Кинематика .Динамика.

Лекция №1. Кинематика .Динамика. ГЛАВА I. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА §1. Кинематика точки. Основные понятия 1. Кинематика (от греч. kinema – движение)  раздел механики, изучающий геометрию движения тел без учета причин движения. Кинематика использует понятия: пространство, время, тело отсчета, система координат, система отсчета, перемещение, траектория, скорость и ускорение. 2. Тело отсчета  это произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение точки и описывается её движение. Для количественного описания положения и движения точки используется система координат (СК), жёстко связанная с телом отсчёта. Прямоугольная (декартова) СК (рис.1). Положение точки М определяется здесь с помощью трех чисел (x, y, z), имеющих размерность длины. Название осей: ОX – ось абсцисс, ОУ – ось ординат, OZ – ось аппликат. Точка О  центр СК. Единичные векторы (единичные орты) i, j, k, задают направления положительного отсчёта по осям. 3. Система отсчёта – совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат и часов. Не следует смешивать систему отсчета с системой координат. Если система координат – геометрический образ, то система отсчета, как правило, физическая реальность. 4. Траектория точки  это мысленный след от точки в пространстве. Траектория  непрерывная линия. Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. 5. Кинематический закон движения точки  это уравнение, определяющее положение точки в пространстве в любой момент времени. Различают три способа написания кинематического закона движения (говорят, три способа задания движения): координатный, естественный, векторный. Рассмотрим их. а. Координатный. Определяется тело отсчета, выбирается связанная с ним удобная для решения задачи система координат. Положение точки в пространстве определяется в любой момент времени тремя числами  координатами точки в выбранной СК. В декартовых координатах закон движения точки имеет вид: Если из уравнений можно исключить время t, то получается уравнение траектории точки. движение тел по одной координате не зависит от движения по другой. Этот факт был установлен Галилеем и назван им принципом независимости движений. Пример: Тело брошено под углом к горизонту  со скоростью v0. Найти закон его движения. Выбираем координатный способ описания. Прямоугольную систему координат располагаем так, чтобы ось ОY была противоположна вектору ускорения свободного падения g. Тогда ось ОХ будет перпендикулярна ему. Начало CК помещаем в точку бросания (рис.3). При этих условиях движение тела вдоль оси ОY есть движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0y = v0sin . Закон движения по оси ОY есть: y = v0yt – . Вдоль оси ОХ тело движется равномерно со скоростью v0x = v0cos Закон движения по оси ОХ есть: x = v0xt. Итак: Задание: из закона движения тела, брошенного под углом к горизонту, найти уравнение траектории, проекции скорости и ускорения тела, векторы скорости и ускорения. б. Естественный, или траекторный способ задания используется, когда известна траектория движения точки по отношению к выбранной системе отсчета. Этот способ удобен тем, что сводит описание движения к одномерному случаю. Из трех, в общем случае, уравнений остается одно. На траектории, по которой движется точка М, выбирается точка О  начало отсчета, от которой отсчитывается смещение точки М вдоль траектории. Кроме того, выбирается положительное направление кривой. Оно задается единичным вектором касательной  (рис.4). Скорость точки М всегда направлена по касательной к траектории. Проекция скорости v на траекторию положительна, если направление скорости совпадает с направлением единичного вектора касательной , и отрицательна, если векторы v и  противоположны. Закон движения имеет вид: s = s(t) Проекция скорости: . Вектор скорости: v =. Проекция ускорения ( точка над буквой означает –производную величину, две точки –вторую производную) Пример: Закон движения по кривой есть: s = t2 + 2cos4t. Проекция скорости: = 4t  8sin4t. Вектор скорости: v = (4t  8sin4t). Проекция ускорения: . Вектор ускорения Естественный способ задания часто используется тогда, когда траектория жёстко задана. Например, точка на ободе маховика при его вращении движется только по окружности (в системе отсчета, связанной с механизмом, куда входит маховик), рельсовые транспортные средства движутся по путям и т.