Измерение взаимосвязи между двумя переменными: парная, линейная корреляция и регрессия

Тема №2. Измерение взаимосвязи между двумя переменными: парная, линейная корреляция и регрессия. Классификация видов взаимосвязи: Статистическая взаимосвязь  зависимость, которая проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, в среднем при большом числе наблюдений. По направлению: -прямая; -обратная. По тесноте: - слабая; - умеренная; - сильная. По форме: -линейная; -нелинейная. По количеству признаков: -парная; -множественная. Изучение взаимосвязи признака начинается с построения графика  диаграммы рассеивания. Методы корреляции и регрессии Корреляционный анализ  это метод математической статистики, позволяющий исследовать тесноту и направление связи между случайными переменными. Регрессионный анализ  это метод получения формы зависимости между случайными переменными с помощью математического уравнения (функции регрессии). Предпосылки применения методов корреляции и регрессии: • наличие линейной связи; • нормальность или близость к нормальному распределению связи. Двумерная корреляционная модель Предполагаем, что имеем двумерную генеральную совокупность случайных величин Y и X, распределенных по нормальному закону. Из этой совокупности взята репрезентативная выборка объемом n и результат i–го наблюдения имеет вид (y;x). Ковариация  это статистическая мера связи между двумя случайными величинами. Теоретическая ковариация: Эмпирическая ковариация: • Привязана к единицам измерения. Корреляция  это статистическая мера связи между двумя случайными переменными. Теоретическая корреляция (генеральный коэффициент корреляции): Оценка параметров корреляционной модели  выборочный коэффициент корреляции;  средние арифметические Y и X;  среднее произведение величин Y и X;  средние квадратические отклонения, соответственно, для Y и X. Свойства коэффициента корреляции Коэффициент корреляции не имеет размерности и следовательно, его можно сопоставлять для разных статистических рядов. Его величина может находиться в пределах от -1 до +1 включительно.  слабая;  средняя;  сильная;  очень сильная Характеризует наличие и тесноту только линейной связи между показателями. Проверка значимости коэффициента корреляции После расчета коэффициента корреляции нужно проверить его значимость, т. е. проверить статистическую вероятность гипотезы. Проверяется гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю Для проверки гипотезы можно использовать критерий Стьюдента: Интервальная оценка коэффициента корреляции Если коэффициент корреляции значим, то для него можем построить интервальную оценку. По таблице z-преобразования Фишера находят интервальную оценку для величины z(r), а затем переходят обратно к величине r. где находят по таблице интегральной функции Лапласа Двумерная линейная регрессионная модель Функция регрессии Y на X: Параметры уравнения регрессии:  коэффициенты регрессии;  остаточная дисперсия часть вариации зависимой переменной, которую нельзя объяснить воздействием объясняющей переменной X. Метод наименьших квадратов Для расчета оценок параметров уравнения используют метод наименьших квадратов (МНК): сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных значений, полученных на основе уравнения регрессии, должна быть минимальной: Оценка параметров уравнения регрессии Оценка коэффициентов: Оценка остаточной дисперсии: