Индивидуальная, локальная и конвективная производные

ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ А.Ф. МОЖАЙСКОГО Кафедра технологий и средств геофизического обеспечения войск УТВЕРЖДАЮ Начальник 52 кафедры Полковник И.Готюр «____» ___________ 201__ г. Лекция № 4 «Индивидуальная, локальная и конвективная производные» Разработчик: доцент 52 кафедры, д.ф-м.н. В.М. Краснов Материалы лекции обсуждены и одобрены на заседании кафедры “ 27 “ июля 2017 года, протокол №16 Санкт-Петербург 2020 Тема лекции: Индивидуальна, локальная и конвективная производные Учебные вопросы: 1. Физический смысл производных. 2. Градиент скалярных величин. Вопрос 1. Физический смысл производных Такие характеристики состояния жидкости, как температура, величина давления, плотность и ряд других представляют собой скалярные величины, зависящие как от координат точки, в которой они определяются, так и от времени: T  T ( x, y, z , t ) , p  p( x, y, z, t ) ,   ( x, y, z, t ) … Будем полагать, что задано поле одной из таких скалярных характеристик f  f ( x, y, z, t ) и ставится задача исследовать изменение этой характеристики во времени. Задача может быть рассмотрена с двух точек зрения. Во-первых, можно поставить вопрос об изменении f в зафиксированной точке потока по мере прохождения через эту точку различных частиц жидкости. Оно оценивается по показаниям прибора, неподвижно закрепленного в рассматриваемой точке, и его называют локальным или местным изменением. Если известно выражение f  f ( x, y, z, t ) , то за малый промежуток времени t локальное приращение f в точке ( x, y , z ) можно представить в виде: f t   , t где  - малая величина более высокого порядка, чем t . Предел отношения t f при t  0 , выражающий собой скорость изменения величины f в данной t неподвижной точке пространства, или, другими словами, приращение f за  t f  f ( x, y , z , t  t )  f ( x, y , z , t )  единицу времени, которое фиксируется неподвижным прибором, установленным в данной точке, называется локальной или местной производной величины f по времени. Очевидно, что lim t  0  t f f  , t t т.е. локальная производная определяется частной производной от f по времени. Знак производной характеризует собой возрастание или убывание f во времени, абсолютная величина ее – быстроту изменения f . f f t t t  t t Рис.4.1 2 Легко видеть, что если имеются обработанные результаты наблюдения с помощью самописцев давления или температуры (рис. 1), то для приближенного определения p T или достаточно взять на барограмме или t t термограмме приращение соответствующей величины за малый промежуток времени t и разделить это приращение на t . Очевидно, что барометрическую тенденцию, т.е. приращение давления на станции за 3 часа мы можем рассматривать как приближенное значение локальной производной давления, когда за единицу времени принят промежуток времени, равный 3 часам. В случае установившегося движения, по определению которого характеристики жидкости в любой зафиксированной точке пространства не претерпевают изменения, f  0. t Во-вторых, можно поставить вопрос об изменении величины f  f ( x, y, z, t ) во времени в зафиксированной частице жидкости по мере прохождения ее через различные точки потока. Это изменение оценивается по показаниям прибора, связанного с частицей и, значит, перемещающегося вместе с ней; его называют индивидуальным или субстанциальным изменением. Индивидуальное изменение f обусловлено, с одной стороны, изменением f в каждой точке пространства (имеющим место и в том частном случае, когда частица не движется) и, с другой, тем фактом, что частица перемещается из одной точки в другую. Иными словами, индивидуальное изменение f  f ( x, y, z, t ) определяется как непосредственной зависимостью f от времени, так и изменением во времени координат x, y , z частицы. Поэтому индивидуальное приращение f во времени за промежуток времени t можно представить следующим образом: f  f ( x  x, y  y, z  z , t  t )  f ( x, y , z , t )  f f f f t  x  y  z  1 , t x y z где порядок малости 1 выше, чем порядок t , x, y, z . f при t  0 , выражающий собой скорость изменения t величины f в зафиксированной частице, или, другими словами, приращение f Предел отношения за единицу времени, которое фиксируется прибором, связанным с движущейся частицей, называется индивидуальной или субстанциальной производной величины f по времени. Очевидно, что f f f dx f dy f dz df      , t  0  t t x dt y dt z dt dt lim т.е. индивидуальная производная определяется полной производной от f по времени, учитывающей как непосредственную зависимость f от t , так и зависимость от t координат x, y , z частицы. 3 Как видно из последнего выражения, индивидуальную производную можно представить в виде суммы двух слагаемых. Одно из них f t равно локальной производной и обусловлено непосредственной зависимостью f от времени, т.е. изменением f во времени в точке, через которую в данный момент проходит частица (и в ближайшей окрестности этой точки). Локальная производная не зависит от того, движется частица или нет, она целиком определяется полем величины f и равна нулю лишь в том случае, когда это поле стационарно. Второе слагаемое f dx f dy f dz   обусловлено изменением во времени x dt y dt z dt координат частицы, т.