д. в. Векторный способ задания. Положение точки М по отношению к системе координат определяется вектором r, проведённым из центра СК в точку М. Такие векторы, проведенные из центра СК, называются радиусами-векторами (рис.5). Траекторией точки М является в этом случае кривая, по которой движется конец радиуса-вектора r. Кривую, которую описывает конец радиуса-вектора r, называют ещё годографом радиуса-вектора. Закон движения при векторном задании имеет вид: r = r(t). (3.8) Вектор скорости:. Вектор ускорения: . Не следует смешивать понятия "смещение" и "вектор перемещения" Термин "смещение" используется при естественном задании движения точки. Смещение s эквивалентно координате x точки М при движении вдоль выбранной оси координат. Термин "вектор перемещения" используется при векторном задании. Вектор перемещения r есть вектор, проведенный из положения точки М в какой-то момент времени t1, в положение точки в последующий момент времени t2. Очевидно, r = r(t2)  r(t1). Проекции вектора перемещения на оси координат дают перемещения вдоль осей x = x2  x1, y = y2  y1,z = z2  z1. И естественный, и векторный способы задания движения точки сводятся к координатному. 6. Путь. В практике часто применяется понятие "пройденный телом путь", под которым понимается сумма смещений по траектории, взятых по абсолютной величине. При естественном задании путь удобно вычислять графически двумя способами. Способ I. Способ 2. Строится график смещения S (рис.6). Строится график проекции скорости (рис.7). Путь есть сумма смещений, Путь есть сумма площадей фигур взятых по модулю S=. (на рисунке заштрихованы). Перемещение по оси ОХ на рис.6 равно самой координате, т.к. движение началось из начала координат. Перемещение точки на рис.7 равно сумме площадей под графиком с учётом их знака. §2. Движение точки по прямой и по окружности 1. Прямолинейное движение. Если траектория точки  прямая линия, то говорят, движение точки прямолинейно. Для описания движения в этом случае достаточно одной координатной оси, которую располагают вдоль по траектории. Координатный и естественный способы задания движения в этом случае совпадают. В практике наиболее важны два случая  равномерного и ускоренного движения. а. Равномерное движение (рис.9). Скорость v постоянна по величине и по направлению, v = const. Или в проекции: vx= const.. Кинематический закон равномерного движения имеет вид: x = x0 + vxt. Начальная координата точки x0 и проекция скорости vx могут иметь знак "плюс" или "минус". б. Ускоренное движение. Скорость изменяется со временем. Пусть ускорение точки есть a, в проекции на ось ax. Тогда скорость в любой момент времени найдется интегрированием: vx = axdt + v0. При постоянном ускорении, ax= const, получаем скорость точки в равноускоренном движении: vx = v0+axt. После второго интегрирования находим закон равноускоренного движения: x=x0+x0+v0t+. Знак числа x0 определяется положением точки на координатной оси в начальный момент времени. Справа от точки отсчета  знак "плюс", слева  знак "минус". Знаки чисел v0 и ax определяются знаками проекций соответствующих векторов на ось ОХ. Если вектор v или a совпадает по направлению с осью OX  знак "плюс", если противоположен  знак "минус". 2. Движение точки по окружности. Наиболее наглядно векторное представление этого движения (рис.10). Здесь С  центр окружности, r  радиус-вектор, проведенный из центра окружности в движущуюся точку М, v  скорость движения точки М. Угловую скорость вращения радиуса  вектора удобно показать вектором угловой скорости . Модуль вектора  равен производной угла поворота радиуса по времени,  =, а направление  совпадает с поступательным движением правого винта. Все три вектора r,  и v однозначно связаны между собой:  = []. Вектор  перпендикулярен плоскости траектории, поэтому угол  ^ r = 90°, и v = r sin( ^r)= .r. Найдем ускорение точки М.  =  = [] = [] + [] . Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение, , а производная радиуса-вектора  вектор скорости,  =  = []   = [] + [[]] . Раскроем двойное векторное произведение. [[]] = ()  () = 2. Итак:  = [] 2 (4.9) Член [] =  касательное ускорение (тангенциальное). Оно или сонаправлено или противоположно по направлению вектору скорости точки . Член 2  центростремительное ускорение. Оно перпендикулярно вектору скорости , следовательно, перпендикулярно касательной к траектории. Поэтому его называют нормальным ускорением (центростремительное) 2. Вектор полного ускорения равняется сумме касательного и нормального ускорений: . Очевидно, модуль полного ускорения a =. Если точка движется по окружности равномерно, то   = 0+ t. При ускоренном движении  =0+0 t +. Вращательное движение характеризуется ещё такими параметрами: а. Частота вращения . Она равна числу оборотов радиуса-вектора в секунду. Единица   герц, 1 Гц = 1,  =. б. Период вращения Т. Это время одного оборота радиуса-вектора T =. §3. Динамика материальной точки. Законы Ньютона 1 Динамика (от греческого dynamis – сила) изучает движение тел в связи с причинами, определяющими характер движения. К кинематическим величинам  координатам, скорости и ускорению  здесь добавляются ещё динамические  масса тел как мера их инертности и сила – как мера взаимодействия тел. Материальной точкой называется модель, обладающая одним свойством  массой. Модель материальной точки применима к телам, двигающимся поступательно, или когда размеры тел малы по сравнению с пространственными характеристиками их движения. 2. Законы Ньютона, 1687 г. Первый закон. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку не понуждается другими телами изменить это состояние. Первый закон называют ещё законом инерции. Его содержание было открыто Галилеем, а его роль в механических явлениях установлена Ньютоном. Явление сохранения состояния покоя или равномерного прямолинейного движения тел при отсутствии внешних сил называют инерцией. Второй закон. Скорость изменения импульса тела пропорциональна действующей на тело силе и направлена вдоль той прямой, по которой эта сила действует, = kF. Здесь p = mv  импульс тела, k  коэффициент пропорциональности. Третий закон. Действию есть равное и противоположное противодействие. Иначе, силы, с которыми две точки действуют друг на друга, равны по величине и направлены вдоль прямой, проходящей через эти точки, . Первая цифра индекса означает тело, на которое действует сила, вторая цифра  тело, со стороны которого действует сила, (рис.19). Хотя законы Ньютона были открыты не в результате целенаправленно поставленных экспериментов, они, тем не менее, есть обобщение опытных фактов. Это экспериментальные законы, они первичны, к ним нельзя придти путём логических рассуждений, отталкиваясь от каких-то других законов. 3. Сила есть количественная мера взаимодействия тел. Это векторная величина, обозначается обычно символами F, f. Единица силы в СИ  ньютон (Н). Она выбирается так, чтобы коэффициент пропорциональности во втором законе Ньютона обратился в единицу. Итак, второй закон динамики в СИ имеет вид: = F, или . (7 Если на тело действует несколько сил, то каждая из сил не зависит от других сил и не влияет на них. Это так называемый принцип независимости действия сил. Равнодействующая нескольких сил находится как сумма векторов. Силы могут проявляться статически в деформации тел и динамически в ускорении движения тел. При статическом проявлении сила измеряется по величине упругой деформации по закону Гука. Эталонная сила: F0. Измеряемая сила: F. . При динамическом проявлении сила измеряется по величине ускорения тела. . 4. Масса тел есть мера их инертности. В классической механике, когда скорости движения тел много меньше скорости света, v << c, масса есть скаляр, всегда положительное число, не изменяющееся при любых взаимодействиях тел при условии сохранения их целостности. Поэтому в Механике малых скоростей справедлив закон сохранения массы. Поскольку m > 0, то масса нескольких тел равна сумме их масс. Говорят, масса обладает свойством аддитивности. Единица массы в СИ – килограмм (кг). 