Исследование систем с несколькими степенями свободы

Исследование систем с несколькими степенями свободы. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы в виде балки с шарнирами на упругих опорах. Параметрами системы являются длины ее звеньев и жесткости упругих опор. При приложении сжимающей силы система может потерять устойчивость и занять новое положение, при котором опоры B и D упруго смещаются на величину x1 и x2 соответственно. Рис. 13. Статический метод. Примем в качестве неизвестных реакции опор F1 и F2 и запишем уравнения равновесия для системы и стержней AB и DE. Найдем опорные реакции: Для стержня AB можем записать: Для стержня DE соответственно: Исключая из уравнений y1 и y2 получим систему двух уравнений относительно a1 и a2 Система уравнений однородная, нетривиальное решение возможно, если определитель системы равен 0 С точностью до постоянного множителя определяем перемещения системы в положении равновесия. Оценить устойчивость форм равновесия из решения задачи статическим методом нельзя, однако можно предполагать, что для сил меньших, чем минимальная критическая сила исходная форма равновесия будет устойчивой, поскольку других форм равновесия просто нет. Энергетический метод. Для решения задачи на основе энергетического метода запишем выражение для полной потенциальной энергии системы. Она включает в себя потенциальную энергию упругих опор и потенциал внешней нагрузки.  полная потенциальная энергия системы. Δ- можно определить по теореме Пифагора, извлекая корень приближенно, сохраняя в разложении в степенной ряд только два слагаемых. т.к. Запишем условия стационарности потенциальной энергии: Для поиска нетривиального решения системы приравняем определитель системы нулю. Решая полученное уравнение, найдем значения сил, обеспечивающих равновесие. Для нижней критической силы в положении равновесия потенциальная энергия системы равна: Вычисляя производные, получим: Нулевое значение второй производной не позволяет оценить устойчивость равновесия. Для решения этой задачи необходимо вычислить потенциальную энергию с большей точностью, сохранив при извлечении квадратного корня производные более высокой степени. Рассмотрим форму потери устойчивости, у которой a1 = -a2. В этом случае потенциальная энергия равна: . Равновесие неустойчиво. После потери устойчивости система складывается до предела. Устойчивость при комбинированном нагружении. Ранее были рассмотрены примеры, в которых нагрузка создавалась только одной силой. В реальных системах количество сил может быть любым, и на первый план выступает не количество векторов, создающих нагрузку, а число независимых параметров, которые нужно задать для определения всех векторов сил. Если такой параметр один, то независимо от числа векторов мы имеем случай простого нагружения. Однако если число параметров больше единицы, то мы имеем дело с комбинированным нагружением. Рассмотрим пример, приведенный на рис.15. Здесь заданы две силы, уравнение равновесия имеет вид: Уравнение определяет условие равновесия, но как исследовать устойчивость неясно. В таких случаях можно исследоватзадать соотношение между P1 и P2 и исследовать устойчивость системы. Для рассматриваемой системы, получим: Можно доказать, что для системы с одной степенью свободы Для систем с несколькими степенями свободы в общем случае существует область устойчивости (см. рис. 16), которая может иметь различную форму, быть замкнутой или разомкнутой. Существуют некоторые теоремы. Так для линейных систем область устойчивости всегда выпуклая (теорема Папковича П.Ф.). Незамкнутая область устойчивости говорит о том, что существует такая схема приложения нагрузки, при которой любое увеличение величины нагрузки не приводит к потере устойчивости. Определенную трудность вызывает определение устойчивости на границе области.