Кинематика

14 Глава 1. Движение точки (траектория, пройденный путь, перемещение) По своему характеру движение может быть равномерным и переменным (ускоренным). В начале курср кинематики описывают аналитически прямолинейное движение тел (Галилео Галилей – 1564-1642), затем один из частных видов криволинейного движения – круговое (Христиан Гюйгенс –1629-1695). 1.1. Определения Система отсчета. Когда мы говорим о движении тела, мы имеем в виду, что точки движущегося тела М меняют свое положение относительно другого тела. Будем считать поверхность Земли движение Земли. неподвижной тел и относительно Выберем тело, рассматривать поверхности неподвижное относительно поверхности Земли и свяжем с ним декартову систему координат Ox yz так, Рис. 1.1 что начало координат жестко связано с выбранным неподвижным телом, оси Ox и Oy лежат на поверхности Земли (П), ось Oz – перпендикулярна плоскости Oxy, рис.1.1. Определение 1.1. Система координат Ox yz , жестко связанная с неподвижным телом, называется неподвижной системой координат. Часто систему координат называют системой отсчета. Механическое движение происходит в пространстве и во времени. В качестве простейших моделей пространства и времени принимают их простейшие модели – абсолютное пространство и абсолютное время. За абсолютное пространство берем пространство Евклида (в этом пространстве справедлива геометрия Евклида). Время t (абсолютное время) 15 при движении материальной точки считается параметром, который является равномерно и непрерывно изменяющейся величиной. Время течет от прошлого к будущему (всегда t  0 ), однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи. За единицу времени принимается 1с (одна секунда). При исследовании движения тела его заменяют модельным понятием – материальной точкой (точкой) и описывают Рис. 1.2 движение этой точки. Эта точка, как правило, является точкой центра тяжести тела, рис. 1.2. В качестве примера, рассмотрим прямолинейное движение автомобиля, на бампер которого нанесена метка, будем называть эту метку точкой и будем описывать движение этой точки, рис. 1.3. Рис. 1.3 Чтобы определить положение выбранной точки в различные моменты времени, будем измерять расстояние, пройденное точкой с момента выезда машины из гаража и записывать наши наблюдения в таблицу 1.1. Для этого свяжем с поверхностью земли ось Ox. t, с x , мр 1 380 2 760 3 1140 4 1520 5 1900 Таблица 1.1 6 2280 Время движения будем измерять с помощью часов. Например, распределим часы вдоль дороги и установим их на одно и то же время. За 16 единицу длины при измерении расстояния примем метр (м). В таблице 1.1 даны значения: время в секундах, расстояния в метрах. За нулевой момент времени выбираем момент начала движения автомобиля. Нетрудно заметить, что путь, пройденный автомобилем пропорционален времени: x(1)=380·1, x(2)=760= 380  2 , x(3)= 1140  380  3 , и.т.д. Если отложить эти числа на графике в системе координат ( x, t ) (рис. 1.4), то получим график зависимости пути, пройденному автомобилем от времени движения – график движения. Рис. 1.4 Графиком является прямая, которая описывается линейной функцией xt   380  t . Это выражение (функция) позволяет вычислить расстояние, пройденное точкой, для любого момента времени. Рассмотрим другой пример. Пусть шар падает вертикально вниз с крыши 20-ти этажного дома, рис. 1.5. Распределим часы на каждом этаже и установим их на одно и то же время. За единицу длины при измерении расстояния примем метр (м). Расстояние между этажами известно и Рис. 1.5. равно so . В таблице 1.2 даны значения: время в секундах, расстояния в метрах. За нулевой 17 момент времени выбираем момент начала падения шара. Через 1с после начала падения шар пролетает 5м, через 2 с – 20 м, через 3 с – 45 м и т.д. Таблица 1.2 Расписание движения падающего шара t, с S, м Нетрудно 1 5 заметить, что 2 20 3 45 4 80 5 125 путь, пройденный пропорционален 6 180 падающим квадрату шаром времени: S(1)=5, S(2)=20= 5  22 , S(3)= S(3)= 5  23 , и.