Интегрирование особых классов функций

Тема. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной ЛЕКЦИЯ 9 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОСОБЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 2. Интегрирование тригонометрических функций 2.1. Интегралы вида m n  sin x cos xdx , (1) где m и n − целые числа. Рассмотрим следующие случаи: а) Если m − нечётное положительное число, то применяется подстановка t  cos x ; n − нечётное положительное число, то подстановка t  sin x . Пример 1.  sin 5   x  cos 4 xdx   sin x  sin 4 x  cos 4 xdx   sin x  sin 2 x  cos 4 xdx   sin x  1  cos x  2 2  cos 4 xdx  cos x  t  1 t2  sin xdx  dt   2  2   t5  cos 5 x t7 t9  cos 7 x cos 9   t  2t  t  dt    2    C   2  7 9 7 9 5  5  4 6 8   t 4   dt     1  2t 2  t 4  t 4 dt   x   C .  Пример 2.   3 sin x  t cos xdx  dt cos 7 xdx cos 2 x cos x  dx (1  t 2 ) 3    dt   sin 4 x  cos 2 x  1  sin 2 x   t 4 sin 4 x  cos 2 x  1  t 2 1  3t 2  3t 4  t 6 dt dt 1 3 1 dt   4  3 2  3 dt   t 2 dt   3   3t  t 3  C  4 t 3 t t t 3t 3 1 3 sin x    3 sin x   C. 3 3 3 sin x sin x  б) Если n и m − чётные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени (порядка): sin 2 x  1  cos 2 x 1  cos 2 x , cos 2 x  . 2 2 Пример 3. 4 1 1  1  cos 2 x  4 2 2 2  sin xdx   sin x dx    2  dx  4  (1  cos 2 x) dx  4  (1  2 cos 2 x  cos 2 x)dx    2  1 1 1 x 1 1 1  cos 4 x x sin 2 x 1 1  cos 4 x dx   cos 2 xdx   cos 2 2 xdx   sin 2 x   dx     dx   4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 2  x sin 2 x 1 x sin 2 x x sin 4 x 3x sin 2 x sin 4 x    1  cos 4 x dx     C     C. 4 4 8 4 4 8 32 8 4 32 Пример 4. 2  1  cos 2 x   1  cos 2 x  2 4 2 2  sin x  cos xdx   sin x  cos x dx    2    2  dx   2    (1) ( 2)  1 1 1 2 2 2 2   (1  cos 2 x)  1  cos 2 x dx   sin 2 x  1  cos 2 x dx    sin 2 x  dx   sin 2 x  cos 2 xdx   8 8 8  формула понижения формула замены  переменной  порядка  интеграл (2) sin 2 x  t 1  1  cos 4 x 1 1  1 t3  2 dt   C     dx  t     x  sin 4 x     2  8 2  4 3  sin 2 x  dx  t dt 8   2 2 cos 2 xdx  dt  1  1 t3  1  1 sin 3 2 x  C /   x  sin 4 x    C    x  sin 4 x  16  4 3 16  4 3  в) Если n + m − чётное отрицательное целое число, то применяют подстановку t  tgx или t  ctg x . Пример 5. m  5; n  3 m  n  5  3  8  0  t  tgx  sin 5 1 dx  dt  1 dx 3 x  cos x cos 2 x Основное тригонометрическое тождество : 1  tg 2 x   преобразуем подынтегральное выражение, выделив в нём выражения из промежуточного действия  1 cos 2 x 1 3 1  1  dx dx   5 dx   5      6 2 2 tg x  cos x  cos x tg x  cos x  cos 2 x 1 sin 5 x  cos 5 x  cos 2 x  cos x 5 cos x t  tgx     3 1 dx 1   1  tg 2 x   t dt  tgx dx   5  1  t 2 5 2 tg x cos x t 1 dt  dx cos 2 x  3  dt   1  3t 2  3t 4  t 6 dt  t5 3  t 4 t 3 t2 1 1 tg 2 x  5 3    t  3t   t  dt  3  3 ln t   C     3 ln tgx   C. t 4 3 2 2 4tg 4 x tg 3 x   2.2. Интегралы вида  Rsin x, cos x dx , где R − рациональная функция. Например, интегралы вида: dx  a sin x  b cos x  c , a 2  b2  0 . (2) С помощью универсальной тригонометрической подстановки (УТП) x 2dt 2t 1 t2 t  tg , sin x  , , , интегралы вида (2) dx  cos x  2 1 t2 1 t2 1 t 2 приводятся к интегралам от рациональных дробей (дробно-рациональных функций). x x 1  tg 2 2 2 ; cos x  sin x  x x 1  tg 2 1  tg 2 2 2 d x x 2 t  tg   arctgt  x  2arctgt  dx  dt 2 2 1 t2 2tg Пример 6. x 2 t  tg 2t 2dt dt 2 2 dx 1 t 1 t 1 t2   2   4 sin x  3 cos x  5  2 2 1 t 2t 1 t 8t  3  3t 2  5  5t 2 cos x  4 3 5 1 t2 1 t2 1 t2 1 t2 2dt dx  1 t2 sin x  dt dt dt dt 1  2  2    (t  2)  2 dt   C  2 2 t2 2t  8t  8 2  t  4t  4 t  