Информационное обеспечение технологии соединения материалов. Дифференциальные уравнения. Линеаризация

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники и электроники» МГУПИ СОГЛАСОВАНО Начальник учебно-методического отдела Института высоких технологий _________Боровик Т.Н. «____»______________20____г. УТВЕРЖДАЮ Директор Института высоких технологий ___________________Кондратенко В.С. «____»_____________________20____г. Лекция №2 по теме 1 «Теория Автоматического Управления (ТАУ)» дисциплины 32347 «Управление в технических системах» (Индекс и наименование дисциплины (модуля)) Специальность/направление _________15.03.01 «Машиностроение»_____________ Специализация/профиль «Информационное обеспечение технологии соединения материалов» Квалификация выпускника ______________________бакалавр_________________________ Форма обучения ___________________очная______________________ (очная, очно-заочная, заочная) Москва 2015 г. 2.4 Дифференциальные уравнения. Линеаризация Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему. Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при декомпозиции системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной. Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы. Однако такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда. Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений. Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке 1.17. Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х0, у0) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рисунок 1.17), уравнение которой определяется по формуле , где и - частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения х = х - х0 и у = у - у0. Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным (, , и т.д.). Итоговое уравнение в приращениях будет содержать приращения производных: х’ = х’ – х’0, х” = х” – х”0, … , y’ = y’ – y’0, y” = y” – y”0, и т.д. Пример. Линеаризация нелинейного ДУ. 3xy - 4x2 + 1,5y = 5 + y Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1, = 0, = 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ: 3у0 - 4 + 0 = 0 + у0, откуда у0 = 2. Введем в рассмотрение функцию F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y и определим все ее производные при заданных начальных условиях: = (3у - 8х= 3*2 - 8*1 = -2, = (3х + 1,5x’ - 1= 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2, = (1,5у= 1,5*2 = 3, = -5. Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ: -5.y’ + 2.y + 3.х’ - 2.х = 0.  Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле , то есть в данном случае нет необходимости искать производные по у. 2.5 Преобразования Лапласа Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида , (2.1) где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что и , (2.2) то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s). Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением. Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s). Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы sn, знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s). Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа Оригинал x(t) Изображение X(s) -функция 1 1 t t2 tn e-t .x(t) .X(s) x(t - ) X(s).e-s sn.X(s) Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение) Изображение X(s) Оригинал x(t) a  R, M  R (a и М - действительные числа) M.e-t a =  + j.  M = C + j.D (a и М – комплексные числа) 2.e*t.[C.cos(.t) - D.sin(.t)] для пары комплексных корней Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа: , (2.3) где f(t) - оригинал, F(j) - изображение при s = j, j - мнимая единица,  - частота. Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в [22, 23]. Существует несколько теорем преобразования Лапласа. Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f1 имеет изображение F1(s) (или более кратко f1  F1(s) ), f2  F2(s) и т.д., то a1.f1 + a2.f2 + … + an.fn  a1.F1(s) + a2.F2(s) + … + an.Fn(s). Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения: f’(t)  s.F(s) – для первой производной, f ”(t)  s2.F(s) – для второй производной, f(n)(t)  sn.F(s) – для n-й производной. При ненулевых начальных условиях: f’(t)  s.F(s) – f(0) – для первой производной, f ”(t)  s2.F(s) – s.f(0) – f’(0) – для второй производной, f(n)(t)  sn.F(s) – sn-1.f(0) - sn-2.f’(0) - … - f(n-1)(0) – для n-й. Теорема 3. Теорема смещения. f(t).et  F(s - ). Например, если 1(t)  (см. таблицу 1.1), то 1.et  . Теорема 4. Теорема запаздывания. f(t - )  F(s) .e-s, где  - запаздывание по времени. Например, если 1(t)  , то 1(t - )  . Теорема 5. Теорема интегрирования. . Теорема 6. О начальных и конечных значениях. , , где f(0) – начальное значение функции (при t = 0), fуст – конечное (значение в установившемся режиме). Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения: единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = , дельта-функция X(s) = 1, линейное воздействие X(s) = . Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа. Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = . Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s): s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s) + 12X(s), s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2s + 12, Y(s)(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12. Определяется выражение для Y: . Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3): ==-+. Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции: y(t) = 2 - 4.e-2t + 2.e-3t.  При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи: - путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей, - путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам. Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей: шаг 1 – определяются корни знаменателя si (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s); шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где Мi – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то ему ставится в соответствие k дробей вида ; шаг 3 – определяются коэффициенты Mi по одному из вариантов расчета. Первый вариант. Определение Mi с помощью системы уравнений. Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней si и коэффициентов Mi). Решение системы относительно Mi дает искомые коэффициенты. Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s3 + 5s2 + 6s = 0 дает 3 корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s1) = (s + 2) и (s – s2) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби: ==++. Далее дроби приводятся к общему знаменателю: = . Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12): М0 + М1 + М2 = 0 M0 = 2 5.М0 + 3.М1 + 2.М2 = 2  M1 = -4 6.М0 = 12 M2 = 2 Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей: =-+. Второй вариант. Определение коэффициентов Mi по формулам. Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида . Для определения Mi существуют формулы для каждого вида корней: - Для нулевого корня si = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s.A1(s); тогда коэффициент Mi можно определить как . - Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) si: , где A’(s) – производная знаменателя по s. Примечание - Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида si = i  ji , где i – действительныя часть корня, i – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: Mi = ci  di. То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным. - Для корня si кратности k исходная дробь может быть представлена в виде ; данному корню соответствуют k дробей вида , коэффициенты которых определяются по формуле . Пример. Декомпозиция дроби. Рассматривается та же дробь, имеющая три корня: s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3. Для корня s0 = 0 имеем B(s) = 2.s + 12, A1(s) = s2 + 5s + 6 , . Для корня s1 = -2 имеем A’(s) = 3.s2 + 10.s + 6 и . Для корня s2 = -3 имеем аналогично . Видно, что коэффициенты Mi, полученные разными методами, совпадают. Пример. Случай обратного преобразования Лапласа при наличии комплексных корней. Изображение выходного сигнала имеет вид . Корни знаменателя включают нулевой корень, действительный и пару комплексных корней: s0 = 0; s1 = - 2,54; s2,3 = - 0,18  j*1,20. Изображение Y(s) разбивается на сумму четырех дробей: . Тогда оригинал y(t), согласно таблицам 1.1 и 1.2, имеет вид y(t) = y0(t) + y1(t) + y2,3(t) = M0 + + 2 еt [C . cos(.t) - D . sin(.t)], где  и  - действительная и мнимая части пары комплексных корней s2,3, C и D – действительная и мнимая части пары коэффициентов М2 и М3. Для корня s0 = 0: , , y0(t) = M0 = 0,85. Для корня s1 = -2,54: , , , y1(t) = . Для корней s2,3 = -0,18  j*1,20: , , , y2,3(t) =2 е-0,18t [-0,34 cos(1,20 t) - 0,24 sin(1,20 t)]. В итоге получаем оригинал: y(t) = 0,85 – 0,18 е-2,54 t – 2 е-0,18 t [0,34 cos(1,20 t) + 0,24 sin(1,20 t)]. 2.6 Передаточные функции 2.6.1 Определение передаточной функции Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы. Например, операторное уравнение 3s2Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s) можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга: Y(s)*(3s2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4) . Полученное выражение называется передаточной функцией. Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях. (2.4) Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной: , где B(s) = b0 + b1s + b2 s2 + … + bm sm - полином числителя, А(s) = a0 + a1s + a2 s2 + … + an sn - полином знаменателя. Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n). Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как Y(s) = W(s)*X(s). Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции. 2.6.2 Примеры типовых звеньев Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями. В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев. К простейшим типовым звеньям относятся: • усилительное, • инерционное (апериодическое 1-го порядка), • интегрирующие (реальное и идеальное), • дифференцирующие (реальное и идеальное), • апериодическое 2-го порядка, • колебательное, • запаздывающее. 1) Усилительное звено. Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления. Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 1.18). у = K.x. При ступенчатом воздействии h(t) = K. Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др. 2) Интегрирующее. 2.1) Идеальное интегрирующее. Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины: ; W(s) = При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 1.19): h(t) = K.t. Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима. Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться. 2.2) Реальное интегрирующее. Передаточная функция этого звена имеет вид W(s) = . Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.20): h(t) = K.(t – T) + K.T.e -t/T. Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения. 3) Дифференцирующее. 3.1) Идеальное дифференцирующее. Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной: ; W(s) = K*s При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (-функцию): h(t) = K.(t). 3.2) Реальное дифференцирующее. Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид W(s) = . Переходная характеристика: . Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки. 4) Апериодическое (инерционное). Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида ; W(s) = . Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х0. Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изоб ражение выходной величины: Y(s) = W(s) X(s) = = K x0 . Разложим дробь на простые: = + = = - = - Оригинал первой дроби по таблице: L-1{} = 1, второй: L-1{} = . Тогда окончательно получаем y(t) = K x0 (1 - ). Постоянная Т называется постоянной времени. Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рисунок 1.22). 5) Звенья второго порядка Звенья имеют ДУ и ПФ вида , W(s) = . При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х0 переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т1  2Т2) или колебательный (при Т1  < 2Т2). В связи с этим выделяют звенья второго порядка: • апериодическое 2-го порядка (Т1  2Т2), • инерционное (Т1  < 2Т2), • консервативное (Т1 = 0). 6) Запаздывающее. Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием. Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного. Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием : y(t) = x(t - ). Передаточная функция звена: W(s) = e-s. Примеры запаздываний: движение жидкости по трубопроводу (сколько жидкости было закачано в начале трубопровода, столько ее выйдет в конце, но через некоторое время, пока жидкость движется по трубе), движение груза по конвейеру (запаздывание определяется длиной конвейера и скоростью движения ленты) и т.д. 2.6.3 Соединения звеньев Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев: 1) Последовательное соединение. Wоб = W1.W2.W3… При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются. 2) Параллельное соединение. Wоб = W1 + W2 + W3 + … При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются. 3) Обратная связь Передаточная функция по заданию (х): «+» соответствует отрицательной ОС, «-» - положительной. Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона [26]. 2.6.4 Передаточные функции АСР Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор» (см. рисунок 1.27). Практически все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры. В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду. Если выход системы у не подавать на ее вход, то получается разомкнутая система регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение: W = Wp.Wy (Wp - ПФ регулятора, Wy - ПФ объекта управления). То есть последовательность звеньев Wp и Wy может быть заменена одним звеном с W. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W: Фз(s) = = . (далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку они используются в подавляющем большинстве АСР). Данная передаточная функция Фз(s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию). Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам: Фe(s) = = - по ошибке, Фв(s) = = - по возмущению, где Wу.в.(s) – передаточная функция объекта управления по каналу передачи возмущающего воздействия. В отношении учета возмущения возможны два варианта: - возмущение оказывает аддитивное влияние на управляющее воздействие (см. рисунок 1.29,а); - возмущение влияет на измерения регулируемого параметра (см. рисунок 1.29,б). Примером первого варианта может быть влияние колебаний напряжения в сети на напряжение, подаваемое регулятором на нагревательный элемент объекта. Пример второго варианта: погрешности при измерениях регулируемого параметра вследствие изменения температуры окружающей среды. Wу.в. – модель влияния окружающей среды на измерения. а) б) Рисунок 1.29 Для первого варианта передаточная функция Wу.в. принимается равной Wу, для второго – как правило, на схеме она выделена в отдельное звено. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробно-рациональной функцией вида W = , то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы: Фз(s) = = =, Фe(s) == =, где D = A + B. Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражениями числителей. Выражение знаменателя называется характеристическим выражением замкнутой системы и обозначается как Dз(s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы W, называется характеристическим выражением разомкнутой системы А(s). Пример. Определение передаточных функций АСР. Структура АСР представлена на рисунке 1.30. Требуется определить передаточные функции регулятора, объекта, разомкнутой системы, замкнутой системы и характеристические выражения. Рисунок 1.30 Параметры K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5. В структурной схеме АСР звенья, соответствующие регулирующему устройству, стоят перед звеньями объекта управления и генерируют управляющее воздействие на объект u. По схеме видно, что к схеме регулятора относятся звенья 1, 2 и 3, а к схеме объекта – звенья 4 и 5. Учитывая, что звенья 1, 2 и 3 соединены параллельно, получаем передаточную функцию регулятора как сумму передаточных функций звеньев: . Звенья 4 и 5 соединены последовательно, поэтому передаточная функция объекта управления определяется как произведение передаточных функций звеньев: . Передаточная функция разомкнутой системы: , откуда видно, что числитель В(s) = 1,5.s2 + 3.s + 1, знаменатель (он же характеристический полином разомкнутой системы) А(s) = 2.s3 + 3.s2 + s. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен: D(s) = A(s) + B(s) = 2.s3 + 3.s2 + s + 1,5.s2 + 3.s + 1 = 2.s3 + 4,5.s2 + 4.s + 1. Передаточные функции замкнутой системы: по заданию , по ошибке . При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда .  2.6.5 Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта. Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рисунок 1.31). Требуется определить вид и параметры передаточной функции. Предположим, что передаточная функция имеет вид (инерционное звено с запаздыванием). Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени,  - запаздывание. Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х: , Установившееся значение выходной величины ууст - это значение у при t  . Запаздыванием  называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у. Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой yуст; время Т определяется как интервал времени между этими точками. В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание доп, которое прибавляется к основному:  =  + доп.