т.д. Если отложить эти числа на графике в системе координат ( S, t ) (рис. 1.6), то получим график зависимости пути, пройденному шаром от времени падения (график движени) – графиком является парабола, которая описывается формулой Рис. 1.6 S  5t 2 . Эта формула позволяет вычислить расстояние для любого времени. Определение 1.2. Механическим движением тела будем называть изменение положения его центра тяжести относительно выбранной системы отсчета (системы координат). Определение 1.3. Тело можно считать материальной точкой в тех случаях, когда его размерами (а значит, и формой, и вращением), можно пренебречь, поскольку они будут несущественны в условиях решаемой задачи. Также за материальную точку можно принять движущийся объект, размеры которого малы по сравнению с тем расстоянием, которое он проходит. 18 Материальная точка – это модельное понятие, вводимое в механике для описания движения тела. Пусть при t  0 точка Mo имеет координаты  xo ; yo ; zo  , а при t  0 точка M будет иметь координаты  xM ; yM ; zM  , рис. 1.7. Если координаты всех Рис. 1.7 точек тела по отношению к выбранной системе отсчета с течением времени t не изменяются, то говорят: точка относительно данной системы отсчета находится в покое. Если же координаты точки изменяют свое положение относительно выбранной системы отсчета, то говорят, что точка движется по отношению к этой системе. 1.2. Траектория Характеристиками движения точки являются: траектория, пройденный путь, перемещение. Будем рассматривать движение точки в плоскости (П), т.е. относительно системы координат Oxy . Определение 1.4. Линия, описываемая движущейся точкой в плоскости Oxy, называется траекторией. Движение материальной точки разделяется по виду траектории: прямолинейной (траектория – прямая y  kx , рис. 1.8, а) и криволинейной (траектория – кривая y  f ( x) , рис. 1.8, б). Задать движение точки относительно системы отсчета Oxy – значит дать функциональные зависимости, с помощью которых можно определить положение точки в любой момент времени t относительно системы Oxy . 19 Рис. 1.8 Задать движение точки относительно системы отсчета Oxy – значит дать функциональные зависимости, с помощью которых можно определить положение точки в любой момент времени t относительно системы Oxy . Кривые в системе координат Oxy можно представлять аналитически в виде формулы y  y  x  или графически в виде графика. Например, функция y=x 2 – аналитическая запись квадратичной функции, а ее график – парабола. Способ задания функции, как y  y  x  , называется явным. Явный способ задания функции удобен для выполнения над функциями различных математических действий и преобразований. Однако, если уравнение F  x, y   0 удается разрешить относительно y  y  x  , то получаем ту же функцию, но заданную уже явным способом. Так уравнение x 2  y 2  R 2 и равенство x   R 2  y 2 определяют одну и ту же функцию. Далеко не каждую функцию, заданную неявным способом, можно записать в явном виде. Альтернативным способом задания функции является параметрическое задание. Параметрическое представление функции – это выражение функциональной зависимости между переменными y и x введением некоторой третьей вспомогательной переменной t (эту переменную часто называют параметром): x  t  , y  t  . Например, если параметр t – время, а x  t  , y  t  – переменные значения координат на декартовых осях, то система уравнений 20 t  0,   x  xM  t  ,   y  yM  t  ; будет описывать движение точки М в плоскости Oxy . (1) Уравнения x=x  t  , y=y  t  , входящие в систему (1), называются уравнениями движения точки в плоскости Oxy . Тогда любому параметру t соответствует определенное значение xM  t  и определенное значение yM  t  , следовательно, и определенная точка M  x; y  на плоскости. Когда переменная t пробегает все значения в некотором интервале своих значений, точка M  x; y  опишет некоторую кривую в плоскости