Изучение распределений непрерывных случайных величин в среде MATHCAD
Выбери формат для чтения
Статья: Изучение распределений непрерывных случайных величин в среде MATHCAD
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В СРЕДЕ MATHCAD
Целью лабораторной работы является изучение наиболее распространенных распределений непрерывных случайных величин в среде
математического пакета MathCAD.
1.
Теоретические сведения
1.1. Введение
Как известно, каждая случайная величина полностью определяется
своей функцией распределения. Если – случайная величина, то функция
F(x) = P( 0, это записывается в форме N(a, ), если ее плотность распределения р имеет вид
1
( x a)2
p ( x)
exp(
).
2
22
Случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и = 1, N(0, 1). Плотность стандартного нормального
распределения имеет вид
1
x2
exp( ) ,
p ( x)
2
2
а его функция распределения F(x) = Ф(х), где Ф(х) – функция Лапласа:
7
1 x
z2
Ф( x)
exp( 2 )dz .
2
Функция распределения нормальной величины N(a, ), также выражается через функцию Лапласа
xa
F ( x) Ф(
).
Возможность выражения плотности распределения и функции распределения с помощью функции Лапласа обусловили широкое распространение нормального распределения при решении различных задач
теории вероятности и математической статистики.
В MathCAD значения в точке х плотности распределения и функции
распределения нормальной случайной величины с параметрами a и ,
находятся встроенными функциями dnorm(x, a, ) и pnorm(x, a, ).
На рис. 3 приведены построенные в MathCAD графики плотности вероятностей и функций распределения случайных величин для N(0, 1)
и N(1, 2).
1
1
dnorm( x 0 1) 0.5
pnorm( x 0 1) 0.5
1
1
10
10
10
x
10
10
x
1
1
dnorm( x 1 2) 0.5
10
1
pnorm( x 1 2) 0.5
10
10
10
x
10
10
10
10
x
10
Рис. 3. Графики плотности вероятностей и функций распределения
случайной величины , имеющей нормальное распределение для
N(0, 1) и N(1, 2)
1.5. Распределение хи-квадрат (2-распределение)
Пусть 1, 2, …, n – независимые случайные величины, каждая
из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Мож8
но составить случайную величину 2n = 12 + 22 + n2. Ее распределение
называется 2-распределением с n степенями свободы. Выражение
плотности распределения этой случайной величины определяется следующим образом:
z0,
0,
n2
1
z
pn ( z )
z 2 exp( )
z 0,
n
2
n
Г( )2 2
2
где Г(х) – гамма функция Эйлера Г( x) x z 1 exp( z )dz .
В среде MathCAD значения в точке х плотности распределения
и функции распределения с n степенями свободы вычисляется встроенными функциями dchisq (x, n) и pchisq (x, n).
На рис. 4 приведены графики плотности вероятностей и функций
распределения для 2-распределения с двумя, четырьмя и восьмью степенями свободы.
0.6
1
1
dchisq ( x 2) 0.4
pchisq ( x 2)
dchisq ( x 4)
pchisq ( x 4) 0.5
dchisq ( x 8) 0.2
pchisq ( x 8)
1
5
x
10
10
10
20
1
x
20
Рис. 4. Графики плотности вероятностей и функций распределения
для 2-распределения с двумя, четырьмя и восьмью степенями свободы
1.6. Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина n2 – распределение с n степенями
свободы. Если и n2 независимы, то про случайную величину
n
говорят, что она имеет распределение Стьюдента с числом
2
n
n
степеней свободы n. Доказано, что плотность вероятности такой случайной величины вычисляется по формуле
9
n 1
n 1
Г(
)
1
x2 2
2
pn ( x)
(1 )
,
xR
n
n Г( n )
2
При больших значениях n распределение Стьюдента практически
не отличается от N(0,1).
В MathCAD значения в точке х плотности распределения и функции Стьюдента с n степенями свободы вычисляются встроенными
функциями dt(x, n) и pt(x, n).
На рис. 5 показан пример использования этих функций для построения соответствующих графиков.
