-3t) (t-4t) … … -4t -3t -2t -t 0 t 2t 3t 4tt Рис.5.6. Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов. . Окончательно, аналитическая запись дискретизированного сигнала имеет вид: , (5.21) На рисунке 5.7 приведены временные диаграммы непрерывного x(t) и дискретизированногоxД(t) сигналов. Рис.5.7. Временные диаграммы сигналаx(t) (а) и дискретизированногоxД(t) (б). 5.5.2. Теорема отсчетов Для решения многих задач передачи сигналов фундаментальное значение имеет теорема отсчетов Котельникова: любая непрерывная функцияx(t), спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени .С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда: , (5.22) где - мгновенные отсчеты значений непрерывной функции в моменты времени , а - функции отсчетов. Если сравнить ряд Котельникова (5.22) с обобщенным рядом Фурье (5.3), то видно, что это разложение сигнала в ряд по ортогональнальным базисным функциям , а коэффициентами разложения по этим базисным функциям являются которые, как можно показать, определяют мгновенные значения функции в точках Из ряда (5.22) вытекает, что для полного восстановления непрерывной функции по отсчетам необходимо просуммировать бесконечное множество членов этого ряда, что в принципе практически не возможно. Однако если функция с ограниченным спектром рассматривается на конечном интервалеТ, то точное разложение можно заменить приближенным: , (5.23) где п - конечное число отсчетов, определяющее приближенное разложение, определяется из условия . (5.24) Параметр () называют базой сигнала. Она определяет число независимых отсчетов, необходимых для полного восстановления непрерывного сигнала и играет важную роль в ТЭС. 5.5.3. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов В дискретных линиях связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника. Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов-отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который должен обладать следующими характеристиками: - амплитудно-частотной характеристикой, приведенной на рисунке (5.9,а); - импульсной характеристикой , приведенной на рисунке (рис.5.9,б): |K()| K0 Ωн 0Ωв а) gифнч (t) t -3 t - 2t -t 0 t 2t 3t б) Рис.5.9. Амплитудно-частотная (а) и импульсная (б) характеристики ИФНЧ При этом коэффициент передачи ИФНЧ равен , а (5.24) В (5.27) первая формула определяет импульсную характеристику ИФНЧ, вторая формула - моменты времени, в которых gИФНЧ(t) обращается в ноль. C спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.5.8,б через ИФНЧ с АЧХ рис.5.9,а. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр: S()= KSд() = KSx() /t. Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получаем на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала x(t). С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал x(t). 5.5.4. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис.5.10 показаны некоторые варианты финитных спектров, которые ограничены сверху частотой Однако Sx() 3 2 1 0 Ωв  Рис.5.10. Примеры сигналов с ограниченными спектрами. спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью. Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты Ωв: . (5.26) Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего фильтра низкой частоты. Любые реальные фильтры имеют характеристики, отличающиеся от приведенных на рисунке 5.7, что также вносит искажения при восстановлении непрерывного сигнала. Таким образом, можем заключить, что чем выше и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному. 5.6. Разложение сигналов с использованием базисных функции Радемахера и Уолша В современных цифровых методах передачи и обработки сигналов широко используются дискретные ортогональные последовательности в виде функции Радемахера и Уолша. При этом функции Радемахера являются основой построения функции Уолша. Функции Радемахера образуются из синусоидальных функции с помощью соотношения (5.27) где аргумент - безразмерное время; Т – период функции, а положительное целое число k = 0, 1, 2, …- порядок функции; определяет знак действительного числа х: ( при х >0 и = -1 при х<0). Таким образом, эти функции, принимающие значения можно трактовать как функции «прямоугольного синуса». На рисунке 5.11 приведены в качестве примера графики первых четырех функции Радемахера. Легко видеть, что функции Радемахера ортонормированы на интервале , т.е. Рис.5.11. Графики функции Радемахера до третьего порядка Функция Уолша также имеет прямоугольную форму и обозначается как , где m = 0, 1, 2 …. определяет порядок функции. Она формируется следующим образом. Функция Уолша нулевого порядка полностью совпадает с функцией Радемахера нулевого порядка: Для получения функции Уолша более высокого порядка при достаточно записать число m в двоичной системе исчисления, т.е. m представить суммой где - положительные целые числа. Затем функции Уолша образуются как произведение функций Радемахера по следующей форме: где - функции Радемахераpi+ 1 порядка. На рисунке 5.12 показаны графики первых восьми функции Уолша, построенные по первым четырем функциям Радемахера. Функции Уолша не только ортогональны, но и обладают свойством мультипликативности. Это означает, что произведение любых двух функции Уолша также является функцией Уолша: где Знак называется «суммой по mod 2» и выполняет логическую операцию «исключающее ИЛИ». Чтобы выполнить такое суммирование, необходимо числа i и k представить в двоичной форме и только затем провести суммирование по правилам mod 2. Таким образом, к функциям Уолша применимы логические операции, поэтому такие функции находят применение при разработке устройств формирования и преобразования цифровых сигналов и при передаче сигналов в многоканальных цифровых системах передачи. Рис.5.12. Графики восьми начальных функции Уолша. Используя базисные функции Радемахера и Уолша можно любой сигнал представить в виде обобщенного ряда Фурье , при этом коэффициенты разложения в ряд рассчитываются в соответствие с формулой (5.6).