Интеграл Дюамеля

ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ Переходная проводимость Ток на входе цепи с одним источником ЭДС можно представить как произведение ЭДС на входную проводимость цепи (1) i U g При переходном процессе проводимость является функцией времени g(t). Тогда при постоянной ЭДС и нулевых начальных условиях i(t ) U g(t ) (2) g(t) называют переходной проводимостью. Если принять U = 1B, то численно i ( t ) g ( t ) Таким образом, для определения входной проводимости необходимо рассчитать переходный процесс при E = 1В. Существенно, что можно определить не только входную проводимость, но и взаимную между ветвью, где включена ЭДС и ветвью, где фиксируется ток – gij(t). Если фиксируется переходное напряжение на элементе цепи, то оно может определяться через переходную функцию по напряжению: u ij U h(t ) Таким образом, чтобы определить переходные проводимости или функции по напряжению, достаточно рассчитать переходный процесс при воздействии на входе цепи при нулевых начальных условиях ЭДС, равной 1 В. Интеграл Дюамеля Условимся переменную, по которой производится интегрирование, обозначить как , а под t будем понимать момент времени, в который требуется определить изменяющийся параметр цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями подключается напряжение u() (рис.1). u( u  du  u(  )   dt u(    t – –  t Для нахождения тока в цепи заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения u(0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием. Ток в цепи от действия напряжения u(0) будет равен i(t ) u(0) g(t ) В момент времени  возникнет скачок напряжения du u   u(  )  dt Для того, чтобы найти ток от этого скачка в момент времени t, необходимо u(  )  умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени t. Это время равно t – Следовательно, приращение тока от этого скачка равно u(  ) g(t  – )  Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем токи от всех ступенек и прибавим их к току u(0) g(t ) i(t ) u(0) g(t )   u(  ) g(t     )  Заменим конечный интервал времени  на бесконечно малый d и перейдем от суммы к интегралу t i(t ) u(0) g(t )  u(  ) g(t   ) d Формулу (3) называют интегралом Дюамеля. (3) Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа: • определяют переходную проводимость g(t) или переходную функцию h(t); • определяют g(t – ) или h(t – ). С этой целью в формулах g(t) и h(t) заменяют t на t –  • определяют u(  ) . Для этого находят производную от u(t) и в полученном выражении заменяют t на ; • решают уравнение (3). Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения Пусть напряжение u(t) изменяется во времени по сложному закону, например, как это изображено на рис. 2. u( ua a u1(t b ub u2(t u( uc c  t1 Рис. 2. t2 Интегрирование по-прежнему проводим по , понимая под t фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. Ток в любой момент времени t всех напряжений, воздействующих на цепь до момента t. В интервал времени от до  = t1 t1 i(t ) u(0) g(t )  u(  ) g(t   ) d В интервал времени от t1до  = t2 t1 i(t ) u(0) g(t )  u1 (  ) g(t   ) d  t2  (u b  u a ) g(t  t 1 )  u2 (  ) g(t   ) d t1 В интервал времени от t2до  > t2 t1 i(t ) u(0) g(t )  u1 (  ) g(t   ) d  t2  (u b  u a ) g(t  t 1 )  u2 (  ) g(t   ) d  t1 (0  u c ) g(t  t 2 ) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ U ВОЗДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСОВ НАПРЯЖЕНИЯ U Рассмотрим переходные процессы от действия импульсов, изображенных на рис.3. а б u t t t1 t1 u1 t1 t2 u1 = kt t1 t t u2 –U t1 u2 = –2kt u3 u3 = kt t2 Рис. 3. t Переходный процесс от действия таких импульсов можно рассчитать через интеграл Дюамеля. А можно рассматривать как от действия нескольких напряжений. Например, для импульса (рис. 3а) i(t ) U g(t )  U g(t  t 1 ) Для импульса (рис. 3а) t t i(t )  k g(t   ) d   2k g(t   ) d  t1 t  k g(t   ) d t2 Фиксированы только нижние пределы интегралов. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ И ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ Обратимся к четырехполюсникам рис. 4. а б C U1 R U1 в R U1 U2 R C г L U2 Рис. 4. U1 U2 L R U2 Считаем, что известна самая высокая частота гармонической составляющей входного напряжения. Если для этой частоты 1 R , то напряжение u2 для любой выполнить условие C гармонической составляющей схемы рис. 4а будет пропорционально производной напряжения u1. u 2 u1 RC du 1 dt В схеме рис. 4б при условии R L напряжение u2 для любой гармонической составляющей схемы также будет пропорционально производной напряжения u1. L du 1 u 2 u1   R dt Т.е., четырехполюсники рис. 4а и 4б являются дифференцирующими звеньями. Не трудно показать, что четырехполюсники рис. 4в и 4г интегрируют входное напряжение, если соблюдаются 1 R и R L при самой низкой частоте первой условия C гармоники входного напряжения . В схеме 4в напряжение на выходе В схеме 4г u1 u2  u1dt RC R u 2 u1  u1dt L На практике применяются RC – схемы, как малогабаритные и простые в изготовлении.