5. Силы в природе. В настоящее время физика выделяет в природе четыре типа фундаментальных, то есть не сводимых к другим, взаимодействий. Это  гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. а. Гравитационное, – сила тяготения. б. Электромагнитное, – кулоновская сила взаимодействия точечных электрических зарядов. – сила Лоренца действия магнитного поля на движущийся заряд. Fx =  kx – сила упругой деформации (закон Гука). F = N – сила сухого трения (закон Кулона-Амонтона). в. Сильное, г. Слабое. Сильное и слабое взаимодействие проявляется между элементарными частицами в явлениях, для которых модели классической механики неприменимы. Поэтому при описании этих взаимодействий не применяется практически понятие силы. 6. Уравнение движения. Преобразуем форму 2-го закона Ньютона (или часто говорят  второго закона динамики): , или . Произведение силы на время её действия dt называют импульсом силы. Поэтому второй закон Ньютона можно сформулировать ещё так: изменение импульса тела d(m) пропорционально импульсу действующей на это тело силы dt. Так как при малых скоростях m = const, то . Отсюда , где . Формулу второго закона Ньютона, записанную через производную импульса материальной точки или его координат, называют уравнением движения материальной точки: , или . В правой части символом F обозначена равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке, т.е. . Наиболее часто в задачах механики известны силы, действующие на тело. Чтобы описать движение тела, нужно найти его скорость и координаты в любой момент времени. А для этого нужно интегрировать уравнение движения. Поиск кинематических характеристик – координат и скоростей – материальной точки по известным силам, действующим на неё, называют второй задачей динамики. Она решается интегрированием уравнения движения. Бывают ситуации, когда известен кинематический закон движения точки, то есть, известны её координаты в любой момент времени, и нужно найти силы, действующие на точку. Это, так называемая, первая задача динамики. Она решается дифференцированием кинематического закона движения. §4. Колебательное движение материальной точки 1. Незатухающие колебания. Рассмотрим движение тела, прикрепленного к свободному концу пружины (рис.21). Полагаем, что трение отсутствует. Поскольку тело может двигаться только в направлении горизонтальной прямой (например, тело скользит по натянутой струне), то в отсутствие трения сила тяжести не влияет на характер движения. Если тело сместить от положения равновесия и предоставить само себе, то в любой момент времени на него действует лишь одна сила – сила упругости, направленная к положению равновесия. В проекции на ось ОХ уравнение движения принимает вид: , или . Разделим обе части уравнения на m и введём обозначение k m = 02. Тогда получим . Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти кинематический закон движения материальной точки, надо это уравнение проинтегрировать (2-я задача динамики). Путем подстановки различных функций можно убедиться, что решением этого уравнения является гармоническая функция x(t) = Acos(0t+0). Амплитуда А и начальная фаза 0 определяются из начальных условий при t = 0: x(0) = x0 = Acos0; (0) = v0 = –A0sin0. Отсюда амплитуда колебаний ; начальная фаза 0= arctg . Итак, материальная точка, движущаяся под действием одной лишь упругой силы, испытывает гармонические колебания с постоянной амплитудой и частотой 0 =. Это незатухающие (свободные) колебания. Частота таких незатухающих колебаний 0  называется собственной (резонансной) частотой колебательной системы. §5. Закон всемирного тяготения 1. Законы Кеплера. В начале 17 века после обработки результатов многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге немецкий учёный Иоганн Кеплер установил 3 закона движения планет вокруг Солнца. Первый закон, 1609 г. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон, 1609 г. Радиус – вектор планеты в равные времена описывает равные площади. Третий закон. 