0.5
1.1
0.4
dt( x 2)
pt( x 2)
dt( x 5)
pt( x 5)
dt( x 10)
0.2
1
0.5
pt( x 10)
5
5
5
x
5
5
5
5
x
5
Рис. 5. Графики плотности вероятностей и функций распределения
при n = 2, 5, 10
1.7. Распределение Фишера
Пусть случайные величины n2 и m2 независимы и имеют распределение 2 с n и m степенями свободы. Тогда случайная величина
2n
Fn, m 2 n имеет F-распределение с плотностью вероятности
m
m
n2
nm
Г(
) n
x 2
2
pF ( x )
( )n 2
,
x 0.
nm
n m m
nx
Г( )Г( )
(1 ) 2
2
2
m
В MathCAD значения в точке х плотности распределения и функции
Фишера вычисляются встроенными функциями dF(x, n, m) и pF(x, n,m).
На рис. 6 приведены построенные в MathCAD графики плотности
вероятностей и функций распределения для n = 2, 5 и m = 5, 2.
10
1
1
1
dF( x 2 5)
1
pF( x 2 5)
dF( x 5 2)
0.5
1
1
1
pF( x 5 2)
0.5
2
x
5
1
2
10
x
10
Рис. 6. Графики плотности вероятностей и функций распределения
в случае F-распределения для n = 2, 5 и m = 5, 2
1.8. Распределение Парето
Это распределение часто используется для экономических исследований, плотность вероятностей для случайной величины при этом
распределении имеет вид
x a,
0,
p ( x) (1)
,
a x
x a,
где a > 0, > 0.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий пример определения и построения графиков (рис. 7) плотности вероятностей и функций распределения Парето. Поскольку в MathCAD нет
встроенных функций для этого распределения, они определяются исходя
из соглашения об именах для имеющихся статистических функций, как
функции переменной х и параметров а и : dP(x, p, a) и pP(x, p, a) – соответственно для плотности вероятностей и функции распределения Парето (параметр обозначен как р).
p
dP (x p a)
( p 1)
pa x
if x a
pP( x p a)
0 if x a
1
0 if x a
x
p ( p 1)
pa t
dt if x a
a
1
1
dP( x 1 1)
1
pP( x 1 1)
dP( x 1 2)
0.5
5
10
x
10
pP( x 1 2)
0.5
5
10
x
10
Рис. 7. Графики плотности вероятностей и функций распределения
в случае распределения Парето
11
1.9. Логистическое распределение случайной величины
Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Оно имеет следующую функцию распределения:
1
F ( x)
,
xR ,
1 exp(
x
)
где и – параметры распределения.
Плотность распределения вероятностей для логистического распределения вычисляется по формуле:
x
)
1
p ( x)
,
1 exp( x ) 2
exp(
xR.
По своим свойствам логистическое распределение очень похоже
на нормальное. В среде MathCAD значения в точке х плотности распределения и функции распределения для логистического распределения
вычисляются встроенными функциями соответственно dlogis(x, , )
и plogis(x, , ).
Графики плотности вероятностей и функций распределения
для = 0, = 1, 2 показаны на рис. 8.
1.5
0.5
0.4
dlogis( x 0 1)
plogis( x 0 1)
dlogis( x 0 2) 0.2
plogis( x 0 2)
10
10
10
x
10
1
10
10
10
x
10
Рис. 8. Графики плотности вероятностей и функций распределения
в случае логистического распределения
2.
Задание на лабораторную работу
Построить графики плотности распределения и функции распределения для экспоненциального, нормального, хи-квадрат, Стьюдента,
Фишера, Парето и логистического распределений.
Найти вероятность того, что значение случайной величины попадет в заданный интервал [a, b]. Исследовать поведение p(x) и F(x) при
заданном изменении параметров распределений.
12
Таблица 1
Варианты заданий для параметров n и m
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
n
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
5
6
7
8
9
10
9
7
7
m
4
4
4
4
4
5
5
5
3
3
2
2
3
4
4
5
5
5
5
4
Таблица 2
Варианты заданий для параметров и
Номер варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
13
1
1
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
Окончание табл. 2
Номер варианта
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3.
2.3
2.1
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
1.5
2
2
2
2
2
2
2.5
2.5
2.5
2.5
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Построить графики плотности распределения и функции распределения для показательного распределения с параметром , равным N.
Здесь N – номер варианта.
2. Построить графики плотности распределения и функции распределения в случае нормального закона распределения случайной величины. Параметры распределения задаются преподавателем.
3. Построить графики плотности распределения и функции распределения 2 с указанным числом степеней свободы k = N. Здесь N –
номер варианта. При построении в тех же осях для сравнения построить
графики стандартного нормального распределения.
4. Построить графики плотности распределения и функции распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы, равным
k = N. Здесь N – номер варианта. В тех же осях для сравнения построить
графики стандартного нормального распределения.
