Интегрирование функций комплексного переменного

Лекция 5. Интегрирование функций комплексного переменного. Вопросы: 1. Интеграл от функции комплексного переменного. 2. Основная теорема Коши. 3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. 4. Интегральная формула Коши и ее следствия. 5. Решение задач. 1. Интеграл от функции комплексного переменного. Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости С, заданную параметрическими уравнениями: . (1) Здесь – действительные функции действительного переменного t, имеющие непрерывные производные на ( α , β ), которые не обращаются в нуль одновременно. Уравнения (1) можно записать в компактной форме (2) Уравнения (1) и (2) не только определяют точки кривой, но и задают направление обхода кривой. Кривая Г с заданным на ней направлением называется ориентированной кривой. Пусть в области D задана непрерывная функция , и пусть кривая Г лежит в области D. Определим дифференциал тогда . Интеграл от комплексной функции по кривой Г определяется равенством: , в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций . Для вычисления этих интегралов вместо следует подставить , а вместо dx и dy подставить дифференциалы этих функций: dx=, dy= Определение 1. Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по формуле . Пример: Вычислить интеграл от по окружности радиуса r с центром в точке a с направлением обхода против часовой стрелки. Решение: – уравнение окружности, При , a при . и значение интеграла не зависит от радиуса r окружности. Свойства интеграла 1) свойство линейности 2) свойство аддитивности: если Г=Г1 U Г2 ; 3) При изменении направления обхода кривой Г интеграл меняет знак. 4) 2. Основная теорема Коши. Рассмотрим теперь интегралы от аналитических (однозначных) функций. Важную роль играет следующее утверждение. Теорема 1. (теорема Коши для односвязной области) Пусть аналитическая в односвязной области D. Тогда для любого замкнутого контура Г, лежащего в D, Доказательство: Если и – непрерывные действительные функции в односвязной области D, имеющие непрерывные частные производные первого порядка, то равенстворавносильно условию . Для аналитической функции выполняются условия Коши-Римана:, откуда следует, что , что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь обобщение теоремы Коши на многосвязные области. Теорема 2. (Теорема Коши для n-связной области) Пусть аналитическая в замкнутой n-связной области , тогда интеграл от функции по границе области равен нулю; при этом предполагается, что обход граничных кривых прoводится в таком направлении, чтобы область D оставалась слева. Доказательство. Пусть, например, D – трехсвязная область, ограниченная контурами Г1, Г2, Г3 и Г*=Г1 U Г2 U Г3 – граница области D. Разрежем область D по дугам АВ и СЕ, т.е. удалим из D все точки этих дуг. При этом получим односвязную область D*, граница Г* которой состоит из контуров Г1, Г2, Г3 и дуг АВ и СЕ. При обходе этой границы контуры Г1, Г2, Г3 проходятся однократно, а дуги АВ и СЕ проходятся в противоположных направлениях. Поскольку область D* односвязная, то согласно теореме 1 интеграл по ее границе Г* равен нулю, а в силу свойства 2) аддитивности интеграл по Г* распадается на сумму интегралов по участкам, составляющим Г. Следовательно По свойству 3) интегралы по АВ и ВА, а также по СЕ и ЕС отличаются лишь знаками и поэтому сокращаются. Таким образом, и теорема доказана. Теорему 2 можно сформулировать в более общей форме: Пусть аналитическая в замкнутой n-связной области и все граничные контуры Г1, Г2,… , Гn обходятся в одном направлении, тогда , где Г1 – внешний контур, охватывающий все остальные внутренние. Замечание. Теорема 2 эквивалентна условию независимости интеграла от пути интегрирования: интеграл зависит не от пути, а только от его начальной и конечной точек. Следствие. Пусть аналитическая функция в односвязной области D и пусть a и b – любые две точки из D. Тогда по всем кривым из a в b, лежащим внутри D , сохраняет свое значение. 3. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция аналитическая в области D. Определение 1. Функция называется первообразной функции в области D, если для любой z D. Все первообразные функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную: , где С - постоянная. Определение 2. Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных этой функции. Выберем теперь две точки и z в области D и рассмотрим интеграл (3) вычисленный по какой-либо кривой, идущей от точки к точке z и лежащей в области D. Так как область D односвязна, то этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Если зафиксировать точку , то интеграл (3) зависит только от точки z и, следовательно, является в D однозначной функцией переменного z. Определение 3. Интеграл называется неопределенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Теорема 3. Пусть функция аналитическая в односвязной области D и – некоторая фиксированная точка из D. Тогда функция также аналитическая в области D и является первообразной функции Теорема 4. Если аналитическая функция в односвязной области D, то справедлива формула Ньютона-Лейбница , где – любая первообразная , точки z0 , z1 ϵ D, и интегрирование ведется по любому пути из точки z0 в точку z1, лежащему в D. Пример: Замечание: Область D должна быть односвязной, в противном случае может зависеть от пути интегрирования и определяемая им функция будет многозначной. 