Изучение сезонной компоненты временных рядов

Раздаточный материал к Лекции 6 Изучение сезонной компоненты временных рядов Алгоритм расчета для случая аддитивной сезонности. 1. Для описания тенденции воспользуемся процедурой скользящей средней при четной длине интервала сглаживания. 2. Рассчитаем отклонения фактических значений от уровней сглаженного ряда: Уровни вновь полученного ряда отражают эффект сезонности и случайности. 3. Для элиминирования влияния случайных факторов определим предварительные значения сезонной составляющей как средние значения из уровней для одноименных месяцев (кварталов). Например, для временных рядов месячной динамики процедура усреднения может быть описана выражением: где k—число целых периодов (циклов) во временном ряду, полученном на втором шаге. Разные пределы суммирования объясняются тем, что при использовании скользящей средней с четным значением длины интервала сглаживания (l=2p) p первых и p последних уровней ряда будут потеряны (В нашем случае потери составят по 6 уровней в начале и в конце ряда). 4. Проведем корректировку первоначальных значений сезонной составляющей, вызванную тем, что суммарное воздействие сезонности на динамику предполагается нейтральным. Для аддитивного случая сумма значений сезонной составляющей для полного сезонного цикла должна быть равна нулю. Поэтому окончательные, скорректированные оценки сезонной компоненты определим с помощью следующего выражения: m—число фаз в полном сезонном цикле (как правило, m=12 для рядов месячной динамики и m=4 для квартальных данных). Для мультипликативной формы сезонности меняется содержание 2 и 4го этапов алгоритма. Очевидно, что на втором шаге знак вычитания необходимо заменить делением: После получения предварительных оценок сезонности усреднением на шаге 3 следует выполнить процедуру их корректировки. Взаимопогашаемость сезонных колебаний в мультипликативной форме выражается в том, что средняя арифметическая из значений коэффициентов сезонности для полного сезонного цикла должна быть равна 1. Поэтому окончательные оценки коэффициентов сезонности получим с помощью следующего выражения: m—число фаз в полном сезонном цикле. Процедуру построения тренд-сезонных моделей можно описать в виде следующей последовательности шагов: 1. Оценивание сезонной составляющей с учетом характера сезонности (аддитивной или мультипликативной) 2. Сезонная корректировка (десезонализация) исходных данных. 3. Расчет параметров тренда на основе временного ряда, полученного на втором шаге. 4. Моделирование динамики исходного ряда с учетом трендовой и сезонной составляющих. 5. Оценка точности и адекватности полученной модели. 6. Использование построенной модели для прогнозирования. Пример. В Таблице 1 представлены квартальные данные об объемах продаж продукции фирмы за последние 4 года. Таблица 1 Сглаживание исходного ряда с помощью скользящей средней Год Квартал t Объем продаж , тыс шт Скользящая средняя (центрир.) 1 I 1 56,0 - II 2 54,5 - III 3 55,2 56,4000 IV 4 59,3 2 I 5 57,2 II 6 55,6 III 7 56,2 IV 8 60,4 3 I 9 58,4 II 10 56,9 III 11 57,1 IV 12 61,5 4 I 13 59,3 II 14 58,2 III 15 58,3 IV 16 62,6 Требуется: 1) на основе графического анализа провести исследование компонентного состава временного ряда объема продаж; 2) Рассчитать прогнозную оценку объемов продаж в первом полугодии следующего года. Решение: 1. Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии трендовой компоненты: имеется устойчивая, ярко выраженная тенденция роста объемов продаж в течение последних четырех лет. Рис. 1 Квартальная динамика объемов продаж Рисунок 1 показывает, что характер тенденции близок к линейному развитию, также отчетливо видны сезонные колебания (период колебаний равен одному году). Наблюдается устойчиво повторяющееся увеличение объемов продаж в 4м и 1м кварталах по сравнению с 3м и 2м кварталами, причем наиболее существенные «всплески» в динамике показателя просматриваются в 4м квартале. Так как амплитуда колебаний остается примерно постоянной, неизменной с течением времени, то для описания и прогнозирования динамики временного ряда можно предложить аддитивную модель. Рис. 2 Автокорреляционная функция объемов продаж В автокорреляционной функции наблюдается не очень тесная связь. При анализе коэффициентов автокорреляции наблюдается наличие сезонности. При анализе Q-статистики видно, что на первых трёх лагах Q-статистика имеет сравнительно низкие значения, что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в первых трех лагах. Первые три коэффициента автокорреляции не являются значимыми, все остальные являются. P-значения на первых трёх лагах значительно отличаются от нуля, что также свидетельствует об отсутствии автокорреляции. Тенденция в ряду не очевидна. Можно сделать предположение, что либо её нет, либо она выражена неярко. 