5. Построить графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных в табл. 1 значений n и m.
6. Построить графики плотности распределения и функции распределения Парето для указанных в табл. 2 значений и .
7. Построить графики плотности распределения и функции распределения для логистического распределения при значениях параметров = и = . Значения и берутся из табл. 2.
8. В пп. 1–7 для указанных преподавателем значений a и b найти
вероятность того, что значение случайной величины попадет в заданный интервал [a, b].
9. В пп. 1–7 построить p(x) и F(x) для 5 различных значений параметров распределений.
14
4.
Требования к оформлению отчета по лабораторной работе
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие разделы:
1. Введение (цель работы, формулировка задания).
2. Основная часть (рабочий документ MathCAD для всех указанных распределений с комментариями, ответы на контрольные вопросы).
3. Заключение (выводы по лабораторной работе).
5.
Контрольные вопросы по лабораторной работе
1. Что называется непрерывной случайной величиной?
2. Чему равна вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее x?
3. При каких условиях случайная величина имеет стандартное
нормальное распределение?
4. В каком случае распределение Стьюдента не отличается от нормального распределения?
15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В СРЕДЕ MATHCAD
Целью лабораторной работы является изучение распределений
дискретных случайных величин с помощью математического пакета
MathCAD.
1.
Теоретические сведения
1.1. Введение
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений окружающего нас мира. Одно из центральных понятий теории вероятностей – понятие случайной величины. Случайной величиной называется числовая функция, заданная на множестве случайных событий.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших
при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной
случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества, т.е. множества, состоящего из конечного или счетного
числа элементов); во втором случае – с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового ряда).
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Если – случайная величина, то функция F(x)= F(x) = P( < x) называется функцией распределения случайной величины . Здесь P( < x) – вероятность того, что случайная величина принимает значение меньшее x.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
F(x) определена на всей числовой прямой;
F(x) не убывает, т.е. если х1 х2 , то F(x1) F(x2);
F(-∞)=0 и F(∞) = 1, т.е. lim F (x) 0 и lim F (x ) 1;
x
x
F(x) непрерывна слева, т.е lim F (x) F ( x0 ) .
x x0 0
Важно понимать, что функция распределения является «паспортом» случайной величины, она содержит всю информацию об этой случайной величине, и потому изучение случайной величины заключается
в исследовании ее функции распределения, которую часто называют
просто распределением. Например, когда говорят о нормальном распре16
делении, то подразумевают случайную величину, имеющую нормальную
функцию распределения.
Вероятность того, что значение случайной величины попадает
в интервал (a, b) для дискретной случайной величины вычисляется
по формуле
P ( a b) p i .
xi ( a,b)
1.2. Решение задач теории вероятностей с помощью MathCAD
Прежде чем приступать к решению задач теории вероятностей
с помощью математического пакета MathCAD, необходимо ознакомиться с инструментами, которые он предоставляет для их решения.
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая Известно, что дискретная случайная величина , принимающая значения х1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1, p2, …, pi, …, может быть задана распределением – таблицей вида
х1
x2
…
xi
…
xn
р
p1
p2
…
pi
…
pn
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто распределением случайной величины.
В среде MathCAD их удобно хранить в виде матриц размерности 2×n.
В практических задачах именно такая форма представления распределения наиболее удобна.
Функция распределения случайной величины, имеющей приведенное выше распределение, имеет вид
0,
x x1,
p1,
x1 x x2 ,
p1 p2 ,
x2 x x3 ,
F ( x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
p1 p2 ... pn 1, x x x
n -1
n
1,
xn x
Рассмотрим фрагмент рабочего документа MathCAD с определением распределения случайной величины, ее функции распределения
и графиком функции распределения для случайной величины, имеющей
следующее распределение:
1
7
4
-2
р
0.1
0.5
0.1
0.1
0.2
17
2 0 1 4 7
0.2
0.5
0.1
0.1
0.1
ORIGIN 1
A
Функция распределения случайной величины может быть задана двумя
основными способами:
F( x) 0 if x A
1 1
A
2 1
if A
1 1
x A
1 2
A2 1 A2 2 if A1 2 x A1 3
A2 1 A2 2 A2 3 if A1 3 x A1 4
A2 1 A2 2 A2 3 A2 4 if A1 4 x A1 5
1 if A
1 5
x
G( x) 0 if x 2
0.2 if 2 x 0
0.2 0.5 if 0 x 1
0.2 0.5 0.1 if 1 x 4
0.2 0.5 0.1 0.1 if 4 x 7
1 if 7 x
Графики функции распределения случайной величины представлены на рис. 9.