е. ее перемещением. Оно носит название конвективной производной и численно равно приращению f в единицу времени за счет смещения частицы из точки с одним значением f в точку с другим значением. Таким образом, индивидуальная производная равна сумме локальной и конвективной производных. Вопрос 2. Градиент скалярных величин Конвективную производную можно представить в различных формах, которые и определяют собой разные выражения для индивидуальной производной. Поскольку dx dy dz  vx ,  vy ,  vz , то dt dt dt f dx f dy f dz f f f    vx  vy  vz . x dt y dt z dt x y z Нетрудно истолковать физический смысл каждого слагаемого правой части и собственно конвективной производной. приращение f f x представляет собой на единицу длины в направлении оси Ox ; vx f x равно приращению f на расстоянии vx в том же направлении, т.е. приращению, обусловленному смещением частицы за единицу времени на расстояние vx в направлении оси Ox . Подобно этому v y f выражает собой приращение f , y обусловленное смещением частицы за единицу времени на расстояние v y в f . Сумма всех z производная, равна приращению f , направлении оси Oy , и аналогичное истолкование получает vz трех слагаемых, т.е. конвективная обусловленному одновременным смещением в направлении каждой координатной оси за единицу времени. Таким образом, выражение индивидуальной производной приобретает вид: df f f f f   vx  vy  vz . dt t x y z 4 (4.1) Напомним, некоторые понятия теории скалярного поля. Эквискалярной поверхностью называется поверхность, во всех точках которой данная скалярная функция f ( x, y, z ) имеет одно и то же значение, т.е. поверхность f ( x, y , z )  const . Если построены эквискалярные поверхности, соответствующие значениям функции f 0 , f 0  f , f 0  2f и т.д., т.е. такие, у которых переход от одной поверхности к соседней сопровождается изменением f на одну и ту же величину f , то густота расположения поверхностей характеризует собой быстроту изменения f : чем ближе друг к другу лежат поверхности, тем быстрее меняется f .  Производная скалярной функции f по направлению l представляет f , характеризующую приращение f при смещении на l  f f единицу длины в направлении l . При малых l  и, как легко видеть из l l собой величину рис. 2, это отношение оказывается по абсолютной величине тем большим, чем ближе l к направлению нормали к эквискалярной поверхности в данной точке.  n grad f n a l  l Рисунок 4.2 Градиент скалярной функции f , обозначаемый grad f или f , представляет собой вектор, направленный по нормали к эквискалярной поверхности в данной точке в сторону возрастания функции и равный по модулю производной функции по этому направлению. Таким образом, модуль градиента равен производной функции по направлению ее быстрейшего изменения: f f  . n  n Проекция градиента на направление l (рис. 4.2): f f grad l f  grad f cos a  cos a  n l  равна, как мы видим, производной функции f по направлению l . Отсюда grad f  следует, что проекции градиента на оси координат определяются выражениями grad x f  f f f , grad y f  , grad z f  , x y z т.е. grad f  f  f  f  i j k. x y z 5 (4.2) Рассмотрим скалярное произведение grad f  перемещения dr (dx, dy, dz ) : на вектор элементарного  f f f grad f  dr  dx  dy  dz , dx dy dz равно, таким образом, приращению f ( x, y, z ) при этом перемещении. Легко видеть, что конвективную производную можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов:     v  vx i  v y j  vz k и grad f  f  f  f  i j k, dx dy dz и записывать ее в виде  f f f v grad f  v x  vy  vz x y z Нетрудно этому выражению дать физическое истолкование: конвективная производная характеризует собой приращение f при смещении по линии тока на отрезок v за единицу времени, т.е. изменение f , вызванное изменением положения частицы в поле величины. Конвективная производная обращается в нуль в следующих случаях:  1. Когда v  0 , что соответствует отсутствию перемещения частицы. 2. Когда grad f  0 , что соответствует условиям, когда во всех точках, близких к данной точке, f имеет одну и ту же величину. При этом изменение положения частицы в пространстве само по себе не вызывает изменения f .  3. Когда v  grad f . Это имеет место в том случае, когда частица смещается по эквискалярной поверхности функции f . Выражение индивидуальной производной (1.3.1 )теперь можно записать в таком виде: df f    v grad f . dt t (4.3) В качестве примера запишем градиент для случая, когда f  p или f  v x . Имеем, что p  p  p  p  p p p  i j k,  , ,  x y z n  x y z  v  v  v  v  v v v  grad v x  x i  x j  x k , x   x , x , x  . x y z n  x y z  grad p  Аналогично v y  v y v y v y  v z  v z v z v z   , ,  , , , . n  x y z  n  x y z  Таким образом, можно констатировать, что градиент вектора скорости  grad v выражается посредством совокупности девяти величин, т.е. является тензором второго ранга: 6  v x  x    v y grad v    x  v z  x  v x y v y y v z y v x  z   v y  . z  v z  z  Отметим, что скалярное поле при переходе к градиенту порождает векторное, а векторное – тензорное с рангом два. 7