4t  4 (t  2) 1  C x tg  2 2  2  2  Пример 7. t  tg x 2 2t 2dt dt 2 dx dt 1 t2 1 t 1 t2    2  2 2   9  8 cos x  sin x 2   2 2 1 t 8(1  t ) t  2t  17 t  2t  17 2t cos x  9  1 t2 1 t2 1 t2 1 t2 2dt dx  1 t2 sin x  1) t 2  2t  17  t 2  2  t  1  12  12  17      t 2  2t  1  16  t  1  16 2) t  1  y; dt  dy 2  2 dy 1 y  2   arctg  C  4 4 y  16 2 x tg  1 1 t 1 1  arctg  C  arctg 2  C. 2 4 2 4 2.3. Интегралы вида  sin mx cos nxdx ,  cos mx cos nxdx ,  sin mx sin nxdx . Интегрируются на основании тригонометрических формул: sin mx cos nx  1 sinm  n x  sinm  n x , 2 (3) 1 cosm  n x  cosm  n x , 2 1 sin mx sin nx  cosm  n x  cosm  n x , 2 cos x   cos x , sin x    sin x . cos mx cos nx  Пример 8.  sin 7 x sin 2 xdx  2  cos 5x  cos 9 x   dx  2  cos 5xdx  2  cos 9 xdx  10 sin 5x  18 sin 9 x  C. 1 1 1 1 1 Пример 9.  sin 10 x cos 7 x cos 4 xdx   sin 10 x  cos 7 x cos 4 x   dx   sin 10 x  2  cos11x  cos 3x   dx  1 1 1 1 1 1 1 sin 10 x cos 11xdx   sin 10 x cos 3xdx   sin 21x  sin  x dx   sin 13x  sin 7 x dx   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1   sin 21xdx   sin xdx   sin 13xdx   sin 7 xdx  4 4 4 4   1 1 1 1 cos 21x  cos x  cos13 x  cos 7 x  C. 84 4 52 28 3. Интегрирование иррациональных функций 3.1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид n q g xm , x p , xs , то с помощью подстановки x  t k , где k − наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, q, g , (k=НОК( n, q, g )) подынтегральное выражение преобразуется в рациональную дробь. Если вместо х под корнем будет стоять выражение вида ax  b , то решение аналогично ax  b  t k 3.2. Интегралы вида  R x, n ax  b dx преобразуются в интегралы от рациональных    дробей с помощью подстановки ax  b  t n , x     1 n t b . a  ax  b  3.3. Интегралы вида  R x, n  dx рационализируются с помощью подстановки cx  d   ax  b n . t cx  d 3.4. Интегралы вида   в)  Rx,    a dx а)  R x, a 2  x 2 dx , б)  R x, x 2  a 2 dx , 2 x2 интегрируются с помощью тригонометрических подстановок: а) x  a sin t или x  a cos t , б) x  a tgt или x  a ctgt , в) x  a a или x  . cos t sin t Пример 10. 1  2x  t 4 ;  dx 1  2x  4 1  2x   2dx  4t 3 dt   dx  2t 3 dt  2t 3 dt t 2 dt t 2 11   2   2  t  1  t  1 dt  t2 t  t 2 1 1  1   t  1  t  1 1   dt  2   2    dt  2    t  1    dt  t 1 t 1  t 1     t 1 t 1   t2   2    t  ln t  1   C  2t 2  2t  2 ln t  1  C  2    1  2 x  24 1  2 x  2 ln 4 1  2 x  1  C. Пример 11. 3 x 1  4 x 1  ( x  1)1  6 x 1 x  1  t k ; k  НОК 3,4,6  12  x 1  t ;  dx   dx  12t dt 12 11 (t 4  t 3 )12t 11dt (t 3  t 2 )12t 12 dt    t 12 (1  t 2 ) t 12 (1  t 2 )  t3   t3  t  t t3  t2 t2 t 2 11   12 2 dt  12  2 dt   2 dt   12    2 dt   2 dt   t 1 t  1  t 1  t 1  t 1       t  t 2 1  t   t 2 1 1  t  1     12    dt   2 dt   12     t  2  dt   1  2  dt   2 t 1 t 1  t  1    t  1   dy t2 1  y tdt dt t2  12  tdt  12  2  12  dt  12  2  2tdt  dy  12   12   2 12t  12arctgt  2 y t 1 t 1 dy tdt  2  6t 2  12t  6 ln y  12arctgt  C  6t 2  12t  6 ln t 2  1  12arctgt  C  2 x  1  t 12  t  x  1 1 12  2 1 1 1 1      6   x  112   12x  112  6 ln   x  112   1  12arctg  x  112  C       66 x  1  1212 x  1  6 ln( 6 x  1  1)  12arctg12 x  1  C. Замечание (по примеру 11). t3  t2 Дробь 2 - неправильная, следовательно, ее необходимо путем деления t 1 числителя на знаменатель представить в виде многочлена и правильной рациональной дроби: t3  t2 2  t 1 2 (произведите деление столбиком, чтобы в 2 t 1 t 1 этом убедиться). В решении примера 11 приведен другой алгоритм, основанный на выделении в числителе каждой из дробей её знаменателя.