Oxy . Эта кривая будет являться траекторией точки М, заданной системой уравнений движения (1). Если из уравнений (1) удается исключить время t , то можно найти связь между координатами xM , yM . Эту связь между координатами можно рассматривать как уравнение траектории движения точки М. Уравнение траектории можно записано в явном y  y  x  или неявном – F  x, y   0 видах. Пример 1.1. Движение точки M на плоскости Оху задано уравнениями t  0,   x  2t  4,   y  t+1. (а) где x и y выражены в см, t  в с. Построить траекторию движущейся точки. Определить направление движения точки и положение точки на траектории в момент времени t1  4 c . 21 Решение. Для построения траектории движущейся точки исключим параметр t из уравнений движения (a), получим уравнение траектории в явном виде – y  f  x  . 1 t  0,  x  4, t   x  4 ,  2   x  2t  4,   y  1 x  3. 1  y   x  4   1;  2 2  y  t+1. Траекторией точки является луч, (рис. 1.9). Подставляя в (а) t=0 с, получаем координаты точки в начальный момент движения: Рис. 1.9  x t 0 c  2  0  4  4;   M o  4;1 . y  0 + 1 = 1.  t 4 c Подставляя в (а) t=4 с , получаем:  x t 4 c  2  4  4  4;   M1  4; 5  . y  4 + 1 = 5 .  t 4 c Отмечаем точки Mo(4; 1) и M1(4; 5) на траектории. Пример 1.2. Движение точки M на плоскости Оху задано уравнениями t  0,   x  t  2,   y  t 2  4. (а) где x и y выражены в см, t  в с. Построить траекторию движущейся точки. Определить положение точки на траектории в момент времени t1  3 c . 22 Решение. Для построения траектории движущейся точки исключим параметр t из уравнений движения (a), получим уравнение траектории в явном виде – y  f  x  . t  0, t  x  2,  x  2,   x  t  2,   2  y   x  2 2  4.  y   x  2   4;  y  t 2  4; Траекторией точки является правая ветвь параболы y=  x  2   4, 2 (рис. 1.10). Точка в начальный момент времени имеет координаты:  x   t  2   2, t 0   M o  2;  4  .  2 y  t  4   4;  t 0   Для вычисления положений точки на траектории в момент времени t1  3 c подставим в (а) и вычислим соответствующие координаты:   x   t  2  t 3с  1,   M1 1; 5  .  y  t2  4  5;  t 3с   Точка  через 3с имеет координаты M 1; 5 . Пример 1.3. Движение точки M по плоскости Оху задано уравнениями движения Рис. 1.10 где x и y выражены в см, t  в с. t  0;   x  2 sin  2 t  , см;   y  y  4 cos  2 t  , см. (а) 23 Построить траекторию движущейся точки, вычислить положение точки на траектории t2  в моменты времени to  0 с; t1    0,79с и 4 5  1,96с . 8 Решение. Для построения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений xt  и yt  . Функции sin  2t  и cos  2t   ограничены:. sin  2t   1 , cos  2t   1. Имеем: 2  x  2;  4  y  4. Выделяем на координатной плоскости область Oxy ограниченную полученными неравенствами. За эту область точка при движении не выходит (рис. 1.11). Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой: 2  x 2    sin  2 t  2  2  y 2    cos  2 t  4 2 2  x  y 2 2       sin  2t   cos  2t  2 4 Учитывая основное тригонометрическое тождество; sin2  2t   cos 2  2t   1, получаем: 2 Рис. 1.11 2  x  y      1 2  4 Траекторией движущейся точки является эллипс. Определим период движения точки Т: 2T  2  T    3,14 с. (б) 24 Подставляя в (а) значение to  0 , находим положение точки в нулевой момент времени: x  y   2 sin  0   0, t 0  4 cos  0   4; t 0  M o  0; 4  . Точка в начальный момент времени занимает положение M 0 (0, 4) . Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией x  2 sin 2t  и убывающей функцией y  4 cos2t  , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке.   0,79с , находим положение точки: 4 Подставляя в (а) значение t1   x   y  t1   t1  4  4    2 sin  2    2  1  2,  4    4 cos  2    0;  4  M1  2; 0  . Подставляя в (а) значение t2   x   y  5 t1  8 t1  5 8 5  1,96с , находим положение точки: 8 2  5   2 sin  2    2,   2  8  2   5  4 cos  2  8  2   2 2;   4  2     M 2  2;  2 2 . Отмечаем полученные точки на траектории. Пример 1.4. Точка движется в плоскости Oxy . Уравнение движения точки задано координатным способом: t  0,   x  2  3cos   t  ,     3     t   y  2sin  ; 6    (а) 25 где x и y выражены в см, t  в с. Требуется: 1. Построить траекторию движения точки в декартовой системе координат, и провести анализ движения точки по траектории. 