1
1
1
0.5
F ( x)
0.5
G( x)
10
10
10
x
10
1
10
10
10
x
10
Рис. 9. Графики функции распределения случайной величины
В рабочем документе распределение случайной величины задано
в матрице А, где А1,i – значения случайной величины, А2,i – соответст18
вующий вероятности, i = 1, 2, 3, 4, 5. Функцию распределения, заданную различными выражениями на разных интервалах изменения аргумента, можно определить следующим образом:
1. Развернуть панель программных элементов щелчком по кнопке
«Programming Toolbar» и панель знаков отношений щелчком по кнопке
«Boolean Toolbar». Не закрывать эти панели до окончания определения
функции!
2. Ввести имя функции переменной х и знак присваивания (панель
«Calculator Toolbar» «Definition»).
3. В панели «Programming Toolbar» щелкнуть по кнопке «Add
Line», ввести в помеченной позиции 0; щелкнуть по кнопке «if» и ввести неравенства, определяющие первый интервал изменения аргумента
х. Символ ∞ можно ввести щелчком по соответствующей кнопке в панели «Calculus Toolbar».
4. Аналогичные пункту 3 операции повторить для остальных интервалов изменения аргумента х функции F(x).
В рабочем документе приведены два способа определения функции
распределения случайной величины: с использованием имен переменных и с использованием конкретных значений этих переменных. Графики функций построены стандартным для декартовых графиков способом «Graph Toolbar» «X-Y Plot». «Programming Toolbar». Следует
учитывать то обстоятельство, что MathCAD не совсем корректно строит
графики ступенчатых функций, соединяя отрезками значения функции
в точке скачка. Более точный график функции распределения представляет собой отрезки, параллельные оси абсцисс с «выколотым» правым
концом.
Для операций со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в MathCAD имеется библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено тремя функциями – плотностью вероятностей, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.
Например, для работы с нормальным распределением предназначены функции dnorm(x, μ, σ), pnorm(x, μ, σ) и qnorm(p, μ, σ). Значением функции dnorm(x, μ, σ) является значение в точке х плотности вероятностей случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с
математическим ожиданием Мξ = μ и дисперсией Dξ=σ2. Значение
функции pnorm(x, μ, σ) – значение функции распределения этой же
случайной величины ξ. Значением функции qnorm(x, μ, σ) служит решение уравнения F(x) = p, где F(x) – функция распределения, определенная функцией pnorm(x, μ, σ), т.е. значением pnorm(x, μ, σ) является
квантиль уровня р нормально распределенной случайной величины.
19
Можно заметить, что имена всех встроенных функций MathCAD,
определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы d, определяющих функции распределения – с буквы p, определяющих квантили –
с буквы q.
Ниже приведен список функций всех распределений, представленных в библиотеке MathCAD.
Таблица 3
Список встроенных функций
Название распределения
1. Бета-распределение
2. Биномиальное распределение
3. Распределение Коши
Библиотека MathCAD
dbeta(x, s1, s2), pbeta(x,s1, s2), qbeta(p, s1, s2)
dbinom(k, n, p), pbinom(k, n, p),
qbinom(p, n, r)
dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s),
qcauchy(p, l, s)
2
4. χ -распределение
dchisq(x, d), pchisq(x, d), qchisq(p, d)
5. Экспоненциальное рас- dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r)
пределение
6. Распределение Фишера dF(x, d1, d2), pF(x, d1, d2), qF(p, d1, d2)
(F-распределение)
7. Гамма-распределение
dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s)
8. Геометрическое распре- dgeom(x, p), pgeom(x, p), qgeom(p, r)
деление
9. Логнормальное распре- dlnorm(x, μ, σ), plnorm(x, μ, σ),
деление
qlnorm(p, μ, σ)
10. Логистическое распре- dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s)
деление
11. Отрицательное бино- dnbinom(k, n, p), pnbinom(k, n, p),
миальное распределение
qnbinom(p, n, r)
12. Нормальное распреде- dnorm(x, μ, σ), pnorm(x, μ, σ),
ление
qnorm(p, μ, σ)
13. Распределение Пуас- dpois(x, λ), ppois(x, λ), qpois(p, λ)
сона
14. Распределение Стью- dt(x, d), pt(x, d), qt(p, d)
дента
15. Равномерное распре- dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b)
деление
16. Распределение
Вей- dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s)
булла
20
С описанием и свойствами этих распределений можно ознакомиться в разделе «MathCAD Help».