2. Проведем сглаживание исходного ряда с помощью простой скользящей средней. Вычитая из фактических уровней значения сглаженного ряда, получим временной ряд, уровни которого отражают влияние случайных факторов и сезонности. Предварительную оценку сезонной компоненты получим усреднением уровней временного ряда для одноименных кварталов. Так как =0,075 (отлична от нуля), то проведем корректировку значений сезонной составляющей. Найдем «поправку», на которую надо изменить предварительные оценки сезонности: Скорректированные оценки сезонности приведены в таблице. Например, оценка сезонной компоненты для 1го квартала: Таблица 2 Оценивание сезонной компоненты в аддитивной модели № квартала i Предварительная оценка сезонной компоненты Скорректированные значения сезонной компоненты I 1 II 2 III 3 IV 4 0,075 Рис. 3 Сезонная волна по абсолютным отклонениям В таблице показаны основные этапы процесса прогнозирования по аддитивной модели. Сначала из исходного ряда удаляется сезонная составляющая, т.е. осуществляется сезонная корректировка (десезонализация) объема продаж. Для описания тенденции воспользуемся моделью линейного тренда, так как это согласуется с результатом графического анализа динамики показателя. Таблица 3 Прогнозирование объема продаж с помощью аддитивной тренд-сезонной модели t Объем продаж , тыс. шт. Сезонная компонента Десезонализированный объем продаж Расчетные значения (линейный тренд) Расчетные значения объема продаж 1 56,0 0,210 55,790 55,823 56,033 2 54,5 3 55,2 4 59,3 5 57,2 6 55,6 7 56,2 8 60,4 9 58,4 10 56,9 11 57,1 12 61,5 13 59,3 14 58,2 15 58,3 16 62,6 17 18 Модель имеет вид: Расчетные уровни, полученные подстановкой последовательных значений времени t=1,2,…,16 в это уравнение, представлены в таблице. На заключительном этапе определим расчетные уровни объема продаж по аддитивной модели, суммируя значения полученных оценок трендовой и сезонной составляющих. Для прогнозирования объема продаж в первом полугодии следующего года оценим значения тренда при t=17 и t=18: тыс. шт. тыс. шт. а затем прибавим к полученным значениям соответствующие оценки сезонной составляющей (для 1го и 2го кварталов). Таким образом, ожидаемый объем продаж в первом полугодии составляет: Характеристики точности модели представлены в таблице. О высокой точности модели свидетельствуют рассчитанные абсолютные и относительные ошибки (максимальная относительная ошибка по модулю не превышает 0,5%, средняя относительная ошибка по модулю составила 0,15%) Таблица 4 Характеристика точности аддитивной тренд-сезонной модели t Объем продаж , тыс. шт. Расчетные значения объема продаж , тыс. шт. Абсолютная ошибка, тыс. шт. Относительная ошибка, % 1 56,0 56,033 0,033 0,059 2 54,5 3 55,2 4 59,3 5 57,2 6 55,6 7 56,2 8 60,4 9 58,4 10 56,9 11 57,1 12 61,5 13 59,3 14 58,2 15 58,3 16 62,6 В то же время необходимо отметить, что рассмотренный подход имеет существенный недостаток—предположение о неизменности во времени сезонных эффектов, что далеко не всегда соответствует реальной динамике многих экономических процессов. Рис. 4 Ряд остатков Рис. 5 Автокорреляционная функция остатков Рис. 6 Нормальный вероятностный график остатков Рис. 7 Фактические и расчетные значения объемов продаж, тыс.шт. Применение мультипликативной модели Таблица 5 Сглаживание исходного ряда с помощью скользящей средней Год Квартал t Объем продаж , тыс шт Скользящая средняя (центрир.) (индекс сезонности) 1 I 1 56,0 - II 2 54,5 - III 3 55,2 0,979 IV 4 59,3 2 I 5 57,2 II 6 55,6 III 7 56,2 IV 8 60,4 3 I 9 58,4 II 10 56,9 III 11 57,1 IV 12 61,5 4 I 13 59,3 II 14 58,2 III 15 58,3 IV 16 62,6 Таблица 6 Оценивание сезонной компоненты в аддитивной модели № квартала i Предварительная оценка сезонной компоненты Скорректированные значения сезонной компоненты I 1 II 2 III 3 IV 4 4,002 4 =4,002 Найдем «поправку», на которую надо изменить предварительные оценки сезонности: Рис. 8 Сезонная волна по относительным отклонениям Таблица 7 Прогнозирование объема продаж с помощью мультипликативной тренд-сезонной модели t Объем продаж , тыс. шт. Сезонная компонента Десезонализированный объем продаж (2:3) Расчетные значения (линейный тренд) Расчетные значения объема продаж (3*5) 1 2 3 4 5 6 1 56,0 1,003 55,833 55,825 55,992 2 54,5 3 55,2 4 59,3 5 57,2 6 55,6 7 56,2 8 60,4 9 58,4 10 56,9 11 57,1 12 61,5 13 59,3 14 58,2 15 58,3 16 62,6 17 18 Линейный тренд: Таблица 8 Характеристика точности мультипликативной тренд-сезонной модели t Объем продаж , тыс. шт. Расчетные значения объема продаж , тыс. шт. Абсолютная ошибка, тыс. шт. Относительная ошибка, % 1 56,0 2 54,5 3 55,2 4 59,3 5 57,2 6 55,6 7 56,2 8 60,4 9 58,4 10 56,9 11 57,1 12 61,5 13 59,3 14 58,2 15 58,3 16 62,6 Рис. 9 Ряд остатков Рис. 10 Автокорреляционная функция (АКФ) остатков Рис. 11 Нормальный вероятностный график остатков Рис. 12 Фактические и расчетные значения объемов продаж, тыс.шт.