1619 г. Квадраты времён обращения планет относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца. 2. Закон всемирного тяготения. Проанализировав законы Кеплера и опираясь на законы механики, Ньютон пришёл к закону всемирного тяготения, опубликованному в 1687 г. Логику рассуждений, приведших к открытию закона, можно представить по такой схеме. Полагаем для простоты траектории движения планет круговыми (для всех планет эксцентриситет эллиптических орбит очень мал, отношение полуосей близко к единице ). Если индекс 1 присвоить одной планете, например, Марсу, а индекс 2 – другой (Венере), то по 3-му закону Кеплера . В соответствии с законами динамики Ньютона планеты по круговым орбитам должны двигаться равномерно. Их линейные скорости и центростремительные ускорения равны . (13 Но по 3-му закону Кеплера . Тогда . Итак, центростремительные ускорения, которые испытывают планеты, обратно пропорциональны квадратам их расстояний до Солнца. Величина центростремительной силы есть F = ma. Отношение сил равно . Следовательно, сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния до Солнца. Но Солнце и планеты – физически равноправные тела. Поэтому, если сила пропорциональна массе планеты, то она должна быть пропорциональна и массе Солнца. F ~ . Но Ньютон идет дальше. Он экстраполирует закон взаимодействия между планетами и Солнцем на взаимодействие всех материальных объектов. Он приходит к идее закона Всемирного тяготения. Любые два точечные тела притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними (рис.29). . Здесь G – гравитационная постоянная. Численно она равна силе, с которой притягиваются две единичные точечные массы, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга. 3. Опыты Кавендиша. Первые прямые измерения гравитационной постоянной G были сделаны в 1798 г. английским учёным Генри Кавендишем (рис.30). Современное значение G = (6,6720  0,0041)10–11 . Работы Кавендиша позволили ему оценить массу Земли: Мз = 61024 кг, и вычислить среднюю плотность Земли  = 5,18103 . (Современное значение  = 5,5103 ). 4. Гравитационное поле. Ньютон не «измышлял гипотез» о природе тяготения, он постулировал, что каждому телу присуща способность мгновенно воздействовать на другие тела на любом расстоянии. Эту концепцию назвали гипотезой дальнодействия. Современная физика считает, что все взаимодействия осуществляются полями, то есть с участием «третьего»  посредника взаимодействия. Поле рассматривается как материальный объект, заполняющий пространство вокруг взаимодействующих тел. Наряду с гравитационным к настоящему времени известны ещё три вида фундаментальных взаимодействий: электромагнитное, сильное и слабое. Взаимодействия передаются полями с конечной скоростью. Современная физика пытается представить механизм действия поля как обмен особыми частицами, осуществляющими каждый вид взаимодействия. 5. Гравитационная и инертная массы. Во втором законе динамики F = ma и законе всемирного тяготения (13.6) используются разные массы. Во 2-м законе динамики масса есть мера инертности тела, это инертная масса ma.. В законе тяготения масса есть мера способности тел притягиваться друг к другу. Это гравитационная, или тяжелая, масса mG Формально тяжелая масса mG подобна электрическому заряду тела, поэтому её называют ещё гравитационным зарядом. При движении тел в поле тяготения в уравнение движения входят обе массы. Например, при свободном падении тел: ma=, где – напряжённость гравитационного поля. Есть ли между массами различие или внутренняя связь, можно найти, сравнивая ускорения свободного падения различных тел, . Впервые такой эксперимент провел Галилей в 1609 г. Он изучал падение разных тел с наклонной башни в городе Пизе. В итоге он установил, что все тела, независимо от вещества и массы, падают в поле силы тяжести Земли с одним ускорением (закон Галилея). Это значит, что инертная и тяжёлая массы пропорциональны между собой, а коэффициент пропорциональности одинаков для всех веществ. Численное значение гравитационной постоянной G выбирается таким, чтобы этот коэффициент пропорциональности был равен единице, ma = mG. По современным данным эти массы совпадают с точность до 1013. §6. Задача Кеплера. Космические скорости. 