1. Вычислить положение точки в начальный момент времени t o  0 , направление движения точки по траектории и положение точки на траектории при t  3 с, t  9 с. 1 2 Решение. Построим траекторию движения точки. Для этого в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений x(t ) и y (t ) . Функции sin  и cos   ограничены, тогда sin   1, cos   1 получаем из (а), рис. 1.12:   t   x  2  3cos  3  ,  1  x  5,       2  y  2.   t    y  2sin  6  ;    Получим уравнение траектории в системе координат Oxy , т. е. зависимость y  y(x) . Для этого из уравнений (а) исключим параметр t . Рис. 1.12 Введѐм обозначение   t 6 , тогда уравнения (а) перепишутся в виде 26  x  2  3cos 2 ;   y  2sin  .  (б) Распишем первое уравнение системы (б), используя формулу двойного угла cos 2  cos 2  sin2  1  2sin2 ,  x  2  3(1  2sin 2 )  1  6sin 2 ,  x  2  3cos 2 ,     y  2sin  ;  y = sin .   2 Получим: 2 3  y x  1  6  sin   1  6    1  y 2 . 2 2 2 Уравнение траектории в системе координат Oxy имеет вид  1  x  5;   y  2;   x  1  3 y 2 .  2  (в) Траекторией точки является часть параболы, вершина которой имеет координаты M o  1;0  ; ветви параболы вытянуты вдоль оси Ox (рис. 1.12). Определим период движения точки Т:  6 T  2  T  12c. Определим 2. Для вычисления положений точки на траектории в заданный момент времени подставим нужное значение t в (а) и вычислим соответствующую координату: x  y  t 0 t 0  2  3 cos  0   2  3  1,  2 sin  0   0;  M o  1; 0  . Подставляя в (а) значение t  3 с , находим положение точки: 1 27  x   y  t 3с    2  3 cos   3   2  3  1  5, 3  t  6с    2 sin   3   2; 6   M1  5; 2  . ; Подставляя в (а) значение t  3 с , находим положение точки: 1  x   y  t 9с    2  3 cos   9   2  3  1  5, 3  t  6с    2 sin   9   2; 6   M 2  5;  2  . Отмечаем полученные точки на траектории. Справка. Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА, который крепится на шарнирно-неподвижную опору О, шатуна АВ, который крепится кривошипом и шарнирно ползуна (шарнир (поршня), А) с который соединен с шатуном шарниром В и движется строго по направляющим дорожкам. Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) является основным механизмом поршневого двигателя внутреннего сгорания. Кинематический анализ КШМ устанавливает принципы движения его звеньев. Пример 1.5. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1.13) определяется углом    4 t (рад). Определить траекторию точек, A , B , М и их положение в Рис. 1.13 момент времени в момент t =6 с, если  OA  AB    0,5 см, AМ  . 2 28 Решение. Совместим декартовую систему координат Oxy с точкой О кривошипа ОА (рис. 1.14). Определим координаты заданных точек данного механизма относительно выбранной системы отсчета, рис. 1. 14. Рис. 1.14 Точка А. Составим уравнения движения точки. Точка движется в плоскости Оxy , положение точки А определяется координатами xA, yA и имеют вид (рис. 1.15):    x A  0,5 cos  t  ;   x A  cos  ; 4       y A  sin  ;  y  0,5 sin   t  .    A 4   Рис. 1.5 (а) Уравнение траектории движущейся точки в явном виде находим исключая параметр t из уравнений движения (a). Для этого возводим каждое из уравнения (а) в квадрат и складываем между собой:   x 2A  0,5  cos 2  t  4     y 2A  0,5  sin 2  t  4  x 2A  y 2A  0,5 Траекторией движущейся точки является окружность (рис. 15). Рис. 4.4 29 Справка. Каноническое уравнение окружности радиусом R и центром O , имеет вид x 2  y 2  R2 . Подставляя в (а) t=0 с, получаем координаты точки в начальный момент движения: xA t 0 c  0,5 cos  0   0,5; y t 0 c  0,5 sin  0   0.     