Кроме того, для вычисления числовых характеристик дискретных
и непрерывных случайных величин применяются операторы интегрирования и дифференцирования, вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые вызываются по кнопке в панели «Calculus Toolbar»
и заполнением соответствующих полей.
Рассмотрим более подробно наиболее распространенные распределения дискретных случайных величин, используемых при решении
практических задач.
1.3. Биномиальное распределение (схема Бернулли)
случайной величины
Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое
из которых заканчивается либо «успехом», либо «неуспехом». Независимым называют испытания, исход каждого из которых не зависит
от исхода остальных испытаний. Пусть в каждом испытании вероятность успеха р, а вероятность неудачи q = 1 – p. С таким испытанием
можно связать случайную величину , равную числу успешных опытов
в серии из n испытаний. Эта величина принимает целые значения
от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется
формулой Бернулли
k
pk P( k ) C kn p q n k ,
где 0 < p < 1, q = 1 – p, k = 0, 1, …, n, C kn
Нетрудно убедиться, что
n
k 0
n!
.
k !(n k )!
pk 1 .
В MathCAD для вычисления плотности вероятности и функции
распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение, предназначены функции dbinom(k, n, p) и pbinom(k, n, p), значения которых – соответственно pk и F(k).
1.4. Геометрическое распределение случайной величины
Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину: – число испытаний до первого успеха. Эта величина
принимает бесконечное множество значений от 0 до ∞, и ее распределение определяется формулой
pk = P( = k) = qkp, k = 0, 1, …, 0 < p < 1, q = 1 – p.
21
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, можно показать, что
k 0
pk 1 .
В MathCAD для вычисления плотности вероятности и функции
распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение, предназначены функции dgeom(k, p) и pgeom(k, p), значения
которых – соответственно pk и F(k).
1.5. Гипергеометрическое распределение
случайной величины
Пусть в партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N-M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии
выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в этой партии будет случайной величиной, которую обозначим . Ее распределение имеет вид:
k
C nNkM
C
M
,
k 0, 1, ... , min(n, M ),
p k P ( k )
n
CN
и называется гипергеометрическим. Для любых значений параметров,
входящих в распределение
min( n, M )
k 0
pk 1.
В MathCAD для вычисления плотности вероятности и функции
распределения случайной величины, имеющей гипергеометрическое
распределение, предназначены функции
dhypergeom(k, M, N, n) и phypergeom(k, M, N, n),
значения которых – соответственно pk и F(k).
1.6. Пуассоновское распределение случайной величины
Пуассоновское распределение имеет случайная величина µ, принимающая значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями
k
P
(
k
)
e , k 0, 1, 2, ... ,
pk
k!
где > 0 – параметр пуассоновского распределения. При любых > 0
k 0
pk 1.
В MathCAD для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей пуассоновское распределе22
ние, предназначены функции dpois(k, ) и ppois(k, ), значения которых
pk и F(k) соответственно.
2.
Задание на лабораторную работу
Для указанных значений параметров (табл. 4) вычислить и построить биномиальное распределение для серии из n независимых испытаний с вероятностью успеха p, пуассоновское распределение с параметром , геометрическое распределение с параметрами n, p, гипергеометрическое распределение с параметрами N, M, n.
Для каждого распределения выполнить следующее:
проверить равенство
pk 1 , где pk = P( = k);
k
найти значение k, для которого величина P( = k) максимальная,
исследовать зависимость этой вероятности от параметров распределения;
построить графики распределения и функции распределения;
График распределения – ломаная линия, вершинами которой являются
точки (k, pk), где k – значение случайной величины, а pk – вероятность
этого значения.
вычислить вероятность попадания значений случайной величины в интервал (a, b).
Для гипергеометрического распределения, с целью более детального изучения вопросов его практического использования, постройте
в одних осях графики плотности распределения вероятности для двух
случаев:
1) наличия большого числа бракованных изделий в партии деталей;
2) ситуации, когда бракованных изделий практически нет.
По результатам исследований сделайте выводы.
