Исследование характеристик систем массового обслуживания

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Методические указания Классификация систем массового обслуживания. Большинство задач на желез­нодорожном транспорте связано с системами массового обслуживания. Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а, с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания. Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник тре­бований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслужи­вающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований. Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. Одним из признаков является ожидание требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды: 1) системы массового обслуживания с потерями (отказами); 2) системы массового обслуживания с ожиданием; 3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди; 4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются систе­мами с потерями или отказами. Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием. Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным чис­лом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди. Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сро­ком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным вре­менем ожидания. По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканаль­ные. По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой систе­ме. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки явля­ются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание. Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д. Кендалла. При этой классификации характеристику сис­темы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А | B | S, где А — тип распределения входящего потока требований, В — тип распределения времени об­служивания, S — число каналов обслуживания. Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произ­вольного) распределения - символ G. Запись М | М | 3 означает, что входящий поток тре­бований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспонен­циальному закону, в системе имеется три канала обслуживания. Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок от­бора (приоритета) требований. Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний. Системы, представляе­мые в виде непрерывной цепи Маркова, обычно исследуют с помощью уравнения Кол­могорова для вероятностей состояний. Плотностью вероятности перехода λij из состояния Si в состоянии Sj называется предел отношения вероятности этого перехода за время △t к длине промежутка △t, когда последний стремится к нулю: где Pij (△t) - вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии Si, за время △t перейдет в состояние Sj. Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотность вероятно­стей λij не зависит от времени t, в противном случае она называется неоднородной. Для однородных Марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы ги­бели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид: где Pi (t ) - вероятность состояния Si, когда в системе находится i требований в мо­мент времени t; n +1- общее число возможных состояний So,Si,...,Sn. При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова принимают вид: - В большинстве практических задач оказывается допустимой гипотеза о стационар­ном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова второго вида. Математические модели систем массового обслуживания, приводимые ниже, соот­ветствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима работы системы при ус­ловиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распре­деления времени обслуживания. Системы массового обслуживания с отказами. СМО с отказами является та­кая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают. Вероятности состояний системы определяются из выражения где k =1,2…,N , N – общее число каналов; – нагрузка; λ - интенсивность входящего потока требований, μ - интенсивность (производительность) одного канала (прибора) обслуживания, а вероятность отсутствия требований Р0 определяется из вы­ражения К основным характеристикам качества обслуживания рассматриваемой СМО отно­сятся: Вероятность отказа Среднее число занятых узлов обслуживания Мзан = р(1 - PN). Среднее число свободных узлов обслуживания Мсв = N - Мзан. В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, отсюда Относительная пропускная способность определяется по формуле Абсолютная пропускная способность СМО с отказами равняется Коэффициент занятости узлов обслуживания определяется отношением средним числом занятых каналов к общему числу каналов ПРИМЕР. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ по­ступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 ч-1. Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ. Таким образом, Ротк = 0,033; Мзан = 0,72525 ЭВМ. Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди. СМО с ог­раниченной длиной очереди является такая система, в которой требование, поступающее на обслуживание, покидает систему, если заняты все каналы обслуживания, и в накопи­теле заняты все места. Вероятности состояний S0,S1,...,SN находят по формуле Вероятности состояний SN+1,SN+2,…,SN+l определяют с помощью формулы l – максимальная длина очереди Вероятность P0 подсчитывают по формуле Среднее число каналов, занятых в обслуживании, и коэффициент занятости определяются: Среднее число свободных аппаратов и коэффициент простоя определяются: Средняя длина очереди определяется с помощью выражения: ПРИМЕР. На автозаправочной станции установлены три колонки для выдачи бен­зина. Около станции находится площадка на три машины для их ожидания в очереди. На станцию прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной ма­шины 1мин. Требуется определить вероятность отказа и среднюю длину очереди. Таким образом, Pотк = 0,048, Мож = 0,35 машины. Системы массового обслуживания с ожиданием. СМО с ожиданием аналогична системе массового обслуживания с ограниченной длиной очереди при условии, что граница очереди отодвигается в бесконечность. Вероятность состояний СМО с ожиданием находят по формулам: При ρ / N > 1 наблюдается явление «взрыва» - неограниченный рост средней длины очереди, поэтому для определения P0 должно выполняться ограничивающее условие ρ / N < 1, и с учетом его запишем выражение: К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят: Вероятность наличия очереди Pоч, т.е. вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов: Коэффициент простоя K0 и коэффициент загрузки K3 каналов обслуживания системы: ПРИМЕР. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсив- ность потока судов равна 0,8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины. Найти среднее время пребывания судна в порту. Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. В сис­темах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания время ожидания в очереди каждого требования ограничено случайной величиной tож, среднее значение которого Величина, обратная среднему времени ожидания, означает среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования: v = 1/ При наличии в очереди k требований интенсивность потока покидающих очередь требований составляет kv. Для дальнейшего рассмотрения СМО с ограниченным временем ожидания введем новый параметр , означающий среднее число требований, покидающих систему необслуженными, приходящиеся на среднюю скорость обслуживания требований. Формулы для определения вероятностей состояний такой системы имеют вид: В практических задачах сумму бесконечного ряда вычислить достаточно просто, так как члены ряда быстро убывают с увеличением номера. Средняя длина очереди: Вероятность отказа: Среднее число занятых каналов обслуживания и коэффициент загрузки: Среднее число свободных каналов обслуживания и коэффициент простоя: Относительная пропускная способность: ПРИМЕР. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей λ=6 посетителей в час. Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом μ=3 посетителей в час. Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, ν=1 посетитель в час. Найти абсолютную пропускную способность пункта. Имеем: m=З, λ=6, μ=3, ν=1. Находим: р = λ /μ = 6 / 3 = 2 , Вероятность занятости всех приборов равна Рзан = 1 – Р0 = 0,87. Тогда абсолютная пропускная способность может быть получена как произведение: А = NРзан = 3 • 0,87 = 2,61. Таким образом, А = 2,61 посетителя в час. Замкнутые системы массового обслуживания. В замкнутых системах массового обслуживания источник требований находится внутри системы, и интенсивность потока требований зависит от состояния самой системы. Чаще всего потоком требований в такой системе является поток неисправностей от некоторой группы работающих устройств. Пусть имеется m работающих устройств, ко­торые могут выходить из строя за счет неисправностей. Имеется также N приборов (ка­налов) обслуживания этих требований. В качестве таких каналов могут выступать и лю­ди. Обычно предполагают, что N < m. Обозначим через S0 состояние, при котором все устройства работают, а приборы обслуживания не заняты; S1 - состояние, при котором одно устройство вышло из строя и обслуживается одним прибором обслуживания; SN — N устройств не работают и все приборы заняты обслуживанием; Sm - все устройства не работают, из них N обслужива­ются и m - N и ждут обслуживания. Вероятности состояний замкнутой системы определяются следующими зависимо­стями: Средняя длина очереди: Коэффициент простоя требований в СМО: Среднее число требований в СМО: Среднее число свободных каналов и коэффициент простоя каналов K0 : Вероятность занятости каналов обслуживания: Абсолютная пропускная способность: ПРИМЕР. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков. Имеем: n=1, m=3, λ=2, Тобс=1/6, μ=6. Находим: ρ = λ /μ = 1/ 3 , Определяем вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием: Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час. Следовательно, абсолютная способность находится как произведение: ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ: Задание 1. Четырехканальный концентратор имеет буфер емкостью 10 Мб. Пакеты данных поступают на концентратор с интенсивностью 51 пакетов в секунду. Пакеты, поступившие в момент, когда заняты все каналы, выстраиваются в очередь в буфере обмена, если он занят - получают отказ. Средняя скорость одного канала 256 Кб в секунду. Определить абсолютную пропускную способность канала концентратора при среднем размере пакета 2 Кб. Найдём нагрузку системы: Вычислим вероятность состояний СМО с отказом: Найдём вероятность отказа системы от обслуживания: Найдём вероятность обслуживания пакетов: Отсюда вычислим абсолютную пропускную способность системы: . Задание 2: Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью 2 состава в час, представляет собой СМО с неограни­ченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет показательное распределение со средним значением времени 20 мин. Найти среднее число составов в очереди, среднее время пребывания состава в СМО, среднее время пребывания состава в очереди. Найдём интенсивность потока обслуживаний: Отсюда найдём нагрузку системы: Вычислим вероятность состояний СМО с ожиданием: Найдём среднее число составов в очереди: Вычислим суммарное время, которое проводят в очереди составы, поступившие в систему за единицу времени: Найдём среднее время, которое проводит составы в СМО: .