При t  0 функция x A  0,5 cos  t  убывает, а функция y A  0,5sin  t  4  4  возрастает, следовательно, точка от положения Ao  0,5;0  начинает движение по окружности против часовой стрелки (рис. 1.15). Графики движения точки А показаны на рис. 1.16. Рис. 1.16 Вычислим период движения Т:  4 T=2  T  8 с. Подставляя в (а) t=6 с, получаем координаты точки, рис.1.13: xA    3   0,5 cos t  0,5 cos      0. t 6 c  4 t 6c  2  30 yA    3   0,5 sin t  0,5 sin      0,5. t 6 c  4 t  6 c  2  Точка В. Точка движется прямолинейно вдоль оси Оx . Движение этой точки будет определяться координатой x B (рис. 1.17). Имеем: OA  AB   , тогда x      2 cos   2  0,5 cos  t   cos  t  . B A 4  4  Траекторией движущейся точки В является отрезок 1  xВ  1.  2x Подставляя в (а) t=0 с, получаем координаты точки В в начальный момент движения: xB Рис. 1.17 Точка t 0 c  cos  0   1. В при t 0 имеет координаты Bo 1; 0  , рис. 1.17. Далее точка движется влево и за t'  2 с проходит положение B'  0;0 и достигает положение B"  1; 0  , далее за 4с возвращается в положение Bo 1; 0  .  T=2  T  8 с. 4 График движения точки В (ползуна) показан на рис. 1.18. Вычислим период движения Т: Рис. 1.18 31 Движение повторяется до бесконечности. От начала движения до возвращения в исходное положение проходит 8 с, следовательно, период движения  4 T=2  T  8 с. Подставляя в (а) t=6 с, получаем координаты точки: xB t 6 c    3  cos   6   cos  3   2    0.  Точка М. Координаты точки М (рис. 1.19):       x М  x А  cos    cos  t    cos  t   0,75 cos  t  ; 2 4  2 4  4  1     yМ С    sin  t   0,25 sin  t  . 2 4  4  Уравнения движения точки С имеют вид t  0;     x М  0,75 cos  t  ; 4     y  0,25 sin   t  .  М 4  (б) Рис. 1.19 Уравнение траектории точки С в явном виде находим исключая параметр t из уравнений движения (б). Для этого делим первое уравнение 32 на 0,75, второе – на 0,25; возводим каждое из них в квадрат и складываем     между собой. Учитывая, что sin 2  t   cos 2  t   1 , получим 4  4  2 2  x   y       1.  0,75   0,25  (б) Точка движется в евклидовом пространстве Oxy . Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 1.19) . Справка. Уравнение эллипса имеет вид 2 2 x  y       1 , где а – полуось эллипса на оси Ox , a b b – полуось эллипса на оси Oy . Подставляя в (б) t  0 , находим, что точка С имеет координаты: x М  0,75 cos 0  0,75; y М  0, ,25 sin 0  0 . Графики движения точки М показаны на рис. 1.20 Рис. 1.20 33 Определим направление движения точки. Уравнения движения заданы: убывающей функцией y С функцией   x  0,75 cos  t  С 4  и возрастающей    0,25 sin  t  , поэтому при увеличении t координата “х” 4  возрастает, а “у” убывает, следовательно, точка вращается по эллипсу. Движение повторяется до бесконечности. От начала движения до возвращения в исходное положение проходит 8 с. Справка. Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Этот смысл слова «вектор» представляет собой обобщение устаревшего значения вектора в астрономии, где вектором назывался воображаемый направленный отрезок, соединяющий планету, обращающуюся вокруг центра, с этим центром. Векторная система обозначений имеет два существенных преимущества. Первое, она представляет собой такой язык, в котором формулировки имеют физическое содержание. Второе – векторная система обозначений является компактной. Физическую величину, которая характеризуется своим численным значением и направлением, определяют как векторную величину. Например, направление движения автобуса из пункта А в пункт В). Графически векторы изображают с помощью направленного отрезка (отрезка со стрелкой). Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор бозначается как AB . Также вектор обозначают малой латинской буквой, например, a . Причем длина отрезка при выбранной единице масштаба равна числовому значению векторной величины. 