Таблица 4
Значения параметров распределений случайной величины
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
n
p
λ
N
M
a
b
20
22
24
26
28
30
21
23
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
100
110
120
130
140
150
160
170
90
100
100
120
120
120
150
150
2
3
2
3
2
3
2
3
4
5
5
6
5
6
8
9
23
Окончание табл.4
Номер
варианта
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3.
n
p
λ
N
M
a
b
25
27
29
31
20
22
24
26
21
23
22
33
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.27
0.22
0.11
0.33
0.60
0.55
0.50
1.05
1.10
1.15
1.25
1.30
1.3
1.11
1.2
1.23
170
170
170
105
115
125
135
145
144
150
110
100
160
130
165
100
100
100
110
120
111
100
80
90
2
3
3
4
3
4
3
4
3
1
2
3
7
8
10
10
5
6
6
7
4
4
4
5
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Перед началом выполнения лабораторной работы изучите основной инструментарий MathCAD.
2. Введите параметры распределения.
3. Определите функцию плотности случайной величины.
4. Определите функцию распределения случайной величины.
5. Постройте графики распределения и функции распределения
случайной величины.
6. Определите интервал изменения случайной величины.
7. Найдите по графику наиболее вероятное значение случайной
величины.
8. Введите в рабочий документ наибольшее значение вероятности
(значение вероятности в точке, вычисленной в предыдущем пункте).
9. Вычислите сумму всех значений вероятностей.
10. Вычислите вероятность попадания значения случайной величины в указанный интервал.
11. Измените значения параметров и повторите вычисления. Сравните полученные результаты, сделайте выводы.
12. Выполните вычисления пп.1–10 для всех указанных в задании
распределений.
24
4.
Требования к оформлению отчета по лабораторной работе
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие разделы:
4. Введение (цель работы, формулировка задания).
5. Основная часть (рабочий документ MathCAD для всех указанных распределений с комментариями, ответы на контрольные вопросы).
6. Заключение (выводы по лабораторной работе).
5.
Контрольные вопросы по лабораторной работе
1. Что называется дискретной случайной величиной? Когда речь
может идти о дискретной случайной величине, а когда о непрерывной?
2. Что подразумевают, когда говорят о нормальном распределении?
3. Что называется распределением (рядом распределения) случайной величины?
4. Для чего в рабочем документе MathCAD вводится ORIGIN = 1?
5. Как в MathCAD найти по графику наиболее вероятное значение
случайной величины?
25
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Целью работы является изучение числовых характеристик случайных величин с помощью инструментов математического пакета
MathCAD.
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач
достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют
представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое
ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание – число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.
Если – дискретная случайная величина с распределением
х1
х2
…
xn
р
p1
p2
…
pn
то ее математическим ожидание M называется величина
n
M pi xi ,
i 1
если число значений случайной величины конечно. В противном случае
M pi xi . При этом если ряд в правой части равенства расходится
i 1
или сходится условно, то говорят, что величина не имеет математического ожидания.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
с плотностью вероятностей р(х) вычисляется по формуле
M
xp ( x)dx .
При этом если интеграл в правой части равенства расходится,
то говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания. Если случайная величина является функцией случайной величины , = f(), то
26
M
f ( x) p ( x)dx .
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:
n
M pi f ( xi ) ,
i 1
M pi f ( xi ) .
i 1
При вычислении математического ожидания случайной величины
полезны его следующие свойства:
математическое ожидание константы равно этой константе,
т.е. Мс=с;
математическое ожидание – линейный функционал случайной
величины, т.е. при произвольных постоянных a и b верно равенство
M(a+b)=aM+bM;
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,
т.е. M() = MM.
Формулы математического ожидания для наиболее известных распределений выглядят следующим образом:
1) биномиальное распределение P( = k) = Cknpkqn-k: M = np;
q
2) геометрическое распределение P( = k) = pqk: M = ;
p
3) гипергеометрическое распределение P( = k) =
M =
k nk
CM
CN M
C Nn
:
mM
;
N
k
e : M = ;
k!
5) равномерное распределение p(x) = 1/(b – a), x[a, b]: M = (a + b) / 2;
6) экспоненциальное (показательное) распределение p(x) = е-х,
х 0: M = 1/;
4) пуассоновское распределение P( = k) =
7) нормальное распределение N(a, ) p(x) =
1
1 xa 2
exp( (
) ):
2
2
M = a;
8) 2-распределение с n степенями свободы
n n
p 2 ( z ) Г( )2 2
2
1 n 2 z
z 2 e 2,
27
z 0 : M2=n;
9) распределение Стьюдента (t-распределение) с n степенями своn 1
1
n 1 n 1
x2 2
: Mtn = 0;
боды ptn ( x)
Г(
)Г( ) (1 )
2
2
n
n
10) F-распределение Фишера с n и m степенями свободы
nm
n n
Г((n m) / 2) n 2 2 1
nx
m
pF ( x )
( ) x (1 ) 2 , x 0 : MF=
, m 2;
Г(n / 2)Г(m / 2) m
m
m2
11) распределение Парето p(x)=ах--1, х а, а, > 0 имеет мате
a;
матическое ожидание только при > 1: M
1
1
z
x
, z exp(
)
12) логистическое распределение p(x) =
:
(1 z )2
M=.
