Интегральное исчисление функций одной переменной.

Раздел 3 Интегральное исчисление функций одной переменной. Раздел 3. Неопределенный интеграл 1. Первообразная. Неопределенный интеграл. 2. Таблица основных интегралов. 3. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 5. Метод интегрирования по частям. 6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. 7. Интегрирование рациональных дробей. Раздел 4. Определенный интеграл 1. Задачи геометрического и физического содержания, приводящие к понятию определенного интеграла. 2. Определение определенного интеграла. Основные свойства. 3. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. 4. Формула Ньютона - Лейбница. 5. Замена переменной в определенном интеграле. 6. Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. 7. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах. 8. Вычисление длины дуги плоской кривой. Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если или . Если функция имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выраженииF(x)+C, где C-постоянная. Неопределённым интегралом от функции f(x) (или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех её первообразных. Обозначение f(x)dx=F(x)+C. Здесь - знак интеграла, f(x)-подынтегральная функция, f(x)dx-подынтегральное выражение, x-переменная интегрирования. Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции. Свойства неопределённого интеграла 1. 2. 3. 4. где a-постоянная. 5. . 6. Если и u=(x), то . Таблица основных неопределенных интегралов. 1. . 8. . 2. . 9. . 3. . 10.. 4. . 11.. 5. . 12.. 6. . 13.. 7. . 14.. 15.. Основные методы интегрирования 1) Непосредственное интегрирование Пример 1. Найти интеграл . Используя свойства 4 и 5 , получаем =2. К первым трём интегралам правой части применим формулу 2, а к четвёртому интегралу –формулу 1: =. Пример 2. Найти интеграл. Этот интеграл можно привести к формуле 2, преобразовав его так: =. Теперь переменной интегрирования служит выражение и относительно этой переменной получается интеграл от степенной функции. Следовательно, =. 2) Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопре­деленном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: 1) x=(t), где (t)-монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ; 2) u=(x), где и—новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: f[ (x)]'(x)dx =f(u)du. Пример 1. Найти интеграл . Произведем подстановку , т. е. x=t3. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx=dt. Отсюда получаем = Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в результат интегрирования , получим =. Пример 2. Найти интеграл , если a>0. Разделив числитель и знаменатель на a, получаем =. Принимая x/a за новую переменную, получим =. 3) Интегрирование по частям. Интегрирование по частям называется на­хождение интеграла по формуле где u=(x), v=(х)—непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы, нахождение интеграла иdv сводится к отысканию другого интеграла; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упро­щается, а за dv—та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой из­вестен или может быть найден. Так, например, для интегралов вида , где P (х)— многочлен, за и следует принять Р (х), а за dv—соответственно выражения , sin axdx, cos axdx; для интегралов вида за и принимаются соответст­венно функции ln х, arcsin x, аrссos x, а за dv—выражение Р (х) dx. Пример. Найти интеграл ln xdx. Положим u=lnx, dv=dx; тогда v=x, du=. Используя формулу ин­тегрирования по частям, получаем ln xdx=x ln x-=x ln x-=x ln x-x+C=x(ln x-1)+C. Понятие определенного интеграла. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M m 0 a xi b x Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции. [x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn. Составим суммы: n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn = n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn = Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой. Т.к. mi  Mi, то n  n, а m(b – a)  n  n  M(b – a) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn = Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi Следовательно, Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если , то Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. Обозначение : а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. 1) 2) 3) 4) Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. 8) Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что Теорема Ньютона-Лейбница. Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х. Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x). Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). Тогда если 1) () = а, () = b 2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ] 3) f((t)) определена на отрезке [, ], то Тогда Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. Пример. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку, Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = /2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий. Интегрирование по частям. Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: Вычисление площади плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x)[f(x)0], Прямыми х=а и х=b и отрезком [а,b] оси Ох, вычисляется по формуле . Площадь фигуры, ограниченной кривыми y= и и прямыми x=a и x=b, находится по формуле