1.3. Пройденный путь, перемещение 34 Путь, пройденный точкой. Путь – это длина траектории, которую описывает материальная точка за определенное время t (дуга M1M 2 ), рис. 1.21. Путь, пройденный точкой обозначается одной из латинских букв: Рис. 1.21 x,  , S. Перемещение точки. Перемещение точки– направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение точки с конечным положением. Перемещение – векторная величина (на рис 1.21 это вектор M1M 2 ). Его числовое значение определяется модулем вектора перемещения M1M 2 . Если точка движется прямолинейно и не меняет направление движения, то перемещение точки и ее путь совпадают: S= M1M 2 , рис. 1.21. Рис. 1.22 Пример 1.6. Движение точки M задано уравнениями t  0,   x  2t  4,   y  t+1. (а) 35 Здесь x  t  и y  t  в метрах. Траектория точки определена в примере 1.1 и показана на рис. 1. 23. Вычислить путь и перемещение точки за 4с от начала движения. Решение. Вычислим координаты точки в разные моменты времени, рис. 1.22. Подставляя в (а) t=0 с , получаем: Рис. 1.22  x   2t  4   4, t 0 c   y   t+1 t 0 c  1.  Подставляя в (а) t=4 с , получаем:  x   2t  4  = 2  4  4 = 4, t 4 c   y   t+1  4  1  5. t 4 c  Путь и перемещение точки за 4с от начала движения совпадают и равны расстоянию между точками Мо и М: M o M= 8  4  64  16  80  8,94 м. 2 2 При движении точки по криволинейной траектории – путь и перемещение , не совпадают. Пример 1.7. Движение точки M на плоскости Оху задано уравнениями  t  0,   x  t  2,   y  1 t 2  1.  4 (а) 36 Определить перемещение точки на траектории в промежутке времени 0  t  4 c . Решение. Для построения траектории точки исключим параметр t из уравнений движения (a), получим уравнение траектории в явном виде – y  f  x .  t  0, t  x  2,  x  2,    x  t  2,  1 2  y  1  x  2 2  1. y   x  2   1;   4 4  y  1 t 2  1;  4 Траекторией точки является правая ветвь параболы y= 1  x  2 2  1, 4 (рис. 1.23). Подставляя координаты точки в (а) в t=0, получаем начальный момент движения:  x  t  2  2, t 0 c    y   1 t 2  1  1.  4  t 0 c Рис. 1.23 Подставляя в (а) t=4 с , получаем:  x  t  2 = 4  2 = 2, t 4 c   1 2  1 2  y   t  1  4  1  3.  t 4 c 4   4 Перемещение точки за 4с от начала движения равно расстоянию между точками Мо и М: M o M= 4  4  4 2  80  5,66 м. 2 2 Путь, пройденный точкой, соответствует длине дуги MoM. В последующих лекциях покажем, как вычисляется длина дуги. 37 1.4. Радиус-вектор точки. Годограф Будем рассматривать движение точки. Напомним, движение точки – это изменение ее положения с течением времени t в плоскости, наблюдаемое по отношению к неподвижному твердому телу (точкой отсчета). Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор r t , при этом положением точки расстояние Ai и между полюсом O фиксируется модулем ri ( t ) , направление r  t  фиксируется полярным углом  i , рис.1 Рис. 1.24 24) то функция r ( t ) будет называться радиус–вектором скалярного аргумента. Если начало вектора r ( t ) (радиус-вектора) поместить в произвольную точку О, то конец радиус-вектора r( t ) опишет пространственную кривую, которую называют годографом (записыватель пути) векторной функции. Если t означает время, то r  t  фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки. Свяжем полюс O с неподвижным телом и проведем через него произвольную полярную ось. , рис. 1.24. Линию, описываемую движущейся точкой, назовем траекторией. Тогда положение точки M o в начальный момент времени на траектории можно определить отрезком ОМ как расстояние между этой точкой и полюсом О, а также углом o , рис. 1.24. Через время t1 положение точки на траектории изменится и его можно определить через отрезок OM1 и угол 1, на который нужно повернуть отрезок OM o вслед за движущейся точкой. Отрезок и угол изменяются вместе с изменением времени t . Тогда положение точки M на 38 траектории при произвольном параметре t можно описывать двумя числами: углом  и отрезком OM . Вектор r  t  начало которого совпадает с полюсом О, а конец находится в точке М (рис. 1.24) вполне определяет движение этой точки; этот вектор называется радиус-вектором точки М: r t  , r t      t  . (1.1) Уравнения (1..1) называются уравнением движения точки, заданное векторным