2.
Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса значений случайной величины около ее математического ожидания. Если
случайная величина имеет математическое ожидание M, то дисперсией случайной величины называется величина D = M( – M)2. легко
показать, что D = M2 – (M)2. Эта универсальная формула одинаково
хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для
непрерывных. Величина M2 вычисляется по формулам:
n
M2 pi xi2 ,
M2
i 1
x 2 p ( x)dx
для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно.
Еще одним параметром для определения меры разброса значений
случайной величины является среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением = D .
Перечислим основные свойства дисперсии:
дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D 0;
дисперсия константы равна нулю: Dс = 0;
2
для произвольной константы с: D(с) = с D;
дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D( ) = D + D.
Формулы для дисперсий наиболее известных стандартных распределений выглядят следующим образом:
1) биномиальное распределение: D = npq;
28
2) геометрическое распределение: D =
q
p2
;
3) гипергеометрическое распределение: D =
M ( N M )( N n)n
N 2 ( N 1)
;
4) пуассоновское распределение: D = ;
(b a)2
5) равномерное распределение: D =
;
12
6) экспоненциальное (показательное) распределение: D = -2;
7) нормальное распределение N(a, ): D = 2;
8) 2-распределение с n степенями свободы: D2 = 2n;
9) распределение Стьюдента с n степенями свободы: D = n , n 2 ;
n2
10) F-распределение Фишера с n и m степенями свободы:
DF
2m2 (n m 2)
n(m 2)2 (m 4)
, m 4;
11) распределение Парето: D =
( 1)2 ( 2)
12) логистическое распределение D =
3.
,
2;
1 2 2
.
3
Задание №1 на лабораторную работу
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины = S(), которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры, для случайной величины , распределенной равномерно на промежутке [a, b].
Таблица 5
Варианты для задания 1
Номер
варианта
1
2
3
4
5
Геометрическая фигура
Квадрат со стороной
Правильный треугольник со стороной
Круг радиуса
Эллипс с полуосями и 2
Правильный шестиугольник со стороной
29
a
b
1
2
3
4
5
3
6
9
4
7
Окончание табл. 5
Номер
варианта
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Геометрическая фигура
a
b
Боковая поверхность тетраэдра с ребром
Поверхность шара радиуса
Прямоугольник со сторонами и 2
Осевое сечение конуса с радиусом основания и высотой
Прямоугольный треугольник с катетами и 2
Прямоугольный треугольник с катетом и
гипотенузой 2
Квадрат со стороной
Правильный треугольник со стороной
Круг радиуса
Эллипс с полуосями и 2
Правильный шестиугольник со стороной
Боковая поверхность тетраэдра с ребром
Поверхность шара радиуса
Прямоугольник со сторонами и 2
Осевое сечение конуса с радиусом основания и высотой
6
7
8
9
8
9
10
11.5
10
9
11.5
12.5
8
7
6
5
4
3
2
1
1.5
12
10
4
6
5
4
4.5
4.5
3.5
4.
Порядок выполнения задания №1
1. Записать выражение для функции = S() от случайной величины , определяющей площадь фигуры.
2. Вычислить математическое ожидание случайной величины .
3. Вычислить математическое ожидание случайной величины 2.
4. Вычислить дисперсию случайной величины = S() по формуле
D = M2 – (M)2.
5.
Начальные и центральные моменты случайных величин
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые
характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные
и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины ,
т.е. k = Mk.
30
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется величина µk, определяемая выражением µk = M( – M)k.
Можно заметить, что математическое ожидание случайной величины представляет собой момент первого порядка 1 = M, а дисперсия –
центральный момент второго порядка µ2 = M( – M)2 = D.
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:
D = M( – M)2 = µ2 – 12. В дальнейшем будет использоваться формула µ3 = 3 – 32 + 213.
Отметим еще одно важное свойство: если плотность распределения
вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой
х = M, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.