1.Поле шаровых однородных тел. Закон всемирного тяготения сформулирован, строго говоря, для точечных масс. Но реальные тела, особенно, космические объекты – Солнце, Земля и другие планеты – имеют весьма протяжённые размеры. Поэтому первая задача, которую Ньютон поставил в теории тяготения, сводилась к вопросу: как взаимодействуют протяженные шаровые тела на малых расстояниях между собой? Теоретическое решение задачи дало ответ: шаровые однородные тела взаимодействуют так, как если бы вся их масса была сосредоточена в их геометрическом центре. Иначе: гравитационное поле однородного шарового тела массой М такое же, как и поле точечной массы М. Значит, гравитационное поле Солнца, Земли и других планет на расстоянии, большем их радиуса, такое же, как поле соответствующих точечных масс, находящихся в геометрических центрах этих планет. Поэтому напряженность и потенциал поля Земли и других шаровых однородных тел определяются формулами: . при условии r  R, где R – радиус Земли или другого шарового тела. 2. Задача Кеплера. Поставим вопрос: при каких условиях и по какой траектории будут двигаться тела в поле тяготения Земли или какой-либо другой планеты? Обобщенная формулировка этого вопроса о движени тел в центрально – симметричных полях, создаваемых телами конечных масс, называется в механике задачей Кеплера Круговая скорость тела находится из условия: v0к =. (К-круговая орбита) В космонавтике круговая скорость называется 1-й космической скоростью. Она зависит от массы планеты и высоты траектории над её поверхностью (табл.2). В общем случае, начальная скорость, при которой формируется та или иная траектория, определяется из выражения для эксцентриситета. . (П- параболическая орбита) Это параболическая скорость. В космонавтике её называют 2-й космической скоростью. При достижении телом 1-й космической скорости тело будет двигаться по круговой орбите вокруг планеты. Однако, рано или поздно в результате торможения атмосферой планеты и приливными силами тело упадет на поверхность планеты (если она, поверхность, есть). При достижении телом 2-й космической скорости оно навсегда уходит за пределы тяготения планеты. 3. Упрощённый вывод формул для космических скоростей можно сделать, опираясь на следующие соображения. Для движения тела по круговой орбите нужно, чтобы центростремительная сила, удерживающая тело на окружности, была равной силе тяготения, то есть . Отсюда найдется круговая, или 1-я космическая скорость . При движении тела по параболической траектории механическая энергия тела как на бесконечном удалении от планеты, так и в любой точке траектории равна нулю = 0. Отсюда, при r = r0 как (14.10) v =. При движении по окружности или эллипсу тело не может покинуть планету. Такое движение называют ограниченным или финитным. При движении по параболе или гиперболе тело покидает планету. Это неограниченное, или инфинитное движение. 4. Чёрные дыры. В 1796 г. французский математик Пьер Лаплас, полагая, что свет состоит из частиц, подставил в формулу параболической скорости скорость света, то есть положил, что v0п = c. Это позволило ему придти к важному предсказанию. Если, предположил он, масса гравитирущего тела заключена в шаре с радиусом r0  2G, то лучи света не смогут покинуть поверхность этого тела. Поэтому для внешнего наблюдателя такое тело, даже будучи нагретым до высокой температуры, остается невидимым. Лаплас, таким образом, предсказал возможность существования так называемых чёрных дыр. Величина 2G=r0G называется гравитационным радиусом. Для Солнца r0G=3 км, для Земли – 4 мм. Интересно, что строгий вывод в рамках Общей теории относительности даёт для гравитационного радиуса то же самое выражение. Исследования в теории строения вещества за последние полвека показали, что если Звезда имеет массу в 2 – 3 раза больше солнечной, то в процессе остывания гравитационные силы могут сжать её внутрь гравитационного радиуса. Поэтому вероятность существования во Вселенной таких объектов, как черная дыра, достаточно велика.