способом. Заданное уравнение движения полностью определяет движение точки. При изменении параметра t конец вектора r  t  опишет некоторую кривую, называемую годографом (записыватель пути) Рис. 1.25 вектора, т. е. траекторию движущейся точки, рис. 1.25. Длина траектории, которую описывает материальная точка за определенное время t , определяет путь, пройденный точкой, обозначим его латинской буквой S . Итак, если скалярная переменнаяя радиус-вектора – время t , то радиус-вектором можно описать любое движение материальной точки. Пример 1.8. Движение точки задано радиус вектором  r=t , r t      t. (а) Построить траекторию движения точки, вычислить положение точки на траектории для моментов времени     t1      c , t2   2   c . 6 6   39 Решение. Определим связь угловой и радианной меры измерения углов и запишем значения r и  в зависимости от время t и результат запишем в таблицу 1.3. Таблица 1.3 t с 0,26 0,52 0,78 1,05 1,31 1,57 r  м 0,26 0,52 0,78 1,05 1,31 1,57   рад   12   15  30 6  4  45  3  60 5  75 12  2  90 t с 1,83 2,09 2,35 2,62 2,88 3,14   см  1,83 2,09 2,35 2,62 2,88 3,14   рад  7  105 12 2  120 3 3  135 4 5  150 6 11  165 12   180 Определим полярную ось  и отложим с шагом 15 лучи, рис. 1.26. Откладываем вдоль направления  соответствующие значения  , соединим полученные точки, получим кривую, которая называется спиралью Архимеда.   Точка при t1      c занимает положение M 1 с координатами: 6  M 1 ( r1     6  3,67 ; 1  210 ).   Точка при t2   2   c занимает положение M 2 с координатами: 6     M 2  r 2 2   6,8; 2  390  . 6   Вычерченная Архимедом спираль названа его именем – спираль Архимеда. 40 Рис. 1.26 Спираль, несмотря на простоту изображения, – это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и золотое сечение, при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартуют эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали; интересны спирали раковин, алоэ и галактики вблизи Млечного Пути, рис. 1.27 Рис. 1.27 41 Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и лунных фаз, ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали. История спирали Архимеда. Архимедова спираль была открыта Архимедом в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигалась на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние. Использование архимедовой спирали в древности. С помощью Архимедовой спирали был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, следовательно, и площади круга. Спирали в реальной жизни. В технике нашли широкое применение плоские спиральные антенны, в том числе и антенны, имеющие вид Архимедовой спирали, рис. 1.28. Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого – Архимедов Рис. 1.28 винт, механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов, рис. 1.29. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. 42 Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. используется в равномерного спираль при механизм швейных машинках наматывания ниток. Архимеда внимания Данный заслуживает обучении для Ныне особого компьютерной графике. Пример 1.9. Движение точки задано Рис. 1.29 уравнением r ( t )  i a cos t  j a sin t  k bt . Построить траекторию движущейся точки и определить ее скорость при t 9 c. 4 Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу 1.4 точек годографа для отдельных значений t. Таблица 1.4 t r t  ai a 2 2 i    4 2 a 2 2 j b 4 k aj  3  2 b 2 k i  b k  3  aj   k 2 2 ai  2b k Для любой точки годографа имеем: x  a cos t , y  a sin t , z  bt , 2 2 2 поэтому при любом t выполняется равенство х +у =а , т.е. все точки годографа лежат на цилиндре, направляющей которого является окружность в плоскости переменных х, у, а образующая параллельна оси Оz. Искомый годограф имеет вид, изображенный на рис. 1.30 a, и называется винтовой линией. 43 Рис. 1.30 Вычислим положение точки при заданном времени . Точка МО при t  x 9 c . имеет координаты: 4 a 2 a 2   , y , z  b   2  . 2 2 4 