В теории вероятностей и в математической статистике в качестве
меры асимметрии распределения служит коэффициент асимметрии
33 ,
где 3 – центральный момент третьего порядка; D 2 –
среднеквадратичное отклонение.
Коэффициент асимметрии – величина безразмерная, а по его знаку
можно судить о характере асимметрии. Как правило, если коэффициент
асимметрии положителен, то график плотности вероятностей имеет более крутой «левый склон», и, наоборот, при отрицательном коэффициенте асимметрии «круче правый склон». Если график симметричен, то
коэффициент асимметрии равен нулю.
6.
Задание №2 на лабораторную работу
Вычислить коэффициент асимметрии случайной величины с заданным распределением.
Таблица 6
Варианты для задания 2
Номер
варианта
1
2
3
4
Распределение
Биномиальное с параметрами n = 20, p = 0.3
Пуассоновское с параметром = 2
Геометрическое с параметрами n = 20, p = 0.3
Равномерное на промежутке [–2, 3]
31
Окончание табл. 6
Номер
Распределение
варианта
5
Пуассоновское с параметром = 3
6
Нормальное N(1, 4)
7
2e2 x , x 0
Экспоненциальное с плотностью p ( x)
x0
0,
8
1 e( x 1)/2
Логистическое с плотностью p ( x)
2 (1 e( x 1)/2 )2
9
p ( x) 8 x 3 ,
x2
Парето с плотностью
0,
x2
10
Геометрическое с параметрами n = 30, p = 0.35
2
11
x
Рэлея с плотностью p ( x) e x /6
3
12
Равномерное на промежутке [–2, 3]
13
Биномиальное с параметрами n = 25, p = 0.15
14
Равномерное на промежутке [–2, 6]
15
e x , x 0
Экспоненциальное с плотностью p ( x)
x0
0,
16
18 x 3 , x 3
Парето с плотностью p ( x)
x3
0,
17
2
2
x
cos x,
2
p ( x)
0,
x
2
18
Биномиальное с параметрами n = 30, p = 0.2
19
Нормальное N(1, 2)
20
Геометрическое с параметрами n = 25, p = 0.25
7.
Порядок выполнения задания №2
1. Определить значения параметров распределения случайной величины.
2. Определить центральный момент третьего порядка как функцию
параметров распределения случайной величины.
32
3. Определить центральный момент второго порядка как функцию
параметров распределения случайной величины.
4. Вычислить коэффициент асимметрии.
5. Построить график плотности вероятности.
8.
Эксцесс случайной величины
Нормальное распределение наиболее часто используется в теории
вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распределения от нормального, является эксцесс.
Эксцесс случайной величины определяется равенством
4
3.
(D) 2
Естественно, что у нормального распределения = 0. Если > 0,
то это означает, что график плотности вероятностей p ( x) сильнее «заострен», чем у нормального распределения. Если же < 0, то «заостренность» графика p ( x) меньше, чем у нормального распределения.
9.
Задание №3 на лабораторную работу
Вычислить эксцесс случайной величины с заданным распределением. Выполните вычисления для распределений из Задания № 2.
10. Порядок выполнения задания №3
1. Определить значения параметров распределения случайной величины.
2. Определить центральный момент четвертого порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
3. Определить центральный момент второго порядка как функцию
параметров распределения случайной величины.
4. Вычислить эксцесс случайной величины.
5. Построить графики плотности вероятностей для заданного распределения и график плотности вероятностей нормального распределения N(0,1) в одних осях.
Обратите внимание, MathCAD не может вычислить интегралы
функций, заданных разными выражениями на разных промежутках. Поэтому при вычислении моментов необходимо использовать свойство
интеграла по симметричному промежутку от четной функции. Для того
33
чтобы определить плотность вероятностей равномерного распределения, щелкните по кнопке «AddLine» в панели «Programming Toolbar»,
введите в первой строке выражение для функции, щелкните по кнопке
«if» и введите условие.
11. Требования к оформлению отчета по лабораторной работе
Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие разделы:
7. Введение (цель работы, формулировка задания).
8. Основная часть (рабочий документ MathCAD для всех указанных распределений с комментариями, ответы на контрольные вопросы).
9. Заключение (выводы по лабораторной работе).
12. Контрольные вопросы по лабораторной работе
1. Что такое математическое ожидание случайной величины?
2. Что характеризует дисперсия случайной величины?
3. Какую информацию можно получить на основании коэффициента асимметрии?
4. Для чего вводят понятие эксцесса?
34