4. Интегральная формула Коши и ее следствия. Интегральная формула Коши выражает фундаментальное свойство аналитических функций. Если аналитическая в замкнутой области , то ее значения внутри области D могут быть вычислены по значениям функции на границе. Теорема 5. Пусть – аналитическая функция в замкнутой области (односвязной или n-связной). Тогда значение функции в любой внутренней точке z выражается через ее значения на границе Г области D по интегральной формуле Коши: (4) Теорема 6. Пусть – аналитическая функция в замкнутой области Тогда в каждой внутренней точке z функция имеет производные всех порядков, которые вычисляются по формулам Коши для производных: = , n=1,2,3… (5) Замечание: Из существования в некоторой области D первой производной следует существование всех ее производных любого порядка. Производная аналитической функции является аналитической функцией (в отличие от функций действительного переменного) Теорема 7 (теорема о среднем). Пусть функция аналитическая в замкнутом круге радиуса R с центром в точке z0, тогда значение функции в центре кругаравно среднему арифметическому ее значений на границе - окружности : Теорема 8 (неравенства Коши для производных аналитической функции). Если – аналитическая функция в замкнутом круге то все ее производные в точке удовлетворяют неравенству , где М=max на окружности Теорема 9 (теорема Лиувилля). Если функция является аналитической и ограниченной во всей комплексной плоскости С , то функция тождественно равна постоянной. Теорема 10 (теорема Морера). Пусть однозначная функция непрерывна в односвязной области D и по любому замкнутому контуру Г D, тогда – аналитическая функция в области D. 5. Решение задач. Задача 1. Вычислить интеграл от функций комплексного переменного по данной кривой. где AB = {}; АВС - ломаная соединяющая точки А(0), В(i), C(1); АВС - ломаная соединяющая точки . , где Г – часть окружности Решение. где AB = {1} A = 0, B = , L – дуга параболы , начало которой находится в точке z1 =0, а конец в точке Кривая АВ задается уравнением Введем параметр t: AB: z = t + , 0 ≤ t ≤ 1. 1 способ: 2 способ: по формуле Ньютона-Лейбница Ответ: АВС- ломаная соединяющая точкиА(0), В(i), C(1); Первый способ: На отрезке АВ: x=0, y=t, 0 ≤ t ≤ 1, z ( t ) = 0 + i t, 0 ≤ t ≤ 1. d z = i d t, = (= На отрезке BC: = По ломаной АВС: Второй способ Ответ: кривая Г - ломаная АВС, соединяющая точки . На отрезке АВ: , x=t, y=t+1, . На отрезке ВС: , , , = = . Ответ: , где Г – часть окружности Для всех точек окружности Г: , z=r=2, =2 . Вычислим интеграл при =2+== -4( Ответ:= Задача 2. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы: 1) , 2) где Г:, 3) Г: , Г:, 5) , где Г: = π. 6) где Г:. 7) где 8) . 9) Решение. 1) . Поскольку z2, то подынтегральная функция имеет две особые точки ±2i, причем точка 2i лежит внутри контура . Представим интеграл в виде = при этом функция является аналитической в замкнутом круге, ограниченном контуром Г. Вычислим теперь, используя формулу, значение функции в точке . По интегральной формуле Коши (4) Ответ: 2) , Г:. Точка z=2 находится внутри круга , а функция аналитическая в замкнутом круге , и согласно формуле (5) Следовательно, , и потому . Ответ: Г : . Поскольку z2, то подынтегральная функция имеет две особые точки ±πi, причем точка лежит внутри контура . Представим интеграл в виде = при этом функция является аналитической в замкнутом круге, ограниченном контуром . Вычислим теперьзначение функции в точке . По интегральной формуле Коши (4) = = Используя формулу, теперь получим =. Ответ. 4Г:. Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге и согласно формуле (5) при п = 3 . Для функции имеем , , . я м точка чим пользуя формулу Ответ 5) , где Г: =π. Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге и согласно формуле (4) Ответ 6) где Г:. Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге , и по интегральной формуле Коши (4) Ответ: 7) где Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге , и согласно формуле (5) . Для функции имеем . Ответ: 8) . Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге и согласно формуле (5) при п = 3 . Для функции имеем , . Ответ: 9) Точка находится внутри круга , а функция является аналитической в замкнутом круге и согласно формуле (5) при п = 1 . При этом и . . Ответ: .